1.3带电粒子在匀强磁场中的运动 讲义-2026-2027学年高二下学期物理人教版选择性必修第二册

本讲义聚焦带电粒子在匀强磁场中的运动核心知识点，从垂直进入时的匀速圆周运动规律出发，系统梳理半径与周期公式，通过“三定”（定圆心、定半径、定圆心角）方法构建分析框架，进而拓展至直线、圆形、矩形、三角形等不同边界磁场的运动特点，形成从基础规律到应用场景的递进式学习支架。 该资料以科学思维中的模型建构和科学推理为特色，通过“三定”方法（如几何法确定圆心、半径）培养学生分析能力，设置多边界考向及例题变式，课中辅助教师分层教学，课后帮助学生通过典型题查漏补缺，有效提升解决复杂磁场运动问题的科学探究能力。

第3节 带电粒子在匀强磁场中的运动 知识点1 带电粒子在匀强磁场中的运动 1．带电粒子垂直于磁场方向进入磁场时，由于带电粒子初速度的方向和洛伦兹力的方向都在与磁场方向垂直的平面内，所以粒子在这个与磁场方向垂直的平面内运动。 2．带电粒子在匀强磁场中运动时，洛伦兹力不改变粒子的速度大小，只改变粒子的速度方向。洛伦兹力提供向心力，即沿着与磁场垂直方向射入磁场的带电粒子，在匀强磁场中做匀速圆周运动。 知识点2 带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期 1．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径 (1)粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径与它的质量、速度成正比，与电荷量、磁感应强度成反比。 (2)公式：r＝。 2．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期 (1)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期跟轨道半径和运动速度无关。 (2)公式：T＝。 知识点 3 带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动 1．带电粒子垂直进入匀强磁场中，只受洛伦兹力，洛伦兹力提供带电粒子做匀速圆周运动所需的向心力，运动半径r＝，运动周期T＝。 2．分析方法：“三定”，即一定圆心，二定半径，三定圆心角。 (1)圆心的确定：因为洛伦兹力始终与电荷运动方向垂直，洛伦兹力为粒子做圆周运动提供了向心力，总是指向圆心。确定圆心的位置有两种方法： ①画出粒子运动中的任意两点(一般是射入和射出磁场的两点)的洛伦兹力的方向，其延长线的交点即为圆心，如图甲所示。 ②通过入射点或出射点作速度方向的垂线，再连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条线的交点就是圆弧轨道的圆心，如图乙所示。 (2)求轨道半径的方法 ①根据半径公式r＝求解。 ②根据几何知识求解，如图丙所示。 若已知出射点相对于入射点侧移距离x，则满足r2＝d2＋(r－x)2。 若已知出射速度方向与水平方向的夹角θ和磁场的宽度d，则有r＝。 (3)确定圆心角时，常用角度关系，如图丁所示 ①速度的偏向角φ等于圆心角θ。 ②圆心角θ等于弦切角α的2倍。 ③相对的弦切角相等；相邻的弦切角互补， 即α＋α′＝180°。 ④进出同一直边界时速度方向与该边界的夹角相等，如图戊所示。 (4)求运动时间的方法 ①利用圆心角求解，求出这部分圆弧对应的圆心角，有t＝T。 ②利用弧长s和速度v求解，有t＝。 知识点4 带电粒子在不同边界匀强磁场中的运动特点 (1)带电粒子在有界磁场中运动的对称性 ①从某一直线边界射入的粒子，从同一边界射出时，速度方向与边界的夹角相等。 ②在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出。 (2)带电粒子在磁场中的运动时间 ①当速度v一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。 ②当速率v变化时，必须看圆心角，圆心角越大的，运动时间越长。 考向1 直线边界 【例1】．边界MN上方区域内存在垂直于纸面的匀强磁场，带电粒子a、b垂直于磁场方向（同时垂直于磁场边界）从O点射入，它们的部分运动轨迹如图所示。不计粒子所受重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．粒子a带负电 B．若两粒子射入时的初速度相同，则粒子a先回到磁场边界 C．若两粒子射入时的初动量相同，则粒子b先回到磁场边界 D．若两粒子射入时的初动能相同，则粒子b先回到磁场边界 【答案】B 【详解】A．根据左手定则，磁场方向垂直纸面向里，粒子初速度向上。粒子向左偏转，受到的洛伦兹力向左，可知粒子带正电；粒子向右偏转，受到的洛伦兹力向右，可知粒子带负电，故A错误； B．粒子垂直射入并在边界射出匀强磁场，均做半个圆周的运动，由图可知轨道半径。若初速度相同，根据在磁场中运动时间可知，即粒子先回到磁场边界，故B正确； C．若两粒子初动量相同，由和可知，两粒子电荷量大小。粒子在磁场中运动时间 ，由于两粒子的质量关系未知，无法比较运动时间的长短，故C错误； D．若两粒子初动能相同，则粒子在磁场中运动时间，由于两粒子的质量关系未知，无法比较运动时间的长短，故D错误。 故选B。 【变式】如图所示，一束质量均为m、电荷量为q的带负电粒子，从x轴上的P点以不同的速率射入第一象限内的匀强磁场中，速度方向均与x轴成60°角。已知其中一个速度大小为v的粒子甲恰好垂直于y轴射出第一象限，OP＝a，不计粒子重力，求： (1)匀强磁场的磁感应强度的大小； (2)带电粒子甲穿过第一象限所用的时间； (3)带电粒子在第一象限内运动的最长时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子甲在磁场中做匀速圆周运动，恰好垂直于轴射出第一象限，由几何关系可知圆心位于轴上，设其轨道半径为，根据几何关系和牛顿第二定律分别有， 联立解得 （2）由几何关系可知，粒子甲在第一象限内绕圆心转过的角度为，根据圆周运动周期公式和运动时间与周期的关系分别有， 联立解得 （3）所有粒子在匀强磁场中运动的周期均相同，当粒子从轴重新射出第一象限时，其在第一象限内绕圆心转过的角度最大，最大角度为，此时粒子运动的时间最长，根据运动时间与周期的关系有 解得 考向2 圆形边界 【例2】圆心在原点、半径为的圆形匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里；质量为、电荷量为的带电粒子以初速度（未知）从磁场外沿轴正方向从点进入磁场，从点射出，出射速度方向与轴正方向夹角为，如图所示。不计粒子的重力，则（     ） A．带电粒子带正电 B．粒子的运动轨迹是抛物线 C．粒子运动速度大小 D．粒子在磁场内的运动时间 【答案】C 【详解】A．根据题意，由左手定则可知，带电粒子带负电，故A错误； B．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，则粒子的运动轨迹是圆弧，故B错误； CD．根据题意，画出粒子的运动轨迹，如图所示 设粒子做匀速圆周运动的半径为，由几何关系有 解得 由洛伦兹力提供向心力有 解得 由几何关系可知，粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为，则粒子在磁场内的运动时间，故C正确，D错误。 故选C。 【变式】如图所示，水平面内存在一圆心为O、半径为R的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直水平面向里，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带电粒子（不计重力）从磁场边界上的A点沿指向圆心O的方向射入磁场，恰好从磁场边界上的M点射出。已知A、M两点间的距离为。 (1)请判断该粒子的电性； (2)请使用直尺和圆规，画出该粒子在磁场中的运动轨迹及其圆心C（要求保留作图痕迹）； (3)请计算粒子进入磁场时的速度大小v； (4)请计算粒子在磁场中运动的时间t。 【答案】(1)正电 (2) (3) (4) 【详解】（1）根据左手定则，磁场垂直纸面向里，粒子向右入射后向上偏转，可判断粒子带正电。 （2） 方法一： ①过A点作AO的垂线（A点洛伦兹力方向） ②连接A、M两点，作线段AM的垂直平分线 ③两条线的交点即为轨迹圆心C，以C为圆心、CA为半径画圆弧，圆弧AM即为粒子运动轨迹。 方法二： ①过A点作AO的垂线（A点洛伦兹力方向） ②过M点作MO的垂线（M点洛伦兹力方向） ③两条线的交点即为轨迹圆心C，以C为圆心、CA为半径画圆弧，圆弧AM即为粒子运动轨迹。 （3）设AM和CO的交点为N，在直角三角形ANO中，， 因为 解得 结合几何关系得粒子做圆周运动的轨道半径 由洛伦兹力提供向心力 解得 （4）由几何关系知，在直角三角形CAO中 可得粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角 由周期公式 粒子在磁场中运动的时间 考向 3 矩形边界 【例3】如图所示，正方形区域abcd内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一不计重力的带电粒子，以大小为v的速度，从ab边的中点M垂直于ab边和磁场射入正方形区域，并从bc边的中点N射出。下列说法正确的是（     ） A．若仅将B加倍，则粒子在正方形区域的运动时间加倍 B．若仅将B加倍，则粒子在正方形区域的运动时间为原来的一半 C．若仅将v加倍，则粒子在正方形区域的运动位移为原来的2倍 D．若仅将v加倍，则粒子在正方形区域的运动位移为原来的倍 【答案】D 【详解】AB．设正方形区域的边长为。粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有 解得 根据周期 可得 当粒子从 ab 边中点M垂直射入，从bc边中点N射出。 由几何关系可知，圆心刚好为b点，半径 粒子转过的圆心角为。 运动时间 若仅将加倍，则 半径变为 周期变为 入射点和入射方向不变，圆心仍在边上，位于点右侧，距离点处。 根据，可知粒子恰好运动到点射出。 粒子从运动到转过的圆心角为。 故运动时间。 即运动时间不变。 故AB错误； CD．粒子从 ab 边中点M垂直射入，从bc边中点N射出。 位移大小 若仅将粒子速度加倍，则 半径变为 圆心仍在边上，位于点右侧，距离点处。 以a为坐标原点，可得轨迹方程为 若粒子从边射出，则 代入方程得 因为，所以粒子确实从边射出，出射点坐标为。 此时粒子的位移大小 因为。 故C错误，D正确。 故选 D。 【变式】如图，在磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里的有界匀强磁场中磁场的边界竖直。一质量为、电荷量为的电荷以初速度（方向与边界成斜向下）从磁场左侧进入后恰好垂直磁场右边界射出。不计电荷重力。求： (1)通过粒子在磁场中的偏转方向，判断该粒子带正电还是负电； (2)有界磁场的宽度； (3)改变粒子初速度大小，若粒子刚好没能从磁场右边界射出，求电荷在磁场中运动的时间。 【答案】(1)带正电 (2) (3) 【详解】（1）粒子的速度方向由斜向下逐渐转为水平向右，速度方向沿逆时针方向偏转。磁场方向垂直纸面向里时，正电荷所受洛伦兹力使粒子做逆时针圆周运动，故粒子带正电 （2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有 整理得 入射点到圆心的半径与水平方向成，如图 射出点速度水平，故磁场宽度满足，整理得 （3）临界情况下，粒子的圆轨迹与磁场右边界相切，随后从左边界另一交点射出。如图： 取水平方向向右为基准，从圆心指向入射点的半径方向为，从左边界再次射出时半径方向为，粒子沿逆时针方向转过的圆心角为，由洛伦兹力提供向心力，有 所以周期为= 因此= 考向4 三角形边界 【例4】．如图，边长为L的等边三角形区域ABC内存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一个带电量大小为q、质量为m的带电粒子，从B点沿BA方向射入磁场，并恰好垂直于AC边射出磁场，虚线为其运动轨迹，不计粒子重力，则带电粒子在该三角形磁场中（     ） A．带负电 B．做圆周运动的半径为L C．速度大小为 D．运动时间为 【答案】C 【详解】A. 根据左手定则可知，粒子带正电，A错误； B. 如图 由几何关系，可得圆周运动半径为，故B错误； C.由牛顿第二定律，得 可得，故C正确； D.由几何关系，可得圆心角为30°，运动时间为，故D错误。 故选C。 【变式】如图所示，在直角三角形abc区域内，存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一束带正电粒子电量为q，质量为m，从ab边中点O以不同初速度沿平行于ac方向射入该磁场区域，已知ab边长为L，，不计粒子间的相互作用力及粒子所受的重力。求： (1)部分粒子能从ab边射出磁场，且这些粒子在磁场中运动的时间相同，该时间t为多少？ (2)能从ac边射出磁场的粒子，其速度v需满足什么条件？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）如图甲所示，粒子从ab边射出磁场，则在磁场中的运动轨迹所对应的圆心角为，运动时间均相等。 由 且 得周期 时间 （2）当粒子的轨迹与ac边相切时，有 得 由 得 当粒子的轨迹与bc边相切，有 由 得 故从ac边射出的粒子在磁场内运动的速度大小范围为 一、单选题 1．比荷相同的粒子a、b，以不同的速率从点沿虚线方向垂直匀强磁场射入，运动轨迹如图所示。不计粒子间的作用力及粒子的重力，则（     ） A．粒子a和b的角速度大小相等 B．粒子a和b的加速度大小相等 C．粒子a带正电 D．洛伦兹力对粒子a做正功 【答案】A 【详解】A．根据可得 可知粒子a和b的角速度大小相等，A正确； B．粒子的加速度，粒子在磁场中运动的轨道半径不同，则粒子a和b的加速度大小不相等，B错误； C．由左手定则可知，粒子a带负电，C错误； D．洛伦兹力的方向与速度方向垂直，可知洛伦兹力对粒子a不做功，D错误。 故选A。 2．如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，半径OB与OC成角，一带电粒子q从A点沿直径AB方向射入磁场，从C点射出。不计粒子重力，则（　　） A．该粒子一定带负电 B．在磁场中运动时间为 C．在磁场中的运动半径为2R D．粒子进入磁场的速度为 【答案】D 【详解】A．粒子从A点沿直径AB方向射入磁场，从C点射出，其轨迹如图所示 根据左手定则，磁场垂直纸面向里，正电荷向右运动时洛伦兹力向上，符合偏转方向，因此粒子带正电，故A错误； C．由几何关系可知，粒子转过的轨迹圆对应的圆心角 故粒子在磁场中的运动半径为，故C错误； D．设粒子进入磁场的速度大小为，洛伦兹力提供向心力，有 代入 解得，故D正确； B．粒子在磁场中做圆周运动的周期 代入， 解得 因粒子轨迹圆对应的圆心角 粒子在磁场中运动的时间为，故B错误。 故选D。 3．如图，正方形abcd内有方向垂直于纸面、大小可以调节的匀强磁场，一电子在纸面内从顶点a以一定的速度沿ad方向射入磁场。当磁感应强度的大小分别为时，电子可分别从ab边的中点e、b点和c点射出，则之比为（　　） A．1∶2∶3 B．1∶2∶4 C．3∶2∶1 D．4∶2∶1 【答案】D 【详解】电子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有 解得半径公式 由此可知，在、、一定的情况下，磁感应强度与轨道半径成反比，即 设正方形边长为，当磁感应强度为时， 解得 当磁感应强度为时， 解得 当磁感应强度为时，设半径为，由几何关系 解得 综上所述，半径之比为 所以磁感应强度之比为 故选D。 4．一带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，与另一个静止的不带电粒子发生了完全非弹性碰撞，碰撞后的整体仍做圆周运动，则整体圆周运动的（　　） A．半径增大 B．半径减小 C．周期增大 D．周期减小 【答案】C 【详解】AB．碰撞过程时间极短，系统动量守恒，且另一粒子不带电，故碰撞后整体的总动量等于原带电粒子的动量，总电荷量等于原带电粒子的电荷量，总质量为两粒子质量之和。根据洛伦兹力提供向心力有 可得带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径公式为 碰撞后总动量、电荷量、磁感应强度均不变，故半径不变，AB错误； CD．圆周运动的周期公式为 碰撞后的总质量增大，、不变，故周期增大，C正确，D错误。 故选C。 5．如图所示，矩形虚线框内有一匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。a、b、c是三个质量和电荷量都相等的带电粒子，它们从PQ边上的中点沿垂直于磁场的方向射入磁场，图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。粒子重力不计。下列说法正确的是（     ） A．粒子a带负电 B．粒子c的动能最大 C．粒子b在磁场中运动的时间最长 D．粒子b在磁场中运动时的向心力最大 【答案】D 【详解】A．由左手定则可知，a粒子带正电，故A错误； BD．由可得粒子做匀速圆周运动的半径为 由题图可知粒子c的轨迹半径最小，粒子b的轨迹半径最大，又因为m、q、B相同，所以粒子c的速度最小，粒子b的速度最大。由可知，粒子c的动能最小。根据洛伦兹力提供向心力有 所以粒子b的向心力最大，故B错误，D正确； C．粒子做圆周运动的周期为 所以粒子a、b、c的周期相同，又因为粒子b的轨迹所对的圆心角最小，所以粒子b在磁场中运动的时间最短，故C错误。 故选D。 6．一根通电直导线水平放置，通过直导线的恒定电流方向向右，现有一电子从直导线下方以水平向右的初速度开始运动，不考虑电子重力，关于接下来电子的运动，下列说法正确的是（     ） A．电子将向下偏转，运动的半径逐渐变大 B．电子将向上偏转，运动的半径逐渐变小 C．电子将向上偏转，运动的半径逐渐变大 D．电子将向下偏转，运动的半径逐渐变小 【答案】A 【详解】根据右手螺旋定则，水平向右的电流，在导线下方产生的磁场方向为垂直纸面向里。电子带负电，向右运动时，根据左手定则，可得电子受到的洛伦兹力方向向下，因此电子向下偏转；洛伦兹力不做功，电子速度大小保持不变，由洛伦兹力提供向心力 可得轨迹半径 电子向下偏转，离通电直导线越远，磁感应强度大小越小，因此逐渐变大。综上，电子向下偏转，运动半径逐渐变大。 故选A。 二、多选题 7．如图所示，在AB＝L，∠A＝60°的直角三角形ABC区域内，有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。从A点沿AB有一束同种粒子以不同速率射入磁场，粒子在磁场中做圆周运动。其中某一速度的粒子的运动轨迹恰好与BC边相切，最终从AC边射出，总用时为。不计粒子的重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电 B．运动轨迹恰好与BC边相切的粒子，它的轨道半径为L C．从BC边射出的粒子最小速度是 D．从BC边射出的粒子最小速度是 【答案】BC 【详解】A．粒子运动轨迹恰好与BC边相切，最终从AC边射出，即粒子轨迹如图所示 根据左手定则，粒子带负电，A错误； B．根据几何关系，轨迹圆半径R＝L，B正确； CD．粒子恰好不能从BC边飞出时，粒子运动轨迹与BC相切 结合几何知识可知，粒子在磁场中运动的轨迹圆弧对应的圆心角 解得此时粒子的速度 若要粒子从BC边飞出，则速度v不小于，C正确，D错误。 故选BC。 8．如图所示，平面直角坐标系的第Ⅰ象限内有一匀强磁场垂直于纸面向里，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的粒子以速度v从O点沿着与y轴夹角为的方向进入磁场，运动到A点时的速度方向与x轴的正方向相同，不计粒子的重力，则（　　） A．该粒子带正电 B．A点与x轴的距离为 C．粒子由O点到A点经历的时间为 D．运动过程中粒子的速度不变 【答案】BC 【详解】A．根据题意作出粒子运动的轨迹如图所示 由左手定则及曲线运动的条件判断出此电荷带负电，故A错误； B．设点A与x轴的距离为d，由图可得 所以 根据洛伦兹力充当圆周运动的向心力可知 可知 则得A点与x轴的距离为，故B正确； C．由图可知轨道半径扫过的圆心角为，故粒子由O点到A点经历的时间为，故C正确； D．由于粒子的速度的方向在改变，而速度是矢量，所以速度改变了，故D错误。 故选BC。 9．如图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度的大小为B，场区足够宽，磁场内有一块足够长平面感光薄板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离L处有一个点状的放射源S，它在纸面内均匀的向各个方向发射比荷相等的带正电的粒子，粒子的速度大小都满足不计重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．ab上被粒子打中的区域的长度为 B．击中ab板的粒子运动的最短时间为 C．击中ab板的粒子运动的最长时间为 D．放射源S发射的粒子中有50%的粒子可以击中ab板 【答案】AD 【详解】A．由牛顿第二定律得 解得 轨迹如图所示 ab上被粒子打中的区域的长度故A正确； B．击中ab板的粒子运动的时间要最短，应使粒子与竖直方向成30°向上运动，此时轨迹圆的弦长最短，粒子在磁场中运动的时间最短，轨迹圆的弧长为周长，所用时间，故B错误： C．击中ab板的粒子中运动最长时间，则使粒子竖直向下运动，轨迹圆与ab相切，圆的弧长为周长，所用时间，故C错误： D．沿竖直向上方向和沿竖直向下方向射出的粒子均与屏相切，即射出在S点右侧的粒子可以打在ab平面感光板上，射出方向所占夹角为，故各个方向均匀发射的粒子中有50%的粒子可以击中ab板，故D正确。 故选AD。 10．正方形容器abcd内部充满如图所示的匀强磁场，一束速度相同的质子从a孔沿ab方向垂直磁场射入容器内。当磁感应强度B=B1时，质子打在d点；当B=B2时，质子打在c点，质子重力及质子间作用力不计。下列说法正确的是（　　） A．打在d和c的质子在磁场中的周期比为2:1 B．打在d和c的质子在磁场中的运动时间比为1:1 C．B1和B2的大小之比为2:1 D．打在d和c的质子在磁场中运动的加速度大小之比为1:2 【答案】BC 【详解】A．根据粒子运动周期公式 根据几何关系可知打在d和c的质子在磁场中运动的半径之比为 则打在d和c的质子在磁场中的周期比为1:2，故A错误； B．打在d的质子在磁场中的运动时间为 打在c的质子在磁场中的运动时间为 可得，故B正确； C．根据洛伦兹力提供向心力，有 解得 根据，可得，故C正确； D．根据牛顿第二定律，有 解得 可得打在d和c的粒子在磁场中运动的加速度大小之比为，故D错误。 故选BC。 三、解答题 11．如图所示，在区域存在垂直纸面向外的匀强磁场。一质量为、电荷量为的带负电粒子，从轴上的点以与轴正方向成角的速度垂直磁场射入，经过轴上的点时，速度垂直于轴，最终从轴上的点（图中未画出）射出磁场。已知磁感应强度的大小为，。不计粒子所受重力。求： (1)求粒子所带电荷量的大小 ； (2)求粒子从点运动到点所用时间 。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意可知，粒子的运动轨迹如图所示 由几何关系可知 解得，粒子在磁场中做圆周运动的半径为 根据牛顿第二定律可得 解得 （2）粒子在磁场中做圆周运动的周期为 由粒子的轨迹图像可知，粒子在磁场中从点运动到点的圆心角为 所以粒子在磁场中从点运动到点所用时间为 12．托卡马克装置是采用磁场约束等离子体以实现受控核聚变的设备。如图所示，半径为R的圆形区域存在垂直圆面的匀强磁场，在圆心O处向平面内发射不同速度的带电粒子，粒子质量均为m，电荷量均为，其中速度大小为的粒子恰好被约束在磁场区域内。不计重力及粒子间相互作用。求： (1)磁感应强度的大小B； (2)速度大小为粒子的运动周期T。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）速度为​的粒子恰好被约束在磁场中，说明粒子运动轨迹的最大半径满足：恰好不射出磁场时，轨迹直径等于磁场区域半径，即 得 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力： 代入 整理得： （2）带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的周期与速度无关，周期公式为： 将代入公式，整理得： 13．如图所示，矩形区域abcd内、外分别存在着垂直于纸面向里、向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小均为B。比荷为k的带正电粒子（不计重力）从a点以与ab边夹角为的速度射入矩形区域内，粒子第一、二次穿过矩形区域边界时恰好分别经过b、c点。已知ab=L，矩形区域外的磁场范围足够大。求： (1)粒子的速度大小v； (2)b、c点间的距离s； (3)粒子相邻两次经过a点的时间间隔T。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子第一次穿过矩形区域边界时恰好经过b点，作出运动轨迹，如图所示 分析粒子的运动轨迹可知，粒子第一次从a点运动至b点转过的圆心角 由此可知粒子在矩形区域内运动的轨迹半径 粒子做匀速圆周运动，有 其中，解得 （2）粒子第二次穿过矩形区域边界时恰好经过c点，作出运动轨迹，如图所示 粒子从b点射出矩形区域时与bc边的夹角 则有 解得 （3）作出粒子相邻两次经过a点的运动轨迹，如图所示 粒子每次在矩形区域内运动的时间 粒子每次在矩形区域外运动的时间 由图可知，粒子相邻两次经过a点的时间间隔 联立解得 14．如图所示，在直角三角形abc（含边界）区域内，存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一束质量为m，电荷量为q的带正电粒子从ab边中点O以不同初速度沿平行于ac方向射入该磁场区域。已知ac边长为L，，不计粒子间的相互作用力及粒子所受的重力。求： (1)粒子想从ab边射出的最大速度； (2)粒子想从bc边射出的最小速度。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由图可知，当粒子的轨迹与边相切时，有 此时对应的为最大速度，由洛伦兹力提供向心力得 联立解得 （2）由图可知，当粒子的轨迹与边相切时，有 此时对应的为最小速度，由洛伦兹力提供向心力得 联立解得 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3节 带电粒子在匀强磁场中的运动 知识点1 带电粒子在匀强磁场中的运动 1．带电粒子垂直于磁场方向进入磁场时，由于带电粒子初速度的方向和洛伦兹力的方向都在与磁场方向垂直的平面内，所以粒子在这个与磁场方向垂直的平面内运动。 2．带电粒子在匀强磁场中运动时，洛伦兹力不改变粒子的速度大小，只改变粒子的速度方向。洛伦兹力提供向心力，即沿着与磁场垂直方向射入磁场的带电粒子，在匀强磁场中做匀速圆周运动。 知识点2 带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期 1．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径 (1)粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径与它的质量、速度成正比，与电荷量、磁感应强度成反比。 (2)公式：r＝。 2．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期 (1)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期跟轨道半径和运动速度无关。 (2)公式：T＝。 知识点 3 带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动 1．带电粒子垂直进入匀强磁场中，只受洛伦兹力，洛伦兹力提供带电粒子做匀速圆周运动所需的向心力，运动半径r＝，运动周期T＝。 2．分析方法：“三定”，即一定圆心，二定半径，三定圆心角。 (1)圆心的确定：因为洛伦兹力始终与电荷运动方向垂直，洛伦兹力为粒子做圆周运动提供了向心力，总是指向圆心。确定圆心的位置有两种方法： ①画出粒子运动中的任意两点(一般是射入和射出磁场的两点)的洛伦兹力的方向，其延长线的交点即为圆心，如图甲所示。 ②通过入射点或出射点作速度方向的垂线，再连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条线的交点就是圆弧轨道的圆心，如图乙所示。 (2)求轨道半径的方法 ①根据半径公式r＝求解。 ②根据几何知识求解，如图丙所示。 若已知出射点相对于入射点侧移距离x，则满足r2＝d2＋(r－x)2。 若已知出射速度方向与水平方向的夹角θ和磁场的宽度d，则有r＝。 (3)确定圆心角时，常用角度关系，如图丁所示 ①速度的偏向角φ等于圆心角θ。 ②圆心角θ等于弦切角α的2倍。 ③相对的弦切角相等；相邻的弦切角互补， 即α＋α′＝180°。 ④进出同一直边界时速度方向与该边界的夹角相等，如图戊所示。 (4)求运动时间的方法 ①利用圆心角求解，求出这部分圆弧对应的圆心角，有t＝T。 ②利用弧长s和速度v求解，有t＝。 知识点4 带电粒子在不同边界匀强磁场中的运动特点 (1)带电粒子在有界磁场中运动的对称性 ①从某一直线边界射入的粒子，从同一边界射出时，速度方向与边界的夹角相等。 ②在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出。 (2)带电粒子在磁场中的运动时间 ①当速度v一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。 ②当速率v变化时，必须看圆心角，圆心角越大的，运动时间越长。 考向1 直线边界 【例1】．边界MN上方区域内存在垂直于纸面的匀强磁场，带电粒子a、b垂直于磁场方向（同时垂直于磁场边界）从O点射入，它们的部分运动轨迹如图所示。不计粒子所受重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．粒子a带负电 B．若两粒子射入时的初速度相同，则粒子a先回到磁场边界 C．若两粒子射入时的初动量相同，则粒子b先回到磁场边界 D．若两粒子射入时的初动能相同，则粒子b先回到磁场边界 【变式】如图所示，一束质量均为m、电荷量为q的带负电粒子，从x轴上的P点以不同的速率射入第一象限内的匀强磁场中，速度方向均与x轴成60°角。已知其中一个速度大小为v的粒子甲恰好垂直于y轴射出第一象限，OP＝a，不计粒子重力，求： (1)匀强磁场的磁感应强度的大小； (2)带电粒子甲穿过第一象限所用的时间； (3)带电粒子在第一象限内运动的最长时间。 考向2 圆形边界 【例2】圆心在原点、半径为的圆形匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里；质量为、电荷量为的带电粒子以初速度（未知）从磁场外沿轴正方向从点进入磁场，从点射出，出射速度方向与轴正方向夹角为，如图所示。不计粒子的重力，则（     ） A．带电粒子带正电 B．粒子的运动轨迹是抛物线 C．粒子运动速度大小 D．粒子在磁场内的运动时间 【变式】如图所示，水平面内存在一圆心为O、半径为R的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直水平面向里，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带电粒子（不计重力）从磁场边界上的A点沿指向圆心O的方向射入磁场，恰好从磁场边界上的M点射出。已知A、M两点间的距离为。 (1)请判断该粒子的电性； (2)请使用直尺和圆规，画出该粒子在磁场中的运动轨迹及其圆心C（要求保留作图痕迹）； (3)请计算粒子进入磁场时的速度大小v； (4)请计算粒子在磁场中运动的时间t。 考向 3 矩形边界 【例3】如图所示，正方形区域abcd内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一不计重力的带电粒子，以大小为v的速度，从ab边的中点M垂直于ab边和磁场射入正方形区域，并从bc边的中点N射出。下列说法正确的是（     ） A．若仅将B加倍，则粒子在正方形区域的运动时间加倍 B．若仅将B加倍，则粒子在正方形区域的运动时间为原来的一半 C．若仅将v加倍，则粒子在正方形区域的运动位移为原来的2倍 D．若仅将v加倍，则粒子在正方形区域的运动位移为原来的倍 【变式】如图，在磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里的有界匀强磁场中磁场的边界竖直。一质量为、电荷量为的电荷以初速度（方向与边界成斜向下）从磁场左侧进入后恰好垂直磁场右边界射出。不计电荷重力。求： (1)通过粒子在磁场中的偏转方向，判断该粒子带正电还是负电； (2)有界磁场的宽度； (3)改变粒子初速度大小，若粒子刚好没能从磁场右边界射出，求电荷在磁场中运动的时间。 考向4 三角形边界 【例4】．如图，边长为L的等边三角形区域ABC内存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一个带电量大小为q、质量为m的带电粒子，从B点沿BA方向射入磁场，并恰好垂直于AC边射出磁场，虚线为其运动轨迹，不计粒子重力，则带电粒子在该三角形磁场中（     ） A．带负电 B．做圆周运动的半径为L C．速度大小为 D．运动时间为 【变式】如图所示，在直角三角形abc区域内，存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一束带正电粒子电量为q，质量为m，从ab边中点O以不同初速度沿平行于ac方向射入该磁场区域，已知ab边长为L，，不计粒子间的相互作用力及粒子所受的重力。求： (1)部分粒子能从ab边射出磁场，且这些粒子在磁场中运动的时间相同，该时间t为多少？ (2)能从ac边射出磁场的粒子，其速度v需满足什么条件？ 一、单选题 1．比荷相同的粒子a、b，以不同的速率从点沿虚线方向垂直匀强磁场射入，运动轨迹如图所示。不计粒子间的作用力及粒子的重力，则（     ） A．粒子a和b的角速度大小相等 B．粒子a和b的加速度大小相等 C．粒子a带正电 D．洛伦兹力对粒子a做正功 2．如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，半径OB与OC成角，一带电粒子q从A点沿直径AB方向射入磁场，从C点射出。不计粒子重力，则（　　） A．该粒子一定带负电 B．在磁场中运动时间为 C．在磁场中的运动半径为2R D．粒子进入磁场的速度为 3．如图，正方形abcd内有方向垂直于纸面、大小可以调节的匀强磁场，一电子在纸面内从顶点a以一定的速度沿ad方向射入磁场。当磁感应强度的大小分别为时，电子可分别从ab边的中点e、b点和c点射出，则之比为（　　） A．1∶2∶3 B．1∶2∶4 C．3∶2∶1 D．4∶2∶1 4．一带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，与另一个静止的不带电粒子发生了完全非弹性碰撞，碰撞后的整体仍做圆周运动，则整体圆周运动的（　　） A．半径增大 B．半径减小 C．周期增大 D．周期减小 5．如图所示，矩形虚线框内有一匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。a、b、c是三个质量和电荷量都相等的带电粒子，它们从PQ边上的中点沿垂直于磁场的方向射入磁场，图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。粒子重力不计。下列说法正确的是（     ） A．粒子a带负电 B．粒子c的动能最大 C．粒子b在磁场中运动的时间最长 D．粒子b在磁场中运动时的向心力最大 6．一根通电直导线水平放置，通过直导线的恒定电流方向向右，现有一电子从直导线下方以水平向右的初速度开始运动，不考虑电子重力，关于接下来电子的运动，下列说法正确的是（     ） A．电子将向下偏转，运动的半径逐渐变大 B．电子将向上偏转，运动的半径逐渐变小 C．电子将向上偏转，运动的半径逐渐变大 D．电子将向下偏转，运动的半径逐渐变小 二、多选题 7．如图所示，在AB＝L，∠A＝60°的直角三角形ABC区域内，有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。从A点沿AB有一束同种粒子以不同速率射入磁场，粒子在磁场中做圆周运动。其中某一速度的粒子的运动轨迹恰好与BC边相切，最终从AC边射出，总用时为。不计粒子的重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电 B．运动轨迹恰好与BC边相切的粒子，它的轨道半径为L C．从BC边射出的粒子最小速度是 D．从BC边射出的粒子最小速度是 8．如图所示，平面直角坐标系的第Ⅰ象限内有一匀强磁场垂直于纸面向里，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的粒子以速度v从O点沿着与y轴夹角为的方向进入磁场，运动到A点时的速度方向与x轴的正方向相同，不计粒子的重力，则（　　） A．该粒子带正电 B．A点与x轴的距离为 C．粒子由O点到A点经历的时间为 D．运动过程中粒子的速度不变 9．如图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度的大小为B，场区足够宽，磁场内有一块足够长平面感光薄板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离L处有一个点状的放射源S，它在纸面内均匀的向各个方向发射比荷相等的带正电的粒子，粒子的速度大小都满足不计重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．ab上被粒子打中的区域的长度为 B．击中ab板的粒子运动的最短时间为 C．击中ab板的粒子运动的最长时间为 D．放射源S发射的粒子中有50%的粒子可以击中ab板 10．正方形容器abcd内部充满如图所示的匀强磁场，一束速度相同的质子从a孔沿ab方向垂直磁场射入容器内。当磁感应强度B=B1时，质子打在d点；当B=B2时，质子打在c点，质子重力及质子间作用力不计。下列说法正确的是（　　） A．打在d和c的质子在磁场中的周期比为2:1 B．打在d和c的质子在磁场中的运动时间比为1:1 C．B1和B2的大小之比为2:1 D．打在d和c的质子在磁场中运动的加速度大小之比为1:2 三、解答题 11．如图所示，在区域存在垂直纸面向外的匀强磁场。一质量为、电荷量为的带负电粒子，从轴上的点以与轴正方向成角的速度垂直磁场射入，经过轴上的点时，速度垂直于轴，最终从轴上的点（图中未画出）射出磁场。已知磁感应强度的大小为，。不计粒子所受重力。求： (1)求粒子所带电荷量的大小 ； (2)求粒子从点运动到点所用时间 。 12．托卡马克装置是采用磁场约束等离子体以实现受控核聚变的设备。如图所示，半径为R的圆形区域存在垂直圆面的匀强磁场，在圆心O处向平面内发射不同速度的带电粒子，粒子质量均为m，电荷量均为，其中速度大小为的粒子恰好被约束在磁场区域内。不计重力及粒子间相互作用。求： (1)磁感应强度的大小B； (2)速度大小为粒子的运动周期T。 13．如图所示，矩形区域abcd内、外分别存在着垂直于纸面向里、向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小均为B。比荷为k的带正电粒子（不计重力）从a点以与ab边夹角为的速度射入矩形区域内，粒子第一、二次穿过矩形区域边界时恰好分别经过b、c点。已知ab=L，矩形区域外的磁场范围足够大。求： (1)粒子的速度大小v； (2)b、c点间的距离s； (3)粒子相邻两次经过a点的时间间隔T。 14．如图所示，在直角三角形abc（含边界）区域内，存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一束质量为m，电荷量为q的带正电粒子从ab边中点O以不同初速度沿平行于ac方向射入该磁场区域。已知ac边长为L，，不计粒子间的相互作用力及粒子所受的重力。求： (1)粒子想从ab边射出的最大速度； (2)粒子想从bc边射出的最小速度。 学科网（北京）股份有限公司 $