第13章三角形分层课后作业训练 2026--2027学年人教版八年级数学上册

人教版八年级数学上册第13章三角形分层课后作业训练 一、知识要点 1. 三角形的概念与要素 　由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形。三角形有 3 个顶点、3 条边、3 个内角。 【解读与引例】解读：组成三角形的三条线段必须“首尾顺次相接”且“不在同一直线上”，否则不能构成三角形。引例：记作 △ABC 时，顶点是大写字母 A、B、C，边是小写字母 a、b、c（a 对着 ∠A）。 2. 三角形的分类 　按边分：不等边三角形、等腰三角形（含等边三角形）；按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 【解读与引例】解读：分类要“不重不漏”。等边三角形是特殊的等腰三角形；有一个角是直角的就是直角三角形。引例：三边都相等的三角形是等边三角形，它同时属于等腰三角形。 3. 三角形的三边关系 　三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。即若三边长为 a、b、c，则 a + b > c，b + c > a，a + c > b。 【解读与引例】解读：判断三条线段能否组成三角形，只需看“较短两边之和大于最长边”。引例：长度 3、4、5 能组成三角形（3 + 4 > 5）；而 1、2、3 不能（1 + 2 = 3，不大于 3）。 4. 与三角形有关的线段（中线、角平分线、高） 　三角形的中线：连接一个顶点与它对边中点的线段；角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交的线段；高：从顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段。三角形还具有稳定性。 【解读与引例】解读：中线把对边分成相等的两段（BD = DC = BC）；三条中线、三条角平分线、三条高分别交于一点。引例：AD 是中线，则 BD 与 DC 相等。 5. 三角形的内角和 　三角形三个内角的和等于 180°，即 ∠A + ∠B + ∠C = 180°。 【解读与引例】解读：已知任意两个内角可求第三个；直角三角形的两个锐角互余（和为 90°）。引例：∠A = 60°、∠B = 50°，则 ∠C = 180° - 60° - 50° = 70°。 6. 三角形的外角 　三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，且大于任何一个与它不相邻的内角。 【解读与引例】解读：外角 = 不相邻两内角之和（不是加相邻内角）。引例：∠A = 50°、∠B = 70°，则外角 ∠ACD = 50° + 70° = 120°。 二、学习任务单 1. 能说出三角形的概念与基本要素（顶点、边、角），会给三角形分类。 2. 会运用三角形三边关系判断三条线段能否组成三角形，会求第三边的取值范围。 3. 认识三角形的中线、角平分线和高，能在图形中识别它们，知道三角形具有稳定性。 4. 会用三角形内角和定理求角的度数，知道直角三角形的两锐角互余。 5. 会运用三角形外角性质进行角度计算与简单推理。 三、例题精讲（先看范例，再练题） 例1．(2024·长沙) 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）。A. 4cm,5cm,9cm　B. 8cm,8cm,15cm　C. 5cm,5cm,10cm　D. 6cm,7cm,14cm 【解析】解：判断三条线段能否组成三角形，只需看“较短两边之和是否大于最长边”。A：4 + 5 = 9，不大于 9，不能；B：8 + 8 = 16 > 15，能；C：5 + 5 = 10，不大于 10，不能；D：6 + 7 = 13 < 14，不能。故选 B。答：B。 例2．(2025·绵阳) 在 △ABC 中，∠B、∠C 的平分线 BE、CD 相交于点 F，若 ∠A = 60°，求 ∠BFC 的度数。 【解析】解：由三角形内角和，∠B + ∠C = 180° - ∠A = 120°。因为 BE、CD 平分 ∠B、∠C，所以 ∠FBC + ∠FCB = (∠B + ∠C) = 60°。在 △BFC 中，∠BFC = 180° - 60° = 120°。答：∠BFC = 120°。 例3．(2024·宿迁 改编) 如图，在 △ABC 中，D 在边 BC 的延长线上，若 ∠A = 35°，∠B = 24°，求外角 ∠ACD 的度数。 【解析】解：由三角形外角性质，∠ACD = ∠A + ∠B = 35° + 24° = 59°。答：∠ACD = 59°。 四、易错警示 1. 误判能否成三角形：应验证“较短两边之和大于最长边”，有人漏算或把“两边之和”误当作“两边之差”。 2. 混淆三种线段：中线分得两线段相等，高垂直于对边，角平分线分得两角相等——三者定义易混。 3. 内角和用错：三角形内角和是 180°（不是 360°，那是四边形）；外角不能直接当成内角相加。 4. 外角性质用反：外角等于“不相邻”两内角之和，不是相邻的那个内角；也不能写成等于两个内角之和（含相邻）。 5. 等腰三角形漏解：已知一角求另两角时，未区分“已知角是顶角还是底角”两种情况，常漏掉一种。 五、A 组　基础巩固（全体必做） 1. 由不在同一条直线上的三条线段 相接所组成的图形叫做三角形。 2. 三角形按边分类，可以分为不等边三角形、 和等边三角形。 3. (2024·长沙) 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）。A. 4cm,5cm,9cm　B. 8cm,8cm,15cm　C. 5cm,5cm,10cm　D. 6cm,7cm,14cm 4. (2024·常德) 已知三角形两边长分别为 3 和 7，则此三角形第三边的长可能是（ ）。A. 1　B. 2　C. 8　D. 11 5. (2024·镇江) 等腰三角形的两边长分别为 6 和 2，则第三边长为 。 6. (2024·河北) 下列图形中，具有稳定性的是 （填“三角形”或“四边形”）。 7. (2024·贵阳 改编) 在 △ABC 中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的 。 8. (2024·淮安 改编) 在 △ABC 中，∠A = 60°，∠B = 45°，则 ∠C = °。 9. (2024·宿迁 改编) 如图，在 △ABC 中，D 在边 BC 的延长线上，若 ∠A = 35°，∠B = 24°，则外角 ∠ACD = °。 10. 直角三角形的一个锐角为 35°，则另一个锐角为 °。 11. 三角形按角分类，可以分为锐角三角形、 和钝角三角形。 12. (2024·青海西宁 改编) 等腰三角形的两边长分别为 3 和 6，则它的周长为 。 六、B 组　能力提升 13. (2024·淮安) 用一根小木棒与两根长度分别为 3cm、5cm 的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（ ）。A. 9cm　B. 7cm　C. 2cm　D. 1cm 14. (2025·连云港) 下列长度（单位：cm）的 3 根小木棒能搭成三角形的是（ ）。A. 1,2,3　B. 2,3,4　C. 3,5,8　D. 4,5,10 15. (2025·绵阳) 在 △ABC 中，∠B、∠C 的平分线 BE、CD 相交于点 F，若 ∠A = 60°，则 ∠BFC = °。 16. (2024·德阳) 在 △ABC 中，AD 是高，AE 是中线，AD = 4，S△ABC = 12，则 BE = 。 17. (2024·青海西宁) 若长度分别为 3、6、a 的三条线段能组成一个三角形，则整数 a 可以是 （写出一个即可）。 18. 已知等腰三角形的一个内角为 80°，求另外两个角的度数。 七、C 组　拓展探究 19. (2024·毕节) 已知一个三角形的两边长分别为 8 和 2，则这个三角形的第三边长可能是（ ）。A. 4　B. 6　C. 8　D. 10 20. (2024·宿迁 改编) 如图，在 △ABC 中，D 在边 BC 的延长线上，∠A = 35°，∠B = 24°，求外角 ∠ACD 的度数，并说明 ∠ACD 与 ∠A、∠B 的关系。 21. 在 △ABC 中，∠A = ∠B + ∠C，判断 △ABC 的形状，并说明理由。 22. (2024·德阳) 在 △ABC 中，AD 是高，AE 是中线，AD = 4，S△ABC = 12，求 BE 的长。 23. 等腰三角形的周长为 18，一边长为 4，求另外两边的长。 24. (2025·绵阳 改编) 在 △ABC 中，∠B、∠C 的平分线相交于 F，若 ∠A = 50°，则 ∠BFC = °。 八、方法归纳 1. 判定三边能否成三角形：只需验证“较短两边之和大于最长边”（等价于任意两边之和>第三边）。 2. 求角度：内角和 180° 是核心，知二求一直接用；比例问题先求“每份”度数再分别相乘。 3. 外角速算：外角 = 不相邻两内角之和，也等于 180° - 相邻内角。 4. 角平分线综合：两内角平分线夹角 ∠BFC = 90° + ∠A（即 180° - (180° - ∠A)）。 5. 等腰三角形：涉及“一边长或一角度”时务必分类讨论（腰/底、顶角/底角两种可能）。 九、分层达标自评表 层级 我能做到 自评（★） A 组（基础） 会说三角形概念与分类，会用三边关系判断成三角形，会求简单角度 B 组（能力） 会求第三边范围与按比例分配角度，会分类讨论等腰三角形的角，会用外角与角平分线综合 C 组（拓展） 三边关系综合判断、外角性质推理、角平分线综合、含参数与情境应用 作业训练参考答案（A / B / C 组） A 组：1. 首尾顺次　2. 等腰三角形　3. B（8 + 8 > 15）　4. C（4 < x < 10，仅有 8 在区间内）　5. 6（若 2 为腰则 2 + 2 < 6 不成三角形）　6. 三角形　7. 中线　8. 75（180 - 60 - 45）　9. 59（∠ACD = ∠A + ∠B = 35 + 24）　10. 55（90 - 35）　11. 直角三角形　12. 15（腰只能为 6，三边 6、6、3；3、3、6 不成三角形） B 组：13. B（2 < x < 8）　14. B（2 + 3 > 4）　15. 120（∠BFC = 180° - (180° - 60°) = 180° - 60° = 120）　16. 3（BC = 2S ÷ AD = 6，中线 BE = BC = 3）　17. 4（答案不唯一，5、6、7、8 均可）　18. ① 顶角 80° 时底角 50°、50°；② 底角 80° 时顶角 20°，即 20°、80° C 组：19. C（6 < a < 10，仅有 8）　20. ∠ACD = ∠A + ∠B = 35° + 24° = 59°；∠ACD 等于与它不相邻的两个内角之和　21. ∠A = 90°，是直角三角形（∠A + ∠B + ∠C = 180°，∠A = ∠B + ∠C ⇒ 2∠A = 180°）　22. 由 S = ·BC·AD = 12，AD = 4 得 BC = 6；AE 为中线，BE = BC = 3　23. 若 4 为腰：4、4、10 不成三角形；故 4 为底，腰 = (18 - 4) ÷ 2 = 7，另两边为 7、7　24. 115（∠BFC = 180° - (180° - 50°) = 180° - 65° = 115） 学科网（北京）股份有限公司 $