专题03 直线及其方程（期中复习讲义）高二数学上学期人教B版

专题03 直线及其方程 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 坐标轴上的公式 考点二 求直线的倾斜角或斜率 考点三 直线方程的概念辨析 考点四 两直线平行垂直求参数 考点五 直线的一般方程及辨析 考点六 直线的点斜式方程及辨析 考点七 直线的截距式方程及辨析 考点八 求直线过定点 考点九 求直线的交点坐标 考点十 求两点之间的距离 考点十一 求点到直线的距离 考点十二 求平行线之间的距离 考点十三 求点关于直线的对称点 考点十四 直线关于直线的对称问题 05 重难题型突破 题型一 直线与线段相交求斜率范围 题型二 直线与坐标轴相交的面积最值问题 题型三 定点到动直线的距离最值问题 题型四 两直线的夹角公式 题型五 与角平分线，中线，高线相关的直线方程问题 题型六 由两点之间的距离公式求函数的最值 题型七 与距离有关的新定义 题型八 光线的反射问题 题型九 将军饮马最值问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 期中试卷选择填空小题占比高解答大题常和圆综合考查 基础小题考查倾斜角斜率辨析各类直线方程形式辨析平行垂直判定距离公式计算 中档题考查直线定点交点坐标对称点求解直线与线段相交斜率范围 命题以坐标运算为核心将几何位置关系转化为代数方程求解 重点考查斜率不存在的分类讨论直线方程形式限制条件距离公式代入计算准确度 压轴设问多为面积最值距离最值光线反射将军饮马几何最值综合问题 识记 记住数轴与平面坐标轴相关公式倾斜角斜率定义与计算公式直线四种方程形式平行与垂直判定条件两点距离点到直线距离平行线间距离公式熟记对称点相关结论 理解 理解倾斜角和斜率之间的对应关系清楚各类直线方程适用限制条件理解平行垂直的斜率关系以及斜率不存在的特殊情况理解点关于直线对称的几何本质理解距离公式的几何意义 应用 能根据条件灵活选择直线方程形式求解直线方程会利用平行垂直关系求参数熟练计算交点坐标与三类距离可以求解定点问题对称点直线对称问题独立处理面积最值距离最值光线反射将军饮马综合题型 1．数轴上的基本公式 如果数轴上点A对应的数为 (即A的坐标为，记作)，且，则向量的坐标为___________，数轴上两点之间的距离公式__________ _____．若是线段AB的中点，则．数轴上的中点坐标公式___________． 2．直线的倾斜角 定义 在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，把轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线首次重合时所成的角，称为直线的倾斜角 规定 当直线和轴平行或重合时，规定它的倾斜角为___0_____ 记法 图示 范围 作用 在平面直角坐标系中，直线的倾斜角刻画了直线的__倾斜程度______，倾斜角越接近，___倾斜程度_____越大 3．直线的斜率 如图，在直线上任取两个不同的点，，记（_______0），，则在直线上点平移到点，相当于在横轴上改变了，即横坐标的改变量为，在纵轴上改变了，即纵坐标的改变量为．因此，比值反映了直线的倾斜程度． 由图可知，的大小与两点，在直线上的位置无关，称_ _______（其中________）为经过不同两点，的直线的斜率． 4．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 ________________ 不含直线 斜截式 ________________ 不含垂直于轴的直线 两点式 不含与坐标轴垂直的直线 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 ________________ 平面直角坐标系内的直线都适用 点法式 平面直角坐标系内的直线都适用 5．两直线的交点 设两条直线的方程分别为. 如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，_交点_______的坐标一定是这两个方程的__公共______解;反之，如果将这两条直线的方程联立，若方程组有___唯一______解，那么以这个解为坐标的__点 ________必是直线和直线的交点. 6．（1）两条直线平行 对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，则有________．特别地，当直线，的斜率都不存在时，与___平行_____． （2）两条直线垂直 如果两条直线，斜率都存在，设为，，则________，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线__垂直______． 7．点到直线的距离 （1）平面内点到直线的距离，等于过这个点作直线的__垂线_____所得_____垂线段 ______的长度． （2）点到直线：的距离___________________． 8．两条平行直线之间的距离 （1）两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上__任意一点________到另一条直线的__距离____． （2）两条平行直线：与：之间的距离_____________________． 考点一 坐标轴上的公式 ⚠️概念辨析 核心知识 数轴上两点中点两点距离 平面坐标轴两点中点坐标 方法技巧 数轴运算只看横坐标平面中点坐标横纵坐标分别取平均值 已知中点和一点坐标可以反求另外一点坐标 计算距离注意添加绝对值 1．（24-25高二上·浙江金华·期中）已知点，，若，则（    ） A．1 B．-5 C．1或-5 D．-1或5 【答案】C 【分析】应用距离公式即可求解. 【详解】解：因为点，，所以， 所以，则. 故选：C. 2．（24-25高二上·北京房山·期中）在平面直角坐标系xOy中，设点，，则线段AB的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用中点的坐标公式计算即可. 【详解】由题可知中点的坐标为. 故选：A 3．（24-25高二上·山东德州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，那么线段中点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意利用中点坐标公式运算求解. 【详解】因为，，所以中点的坐标为，即． 故选：A． 4．（2025高二上·黑龙江·学业考试）已知，则线段的中点坐标为__________. 【答案】 【分析】利用中点坐标公式计算即可. 【详解】因为， 所以线段的中点坐标为， 故答案为： 考点二 求直线的倾斜角或斜率 ⚠️概念辨析 核心知识 倾斜角范围 斜率当时斜率不存在 过两点斜率 方法技巧 倾斜角为90°直线垂直x轴无斜率 由倾斜角求斜率要结合正切函数单调性判断正负 给两点坐标求斜率分母不能为0 5．（26-27高二上·北京西城·阶段检测）已知点、，直线的斜率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线的斜率为. 6．（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）若向量是直线的一个方向向量，则的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系知，直线的倾斜角为. 7．（26-27高二上·重庆合川·阶段检测）（多选）在平面直角坐标系Oxy中，直线的位置如图所示，记的斜率和倾斜角分别为和，其中，2，3，4，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据图中四条直线的上升、下降方向及陡缓程度判断各斜率的正负与大小，再结合倾斜角的定义比较各倾斜角。 【详解】因为，所以，则由图可得，． 8．（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）（多选）下列四个命题中，错误的有（    ） A．若直线的倾斜角为，则 B．直线的倾斜角的取值范围为 C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 D．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 【答案】CD 【详解】对A，若直线的倾斜角为，则，故，故A正确； 对B，直线的倾斜角的取值范围为，故B正确； 对C，若一条直线的倾斜角为，当时，此直线的斜率为， 当时，此直线的斜率不存在，故C错误； 对D，若一条直线的斜率为，当时，此直线的倾斜角为. 当时，不是直线的倾斜角，故D错误. 考点三 直线方程的概念辨析 ⚠️概念辨析 核心知识 直线方程是直线上所有点的坐标满足的等式 每一种直线方程形式都有适用范围不能盲目套用 方法技巧 做题先判断直线斜率是否存在 选择题辨析抓住方程不能表示的直线排除错误选项 9．（26-27高二上·贵州·阶段检测）（多选）已知，则直线的图形可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】直线的方程可化为，. 对A，由图可知，，，所以，故A有可能； 对B，由图可知，，，所以不成立，故B不可能； 对C，由图可知，，，且，所以，故C有可能； 对D，由图可知，，，所以，故D有可能. 10．（24-25高二上·江苏扬州·期中）（多选）下列说法正确的有（    ） A．直线的斜率越大，倾斜角越大 B．直线在轴上的截距为 C．直线的斜率为 D．若直线经过第一、二、四象限，则点在第二象限 【答案】BD 【分析】A项举例直线斜率正负特例即可；B项求与轴交点的纵坐标可得；C项化一般式方程为点斜式可得；D项结合图象判断可得. 【详解】A项，设两条直线斜率分别为，，， 但斜率为的直线倾斜角，而斜率为的直线倾斜角为， ，故A错误； B项，直线，令，得， 即直线在轴上的截距为，故B正确； C项，直线方程可化为， 所以直线的斜率为，故C错误； D项，若直线经过第一、二、四象限，则，， 所以点在第二象限，故D正确. 故选：BD. 11．（24-25高二上·江苏扬州·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．如果，，则直线不通过第二象限 B．直线过点，它在轴上的截距是在轴上的截距的倍，则此直线方程为 C．无论取任何实数，直线必过定点 D．的一条内角平分线的方程为，，，则顶点的坐标为 【答案】AC 【分析】利用给定条件结合一次函数性质判断A，利用截距式方程结合分类讨论判断B， 对给定直线化简，令含参部分和其他部分同时为求解定点判断C， 利用角平分线性质得到两个角相等，再利用平面向量的夹角公式建立方程，求解参数判断D即可. 【详解】对于A，易得，直线方程可化为， 因为，，所以与符号相反，与符号相同， 则与符号相反，故直线的斜率，在y轴上的截距， 则直线不经过第二象限，故A正确； 对于B，设直线方程在轴上的截距为， 因为它在轴上的截距是在轴上的截距的倍， 所以它在轴上的截距是， 当时，设直线方程为， 将代入直线方程，得到，解得， 故直线方程为，化简得， 当时，则直线方程必过原点，设直线方程为， 将代入直线方程，得到，解得， 故直线方程为，化简得， 综上，此直线方程为或，故B错误， 对于C，因为， 所以， 故得， 即有，， 解得， 故原直线必过定点，故C正确， 对于D，因为的一条内角平分线的方程为， 且设顶点的坐标为，由题意得，， 因为是的一条内角平分线，所以， 而，， 而的方程为，故设， 因为，所以， 所以， 故得， 解得，故顶点的坐标为，故D错误. 故选：AC 12．（24-25高二上·山西·阶段检测）（多选）下列说法一定正确的是（   ） A．过点的直线方程为 B．直线的倾斜角为 C．若，，则直线不经过第三象限 D．过、两点的直线方程为 【答案】CD 【分析】取倾斜角为直角的直线可判断A选项；取，可判断B选项；化直线方程为斜截式，数形结合可判断C选项；利用两点式方程可判断D选项. 【详解】对于A选项，过点且斜率不存在的直线的方程为，A错； 对于B选项，若，则直线的倾斜角不是，B错； 对于C选项，因为，，则直线的方程可化为， 故直线的斜率为，该直线在轴上的截距为， 作出直线的图象如下图所示： 由图可知，当，时，直线不经过第三象限，C对； 对于D选项，当过点、的直线的斜率存在且不为零时， 则该直线的两点式方程为，可化为， 当直线与轴垂直时，直线的方程为，满足， 当直线与轴垂直时，直线的方程为，满足， 综上所述，过、两点的直线方程为，D对. 故选：CD. 考点四 两直线平行垂直求参数 ⚠️概念辨析 核心知识 设 平行：且截距不等注意两直线斜率都不存在的平行情况 垂直：一条斜率为0一条斜率不存在也垂直 一般式 平行：且 垂直： 方法技巧 优先用一般式判定规避斜率不存在漏讨论的坑 求出参数后代回检验排除两直线重合情况 13．（26-27高二上·河南周口·阶段检测）已知两条直线和. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两直线垂直的充要条件列式计算即得； （2）利用两直线平行的充要条件列式计算即得. 【详解】（1）由，可得，解得. （2）由，可得且，解得. 14．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）分别求满足下列条件的直线方程： (1)过点且与直线垂直的直线方程； (2)过点且与直线平行的直线方程； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若两条直线互相垂直且斜率存在，则两条直线斜率乘积为，再利用点斜式求解； （2）若两条直线互相平行，则它们的斜率相等，再利用点斜式求解. 【详解】（1）由题可知：过点且与直线垂直的直线斜率为， 利用点斜式可得：，化简得：. （2）由题可知：过点且与直线平行的直线斜率为， 利用点斜式可得：，化简得： 15．（26-27高二上·甘肃张掖·阶段检测）已知直线：，：，则下列说法中：①恒过点；②若，则；③若，则或，正确的有________________________．（把正确结论的序号填在横线上） 【答案】①③ 【分析】根据两直线平行或者垂直列出等式，判断即可. 【详解】对于①，将点代入直线的方程左侧：. 计算结果与方程右侧相等，因此点在直线上，①正确； 对于②，因为，所以， 展开整理得，解得. 当时，，两直线重合，不符合平行要求，舍去； 当时，，两直线平行，符合要求， 因此仅时两直线平行，②错误； 对于③，因为，所以，展开整理得. 解得或，代入验证均满足垂直要求，③正确. 16．（26-27高二上·甘肃张掖·阶段检测）已知直线：，：，则下列说法中： ①若，则； ②若，则或； ③若不经过第三象限，则． 正确的有________．（把正确结论的序号填在横线上） 【答案】② 【详解】已知直线：，：， ①若，由两直线平行条件得，，解得， 当时，：，：，两直线重合，舍去， 当时，：，：，两直线平行， 故，①错误； ②若，由两直线垂直的系数关系，解得或，②正确； ③若不经过第三象限， 当时，：，即，直线不经过第三象限，满足条件， 当时，将化为斜截式， 需满足，解得， 综合得，并非，③错误； 综上，正确的是②. 考点五 直线的一般方程及辨析 ⚠️概念辨析 核心知识 直线一般式不同时为0 斜率y轴截距 方法技巧 任意直线都能写成一般式 化为一般式便于直接使用平行垂直公式 注意A BC最简整数化习惯让A≥0 17．（26-27高二上·江苏盐城·阶段检测）已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由题意知直线过点，所以根据直线是否存在斜率进行分类讨论，结合等腰三角形等知识，即可求解. 【详解】设为点，易知点在直线上， 直线与轴的交点， 当直线的斜率不存在时，因为直线l过点， 所以直线的方程为，与轴的交点为； 此时，，， 所以不是等腰三角形，故直线存在斜率； 设关于轴的对称点为， 当直线过，两点时，，是等腰三角形， 同时直线的斜率为，倾斜角为，所以是等边三角形， 所以，此时直线的方程为，化简得； 设直线与轴相交于点，如图所示， 若，则， 所以直线，即直线的斜率为， 此时方程为，整理得. 所以直线l的方程为或. 18．（26-27高二上·江西九江·阶段检测）已知直线的方向向量，且过点，则该直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为直线的方向向量为，所以该直线的斜率为，且过点， 从而该直线的方程为. 19．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）经过点，斜率是2的直线的一般式方程为___________． 【答案】 【详解】过点且斜率为的直线，利用点斜式可得. 化为一般式得. 20．（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）已知三角形的三个顶点，，． (1)求边所在直线方程；（写出一般式方程） (2)若点B与C中点为点D，求所在直线方程．（写出一般式方程） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）边所在直线方程为，化为一般式方程为； （2）由题意得，即， 所以所在直线方程为，化为一般式方程为. 考点六 直线的点斜式方程及辨析 ⚠️概念辨析 核心知识 点斜式过点斜率 只能表示斜率存在的直线 斜截式是点斜式特例b为y轴截距 方法技巧 题目给定点和斜率优先点斜式 若直线垂直x轴不能用点斜式单独写成 21．（安徽蚌埠市、宣城市部分学校2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题）已知是直线上的动点，是直线上的动点，若的中点为，则直线的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用中点坐标公式将点的坐标用点的坐标表示，结合两点分别在对应直线上列方程组求解点的坐标，再由两点坐标求解直线的斜率与方程. 【详解】设点的坐标为， ∵ 是的中点， ∴ 点的坐标为. ∵ 在直线上，在直线上， ∴ ， 解得，，即. ∴ 直线的斜率， 由点斜式得直线的方程为，整理得. 22．（26-27高二上·江苏镇江·阶段检测）（多选）下列结论正确的是（      ） A．方程与方程可表示同一直线 B．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 C．直线过点，斜率不存在，则其方程是 D．所有的直线都有点斜式和截距式方程 【答案】BC 【分析】根据直线的倾斜角、斜率以及各类直线方程的适用范围，结合对应概念逐一判断选项即可。 【详解】对于A选项，方程要求分母不为，即，对应的直线不含点， 而方程包含点，二者表示的不是同一直线，故A选项错误； 对于B选项，直线倾斜角的取值范围是，且任意直线都有倾斜角， 但当倾斜角为时，直线斜率不存在，因此直线不一定有斜率，故B选项正确； 对于C选项，斜率不存在的直线垂直于轴，直线上所有点的横坐标均为，因此方程为，故C选项正确； 对于D选项，点斜式方程要求直线斜率存在，斜率不存在的直线没有点斜式； 截距式方程要求直线的横、纵截距都存在且不为，过原点或垂直于坐标轴的直线没有截距式， 因此不是所有直线都有点斜式和截距式方程，故D选项错误. 23．（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）过点且倾斜角为的直线方程为___________. 【答案】 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线垂直于轴， 直线上所有点的横坐标都等于点的横坐标，点的横坐标为， 故该直线的方程为． 24．（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）若直线的斜率为，且经过点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线的点斜式直接得解. 【详解】由已知直线的斜率为，且经过点， 则根据直线的点斜式可知直线方程为， 即. 考点七 直线的截距式方程及辨析 ⚠️概念辨析 核心知识 截距式a为x截距b为y截距 限制条件不能过原点不能平行坐标轴 方法技巧 截距不是距离可以是负数 题目提到截距相等要单独讨论截距等于0的情况 25．（26-27高二上·黑龙江绥化·阶段检测）已知直线，若直线在两坐标轴上的截距相等，则实数k的值为___________ 【答案】或 【分析】求出直线在两坐标轴上的截距，再建立方程并求解. 【详解】依题意，，直线在轴上的截距分别为， 由直线在两坐标轴上的截距相等，得，所以或. 26．（26-27高二上·江苏·阶段检测）已知过点的直线在轴和轴上的截距均为正整数，则满足条件的直线的条数为________． 【答案】 【分析】设出直线截距式方程，代入点坐标后变形，将问题转化为求的正约数个数，约数个数即为满足条件的直线条数． 【详解】设直线的截距式方程为， 代入点得：，变形整理得， 可得， 已知，故，即是的正约数， 的正约数为：、、、、、、、、，共个，对应组不同的正整数， 故满足条件的直线共条． 27．（26-27高二上·全国·课后作业）已知直线过点且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则的方程为__________. 【答案】或 【分析】分为直线过原点和不过原点两种情况，不过原点时，设直线方程为，根据题意即可求解. 【详解】当直线过原点时，符合题意，此时的直线方程为； 当直线不过原点时，设直线方程为， 由题意知，将代入得，解得，， 所以直线方程为. 综上，直线方程为或. 28．（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）已知，，，求（均写出一般式方程）： (1)边上的中线所在的直线方程； (2)过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求中点，再利用点斜式求所求直线方程. （2）分直线过原点和不过原点两种情况讨论求解. 【详解】（1）因，， 设中点为，则得，即 则直线的方程为，即. （2）①当截距为时，直线经过原点和点，则其方程为，即 ②当截距不为时，可设直线，代入点，解得， 则得，即， 综上，的方程为或. 考点八 求直线过定点 ⚠️概念辨析 核心知识 含参数m直线方程整理成 定点满足方程组 方法技巧 分离参数将式子整理成参数乘以式子加不含参数式子等于0 令两个式子分别等于0联立求定点坐标 也可以代入两个特殊参数值求交点即为定点 29．（26-27高二上·吉林长春·阶段检测）已知直线，则直线过定点__________． 【答案】 【详解】已知直线，变形为： 根据的任意性可得，解得 当取不同值时直线恒过定点. 30．（26-27高二上·浙江·阶段检测）直线经过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于含参数的直线恒过定点问题，我们可以将原式按参数合并整理：把直线方程展开， 将含的项和常数项分离得： ，该等式对任意都成立， 等价于两个括号内的项同时为，得到方程组： 解得即定点为. 31．（26-27高二上·河北·阶段检测）方程所表示的直线恒过的定点坐标为_________． 【答案】 【详解】方程，即，由 可得， 所以方程所表示的直线恒过的定点坐标为． 32．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）直线所过定点为______ 【答案】 【分析】对等式进行变形，通过解方程组进行求解即可. 【详解】， 因为直线恒过定点， 所以有， 因此该直线恒过点. 故答案为： 考点九 求直线的交点坐标 ⚠️概念辨析 核心知识 两条直线交点坐标联立两个直线方程构成二元一次方程组 方程组有唯一解两直线相交 无解两直线平行 无数组解两直线重合 方法技巧 联立方程组用代入消元或加减消元求解 求解完成可以代回原式检验 33．（26-27高二上·上海松江·阶段检测）经过两直线与的交点，且与直线垂直的直线一般式方程为______ 【答案】 【详解】联立，得， 设与直线垂直的直线方程为， 将代入得，故直线方程为 34．（26-27高二上·山东淄博·阶段检测）已知三条直线：，：，：相交于一点，则________． 【答案】 【分析】先求出前两条直线的交点坐标，再将交点代入第三条直线方程求解参数. 【详解】联立直线与的方程： ， 两式相加消去，得，解得， 将代入，得，解得，因此与的交点为， 由于三条直线相交于一点，故点在直线上， 将代入的方程，得 解得. 35．（26-27高二上·江西宜春·阶段检测）若直线与的交点在第四象限，则的取值范围为 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先联立方程求得交点坐标，再结合题意解即可得答案. 【详解】因为直线与的交点在第四象限， 所以两直线相交，，即， 联立方程解得, 由两直线与的交点在第四象限可得 解此不等式组可得，即的取值范围为. 36．（26-27高二上·四川眉山·阶段检测）求经过直线和的交点，且平行于直线的直线为_______. 【答案】 【详解】联立和的方程，解得，，因此与的交点为， 直线的斜率为，因为与该直线平行，所以的斜率也为， 由点斜式代入交点，得，整理得. 考点十 求两点之间的距离 ⚠️概念辨析 核心知识 两点 方法技巧 横坐标之差平方加上纵坐标之差平方再开根号 坐标代入注意符号 37．（26-27高二上·陕西榆林·阶段检测）已知三点，则的形状是（   ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【详解】∵， ∴， ， ， ∴，且， ∴， ∴是等腰直角三角形. 38．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）已知点关于点的对称点为，则线段的长度为________. 【答案】 【详解】依题意，点是的中点，所以. 39．（26-27高二上·福建三明·阶段检测）已知平行四边形的三个顶点为，，. (1)求点的坐标； (2)判断平行四边形是否为正方形. 【答案】(1) (2)平行四边形是正方形 【分析】（1）利用平行四边形性质，可知，从而求得点坐标； （2）先利用邻边垂直证明平行四边形为矩形，再利用邻边相等证明平行四边形为正方形. 【详解】（1）设，则，， 因为四边形为平行四边形，所以，，即， 即. （2）平行四边形是正方形. ，， ，， 平行四边形为矩形. 又， ， ，平行四边形为正方形. 40．（26-27高二上·全国·课后作业）已知点，．点在轴上，且，求的面积． 【答案】 【详解】，设的中点坐标为，则， 因为，所以的中垂线方程为，即． 令，则，即P点的坐标为，所以， 因为，所以，则点P到AB的距离为． 所以． 考点十一 求点到直线的距离 ⚠️概念辨析 核心知识 点直线 方法技巧 直线必须先写成一般式 分子一定要带绝对值分母根号内是A平方加B平方 41．（22-23高二上·四川成都·期中）过点引直线，使到它的距离相等，则此直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设出直线方程，利用点到直线距离公式列出方程，求出的值，从而求出直线方程. 【详解】由题意得直线斜率存在，设直线方程为， 因为到直线距离相等， 所以， 解得：或， 所以直线方程为或， 整理得：或. 42．（26-27高二上·辽宁本溪·阶段检测）直线l经过点，且原点O到l的距离为1，满足该条件的一条直线的方程可以是___________． 【答案】或（两者写出其一即可） 【详解】若l斜率不存在，直线l：，显然满足条件； 若l斜率存在，设，即， 则，解得， 此时，l的方程为. 所以l的方程为或（两者写出一种即可）. 43．（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）已知点到直线的距离为，则_______． 【答案】9或 【详解】由点到直线的距离公式得，，即，解得或. 44．（专题34 两条直线的位置关系-1）直线l过点，且到l的距离相等，则直线l的方程是（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】显然直线l的斜率存在，故设直线l为：，即， 则或或， ∴l方程为：，． 考点十二 求平行线之间的距离 ⚠️概念辨析 核心知识 两平行直线 方法技巧 两条直线x y的系数必须化成完全相同才可以套用公式 也可以在一条直线上任取一点求该点到另一条直线距离 45．（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）已知直线，，若，则两条平行直线之间的距离为________________________ 【答案】 【分析】根据两直线平行可得参数，进而可得平行线间距离. 【详解】由已知直线，，且， 则，解得或， 当时，直线，，即， 此时两平行线间距离； 当时，直线，，即，此时与重合，与题意不符， 综上所述，两平行线间距离. 46．（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）已知直线：与：，若与互相平行，则它们之间的距离是（     ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】先根据两直线平行的充要条件求解参数m，排除重合情况后，代入平行线间距离公式计算得结果. 【详解】由题意得 ，解得.验证常数项：，即，两直线不重合，符合要求. 将代入两直线方程，得，. . . 47．（26-27高二上·山东泰安·阶段检测）与直线平行且距离为的直线方程是__________. 【答案】或 【详解】因为所求直线与直线平行，所以可设所求直线方程为， 根据平行线间的距离公式，可得，解得或. 所以所求直线方程为或. 48．（26-27高二上·江西九江·阶段检测）（多选）已知直线：，：（，），若与之间的距离为2，则的值可以取（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由题意得与平行，则，从而：， 故与之间的距离为或. 考点十三 求点关于直线的对称点 ⚠️概念辨析 核心知识 点与对称点连线垂直对称轴直线 和中点落在对称轴直线上 方法技巧 设对称点坐标 列两个方程①两点连线斜率与对称轴斜率乘积=-1②中点代入直线方程 联立方程组求解 49．（26-27高二上·辽宁本溪·阶段检测）已知的顶点的平分线所在直线的方程为边上的中线所在直线的方程为． (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则线段的中点在直线上，且直线与直线垂直，由此列出方程组，解之即可得解； （2）设，由在直线上及线段中点在直线上列出方程组，求出点的坐标，再根据直线的两点式方程即可得解. 【详解】（1） 由已知，设，则由及线段中点在上可得 ，解得， 所以坐标为； （2）设，则由在直线上及线段中点在直线上可得 ，解得， 所以的坐标为， 所以直线即直线的方程为， 整理得. 50．（26-27高二上·江西·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知的顶点，，． (1)求直线方程； (2)求垂心关于直线的对称点坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，，得直线的斜率． 代入点斜式，得，所以． （2）由于在轴上，顶点到的高为． 又，所以过点且垂直于的高斜率为，其方程为． 两高交于． 设关于直线的对称点为． 由，得 ． 直线的方程为． 由对称性质，的中点在上，因此 ． 联立，解得，，所以关于直线的对称点坐标为． 51．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）点关于直线对称的点的坐标为__________． 【答案】 【详解】设点关于直线对称的点的坐标为，已知直线的斜率为， 两条互相垂直的直线斜率乘积为，所以，即， 因为两点的中点在直线上，所以，即， 联立，解得，即坐标为. 52．（24-25高二上·江西萍乡·期末）已知点在直线上运动，点，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】作出点关于直线的对称点为，数形结合并利用两点距离公式求解即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，故， 所以， 所以，即当三点共线时取得最大值. 故选：D.    考点十四 直线关于直线的对称问题 ⚠️概念辨析 方法技巧 方法一在原直线取两个点分别求关于对称轴的对称点两点确定对称直线 方法二求已知直线和对称轴交点再找原直线上一点的对称点两点求直线 53．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知直线：，：，若与关于直线对称，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据直线关于的对称性求出直线的对称方程，对比求解即可. 【详解】直线关于直线对称的直线方程为. 由题意得，，解得，. 54．（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）在平面直角坐标系中，若直线l与直线关于直线对称，则直线l的方程为______. 【答案】 【分析】直接根据点的对称变换可得对称直线的方程. 【详解】设直线上任意一点坐标为，它关于直线的对称点坐标为， 该对称点在原直线上，代入得： ， 整理得直线的方程：. 55．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求直线与直线的交点，再在直线上取点关于直线对称的点为，即，解出，利用点斜式即可求解. 【详解】由，解得，所以直线与直线的交点为， 在直线上取点关于直线对称的点为， 所以，解得， 所以点关于直线对称的点为， 所以直线的斜率为， 故对称直线的方程为，即， 故选：B. 56．（2026·新疆·一模）在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（   ） A．3 B．3 C．3 D．3 【答案】A 【分析】先求两直线的交点，再求另一点的对称点根据两点可求方程. 【详解】由可得交点为， 在直线上取一点，设其关于直线的对称点为， 则，解得，即， 由两点式方程可得，即. 故选：A 题型一 直线与线段相交求斜率范围 典例1 （26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知直线过点且和以，为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，， 由斜率公式， ， ， 过点的直线与线段相交，直线绕点旋转，当直线斜率小于等于或大于等于时，直线与线段相交， 故斜率的取值范围为. 💡破题要诀 核心知识 定点与线段两端点连线的斜率为临界值 倾斜角变化和斜率变化不是线性关系倾斜角跨过90°斜率突变 方法技巧 先算出定点到线段两个端点的斜率 画图判断直线旋转过程区分斜率可以取中间或者两边区间 不要漏掉斜率不存在的临界情况 迁移应用 1．（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）过点的直线与线段AB相交，，，则直线斜率取值范围（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出直线的斜率，然后结合图象即可写出答案． 【详解】如图所示： 则直线的斜率，直线的斜率， 因为过点的直线与线段AB相交， 结合图象，可得直线斜率的取值范围是. 2．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知点、、，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示 若过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率或. ，. 故直线的斜率的取值范围是. 题型二 直线与坐标轴相交的面积最值问题 典例1 （26-27高二上·江苏常州·阶段检测）已知直线：. (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程. 【答案】(1)由题意得，，解得， 直线过定点. (2) (3)当直线的方程为时，面积取最小值. 【分析】（1）整理直线方程，即可求得定点； （2）通过直线方程得到纵截距，由纵截距和斜率列出不等式组，即可求得的取值范围； （3）通过直线方程得到交点的坐标，然后得到三角形面积，利用基本不等式即可求得最小值，同时求出此时的直线方程. 【详解】（1）略 （2），直线的纵截距为， 要使得直线不经过第四象限，则，即. （3）由题意可知：， 由直线方程可得，，即， ， 当且仅当，即时，取等号， 当直线的方程为时，面积取最小值. 💡破题要诀 核心知识 截距式直线方程坐标轴围成直角三角形面积a b为横纵截距 均值不等式求最值 方法技巧 设截距式或者点斜式写出直线方程 用变量表达横纵截距写出面积表达式 利用基本不等式或者二次函数求最值 注意截距正负带来绝对值处理 迁移应用 1．（26-27高二上·湖北武汉·阶段检测）已知直线的方程为． (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过（1）中的点引直线交坐标轴正半轴于，两点， ①求面积的最小值及面积取得最小值时的直线的方程； ②求的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)证明：将直线的方程整理为， 令，解得， 经检验，将代入直线方程左边后，得， 与右边相等，故不论为何值，直线必过定点． (2)①４，；②４， 【分析】（1）将直线的方程整理为，即可求解； （2）①利用截距式设出直线的方程为，表示出其与坐标轴交点，从而再表示出三角形面积，结合基本不等式即可求解； ②将转化为向量表示形式，用①中坐标表示后，再结合基本不等式即可求解． 【详解】（1）略 （2）①由于直线交坐标轴正半轴于，两点， 利用截距式方程，设直线的方程为． 假定点在轴上，点在轴上，则，， 则面积． 因为直线经过点，代入直线方程，可得， 所以由基本不等式，可得，即， 当且仅当，即，时，等号成立． 故，即面积的最小值为４， 此时直线的方程为，即． ②由①有，， ． 而， 当且仅当，即，时，等号成立， 此时， 故的最小值为４，此时直线的方程为，即． 2．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）已知为坐标原点，过点的直线分别与，轴的正半轴交于，两点，则当的面积取得最小值时，直线的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线的截距式方程，代入已知点坐标，利用基本不等式求得△MON面积最小时的横、纵截距，转化为斜截式即可得到直线方程. 【详解】设直线的截距式方程为，其中，， 因为直线过点，将点代入方程得：， 的面积， 根据基本不等式，有： 将代入不等式，得： ，两边平方整理得，当且仅当时等号成立， 联立，解得，， 将代入截距式方程，得， 整理为斜截式得. 题型三 定点到动直线的距离最值问题 典例1 （26-27高二上·江西九江·阶段检测）已知直线：，则点到直线的距离的最大值为________． 【答案】 【分析】整理直线方程，分离参数，求出直线恒过的定点；点到直线的距离最大值即为，依据几何性质：距离不超过两点之间线段长，当直线时取到最大值． 【详解】直线：， 整理得：． 联立，解得， 所以直线恒过定点，由几何性质，点到直线的距离， 当时等号成立，， 所以点到直线的距离的最大值为． 💡破题要诀 核心知识 点到直线距离公式圆的几何性质 定点到动直线距离最大值为定点到直线所过定点的线段长度 方法技巧 先求出动直线恒过的定点 设外部定点距离当直线垂直距离取最大值 最小值看定点是否在动直线上在则最小距离为0 迁移应用 1．（26-27高二上·天津静海·阶段检测）已知直线的方程为． (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)为何值时，点到直线的距离最大，并求最大值． (3)过点的直线交坐标轴正半轴于，两点，当面积最小时，求的周长． 【答案】(1)由可得，， 令，所以直线过定点． (2)，最大值为 (3) 【分析】（1）将直线方程整理为关于参数的表达式，利用其对任意的恒成立的条件，即可证明直线过定点； （2）点到直线的距离，可看作是点到经过点的动直线的垂线段长度， 故当直线与线段垂直时，点到直线的距离达到最大，即可求解. （3）通过直线过定点，设点斜式方程来求两坐标轴上的截距，再求面积，利用基本不等式求最小值，然后求出对应三角形的周长即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，直线恒过定点．点到直线的距离， 可以看作是点到经过点的动直线的垂线段长度， 根据几何性质，当直线与线段垂直时， 点到直线的距离达到最大，此时最大距离即为线段的长度． 则线段的斜率：， 因为直线与垂直，所以直线的斜率， 将直线的方程化为斜截式，其斜率为： 令， 即： 此时，点到直线的最大距离为，故. （3）由（1）知，直线恒过定点， 由题意可设直线的方程为（）， 直线与轴、轴正半轴的交点分别为，， 令，得，令，得． 所以的面积， 当且仅当，即时等号成立，此时面积最小， ，，， 的周长为． 所以当面积最小时，的周长为． 2．（26-27高二上·天津河西·阶段检测）（1）已知实数x，y满足，求的最小值． （2）已知经过点的直线l与直线垂直，若点到直线l的距离等于，求直线l的一般式方程． （3）当点到直线（）距离取得最大值时，求直线l的一般式方程． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）将目标式转化为原点与直线上的点的距离，进而结合几何意义与点到直线的距离公式求解即可. （2）根据题意，分和，两种情况讨论，结合点到直线的距离公式列出方程，求解参数得到直线方程即可. （3）将直线方程变形为，得直线恒过点，由此得到P到直线l的最远距离为，此时直线垂直于PA，求出直线方程即可． 【详解】（1）由题意得表示原点与直线上的点的距离， 结合直线的性质可得的最小值为原点到直线所作垂线的长度， 设垂线长度为，由点到直线的距离公式得. （2）当时，直线，即为， 则经过点的直线的方程为， 此时点到直线的距离不等于，不符合题意，舍去； 当时，可设直线的方程为，即为， 可得，解得，故直线方程为. （3）∵直线l：， ∴可将直线方程变形为， ∴，解得，，由此可得直线l恒过点， 所以P到直线l的最远距离为，此时直线垂直于PA． ∵，∴直线l的斜率为，∴，∴， ∴直线l的一般方程为． 题型四 两直线的夹角公式 典例1 （25-26高二上·浙江杭州·期中）直线和的夹角的余弦值为________． 【答案】/ 【详解】设直线和的倾斜角分别为，两直线的夹角为， 则， 所以， 而，，，解得， 则直线和的夹角的余弦值为. 💡破题要诀 核心知识 设两直线斜率夹角 方法技巧 夹角永远取0到90°公式带绝对值 一条直线斜率不存在时需要单独画图计算夹角 迁移应用 1．（2026高三·全国·专题练习）已知直线过点，且与直线的夹角为45°，则直线的方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据已知及斜率与倾斜角关系，应用和差角正切公式求直线的斜率，进而应用点斜式写出直线方程. 【详解】设直线的倾斜角为，得该直线的斜率， 因为两直线的夹角为45°，所以直线的倾斜角为或， 所以直线的斜率为或， 所以直线的方程为或，即或. 故选：C 2．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）直线与直线的夹角为___________． 【答案】 【分析】先求出两直线的斜率，再利用两直线夹角公式计算即得. 【详解】设直线和的斜率分别为， 则， 设两直线的夹角为，则， 因，则. 故答案为：. 题型五 与角平分线中线高线相关的直线方程问题 典例1 （26-27高二上·四川成都·阶段检测）已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在直线方程为． (1)直线经过点，点到的距离为，求直线的一般方程； (2)求的面积． 【答案】(1)或 (2)11 【分析】联立方程求得点；分斜率存在与否，利用点到直线距离求直线l方程; 由得斜率，写出方程；联立求中点，算出点到距离，代入面积公式求解. 【详解】（1）依题意得，点是直线与直线的交点， 由解得， 所以点的坐标是． 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，所以，解得． 直线的方程为，即， 所以直线的方程为或． （2）边上的高所在直线方程为， ，且，即， 的顶点，直线方程：， 即与联立，， 解得，的坐标为， 所以 点到直线的距离为， 所以的面积为． 💡破题要诀 核心知识 中线：顶点到对边中点连线 高线：过顶点垂直对边 角平分线：角两边到角平分线夹角相等角平分线上点到两边距离相等 方法技巧 中线：先求中点坐标两点式写直线 高线：利用垂直求斜率结合定点写方程 角平分线：距离公式列方程舍去增根 迁移应用 1．（26-27高二上·天津南开·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)求直线的方程． (3)求的面积． 【答案】(1) A(3,4) (2) x+5y-9=0 (3) 7 【分析】（1）根据题意得到交点所在的两条直线，联立方程即可； （2）根据题意列出有关条件的式子，进行求解； （3）根据三角形面积公式，先求出有关量，代入公式即可. 【详解】（1）因为为边上的高，，所以， 过，得方程为，即， 联立方程，解得，故. （2）设，则中点， 由题意在上，在上，得，解得，即， 则， 由点斜式得直线方程为，整理得. （3）， 点到直线的距离， 所以. 2．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）在中，的平分线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，已知点坐标为. (1)求点的坐标； (2)求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂直关系求出的直线方程，然后与平分线所在的直线联立即可求解； （2）根据对称关系求出点关于平分线所在直线的对称点，然后根据点的对称点和点坐标即可求解. 【详解】（1）设直线的方程为，把点代入直线方程可得， 所以直线的方程为，联立，解得， 即点的坐标为. （2）设点关于直线的对称点为， 直线的斜率为，则直线的斜率为， 并且的中点在直线上， 即，解得，所以， ，所以直线的方程为，即. 题型六 由两点之间的距离公式求函数的最值 典例1 （26-27高二上·天津静海·阶段检测）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．对于任意，不等式恒成立，则最大值为__________． 【答案】5 【分析】根号内配方，转化为两点距离公式，利用对称求最短距离. 【详解】，， 则 表示为x轴上动点到点，点的距离之和， 不等式对任意实数恒成立，即， 最大值就是这个距离和的最小值， 作关于轴的对称点， ，所以， 根据两点之间线段最短，最小值就是线段的长度， ， 则最小值为，要使不等式恒成立， 则，所以的最大值是. 💡破题要诀 核心知识 的几何含义为平面两点距离 代数函数转化为动点到定点距离问题 方法技巧 把根式式子整理成两点距离形式 将变量看作动点坐标固定点看作定点 利用几何图形求距离最值 迁移应用 1．（25-26高二上·广东湛江·期中）著名数学家华罗庚曾说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得函数的最小值为（    ） A． B． C．7 D． 【答案】D 【分析】本题考查点关于直线对称、两点间距离的问题，利用数形结合，将函数转化为轴上动点到两定点距离之和，借助将军饮马模型求距离和最小值。 【详解】的几何意义为点到两定点与的距离之和，进而可得结果． 的几何意义为点到两定点与的距离之和． 设点关于轴的对称点为，则的坐标为． 要求的最小值，可转化为求的最小值， 利用对称可知 ， 即的最小值为． 2．（26-27高二上·新疆喀什·阶段检测）著名数学家华罗庚曾说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，解决下述问题：已知．则的最小值为_______ 【答案】 【分析】将问题转化为点到点的距离之和的最小值即可. 【详解】表示点到点的距离之和， 因为当点位于线段上时有最小值， 当点位于线段上时有最小值， 故点是线段的交点时，有最小值，最小值为. 题型七 与距离有关的新定义 典例1 （25-26高二上·青海·阶段检测）十九世纪数学家赫尔曼⋅闵可夫斯基给出了两点，的曼哈顿距离为.已知点，是直线上的动点，若，则点的运动轨迹的长度为__________. 【答案】 【分析】先应用新定义列式结合绝对值不等式计算得，再应用直线弦长公式计算求解. 【详解】设，则， 即， 所以或或， 解得， 则点的运动轨迹的长度为. 故答案为：. 💡破题要诀 核心知识 读懂题目自定义距离规则结合点到直线距离两点距离运算 方法技巧 严格按照题干定义不要套用课本距离公式 转化为坐标运算分类讨论满足条件的点 迁移应用 1．（25-26高二上·山东烟台·期中）在平面直角坐标系中，定义：为，两点之间的“折线距离”.已知点，点为圆上一动点，若点满足，则点的轨迹所围成的图形的面积为__________，的最大值为__________. 【答案】 【分析】设由，分段化简，画出图形，即可求出点的轨迹所围成的图形的面积；将圆的方程化为标准式，确定圆心坐标与半径，数形结合求出的最大值. 【详解】设，又，，即， 当时，则，即， 当时，则，即， 当时，则，即， 当时，则，即， 由，解得，即，同理可得，，， 故点的轨迹所围成图形为正方形，如下图所示： 又，，则； 圆，即，则圆心为，半径； 要使取得最大值，结合图象可知当在线段即上时, 又圆心到直线的距离， 又，， 所以当在点时可取得最大值，. 故答案为：； 2．（24-25高二下·吉林·开学考试）（多选）“曼哈顿距离”是由赫尔曼•闵可夫斯基首先提出的，是一种使用在几何度量空间的几何学用语.在平面直角坐标系中，是坐标原点，定义点与点的曼哈顿距离为.若点，点，直线和的方程分别是和，则下列叙述正确的是（    ） A． B．点与直线上任意一点的曼哈顿距离最小值为2 C．若动点满足，则的轨迹围成图形的面积是32 D．若动点与直线上任意一点的曼哈顿距离最小值等于，则的轨迹与直线围成的封闭图形面积是2 【答案】CD 【分析】由曼哈顿距离的定义即可判断A；令直线a上任意点为，可得到点与直线上任意一点的曼哈顿距离的表达式，可判断B；设动点坐标，采用分类讨论的方法确定动点轨迹，数形结合进行求解，判断CD. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，令直线a上任意点为， 则， 则当时，的最小值为1，B错误； 对于C，设，则， 当时，则；当时，则； 当时，则；当时，则； 则M点轨迹为上述四条线段围城的封闭曲线，如图示正方形： 则的轨迹围成图形的面积是，C正确； 对于D，，设，当M与直线b上的点连线垂直于b时曼哈顿距离最小， 由此可得， 当时，，则，不符合题意； 当时，，则，不符合题意； 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 则M点轨迹如图示： 则的轨迹与直线围成的封闭图形面积为，D正确， 故选：CD 【点睛】关键点睛：对于动点的轨迹问题，解答时先设动点坐标，可得满足的方程，利用分类讨论确定动点轨迹，数形结合，即可求解. 题型八 光线的反射问题 典例1 （安徽蚌埠市、宣城市部分学校2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题）如图，在等腰直角三角形中，，是边上异于、的点，光线从点出发，经、反射后又回到点，若，则_________． 【答案】或 【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，其中，求出点关于直线、轴的对称点、的坐标，根据、、三点共线以及斜率关系可求出的值，即可得出的值. 【详解】在等腰直角三角形中，，则， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、、，设，则，其中， 点关于轴的对称点为， 直线的截距式方程为，即直线的方程为，该直线的斜率为， 设点关于直线的对称点为， 由题意可知，且线段的中点在直线上， 所以，解得，即点， 由对称性可知、、三点共线，则，即， 整理可得，解得或，即或. 💡破题要诀 核心知识 光线反射等价于点关于镜面直线对称 入射光线经过原点反射光线经过对称点 方法技巧 把镜面当作对称轴求光源点的对称点 连接对称点和反射光线经过的点得到反射光线方程 迁移应用 1．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（     ）    A．10 B． C． D．8 【答案】B 【分析】利用反射的性质，找到对称的点，将周长进行转化，求解即可。 【详解】设，，，则重心即， 设， 光线反射路径可展开为直线：关于：的对称点；关于：的对称点， 展开后，，，共线，且光线经过重心，因此，，三点共线， 即，，由共线得，解得或. 因为异于端点，所以，即. 则周长. 2．（26-27高二上·贵州·阶段检测）已知直线恒过点． (1)求点的坐标． (2)已知坐标原点到的距离为． ①求的斜率； ②若的倾斜角小于，一条光线从点射出，经反射后，射到轴上，再经轴反射后，最后回到点，求该光线经过的路程长度． 【答案】(1) (2)① 斜率为或；② 光线路程：； 【分析】（1）先整理直线方程，分离参数，分成含参数和不含参数两部分；再根据直线恒过定点的特点，令两部分同时等于零，联立得到二元一次方程组；最后解方程组，求出定点的坐标； （2）①先利用定点写出直线的点斜式并化为一般式，再将原点到直线的距离代入点到直线距离公式建立方程，接着平方化简得到关于斜率的一元二次方程，解方程得到两个斜率，留待下一问根据倾斜角条件筛选；②求光线路程，先根据倾斜角条件筛选符合要求的斜率，再利用反射性质，将路程转化为两个对称点之间的距离，用两点间距离公式计算即可. 【详解】（1）整理直线方程得：， 则：， ∵直线恒过定点，与无关，∴， ∴两式相加得，即，代入得：，. （2）① ∵直线过，设 ，则：， ∴原点到直线距离公式：，化简得， ∴， ∴，即：，解得或 . ②当时，倾斜角，符合条件； 当时，倾斜角，舍去，故直线的方程为， 设关于直线的对称点为， 则：， 解得 ，即， 点关于轴的对称点为， 设直线分别交直线、轴于点、，由对称性可得，， 所以该光线经过的路程长度为. 题型九 将军饮马最值问题 典例1 （26-27高三上·浙江·开学考试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为．则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点对称然后连线找最短，求两点间距离即可 【详解】 如图所示，，，过原点作的对称点为，连接， 则的长度即为“将军饮马”的最短总路程，因为， 所以“将军饮马”的最短总路程为5. 💡破题要诀 核心知识 两定点在直线同侧作其中一点关于直线对称点 两点之间线段最短 方法技巧 判断两点在直线同侧还是异侧 同侧：做对称点连接对称点与另一个定点线段长就是最短距离 异侧：两点直接连线与直线交点即为取最值位置 迁移应用 1．（25-26高二上·贵州遵义·期末）唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军出发点是，军营所在位置为，河岸所在直线方程为：，则将军从出发点到河边饮马，再回到军营的总路程最短为____________． 【答案】 【分析】利用对称思想将折线路程转化为两点间线段长度，求出点关于直线的对称点，再计算该对称点与点的距离即可得到最短总路程. 【详解】设点关于直线的对称点为，根据轴对称的性质可得： ，即，解得，即. 由对称性可知，对直线上任意饮马点，均有，故总路程. 所以当为线段与直线的交点时，总路程取得最小值，最小值为. 由两点间距离公式：. 故最短总路程为. 2．（25-26高二下·上海·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为_______. 【答案】5 【分析】确定点关于的对称点，设饮马点为，利用求最短路程. 【详解】若是关于的对称点， 则， 设饮马点为，如下图示， 由图知：， 当且仅当共线时等号成立， 所以. 故答案为：5 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26高二上·江苏盐城·期中）若，则为_______. 【答案】 【分析】根据题意，利用平面上两点间的距离公式，即可求解. 【详解】由题意，根据平面上两点间的距离公式，可得， 故答案为：. 2．（26-27高二上·四川·期中）在平面直角坐标系中，过点和点的直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知直线过点和点， 则直线斜率， 则直线的倾斜角满足， 又，故. 3．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用斜率公式，分别求得直线和直线的斜率，结合图象，即可求解. 【详解】由，得直线的斜率分别为，， 而过点的直线与线段有交点，如图， 所以直线l斜率的取值范围为. 4．（26-27高二上·天津·期中）直线过点，且横截距a，纵截距b满足，则的方程为______． 【答案】或 【分析】本题要分截距都为 0和截距不为 0两种情况讨论，利用直线截距式或斜截式代入已知点求解，容易漏掉过原点的情况. 【详解】当直线横截距和纵截距都为0时，设直线为， 将点代入可得，即，此时直线方程为，即 当直线截距不为0时，可设直线为，因为横截距为纵截距的两倍，所以， 又因为直线过点，代入直线可得，解得， 所以直线方程为. 故答案为：或. 5．（25-26高二下·贵州·期中）直线的一个法向量为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线的一个法向量为，且过点， 设直线上任意一点，所以， 所以，即， 直线的方程为：. 6．（25-26高二上·福建三明·期中）已知的三个顶点分别是，，，则边上的中线所在的直线方程为______. 【答案】 【分析】求出的中点，然后可得中线斜率，再由点斜式整理可得. 【详解】因为，，所以的中点， 又，所以， 所以直线的方程为，即. 故答案为： 7．（25-26高二上·山东临沂·期中）（多选）对于直线，下列说法中正确的是（   ） A．的倾斜角可以为 B．时，不经过第二象限 C．的一个方向向量为时， D．直线恒过定点 【答案】BD 【分析】对于：根据直线方程的一般式，计算出斜率的值，可得斜率一定存在；对于：先求出直线恒过定点，再根据斜率的正负判断直线经过的象限；对于：根据方向向量可求出直线的斜率，即可得出的值；对于：整理直线的一般式方程，令含有的式子为零，即可求出直线恒过的定点； 【详解】对于：直线：，斜率，所以斜率肯定存在，所以倾斜角不可能是，故选项错误； 对于：可化简为：，所以直线恒过定点，时，斜率，所以直线经过一、三、四象限，不经过第二象限，故选项正确； 对于：l的一个方向向量为时，斜率，又，所以，故选项错误； 对于：可化简为：，所以直线恒过定点，故选项正确； 故选：. 8．（25-26高二上·四川成都·期中）已知，，直线上存在点P，满足，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先确定直线所过定点，根据线段长度，可将问题转化为直线与线段有交点，结合图象确定临界状态，得到直线斜率的取值范围，进而求得结果. 【详解】直线方程可化为：， 令得：，直线恒过定点， 由得：， 当直线上存在点满足时，直线与线段有交点，如图所示， ，，由直线斜率不为， 直线的斜率， . 故选：D. 9．（25-26高二上·四川绵阳·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．直线可以表示过点的所有直线 B．直线过定点 C．平面直角坐标系内的所有直线都能用一般式方程表示 D．经过点且斜率为的直线l的方程为 【答案】BC 【分析】根据直线方程的几种形式及其限制条件逐一分析. 【详解】对于A，直线表示过点，且斜率为的直线，故A错误； 对于B，即，因为m的取值范围是，所以，解得，即直线过定点，故B正确； 对于C，平面直角坐标系内的所有直线都能用一般式方程表示，故C正确； 对于D，根据点斜式可知经过点且斜率为的直线l的方程为，即，故D错误. 故选：BC. 10．（25-26高二上·四川达州·期中）已知顶点、、． (1)求边所在的直线的方程； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由两点坐标求出直线的斜率，再写出直线的点斜式方程，将其转化为一般式方程； （2）当直线的纵截距和横截距均为零时，根据直线过点A和原点，求出其方程；当直线的纵截距和横截距均不为零时，设它的截距式方程，求其方程． 【详解】（1）由、，可得直线的斜率为， 所以边所在的直线的方程为，即； （2）当直线过坐标原点时，其斜率为，方程为.此时，直线的纵截距和横截距均为零，符合题意； 当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为， 由过点，则，解得，所以直线方程为，即， 综上所述，直线的方程为或. 11．（25-26高二上·江苏扬州·期中）（多选）已知直线：，：，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则直线不经过第一象限 D．若，则直线与坐标轴围成的三角形面积为 【答案】AD 【详解】对于选项A，当时，可得，则直线：，， 当时，可知，则，此时， 当时，此时：，：，可得，所以选项A正确； 对于选项B，当时，可得，则：，得，可知：， 当，即时，重合，所以选项B错误； 对于选项C，可知：，当时，，所以图像经过第一象限，所以选项C错误； 对于选项D，当时，可得：，过， 直线与坐标轴围成的三角形面积为，所以选项D正确. 12．（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）（多选）已知直线，则（ ） A．过点与直线平行的直线方程为 B．过点与直线平行的直线方程为 C．与直线关于原点对称的直线方程为 D．与直线关于原点对称的直线方程为 【答案】BC 【分析】根据两直线平行求直线方程，可判断AB的真假；用代替，代替，可得直线关于原点的对称直线方程，可判断CD的真假. 【详解】设与直线平行的直线方程为， 因为平行线过点，所以，解得， 所以过点与直线平行的直线方程为.故A错误，B正确. 用代替，代替，可得直线关于原点对称的直线方程为： ，即为.故C正确，D错误. 13．（26-27高二上·河北保定·期中）已知直线：与直线：平行． (1)求的值； (2)若直线到的距离与到的距离相等，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线平行有且即可求出的值；（2）根据直线间距离相等，可判断直线平行，设直线的方程为，再由两平行直线之间的距离公式建立等量关系，求出即可求出直线方程. 【详解】（1）因为直线：与直线：平行， 则，解得，又，所以，当时，两直线平行； （2）由（1）知直线：，即， 因为直线到的距离与到的距离相等，所以直线与、平行， 设直线的方程为，所以，解得， 故直线的方程为，即． 14．（25-26高二上·广东湛江·期中）已知直线过定点，直线的方程是． (1)若直线的横截距为纵截距的3倍，求直线的方程． (2)若直线与轴正半轴分别交于两点，过分别作直线垂线，垂足分别是．求四边形面积的最小值． 【答案】(1)或； (2)4 【分析】（1）分别考虑直线的横、纵截距是否均为0设方程，代入求出参数，可得结果； （2）设出的方程，分别表示出的面积，结合基本不等式求解出四边形面积的最小值． 【详解】（1）当直线的横、纵截距均为0时，设其方程为，代入，得，则得； 当直线的横、纵截距均不为0时，可设，代入点，解得， 则直线方程为， 所以直线的方程为或； （2）由题意直线的斜率存在，可设， 令，则，所以， 令，则，所以， 所以， 因为的倾斜角为，所以， 所以均为等腰直角三角形， 所以， 所以 因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 由二次函数性质可知，，当且仅当时取等号， 所以四边形PQSR面积的最小值为4． 15．（25-26高二上·山东淄博·期中）点到直线为任意实数）的距离的最大值是______. 【答案】 【分析】先求出直线恒过定点，则该定点到点A的距离即为点A到直线的距离的最大值. 【详解】由，得. 当时，，所以直线恒过定点. 所以. 由点到线的距离性质可知，点到直线的距离的最大值 即为点到定点的距离，等于. 故答案为：.    综合进阶练（限时：15分钟） 16．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知直线：. (1)求直线所过的定点A的坐标； (2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围； (3)已知，若点P到直线的距离为d，求d最大时直线的一般式方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将直线的方程变为，利用直线的点斜式得到直线恒过的定点； （2）由直线不经过第四象限，结合图像得到的范围； （3）由直线恒过的定点，结合图像可知，当时，d取得最大值，求出此时的直线的斜率，利用两直线垂直，在斜率存在的情况下，斜率之积为，求出直线的斜率，利用直线的点斜式得到直线的方程. 【详解】（1）直线的方程为，则，因此直线恒过定点. （2）如图1，若直线不经过第四象限，则. （3）由（1）知直线恒过定点. 如图2，当时，d取得最大值，此时直线的斜率. 则直线的斜率. 所以直线的方程为，即. 所以直线的一般式方程为. 17．（25-26高二上·浙江杭州·期中），过定点的动直线和过定点的动直线交于点（与不重合，为坐标原点），则以下结论：（1）为定值；（2）的面积的最大值为；（3）的最大值为5；（4）的最大值为.其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】先求出定点的坐标，根据直线方程可得两条直线垂直即，进而判断（1），结合基本不等式可判断（2），进而可得点P的轨迹方程，然后根据圆的性质及柯西不等式判断（3）（4）. 【详解】对于直线，变形为， 令，解得，定点， 对于直线，变形为， 令，解得，定点， 对直线和直线， ，故两条直线垂直，, ,，为定值，故（1）正确， 设，由以上可知，根据基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 的面积， 的面积的最大值为，故（2）正确； 设，，，则，， ，即，在以为圆心，为半径的圆上， 故的最大值为，故（3）正确； 设，由上可知，根据柯西不等式可得，即， ，当且仅当时取等号，的最大值为，故（4）正确. 故选：. 18．（24-25高二上·吉林长春·期中）如图，在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立如图所求的直角坐标系，得，设，求出关于直线的对称点的坐标，关于轴对称点的坐标，由反射性质四点共线，求得直线方程，由在直线上可求得，然后计算即可． 【详解】建立如图所求的直角坐标系，得， 则直线方程为， 且的重心为，即， 设，关于直线的对称为， 则，解得，则， 易知关于轴的对称点为， 根据光线反射原理知四点共线， 所以直线的方程为，，即， 又直线过， 所以，解得或（舍去）， 所以，,, 所以. 故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题考查直线方程的应用，解题关键是利用对称性，把的三边转化为到同一条直线上，利用直线方程求得点位置，然后得路程的最小值． 19．（25-26高二上·江苏无锡·期中）在平面直角坐标系中，已知两直线：和：，定点. (1)若与相交于点，求直线的方程； (2)若恰好是的角平分线所在的直线，是中线所在的直线，求的边所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求交点，再求直线的斜率，利用点斜式即可求解； （2）设，又为的中点，得，又在直线上，解出，进而得点坐标，求出，直线的斜率，由解出，进而求解. 【详解】（1）由题意有：，所以， 所以，所以 ，即， 所以直线的方程为： （2）由题意，可设，又为的中点，所以， 又因为在直线上，所以，解得， 所以， 所以， 又的方程为，所以的斜率为， 因为恰好是的角平分线所在的直线， 所以，即，解得， 所以，即， 所以直线的方程为：. 20．（24-25高二上·河南南阳·期中）（多选）已知，直线：过定点A，：过定点B，与交于点M，则下列结论正确的是（   ） A． B．点M在上 C．的最大值是25 D．的最大值为 【答案】AB 【分析】根据两直线方程得到斜率，再根据斜率之间的关系得到两直线之间的关系，即可判断A，根据两条线垂直及求轨迹方法判断B，根据基本不等式判断C，根据三角换元以及辅助角公式判断D. 【详解】对A,,所以，故A正确； 对于B，直线：可化为，所以定点为， 直线：可化为，定点为， 因为，所以，设，则， 所以， 化简可得，故B正确； 对于C，根据选项B可得， 所以，当且仅当时，等号成立， 此时的最大值是，故C错误； 对于D，设，则， 所以， 即的最大值为，故D错误； 故选：AB. 21．（25-26高一上·浙江杭州·期中）关于的方程在上有实数解，其中为实数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将看成两点间距离的平方，再利用点到直线距离求解. 【详解】由 ，得. 设，当时为增函数，而， 所以. 所以方程转化为. 而即为点到点的距离的平方， 而点满足， 则的最小值即为点到直线距离的平方的最小值， 即的最小值.而， 设，则在为增函数， 所以，则. 所以最小值为. 22．（25-26高二上·山东烟台·期中）在平面直角坐标系中，定义：为，两点之间的“折线距离”.已知点，点为圆上一动点，若点满足，则点的轨迹所围成的图形的面积为__________，的最大值为__________. 【答案】 【分析】设由，分段化简，画出图形，即可求出点的轨迹所围成的图形的面积；将圆的方程化为标准式，确定圆心坐标与半径，数形结合求出的最大值. 【详解】设，又，，即， 当时，则，即， 当时，则，即， 当时，则，即， 当时，则，即， 由，解得，即，同理可得，，， 故点的轨迹所围成图形为正方形，如下图所示： 又，，则； 圆，即，则圆心为，半径； 要使取得最大值，结合图象可知当在线段即上时, 又圆心到直线的距离， 又，， 所以当在点时可取得最大值，. 故答案为：； 23．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知，则的最大值是___________. 【答案】 【分析】设，原式化为，设，则可以看成点到点两点的距离之差，可求最大值. 【详解】因为，设， ， 令，则， 则上式为， 设， 点为双曲线位于第一象限的点， 可以看成点到点两点的距离之差， 又， 所以的最大值是.    故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 直线及其方程 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 坐标轴上的公式 考点二 求直线的倾斜角或斜率 考点三 直线方程的概念辨析 考点四 两直线平行垂直求参数 考点五 直线的一般方程及辨析 考点六 直线的点斜式方程及辨析 考点七 直线的截距式方程及辨析 考点八 求直线过定点 考点九 求直线的交点坐标 考点十 求两点之间的距离 考点十一 求点到直线的距离 考点十二 求平行线之间的距离 考点十三 求点关于直线的对称点 考点十四 直线关于直线的对称问题 05 重难题型突破 题型一 直线与线段相交求斜率范围 题型二 直线与坐标轴相交的面积最值问题 题型三 定点到动直线的距离最值问题 题型四 两直线的夹角公式 题型五 与角平分线，中线，高线相关的直线方程问题 题型六 由两点之间的距离公式求函数的最值 题型七 与距离有关的新定义 题型八 光线的反射问题 题型九 将军饮马最值问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 期中试卷选择填空小题占比高解答大题常和圆综合考查 基础小题考查倾斜角斜率辨析各类直线方程形式辨析平行垂直判定距离公式计算 中档题考查直线定点交点坐标对称点求解直线与线段相交斜率范围 命题以坐标运算为核心将几何位置关系转化为代数方程求解 重点考查斜率不存在的分类讨论直线方程形式限制条件距离公式代入计算准确度 压轴设问多为面积最值距离最值光线反射将军饮马几何最值综合问题 识记 记住数轴与平面坐标轴相关公式倾斜角斜率定义与计算公式直线四种方程形式平行与垂直判定条件两点距离点到直线距离平行线间距离公式熟记对称点相关结论 理解 理解倾斜角和斜率之间的对应关系清楚各类直线方程适用限制条件理解平行垂直的斜率关系以及斜率不存在的特殊情况理解点关于直线对称的几何本质理解距离公式的几何意义 应用 能根据条件灵活选择直线方程形式求解直线方程会利用平行垂直关系求参数熟练计算交点坐标与三类距离可以求解定点问题对称点直线对称问题独立处理面积最值距离最值光线反射将军饮马综合题型 1．数轴上的基本公式 如果数轴上点A对应的数为 (即A的坐标为，记作)，且，则向量的坐标为___________，数轴上两点之间的距离公式__________ _____．若是线段AB的中点，则．数轴上的中点坐标公式___________． 2．直线的倾斜角 定义 在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，把轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线首次重合时所成的角，称为直线的倾斜角 规定 当直线和轴平行或重合时，规定它的倾斜角为___0_____ 记法 图示 范围 作用 在平面直角坐标系中，直线的倾斜角刻画了直线的__倾斜程度______，倾斜角越接近，___倾斜程度_____越大 3．直线的斜率 如图，在直线上任取两个不同的点，，记（_______0），，则在直线上点平移到点，相当于在横轴上改变了，即横坐标的改变量为，在纵轴上改变了，即纵坐标的改变量为．因此，比值反映了直线的倾斜程度． 由图可知，的大小与两点，在直线上的位置无关，称_ _______（其中________）为经过不同两点，的直线的斜率． 4．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 ________________ 不含直线 斜截式 ________________ 不含垂直于轴的直线 两点式 不含与坐标轴垂直的直线 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 ________________ 平面直角坐标系内的直线都适用 点法式 平面直角坐标系内的直线都适用 5．两直线的交点 设两条直线的方程分别为. 如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，_交点_______的坐标一定是这两个方程的__公共______解;反之，如果将这两条直线的方程联立，若方程组有___唯一______解，那么以这个解为坐标的__点 ________必是直线和直线的交点. 6．（1）两条直线平行 对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，则有________．特别地，当直线，的斜率都不存在时，与___平行_____． （2）两条直线垂直 如果两条直线，斜率都存在，设为，，则________，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线__垂直______． 7．点到直线的距离 （1）平面内点到直线的距离，等于过这个点作直线的__垂线_____所得_____垂线段 ______的长度． （2）点到直线：的距离___________________． 8．两条平行直线之间的距离 （1）两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上__任意一点________到另一条直线的__距离____． （2）两条平行直线：与：之间的距离_____________________． 考点一 坐标轴上的公式 ⚠️概念辨析 核心知识 数轴上两点中点两点距离 平面坐标轴两点中点坐标 方法技巧 数轴运算只看横坐标平面中点坐标横纵坐标分别取平均值 已知中点和一点坐标可以反求另外一点坐标 计算距离注意添加绝对值 1．（24-25高二上·浙江金华·期中）已知点，，若，则（    ） A．1 B．-5 C．1或-5 D．-1或5 2．（24-25高二上·北京房山·期中）在平面直角坐标系xOy中，设点，，则线段AB的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山东德州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，那么线段中点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（2025高二上·黑龙江·学业考试）已知，则线段的中点坐标为__________. 考点二 求直线的倾斜角或斜率 ⚠️概念辨析 核心知识 倾斜角范围 斜率当时斜率不存在 过两点斜率 方法技巧 倾斜角为90°直线垂直x轴无斜率 由倾斜角求斜率要结合正切函数单调性判断正负 给两点坐标求斜率分母不能为0 5．（26-27高二上·北京西城·阶段检测）已知点、，直线的斜率为（     ） A． B． C． D． 6．（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）若向量是直线的一个方向向量，则的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 7．（26-27高二上·重庆合川·阶段检测）（多选）在平面直角坐标系Oxy中，直线的位置如图所示，记的斜率和倾斜角分别为和，其中，2，3，4，则（    ） A． B． C． D． 8．（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）（多选）下列四个命题中，错误的有（    ） A．若直线的倾斜角为，则 B．直线的倾斜角的取值范围为 C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 D．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 考点三 直线方程的概念辨析 ⚠️概念辨析 核心知识 直线方程是直线上所有点的坐标满足的等式 每一种直线方程形式都有适用范围不能盲目套用 方法技巧 做题先判断直线斜率是否存在 选择题辨析抓住方程不能表示的直线排除错误选项 9．（26-27高二上·贵州·阶段检测）（多选）已知，则直线的图形可能是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·江苏扬州·期中）（多选）下列说法正确的有（    ） A．直线的斜率越大，倾斜角越大 B．直线在轴上的截距为 C．直线的斜率为 D．若直线经过第一、二、四象限，则点在第二象限 11．（24-25高二上·江苏扬州·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．如果，，则直线不通过第二象限 B．直线过点，它在轴上的截距是在轴上的截距的倍，则此直线方程为 C．无论取任何实数，直线必过定点 D．的一条内角平分线的方程为，，，则顶点的坐标为 12．（24-25高二上·山西·阶段检测）（多选）下列说法一定正确的是（   ） A．过点的直线方程为 B．直线的倾斜角为 C．若，，则直线不经过第三象限 D．过、两点的直线方程为 考点四 两直线平行垂直求参数 ⚠️概念辨析 核心知识 设 平行：且截距不等注意两直线斜率都不存在的平行情况 垂直：一条斜率为0一条斜率不存在也垂直 一般式 平行：且 垂直： 方法技巧 优先用一般式判定规避斜率不存在漏讨论的坑 求出参数后代回检验排除两直线重合情况 13．（26-27高二上·河南周口·阶段检测）已知两条直线和. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 14．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）分别求满足下列条件的直线方程： (1)过点且与直线垂直的直线方程； (2)过点且与直线平行的直线方程； 15．（26-27高二上·甘肃张掖·阶段检测）已知直线：，：，则下列说法中：①恒过点；②若，则；③若，则或，正确的有________________________．（把正确结论的序号填在横线上） 16．（26-27高二上·甘肃张掖·阶段检测）已知直线：，：，则下列说法中： ①若，则； ②若，则或； ③若不经过第三象限，则． 正确的有________．（把正确结论的序号填在横线上） 考点五 直线的一般方程及辨析 ⚠️概念辨析 核心知识 直线一般式不同时为0 斜率y轴截距 方法技巧 任意直线都能写成一般式 化为一般式便于直接使用平行垂直公式 注意A BC最简整数化习惯让A≥0 17．（26-27高二上·江苏盐城·阶段检测）已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 18．（26-27高二上·江西九江·阶段检测）已知直线的方向向量，且过点，则该直线的方程为（    ） A． B． C． D． 19．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）经过点，斜率是2的直线的一般式方程为___________． 20．（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）已知三角形的三个顶点，，． (1)求边所在直线方程；（写出一般式方程） (2)若点B与C中点为点D，求所在直线方程．（写出一般式方程） 考点六 直线的点斜式方程及辨析 ⚠️概念辨析 核心知识 点斜式过点斜率 只能表示斜率存在的直线 斜截式是点斜式特例b为y轴截距 方法技巧 题目给定点和斜率优先点斜式 若直线垂直x轴不能用点斜式单独写成 21．（安徽蚌埠市、宣城市部分学校2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题）已知是直线上的动点，是直线上的动点，若的中点为，则直线的方程为（     ） A． B． C． D． 22．（26-27高二上·江苏镇江·阶段检测）（多选）下列结论正确的是（      ） A．方程与方程可表示同一直线 B．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 C．直线过点，斜率不存在，则其方程是 D．所有的直线都有点斜式和截距式方程 23．（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）过点且倾斜角为的直线方程为___________. 24．（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）若直线的斜率为，且经过点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 考点七 直线的截距式方程及辨析 ⚠️概念辨析 核心知识 截距式a为x截距b为y截距 限制条件不能过原点不能平行坐标轴 方法技巧 截距不是距离可以是负数 题目提到截距相等要单独讨论截距等于0的情况 25．（26-27高二上·黑龙江绥化·阶段检测）已知直线，若直线在两坐标轴上的截距相等，则实数k的值为___________ 26．（26-27高二上·江苏·阶段检测）已知过点的直线在轴和轴上的截距均为正整数，则满足条件的直线的条数为________． 27．（26-27高二上·全国·课后作业）已知直线过点且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则的方程为__________. 28．（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）已知，，，求（均写出一般式方程）： (1)边上的中线所在的直线方程； (2)过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； 考点八 求直线过定点 ⚠️概念辨析 核心知识 含参数m直线方程整理成 定点满足方程组 方法技巧 分离参数将式子整理成参数乘以式子加不含参数式子等于0 令两个式子分别等于0联立求定点坐标 也可以代入两个特殊参数值求交点即为定点 29．（26-27高二上·吉林长春·阶段检测）已知直线，则直线过定点__________． 30．（26-27高二上·浙江·阶段检测）直线经过的定点为（    ） A． B． C． D． 31．（26-27高二上·河北·阶段检测）方程所表示的直线恒过的定点坐标为_________． 32．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）直线所过定点为______ 考点九 求直线的交点坐标 ⚠️概念辨析 核心知识 两条直线交点坐标联立两个直线方程构成二元一次方程组 方程组有唯一解两直线相交 无解两直线平行 无数组解两直线重合 方法技巧 联立方程组用代入消元或加减消元求解 求解完成可以代回原式检验 33．（26-27高二上·上海松江·阶段检测）经过两直线与的交点，且与直线垂直的直线一般式方程为______ 34．（26-27高二上·山东淄博·阶段检测）已知三条直线：，：，：相交于一点，则________． 35．（26-27高二上·江西宜春·阶段检测）若直线与的交点在第四象限，则的取值范围为 （   ） A． B． C． D． 36．（26-27高二上·四川眉山·阶段检测）求经过直线和的交点，且平行于直线的直线为_______. 考点十 求两点之间的距离 ⚠️概念辨析 核心知识 两点 方法技巧 横坐标之差平方加上纵坐标之差平方再开根号 坐标代入注意符号 37．（26-27高二上·陕西榆林·阶段检测）已知三点，则的形状是（   ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 38．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）已知点关于点的对称点为，则线段的长度为________. 39．（26-27高二上·福建三明·阶段检测）已知平行四边形的三个顶点为，，. (1)求点的坐标； (2)判断平行四边形是否为正方形. 40．（26-27高二上·全国·课后作业）已知点，．点在轴上，且，求的面积． 考点十一 求点到直线的距离 ⚠️概念辨析 核心知识 点直线 方法技巧 直线必须先写成一般式 分子一定要带绝对值分母根号内是A平方加B平方 41．（22-23高二上·四川成都·期中）过点引直线，使到它的距离相等，则此直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 42．（26-27高二上·辽宁本溪·阶段检测）直线l经过点，且原点O到l的距离为1，满足该条件的一条直线的方程可以是___________． 43．（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）已知点到直线的距离为，则_______． 44．（专题34 两条直线的位置关系-1）直线l过点，且到l的距离相等，则直线l的方程是（ ） A． B． C．或 D．或 考点十二 求平行线之间的距离 ⚠️概念辨析 核心知识 两平行直线 方法技巧 两条直线x y的系数必须化成完全相同才可以套用公式 也可以在一条直线上任取一点求该点到另一条直线距离 45．（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）已知直线，，若，则两条平行直线之间的距离为________________________ 46．（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）已知直线：与：，若与互相平行，则它们之间的距离是（     ） A． B．1 C． D． 47．（26-27高二上·山东泰安·阶段检测）与直线平行且距离为的直线方程是__________. 48．（26-27高二上·江西九江·阶段检测）（多选）已知直线：，：（，），若与之间的距离为2，则的值可以取（    ） A． B． C． D． 考点十三 求点关于直线的对称点 ⚠️概念辨析 核心知识 点与对称点连线垂直对称轴直线 和中点落在对称轴直线上 方法技巧 设对称点坐标 列两个方程①两点连线斜率与对称轴斜率乘积=-1②中点代入直线方程 联立方程组求解 49．（26-27高二上·辽宁本溪·阶段检测）已知的顶点的平分线所在直线的方程为边上的中线所在直线的方程为． (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求直线的方程． 50．（26-27高二上·江西·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知的顶点，，． (1)求直线方程； (2)求垂心关于直线的对称点坐标． 51．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）点关于直线对称的点的坐标为__________． 52．（24-25高二上·江西萍乡·期末）已知点在直线上运动，点，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 考点十四 直线关于直线的对称问题 ⚠️概念辨析 方法技巧 方法一在原直线取两个点分别求关于对称轴的对称点两点确定对称直线 方法二求已知直线和对称轴交点再找原直线上一点的对称点两点求直线 53．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知直线：，：，若与关于直线对称，则（    ） A．， B．， C．， D．， 54．（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）在平面直角坐标系中，若直线l与直线关于直线对称，则直线l的方程为______. 55．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 56．（2026·新疆·一模）在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（   ） A．3 B．3 C．3 D．3 题型一 直线与线段相交求斜率范围 典例1 （26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知直线过点且和以，为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 核心知识 定点与线段两端点连线的斜率为临界值 倾斜角变化和斜率变化不是线性关系倾斜角跨过90°斜率突变 方法技巧 先算出定点到线段两个端点的斜率 画图判断直线旋转过程区分斜率可以取中间或者两边区间 不要漏掉斜率不存在的临界情况 迁移应用 1．（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）过点的直线与线段AB相交，，，则直线斜率取值范围（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知点、、，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二 直线与坐标轴相交的面积最值问题 典例1 （26-27高二上·江苏常州·阶段检测）已知直线：. (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程. 💡破题要诀 核心知识 截距式直线方程坐标轴围成直角三角形面积a b为横纵截距 均值不等式求最值 方法技巧 设截距式或者点斜式写出直线方程 用变量表达横纵截距写出面积表达式 利用基本不等式或者二次函数求最值 注意截距正负带来绝对值处理 迁移应用 1．（26-27高二上·湖北武汉·阶段检测）已知直线的方程为． (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过（1）中的点引直线交坐标轴正半轴于，两点， ①求面积的最小值及面积取得最小值时的直线的方程； ②求的最小值及此时直线的方程． 2．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）已知为坐标原点，过点的直线分别与，轴的正半轴交于，两点，则当的面积取得最小值时，直线的方程为（     ） A． B． C． D． 题型三 定点到动直线的距离最值问题 典例1 （26-27高二上·江西九江·阶段检测）已知直线：，则点到直线的距离的最大值为________． 💡破题要诀 核心知识 点到直线距离公式圆的几何性质 定点到动直线距离最大值为定点到直线所过定点的线段长度 方法技巧 先求出动直线恒过的定点 设外部定点距离当直线垂直距离取最大值 最小值看定点是否在动直线上在则最小距离为0 迁移应用 1．（26-27高二上·天津静海·阶段检测）已知直线的方程为． (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)为何值时，点到直线的距离最大，并求最大值． (3)过点的直线交坐标轴正半轴于，两点，当面积最小时，求的周长． 2．（26-27高二上·天津河西·阶段检测）（1）已知实数x，y满足，求的最小值． （2）已知经过点的直线l与直线垂直，若点到直线l的距离等于，求直线l的一般式方程． （3）当点到直线（）距离取得最大值时，求直线l的一般式方程． 题型四 两直线的夹角公式 典例1 （25-26高二上·浙江杭州·期中）直线和的夹角的余弦值为________． 💡破题要诀 核心知识 设两直线斜率夹角 方法技巧 夹角永远取0到90°公式带绝对值 一条直线斜率不存在时需要单独画图计算夹角 迁移应用 1．（2026高三·全国·专题练习）已知直线过点，且与直线的夹角为45°，则直线的方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）直线与直线的夹角为___________． 题型五 与角平分线中线高线相关的直线方程问题 典例1 （26-27高二上·四川成都·阶段检测）已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在直线方程为． (1)直线经过点，点到的距离为，求直线的一般方程； (2)求的面积． 💡破题要诀 核心知识 中线：顶点到对边中点连线 高线：过顶点垂直对边 角平分线：角两边到角平分线夹角相等角平分线上点到两边距离相等 方法技巧 中线：先求中点坐标两点式写直线 高线：利用垂直求斜率结合定点写方程 角平分线：距离公式列方程舍去增根 迁移应用 1．（26-27高二上·天津南开·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)求直线的方程． (3)求的面积． 2．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）在中，的平分线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，已知点坐标为. (1)求点的坐标； (2)求直线的方程. 题型六 由两点之间的距离公式求函数的最值 典例1 （26-27高二上·天津静海·阶段检测）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．对于任意，不等式恒成立，则最大值为__________． 💡破题要诀 核心知识 的几何含义为平面两点距离 代数函数转化为动点到定点距离问题 方法技巧 把根式式子整理成两点距离形式 将变量看作动点坐标固定点看作定点 利用几何图形求距离最值 迁移应用 1．（25-26高二上·广东湛江·期中）著名数学家华罗庚曾说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得函数的最小值为（    ） A． B． C．7 D． 2．（26-27高二上·新疆喀什·阶段检测）著名数学家华罗庚曾说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，解决下述问题：已知．则的最小值为_______ 题型七 与距离有关的新定义 典例1 （25-26高二上·青海·阶段检测）十九世纪数学家赫尔曼⋅闵可夫斯基给出了两点，的曼哈顿距离为.已知点，是直线上的动点，若，则点的运动轨迹的长度为__________. 💡破题要诀 核心知识 读懂题目自定义距离规则结合点到直线距离两点距离运算 方法技巧 严格按照题干定义不要套用课本距离公式 转化为坐标运算分类讨论满足条件的点 迁移应用 1．（25-26高二上·山东烟台·期中）在平面直角坐标系中，定义：为，两点之间的“折线距离”.已知点，点为圆上一动点，若点满足，则点的轨迹所围成的图形的面积为__________，的最大值为__________. 2．（24-25高二下·吉林·开学考试）（多选）“曼哈顿距离”是由赫尔曼•闵可夫斯基首先提出的，是一种使用在几何度量空间的几何学用语.在平面直角坐标系中，是坐标原点，定义点与点的曼哈顿距离为.若点，点，直线和的方程分别是和，则下列叙述正确的是（    ） A． B．点与直线上任意一点的曼哈顿距离最小值为2 C．若动点满足，则的轨迹围成图形的面积是32 D．若动点与直线上任意一点的曼哈顿距离最小值等于，则的轨迹与直线围成的封闭图形面积是2 题型八 光线的反射问题 典例1 （安徽蚌埠市、宣城市部分学校2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题）如图，在等腰直角三角形中，，是边上异于、的点，光线从点出发，经、反射后又回到点，若，则_________． 💡破题要诀 核心知识 光线反射等价于点关于镜面直线对称 入射光线经过原点反射光线经过对称点 方法技巧 把镜面当作对称轴求光源点的对称点 连接对称点和反射光线经过的点得到反射光线方程 迁移应用 1．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（     ）    A．10 B． C． D．8 2．（26-27高二上·贵州·阶段检测）已知直线恒过点． (1)求点的坐标． (2)已知坐标原点到的距离为． ①求的斜率； ②若的倾斜角小于，一条光线从点射出，经反射后，射到轴上，再经轴反射后，最后回到点，求该光线经过的路程长度． 题型九 将军饮马最值问题 典例1 （26-27高三上·浙江·开学考试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为．则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B． C． D． 💡破题要诀 核心知识 两定点在直线同侧作其中一点关于直线对称点 两点之间线段最短 方法技巧 判断两点在直线同侧还是异侧 同侧：做对称点连接对称点与另一个定点线段长就是最短距离 异侧：两点直接连线与直线交点即为取最值位置 迁移应用 1．（25-26高二上·贵州遵义·期末）唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军出发点是，军营所在位置为，河岸所在直线方程为：，则将军从出发点到河边饮马，再回到军营的总路程最短为____________． 2．（25-26高二下·上海·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为_______. 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26高二上·江苏盐城·期中）若，则为_______. 2．（26-27高二上·四川·期中）在平面直角坐标系中，过点和点的直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（26-27高二上·天津·期中）直线过点，且横截距a，纵截距b满足，则的方程为______． 5．（25-26高二下·贵州·期中）直线的一个法向量为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·福建三明·期中）已知的三个顶点分别是，，，则边上的中线所在的直线方程为______. 7．（25-26高二上·山东临沂·期中）（多选）对于直线，下列说法中正确的是（   ） A．的倾斜角可以为 B．时，不经过第二象限 C．的一个方向向量为时， D．直线恒过定点 8．（25-26高二上·四川成都·期中）已知，，直线上存在点P，满足，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·四川绵阳·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．直线可以表示过点的所有直线 B．直线过定点 C．平面直角坐标系内的所有直线都能用一般式方程表示 D．经过点且斜率为的直线l的方程为 10．（25-26高二上·四川达州·期中）已知顶点、、． (1)求边所在的直线的方程； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程． 11．（25-26高二上·江苏扬州·期中）（多选）已知直线：，：，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则直线不经过第一象限 D．若，则直线与坐标轴围成的三角形面积为 12．（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）（多选）已知直线，则（ ） A．过点与直线平行的直线方程为 B．过点与直线平行的直线方程为 C．与直线关于原点对称的直线方程为 D．与直线关于原点对称的直线方程为 13．（26-27高二上·河北保定·期中）已知直线：与直线：平行． (1)求的值； (2)若直线到的距离与到的距离相等，求直线的方程． 14．（25-26高二上·广东湛江·期中）已知直线过定点，直线的方程是． (1)若直线的横截距为纵截距的3倍，求直线的方程． (2)若直线与轴正半轴分别交于两点，过分别作直线垂线，垂足分别是．求四边形面积的最小值． 15．（25-26高二上·山东淄博·期中）点到直线为任意实数）的距离的最大值是______. 综合进阶练（限时：15分钟） 16．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知直线：. (1)求直线所过的定点A的坐标； (2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围； (3)已知，若点P到直线的距离为d，求d最大时直线的一般式方程. 17．（25-26高二上·浙江杭州·期中），过定点的动直线和过定点的动直线交于点（与不重合，为坐标原点），则以下结论：（1）为定值；（2）的面积的最大值为；（3）的最大值为5；（4）的最大值为.其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．（24-25高二上·吉林长春·期中）如图，在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高二上·江苏无锡·期中）在平面直角坐标系中，已知两直线：和：，定点. (1)若与相交于点，求直线的方程； (2)若恰好是的角平分线所在的直线，是中线所在的直线，求的边所在直线的方程. 20．（24-25高二上·河南南阳·期中）（多选）已知，直线：过定点A，：过定点B，与交于点M，则下列结论正确的是（   ） A． B．点M在上 C．的最大值是25 D．的最大值为 21．（25-26高一上·浙江杭州·期中）关于的方程在上有实数解，其中为实数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高二上·山东烟台·期中）在平面直角坐标系中，定义：为，两点之间的“折线距离”.已知点，点为圆上一动点，若点满足，则点的轨迹所围成的图形的面积为__________，的最大值为__________. 23．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知，则的最大值是___________. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $