精品解析：山东省泰安市宁阳县第十二中学2025-2026学年（五四制）九年级12月阶段测试数学试题

2025-2026学年度第一学期第二次质量检测 九年级数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一．选择题（共12题，每题4分） 1. 如图所示几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 2. 在一个不透明的盒子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.3，由此可估计盒中红球的个数约为（　　） A. 3 B. 6 C. 7 D. 14 3. 如图，在 中，弦 ，相交于点P，，，那么度数为（ ） A. B. C. D. 4. 函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线 向左平移2个单位，再向上平移5个单位，所得的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图， 是的外接圆，为 的切线，经过圆心O，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图圆心角的度数为（ ） A. 214° B. 215° C. 216° D. 217° 8. 已知二次函数自变量x的部分取值和对应的函数值y如下表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … 下列说法中正确的是（ ） A. 函数图像开口向下 B. 函数图像与x轴的交点坐标是 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 顶点坐标是 9. 已知二次函数，当时，函数取得最大值；当 时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知，以点 为圆心的圆与轴相切．点 、 在 轴上，且．点 为上的动点，，则 长度的最大值为（　　） A. 14 B. 15 C. 16 D. 8 二．填空题（共5题，每题4分，共20分） 11. 如图，抛物线的对称轴是直线 ，关于 的方程的一个根为，则另一个根为________． 12. 如图，是圆 的弦，直径，垂足为 ，若，，则的长为_____ ． 13. 把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，∠CAB=60°，若量出AD=6cm，则圆形螺母的外直径是___． 14. 如图，已知在平面直角坐标系中，点 在 轴的负半轴上，点 在轴的负半轴上，，以 为边向上作正方形．若图象经过点 的反比例函数的表达式是，则图象经过点 的反比例函数的表达式是______． 15. 如图，四边形是边长为的正方形，曲线…是由多段圆心角为的圆弧组成的．的圆心为点 ，半径为，的圆心为点D，半径为，…，，，，的圆心依次为循环，则的长是_____ ． 三．解答题（8个解答题，共90分） 16. （1）计算：． （2）解不等式组：． （3）化简分式：，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定 ， 的值）    17. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知A，B，C，D，E五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）请将条形统计图补充完整； （2）在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为 ； （3）若该市有1000名中学生参加本次活动，求选择A大学的大约有多少人 18. 小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度 ．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角的度数，大楼底部点A的俯角的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角的度数．若，，，，求大楼的高度 ．（精确到）．参考数据：，，；，，） 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2； （1）求反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出的解集； （3）将直线沿y向上平移后的直线l2与反比例函数在第二象限内交于点C，如果的面积为10，求平移后的直线的函数表达式． 20. 如图，某隧道横截面上的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成．矩形的长是12米，宽是3米，隧道的最大高度为6米，现以O点为原点， 所在直线为x轴建立直角坐标系． （1）求出这条抛物线的函数解析式； （2）一辆大货运汽车装载某大型设备后高为5米，宽为4米，那么这辆货车能否安全通过？ 21. 如图，在四边形中，，，．以点 为圆心，以为半径作交 于点 ，以点 为圆心，以为半径作所交于点，连接交于另一点，连接． （1）求证：为所在圆的切线； （2）求图中阴影部分面积．（结果保留） 22. 已知二次函数（a为常数，且）， （1）若函数图像经过点，则a的值为 ，当时，x的取值范围是 ． （2）当时，函数的最大值为m，最小值为n，若，求a的值． （3）若点A和B的坐标分别为和，抛物线（ 为常数，且）与线段 （含两端点）只有一个公共点，求a的取值范围． 23. 已知正方形，点 是边上任意一点，沿折叠，点 落在点处，延长交于点，连接、 （1）求证：； （2）当，求的值； （3）①当，时，直接写出的值 ②若已知正方形的边长为2，请求出的最小值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期第二次质量检测 九年级数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一．选择题（共12题，每题4分） 1. 如图所示几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图．从左边看得到的图形是左视图．根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从几何体的左面看，是一个带着圆心的圆，右边的圆柱底面从左边看不到，是一个用虚线表示的圆．只有符合题意． 故选：C． 2. 在一个不透明的盒子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.3，由此可估计盒中红球的个数约为（　　） A. 3 B. 6 C. 7 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手， 【详解】解：根据题意列出方程， 解得：x=6， 故选：B. 3. 如图，在 中，弦， 相交于点P，，，那么度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握并灵活运用圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理求出的度数，再由三角形外角的性质求出的度数即可． 【详解】解：， ， ， ． 故选：D． 4. 函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据一次函数和反比例函数的解析式确定一次函数的图象和反比例函数的图象，关键是熟练掌握两类函数的性质． 【详解】若，则反比例函数的图象分别在第二、四象限，一次函数的图像经过一、二、四象限； 若，则反比例函数的图象分别在第一、三象限，一次函数的图像经过一、三、四象限； 符合的为选项D， 故选D． 5. 抛物线 向左平移2个单位，再向上平移5个单位，所得的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图像平移法则“左加右减、上加下减”，将题中文字描述转化为数学符号即可解决问题． 【详解】∵抛物线向左平移2个单位，再向上平移5个单位， ∴所得的抛物线的解析式为， 即 故选：A 【点睛】本题主要考查了抛物线平移，熟练掌握函数图像平移法则“左加右减、上加下减”是解决问题的关键． 6. 如图， 是 的外接圆，为 的切线，经过圆心O，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，先根据切线的性质和三角形内角和定理求出，再由平角的定义求出，则由圆周角定理可得． 【详解】解：如图所示，连接， ∵为 的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图圆心角的度数为（ ） A. 214° B. 215° C. 216° D. 217° 【答案】C 【解析】 【分析】由已知求得圆锥母线长及圆锥侧面展开图所对的弧长，再由弧长公式求解圆心角的度数． 【详解】解：由圆锥的高为4，底面直径为6， 可得母线长， 圆锥的底面周长为：， 设圆心角的度数为n， 则， 解得：， 故圆心角度数为：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查弧长公式的应用，属于基础题． 8. 已知二次函数自变量x的部分取值和对应的函数值y如下表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … 下列说法中正确的是（ ） A. 函数图像开口向下 B. 函数图像与x轴的交点坐标是 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 顶点坐标是 【答案】D 【解析】 【分析】根据待定系数法确定函数解析式，再根据函数的图象与性质求解即可． 【详解】解：把，代入得 ， 解得， ∴二次函数的解析式为：， ∵， ∴函数图像开口向上，故选项错误； 令，解得，， ∴函数图像与x轴的交点坐标是，，故选项错误； ∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标是，故选项正确； ∴当时，随 的增大而增大，故选项错误. 故选：. 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 9. 已知二次函数，当时，函数取得最大值；当 时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知图象开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为，当 时，，即关于对称轴对称的点坐标为，由当时，函数取得最大值；当 时，函数取得最小值，可得，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴图象开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为， 当 时，， ∴关于对称轴对称的点坐标为， ∵当时，函数取得最大值；当 时，函数取得最小值， ∴， 解得，， 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知，以点为圆心的圆与轴相切．点、 在 轴上，且．点为上的动点，，则长度的最大值为（　　） A. 14 B. 15 C. 16 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查图形与坐标、勾股定理、两点之间线段最短、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，作轴于点D，连接，由，得，，求得，则，而，所以，求得的最大值为16，于是得到问题的答案． 【详解】解：作轴于点D，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为16， 故选：C． 二．填空题（共5题，每题4分，共20分） 11. 如图，抛物线的对称轴是直线 ，关于 的方程的一个根为，则另一个根为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用抛物线的对称轴是 ，设的另一根为x，利用二次函数的对称性即可求出x． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是 ， 设的另一根为x， ， ∴ ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程． 12. 如图， 是圆 的弦，直径，垂足为 ，若，，则 的长为_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，连接，首先根据题意可求得，，根据勾股定理即可求得的长，再根据垂径定理即可求得 的长． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴． 故答案为：． 13. 把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，∠CAB=60°，若量出AD=6cm，则圆形螺母的外直径是___． 【答案】12 【解析】 【分析】设圆形螺母的圆心为O，连接OD、OE、OA，如图，根据切线的性质得到AO为∠DAB的角平分线，OD⊥AC，OE⊥AB，又因为∠CAB=60°，以此得到∠OAE=∠OAD=∠DAB=60°，根据三角函数定义求出OD的长，从而的出直径即可. 【详解】 如图，设圆形螺母圆心为O，与AB相切于E，连接OD．OE、OA， ∵AD、AB分别是圆O的切线 ∴AO为∠DAB的角平分线，OD⊥AC，OE⊥AB 又∵∠CAB=60° ∴∠OAE=∠OAD=∠DAB=60° 在Rt△AOD中，∠OAD=60°，AD=6cm ∴tan∠OAD=tan60°= 即 ∴OD= ∴圆形螺母直径为. 【点睛】本题主要考查了直线与圆相切的性质以及三角函数的运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 14. 如图，已知在平面直角坐标系中，点在 轴的负半轴上，点 在轴的负半轴上，，以为边向上作正方形 ．若图象经过点的反比例函数的表达式是，则图象经过点 的反比例函数的表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数几何结合问题，全等三角形判定及性质，解直角三角形．根据题意过点作轴，轴，轴，证明，再利用三角函数值即可得到本题答案． 【详解】解：过点作轴，轴，轴， ， ∵正方形 ， ∴， ∴，， ∴， 同理， ∵， ∴设则， ∴，， ∴， ∴点C坐标为：，点D坐标为：， ∵图象经过点的反比例函数的表达式是， ∴，解得：， ∴点D坐标为：， ∴图象经过点 的反比例函数的表达式是：， 故答案为：． 15. 如图，四边形 是边长为的正方形，曲线…是由多段圆心角为的圆弧组成的．的圆心为点，半径为，的圆心为点D，半径为，…，，，，的圆心依次为循环，则的长是_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的变化类，弧长的计算，解题关键是根据图形求出弧长半径的规律．先观察图形，分别求出各段弧的半径，从而得到后一段的圆心角所对的弧比相邻的前一段的圆心角所对的弧的半径大，从而求出的半径，从而找出规律，求出的半径，最后根据弧长公式求出弧长即可． 【详解】解：由题意可知：的半径为 ，的半径为，的半径为，的半径为，…， ∴后一段的圆心角所对的弧比相邻的前一段的圆心角所对的弧的半径大， ∴的半径为 ，即， 的半径为 ，即， 的半径为，即， …， ∴的半径为：， ∴的半径为：， ∴的长为：， 故答案为：． 三．解答题（8个解答题，共90分） 16. （1）计算：． （2）解不等式组：． （3）化简分式：，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定 ， 的值）    【答案】（1）；（2）；（3）， 【解析】 【分析】（1）先计算特殊角三角函数值，再化简二次根式和计算零指数幂，负整数指数幂，接着去绝对值后计算加减法即可得到答案； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可； （3）把第一个分式的分子与分母都分解因式，再约分后计算分式加法化简，接着根据两人的对话确定a、b的值，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2） 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为； （3） ， ∵a是3的相反数， ∴； ∵， ∴， ∵b是大于1且小于的整数， ∴， ∴原式． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，分式的化简求值，无理数的估算，求特殊角三角函数值，化简二次根式，实数的运算等等，熟知相关计算法则是解题的关键． 17. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知A，B，C，D，E五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）请将条形统计图补充完整； （2）在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为 ； （3）若该市有1000名中学生参加本次活动，求选择A大学的大约有多少人 【答案】（1）见解析 （2） （3）选择A大学的大约有200人 【解析】 【分析】此题考查了扇形统计图，条形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分 （1）先利用C大学的人数除以其所占的百分比求出本次抽样调查的学生人数，再根据B大学的人数等于（人），完善统计图即可． （2）利用D大学所占的百分比乘以即可得到结论； （3）利用全校学生数乘以A大学所占的百分比即可得到结论． 【小问1详解】 本次抽样调查的学生人数是（人）． 根据题意，得B大学的人数等于（人），完善统计图如下： 【小问2详解】 D大学所在扇形的圆心角度数为． 【小问3详解】 （人）， 答：选择A大学的大约有200人． 18. 小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角的度数，大楼底部点A的俯角的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角的度数．若，，，，求大楼的高度．（精确到）．参考数据：，，；，，） 【答案】大楼的高度约为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，等腰直角三角形的性质，矩形的性质等知识，过作于，过 作于 ，则四边形是矩形，根据矩形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，设，解直角三角形即可得到结论，正确地添加辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于，过 作于 ，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 设， 在中，， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：大楼的高度约为． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2； （1）求反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出的解集； （3）将直线沿y向上平移后的直线l2与反比例函数在第二象限内交于点C，如果 的面积为10，求平移后的直线的函数表达式． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换以及三角形的面积．解决问题的关键是依据 的面积与的面积相等，得到D点的坐标． （1）直线经过点A，且A点的纵坐标是，可得，代入反比例函数解析式可得k的值； （2）依据直线与反比例函数的图象交于A，B两点，借助图象即可得到不等式的解集解题； （3）设平移后的直线与x轴交于点D，连接， ，依据，即可得出 的面积与的面积相等，求得，即可得出平移后的直线的函数表达式． 【小问1详解】 解：∵直线经过点A，A点的纵坐标是2， ∴当时，， ∴， ∵反比例函数的图象经过点A， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵直线与反比例函数的图象交于A，B两点， ∴， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：如图，设平移后的直线与x轴交于点D，连接， ， ∵， ∴ 的面积与的面积相等， ∵ 的面积为10， ∴，即 ， ∴， ∴， ∴， 设平移后的直线的函数表达式为， 把代入，可得， 解得， ∴平移后的直线l2的函数表达式为． 20. 如图，某隧道横截面上的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成．矩形的长是12米，宽是3米，隧道的最大高度为6米，现以O点为原点， 所在直线为x轴建立直角坐标系． （1）求出这条抛物线的函数解析式； （2）一辆大货运汽车装载某大型设备后高为5米，宽为4米，那么这辆货车能否安全通过？ 【答案】（1） （2）能通过，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． （1）先求出M，N，P的坐标，由顶点P设此函数解析式为：， 将点N代入中，得，则即抛物线解析式为，即可解答； （2）将代入（2）中的函数式求y的值，再与5m进行比较即可求解． 【小问1详解】 解：根据矩形的长为12，宽为3，可得，， 根据抛物线的对称性可知P的横坐标为6， 结合隧道最大高度为6，即：； 由顶点P设此函数解析式为：， 将点N代入中，得， ∴即抛物线解析式为：， 整理成一般式为：； 【小问2详解】 能通过，理由如下： 过隧道时，为了确保通过，货车应该沿着隧道的正中间运动， 根据（1）可知，抛物线的对称轴为， ∵车的宽度为4米， ∴货车最左侧边缘的点的横坐标为， 即当x=4时，， ∵， ∴货车能通过． 21. 如图，在四边形 中，，，．以点为圆心，以为半径作交于点 ，以点 为圆心，以为半径作所交 于点，连接交于另一点，连接． （1）求证：为所在圆的切线； （2）求图中阴影部分面积．（结果保留） 【答案】（1） 解：连接如图， 根据题意可知：， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴在以 为直径的圆上， ∴， ∴为所在圆的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，圆的性质，扇形面积，等边三角形的性质等知识点，证明四边形是平行四边形是解题关键． （1）根据圆的性质，证明，即可证明四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，再根据圆的切线判定定理即可证得结果． （2）先求出平行四边形的高，根据扇形面积公式三角形面积公式，平行四边形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过 作于点 ， 由图可得：， 在中，，， ∴， ∴， 由题可知：扇形和扇形全等， ∴， 等边三角形的面积为：， ∴ 22. 已知二次函数（a为常数，且）， （1）若函数图像经过点，则a的值为 ，当时，x的取值范围是 ． （2）当时，函数的最大值为m，最小值为n，若，求a的值． （3）若点A和B的坐标分别为和，抛物线（ 为常数，且）与线段（含两端点）只有一个公共点，求a的取值范围． 【答案】（1），或； （2） 的值为或； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，根据交点确定不等式的解集，熟知二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）将代入函数解析式，即可得 的值，从而得二次函数解析式，求出二次函数与 轴的交点坐标即可得到结论； （2）由二次函数解析式结合，可求出，代入，可求 的值； （3）分和两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：将代入， 得：， 解得，， ∴， 令，即， 解得，，， 又， ∴抛物线开口向下， ∴时， 的取值范围为或； 故答案为：；或； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线 ， 当时，抛物线开口向上， ∵， ∴当时，取最大值，即， 当 时，取最小值，即， ∵， ∴， 解：； 当时，抛物线开口向下， ∵， ∴当时，取最小值，即， 当 时，取最大值，即， ∵， ∴， 解：； 综上， 的值为或； 【小问3详解】 解：①当时，抛物线与直线只有一个公共点时，符合条件，则顶点在直线上， ∴ ∴， ②当时，抛物线过点B ，且与只有一个交点， 将点代入，得， 解得，； 将代入得：， 解得，， 如图，此时抛物线与线段有两个交点， 综上，抛物线与只有一个交点时，或． 23. 已知正方形 ，点 是 边上任意一点，沿折叠，点落在点处，延长交于点，连接、 （1）求证：； （2）当，求的值； （3）①当，时，直接写出的值 ②若已知正方形 的边长为2，请求出的最小值 【答案】（1）见解析 （2） （3）①，②的最小值为． 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）根据折叠的性质，等边对等角，四边形的内角和定理推出，进而求出，根据相似三角形的性质，推出点落在线段上，进而得到是等腰直角三角形，即可得出结果； （3）①过 作，证明，得到，，三线和一结合勾股定理求出的长，进而求出的长，过点作交于点， 于点，则四边形为矩形，证明，求出的长，进而求出的长，再证明，求出的长，再根据折叠的性质，线段的和差关系，求出的长即可． ②点G的轨迹是以B为圆心、 为半径的圆弧，连接，，根据“点到圆上的最小距离为圆心距减半径”，得，即可解答． 【小问1详解】 解：由折叠可知，点和点关于对称， ∴垂直平分， ， 又是正方形， ∴，， ∴， ， ； 【小问2详解】 由折叠可知，， 又是正方形， ，， ， ，， ， ， 又， ， 点落在线段上， ，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ； 【小问3详解】 ①过 作， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， 点是中点， ， ∴， ∴， ∴， 过点作交于点， 于点，则四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ， ∴，即， ∴， ∵， ∴． ②点G的轨迹是以B为圆心、 为半径的圆弧（折叠性质：）． 连接，， 根据“点到圆上的最小距离为圆心距减半径”，得 ， 即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $