专题04 圆及其方程、曲线与方程（期中复习讲义）（知识必备+8大核心题型+分层验收）高二数学上学期人教B版

专题04 圆及其方程、曲线与方程（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 圆的方程 能求圆的方程，判断点与圆的位置关系，掌握圆的一般方程和标准方程的互化方法，会求圆的一般方程以及简单的轨迹方程，强化数学运算与逻辑推理的核心素养. 期中必考点，涉及各种题型 直线和圆的位置关系 能判断直线与圆的位置关系，能解决圆的弦长及切线问题,提升数学运算、直观想象的核心素养. 期中必考点，像弦长、切线、距离最值问题都是几乎必考期中必考点，涉及各种题型 圆和圆的位置关系 能根据给定的圆的方程，判断圆与圆的位置关系，能用圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题，提升数学运算、数学建模的核心素养. 期中必考点，多出现在小题 曲线与方程 能够解决一些求点的轨迹的问题，提升数学运算、逻辑推理的核心素养 高频考点，涉及各种题型 知识点01 圆的定义与方程 1、定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 2、圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 3、点与圆的位置关系 判断点与：位置关系的方法: （1）几何法（优先推荐） 设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 （2）代数法 将点带入：方程内 ①点在外 ②点在上 ③点在内 4、圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 5、圆的一般方程 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 6、在圆的一般方程中，判断点与圆的位置关系 已知点和圆的一般式方程：（）， 则点与圆的位置关系： ①点在外 ②点在上 ③点在内 知识点02 直线与圆的三种位置关系 1、判断直线与圆的位置关系的两种方法 （1）几何法（优先推荐） 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相交。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相切。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相离。 （2）代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 ①直线与圆相交 ②直线与圆相切 ③直线与圆相离 2、直线与圆相交 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 （1）几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： （2）代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 3、直线与圆相切 （1）圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的两条切线 ②过圆上一点，可以作圆的一条切线 ③过圆内一点，不能作圆的切线 （2）过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） 4、切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； ·示例：已知圆,过点的直线,则（　） A．与相交 B．与相切 C．与相离D．以上三个选项均有可能 【解析】,所以点在圆C内部，所以过点P的直线l必与圆C相交.故选A. 知识点03 圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含. 2、圆与圆的位置关系的判断 (1)几何法:根据两圆的圆心距与两圆半径之间的关系判断. 设两圆半径分别为r1,r2,两圆的圆心距为d,则 两圆位置关系 d 图示 外离 d>r1+r2 外切 d=r1+r2 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 内切 d=|r1-r2| 内含 0≤d<|r1-r2| (2)代数法:根据两圆方程联立的方程组解的情况判断. 设☉O1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,☉O2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0, 对于方程组 方程组有两组不同的实数解⇔两圆相交; 方程组有两组相同的实数解⇔两圆相切; 方程组无实数解⇔两圆相离. 3、圆与圆的公共弦 设: : 联立作差得到：即为两圆共线方程 4、圆与圆的公切线 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． ·示例：两圆x2+y2=9和x2+y2-8x+6y+9=0的位置关系是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.外离 B.相交 C.内切 D.外切 【解析】两圆x2+y2=9和x2+y2-8x+6y+9=0的圆心分别为(0,0)和(4,-3),半径分别为3和4.两圆的圆心距d==5.又4-3<5<3+4,故两圆相交. 知识点04 曲线与方程 1、曲线与方程定义 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线与方程之间具有如下关系： （1）曲线上的点的坐标都是方程的解； （2）以方程的解为坐标的点都在曲线上． 则称曲线为方程的曲线，方程为曲线的方程． ·易错点：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解．它阐明的含义是曲线上没有坐标不满足方程的点． （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．它阐明的含义是适合条件的所有点都在曲线上，即没有遗漏的点．所以两个条件充分保证了曲线上的点一个也不多，一个也不少，即曲线上的点集与方程的解集之间建立了一一对应关系． 2、两条曲线的交点坐标 （1）已知曲线和曲线，求这两条曲线的交点坐标，只要求方程组的实数解就可以得到． （2）直线与曲线交点个数判断 直线与曲线的交点问题，一般通过联立两方程消元得到关于或的方程．若是一元二次方程，则根据一元二次方程根的判别式来判断（有时也可利用数形结合来判断）： ①当时，由两个交点；②当时，无交点；③当时，有一个交点，此时直线与曲线相切． 知识点05 求曲线的方程 1、坐标法 借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标(x，y)所满足的方程F(x，y)＝0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这就叫坐标法． 2.求动点M轨迹方程（曲线方程）的一般步骤 (1)设动点M的坐标为(x,y)（如果没有平面直角坐标系，需先建立）； (2)写出M要满足的几何条件，并将该几何条件用M的坐标表示出来； (3)化简并检验所得方程是否为M的轨迹方程. 一般地，化简后方程的解是相同的，步骤（3）中的检验可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明. ·易错点：“轨迹”与“轨迹方程”的区别 (1)动点的轨迹方程实质上是轨迹上所有点的坐标满足的某一种关系,即动点坐标(x,y)所适合的方程f(x,y)=0, (2)轨迹是点的集合,是曲线或者几何图形. (3)求动点的轨迹不仅要求出动点的轨迹方程;还要说明方程表示的曲线,而求轨迹方程只需将方程求出即可, 根据需要,有时要指明方程变量的取值范围. 题型一 圆的方程的综合应用 解｜题｜技｜巧 1、确定圆的方程必须有三个独立条件 不论是圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a，b，r或D，E，F)的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a，b，r(或D，E，F)的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值，从而确定圆的方程． 2、几何法在圆中的应用 在一些问题中借助平面几何中关于圆的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两点时，其圆心一定在这两点连线的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用． 3、点与圆的位置关系的判断方法 （1）几何法：利用圆心到该点的距离d与圆的半径r比较. （2）代数法：直接利用下面的不等式判定. ①(x0-a)2+(y0-b)2>r2，点在圆外； ②(x0-a)2+(y0-b)2=r2，点在圆上； ③(x0-a)2+(y0-b)2<r2，点在圆内. 【典例1-1】（24-25高二上·全国·课前预习）求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心是，且过点； (2)圆心在轴上，半径为5，且过点； (3)求过两点和，圆心在轴上的圆的标准方程． 【典例1-2】（24-25高二上·广东惠州·期中）的三个顶点分别是、、. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的外接圆（为圆心）的标准方程. 【变式1-1】（24-25高二上·山东青岛·月考）圆关于直线对称的圆的方程为（   ） A．+=4 B． C． D． 【变式1-2】（多选）（25-26高二上·全国·课后作业）已知表示圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．当时，半径 C．圆心到直线的距离为 D．当时，圆面积为 【变式1-3】求满足下列条件的圆的方程． (1)经过点且和直线相切，同时圆心在直线上的圆； (2)经过点，且与直线l：相切于点的圆． 题型二 与圆有关的轨迹问题 解｜题｜技｜巧 主要有两种类型，一种是点的轨迹为圆，另一种是以圆为载体，考查动点的轨迹或轨迹方程.求动点的轨迹方程往往先设出动点的坐标，再找等量关系列轨迹方程；有时也可由已知条件判断出轨迹图形，然后由图形求方程. 【典例2】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知圆的圆心坐标为，且被直线截得的弦长为． (1)求圆的方程； (2)若动圆与圆相外切，又与轴相切，求动圆圆心的轨迹方程； 【变式2-1】（23-24高二上·河北唐山·期末）线段长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段中点的轨迹所围成图形的面积为（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式2-2】（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知点，平面内的动点满足，则点的轨迹形成的图形面积是 ． 【变式2-3】（2024·广东深圳·模拟预测）已知过点的动直线l与圆相交于不同的两点A，B． (1)求圆的圆心坐标； (2)求线段的中点M的轨迹C的方程． 题型三 与圆有关的最值问题 解｜题｜技｜巧 圆中的最值问题主要有两种解决策略，一是代数法，即通过构造函数，将最值转化为函数的最值；二是几何法，即利用圆的丰富的几何性质得到最值. 【典例3】已知圆C的圆心在第一象限且在直线上，与x轴相切，被直线截得的弦长为 (1)求圆C的方程； (2)由直线上一点P向圆C引切线，A，B是切点，求四边形PACB面积的最小值． 【变式3-1】（2025高三·全国·专题练习）在中，，则面积的最大值为 . 【变式3-2】（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知正三角形ABC的边长为1，P是平面ABC上一点，若，则PA的最大值为 ． 【变式3-3】（多选）（2024高二上·江苏·专题练习）已知点，且点在圆上，为圆心，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．当最大时，的面积为2 C．的最大值为 D．的最大值为 题型四 直线与圆的位置关系的判断及应用 解｜题｜技｜巧 直线与圆的位置关系的判断方法 （1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． （2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． （3）直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 【典例4-1】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知直线，圆则直线与圆位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 【典例4-2】（24-25高二上·吉林长春·期中）已知圆，直线，则圆上到直线的距离为的点的个数为（    ） A． B． C． D． 【典例4-3】（24-25高二下·云南曲靖·期末）若直线与圆相离，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二上·海南海口·期末）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（   ） A．点在圆上，直线与圆相切 B．点在圆内，直线与圆相交 C．点在圆外，直线与圆相切 D．点在圆上，直线与圆相交 【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）已知直线，圆上恰有3个点到直线的距离都等于1，则（    ） A．1或 B．－1或 C．或－1 D．1或－1 题型五 圆的弦长问题 解｜题｜技｜巧 设直线l的方程为ax+by+c=0，圆O的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2(r>0)，求弦长的方法通常有以下两种 （1） 几何法：由圆的性质知，过圆心O作l的垂线，垂足C为线段AB的中点，如图所示.在Rt△OCB中，|BC|2=r2-d2，则弦长|AB|=2|BC|=2. （2）代数法：解方程组消元后可得关于x1+x2，x1·x2或y1+y2，y1·y2的关系式，则|AB|== ，其中k为直线l的斜率且不为0. 【典例5-1】（24-25高二下·四川凉山·期末）若直线被圆截得的弦长为，则（   ） A． B． C．2 D． 【典例5-2】（24-25高二下·四川泸州·期末）已知直线与圆相交于A，B两点，则的面积为（   ） A． B．5 C．4 D．2 【变式5-1】（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）直线过点，且与圆相交所形成的长度为整数的弦的条数为（   ） A．5 B．8 C．9 D．10 【变式5-2】（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）已知圆，过点的直线与圆交于两点，点满足，其中为坐标原点． (1)求点的轨迹方程； (2)若的面积为2，求． 题型六 切线问题 解｜题｜技｜巧 1、求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的条数. （1）求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，则由垂直关系得切线斜率为-，由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y=y0或x=x0. （2）求过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线方程时，常用几何方法求解： 设切线方程为y-y0=k(x-x0)，即kx-y-kx0+y0=0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而求出切线方程.但要注意，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，切线方程为x=x0. 2、与圆的切线相关的结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过上一点的圆的切线方程为： （3）过外一点作圆的两条切线，切点分别为，，则切点弦所在直线方程为：． （4）过圆外一点引圆的两条切线，则过圆外一点的切线长为 【典例6-1】．（24-25高二上·福建福州·期中）若一个圆的圆心为，且该圆与直线相切，则该圆的标准方程为 ，过点作该圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 . 【典例6-2】（24-25高二上·广西钦州·期末）已知圆过点和点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)经过点作直线与圆相切，求直线的方程. 【变式6-1】（24-25高二上·湖北·期中）已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线距离的最大值（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高二下·云南曲靖·期末）过直线上一点向圆作切线，切点为，则的最小值为 . 【变式6-3】（25-26高二上·四川内江·开学考试）过点的圆的两条切线，切点为，求： (1)求切线的方程； (2)求切线段的长度． 题型七 圆与圆的位置关系的判断及求参 解｜题｜技｜巧 判断两圆位置关系的方法有两种：一是代数法，看方程组的解的个数，但往往较烦琐；二是几何法，看两圆圆心距d，当d=r1+r2时，两圆外切，d=|r1-r2|时，两圆内切，d>r1+r2时，两圆外离，d<|r1-r2|时，两圆内含，|r1-r2|<d<r1+r2时，两圆相交. 【典例7-1】（24-25高二上·山东泰安·期末）已知圆与圆有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【典例7-2】判断下列两个圆的位置关系： (1)与； (2)与． 【变式7-1】（23-24高二下·黑龙江鹤岗·开学考试）圆心在直线上，且经过两圆和的交点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（   ） A． B．或 C． D．或 【变式7-3】（24-25高二上·湖南永州·月考）若存在实数使得与内切，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型八 公共弦与公切线问题 解｜题｜技｜巧 1、公切线 两圆公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 2、公共弦 （1）求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数. （2）求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解. （3）已知圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1). 【典例8-1】圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例8-2】（多选）（23-24高二上·河南·期末）已知圆和圆，则（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 【变式8-1】若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 【变式8-2】（多选）（25-26高二上·全国·期中）（多选）已知圆和圆，则（    ）． A．圆的半径为4 B．y轴为圆与的公切线 C．圆与公共弦所在的直线方程为 D．圆与上共有3个点到直线的距离为1 【变式13-3】（24-25高二上·广东·月考）已知圆，圆，则的公切线方程为 ．（写出一条即可） 【答案】，，（三个方程写出一个即给满分） 【分析】据圆与圆的位置关系得到两个圆的公切线的条数，然后结合图像写出公切线方程. 【解析】因为，的半径均为1，则外切，结合图像可知，的公切线方程为，，． 故答案为：，， 题型九 利用韦达定理解决直线与圆的相交问题 解｜题｜技｜巧 直线被圆所截得的弦长问题是直线与圆相交时产生的问题，也是直线与圆的位置关系的一个衍生问题．当此类问题用几何法不易求得时，常改变思路，通过联立直线与圆的方程，利用韦达定理，建立弦长与交点坐标的关系来解决问题, 【典例9】（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知圆，回答下列问题. (1)已知圆D过点，圆心在直线上，截y轴弦长为，求C与D相交所得公共弦长； (2)若过点且斜率为k的直线l与圆C交于P，Q两点，其中O为坐标原点，且，求. 【变式9】（24-25高二上·湖北·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上，圆与轴正半轴的交点为. (1)求圆的标准方程； (2)设为圆的动弦，且不经过点，记、分别为弦、的斜率. （ⅰ）若，求面积的最大值； （ⅱ）若，请判断动弦是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 题型十 曲线与方程的概念及应用 解｜题｜技｜巧 1.判断点P在曲线上的方法 若曲线C的方程是f(x,y)=0,则点P(x,y)在曲线C上点P的坐标(x,y)满足方程f(x,y)=0. 2.利用方程可以研究曲线的特征和性质 (1)利用方程可以研究曲线的范围、对称性、在坐标轴上的截距等性质. (2)根据方程可以画出曲线的大致形状. 【典例10-1】已知方程x2+(y-1)2=10. (1)判断点P(1,-2),Q(,3)是否在此方程表示的曲线上; (2)若点M在此方程表示的曲线上,求m的值. 【典例10-2】方程(x+y-1)=0所表示的曲线是(　　) 【变式1-1】（23-24高二上·上海·期末）已知坐标满足方程的点都在曲线C上，则下列命题中正确的是（    ） A．曲线C上的点的坐标都适合方程 B．不在曲线C上的点的坐标必不适合方程 C．凡坐标不适合方程的点都不在曲线C上 D．不在曲线C上的点的坐标有些适合方程 【变式10-2】（23-24高二下·贵州六盘水·期末）关于的方程对应的曲线不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】已知曲线C的方程是x4+y2=1.关于曲线C的几何性质,给出下列三个结论: ①曲线C关于原点对称; ②曲线C关于直线y=x对称; ③曲线C所围成的区域的面积大于π. 其中,所有正确结论的序号是　　　　.  题型十一 求曲线（轨迹）方程（跨章节） 解｜题｜技｜巧 根据动点的特征来分，求曲线方程（或轨迹）的常用方法有：直接法、定义法、相关点法（代入法）、参数法、交轨法、待定系数法等. 易｜错｜警｜示 (1)如果没有坐标系,应利用条件建立适当的坐标系. (2)一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标为(x,y)找到动点变化的限制条件,根据条件的特点选择求轨迹方程的方法. (3).将方程化为最简形式,如果化简过程中破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而被遗漏的点. 【典例11-1】（25-26高二上·全国·课后作业）如图，平面平面，是正三角形，四边形是正方形，点是平面内的一个动点，且满足，则点在正方形内的轨迹是（    ） A． B． C． D． 【典例11-2】（24-25高二上·江西上饶·）已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则（    ） A．是一个半径为的圆 B．是一条与相交的直线 C．上的点到的距离均为 D．是两条平行直线 【变式11-1】（23-24高二上·山东泰安·期末）已知点，点B在圆上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程为 ． 【变式11-2】（2025·广东广州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上运动，点在轴上运动，点在线段的延长线上，且，，则点的轨迹方程为 ．    【变式11-3】（24-25高一下·安徽·开学考试）设复数满足是虚数单位，则的轨迹方程为 ． 题型十二 与圆有关的新定义题（跨章节） 解｜题｜技｜巧 对于与圆有关的新定义问题，求解的关键是读懂新定义，然后根据此新定义去解决问题,在求解的过程中，同时结合圆的方程与性质、直线与圆或圆与圆位置关系的相关知识求解. 【典例12】（2025·江苏盐城·模拟预测）在平面直角坐标系中，设点，若点满足，其中为定点，则称点是点关于点的“相关点”. (1)已知点，若点是点关于点的“相关点”，且，求的值. (2)已知圆，点，点是圆上的动点，点是点关于点的“相关点”，若点的轨迹与圆有公共点，求正数的取值范围. 【变式12】（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）现定义：若圆上一动点，圆外一定点，满足的最大值为其最小值的两倍，则称为圆的“上进点”.若点同时是圆和圆的“上进点”，则称为圆“”的“牵连点”.已知圆. (1)若点为圆的“上进点”，求点的轨迹方程并说明轨迹的形状； (2)已知圆，且均为圆“”的“牵连点”. （i）求直线的方程； （ii）若圆是以线段为直径的圆，直线与交于两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 期中基础通关练（测试时间：45分钟） 1．“点M在曲线上”是“点M到两坐标轴距离相等”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（23-24高二上·福建莆田·期中）设方程表示的曲线是（    ） A．一个圆和一条直线 B．一个圆和一条射线 C．一个圆 D．一条直线 3．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4.（24-25高二下·上海·期中）关于方程所表示的曲线，下列说法正确的是（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于对称 D．关于原点中心对称 5．（24-25高二上·河南开封·期中）到x轴距离与到y轴距离之比等于的点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·贵州黔西·期中）在平面直角坐标系中，，，点P满足，则点P到直线的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 7．（23-24高三上·江西·开学考试）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包部边界）的动点．则的最小值为（   ） A．-1 B． C． D． 8．（多选）（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知点在圆上，点、，则（    ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 9．(多选)（24-25高二上·河北唐山·期中）已知圆与圆交于两点，则（    ） A．圆与圆有两条公切线 B．直线的方程为 C． D．线段的垂直平分线的方程为 10．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知圆，点，则经过点且与圆 相切的直线方程为 . 11．（24-25高二下·湖南·期末）已知直线，圆，若直线与圆交于M，N两点，则的取值范围为 ． 12．（25-26高二上·全国·课后作业）已知平面直角坐标系中不同的三点，，，圆心在轴上的圆经过三点，设点的坐标为，则点的轨迹方程为 ． 13．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若过定点的直线被圆所截得的弦长为6，求直线的方程. 14．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，圆交于两点，在第二象限． (1)求以为直径的圆的方程； (2)若过点的直线（斜率存在）交圆于点，交圆于点，且，求直线CD的方程． 15．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，M是线段的中点. (1)求点M的轨迹方程； (2)记（1）中所求轨迹为曲线C，过定点的直线l与曲线C交于P，Q两点，并且被曲线截得的弦长为，求直线l的方程． 期中重难突破练（测试时间：40分钟） 16．已知圆与直线相交于不同的两点，，点满足，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 17．（24-25高二上·辽宁·期中）“”是“直线与曲线恰有1个公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 18．（24-25高二上·黑龙江鹤岗·月考）设，．若动直线与交于点A，C，动直线与交于点B，D，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 19．（多选）（24-25高二上·广西玉林·期中）已知圆，设点为圆上的动点，则下列选项正确的是（   ） A．点到原点的距离的最小值为2 B．过点的直线与圆截得的最短弦长为6 C．的最大值为1 D．过点作圆的切线有2条 20．（多选）（24-25高二上·浙江杭州·期中）（多选）已知直线，圆，点为圆上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．的最大值为 D．圆心到直线的距离最大为4 21．（多选）（24-25高二上·四川宜宾·期末）已知圆与圆交于两点，则下列说法正确的是（   ） A．两圆的公切线有2条 B．直线的方程为 C．若两点到直线的距离相等，则 D．当时，圆上恰有4个点到直线的距离等于1 22．（多选）（24-25高二上·安徽宣城·期末）已知圆和直线，点P在直线l上运动，直线、分别与圆C相切于点，则下列说法正确的是（    ） A．切线长的最小值为 B．四边形面积的最小值为4 C．当最小时，弦所在的直线方程为 D．弦所在直线必过定点 23．（25-26高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为 ． 24．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆心在直线上且过点的圆与直线相切，其半径小于5．若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线段的长度； (3)过直线上一点作圆的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形面积最小时，求直线CD的方程． 期中综合突破练（测试时间：20分钟） 25．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 26．（24-25高三上·河南开封·阶段练习）造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则C在第一象限的点的纵坐标的最大值与1的关系为（    ） A． B． C． D． 27．(多选)（25-26高三上·河北衡水·开学考试）已知A，B是圆O:与x轴的两个交点，动点满足，记点M的轨迹为，则（   ） A．与圆O相切 B．是两条平行的直线 C． 的最大值为 D．上的点到原点O的距离的最大值为6 28．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ． 29.(跨章节)（25-26高二上·河北邢台·开学考试）若正四棱柱的底面棱长为4，侧棱长为3，且为棱上靠近点的三等分点，点在正方形的边界及其内部运动，且满足与底面的所成角，则点形成的轨迹长度为 ． 30．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点，，点为直线上动点，当最大时，点的坐标为 ． 31．（24-25高二上·福建漳州·期中）过原点O的直线l与圆交于A，B两点，且点． (1)过点P作圆C的切线m，求切线m的方程； (2)求弦AB的中点M的轨迹方程； (3)设直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 28 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆及其方程、曲线与方程（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 圆的方程 能求圆的方程，判断点与圆的位置关系，掌握圆的一般方程和标准方程的互化方法，会求圆的一般方程以及简单的轨迹方程，强化数学运算与逻辑推理的核心素养. 期中必考点，涉及各种题型 直线和圆的位置关系 能判断直线与圆的位置关系，能解决圆的弦长及切线问题,提升数学运算、直观想象的核心素养. 期中必考点，像弦长、切线、距离最值问题都是几乎必考期中必考点，涉及各种题型 圆和圆的位置关系 能根据给定的圆的方程，判断圆与圆的位置关系，能用圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题，提升数学运算、数学建模的核心素养. 期中必考点，多出现在小题 曲线与方程 能够解决一些求点的轨迹的问题，提升数学运算、逻辑推理的核心素养 高频考点，涉及各种题型 知识点01 圆的定义与方程 1、定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 2、圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 3、点与圆的位置关系 判断点与：位置关系的方法: （1）几何法（优先推荐） 设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 （2）代数法 将点带入：方程内 ①点在外 ②点在上 ③点在内 4、圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 5、圆的一般方程 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 6、在圆的一般方程中，判断点与圆的位置关系 已知点和圆的一般式方程：（）， 则点与圆的位置关系： ①点在外 ②点在上 ③点在内 知识点02 直线与圆的三种位置关系 1、判断直线与圆的位置关系的两种方法 （1）几何法（优先推荐） 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相交。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相切。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相离。 （2）代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 ①直线与圆相交 ②直线与圆相切 ③直线与圆相离 2、直线与圆相交 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 （1）几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： （2）代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 3、直线与圆相切 （1）圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的两条切线 ②过圆上一点，可以作圆的一条切线 ③过圆内一点，不能作圆的切线 （2）过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） 4、切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； ·示例：已知圆,过点的直线,则（　） A．与相交 B．与相切 C．与相离D．以上三个选项均有可能 【解析】,所以点在圆C内部，所以过点P的直线l必与圆C相交.故选A. 知识点03 圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含. 2、圆与圆的位置关系的判断 (1)几何法:根据两圆的圆心距与两圆半径之间的关系判断. 设两圆半径分别为r1,r2,两圆的圆心距为d,则 两圆位置关系 d 图示 外离 d>r1+r2 外切 d=r1+r2 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 内切 d=|r1-r2| 内含 0≤d<|r1-r2| (2)代数法:根据两圆方程联立的方程组解的情况判断. 设☉O1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,☉O2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0, 对于方程组 方程组有两组不同的实数解⇔两圆相交; 方程组有两组相同的实数解⇔两圆相切; 方程组无实数解⇔两圆相离. 3、圆与圆的公共弦 设: : 联立作差得到：即为两圆共线方程 4、圆与圆的公切线 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． ·示例：两圆x2+y2=9和x2+y2-8x+6y+9=0的位置关系是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.外离 B.相交 C.内切 D.外切 【解析】两圆x2+y2=9和x2+y2-8x+6y+9=0的圆心分别为(0,0)和(4,-3),半径分别为3和4.两圆的圆心距d==5.又4-3<5<3+4,故两圆相交. 知识点04 曲线与方程 1、曲线与方程定义 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线与方程之间具有如下关系： （1）曲线上的点的坐标都是方程的解； （2）以方程的解为坐标的点都在曲线上． 则称曲线为方程的曲线，方程为曲线的方程． ·易错点：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解．它阐明的含义是曲线上没有坐标不满足方程的点． （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．它阐明的含义是适合条件的所有点都在曲线上，即没有遗漏的点．所以两个条件充分保证了曲线上的点一个也不多，一个也不少，即曲线上的点集与方程的解集之间建立了一一对应关系． 2、两条曲线的交点坐标 （1）已知曲线和曲线，求这两条曲线的交点坐标，只要求方程组的实数解就可以得到． （2）直线与曲线交点个数判断 直线与曲线的交点问题，一般通过联立两方程消元得到关于或的方程．若是一元二次方程，则根据一元二次方程根的判别式来判断（有时也可利用数形结合来判断）： ①当时，由两个交点；②当时，无交点；③当时，有一个交点，此时直线与曲线相切． 知识点05 求曲线的方程 1、坐标法 借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标(x，y)所满足的方程F(x，y)＝0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这就叫坐标法． 2.求动点M轨迹方程（曲线方程）的一般步骤 (1)设动点M的坐标为(x,y)（如果没有平面直角坐标系，需先建立）； (2)写出M要满足的几何条件，并将该几何条件用M的坐标表示出来； (3)化简并检验所得方程是否为M的轨迹方程. 一般地，化简后方程的解是相同的，步骤（3）中的检验可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明. ·易错点：“轨迹”与“轨迹方程”的区别 (1)动点的轨迹方程实质上是轨迹上所有点的坐标满足的某一种关系,即动点坐标(x,y)所适合的方程f(x,y)=0, (2)轨迹是点的集合,是曲线或者几何图形. (3)求动点的轨迹不仅要求出动点的轨迹方程;还要说明方程表示的曲线,而求轨迹方程只需将方程求出即可, 根据需要,有时要指明方程变量的取值范围. 题型一 圆的方程的综合应用 解｜题｜技｜巧 1、确定圆的方程必须有三个独立条件 不论是圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a，b，r或D，E，F)的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a，b，r(或D，E，F)的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值，从而确定圆的方程． 2、几何法在圆中的应用 在一些问题中借助平面几何中关于圆的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两点时，其圆心一定在这两点连线的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用． 3、点与圆的位置关系的判断方法 （1）几何法：利用圆心到该点的距离d与圆的半径r比较. （2）代数法：直接利用下面的不等式判定. ①(x0-a)2+(y0-b)2>r2，点在圆外； ②(x0-a)2+(y0-b)2=r2，点在圆上； ③(x0-a)2+(y0-b)2<r2，点在圆内. 【典例1-1】（24-25高二上·全国·课前预习）求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心是，且过点； (2)圆心在轴上，半径为5，且过点； (3)求过两点和，圆心在轴上的圆的标准方程． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用两点距离公式可先求半径，再写标准方程即可； （2）利用点的特征结合半径可先求圆心坐标，再写标准方程即可； （3）设圆心坐标，利用到C、D距离相等计算求得圆心坐标，再写标准方程即可. 【解析】（1）由题意可知：， 圆的标准方程为； （2）设圆心为， 则， 或， 圆心为或， 又，圆的标准方程为或； （3）设圆心为， ， ， 即， ，， 圆的标准方程为． 【典例1-2】（24-25高二上·广东惠州·期中）的三个顶点分别是、、. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的外接圆（为圆心）的标准方程. 【分析】（1）求出直线的斜率，可得出直线的斜率，结合点斜式可得出直线的方程； （2）圆的方程为，将三个顶点的坐标代入圆的方程，求出、、的值，可得出圆的一般方程，再化为标准方程即可. 【解析】（1）因为直线的斜率为，所以上的高所在直线的斜率为， 所以上的高所在直线的方程为，即直线的方程为． （2）设圆的方程为（其中， 因为、、三点都在圆上，可得，                 解得，，，满足， 所以所求圆的方程为，即. 【变式1-1】（24-25高二上·山东青岛·月考）圆关于直线对称的圆的方程为（   ） A．+=4 B． C． D． 【答案】C 【分析】写出已知圆的圆心坐标和半径，求出圆心坐标关于直线的对称点的坐标，然后代入圆的标准方程得答案． 【解析】圆的圆心坐标为，半径为2， 设关于直线：的对称点为， 则，解得． 所以，则圆关于直线对称的圆的方程为． 故选：C． 【变式1-2】（多选）（25-26高二上·全国·课后作业）已知表示圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．当时，半径 C．圆心到直线的距离为 D．当时，圆面积为 【答案】BC 【分析】写出圆的标准方程确定圆心和半径，再结合各项的描述判断正误. 【解析】将方程配方化为， 所以圆心为，半径为，故A错误； 当时，半径为，B正确； 圆心到直线的距离为，C正确； 当时，半径为3，圆面积为，D错误． 故选：BC 【变式1-3】求满足下列条件的圆的方程． (1)经过点且和直线相切，同时圆心在直线上的圆； (2)经过点，且与直线l：相切于点的圆． 【分析】（1）由题，设圆心为，由圆心到直线的距离等于到点的距离列等式，整理解出a，即可进一步求出半径，即得圆的方程； （2）由AB坐标求AB的中垂线方程，再求过点B且与l垂直的直线，由两直线交点求出圆心，进一步求出半径，即得圆的方程. 【解析】（1）圆心在直线上，设圆心为，圆心到直线的距离等于到点的距离， 即， 整理得，解得或． 当时，圆心为，半径为，方程为； 当时，圆心为，半径为，方程为． （2）圆心到A、B的距离相等，即在线段AB的中垂线上，AB的中垂线的点法向式方程为，化简得． 另一方面，圆心在过点B且与l垂直的直线上，其点法向式方程为，化简得． 联立方程组解得圆心坐标为，则到点A的距离． 综上所述，圆的方程为． 题型二 与圆有关的轨迹问题 解｜题｜技｜巧 主要有两种类型，一种是点的轨迹为圆，另一种是以圆为载体，考查动点的轨迹或轨迹方程.求动点的轨迹方程往往先设出动点的坐标，再找等量关系列轨迹方程；有时也可由已知条件判断出轨迹图形，然后由图形求方程. 【典例2】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知圆的圆心坐标为，且被直线截得的弦长为． (1)求圆的方程； (2)若动圆与圆相外切，又与轴相切，求动圆圆心的轨迹方程； 【分析】（1）设圆的方程为，，利用直线与圆相交的弦长公式求出半径长即可； （2）设点，由题意可得圆的半径为，由动圆与圆相外切可得，整理后分类化简即得动点轨迹方程. 【解析】（1）设圆的方程为，， 由圆心到直线的距离为， 由弦长公式可得，解得， 故圆的方程为； （2） 设点，则动圆的半径为，因动圆与圆相外切，则， 即，两边取平方，化简得：， 故当时，，当时，，当时，点在圆上，不合题意. 故动圆圆心的轨迹方程为；. 【变式2-1】（23-24高二上·河北唐山·期末）线段长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段中点的轨迹所围成图形的面积为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】利用几何法直接求出轨迹方程，进而由圆的面积公式求解. 【解析】，设为线段中点， ，设，则，即． 则线段中点的轨迹是以坐标原点为圆心，2为半径的圆； 故线段中点的轨迹所围成图形的面积为. 故选：D 【变式2-2】（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知点，平面内的动点满足，则点的轨迹形成的图形面积是 ． 【答案】/ 【分析】根据条件求出点P的轨迹方程，可知点P的轨迹为圆，再根据圆的面积公式求解即可. 【解析】设点P的坐标为. 因为，所以， 整理得，即. 所以点P的轨迹方程为，其轨迹为以为圆心，且半径的圆. 所以轨迹形成的图形面积. 故答案为： 【变式2-3】（2024·广东深圳·模拟预测）已知过点的动直线l与圆相交于不同的两点A，B． (1)求圆的圆心坐标； (2)求线段的中点M的轨迹C的方程． 【分析】（1）根据题意，将圆的一般式化为标准式，即可得到结果； （2）根据题意，由列出方程，化简即可得到结果. 【解析】（1）圆的方程可变形为， 故的圆心坐标为，半径为2. （2）设，因为点M是的中点，， ， 故， 由此可得， 故轨迹方程为，轨迹是以圆心为，半径为的圆. 题型三 与圆有关的最值问题 解｜题｜技｜巧 圆中的最值问题主要有两种解决策略，一是代数法，即通过构造函数，将最值转化为函数的最值；二是几何法，即利用圆的丰富的几何性质得到最值. 【典例3】已知圆C的圆心在第一象限且在直线上，与x轴相切，被直线截得的弦长为 (1)求圆C的方程； (2)由直线上一点P向圆C引切线，A，B是切点，求四边形PACB面积的最小值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）设出圆心坐标，判断出圆的半径，利用直线截圆所得弦长列方程来求得，从而求得圆的方程. （2）先求得，通过求的最小来求得的最小值. 【解析】（1）依题意，设圆的圆心坐标为，半径为， 到直线的距离为，所以，解得， 所以圆的方程为. （2）由（1）得，圆的圆心为，半径， ，所以当最小时，最小. 到直线的距离为，所以的最小值为， 所以四边形PACB面积的最小值为. 【变式3-1】（2025高三·全国·专题练习）在中，，则面积的最大值为 . 【答案】3 【分析】取中点，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，结合，，求出点的轨迹方程，再结合三角形的面积公式，即可求解． 【解析】 取中点，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系， 因为，故， 设，则, 整理得， 所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除去点，）， 则当时，面积取最大值， 此时. 【变式3-2】（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知正三角形ABC的边长为1，P是平面ABC上一点，若，则PA的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，得到点P的轨迹为圆，进而利用点与圆的位置关系算出PA的最大值. 【解析】以BC所在直线为轴，BC中点为原点，建立平面直角坐标系，     则，设， 由，得， 整理得，即 因此，点P的轨迹是以为圆心，半径的圆， PA长的最大值等于. 故答案为：. 【变式3-3】（多选）（2024高二上·江苏·专题练习）已知点，且点在圆上，为圆心，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．当最大时，的面积为2 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】根据几何位置关系，结合两点之间距离公式即可判断A；当与圆相切时，最大，进而求得，即可判断B；当，，三点共线，且在，之间时，最大，即可判断C；当为射线与圆的交点时，取得最大值，即可判断D． 【解析】因为，所以点在圆外，点在圆内，如图所示， 对于A，当为线段与圆的交点时，即，此时取得最小值为，故A正确； 对于B，由题知，点在圆内，当与圆相切时，最大，此时与重合，此时，故B错误； 对于C，因为点在圆上，为圆心，则，所以当最大时，也最大， 当，，三点共线，且在，之间时，其最大值为，故C正确； 对于D，当为射线与圆的交点时，取得最大值，故D正确． 故选：ACD．    题型四 直线与圆的位置关系的判断及应用 解｜题｜技｜巧 直线与圆的位置关系的判断方法 （1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． （2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． （3）直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 【典例4-1】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知直线，圆则直线与圆位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 【答案】B 【分析】由直线方程可得直线过定点，证明点在圆内，由此判断结论. 【解析】由直线：，可知直线过定点， 由圆：，可知圆心，半径为， 则， 所以点在圆的内部，从而直线与圆相交. 故选：B . 【典例4-2】（24-25高二上·吉林长春·期中）已知圆，直线，则圆上到直线的距离为的点的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出与直线平行且与直线的距离为的直线的方程，判断出圆与两平行线间的位置关系，即可得出结论. 【解析】设与直线平行且与直线的距离为的直线的方程为， 由平行线间的距离公式可得，解得或， 圆的圆心为，半径为， 显然直线过圆心，圆心到直线的距离为， 所以，直线与圆相交，直线与圆相切， 所以，圆上到直线的距离为的点的个数为. 故选：C. 【典例4-3】（24-25高二下·云南曲靖·期末）若直线与圆相离，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆心到直线的距离大于半径求解. 【解析】圆C的圆心为，半径， 到直线的距离，解得， 又，所以. 故选：B. 【变式4-1】（24-25高二上·海南海口·期末）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（   ） A．点在圆上，直线与圆相切 B．点在圆内，直线与圆相交 C．点在圆外，直线与圆相切 D．点在圆上，直线与圆相交 【答案】A 【分析】首先得到圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，即可判断. 【解析】圆的圆心，半径， 又，所以点在圆上， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切. 故选：A 【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）已知直线，圆上恰有3个点到直线的距离都等于1，则（    ） A．1或 B．－1或 C．或－1 D．1或－1 【答案】D 【分析】结合题意，利用点到直线的距离公式列式求解，再进行验证即可. 【解析】如图所示，圆的半径为2.设点在圆上运动. 圆心到直线的距离，令，则. ①当时，与直线平行且距离等于1的直线是，， 与圆的三个交点是，，，满足题意. ②当时，与直线平行且距离等于1的直线是，，与圆的三个交点是，，，满足题意. 综上，. 故选：D. 题型五 圆的弦长问题 解｜题｜技｜巧 设直线l的方程为ax+by+c=0，圆O的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2(r>0)，求弦长的方法通常有以下两种 （1） 几何法：由圆的性质知，过圆心O作l的垂线，垂足C为线段AB的中点，如图所示.在Rt△OCB中，|BC|2=r2-d2，则弦长|AB|=2|BC|=2. （2）代数法：解方程组消元后可得关于x1+x2，x1·x2或y1+y2，y1·y2的关系式，则|AB|== ，其中k为直线l的斜率且不为0. 【典例5-1】（24-25高二下·四川凉山·期末）若直线被圆截得的弦长为，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据圆的方程求出圆心和半径，再根据直线截圆弦长公式求解参数的值. 【解析】因为圆，所以圆心为，半径为. 设圆心到直线距离为：. 因为直线与圆截得的弦长为. 所以. 解得：. 故选：. 【典例5-2】（24-25高二下·四川泸州·期末）已知直线与圆相交于A，B两点，则的面积为（   ） A． B．5 C．4 D．2 【答案】A 【分析】由几何法求出弦长，再由面积公式计算． 【解析】圆的标准方程是，圆心为，半径为， 到直线的距离为， 所以， 所以， 故选：A． 【变式5-1】（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）直线过点，且与圆相交所形成的长度为整数的弦的条数为（   ） A．5 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】判断已知点与圆的位置关系，并确定过定点的直线与圆所成弦长的范围，结合圆的对称性确定弦的条数. 【解析】依题设，圆的圆心为，且半径， 而，即点在圆内，且圆心到该点的距离， 当直线与、的连线垂直时，弦长最短为， 而最长弦长为圆的直径为，因此所有弦的弦长范围为， 所以相交所形成的长度为整数的弦，弦长为， 根据圆的对称性，弦长为各有2条，弦长为2的只有1条， 所以共有9条. 故选：C 【变式5-2】（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）已知圆，过点的直线与圆交于两点，点满足，其中为坐标原点． (1)求点的轨迹方程； (2)若的面积为2，求． 【分析】（1）设，求出圆心坐标，利用的数量积为零求出轨迹方程即可； （2）设圆心到直线的距离为，由三角形面积公式求出，再利用弦长公式求解即可； 【解析】（1）    由可得点为线段的中点，设， 圆方程化为标准方程为，所以圆心，半径， 所以， 因为，所以， 整理可得， 所以点的轨迹方程为， （2）设圆心到直线的距离为， 因为为的中点，且，的面积为2，， 所以，即，解得， 由弦长公式可得. 题型六 切线问题 解｜题｜技｜巧 1、求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的条数. （1）求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，则由垂直关系得切线斜率为-，由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y=y0或x=x0. （2）求过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线方程时，常用几何方法求解： 设切线方程为y-y0=k(x-x0)，即kx-y-kx0+y0=0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而求出切线方程.但要注意，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，切线方程为x=x0. 2、与圆的切线相关的结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过上一点的圆的切线方程为： （3）过外一点作圆的两条切线，切点分别为，，则切点弦所在直线方程为：． （4）过圆外一点引圆的两条切线，则过圆外一点的切线长为 【典例6-1】．（24-25高二上·福建福州·期中）若一个圆的圆心为，且该圆与直线相切，则该圆的标准方程为 ，过点作该圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】①由点到直线的距离求出半径，写出圆的方程；②讨论斜率是否存在，当斜率不存在时切好相切求出切点，由圆切线的性质可知两切点连线与圆心和两切线交点连线垂直，从而求出切点直线的斜率，由点斜式写出直线方程. 【解析】①点到直线距离等于半径， ∴，∴圆的标准方程为 ②当斜率不存在时，切线：，与圆相切与点； 由圆的切线的性质可知，， ∴ ∴，即 【典例6-2】（24-25高二上·广西钦州·期末）已知圆过点和点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)经过点作直线与圆相切，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆的方程为，带入A、B点的坐标以及将圆心带入直线方程构成方程组，解方程组可得答案； （2）分直线的斜率不存在和斜率存在两种情况进行讨论，结合点到直线的距离公式即可求得切线l的方程. 【解析】（1）设圆的方程为， 则，解得， 所以圆的标准方程为. （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由，得， 则直线的方程为，即. 故直线的方程为或. 【变式6-1】（24-25高二上·湖北·期中）已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线距离的最大值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】假设点，求得以为直径的圆的方程，与已知圆的方程作差可得直线的方程，然后可知直线过定点，最后判断和计算可得结果. 【解析】设，则， 则以为直径的圆的方程为， 与圆的方程相减，得到直线的方程为：， 又，可得，即， 可得，解得，所以直线恒过定点， 点到直线距离的最大值即为点，之间的距离，， 所以点到直线距离的最大值为. 故选：A. 【变式6-2】（23-24高二下·云南曲靖·期末）过直线上一点向圆作切线，切点为，则的最小值为 . 【答案】4 【解析】 由题知，圆心，半径， 圆心到直线的距离. 因为为直角三角形，且， 所以， 当且仅当与直线垂直时，等号成立， 所以的最小值为4. 【变式6-3】（25-26高二上·四川内江·开学考试）过点的圆的两条切线，切点为，求： (1)求切线的方程； (2)求切线段的长度． 【答案】(1)或 (2) 【解析】（1）由圆，则圆心为，半径为3， 当切线斜率不存在时，切线方程为， 此时圆心到切线方程为的距离为3，等于半径，满足题意； 当斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得， 则切线方程为，即. 综上所述，切线方程为或. （2）由切线的性质，得， 当切线为时，此时切线与轴垂直， 则. 题型七 圆与圆的位置关系的判断及求参 解｜题｜技｜巧 判断两圆位置关系的方法有两种：一是代数法，看方程组的解的个数，但往往较烦琐；二是几何法，看两圆圆心距d，当d=r1+r2时，两圆外切，d=|r1-r2|时，两圆内切，d>r1+r2时，两圆外离，d<|r1-r2|时，两圆内含，|r1-r2|<d<r1+r2时，两圆相交. 【典例7-1】（24-25高二上·山东泰安·期末）已知圆与圆有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两圆圆心距与半径和差得关系即可求解； 【解析】由题意可得：， 即：， 解得：，且， 所以的取值范围为， 故选：C 【典例7-2】判断下列两个圆的位置关系： (1)与； (2)与． 【答案】(1)外切；(2)相交 【分析】（1）求得两圆的圆心坐标和半径，结合圆心距与两圆半径的关系，即可求解； （2）化简两圆为标准方程，求得两圆的圆心坐标和半径，结合圆心距与两圆半径的关系，即可求解. 【解析】（1）解：由圆与， 可得两圆的圆心坐标分别为，半径分别为和， 可得两个圆的圆心距，所以， 所以两个圆外切． （2）解：将两个圆的方程都化为标准方程，可得，， 则两圆的圆心坐标分别为，半径分别为和， 可得两个圆的圆心距， 因为，所以两个圆相交． 【变式7-1】（23-24高二下·黑龙江鹤岗·开学考试）圆心在直线上，且经过两圆和的交点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆系方程可求圆的方程. 【解析】由题可先设出圆系方程：， 则圆心坐标为； ， 又圆心在直线上，可得，解得， 所以圆的方程为：，故A正确. 故选：A. 【变式7-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】先求出已知圆圆心和半径，再根据圆和圆的位置关系求解即可. 【解析】由，圆心为，半径为4， 设动圆圆心为，若动圆与已知圆外切，则， 即； 若动圆与已知圆内切，则， 即. 综上所述，动圆圆心的轨迹方程是或. 故选：D. 【变式7-3】（24-25高二上·湖南永州·月考）若存在实数使得与内切，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先求出每个圆的圆心与半径，再由两圆的圆心距与两个半径之差相等，即即可求的结果. 【解析】将方程配方得：，则，半径为1， 由可得，半径为， 因与内切，则有， 由于，则得，解得，即的最小值为2. 故选：B. 题型八 公共弦与公切线问题 解｜题｜技｜巧 1、公切线 两圆公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 2、公共弦 （1）求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数. （2）求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解. （3）已知圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1). 【典例8-1】圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】计算圆心距，判断两圆位置关系后即可得公切线条数. 【解析】圆的方程等价于， 所以圆是以为圆心，为半径的圆， 圆 是以为圆心，为半径的圆， 所以圆，圆的圆心距为， 圆，圆半径之和为， 即圆心距等于两半径之和，因此两圆外切， 所以圆，圆有3条公切线． 故选：C 【典例8-2】（多选）（23-24高二上·河南·期末）已知圆和圆，则（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 【答案】ACD 【分析】利用圆与圆的位置关系，圆与圆的公切线条数，逐个选项分析即可. 【解析】      圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径. 对于A，显然圆与轴相切，故A正确； 对于B，易知两圆相交，将方程与相减，得公共弦所在直线的方程为，故B错误； 对于C，两圆相交，所以两圆的公切线只有两条，又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点，即过点可以作出两条与两圆都相切的直线，故C正确； 对于，因为，所以公切线段长为，故D正确. 故选：ACD 【变式8-1】若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】两圆只有一条公切线可得两圆内切，，再利用圆的切线长的公式可解. 【解析】由题，圆与圆内切，所以，即，所以点， 又圆的半径为1，所以切线长为， 故选：C． 【变式8-2】（多选）（25-26高二上·全国·期中）（多选）已知圆和圆，则（    ）． A．圆的半径为4 B．y轴为圆与的公切线 C．圆与公共弦所在的直线方程为 D．圆与上共有3个点到直线的距离为1 【答案】BC 【分析】对于A项，将圆的方程化成标准式即得；对于B项，判断圆心到直线的距离等于圆的半径即得；对于C项，只需将两圆方程相减化简，即得公共弦直线方程；对于D项，需要结合图像作出两条和已知直线平行且距离等于1的直线，通过观察分析即得. 【解析】对于A，圆化为标准方程为，则圆的半径为2，故A错误． 对于B，因为圆心到y轴的距离为1，等于圆的半径， 所以圆与y轴相切， 同理圆心到y轴的距离等于圆的半径， 所以圆与y轴相切，故y轴为圆与的公切线，故B正确． 对于C，将与左右分别相减，得圆与的公共弦所在的直线方程为，故C正确． 对于D，如图， 因为直线同时经过两圆的圆心， 依题意可作两条与该直线平行且距离为1的直线与， 其中与和圆都相切，各有一个公共点， 与和圆都相交，各有两个交点， 故圆与上共有6个点到直线的距离为1，故D错误. 故选：BC. 【变式13-3】（24-25高二上·广东·月考）已知圆，圆，则的公切线方程为 ．（写出一条即可） 【答案】，，（三个方程写出一个即给满分） 【分析】据圆与圆的位置关系得到两个圆的公切线的条数，然后结合图像写出公切线方程. 【解析】因为，的半径均为1，则外切，结合图像可知，的公切线方程为，，． 故答案为：，， 题型九 利用韦达定理解决直线与圆的相交问题 解｜题｜技｜巧 直线被圆所截得的弦长问题是直线与圆相交时产生的问题，也是直线与圆的位置关系的一个衍生问题．当此类问题用几何法不易求得时，常改变思路，通过联立直线与圆的方程，利用韦达定理，建立弦长与交点坐标的关系来解决问题, 【典例9】（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知圆，回答下列问题. (1)已知圆D过点，圆心在直线上，截y轴弦长为，求C与D相交所得公共弦长； (2)若过点且斜率为k的直线l与圆C交于P，Q两点，其中O为坐标原点，且，求. 【分析】（1）根据题意，由圆的标准方程可得圆的方程，然后与圆方程作差可得公共弦所在直线方程，再结合弦长公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，联立直线与圆方程，结合韦达定理以及向量数量积的坐标运算代入计算，即可得到，从而得到结果. 【解析】（1）设圆的方程为， 圆心在直线上，则， 且截y轴弦长为，则①， 由圆过点，则②， 联立①②可得或， 当时，，则圆的方程为， 当时，，则圆的方程为， 当圆的方程为时， 且圆， 两圆方程作差可得公共弦所在直线方程为，即， 又圆的圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离， 则C与D相交所得公共弦长为； 当圆的方程为时， 且圆， 两圆方程作差可得公共弦所在直线方程为， 又圆的圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离， 则C与D相交所得公共弦长为； 综上所述，C与D相交所得公共弦长为或. （2）由题设可知直线l的方程为， 设， 将代入方程， 整理得， 所以，， ， 因为， 解得，经检验，直线与圆有交点， 所以直线l的方程为， 故圆心C在直线l上，所以. 【变式9】（24-25高二上·湖北·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上，圆与轴正半轴的交点为. (1)求圆的标准方程； (2)设为圆的动弦，且不经过点，记、分别为弦、的斜率. （ⅰ）若，求面积的最大值； （ⅱ）若，请判断动弦是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【分析】（1）设圆的标准方程为，根据已知条件代入求即可； （2）（i）由可得，且，根据三角形面积公式和基本不等式求最大值即可；（ⅱ）设直线的方程为，与圆的方程联立，利用韦达定理和斜率公式代入求出与的关系进而可得定点. 【解析】（1）设圆的标准方程为， 由已知可得：，解得：，，， 所以圆的标准方程为. （2）（ⅰ）由（1）知，因为，所以， 从而直线经过圆心，是直角三角形，且， 设，，则， 又，所以，当且仅当时取等号， 所以. （ⅱ）由已知得：直线的斜率必存在， 设直线的方程为，，， 由，消去得：， 当时，，，（※） 又， 即， 代入（※）得：， 即，解得：，或， 当时，此时直线的方程为，过定点（舍去）， 当时，此时直线的方程为，过定点， 故当，动弦过定点. 题型十 曲线与方程的概念及应用 解｜题｜技｜巧 1.判断点P在曲线上的方法 若曲线C的方程是f(x,y)=0,则点P(x,y)在曲线C上点P的坐标(x,y)满足方程f(x,y)=0. 2.利用方程可以研究曲线的特征和性质 (1)利用方程可以研究曲线的范围、对称性、在坐标轴上的截距等性质. (2)根据方程可以画出曲线的大致形状. 【典例10-1】已知方程x2+(y-1)2=10. (1)判断点P(1,-2),Q(,3)是否在此方程表示的曲线上; (2)若点M在此方程表示的曲线上,求m的值. 【解析】 (1)∵12+(-2-1)2=10,()2+(3-1)2=6≠10, ∴点P(1,-2)在方程x2+(y-1)2=10表示的曲线上, 点Q(,3)不在方程x2+(y-1)2=10表示的曲线上. (2)将点M代入方程得 +(-m-1)2=10⇒5m2+8m-36=0. ∴m=2或m=-. 故m的值为2或-. 【典例10-2】方程(x+y-1)=0所表示的曲线是(　　) 【答案】D 【分析】 把方程同解变形为熟悉的曲线方程的形式，再根据方程的性质进行判断. 【解析】原方程等价于或x2+y2=4,其中当x+y-1=0时,需有意义,即x2+y2≥4,此时原方程表示直线x+y-1=0不在圆x2+y2=4内的部分及圆x2+y2=4. 故选D. 【变式1-1】（23-24高二上·上海·期末）已知坐标满足方程的点都在曲线C上，则下列命题中正确的是（    ） A．曲线C上的点的坐标都适合方程 B．不在曲线C上的点的坐标必不适合方程 C．凡坐标不适合方程的点都不在曲线C上 D．不在曲线C上的点的坐标有些适合方程 【答案】B 【解析】由于“坐标满足方程的点都在曲线C上” 与“不在曲线C上的点的坐标必不适合方程”互为逆否命题， 所以“不在曲线C上的点的坐标必不适合方程”是正确的，故B对，D错； 对于点集而言，不满足， 但它仍然属于在曲线C上（仍然属于点集合），故A、C错误.故选：B. 故选D. 【变式10-2】（23-24高二下·贵州六盘水·期末）关于的方程对应的曲线不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，方程为：，对应的图象为选项A， 当时，方程为：，对应的图象为选项B， 当时，方程为：， 得，对应的图象为选项C， 选项D图形是四条线段，没有方程与之对应，故选：D 【变式10-3】已知曲线C的方程是x4+y2=1.关于曲线C的几何性质,给出下列三个结论: ①曲线C关于原点对称; ②曲线C关于直线y=x对称; ③曲线C所围成的区域的面积大于π. 其中,所有正确结论的序号是　　　　.  【答案】①③ 【解析】将方程中的x换成-x,y换成-y,方程不变, ∴曲线C关于原点对称,故①正确; 将方程中的x换成y,y换成x,方程变为y4+x2=1,与原方程不同,故②错误; 在曲线C上任取一点M(x0,y0),则+=1, ∵|x0|≤1, ∴≤, ∴+≥+=1, 即点M在圆x2+y2=1外,故③正确. 故正确结论的序号是①③. 答案 ①③ 题型十一 求曲线（轨迹）方程（跨章节） 解｜题｜技｜巧 根据动点的特征来分，求曲线方程（或轨迹）的常用方法有：直接法、定义法、相关点法（代入法）、参数法、交轨法、待定系数法等. 易｜错｜警｜示 (1)如果没有坐标系,应利用条件建立适当的坐标系. (2)一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标为(x,y)找到动点变化的限制条件,根据条件的特点选择求轨迹方程的方法. (3).将方程化为最简形式,如果化简过程中破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而被遗漏的点. 【典例11-1】（25-26高二上·全国·课后作业）如图，平面平面，是正三角形，四边形是正方形，点是平面内的一个动点，且满足，则点在正方形内的轨迹是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取中点，中点，连接，，由题证明平面，建立空间直角坐标系，取，求出相关点的坐标，设，利用长度相等推得动点的轨迹方程即可逐一判断． 【解析】 如图，取中点，中点，连接，， 因平面平面，由可得， 因平面平面， 平面，故平面，易得， 故可以为坐标原点，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系， 不妨取，则，则，． 由点在平面内，可设，因为， 所以，化简得：， 故点的轨迹是一条直线，排除C，D．又点不在直线上，故排除B，而点在直线上，故A正确． 故选：A. 【典例11-2】（24-25高二上·江西上饶·）已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则（    ） A．是一个半径为的圆 B．是一条与相交的直线 C．上的点到的距离均为 D．是两条平行直线 【答案】C 【解析】设，由，则， 由在直线上，故， 化简得，即的轨迹为为直线且与直线平行， 上的点到的距离，故A、B、D错误，C正确.故选：C. 【变式11-1】（23-24高二上·山东泰安·期末）已知点，点B在圆上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设，由定点，且M是线段AB的中点， 由中点坐标公式可得，即， 又点B在圆上，故，即， 整理得， 所以线段AB中点M的轨迹方程是. 【变式11-2】（2025·广东广州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上运动，点在轴上运动，点在线段的延长线上，且，，则点的轨迹方程为 ．    【答案】 【解析】设， 由题意，又， 所以，即， 所以，所以， 所以曲线C的方程为. 【变式11-3】（24-25高一下·安徽·开学考试）设复数满足是虚数单位，则的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设且，由已知得， 故，所以， 故，，故， 将其代入，得. 题型十二 与圆有关的新定义题（跨章节） 解｜题｜技｜巧 对于与圆有关的新定义问题，求解的关键是读懂新定义，然后根据此新定义去解决问题,在求解的过程中，同时结合圆的方程与性质、直线与圆或圆与圆位置关系的相关知识求解. 【典例12】（2025·江苏盐城·模拟预测）在平面直角坐标系中，设点，若点满足，其中为定点，则称点是点关于点的“相关点”. (1)已知点，若点是点关于点的“相关点”，且，求的值. (2)已知圆，点，点是圆上的动点，点是点关于点的“相关点”，若点的轨迹与圆有公共点，求正数的取值范围. 【分析】（1）利用向量夹角公式和圆的方程来求解的值； （2）设，根据 “相关点”，则，，得到设，可得结合，得最后根据点的轨迹与圆有公共点，求得的取值范围即可. 【解析】（1）因为，，点是点关于点的 “相关点”， 所以，， 则，即 因为，所以， 又，，则， 两边平方得，即，即， 解得 （2）设，因为在圆：上，所以 点是点关于点的 “相关点”，则，， 所以， 即 设，则，可得 因为，所以，整理得 因为点的轨迹与圆有公共点，所以两圆的圆心距满足. 连不等式前面可化为. 两边同时平方可得，展开得. 可得. 因为，所以，即，即恒成立，所以， 即不等式的解集为. 连不等式后边可化为. 两边同时平方可得，展开得. 移项可得， 又，可得，解得. 因为不等式的解集为，不等式的解集为， 所以原不等式的解集为. 【变式12】（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）现定义：若圆上一动点，圆外一定点，满足的最大值为其最小值的两倍，则称为圆的“上进点”.若点同时是圆和圆的“上进点”，则称为圆“”的“牵连点”.已知圆. (1)若点为圆的“上进点”，求点的轨迹方程并说明轨迹的形状； (2)已知圆，且均为圆“”的“牵连点”. （i）求直线的方程； （ii）若圆是以线段为直径的圆，直线与交于两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【分析】（1）根据题设定义得到，再利用两点间的距离公式，即可求解； （2）（i）根据条件可得直线为圆和的公共弦所在直线，即可求解；（ii）根据题设得到圆的方程为，再根据题设有，联立，消可得，结合条件，利用根与系数的关系，即可求解. 【解析】（1）设，因为点为圆的“上进点”， 所以，即，又，得到， 所以的轨迹方程为，点的轨迹是以为圆心､为半径的圆. （2）（i）因为为圆“”的“牵连点”，所以同时为圆与圆的“上进点”， 由为圆的“上进点”，得，所以， 即点在圆上， 由为圆的“上进点”，由（1）知点在圆上， 所以点是圆和的交点. 因为均为圆“”的“牵连点”， 所以直线为圆和的公共弦所在直线， 两圆方程相减可得，故直线的方程为. （ii）因为的圆心为，半径为， 又的圆心为，半径为， 所以直线的方程为，与联立得的中点坐标为， 点S到直线的距离为，则， 所以圆的方程为， 假设轴上存在点满足题意，设. 则，即，整理得. 将，代入上式可得， 整理得①， 联立，消可得，， 所以，代入①并整理得， 此式对任意的都成立，所以， 故轴上存在点，满足题意恒成立. 期中基础通关练（测试时间：45分钟） 1．“点M在曲线上”是“点M到两坐标轴距离相等”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】由“点M在曲线上”一定能推出“点M到两坐标轴距离相等”，故充分； 当“点M到两坐标轴距离相等”时，点M不一定在曲线上， 此时，点M也可能在曲线上，故不必要，故选：C 2．（23-24高二上·福建莆田·期中）设方程表示的曲线是（    ） A．一个圆和一条直线 B．一个圆和一条射线 C．一个圆 D．一条直线 【答案】D 【解析】由，可得， 则由，可得， 则方程表示的曲线是一条直线.故选：D 3．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于点在圆的外部，故 ，解得， 故选：C 4.（24-25高二下·上海·期中）关于方程所表示的曲线，下列说法正确的是（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于对称 D．关于原点中心对称 【答案】D 【解析】对于A，用换方程中的，得， 方程发生变化，即曲线关于轴不对称，A错误； 对于B，用换方程中的，得， 方程发生变化，即曲线关于轴不对称，B错误； 对于C，用换，换，得， 方程发生变化，即曲线关于轴不对称，C错误； 对于D，将点代入原方程仍为， 因此曲线关于原点中心对称D正确.故选：D 5．（24-25高二上·河南开封·期中）到x轴距离与到y轴距离之比等于的点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设该动点为，则有，即.故选：D 6．（24-25高二下·贵州黔西·期中）在平面直角坐标系中，，，点P满足，则点P到直线的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】设点， 因为，所以， 整理得， 所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 所以点到直线的最大距离． 故选：B． 7．（23-24高三上·江西·开学考试）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包部边界）的动点．则的最小值为（   ） A．-1 B． C． D． 【答案】B 【分析】表示点与点连线的斜率，求出过点且与以为圆心的半圆相切的切线斜率即可得． 【解析】表示点与点连线的斜率， 由图可知过点且与以为圆心的半圆相切的一条切线的斜率最小，设切线方程为，即， 由，解得或， 所以的最小值是． 故选：B． 8．（多选）（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知点在圆上，点、，则（    ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 【答案】ACD 【解析】圆的圆心为，半径为， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误； 如下图所示： 当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知， ，，由勾股定理可得，CD选项正确. 故选：ACD. 9．(多选)（24-25高二上·河北唐山·期中）已知圆与圆交于两点，则（    ） A．圆与圆有两条公切线 B．直线的方程为 C． D．线段的垂直平分线的方程为 【答案】ABD 【解析】由，则圆心，半径， 由，则圆心，半径， 所以，即，故两圆相交， 所以圆与圆有两条公切线，A对； 两圆作差有，整理得，B对； 由到的距离，则，C错； 由B知，则线段的垂直平分线的斜率， 故线段的垂直平分线的方程为，D对. 故选：ABD 10．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知圆，点，则经过点且与圆 相切的直线方程为 . 【答案】 【分析】将点坐标代入圆方程，验证点在圆上，由切线垂直于圆心和切点直线，求出直线斜率后写出直线方程. 【解析】，即，， ∵，即点在圆上， 设切线为，则，， ∴， ∴切线，即. 11．（24-25高二下·湖南·期末）已知直线，圆，若直线与圆交于M，N两点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】判断直线过定点，根据点在圆内，即可判断取到最大以及最小值时的情况，即可求答案. 【解析】依题意，圆，圆心，半径为， 直线过定点，，故点在圆内， 当直线过圆心时，弦长最大，为直径， 当直线与垂直时，弦长最小， 此时的最小值为，故的取值范围为． 12．（25-26高二上·全国·课后作业）已知平面直角坐标系中不同的三点，，，圆心在轴上的圆经过三点，设点的坐标为，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】由题意得圆心在轴上的圆经过点，，三点， 可得线段为圆的直径，而点在圆上，则，得到， 又，，则，而不重合，得到， 故点的轨迹方程为． 13．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若过定点的直线被圆所截得的弦长为6，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【解析】（1）由题意得线段的中点坐标为，直线的斜率为， 所以线段的垂直平分线方程为，即， 由，得，即， 所以圆的半径为， 所以圆的方程为； （2）因为直线被圆所截得的弦长为6， 所以圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线为，则圆心到直线的距离为3，不合题意， 所以直线的斜率存在，设直线为，即， 则，化简整理得，解得或， 所以直线为或. 14．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，圆交于两点，在第二象限． (1)求以为直径的圆的方程； (2)若过点的直线（斜率存在）交圆于点，交圆于点，且，求直线CD的方程． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据题意，圆，圆心为，半径为3， 圆，圆心为，半径为4，两圆方程相减得，所以直线的方程为． 所以所求圆的圆心为，半径为， 所以以为直径的圆的方程为． （2）A在第二象限，由（1）可得， 如图，不妨设点分别在圆和圆上，易知直线的斜率存在，设直线的方程是，即，则点到直线的距离为，点到直线的距离为． 15．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，M是线段的中点. (1)求点M的轨迹方程； (2)记（1）中所求轨迹为曲线C，过定点的直线l与曲线C交于P，Q两点，并且被曲线截得的弦长为，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【解析】（1）设点，由点的坐标为，且是线段的中点， 则，可得，即， 因为点在圆上运动，所以点坐标满足圆的方程， 即，整理得， 所以点的轨迹方程为. （2）由（1），曲线C的方程为，圆心，半径， 由弦长为，半径为2，则圆心到直线的距离， ①当直线的斜率不存在时，即：，符合题意； ②当直线的斜率存在时，设直线，即， 则圆心到直线的距离为，解得， 所以直线的方程为. 综上，直线的方程为或. 期中重难突破练（测试时间：40分钟） 16．已知圆与直线相交于不同的两点，，点满足，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，则. ，则直线过定点， 注意到在圆上，设为点M，则，因， 则为中点，如图取CM中点为F，连接PF，由中位线定理可得： ，，则点的轨迹方程为以为圆心， 半径为1的圆去掉点M，即. 故选：B 17．（24-25高二上·辽宁·期中）“”是“直线与曲线恰有1个公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】曲线表示圆心，半径为的圆的上半部分（包括与轴的交点）， 直线的斜率为1，在轴上的截距为， 当直线与曲线恰有1个公共点时，该直线与曲线相切或有一个交点， 如图所示： 相切时，圆心到直线距离等于2，则， 即或（舍去，因为当时与下半部分相切，不符合题意）. 由图象可知，有一个交点时，. 综上可知，当直线与曲线恰有1个公共点时，或. 于是，当“”时，直线“与曲线恰有1个公共点”，则充分性成立； 当直线与曲线恰有1个公共点时，或，则必要性不成立. 所以， “”是“直线与曲线恰有1个公共点”的充分不必要条件. 故选：A 18．（24-25高二上·黑龙江鹤岗·月考）设，．若动直线与交于点A，C，动直线与交于点B，D，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 圆心，半径， 过定点， 过定点，且⊥， 如图，设和中点分别为F、G，则四边形为矩形，    设，，则， 则＝ ，当且仅当即时取等号. 故选：B. 19．（多选）（24-25高二上·广西玉林·期中）已知圆，设点为圆上的动点，则下列选项正确的是（   ） A．点到原点的距离的最小值为2 B．过点的直线与圆截得的最短弦长为6 C．的最大值为1 D．过点作圆的切线有2条 【答案】AD 【分析】由题意可知圆心和半径.结合圆的性质判断AB；分析可知表示直线的斜率，结合切线分析求解；对于D：分析可知点在圆外，即可得结果. 【解析】由题意可知：圆的圆心为，半径， 对于选项A：点到原点的距离的最小值为，故A正确； 对于选项B：因为，可知点在圆内， 所以最短弦长为，故B错误； 对于选项C：因为表示直线的斜率，    当与圆相切时，此时，取到最大值，故C错误； 对于选项D：因为，可知点在圆外， 所以过点作圆的切线有2条，故D正确； 故选：AD. 20．（多选）（24-25高二上·浙江杭州·期中）（多选）已知直线，圆，点为圆上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．的最大值为 D．圆心到直线的距离最大为4 【答案】BC 【分析】根据直线和圆的位置关系、点和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【解析】对于A，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径. ，是圆上的点， 所以的最大值为，A错误. 对于B，如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大， 此时，且，B正确. 对于C，设， 则， 等号成立当且仅当，所以C正确. 对于D，圆心到直线的距离， 当时，， 当时，，所以D错误. 故选：BC 21．（多选）（24-25高二上·四川宜宾·期末）已知圆与圆交于两点，则下列说法正确的是（   ） A．两圆的公切线有2条 B．直线的方程为 C．若两点到直线的距离相等，则 D．当时，圆上恰有4个点到直线的距离等于1 【答案】ABD 【分析】求得圆心距，可判断A；两圆方程相减求得得公共弦的方程可判断B；求得两交点坐标，可得，求解可判断C；由题意有4个公共点时，求解可判断D. 【解析】由圆，可得圆，所以圆心，半径， 由圆，可得圆， 所以，半径， 所以两圆的圆心距为，所以， 所以两圆相交，所以两圆的公切线有2条，故A正确； 因为圆与圆， 所以两圆的方程相减可得公共弦的方程：，即，故B正确； 由，得，代入圆，可得， 整理得，解得或，所以，， 由两点到直线的距离相等，所以， 解得或，故C错误； 由圆上恰有4个点到直线的距离等于1，则，解得， 所以当时，圆上恰有4个点到直线的距离等于1，故D正确. 故选：ABD. 22．（多选）（24-25高二上·安徽宣城·期末）已知圆和直线，点P在直线l上运动，直线、分别与圆C相切于点，则下列说法正确的是（    ） A．切线长的最小值为 B．四边形面积的最小值为4 C．当最小时，弦所在的直线方程为 D．弦所在直线必过定点 【答案】BD 【解析】对于A，圆的圆心为，半径为2， 由题意可得， 所以， ， 所以，故A错误； 对于B，， 所以四边形面积的最小值为4，故B正确； 对于C，当最小时，，则直线的斜率为， 又，所以直线的斜率为， 的直线方程为，即， 由，解得，，即， 因为当最小时，，所以为等腰直角三角形， 所以中点即为中点， 因为的中点为，所以弦的中点为， 所以弦所在的直线方程为，即，故C错误； 对于D，设， 则以为直径的圆的方程为， 展开得①， 圆C的方程为，即②， ①②得弦所在直线方程为，即， 令，解得， 所以弦所在直线必过定点，故D正确； 故选：BD． 23．（25-26高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设，，． 因为，所以． 已知，，根据直线的截距式方程（为轴上的截距，为轴上的截距）， 可得直线的方程为． 已知，，则直线的方程为． 因为是和的交点， 所以的坐标满足和的方程． 对于直线的方程， 用表示出,得． 对于直线的方程， 用表示出,得． 因为，所以，即． 当时的情况不满足动点和分别位于轴正半轴和负半轴上， 因此所求轨迹方程为． 24．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆心在直线上且过点的圆与直线相切，其半径小于5．若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线段的长度； (3)过直线上一点作圆的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形面积最小时，求直线CD的方程． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）由题意，设． 圆过点，且与直线相切， ，． 圆的半径小于5， ，此时圆的半径为3，圆心为，故方程为． 圆与圆关于直线对称，圆的方程为． （2）由（1）知圆，圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为，两圆相交，有两条公切线． 又公切线段的长度等于． （3）圆的半径， 则四边形的面积． 设， ， 当时，，此时四边形的面积最小，为． 在以为直径的圆上，圆的方程为， 又圆的方程为， 两个方程相减，可得直线CD的方程为． 期中综合突破练（测试时间：20分钟） 25．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：，    故由图可知，当时，圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时，圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时，圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 26．（24-25高三上·河南开封·阶段练习）造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则C在第一象限的点的纵坐标的最大值与1的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设曲线C上任意一点为， 由题意知，曲线C方程为：，其中， 将点代入曲线方程，得：，则. 故曲线C方程为：，其中. 可得， 当时，. 因此C在第一象限的点的纵坐标的最大值. 故选：D. 27．(多选)（25-26高三上·河北衡水·开学考试）已知A，B是圆O:与x轴的两个交点，动点满足，记点M的轨迹为，则（   ） A．与圆O相切 B．是两条平行的直线 C． 的最大值为 D．上的点到原点O的距离的最大值为6 【答案】C 【解析】 设，由题意，，因，代入坐标可得：， 两边取平方，整理得：，即， 故点M的轨迹为是圆心在点，半径为的圆. 对于A，因圆与圆的圆心距满足，故两圆相交，即A错误； 对于B，由上分析知是圆心在点，半径为的圆，故B错误； 对于C，如图，当与圆相切时，取得最大值，此时记切点为， 因，则，故得的最大值即，故C正确； 对于D，由上分析，因圆的圆心与原点O都在轴上， 故圆与轴的右交点到原点O的距离最大，且距离最大为，故D错误. 故选：C. 28．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ． 【答案】2 【解析】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得. 29.(跨章节)（25-26高二上·河北邢台·开学考试）若正四棱柱的底面棱长为4，侧棱长为3，且为棱上靠近点的三等分点，点在正方形的边界及其内部运动，且满足与底面的所成角，则点形成的轨迹长度为 ． 【答案】 【解析】由平面，则即为与底面的所成角， 所以且，则， 故点形成的轨迹是以为圆心，为半径的四分之一圆， 所以轨迹长度为． 30．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点，，点为直线上动点，当最大时，点的坐标为 ． 【答案】 【解析】以为直径的圆方程为， 因为原点到直线的距离，所以圆与直线相离， 所以， 设，因为点为直线上，所以， 1）当时，，此时； 2）当时，，此时； 3）当且时， 因为，所以， 记直线的斜率分别为， 则， 所以 ， 当时，； 当时， 若，则，， 当且仅当时等号成立，故 若，则，，当且仅当时等号成立. 综上，的最大值为2， 因为单调递增，所以，此时取得最大值，点坐标为. 31．（24-25高二上·福建漳州·期中）过原点O的直线l与圆交于A，B两点，且点． (1)过点P作圆C的切线m，求切线m的方程； (2)求弦AB的中点M的轨迹方程； (3)设直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 【答案】(1)或；(2)；(3)证明见解析 【解析】（1） 当直线的斜率不存在时，直线与圆相离，不符合题意． 当直线的斜率存在时，可设直线，即． 因为直线与圆相切，圆的圆心，半径， 所以，即，解得或． 所以直线的方程为，或． （2） 法一：因为点A，B为过原点O的直线与圆的交点，且点弦AB的中点， 所以，则点的轨迹是以OC为直径的圆，圆心为，半径为， 所以点的轨迹方程为． 法二： 设点．当点不与点，点重合时，由圆的性质可知，， 所以，所以，即． 当点M与点O或点C重合时，和均满足方程． 综上所述，点的轨迹方程为． （3） i）当直线的斜率不存在时，其方程为， 此时点A，B的坐标为，． 所以． ii）当直线的斜率存在时，可设其方程为． 设，， 由联立，得． 由，得，， 所以 ． 综上所述，为定值． 法二： 所以． 所以． 综上所述，为定值． 62 / 71 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $