第十三章《三角形》单元检测培优试卷 2026-2027学年人教版八年级数学上册

简一数理 单元检测试卷 第十三章 《三角形》 单元检测培优试卷 【新教材人教版】 满分：150分；考试时间：120分钟 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分150分，限时120分钟。本卷题型针对性高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（26-27八年级上·全国·课后作业）在课堂上，老师在黑板上画出了如图所示的三个三角形，让同学们根据它们的边长进行分类．其中，分类错误的是（     ） A．①是三边都不相等的三角形 B．②③是等腰三角形 C．②③是等边三角形 D．③是等边三角形 【答案】C 【分析】根据等边三角形，等腰三角形的定义可逐项判定求解． 【详解】解：A．①三边，是三边都不相等的三角形，故①是不等边三角形，分类正确，不符合题意； B．②有两边相等，③三边都相等（等边属于特殊等腰），所以②③都是等腰三角形，分类正确，不符合题意； C．②边长是3、3、4，三边不全部相等，不是等边三角形；只有③三边都是3，才是等边三角形．所以这个分类错误，符合题意； D选项：③三边都为3，是等边三角形，分类正确，不符合题意． 2．（26-27八年级上·湖北荆州·阶段检测）以下列各组线段为边能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】通过比较每组线段中较短两边之和与最长边的大小，判断能否组成三角形． 【详解】解：A选项：，不能组成三角形； B选项：，能组成三角形； C选项：，不能组成三角形； D选项：，不能组成三角形． 3．（26-27八年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）生活中很多建筑采用三角形支架结构，这一设计利用了三角形的性质是（     ） A．三边封闭性 B．稳定性 C．内角和为180° D．对称性 【答案】B 【分析】根据三角形具有稳定性解答． 【详解】解：三角形具有稳定性，是生活中三角形结构广泛应用的核心原因，其余选项不是支架结构所利用的主要性质． 4．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在中，是中线，是角平分线，是高，下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形中线、角平分线、高的定义判断：中线平分对边，得到，；角平分线是，故，不是；高垂直底边，，因此B选项错误． 【详解】解：是中线， ，故A正确； ，故D正确； 是角平分线， ，故B错误； 是高， ，故C正确． 5．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，是的中线，若，，则的长不可能是（     ） A．5 B．3 C．18 D．12 【答案】B 【分析】先根据中线的定义求出长，再根据三角形三边关系定理求出边的取值范围即可判断． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， ∵， ∴， 即， 故长度不可能为3． 6．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是（    ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条内角平分线的交点 C．三角形三条高线的交点 D．三角形三边垂直平分线的交点 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的重心，悬挂点应是三角形的重心，三条中线的交点就是三角形的重心，据此即可作答，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是三角形的重心，即三角形三条中线的交点， 故选：． 7．（24-25七年级下·上海青浦·期中）下列命题中，真命题是（    ） A．三角形的三条高交于同一点 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．如果两条直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补 【答案】B 【详解】解：A、三角形的三条高是线段，只有三条高所在直线才交于同一点，钝角三角形的三条高本身不相交，∴该命题是假命题，不符合题意； B、根据平面内垂直的基本定理，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，∴该命题是真命题，符合题意； C、在同一平面内，只有过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，过该点不存在与已知直线平行的直线，∴该命题是假命题，不符合题意； D、只有两条平行直线被第三条直线所截，截得的同旁内角才互补，题干未说明两条直线平行，∴该命题是假命题，不符合题意； 8．（26-27八年级上·重庆巫山·阶段检测）已知如图，在中，，，平分，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出的度数，再由平行线的性质可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 9．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图，直线，点，在上，点，在上，连接，，，且，交于点．若平分，，，当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设，结合平行线、角平分线得，再联立条件得，对选项逐一分析即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 已知平分，设，则： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， 在中，将代入、，得， ， 解得， 已知，代入，得， ， 解得， 由，逐一验证选项： A．，变化，不符合题意； B．，变化，不符合题意； C．，变化，不符合题意； D．，恒为，值不变，符合题意． 10．（26-27八年级上·山东德州·阶段检测）如图，在中，，平分，点在射线上，于，交、于点、，于．下列结论：；；；．其中正确的结论个数为（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据垂直的定义得到，即可判断①；利用三角形的外角性质判断②；推出，再结合三角形的外角性质证得③；由，得到，即可判断④． 【详解】解：平分， ， ， ， ，， ， ，， ， ，， ，故正确， ，，， ，故正确， ，， ， ， ，故正确， ，，， ， ，故错误， 故正确的结论有3个． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24分） 11．（七年级下·江苏南通·阶段检测）设的三边长是a，b，c．若，，则a的取值范围是______________． 【答案】 【分析】已知三角形两边长，求第三边的取值范围，利用三角形三边关系计算即可． 【详解】解：∵三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，，， ∴边长a满足不等式， 将，代入不等式得， 化简得． 12．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，分别是，，的中点，（阴影部分）的面积是，则的面积为______． 【答案】 【分析】根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分，逐步推导各三角形的面积关系即可求解． 【详解】解：∵是的中点， ∴， ∵是的中点， ∴，， ∴． 13．（25-26八年级上·山西太原·阶段检测）如图，在中，是角平分线，是中线，若，则，若，则_____度． 【答案】36 【分析】本题考查了三角形的角平分线和中线，掌握相关定义是解题关键． 根据角平分线将角分成相等的两个角，可求出的度数． 【详解】解：∵是角平分线，， ∴， ∴， 故答案为：36． 14．（26-27八年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，在中，，，，分别是边，上的高，且，则的长为_______． 【答案】 【分析】根据三角形面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵，分别是边，上的高， ∴， ∴． 15．（26-27八年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，在中，，的平分线相交于点O，、分别为边，边上的高，相交于点P，且，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据高、外角的定义以及三角形内角和定理求出，，的度数，设，，利用角平分线的定义用分别表示，利用三角形内角和求出，再次利用三角形内角和即可求出的度数． 【详解】解： 、分别为边，边上的高， ， ，，， ， ， ， 设，， ，， ，的平分线相交于点， ，， 在中，， ， ， 在中，， ， ． 16．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）如图，在中，，点在上，过点作，交于点平分，交的平分线于点与相交于点的平分线与相交于点，则__________． 【答案】/29度 【分析】根据平行线的性质以及角平分线定义可得，再求出，然后根据三角形外角的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 三、解答题(本大题共9小题,满分86分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（26-27八年级上·江西南昌·阶段检测）（本题6分）证明三角形内角和定理：三角形三个内角和等于． 已知：如图，．求证：． 【答案】 证明：过点作直线 ∵ ∴， ∵ ∴ 即． 【分析】过点作直线，根据平行线的性质即可证明． 【详解】略 18．（26-27八年级上·贵州贵阳·阶段检测）（本题6分）如图，在中，是角平分线，是中线，是高线． (1)若．则 ，若，，则 ， ． (2)如果，求的长； 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）先根据三角形内角和求出，再结合角平分线的定义即可求得；结合三角形面积公式以及中线的性质即可求得两个三角形面积； （2）根据中线的定义可得是的中点，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵在中，是中线，是高线，，， ∴，， 故答案为：；；． （2）解：∵在中，是中线，． ∴． 19．（26-27八年级上·河南漯河·阶段检测）（本题8分）如图，，、是的三个内角，，是三角形的外角，已知，，求、、的度数． 【答案】，， 【分析】因为和是邻补角，和为，可求的度数．因为是中三角形的外角，所以用外角定理可求的度数．因为和是邻补角，所以根据邻补角和为，可求的度数，也可以利用三角形外角等于不相邻两内角和的性质计算． 【详解】解：． ∵， ∴ ． ． 20．（26-27八年级上·甘肃张掖·阶段检测）（本题8分）如图，是的中线，是的中线，若的面积是4，求四边形的面积． 【答案】 【分析】先根据是的中线，得到，再由是的中线，得到，从而求得四边形的面积． 【详解】解：是的中线， ， 又是的中线， ， ， ，， ， ． 21．（26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）（本题8分）已知的三边长分别为． (1)若，，且为奇数，求的周长； (2)化简：． 【答案】(1)的周长为． (2)化简结果为． 【分析】（1）根据三角形的三边关系求出边的长，即可求出周长； （2）根据三角形的三边关系和绝对值的意义，分别化简求和即可 【详解】（1）解：，， ，即， 又为奇数， ， 的周长为． （2）解：根据三角形的三边关系知，     ， ，， 又， ． ． 22．（26-27八年级上·湖北荆州·阶段检测）（本题10分）如图，，是的两条高． (1)若，，求的度数； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余可以求出，根据角之间的关系可以求出，即可求出，再根据直角三角形的两个锐角互余求出的度数； （2）根据三角形的面积公式可得，即可求出的长． 【详解】（1）解：是的高，， ， ， ， ， 是的高， ； （2）解：，是的两条高， ， 即， ． 23．（26-27八年级上·江苏连云港·阶段检测）（本题12分）按要求完成作图： (1)如图1，在边长为1的正方形方格纸中，的顶点都在方格纸的格点（小正方形的顶点）上． ①请在图1中仅用无刻度的直尺画出的中线． ②请在图2中仅用无刻度的直尺确定一点，使得点与、两点的距离相等，且到、两边的距离也相等． (2)如图3，在中，，试在边上找一点，使得到点的距离等于到边的距离． 【答案】(1)①如图所示，点为所求点， ②如图所示，点为所求点， (2)如图所示，点为所求点， 【分析】（1）①利用正方形方格纸的特点证明，得到，再次证明可知点为的中点； ②根据方格纸可知为等腰直角三角形，所以；由图可知为的平分线，因此点为所求点． （2）利用角平分线的定义得到，再根据垂直平分线的性质得到，从而得到，最后根据直角三角形的两锐角互余和等量代换可知点为所求点． 【详解】（1）①解：如图所示， 由题意得：，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 再次证明， 得， ∴． ②见答案 （2）解：如图所示， 作的角平分线， ∴， 作线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点为所求点． 24．（26-27八年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）（本题14分）探究解题： 【问题】 (1)如图（1）所示，在中，平分，平分，若，则 ；若，则 ． 【探究】 (2)如图（2）所示，在中，，三等分，，三等分，若，求的大小（用含的式子表示，直接写出结果）． (3)如图（3）所示，是的平分线与外角的平分线的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)．理由如下： 由三角形的外角性质得，，， 是与外角的平分线和的交点， ，， ， ， ． 【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出，再利用角平分线的定义求出，然后根据三角形的内角和等于列式计算即可得解；将的度数换成，然后求解即可； （2）利用三角形的内角和等于求出，再利用三等分角求出，然后根据三角形的内角和等于列式计算即可得解； （3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出和，再根据角平分线的定义可得，，然后整理即可得解． 【详解】（1）解：， ， 平分，平分， ，， ， ； 由三角形的内角和定理得，， 平分，平分， ，， ， ； （2）解：由三角形的内角和定理得，， ，三等分，，三等分， ，， ， ； （3）略 25．（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）（本题14分）解答下列各题 (1)如图1，是的外角，平分，平分，若，则_________（用含的式子表示） (2)如图2，是的外角，和的三等分线、相交于点（，），若，则_________（用含的式子表示） (3)在中，，，若的三等分线与的外角的三等分线交于点，请直接写出的度数． (4)如图3，是四边形的外角，设、．和的三等分线、相交于点（，），求证：． 【答案】(1) (2) (3)的度数为或或或. (4)证明: 如图， 延长,相交于点， ∵和的三等分线、相交于点， ∴，， ∴，， ∵是的外角，是的外角， ∴，即：， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵是的外角，， ∴即：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】(1)根据三角形外角的性质,结合已知得，，再根据角平分线定义得，，进一步等量代换即可得． （2）根据三角形外角的性质,结合已知得，，再根据和的三等分线、相交于点，得，，等量代换即可得． （3）分别讨论①当的三等分线与的外角的三等分线交于点，，时，②当的三等分线与的外角的三等分线交于点，，时，③当的三等分线与的外角的三等分线交于点，，时，的度数，再说明当的三等分线与的外角的三等分线交于点，，时， 进一步综合即可得答案． （4）延长,相交于点，根据和的三等分线、相交于点，得，，再根据是的外角，是的外角，得，，等量代换即可得，再根据是的外角，结合平角定义和已知条件即可得，进一步等量代换即可证明． 【详解】（1）解：如图1， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴ ∵是的外角， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图2， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴ ∵是的外角， ∴， ∵和的三等分线、相交于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：①如下图，当的三等分线与的外角的三等分线交于点，，时，则：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． ②如下图，当的三等分线与的外角的三等分线交于点，，时，则：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴的度数为． ③如下图，当的三等分线与的外角的三等分线交于点，，时，则：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴    ， ∴的度数为． ④如下图， 当的三等分线与的外角的三等分线交于点，，时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴    ， ∴的度数为． 综上所述，的度数为或或或. （4）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 单元检测试卷 第十三章 《三角形》 单元检测培优试卷 【新教材人教版】 满分：150分；考试时间：120分钟 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分150分，限时120分钟。本卷题型针对性高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（26-27八年级上·全国·课后作业）在课堂上，老师在黑板上画出了如图所示的三个三角形，让同学们根据它们的边长进行分类．其中，分类错误的是（     ） A．①是三边都不相等的三角形 B．②③是等腰三角形 C．②③是等边三角形 D．③是等边三角形 2．（26-27八年级上·湖北荆州·阶段检测）以下列各组线段为边能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（26-27八年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）生活中很多建筑采用三角形支架结构，这一设计利用了三角形的性质是（     ） A．三边封闭性 B．稳定性 C．内角和为180° D．对称性 4．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在中，是中线，是角平分线，是高，下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，是的中线，若，，则的长不可能是（     ） A．5 B．3 C．18 D．12 6．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是（    ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条内角平分线的交点 C．三角形三条高线的交点 D．三角形三边垂直平分线的交点 7．（24-25七年级下·上海青浦·期中）下列命题中，真命题是（    ） A．三角形的三条高交于同一点 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．如果两条直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补 8．（26-27八年级上·重庆巫山·阶段检测）已知如图，在中，，，平分，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图，直线，点，在上，点，在上，连接，，，且，交于点．若平分，，，当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（     ） A． B． C． D． 10．（26-27八年级上·山东德州·阶段检测）如图，在中，，平分，点在射线上，于，交、于点、，于．下列结论：；；；．其中正确的结论个数为（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24分） 11．（七年级下·江苏南通·阶段检测）设的三边长是a，b，c．若，，则a的取值范围是______________． 12．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，分别是，，的中点，（阴影部分）的面积是，则的面积为______． 13．（25-26八年级上·山西太原·阶段检测）如图，在中，是角平分线，是中线，若，则，若，则_____度． 14．（26-27八年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，在中，，，，分别是边，上的高，且，则的长为_______． 15．（26-27八年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，在中，，的平分线相交于点O，、分别为边，边上的高，相交于点P，且，则的度数为______． 16．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）如图，在中，，点在上，过点作，交于点平分，交的平分线于点与相交于点的平分线与相交于点，则__________． 三、解答题(本大题共9小题,满分86分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（26-27八年级上·江西南昌·阶段检测）（本题6分）证明三角形内角和定理：三角形三个内角和等于． 已知：如图，．求证：． 18．（26-27八年级上·贵州贵阳·阶段检测）（本题6分）如图，在中，是角平分线，是中线，是高线． (1)若．则 ，若，，则 ， ． (2)如果，求的长； 19．（26-27八年级上·河南漯河·阶段检测）（本题8分）如图，，、是的三个内角，，是三角形的外角，已知，，求、、的度数． 20．（26-27八年级上·甘肃张掖·阶段检测）（本题8分）如图，是的中线，是的中线，若的面积是4，求四边形的面积． 21．（26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）（本题8分）已知的三边长分别为． (1)若，，且为奇数，求的周长； (2)化简：． 22．（26-27八年级上·湖北荆州·阶段检测）（本题10分）如图，，是的两条高． (1)若，，求的度数； (2)若，，，求的长． 23．（26-27八年级上·江苏连云港·阶段检测）（本题12分）按要求完成作图： (1)如图1，在边长为1的正方形方格纸中，的顶点都在方格纸的格点（小正方形的顶点）上． ①请在图1中仅用无刻度的直尺画出的中线． ②请在图2中仅用无刻度的直尺确定一点，使得点与、两点的距离相等，且到、两边的距离也相等． (2)如图3，在中，，试在边上找一点，使得到点的距离等于到边的距离． 24．（26-27八年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）（本题14分）探究解题： 【问题】 (1)如图（1）所示，在中，平分，平分，若，则 ；若，则 ． 【探究】 (2)如图（2）所示，在中，，三等分，，三等分，若，求的大小（用含的式子表示，直接写出结果）． (3)如图（3）所示，是的平分线与外角的平分线的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由． 25．（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）（本题14分）解答下列各题 (1)如图1，是的外角，平分，平分，若，则_________（用含的式子表示） (2)如图2，是的外角，和的三等分线、相交于点（，），若，则_________（用含的式子表示） (3)在中，，，若的三等分线与的外角的三等分线交于点，请直接写出的度数． (4)如图3，是四边形的外角，设、．和的三等分线、相交于点（，），求证：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $