专题08 直线与圆锥曲线的位置关系（期中复习讲义）（知识必备+11大核心题型+分层验收）高二数学上学期人教B版

专题08 直线与圆锥曲线的位置关系（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 直线与圆锥曲线位置关系的判定 掌握直线与圆锥曲线位置关系的判定方法——根的判别式法 基础必考点，常出现在小题 弦长问题 掌握弦长公式，会利用弦长公式解决求弦长及三角形面积等问题 高频考点，常与其他知识点综合，涉及各种题型 中点弦问题 学会解决中点弦相关问题，如对称问题，由弦的斜率求中点坐标，由中点坐标求弦的斜率等. 高频考点，涉及各种 题型 定点与定值问题 抛物线的焦点，准线，抛物线的焦半径 高频考点，一般为解答题 最值与参数取值范围问题 抛物线焦点弦的性质 高频考点，一般为解答题 知识点01 直线与圆锥曲线位置关系的判定 1．直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法： 联立消y得一元二次方程． 当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切； 当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离． 2．把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式． (1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点． (2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点． (3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点． 当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点． 3、设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0. (1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点． (2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． 知识点02 弦长公式 设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝或|AB|＝|y1－y2| ＝，k为直线斜率且k≠0. ·易错点：注意弦长公式成立的条件，在|AB|＝|x1－x2|中斜率必须存在； 在|AB|＝|中斜率存在且不为0. 知识点03圆锥曲线的切线、切点弦问题 1.圆锥曲线的切线方程 (1)过椭圆的切线方程为：； (2) 过双曲线的切线方程为：； (3)过. 2.圆锥曲线的切点弦方程 (1)已知为圆外的一点，则两切点弦所在的直线方程是：. (2)椭圆的切点弦方程为； (3)双曲线的切点弦方程为； (4)的切点弦方程为. 【巧妙记忆】 上述公式的记忆方法均可用“抄一代一”，即把平方项其中一个照抄，另一个将变量用已知点的相应坐标代入(从曲线上一点作曲线的切线，切线方程可将原方程作如下方法替换求出， ，，，. 知识点04 点差法 设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ； 将两式相减，可得；； 最后整理得： 同理，双曲线用点差法，式子可以整理成： 设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得；； 将两式相减，可得；整理得： ·易错点：当时不能用点差法. 题型一 直线与圆锥曲线位置关系的判定 解｜题｜技｜巧 (1)直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离；相交有两个交点(特殊情况除外)，相切有一个交点，相离无交点． (2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0代入圆锥曲线C的方程．消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． ①当a≠0时，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有Δ＞0时，直线l与曲线C相交；Δ＝0时，直线l与曲线C相切；Δ＜0时，直线l与曲线C相离． ②当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合． 【典例1-1】（24-25高二上·江西·期末）直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【详解】因为直线过点， 而为椭圆的右端点和上端点， 故直线与椭圆相交. 故选：C. 【典例1-2】点，定义，如图为双曲线及渐近线，则关于点、、，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设点、、，则双曲线的两条渐近线方程为， 点在直线的上方，则，则，即 点在直线的上方，则，则， 所以，， 点在双曲线的外部，则， 在直线的上方，则，可得， 点在直线的下方，则，可得， 所以，，即； 因为点在双曲线的内部，则. 综上所述，. 故选：D. 【变式1-1】（多选）（24-25高三上·甘肃武威·期末）已知双曲线的两个焦点为，，点在双曲线上，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的离心率为 C．直线与双曲线只有一个公共点 D．直线与双曲线的左支和右支各有一个交点 【答案】AC 【详解】由题意，可知两个焦点，，双曲线上一点， 则，，， 则，则，故A正确，B不正确； 因为双曲线C中，，则， 则双曲线C的渐近线方程为， 所以直线与双曲线C的渐近线平行， 则直线与双曲线C只有一个公共点，故C正确； 因为直线与轴交点在双曲线右顶点右侧， 且其斜率大于渐近线斜率， 所以直线与双曲线C的右支有两个交点，故D不正确． 故选：AC. 【变式1-2】（多选）（24-25高二上·山西太原·期末）已知直线l：，抛物线C：，则下列结论正确的是（   ） A．直线l过定点 B．当时，直线l与抛物线C相切 C．当时，直线l与抛物线C有两个公共点 D．当直线l与抛物线C无公共点时，或 【答案】BD 【详解】选项A，因为，因此不是直线所过定点，A错； 选项B，时，直线方程为，代入抛物线方程得，解得，从而， 又直线与抛物线的对称轴不平行，所以直线与抛物线相切，切点为，B正确； 选项C，时，直线方程为，它与抛物线的对称轴平行，直线与抛物线只有一个公共点，C错； 选项D，由得，， 由，得或，D正确． 故选：BD． 题型二 弦长问题 解｜题｜技｜巧 求弦长的方法: 1.交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． 2.根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：|AB|＝·＝ ·. 3.焦点弦长,利用焦半径公式求解,如：设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p. 【典例2】（25-26高三上·江苏·阶段练习）已知双曲线的离心率为，且过点. (1)求的方程； (2)直线过且交于两点，若弦的长度为的实轴长的两倍，求的方程. 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）由离心率和所过点求出，写出方程； （2）若直线斜率不存在，验证；若直线斜率存在，设为，联立-消元-韦达定理，利用弦长公式求. 【详解】（1）因为双曲线过，离心率为，所以， 解得，所以双曲线的方程为. （2）由（1）知双曲线的实轴长为2，当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立，得，， 设，则， 所以，解得， 由直线与双曲线渐近线的位置关系可得此时直线与双曲线有两个交点； 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，符合题意. 综上所述，直线的方程为或或. 【变式2】倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于，两点. (1)求抛物线的准线方程及焦点坐标； (2)求弦长. 【详解】（1）由题意抛物线可知，则抛物线准线方程为，焦点; （2）过焦点且倾斜角为的直线的方程为， 联立可得， 设，则, 故. 题型三 中点弦问题 解｜题｜技｜巧 解决圆锥曲线中点弦问题的两种方法 (1)根与系数关系法：联立直线方程和圆锥曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； (2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入圆锥曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系. (3)椭圆、双曲线中点弦的斜率公式： ①已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则kAB＝－.　　 ②设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有kAB＝. 【典例3】（24-25高二上·广东惠州·期中） 已知双曲线，过点作直线l. (1)若直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？ (2)若直线l的斜率k存在，且l与双曲线左右两支都相交，求直线l斜率k的取值范围. 【答案】(1)不能，理由见解析 (2) 【分析】（1）首先由点差法求出直线方程，然后联立直线方程与双曲线方程，判断判别式是否大于0即可； （2）联立直线与双曲线方程，根据题意列出的不等式即可求解. 【详解】（1）当直线l垂直x轴时，因为过点，所以直线l方程为， 又双曲线，右顶点为在直线l上， 所以直线l与双曲线只有一个交点，不满足题意； 当直线l不垂直x轴时，斜率存在，设，且， 因为A、B在双曲线上， 所以，两式相减可得， 所以， 若点为线段的中点，则，即，代入上式， 所以，则直线l的斜率，                所以直线l的方程为，即，     验证:将直线l与双曲线联立，可得， ，故方程无解所以不存在这样的直线l， 综上，点P不能是线段AB的中点. （2）设直线l的方程为:， 将其代入双曲线方程得， 依题意有，解得. 【变式训练3】（25-26高三上·陕西西安·开学考试）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点． (1)求抛物线的方程； (2)当点为弦的中点时，求直线的方程； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由抛物线的焦点求得，即得抛物线的方程； （2）设的方程为，与抛物线C联立方程组，利用根与系数的关系结合中点，求得，即可求解直线的方程． （3）由抛物线定义可知根据题意得到，结合根与系数的关系代入即可求解. 【详解】（1）∵抛物线的焦点为，∴，即. ∴抛物线的方程为. （2）设，显然直线斜率存在. 设的方程为， 联立方程，消去，整理得，， 因为点是的中点，由，解得. 所以直线AB的方程为．即． （3）由抛物线定义可知 所以， 由（2）知， ∴， 所以 所以当时，取得最小值为． 题型四 切线与切点弦问题 解｜题｜技｜巧 1.求圆锥曲线的切线方程 方法有:(1)判别式法.即设出切线的斜率k，联立直线与二次曲线的方程，消元转化为一元二次方程，通过△=0求出k,从而得切线方程，对于切线的斜率不存在的情形，则一般画图观察求解，此法为通法. (2)切线公式法.常见的切线公式有：①过圆上的点的切线方程为+②椭圆、双曲线与抛物线的切线方程（见知识预备） (3)几何性质法.对于圆而言，常利用圆的几何性质“圆心到切线的距离等于圆的半径(即d=r)”来速求其切线方程. 2.双切线（切点弦）问题求解策略 过圆锥曲线外一点，作圆锥曲线的两条切线，由此衍生的一系列问题，一般称之为双切线问题。这类问题一般的处理步骤是： (1)设切线的斜率为，写出切线的方程； (2)将切线的方程代入圆锥曲线方程，化简得出关键方程； (3)由方程满足判别式，建立关于的一元二次方程，两切线的斜率为方程的两根； (4)结合韦达定理，计算等，并将之用于其他量的计算。 【典例4】（2025·湖南长沙质检）过抛物线外一点作抛物线的两条切线，切点分别为，另一直线与抛物线交于点，与直线交于点，求证： (1)点处的切线与直线平行； (2). 【分析】（1）根据顶点在原点，开口向上的抛物线在点处的切线方程公式，得到抛物线在点处的切线方程，并得到抛物线在处和在处的切线方程，将代入得直线方程，对比两直线斜率即可求证. （2）联立抛物线方程和直线方程，根据韦达定理求得中点的横坐标，与点横坐标一致，即可得证. 【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系，由题意可得， 对于抛物线，，， 该抛物线在点处的切线方程为，即， 则抛物线在点处的切线方程为，即， 所以抛物线在点处的切线斜率为4， 设，，则，， 即，， 将点坐标代入直线的方程得，得， 所以直线的斜率为4， 即抛物线在点处的切线斜率和直线的斜率均为4， 故点处的切线与直线平行. （2）联立，得， 设，，根据韦达定理有， 则中点的横坐标为， 又因为点在线段上且， 所以点即线段的中点，. 【变式4】（24-25高二下·江西南昌·期末）已知曲线和曲线. (1)若曲线上两个不同点A、B的横坐标分别为，求证：直线的方程：； (2)若直线与曲线相切，求证：； (3)若曲线上任意点向曲线引两条切线交于另两点为，求证：直线与曲线相切. 【详解】（1）设，，因为A，B在曲线上，所以有： ，易知， 所以直线AB的斜率. 根据点斜式方程，直线AB过点，则直线AB的方程为. 将代入上式得：， 展开可得：, 化简得， 即，得证. （2）将直线：代入曲线，可得：， 展开并整理得：. 因为直线l与曲线相切，所以此一元二次方程的判别式. 则 展开得：， 化简可得，得证. （3）设P，Q，R三点横坐标分别为，，， 结合（1）可知直线PQ的方程：， 直线PQ与曲线相切，再结合（2）中得：. 整理得： 再整理：. 同理可得， 所以直线既过点又过点 即直线QR的方程：. 再次结合（2）可推算： , 所以，直线QR与曲线相切. 题型五 面积问题 解｜题｜技｜巧 1.对于三角形的面积问题，常利用以下策略求解： (1)利用弦长公式求出三角形的某条底，再由点到直线的距离公式求高. (2)以三角形被坐标轴所截得的线段为底，则高为|x1-x2|或|y1-y2| 2.对于四边形的面积，则常分割成三角形的面积求解. 3．多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化 4.面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。这样可以使函数解析式较为简单，便于分析. 【典例5】（25-26高三上·广东潮州·开学考试）已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为． (1)求椭圆的方程； (2)设过点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点，分别求的周长和面积． 【答案】(1) (2)周长为8，面积为 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出，，从而得到，得到椭圆方程； （2）根据椭圆的定义求出三角形的周长，得到，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，求出，结合点到直线距离公式得到三角形面积. 【详解】（1）由题意可知：，则， ， ， 椭圆 （2）根据椭圆的定义，的周长为； 其中，直线的斜率为， 直线， 联立方程组得，显然， 设，则， ， 点到直线的距离， . 【变式5-1】已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，点P在C上，的内心为I.若，，的面积满足，则C的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，设圆I的半径为r，由，得， 化简可得，即，得，即C的渐近线方程为. 故选：C. 【变式5-2】已知顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点． (1)求抛物线的标准方程及其准线方程； (2)过点作直线交抛物线于另一个交点（在第四象限），设直线的斜率分别为，若，求的面积． 【详解】（1）根据题意，当抛物线开口向右时，设抛物线方程为， 将点代入方程可得，解得， 此时抛物线的标准方程为，准线方程为； 当抛物线开口向上时，设其方程为， 将点代入方程可得，解得， 此时抛物线的标准方程为，准线方程为. 综上，抛物线的标准方程为，准线方程为或，准线方程为. （2）根据题意，因为点在第四象限，所以抛物线的标准方程为，准线方程为. 画出图象为： 由题意可知存在，，因为，所以. 设点，所以，解得（舍去）或. 直线的方程为，即. 所以点的坐标为. 所以的面积为. 题型六 最值或范围问题 解｜题｜技｜巧 求圆锥曲线中最值、范围问题的方法 (1)定义法：利用定义转化为几何问题处理． (2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解． (3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意范围. 【典例6】若椭圆的左、右焦点分别为、，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中不正确的是（    ） A．当点P不在x轴上时，的周长是6 B．当点P不在x轴上时，面积的最大值为 C．存在点P，使 D．的取值范围是 【答案】C 【详解】由椭圆方程可知，，从而． 对于选项A；根据椭圆定义，，又，所以的周长是 ，故选项A正确； 对于选项B：设点，因为，则． 因为，则面积的最大值为，故选项B正确； 对于选项C：由椭圆性质可知，当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大． 此时，，又， 则为正三角形，， 所以不存在点，使，故选项C错误； 对于选项D：由椭圆的性质可知，当点为椭圆的右顶点时，取最大值，此时； 当点为椭圆的左顶点时，取最小值，此时，所以，故选项D正确． 故选：C. 【变式6-1】已知F是抛物线的焦点，A，B是抛物线C上不同的两点，且满足，设A，B到抛物线C的准线的距离分别为，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由抛物线的定义知，，，， 所以在中，由余弦定理得， 所以， 又因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以，故， 所以的最大值为 故选：A 【变式6-2】已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为椭圆上一动点，面积的最大值为2．    (1)求椭圆的方程； (2)若分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足：，连接交椭圆于点为坐标原点，证明：为定值. (3)若点为圆上的动点，点，求的最小值． 【详解】（1）由题意离心率为椭圆上一动点，面积的最大值为2． 所以， 又，所以解得，所以椭圆的方程为. （2）由（1）椭圆的方程为.    由题意，因为，所以设， 则直线的方程为，将其与椭圆方程联立得， 消去并整理得，，当时，， 所以解得，即， 所以， 所以. （3）    设交圆于点，由三角形三边关系得等号成立，当且仅当三点共线，即点重合时， 由椭圆定义有， 所以， 等号成立当且仅当点重合时，且点重合，其中点是与椭圆的交点， 综上所述，的最小值为. 题型七 圆锥曲线中的向量问题 解｜题｜技｜巧 圆锥曲线中的向量问题求解策略: (1)建系转化：设圆锥曲线标准方程，将点坐标化，向量用坐标表示，转化为代数问题. (2)利用性质：结合圆锥曲线定义（如椭圆定义）、焦点弦等性质，简化向量关系。 (3)韦达定理：联立直线与曲线方程，用韦达定理处理向量数量积、共线等条件。 (4)参数法：设参数（如椭圆参数方程），将向量关系转化为三角函数式求解。 (5)几何意义：借助向量几何意义（如垂直、中点），结合圆锥曲线几何性质解题。 【典例7】（2025·全国·模拟预测）已知是双曲线上一动点，为坐标原点.设双曲线在点处的切线和两条渐近线的交点分别为. (1)设到两条渐近线的距离分别为，求的值； (2)证明：； (3)求的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）设，再借助点到直线距离公式计算即可得； （2）先推导过双曲线上的一点的切线方程，将其与两条渐近线方程联立计算可得、两点坐标，推理得到点为中点，即可证得； （3）借助向量数量积坐标公式计算即可. 【详解】（1）设，则有，即， 双曲线的两条渐近线的方程为，则， 故； （2）设，先证明：双曲线在处的切线方程为. 证明：由两边对求导：，即， 于是过点的切线斜率为：，则切线方程为：（*）， 因在双曲线上，则有， 故（*）可化成：，即得证. 记, 将代入，解得，， 将代入，解得， 则有， ， 即点为中点，故； （3）设，则， 又， 故. 【变式7-1】已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合． (1)求抛物线的方程； (2)如图，若过点的直线与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，证明：． 【详解】（1）设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为， ，又，，该椭圆的右焦点为， 又抛物线的焦点为，所以，解得， 故抛物线的方程为． （2）直线过点且与抛物线交于不同的两点，故直线的 斜率不为， 设直线的方程为， 联立，得，即， 方程的判别式， 设，，则，， 由根与系数的关系得， 因为，， 所以， . 【变式7-2】已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为4． (1)求椭圆的标准方程： (2)记椭圆的左顶点为，右顶点为，过点作不垂直于坐标轴的直线交椭圆于另一点，过点作的垂线，垂足为，且，求直线的方程． 【详解】（1）由题意：，所以，又因为，所以，， 即椭圆的方程：． （2） 由题意，设直线的方程为，设点坐标为， 由，可得， 由韦达定理得：，所以， 代入直线方程可得：． 过点与垂直的直线方程为， 由，设交点坐标为，可得，， 因为，所以 法一：， 所以，解得， 所以直线的方程：或． 法二：， 所以，解得， 所以直线的方程：或． 题型八 定点问题 解｜题｜技｜巧 直线过定点问题的常见解法 (1)用参数表示出直线的方程，根据直线方程的特征确定定点的位置． (2)从特殊点入手，先确定定点，再证明该定点符合题目条件． 提醒：求出直线方程是判断直线是否过定点的前提和关键． 【典例8】（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若（不在直线上），证明：直线过定点. 【答案】(1) (2). (3)证明见解析 【分析】（1）利用离心率公式和双曲线的关系得到双曲线方程； （2）根据点差法结合线段中点坐标解得直线的斜率，从而解得答案； （3）设直线的方程为，联立方程组消元得到通过韦达定理有，，结合，化简得，解得或，当和时，分别分析直线的方程，进而求得定点； 【详解】（1）因为，， 所以，故的标准方程为· （2） 设，，根据题意易得. 因为是上的两点，所以 两式相减得，即 因为， 所以 所以直线的方程为 经检验，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为. （3）证明：依题意可设直线的方程为. 由，得 则，， ，由（2）知， 因为，所以 即 即 即，得，解得或. 当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去； 当时，直线，满足，则直线过定点 故直线过定点 【变式8】（25-26高二上·广西南宁·阶段练习）已知椭圆，，分别是左、右焦点，是椭圆上一点，的最大值为3，当为椭圆上顶点时，为等边三角形． (1)求椭圆的标准方程； (2)设，分别是椭圆的左、右顶点，若直线与交于点，，且．证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设，，，表示出，故最大值为，又，从而得到，求出，得到椭圆方程； （2）法一：设，直线的方程为，直线的方程为，分别联立椭圆方程，求出的坐标，得到直线的方程为，所以直线过定点； 法二：设，求出，所以，设直线的方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由得到，由得到方程，求出，所以直线过定点. 【详解】（1）设，则，，， 则， 故当时，取得最大值，最大值为， 又为椭圆上顶点时，为等边三角形，故， 联立，解得， 因为，所以椭圆的标准方程为． （2）法一：由（1）可知， 设直线的斜率为，则直线的斜率为，设， 则直线的方程为，直线的方程为， 联立，化简得， 因为，所以，即， 联立，化简得， 因为，所以，即， 则， 所以直线的方程为， 整理得， 所以直线过定点． 题型九 定值问题 解｜题｜技｜巧 圆锥曲线中的定值问题的常见解法 (1)从特殊值入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 【典例9】（2025·福建三明·模拟预测）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，离心率为，的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)直线（存在且不等于0）与椭圆交于，两点，直线与轴交于点，直线与直线交于点，判断是否为定值并证明． 【分析】（1）根据椭圆几何性质以及面积列方程组计算可得椭圆方程； （2）设，由，关于原点对称得，联立得，然后求出，，利用两点斜率公式并化简得为定值，即可得解. 【详解】（1）由题意，解得， 故椭圆的方程为； （2）设，由对称性可知，，两点关于原点对称，即， 由（1）可知，， 联立，得，所以， 直线的斜率存在，其方程为：， 令得，即， 直线的斜率存在，其方程为：， 令得，即， 所以 ， 所以为定值. 【变式9】（25-26高三上·广东湛江·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)若直线与曲线交于，两点，与曲线的两条渐近线分别交于，两点，证明：“，为线段的三等分点”的充要条件是“，两点的横坐标之积为”. 【详解】（1）因为，所以轨迹是以，分别为左、右焦点的双曲线. 设的方程为. 由，可得，所以， 所以的方程为. （2）证明：设，，，的坐标分别为，，，. 由消去得. 因为直线与双曲线相交，所以，化简得， 所以，. 由消去得， 所以，， 所以，则与的中点重合， 所以，为线段的三等分点等价于. 又， 同理可得， 所以，即，所以， 显然当时，. 故“，为线段的三等分点”的充要条件是“，两点的横坐标之积为”. 题型十 定直线问题 解｜题｜技｜巧 圆锥曲线中的定直线问题求解策略 ⑴特殊探路：取特殊点（如顶点、焦点）或特殊位置直线，求出可能定直线，再验证一般性. ⑵参数表达：设含参数的直线 / 曲线方程，联立后利用韦达定理，消参推导直线方程，确定定直线. ⑶性质关联：结合圆锥曲线性质（如椭圆中点弦、抛物线焦点弦），利用向量、斜率关系推导定直线. ⑷极点极线：若问题涉极点与极线，可通过极线方程判定是否为定直线，简化运算. 【典例10】 (25-26高二上·全国·单元测试）已知定点，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程． (2)设过点且与轴不重合的直线交曲线于E，F两点． ①过点作与直线垂直的直线交曲线于G，H两点，求四边形EGFH面积的最大值； ②设曲线与轴交于P，Q两点，直线PE与直线QF相交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2)①7 ；②证明见解析 【分析】（1）根据两点间距离公式列方程，化简可得结论． （2）①根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式可计算｜EF｜，｜GH｜，即可根据面积公式得表达式，结合基本不等式即可求解最值．②联立直线与圆的方程得根与系数的关系，由圆的方程得P，Q的坐标，即可根据点斜式求解直线PE，QF的方程，联立两直线方程即可求解定直线，从而得证． 【详解】（1）设动点的坐标为，因为，且， 所以， 整理得，即， 所以动点的轨迹的方程为． （2）①如图，因为直线不与轴重合，所以设直线的方程为， 即，则直线GH的方程为． 由（1）知轨迹为圆，圆的半径为， 设圆的圆心到直线和直线GH的距离分别为， 则， 所以， 所以． 当时，； 当时，， 当且仅当时等号成立． 综上所述，四边形EGFH面积的最大值为7． ②设，联立得， 则． 因为曲线与轴交于P，Q两点，所以不妨取（如图）， 则直线PE的方程为， 直线QF的方程为． 联立两直线方程得， 所以在定直线上，得证． 【变式10】已知抛物线，过点的直线与交于两点，设为坐标原点，当轴时，的周长为. (1)求抛物线的焦点坐标； (2)若点为抛物线上异于原点的一动点，且直线与直线的交点恒在定直线上.证明：过点与抛物线相切的直线平行于直线. 【详解】（1）当时，， 不妨取， 则，， 由的周长为得， ，解得， 故抛物线的焦点坐标为. （2）由（1）可知，抛物线， 设直线的方程为， 则直线与直线交于点， 所以的方程为， 联立，解得，则， 所以， 易知过点与抛物线相切的直线的斜率存在，设其方程为， 代入得，整理得， 则， 整理得， 则，所以， 故过点与抛物线相切的直线的斜率为，又的斜率为， 故过点与抛物线的相切的直线平行于直线. 题型十一 探索性问题 解｜题｜技｜巧 圆锥曲线中探索性问题的常见解法: ⑴假设存在法：先假设满足条件的点、直线等存在，设其方程或坐标，代入曲线方程推导，若有解则存在，无解则不存在. ⑵特殊值法：取特殊位置（如对称轴、顶点）或特殊参数值，探索可能结论，再验证一般情况. ⑶代数推导法：联立方程，用韦达定理、判别式等，结合条件（如垂直、中点）列方程，分析解的情况判断存在性. ⑷几何直观法：借助圆锥曲线几何性质（如对称性、焦点特性），初步判断是否存在，再代数验证. 【典例11】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知，，等轴双曲线：的左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、，且．点为双曲线的左支上异于点的一个动点． (1)求双曲线的方程； (2)若，求点的坐标； (3)设点，直线交双曲线的右支于点．试判断直线与直线的交点是否在一条定直线上？若是，请求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)直线与直线的交点在一条定直线上上. 【分析】（1）根据等轴双曲线的概念，结合，可求的值，得双曲线的方程. （2）先判断点在圆上，列方程，解方程组可得点坐标. （3）设直线的方程为，与双曲线方程联立，消去，利用韦达定理表示出，，再表示出直线与，探索两直线交点的横坐标是不是定值即可. 【详解】（1）由题意：. 所以双曲线的方程为：. （2）因为，所以在以为圆心，以为半径的圆上. 由或. 所以或. （3）如图： 因为与不重合，所以直线的斜率不为0， 故可设直线的方程为，，. 因为点在双曲线的左支上，故或. 联立得：. . 故，， 则，故. 易得，， 则，所以直线的方程为， ，所以直线的方程为：， 故点的横坐标满足：，显然， 由题意得：，， 则， 则. 故点在定直线上. 【变式11】已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)若动点在抛物线上，为抛物线的焦点，线段的中点为，求点的轨迹方程； (3)试探究:抛物线上是否存在点使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）已知点在抛物线上 代入得 所以抛物线方程为 （2）易知抛物线焦点为， 设动点，中点的坐标为 显然； 且， ； 即点的轨迹方程为； （3）设点在抛物线上，则 直线的方程为，如下图： 联立，解得，； 所以， 因此 依题意可得 可得 整理可得，即， 解得或或或； 显然当或时，与重合，不合题意； 所以存在，满足题意. 期中基础通关练（测试时间：60分钟） 1直线与椭圆的位置关系是（ ） A.相交 B.相离 C.相切 D.不确定 【答案】A 【详解】直线y=k(x-1)过椭圆内一定点(1,0),故直线与椭圆相交. 2.设抛物线y2＝8x的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点E到y轴的距离为3，则弦AB的长为(　　) A．5 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【详解】过A、B、E向抛物线y2＝8x的准线l：x＝－2作垂线，垂足分别为A1、B1、E1，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝2|EE1|＝2×(3＋2)＝10. 3. AB为过椭圆＋＝1中心的弦，F(c,0)为它的焦点，则△FAB的最大面积为(　　) A．b2 B．ab C．ac D．bc 【答案】D 【详解】设A、B两点的坐标为(x1，y1)、(－x1，－y1)，则S△FAB＝|OF||2y1|＝c|y1|≤bc. 4．（2025·北京门头沟·一模）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】法一：由题意，联立方程可得， 当时，即时，方程有一解，即只有一个公共点； 当时，，方程有两解，即有两个公共点，不符合题意. 所以，直线与双曲线只有一个公共点时，. 所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件. 法二：因为直线过定点，双曲线的右顶点为，如图， 根据图象可知，当且仅当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有 交点. 所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件. 故选：C. 5．（多选）已知双曲线C：，直线l过点，以下错误的是（    ） A．若直线l与双曲线C只有一个公共点，则直线l的条数是2 B．若直线l与双曲线C只有一个公共点，则直线l的斜率是或 C．若直线l与双曲线C有两个不同的公共点，则直线l的斜率范围是 D．若直线l与双曲线C的渐近线相交于A，B两点，则线段AB中点的轨迹是直线 【答案】ACD 【详解】由双曲线方程可知其渐近线为，显然时，直线l与双曲线只有一个交点； 若直线l与双曲线相切时，显然直线斜率必存在，故设直线方程为， 联立直线方程与双曲线方程得：， 整理得，此时，可得. 综上，若直线l与双曲线C只有一个公共点，则直线l的斜率是或，故选项A错误，选项B对； 如下图示，当时，直线与双曲线的两支各有一个交点，共两个交点； 当时，直线与双曲线的一支有两个交点， 当时，直线与双曲线无交点，故选项C错误； 若直线l与双曲线C的渐近线相交于A,B两点，即， 联立，解得；同理联立，可得， 所以线段AB中点坐标为， 易知线段AB的中点轨迹方程为，其轨迹为双曲线，故选项D错误. 故选：ACD. 6.（多选）（24-25高二下·广东深圳·期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，点在抛物线C上，直线分别与l交于A，B，直线与抛物线C交于另一点N，则（    ） A．F的坐标为 B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，由抛物线，可得，所以，且焦点在轴正半轴上，则焦点，所以A错误； 对于B，由抛物线的方程得，由定义可得，所以B正确； 对于C，直线的方程分别为，，分别与联立得，，所以，所以C正确； 对于D，联立，得，解得， 所以，由，所以D错误． 故选：BC. 7．已知是双曲线外一点，过P引双曲线的两条切线，为切点，则直线的方程为 ． 【答案】 【详解】可直接利用结论：若点在双曲线外，过点作双曲线的两条切线，切点为点，则切点弦的直线方程是； 可得直线的方程为，也即. 8．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知抛物线的焦点为，以和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形． (1)求的方程； (2)讨论过点的直线与的交点个数． 【详解】（1）由题意得焦点，准线方程为， 以焦点和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形， 而这个等边三角形的高为， 即焦点到准线的距离，解得（负值舍去）， 所以的方程为． （2）若直线的斜率存在，设的方程为． 由方程组可得． （Ⅰ）当时，解得，此时方程只有一个实数解，与只有一个公共点； （Ⅱ）当时，方程的根的判别式为， （ⅰ）由，解得或，此时方程有两个相等的实数解，与只有一个公共点； （ⅱ）由，解得或，此时方程有两个不等的实数解，与有两个公共点； （ⅲ）由，解得，或，此时方程没有实数解，与没有公共点； 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，易知与没有公共点． 综上，当的方程为或的斜率或时，与的交点个数为0；当的斜率或1或时，与的交点个数为1；当的斜率时，与的交点个数为2． 9．（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程； （2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数表示面积后可求的值，从而可求弦长. 【详解】（1）因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. （2） 由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得， 故即， 且， 故， 解得， 故 10.（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 【答案】(1) (2)直线的方程为或. 【分析】（1）代入两点得到关于的方程，解出即可； （2）方法一：以为底，求出三角形的高，即点到直线的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到点坐标，则得到直线的方程；方法二：同法一得到点到直线的距离，再设，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点到直线的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线斜率不存在的情况，再设直线，联立椭圆方程，得到点坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线斜率不存在的情况，再设，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘表达面积即可. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以. （2），则直线的方程为，即， ，由（1）知， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为：， 则，解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. 11．如图，椭圆与过点的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率． (1)求椭圆方程； (2)设分别为椭圆的左、右焦点，M为线段的中点，求证：． 【详解】（1）过A、B的直线方程为由题意得有惟一解. 即有惟一解，所以，（）， 故，又因为，所以，a2=4b2.从而得=2，， 故所求的椭圆方程为 （2）由(1)得，所以， 从而由解得x1=x2=1，所以 所以tan∠AF1T=， 又因为为线段的中点，. ，， 得 因此∠ATM=∠AF1T. 12．（24-25高二下·广西梧州·期中）已知抛物线的焦点为，点在直线上，过焦点作一条直线交于两点. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于两点，求证：直线与的交点在一条定直线上. 【详解】（1）的焦点在轴上，为， 直线与轴的交点坐标为，则，即 所以抛物线为 （2）令，，，不妨设， 设的方程为，， 联立与，得到，， 由， 则直线，直线， 两直线方程相减得到：， 因为，于是， 即，即， 即，于是，解得， 即直线AP与BQ的交点在一条定直线上 13．（2025·江西九江·三模）已知双曲线的左、右顶点分别为，在上，． (1)求的方程； (2)过的直线交于另一点（异于），与轴交于点，直线与交于点，证明：直线过定点． 【详解】（1）∵在上，∴．① ∵，∴， ∴，② 由①②解得，故的方程为． （2）解法一：设直线的方程为，直线的方程为． 联立得． 联立消去，整理得， ∴，即． ∴直线的斜率为，∴直线的方程为． 令，得，即． ∴直线的斜率为，∴直线的方程为， 即． 由解得， 故直线过定点． 解法二：同法一，得， 设直线过定点，则． 又∵， ∴， 整理得． 由解得．故直线过定点． 14．（2025·海南海口·模拟预测）设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为3． (1)求点M的轨迹方程C； (2)若直线l与C交于P，Q两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围． 【详解】（1）设点，，则，， 所以，化简得， 所以点M的轨迹方程为． （2）当直线l斜率不存在时，可设，． 则，， 将其代入双曲线方程得， 又，解得，此时， 当直线l斜率存在时，设其方程为，设，， 联立，. 由韦达定理：，. 则 ， 化简得，此时， 所以 ， 当时，此时，当时，此时， ，，故， 因此，综上可得． 期中重难突破练（测试时间：60分钟） 15．已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为． （1）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值； （2）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由． 【详解】(1)设直线，，，． ∴由得， ∴，． ∴直线的斜率，即． 即直线的斜率与的斜率的乘积为定值． （2）四边形能为平行四边形． ∵直线过点，∴不过原点且与有两个交点的充要条件是， 由(Ⅰ)得的方程为．设点的横坐标为． ∴由得，即 将点的坐标代入直线的方程得，因此． 四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即 ∴．解得，． ∵，，， ∴当的斜率为或时，四边形为平行四边形． 16.（25-26高三上·内蒙古·开学考试）已知双曲线C：（，）的一个焦点为，点在C上. (1)求C的方程； (2)已知点，，B为线段PQ上一点，且直线AB交C于D，E两点，证明：. 【详解】（1）由双曲线的一个焦点为，得， 由点在双曲线上，得，解得，， 所以双曲线的方程为. （2）设，，则直线AB方程为， 由，消去得， 由直线AB交C于D，E两点，得， 解得，且，且，， 当时，在A的异侧，在B的同侧；当时，在A的同侧，在B的异侧， 则总有， ， 所以. 17．（2025·山东临沂·三模）已知为抛物线的焦点. (1)求抛物线的方程； (2)若过的直线与交于，两点，试探究：在轴上是否存在一点，使得，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由； (3)若，抛物线上两点，满足，且，求的最大值. 【详解】（1）因为为抛物线的焦点，故，故， 故. （2）设，设，则， 化简得. 设直线的方程为，则由可得， 故，故，由的任意性可得. 故存在，使得. （3） 设，则， 同理，， 因为，故，故，故， 设直线，由得， 故，，故. 而，故，故， 当直线过时，，过时，，故， 设到直线的距离为， 则 设，则且， 故 ， 当且仅当即时等号成立， 故的最大值为. 18.（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线：的离心率为，其左､右焦点分别为，，过焦点且与轴垂直的直线交于，两点，且. (1)求的方程； (2)已知在上一点处的切线方程为.过点分别作的左､右两支的切线，切点分别为，，连接，过线段的中点再分别作的左､右两支的切线，切点分别为，，判断点与直线的位置关系，并说明理由. 【详解】（1）在中，不妨令，解得，所以， 又，解得，， 所以双曲线的方程为； （2）点在直线上，证明如下： 设，， 由题可知双曲线在点处的切线方程为， 同理，在点处的切线方程为， 又两切线交点为，所以， 所以直线的方程为， 联立，得， 因为，满足，， 则，，所以， 所以，设，， 由题可知双曲线在，两点处的切线方程分别为，， 又两切线交点为，所以， 可得直线的方程为，即， 当时，，所以点在直线上. 期中综合拓展练（测试时间：40分钟） 19．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）在平面直角坐标系中，一个动点到定点的距离比它到轴的距离大1，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若直线过定点，其斜率为．当分别为何值时，直线与曲线：只有一个公共点；有两个公共点；有三个公共点； (3)过点作两条互相垂直的弦、，分别交曲线于，，，，令、的中点分别为、，过点作，垂足为，求的最大值． 【详解】（1）由已知得，令，则 整理得，. （2）由题意，直线l的方程为. 联立方程组（*） （i）当时，直线l：与有唯一公共点，与无公共点，此时共有一个公共点. （ii）当时，判别式为 ①由，. 故或时，方程（*）只有一个解，即直线与抛物线只有一个公共点，与各有一个交点为，，故分别有两个公共点. ②当直线过时，直线方程为，与交于，，与无交点，故直线与轨迹共有两个公共点 ③由. 故当且，时，方程（*）有两个解，即直线与抛物线有两个公共点， 与有一个公共点，故直线与轨迹有三个公共点 ④由，或. 故当，或时，方程（*）无实数解，即直线与抛物线没有公共点，与有一个公共点 综上， 当时，直线轨迹有三个公共点； 当时，直线轨迹有两个公共点； 当时，直线轨迹有一个公共点. （3） 设直线，，， 联立，可得，则得，， ，同理， ①时，， ②当时， ，即， 所以直线恒过点， 又，所以点在以为直径的圆上，且轨迹方程为， 由几何图形关系可知，的最大值为：. 20.2025·全国一卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 【答案】(1) (2)(ⅰ) (ⅱ) 【分析】（1）根据题意列出的关系式,解方程求出,即可得到椭圆的标准方程； （2）(ⅰ)设,根据斜率相等以及题目条件列式,化简即可求出或者利用数乘向量求出； (ⅱ) 根据斜率关系可得到点的轨迹为圆（除去两点），再根据点与圆的最值求法结合三角换元或者直接运算即可解出. 【详解】（1）由题可知,，所以，解得， 故椭圆C的标准方程为； （2）(ⅰ)设，易知， 法一：所以，故，且． 因为，，所以， 即，解得，所以， 所以点的坐标为. 法二：设，则，所以 ，，故 点的坐标为. (ⅱ)因为,,由,可得 ,化简得,即, 所以点在以为圆心,为半径的圆上（除去两个点）, 为到圆心的距离加上半径, 法一：设,所以 ,当且仅当时取等号, 所以. 法二：设，则， ，当且仅当时取等号, 故. 21（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知为椭圆：的左焦点，椭圆过点，且直线的斜率为. (1)求椭圆的方程； (2)若点，在椭圆上，且，过，分别作椭圆的切线，，与相交于点. （i）求点的轨迹方程； （ii）求周长的最小值. 【详解】（1）由题意得，直线的方程为，即， 当时，，故， 由解得或（舍去）， 椭圆的方程. （2）（i）设直线：，，，， 与联立， 所以，， 由可得 化简可得① 设的方程为，即， 与联立， 令，结合， 解得，所以切线方程为， 即直线方程为：，不存在时也满足此直线方程， 同理可得方程为：， 由在直线，上，则，即，在直线上， 所以直线方程为：，即 而直线方程为，故， 由①可得，整理得到：， 若轴，则，则，故， 此时在轴上，结合切线方程可得， 此时也满足此方程， 所以的轨迹方程为. （ii）由（i）可知在以为焦点，以为准线的抛物线上， 过分别向直线作垂线，垂足分别为，， 由抛物线定义可得：， 当且仅当，，共线时取等， 所以周长的最小值为. 22．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）阅读材料： （一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；对于抛物线，与点对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系. （二）极点与极线的基本性质，定理 ①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线； ②当在外时，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）； ③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹. 结合阅读材料回答下面的问题： 已知椭圆的离心率为是上一点. (1)求椭圆的标准方程并写出与点对应的极线方程； (2)设分别为椭圆的左、右顶点，过点作斜率不为0的直线与椭圆交于两点，直线与直线交于点，记的斜率为的斜率为.证明： ①为定值； ②点在定直线上. 【详解】（1）因为离心率为，故 又是上一点，所以，故，所以 椭圆方程为， 由于点对应的极线方程为；故处的极线方程为，即极线方程为， （2）①由题意可知的斜率不为，设， 设， ， ，， ②根据①结果，可设，则 （1） （2） 联立（1）（2）可得： 故点，易知点恒在上 2 / 64 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 直线与圆锥曲线的位置关系（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 直线与圆锥曲线位置关系的判定 掌握直线与圆锥曲线位置关系的判定方法——根的判别式法 基础必考点，常出现在小题 弦长问题 掌握弦长公式，会利用弦长公式解决求弦长及三角形面积等问题 高频考点，常与其他知识点综合，涉及各种题型 中点弦问题 学会解决中点弦相关问题，如对称问题，由弦的斜率求中点坐标，由中点坐标求弦的斜率等. 高频考点，涉及各种 题型 定点与定值问题 抛物线的焦点，准线，抛物线的焦半径 高频考点，一般为解答题 最值与参数取值范围问题 抛物线焦点弦的性质 高频考点，一般为解答题 知识点01 直线与圆锥曲线位置关系的判定 1．直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法： 联立消y得一元二次方程． 当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切； 当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离． 2．把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式． (1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点． (2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点． (3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点． 当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点． 3、设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0. (1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点． (2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． 知识点02 弦长公式 设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝或|AB|＝|y1－y2| ＝，k为直线斜率且k≠0. ·易错点：注意弦长公式成立的条件，在|AB|＝|x1－x2|中斜率必须存在； 在|AB|＝|中斜率存在且不为0. 知识点03圆锥曲线的切线、切点弦问题 1.圆锥曲线的切线方程 (1)过椭圆的切线方程为：； (2) 过双曲线的切线方程为：； (3)过. 2.圆锥曲线的切点弦方程 (1)已知为圆外的一点，则两切点弦所在的直线方程是：. (2)椭圆的切点弦方程为； (3)双曲线的切点弦方程为； (4)的切点弦方程为. 【巧妙记忆】 上述公式的记忆方法均可用“抄一代一”，即把平方项其中一个照抄，另一个将变量用已知点的相应坐标代入(从曲线上一点作曲线的切线，切线方程可将原方程作如下方法替换求出， ，，，. 知识点04 点差法 设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ； 将两式相减，可得；； 最后整理得： 同理，双曲线用点差法，式子可以整理成： 设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得；； 将两式相减，可得；整理得： ·易错点：当时不能用点差法. 题型一 直线与圆锥曲线位置关系的判定 解｜题｜技｜巧 (1)直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离；相交有两个交点(特殊情况除外)，相切有一个交点，相离无交点． (2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0代入圆锥曲线C的方程．消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． ①当a≠0时，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有Δ＞0时，直线l与曲线C相交；Δ＝0时，直线l与曲线C相切；Δ＜0时，直线l与曲线C相离． ②当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合． 【典例1-1】（24-25高二上·江西·期中）直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【典例1-2】点，定义，如图为双曲线及渐近线，则关于点、、，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（多选）（24-25高三上·甘肃武威·期中）已知双曲线的两个焦点为，，点在双曲线上，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的离心率为 C．直线与双曲线只有一个公共点 D．直线与双曲线的左支和右支各有一个交点 【变式1-2】（多选）（24-25高二上·山西太原·期中）已知直线l：，抛物线C：，则下列结论正确的是（   ） A．直线l过定点 B．当时，直线l与抛物线C相切 C．当时，直线l与抛物线C有两个公共点 D．当直线l与抛物线C无公共点时，或 题型二 弦长问题 解｜题｜技｜巧 求弦长的方法: 1.交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． 2.根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：|AB|＝·＝ ·. 3.焦点弦长,利用焦半径公式求解,如：设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p. 【典例2】（25-26高三上·江苏·阶段练习）已知双曲线的离心率为，且过点. (1)求的方程； (2)直线过且交于两点，若弦的长度为的实轴长的两倍，求的方程. 【变式2】倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于，两点. (1)求抛物线的准线方程及焦点坐标； (2)求弦长. 题型三 中点弦问题 解｜题｜技｜巧 解决圆锥曲线中点弦问题的两种方法 (1)根与系数关系法：联立直线方程和圆锥曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； (2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入圆锥曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系. (3)椭圆、双曲线中点弦的斜率公式： ①已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则kAB＝－.　　 ②设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有kAB＝. 【典例3】（24-25高二上·广东惠州·期中） 已知双曲线，过点作直线l. (1)若直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？ (2)若直线l的斜率k存在，且l与双曲线左右两支都相交，求直线l斜率k的取值范围. 【变式训练3】（25-26高三上·陕西西安·开学考试）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点． (1)求抛物线的方程； (2)当点为弦的中点时，求直线的方程； (3)求的最小值． 题型四 切线与切点弦问题 解｜题｜技｜巧 1.求圆锥曲线的切线方程 方法有:(1)判别式法.即设出切线的斜率k，联立直线与二次曲线的方程，消元转化为一元二次方程，通过△=0求出k,从而得切线方程，对于切线的斜率不存在的情形，则一般画图观察求解，此法为通法. (2)切线公式法.常见的切线公式有：①过圆上的点的切线方程为+②椭圆、双曲线与抛物线的切线方程（见知识预备） (3)几何性质法.对于圆而言，常利用圆的几何性质“圆心到切线的距离等于圆的半径(即d=r)”来速求其切线方程. 2.双切线（切点弦）问题求解策略 过圆锥曲线外一点，作圆锥曲线的两条切线，由此衍生的一系列问题，一般称之为双切线问题。这类问题一般的处理步骤是： (1)设切线的斜率为，写出切线的方程； (2)将切线的方程代入圆锥曲线方程，化简得出关键方程； (3)由方程满足判别式，建立关于的一元二次方程，两切线的斜率为方程的两根； (4)结合韦达定理，计算等，并将之用于其他量的计算。 【典例4】（2025·湖南长沙质检）过抛物线外一点作抛物线的两条切线，切点分别为，另一直线与抛物线交于点，与直线交于点，求证： (1)点处的切线与直线平行； (2). 【变式4】（24-25高二下·江西南昌·期中）已知曲线和曲线. (1)若曲线上两个不同点A、B的横坐标分别为，求证：直线的方程：； (2)若直线与曲线相切，求证：； (3)若曲线上任意点向曲线引两条切线交于另两点为，求证：直线与曲线相切. 题型五 面积问题 解｜题｜技｜巧 1.对于三角形的面积问题，常利用以下策略求解： (1)利用弦长公式求出三角形的某条底，再由点到直线的距离公式求高. (2)以三角形被坐标轴所截得的线段为底，则高为|x1-x2|或|y1-y2| 2.对于四边形的面积，则常分割成三角形的面积求解. 3．多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化 4.面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。这样可以使函数解析式较为简单，便于分析. 【典例5】（25-26高三上·广东潮州·开学考试）已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为． (1)求椭圆的方程； (2)设过点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点，分别求的周长和面积． 【变式5-1】已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，点P在C上，的内心为I.若，，的面积满足，则C的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点． (1)求抛物线的标准方程及其准线方程； (2)过点作直线交抛物线于另一个交点（在第四象限），设直线的斜率分别为，若，求的面积． 题型六 最值或范围问题 解｜题｜技｜巧 求圆锥曲线中最值、范围问题的方法 (1)定义法：利用定义转化为几何问题处理． (2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解． (3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意范围. 【典例6】若椭圆的左、右焦点分别为、，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中不正确的是（    ） A．当点P不在x轴上时，的周长是6 B．当点P不在x轴上时，面积的最大值为 C．存在点P，使 D．的取值范围是 【变式6-1】已知F是抛物线的焦点，A，B是抛物线C上不同的两点，且满足，设A，B到抛物线C的准线的距离分别为，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为椭圆上一动点，面积的最大值为2．    (1)求椭圆的方程； (2)若分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足：，连接交椭圆于点为坐标原点，证明：为定值. (3)若点为圆上的动点，点，求的最小值． 题型七 圆锥曲线中的向量问题 解｜题｜技｜巧 圆锥曲线中的向量问题求解策略: (1)建系转化：设圆锥曲线标准方程，将点坐标化，向量用坐标表示，转化为代数问题. (2)利用性质：结合圆锥曲线定义（如椭圆定义）、焦点弦等性质，简化向量关系。 (3)韦达定理：联立直线与曲线方程，用韦达定理处理向量数量积、共线等条件。 (4)参数法：设参数（如椭圆参数方程），将向量关系转化为三角函数式求解。 (5)几何意义：借助向量几何意义（如垂直、中点），结合圆锥曲线几何性质解题。 【典例7】（2025·全国·模拟预测）已知是双曲线上一动点，为坐标原点.设双曲线在点处的切线和两条渐近线的交点分别为. (1)设到两条渐近线的距离分别为，求的值； (2)证明：； (3)求的值. 【变式7-1】已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合． (1)求抛物线的方程； (2)如图，若过点的直线与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，证明：． 【变式7-2】已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为4． (1)求椭圆的标准方程： (2)记椭圆的左顶点为，右顶点为，过点作不垂直于坐标轴的直线交椭圆于另一点，过点作的垂线，垂足为，且，求直线的方程． 题型八 定点问题 解｜题｜技｜巧 直线过定点问题的常见解法 (1)用参数表示出直线的方程，根据直线方程的特征确定定点的位置． (2)从特殊点入手，先确定定点，再证明该定点符合题目条件． 提醒：求出直线方程是判断直线是否过定点的前提和关键． 【典例8】（24-25高二下·云南曲靖·期中）已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若（不在直线上），证明：直线过定点. 【变式8】（25-26高二上·广西南宁·阶段练习）已知椭圆，，分别是左、右焦点，是椭圆上一点，的最大值为3，当为椭圆上顶点时，为等边三角形． (1)求椭圆的标准方程； (2)设，分别是椭圆的左、右顶点，若直线与交于点，，且．证明：直线过定点． 题型九 定值问题 解｜题｜技｜巧 圆锥曲线中的定值问题的常见解法 (1)从特殊值入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 【典例9】（2025·福建三明·模拟预测）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，离心率为，的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)直线（存在且不等于0）与椭圆交于，两点，直线与轴交于点，直线与直线交于点，判断是否为定值并证明． 【变式9】（25-26高三上·广东湛江·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)若直线与曲线交于，两点，与曲线的两条渐近线分别交于，两点，证明：“，为线段的三等分点”的充要条件是“，两点的横坐标之积为”. 题型十 定直线问题 解｜题｜技｜巧 圆锥曲线中的定直线问题求解策略 ⑴特殊探路：取特殊点（如顶点、焦点）或特殊位置直线，求出可能定直线，再验证一般性. ⑵参数表达：设含参数的直线 / 曲线方程，联立后利用韦达定理，消参推导直线方程，确定定直线. ⑶性质关联：结合圆锥曲线性质（如椭圆中点弦、抛物线焦点弦），利用向量、斜率关系推导定直线. ⑷极点极线：若问题涉极点与极线，可通过极线方程判定是否为定直线，简化运算. 【典例10】 (25-26高二上·全国·单元测试）已知定点，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程． (2)设过点且与轴不重合的直线交曲线于E，F两点． ①过点作与直线垂直的直线交曲线于G，H两点，求四边形EGFH面积的最大值； ②设曲线与轴交于P，Q两点，直线PE与直线QF相交于点，证明：点在定直线上． 【变式10】已知抛物线，过点的直线与交于两点，设为坐标原点，当轴时，的周长为. (1)求抛物线的焦点坐标； (2)若点为抛物线上异于原点的一动点，且直线与直线的交点恒在定直线上.证明：过点与抛物线相切的直线平行于直线. 题型十一 探索性问题 解｜题｜技｜巧 圆锥曲线中探索性问题的常见解法: ⑴假设存在法：先假设满足条件的点、直线等存在，设其方程或坐标，代入曲线方程推导，若有解则存在，无解则不存在. ⑵特殊值法：取特殊位置（如对称轴、顶点）或特殊参数值，探索可能结论，再验证一般情况. ⑶代数推导法：联立方程，用韦达定理、判别式等，结合条件（如垂直、中点）列方程，分析解的情况判断存在性. ⑷几何直观法：借助圆锥曲线几何性质（如对称性、焦点特性），初步判断是否存在，再代数验证. 【典例11】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知，，等轴双曲线：的左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、，且．点为双曲线的左支上异于点的一个动点． (1)求双曲线的方程； (2)若，求点的坐标； (3)设点，直线交双曲线的右支于点．试判断直线与直线的交点是否在一条定直线上？若是，请求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 【变式11】已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)若动点在抛物线上，为抛物线的焦点，线段的中点为，求点的轨迹方程； (3)试探究:抛物线上是否存在点使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 期中基础通关练（测试时间：60分钟） 1直线与椭圆的位置关系是（ ） A.相交 B.相离 C.相切 D.不确定 2.设抛物线y2＝8x的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点E到y轴的距离为3，则弦AB的长为(　　) A．5 B．8 C．10 D．12 3. AB为过椭圆＋＝1中心的弦，F(c,0)为它的焦点，则△FAB的最大面积为(　　) A．b2 B．ab C．ac D．bc 4．（2025·北京门头沟·一模）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（多选）已知双曲线C：，直线l过点，以下错误的是（    ） A．若直线l与双曲线C只有一个公共点，则直线l的条数是2 B．若直线l与双曲线C只有一个公共点，则直线l的斜率是或 C．若直线l与双曲线C有两个不同的公共点，则直线l的斜率范围是 D．若直线l与双曲线C的渐近线相交于A，B两点，则线段AB中点的轨迹是直线 6.（多选）（24-25高二下·广东深圳·期中）已知抛物线的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，点在抛物线C上，直线分别与l交于A，B，直线与抛物线C交于另一点N，则（    ） A．F的坐标为 B． C． D． 7．已知是双曲线外一点，过P引双曲线的两条切线，为切点，则直线的方程为 ． 8．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知抛物线的焦点为，以和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形． (1)求的方程； (2)讨论过点的直线与的交点个数． 9．（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 10.（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 11．如图，椭圆与过点的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率． (1)求椭圆方程； (2)设分别为椭圆的左、右焦点，M为线段的中点，求证：． 12．（24-25高二下·广西梧州·期中）已知抛物线的焦点为，点在直线上，过焦点作一条直线交于两点. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于两点，求证：直线与的交点在一条定直线上. 13．（2025·江西九江·三模）已知双曲线的左、右顶点分别为，在上，． (1)求的方程； (2)过的直线交于另一点（异于），与轴交于点，直线与交于点，证明：直线过定点． 14．（2025·海南海口·模拟预测）设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为3． (1)求点M的轨迹方程C； (2)若直线l与C交于P，Q两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围． 期中重难突破练（测试时间：60分钟） 15．已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为． （1）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值； （2）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由． 16.（25-26高三上·内蒙古·开学考试）已知双曲线C：（，）的一个焦点为，点在C上. (1)求C的方程； (2)已知点，，B为线段PQ上一点，且直线AB交C于D，E两点，证明：. 17．（2025·山东临沂·三模）已知为抛物线的焦点. (1)求抛物线的方程； (2)若过的直线与交于，两点，试探究：在轴上是否存在一点，使得，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由； (3)若，抛物线上两点，满足，且，求的最大值. 18.（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线：的离心率为，其左､右焦点分别为，，过焦点且与轴垂直的直线交于，两点，且. (1)求的方程； (2)已知在上一点处的切线方程为.过点分别作的左､右两支的切线，切点分别为，，连接，过线段的中点再分别作的左､右两支的切线，切点分别为，，判断点与直线的位置关系，并说明理由. 期中综合拓展练（测试时间：40分钟） 19．（2025·高二上·内蒙古赤峰·期中）在平面直角坐标系中，一个动点到定点的距离比它到轴的距离大1，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若直线过定点，其斜率为．当分别为何值时，直线与曲线：只有一个公共点；有两个公共点；有三个公共点； (3)过点作两条互相垂直的弦、，分别交曲线于，，，，令、的中点分别为、，过点作，垂足为，求的最大值． 20.2025·全国一卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 21（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知为椭圆：的左焦点，椭圆过点，且直线的斜率为. (1)求椭圆的方程； (2)若点，在椭圆上，且，过，分别作椭圆的切线，，与相交于点. （i）求点的轨迹方程； （ii）求周长的最小值. 22．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期中）阅读材料： （一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；对于抛物线，与点对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系. （二）极点与极线的基本性质，定理 ①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线； ②当在外时，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）； ③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹. 结合阅读材料回答下面的问题： 已知椭圆的离心率为是上一点. (1)求椭圆的标准方程并写出与点对应的极线方程； (2)设分别为椭圆的左、右顶点，过点作斜率不为0的直线与椭圆交于两点，直线与直线交于点，记的斜率为的斜率为.证明： ①为定值； ②点在定直线上. 20 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $