第24讲 平行线的证明（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年北师大版八年级数学上册

简一数理 初中专题讲义 第24讲 平行线的证明 （新教材北师大版） 知识点一、平行线 2 知识点二、平行的构造 2 知识点三、证明书写要点 3 知识点四、典型模型 3 知识点五、易错点 3 【题型1 同位角相等两直线平行】 4 【题型2 内错角相等两直线平行】 5 【题型3 同旁内角互补两直线平行】 6 【题型4 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行】 7 【题型5 平行公理的应用】 8 【题型6 平行公理推论的应用】 8 【题型7 两直线平行同位角相等】 9 【题型8 两直线平行内错角相等】 10 【题型9 两直线平行同旁内角互补】 11 【题型10 根据给平行线判定与性质证明】 12 【探究式学习】 13 【课后检测】 15 【复盘笔记】 23 知识点一、平行线 1．平行线：在同一平面内，永不相交的两条直线称为平行线．用“//”表示． 2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【例】如图1，过直线a外一点A作b//a，c//a，则b与c重合． 3．平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 简记为：平行于同一条直线的两条直线平行． 【例】如图2，若b//a，c//a，则b//c． 图1 图2 图3 4．平行线的性质 （1）两直线平行，同位角相等．如图3，若a//b，则． （2）两直线平行，内错角相等．如图3，若a//b，则． （3）两直线平行，同旁内角互补．如图3，若a//b，则． 5．平行线的判定 （1）同位角相等，两直线平行．如图3，若，则a//b． （2）内错角相等，两直线平行．如图3，若，则a//b． （3）同旁内角互补，两直线平行．如图3，若，则a//b． 知识点二、平行的构造 1．如图4，若a//b，则 2．如图5，若a//b，则 图4 图5 知识点三、证明书写要点 1. 几何证明格式：已知、求证、证明；每一步后面标注依据（判定 / 性质 / 定义 / 对顶角相等、等量代换等） 2. 识图：找准截线，分清哪两个角是同位、内错、同旁内角 3. 不能直接 “看图感觉平行”，必须用角的关系推理 知识点四、典型模型 （一）基础模型 1. “Z” 型：内错角 2. “F” 型：同位角 3. “U” 型：同旁内角 （二）模型拓展 1．平行线折线模型 模 型 示例剖析 若，则； 若，则． 若，则； 若，则． 2．等积变形（利用平行线来转化面积，俗称“拉窗帘法”） （1）平行线间距离 两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离都是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离． 推论：平行线间的距离处处相等． （2）如图，,则，． 知识点五、易错点 1. 忽略前提：只有两直线平行，才有内错角相等；单独说 “内错角相等” 是假命题。 2. 判定和性质混用：已知平行用性质；要证平行用判定。 3. 同旁内角是互补（和为 180°），不是相等。 4. 三条直线不在同一平面，结论不成立（初中默认在同一平面）。 【题型1 同位角相等两直线平行】 【例1】（25-26七年级下·宁夏·期中）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来方向上平行行驶，则这两次拐弯的角度应为（     ） A．第一次向右拐，第二次向左拐 B．第一次向左拐，第二次向左拐 C．第一次向左拐，第二次向右拐 D．第一次向右拐，第二次向右拐 【变式1-1】如图，点在的延长线上，下列条件中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图①所示，是工程中画平行线的工具．在画平行线之前，先通过调整中间螺丝的松紧来调整横板与竖板的夹角，使其呈直角，如图②所示；再根据调整好的工具中的横板画平行线即可，如图③所示．其中画平行线的数学道理，下列解释不合理的是（     ） A．同位角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．过一点，有且只有一条直线与已知直线平行 D．在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【变式1-3】下列图形中，由，能得到的是（     ） A． B． C． D． 【题型2 内错角相等两直线平行】 【例2】如图，下列所给的条件中，能判断直线的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，下列条件中，不能判定的是（）． A． B． C． D． 【变式2-2】将一块三角板（，）按如图方式放置，使，两点分别落在直线，上，添加下列一个条件，不能判定直线的是（     ） A．， B． C． D． 【变式2-3】如图，直线被直线所截，点B在直线上，连接，下列条件能判定的是（     ） A． B． C． D． 【题型3 同旁内角互补两直线平行】 【例3】（26-27九年级上·内蒙古呼和浩特·开学考试）如图，点，分别是线段，上的点，若，以下判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，，，，垂足为A，则下列选项中错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】下面给出的说法中，其中正确的有（     ） （1）最大的负整数是； （2）在同一个平面内，经过一个已知点只能画一条直线和已知直线平行； （3）当时，； （4）若，则； （5）一组邻补角的两条角平分线构成一个直角； （6）同旁内角相等，两直线平行； A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3-3】如图，有下列四个条件：①；②；③；④．其中能判定的有（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④ 【题型4 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行】 【例4】（26-27八年级上·贵州安顺·阶段检测）如图，已知点在第一象限射线上，若是直角，顶点在上，角两边与轴轴分别交于点，点，且，则等于（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-1】有下列命题： ①对顶角相等； ②垂直于同一条直线的两条直线平行； ③平行于同一条直线的两条直线平行； ④内错角相等； 其中假命题有（     ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【变式4-2】下列各图中，能画出的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④ 【变式4-3】下列命题中真命题的个数是（     ） ①同位角相等； ②若，，则； ③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④如果两条直线都与同一条直线垂直，那么这两条直线互相平行； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型5 平行公理的应用】 【例5】（26-27八年级上·河南信阳·开学考试）下列说法正确的有（     ） ①对顶角相等；②两条直线被第三条直线所截，所得的同位角相等； ③在同一平面内，不重合的两条直线若不相交，则必平行； ④若两个角不是对顶角，则这两个角一定不相等； ⑤同旁内角互补； ⑥经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式5-1】下列命题：①同位角相等；②在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条直线；③过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；④相等的角是对顶角．其中真命题的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式5-2】在同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；②直线与直线之间垂线段最短；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤两两不重合的三条直线交点个数为3个，其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-3】下列说法正确的个数是（     ） （1）两条直线不相交就平行； （2）在同一平面内，两条平行的直线有且只有一个交点； （3）过一点有且只有一条直线与已知直线平行； （4）平行于同一直线的两条直线互相平行； （5）两直线的位置关系只有相交与平行． A．个 B．个 C．个 D．个 【题型6 平行公理推论的应用】 【例6】（26-27七年级上·山东烟台·开学考试）如图，直线，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，高铁车顶上的“受电弓”能保持稳定和高效的电能传输，其示意图如图所示，已知，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】近几年中学生近视的现象越来越重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳，则此时的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】如图是一款手机支架，右图是它的示意图．支撑杆与水平桌面的夹角，当张角时，面板与水平方向的夹角度数为（     ） A． B． C． D． 【题型7 两直线平行同位角相等】 【例7】（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）如图，将一块含角的直角三角尺和一把直尺摆放在一起（角的顶点在直尺边上），，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，直线，量角器的零刻度线与重合，其中心与，的交点重合，则的度数为（     ） A．130 B．55 C．50 D．45 【变式7-2】下列命题中：①相等的角是对顶角；②同位角相等；③如果两个角的两边分别垂直，那么这两个角相等．其中真命题的个数是（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【变式7-3】下列命题是真命题的有（     ）个 ①同位角相等； ②垂线段最短； ③经过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④0的平方根与算术平方根都是0； ⑤1是1的一个平方根； ⑥如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等． A．3 B．4 C．5 D．6 【题型8 两直线平行内错角相等】 【例8】（26-27八年级上·重庆九龙坡·阶段检测）如图，点、在线段上，，，再添加一个条件，不能使的是（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】如图，，平分，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，在与中，点，，，在同一条直线上，，，．若，，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】如图，直线，相交于点，于，交于点，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【题型9 两直线平行同旁内角互补】 【例9】下列命题中，是真命题的是（     ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．算术平方根等于它本身的数是0和1 C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．若，则 【变式9-1】如图，若，，，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式9-2】下列命题中，是真命题的是（     ） A．相等的角是对顶角 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 【变式9-3】下列命题中真命题的个数是（     ） ①同位角相等； ②若，，则； ③如果两条直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补； ④如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型10 根据给平行线判定与性质证明】 【例10】（26-27八年级上·四川自贡·阶段检测）如图，，以下结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（     ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【变式10-1】如图，，点E在的延长线上，平分，平分交的延长线于点G，且．则下列结论错误的是（     ） A．平分 B． C． D． 【变式10-2】下列命题：①同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④如果同一平面内的三条直线只有两个交点，那么这三条直线中必有两条直线互相平行．其中真命题的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式10-3】下列命题中：真命题有（   ） ①实数与数轴上的点一一对应； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③若点在坐标轴上，则； ④已知点、点，则轴． A．个 B．个 C．个 D．个 【探究式学习】 1．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使得．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方，其中． (1)将图1中的三角尺绕点O逆时针旋转至图2，使得三角尺的一边在的内部，且恰好平分，求的度数； (2)将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图3，使得三角尺的一边在的内部，请探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)将图1中的三角尺绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，旋转的过程中，在第几秒时，边与射线恰好平行． 2．（25-26七年级下·河南三门峡·期末）综合与实践 活动1你有多少种画平行线的方法 学习了平行线后，李明、刘伟、王芳三位同学分别想出了过直线外一点画这条直线的平行线的新方法． 王芳是通过折纸画的，方法如图所示． 【观察发现】 (1)图（2）中操作得到的折痕与直线a的位置关系是 ；以下三个结论，能作为判定图（4）中直线的依据的是 （填序号即可）． ①同位角相等，两直线平行 ②两直线平行，同位角相等 ③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【联系拓展】 (2)将正方形纸片按图方式折叠，标记字母如图，若，求∠EBA的度数．小亮经过思考，想到过点E作．请你根据小亮的想法作出辅助线，并解答； 【迁移探究】 (3)将长方形纸带按如图方式折叠、和分别为折痕，若，，当时，直接写出α与β之间的数量关系． 【课后检测】 1．（26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）下列命题中，是真命题的是（     ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 C．过一点有无数条直线与已知直线平行 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 2．（26-27八年级上·浙江宁波·阶段检测）下列命题是假命题的是（     ） A．等角的补角相等 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．对顶角相等 D．两直线平行，同位角相等 3．（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，、相交于点E，若，则下列结论中不正确的是（     ） A． B． C．E为中点 D． 4．（2026·山东淄博·中考真题）如图，某冰球运动员用球杆连续击球，使冰球从点出发，沿，，，运动至点，已知，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 5．（26-27八年级上·辽宁鞍山·开学考试）给出下列命题： ①实数与数轴上的点是一一对应的； ②对顶角相等； ③两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直．其中真命题有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2026·辽宁·中考真题）如图，，直线分别与，相交于点，，的平分线交于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）如图，将长方形纸片，（，，）沿折痕折叠，点，的对应点分别为，，线段交线段于点，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）如图，下列条件中，不能判定的是（     ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·黑龙江绥化·期末）下列命题是真命题的是（     ） A．相等的角是对顶角 B．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．同位角相等 10．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，王芳同学通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线．已知点E，F，M，N，G，H是正方形边上的点，点P是正方形内一点．如图1，将正方形沿过P点的线段折叠，使点E落在上的点，点D落在点处，如图2，展开后将正方形沿过P点的线段折叠，使点G落在上的点，点A落在点处，连接．有如下结论： ①图1中，； ②图1中，若，则； ③图2中，； ④图2中，点P是的中点； ⑤图2中，若平分，平分， 则；其中一定正确的结论有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 11．（2026·江苏南通·中考真题）如图，直线，，则的度数为________． 12．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图， 直线， 直线与直线、 分别相交于点、 ，，垂足为点， 若， 则________． 13．（26-27八年级上·四川绵阳·开学考试）如图，小明利用两块相同的三角板，分别在三角板的边缘画平行线，这样做的依据是_______，两直线平行． 14．（26-27八年级上·新疆昌吉·阶段检测）如图，点E，F在上，，，下列条件①；②；③；④；⑤中能使成立的是________． 15．（26-27八年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，是的边上一点，交于点，，，若，，则________． 16．（26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）如图，点在线段上，，，求证： 17．（26-27八年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，在中，D是上的一点，交于点E．若．求证：是的角平分线． 18．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）如图，且，．求证：． 19．（26-27八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，点在一条直线上，，说明．请将下面的说理过程和理由补充完整． 解：，（已知）， ___________（等式的性质） 即___________， ，（已知） ___________（_____________________） 在和中有，（_____________）， __________________________（_____________） ．（_____________） 20．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）问题提出 (1)如图①，点分别在直线的两侧，于点于点，若，是直线上一动点，则的最小值为______； 问题探究 (2)如图②，点在直线的同一侧，于点于点，若，是直线上一动点，求的最小值； 问题解决 (3)某市进行河滩治理，将原来一条废弃的小河通过规划后建成一条集旅游、休闲、餐饮于一体的景点，如图③，是两条互相垂直的旅游大道，是位于河中的两座休闲小岛，且岛与的距离分别为，岛与的距离分别为，现计划在旅游大道上选一点，修建桥梁，通往两岛，并修建桥梁，将两岛连起来，为了控制成本，要求修建桥梁的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求修建桥梁总长度的最小值．（结果保留根号） 21．（七年级下·吉林长春·期中）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象地称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图①，，E为、之间一点，连接、，请你写出与、之间的数量关系，并说明理由； (2)请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下列问题． ①【类比探究】如图②，，线段与线段相交于点E，，平分交直线于点F，则__________； ②【拓展延伸】如图③，，线段与线段相交于点E，，过点D作交直线于点G，平分，平分，求的度数． 22．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）如图，直线，为平面内一点，连接、，试判断、、的数量关系．刘老师摘选了其中三种情形如图①、②、③． (1)请你选择其中一种完成证明；（注明你选的是图几） (2)在图①中，作平分，平分，两条角平分线交于点，如图④，直接写出与的数量关系 ； (3)在（2）的条件下，过点作交于点，若恰好平分，且，在图⑤中补全图形，并求出的度数． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 49 页 第 1 页 共 49 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 第24讲 平行线的证明 （新教材北师大版） 知识点一、平行线 2 知识点二、平行的构造 2 知识点三、证明书写要点 2 知识点四、典型模型 3 知识点五、易错点 3 【题型1 同位角相等两直线平行】 3 【题型2 内错角相等两直线平行】 6 【题型3 同旁内角互补两直线平行】 8 【题型4 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行】 10 【题型5 平行公理的应用】 13 【题型6 平行公理推论的应用】 15 【题型7 两直线平行同位角相等】 18 【题型8 两直线平行内错角相等】 20 【题型9 两直线平行同旁内角互补】 22 【题型10 根据给平行线判定与性质证明】 23 【探究式学习】 26 【课后检测】 30 【复盘笔记】 49 知识点一、平行线 1．平行线：在同一平面内，永不相交的两条直线称为平行线．用“//”表示． 2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【例】如图1，过直线a外一点A作b//a，c//a，则b与c重合． 3．平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 简记为：平行于同一条直线的两条直线平行． 【例】如图2，若b//a，c//a，则b//c． 图1 图2 图3 4．平行线的性质 （1）两直线平行，同位角相等．如图3，若a//b，则． （2）两直线平行，内错角相等．如图3，若a//b，则． （3）两直线平行，同旁内角互补．如图3，若a//b，则． 5．平行线的判定 （1）同位角相等，两直线平行．如图3，若，则a//b． （2）内错角相等，两直线平行．如图3，若，则a//b． （3）同旁内角互补，两直线平行．如图3，若，则a//b． 知识点二、平行的构造 1．如图4，若a//b，则 2．如图5，若a//b，则 图4 图5 知识点三、证明书写要点 1. 几何证明格式：已知、求证、证明；每一步后面标注依据（判定 / 性质 / 定义 / 对顶角相等、等量代换等） 2. 识图：找准截线，分清哪两个角是同位、内错、同旁内角 3. 不能直接 “看图感觉平行”，必须用角的关系推理 知识点四、典型模型 （一）基础模型 1. “Z” 型：内错角 2. “F” 型：同位角 3. “U” 型：同旁内角 （二）模型拓展 1．平行线折线模型 模 型 示例剖析 若，则； 若，则． 若，则； 若，则． 2．等积变形（利用平行线来转化面积，俗称“拉窗帘法”） （1）平行线间距离 两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离都是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离． 推论：平行线间的距离处处相等． （2）如图，,则，． 知识点五、易错点 1. 忽略前提：只有两直线平行，才有内错角相等；单独说 “内错角相等” 是假命题。 2. 判定和性质混用：已知平行用性质；要证平行用判定。 3. 同旁内角是互补（和为 180°），不是相等。 4. 三条直线不在同一平面，结论不成立（初中默认在同一平面）。 【题型1 同位角相等两直线平行】 【例1】（25-26七年级下·宁夏·期中）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来方向上平行行驶，则这两次拐弯的角度应为（     ） A．第一次向右拐，第二次向左拐 B．第一次向左拐，第二次向左拐 C．第一次向左拐，第二次向右拐 D．第一次向右拐，第二次向右拐 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理，结合图形即可求得答案． 【详解】解：A、如图，，， ∴， ∴， ∴与不平行，故该选项不符合题意； B、如图，，， ∴， ∴， ∴，但方向相反，该选项不符合题意； C、如图，，， ∴， ∴，故该选项符合题意； D、如图，，，， ∴， ∴与不平行，故该选项不符合题意． 【变式1-1】如图，点在的延长线上，下列条件中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：， ， 故本选项不符合题意， 选项B：， ， 故本选项不符合题意， 选项C：， ， 故本选项符合题意， 选项D：， ， 故本选项不符合题意． 【变式1-2】如图①所示，是工程中画平行线的工具．在画平行线之前，先通过调整中间螺丝的松紧来调整横板与竖板的夹角，使其呈直角，如图②所示；再根据调整好的工具中的横板画平行线即可，如图③所示．其中画平行线的数学道理，下列解释不合理的是（     ） A．同位角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．过一点，有且只有一条直线与已知直线平行 D．在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【答案】C 【分析】根据平行线的判定和推论依次判断即可． 【详解】解：选项A：两个横板与竖板形成的同位角都是，符合同位角相等，两直线平行的原理，解释合理，不符合题意； 选项B：两个横板与竖板形成的同旁内角和为，符合同旁内角互补，两直线平行的原理，解释合理，不符合题意； 选项C：“过一点，有且只有一条直线与已知直线平行”的前提是这个点在已知直线外，且该定理描述的是过定点作平行线的唯一性，并不是这个工具画出两条平行线的依据，解释不合理，符合题意； 选项D：两个横板都垂直于同一条竖板，符合同一平面内垂直于同一直线的两直线平行的原理，解释合理，不符合题意． 【变式1-3】下列图形中，由，能得到的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A项，与是直线、被直线所截形成的内错角，由可得，不能得到，故A不符合题意； B项，与不是由两条直线被第三条直线所截形成的角，无法判定，故B不符合题意； C项，的对顶角与处于同位角的位置，由及对顶角相等可得同位角相等，进而得到，故C符合题意； D项，与是直线和被直线所截形成的同旁内角，由无法判定，故D不符合题意. 【题型2 内错角相等两直线平行】 【例2】如图，下列所给的条件中，能判断直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，不能得到直线，不符合题意； B、，不能得到直线，不符合题意； C、，不能得到直线，不符合题意； D、，根据内错角相等，两直线平行，能判断直线，符合题意. 【变式2-1】如图，下列条件中，不能判定的是（）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的判定定理，即“内错角相等，两直线平行”，“同旁内角互补，两直线平行”，由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，，同旁内角互补，两直线平行，能判定； B选项，，内错角相等，两直线平行，能判定； C选项，，内错角相等，两直线平行，能判定； D选项，，判定，不能判定． 【变式2-2】将一块三角板（，）按如图方式放置，使，两点分别落在直线，上，添加下列一个条件，不能判定直线的是（     ） A．， B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的判定定理，结合三角形内角和及平角定义，推导时与的数量关系，再逐项验证． 【详解】解：，， ， 点在直线上， ， ， 要使，则需要，即； A、若，，满足，，不符合题意； B、若，即，，不符合题意； C、若，则，整理得，，不符合题意； D、若，无法推出（仅当 时成立），不能判定，符合题意． 【变式2-3】如图，直线被直线所截，点B在直线上，连接，下列条件能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的判定进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴（内错角相等，两直线平行） 故D选项符合题意， 其他选项都不能判定． 【题型3 同旁内角互补两直线平行】 【例3】（26-27九年级上·内蒙古呼和浩特·开学考试）如图，点，分别是线段，上的点，若，以下判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同旁内角互补，两直线平行可得结果． 【详解】解：和是和被所截形成的同旁内角，， ． 【变式3-1】如图，，，，垂足为A，则下列选项中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由垂直定义得出 ，结合 求出 ，由，可判断A；由A正确可得 ，即得与相等，可判断B、C；最后判断无法证得 ，可判断D． 【详解】解：， ， ， ， ， ，选项 A 正确； ∴， ∴ ，选项 B 正确，选项 C 正确；　　 现有条件无法证明 ，选项 D 错误． 故答案为 D． 【变式3-2】下面给出的说法中，其中正确的有（     ） （1）最大的负整数是； （2）在同一个平面内，经过一个已知点只能画一条直线和已知直线平行； （3）当时，； （4）若，则； （5）一组邻补角的两条角平分线构成一个直角； （6）同旁内角相等，两直线平行； A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：（1）最大的负整数是，正确． （2）在同一个平面内，经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误． （3）当时，，正确． （4）若，则，原说法错误． （5）邻补角和为，两条角平分线分得的半角和为，构成直角，正确． （6）同旁内角互补，两直线平行，原说法错误． 正确的说法共3个， 故选：B． 【变式3-3】如图，有下列四个条件：①；②；③；④．其中能判定的有（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 【详解】解：①∵，∴，故不符合题意； ②∵，∴，故符合题意； ③∵，∴，故符合题意； ④∵，∴，故不符合题意． 【题型4 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行】 【例4】（26-27八年级上·贵州安顺·阶段检测）如图，已知点在第一象限射线上，若是直角，顶点在上，角两边与轴轴分别交于点，点，且，则等于（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，证明可得，，结合已知点坐标求出，进而得、，最后利用线段和差求解即可． 【详解】解：过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，如图， 则，， ∴， ∴， ∵是直角， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵点， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式4-1】有下列命题： ①对顶角相等； ②垂直于同一条直线的两条直线平行； ③平行于同一条直线的两条直线平行； ④内错角相等； 其中假命题有（     ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】判断命题是否为假，即判断是否存在条件成立但结论不成立的情况，对于命题①，依据对顶角的性质判断真假，对于命题②，先确认命题成立的前提条件，如果没有限定在同一平面内，那么结合空间中直线的位置关系判断真假，对于命题③，依据平行公理的推论判断真假，对于命题④，先明确内错角相等的前提条件，如果缺少两直线平行的前提，那么该命题为假． 【详解】解：①对顶角相等是真命题； ②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故原说法是假命题； ③平行于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题； ④两条直线平行，内错角相等，故内错角相等是假命题． 其中假命题有②④． 【变式4-2】下列各图中，能画出的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解此题的关键．根据平行线的判定定理逐项判断即可得出答案． 【详解】解：根据同位角相等，两直线平行，可得①正确； 根据垂直于同一直线的两条直线平行，可得②、③正确； 根据内错角相等，两直线平行，可得④正确； 故选：D． 【变式4-3】下列命题中真命题的个数是（     ） ①同位角相等； ②若，，则； ③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④如果两条直线都与同一条直线垂直，那么这两条直线互相平行； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】只需逐一核对每个命题，判断真假后统计真命题个数即可，解题时需注意命题成立的前提条件． 【详解】解：①只有当两条被截直线平行时，同位角才相等，原命题缺少前提条件，故①是假命题； ②根据平行公理的推论，平行于同一条直线的两条直线互相平行，故②是真命题； ③原命题缺少“在同一平面内”的前提，空间中过一点有无数条直线与已知直线垂直，故③是假命题； ④原命题缺少“在同一平面内”的前提，不在同一平面内时两条直线不一定平行，故④是假命题； ⑤原命题缺少“直线外”的前提，若点在已知直线上，无法过该点作出已知直线的平行线，故⑤是假命题； 综上，真命题共1个． 【题型5 平行公理的应用】 【例5】（26-27八年级上·河南信阳·开学考试）下列说法正确的有（     ） ①对顶角相等；②两条直线被第三条直线所截，所得的同位角相等； ③在同一平面内，不重合的两条直线若不相交，则必平行； ④若两个角不是对顶角，则这两个角一定不相等； ⑤同旁内角互补； ⑥经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：①根据对顶角的性质得对顶角相等，故①正确； ②两条平行线被第三条直线所截，所得的同位角相等；故②不正确； ③在同一平面内，不重合的两条直线若不相交，则必平行；故③正确； ④例如两个直角不是对顶角，但这两个直角相等，故④不正确； ⑤两条平行线被第三条直线所截，所得的同旁内角互补，故⑤不正确； ⑥经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故⑥正确； 综上所述：正确的有①③⑥，共3个． 【变式5-1】下列命题：①同位角相等；②在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条直线；③过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；④相等的角是对顶角．其中真命题的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】明确同位角、垂直定义、平行线的性质、平行公理以及对顶角的定义和性质，再逐一分析每个命题是否正确即可． 【详解】解：①只有两直线平行时同位角才相等，故①是假命题； ②在同一平面内，一条直线垂直于两条平行线中的一条，则它也垂直于另一条直线，故②是真命题； ③根据平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故③是真命题； ④对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故④是假命题， ∴真命题共有2个． 【变式5-2】在同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；②直线与直线之间垂线段最短；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤两两不重合的三条直线交点个数为3个，其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】抓住各结论的适用前提与直线位置关系的多种可能，逐一判断正误． 【详解】解：①正确．②错误，垂线段最短的适用对象是点与直线，而非直线与直线． ③正确，同一平面内该结论成立． ④错误，需限定点在已知直线外． ⑤错误，两两不重合的三条直线交点个数有、、、四种可能． 正确的说法共个． 【变式5-3】下列说法正确的个数是（     ） （1）两条直线不相交就平行； （2）在同一平面内，两条平行的直线有且只有一个交点； （3）过一点有且只有一条直线与已知直线平行； （4）平行于同一直线的两条直线互相平行； （5）两直线的位置关系只有相交与平行． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】需注意“同一平面内”的前提及平行公理中点的位置，逐一判断各说法． 【详解】解：（1）（5）均未限定“同一平面内”的前提，表述错误； （2）同一平面内，平行直线没有交点，表述错误； （3）只有过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行，表述错误； （4）平行于同一直线的两条直线互相平行，表述正确； 综上，正确的说法共个． 【题型6 平行公理推论的应用】 【例6】（26-27七年级上·山东烟台·开学考试）如图，直线，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过C作，过B作，利用平行线的性质和判定即可得出结论． 【详解】解：过C作，过B作， ∴,, ∴， ∵, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴， ∴， ∴, ∴． 【变式6-1】如图，高铁车顶上的“受电弓”能保持稳定和高效的电能传输，其示意图如图所示，已知，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作，根据平行线的判定和性质求出，，根据计算即可． 【详解】解：如图，作， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【变式6-2】近几年中学生近视的现象越来越重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳，则此时的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，可知，由题意可知，根据平行线的判定和性质得到，即可求出的度数． 【详解】解：过点作， ， ， ， ， ， ， ． 【变式6-3】如图是一款手机支架，右图是它的示意图．支撑杆与水平桌面的夹角，当张角时，面板与水平方向的夹角度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作，过点作，先求出的度数，进而可得的度数，再得出，根据两直线平行，内错角相等即可得． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【题型7 两直线平行同位角相等】 【例7】（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）如图，将一块含角的直角三角尺和一把直尺摆放在一起（角的顶点在直尺边上），，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由“两直线平行，同位角相等”求出的度数，再根据平角的定义求出的度数，最后根据“两直线平行，同旁内角互补”即可求出的度数． 【详解】解：如图， ∵直尺的两边互相平行，即， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式7-1】如图，直线，量角器的零刻度线与重合，其中心与，的交点重合，则的度数为（     ） A．130 B．55 C．50 D．45 【答案】C 【分析】先从量角器读出，再根据，得到，即可得到的度数． 【详解】解：由量角器读数可得 ∵， 【变式7-2】下列命题中：①相等的角是对顶角；②同位角相等；③如果两个角的两边分别垂直，那么这两个角相等．其中真命题的个数是（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】D 【分析】结合对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，以及两直线平行，同位角相等、两直线平行，同旁内角互补等内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：相等的角不一定是对顶角， 例如角平分线分成的两个角相等但不是对顶角， 故①是假命题． 两直线平行时同位角才相等，缺少前提条件， 故②是假命题． 若两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补， 例如与的角两边可分别垂直， 故③是假命题． 综上，真命题的个数为0． 【变式7-3】下列命题是真命题的有（     ）个 ①同位角相等； ②垂线段最短； ③经过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④0的平方根与算术平方根都是0； ⑤1是1的一个平方根； ⑥如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】解：①两直线平行时同位角才相等，故①是假命题； ②垂线段最短，故②是真命题； ③在同一平面内，经过直线上一点才有且只有一条直线与已知直线垂直，命题缺少该前提，故③是假命题； ④的平方根与算术平方根都是，故④是真命题； ⑤的平方根是，是的一个平方根，故⑤是真命题； ⑥如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故⑥是假命题； 综上，真命题共个． 【题型8 两直线平行内错角相等】 【例8】（26-27八年级上·重庆九龙坡·阶段检测）如图，点、在线段上，，，再添加一个条件，不能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴； 添加条件，结合，，可利用证明，故A不符合题意； 添加条件，结合，，可利用证明，故B不符合题意； 添加条件，则可证明，结合，，可利用证明，故C不符合题意； 添加条件，结合，，不可利用证明，故D符合题意． 【变式8-1】如图，，平分，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行线的性质得，由角平分线的定义得，再根据两直线平行，内错角相等，即可求解． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ． 【变式8-2】如图，在与中，点，，，在同一条直线上，，，．若，，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，证明，得到，进而计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式8-3】如图，直线，相交于点，于，交于点，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平行线的性质得出的度数，结合垂直定义及角的和差关系计算． 【详解】解：， ， ， ， ． 【题型9 两直线平行同旁内角互补】 【例9】下列命题中，是真命题的是（     ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．算术平方根等于它本身的数是0和1 C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．若，则 【答案】B 【分析】根据平行线的性质与判定，算术平方根的定义，绝对值的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，本选项命题未限定点在已知直线外，是假命题； B．算术平方根等于本身的数是和，是真命题； C．两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，本选项命题未说明两条被截直线平行， 是假命题； D．取，，满足，但，本选项命题是假命题． 【变式9-1】如图，若，，，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等进行求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴ 无法求得和的度数． 【变式9-2】下列命题中，是真命题的是（     ） A．相等的角是对顶角 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 【答案】D 【分析】根据对顶角定义、平行公理、平行线的判定与性质逐项判断命题的真假即可． 【详解】解：A．对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，例如两个直角三角板的直角相等，并非对顶角，故A是假命题，不符合要求； B．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，不存在与已知直线平行的直线，故B是假命题，不符合要求； C．只有两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角才互补，任意两条直线不满足该结论，故C是假命题，不符合要求； D．同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线，与已知直线形成的同位角都是，根据同位角相等，两直线平行，可判定两条直线平行，故D是真命题，符合要求． 【变式9-3】下列命题中真命题的个数是（     ） ①同位角相等； ②若，，则； ③如果两条直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补； ④如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】需根据平行线的公理、性质逐一核对每个命题的条件是否完整，即可得出结论． 【详解】解：逐个判断命题真假： ① 只有两直线平行时，同位角才相等，该命题缺少前提条件，是假命题； ② 根据平行公理的推论，平行于同一条直线的两条直线互相平行，即若，，则，该命题是真命题； ③ 只有两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角才互补，该命题缺少前提条件，是假命题； ④ 该命题缺少“在同一平面内”的前提，因此是假命题； ⑤ 只有过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，无法作出平行线，该命题缺少前提，是假命题； 综上，真命题共1个，故选A． 【题型10 根据给平行线判定与性质证明】 【例10】（26-27八年级上·四川自贡·阶段检测）如图，，以下结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（     ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】由全等三角形的性质可得，，，，，再结合线段的和差、平行线的性质逐项分析即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴，，，，，故①正确； ∴，，故③正确； ∴，故④正确； ∵， ∴， ∴，即，故②正确； 综上所述，正确的有①②③④． 【变式10-1】如图，，点E在的延长线上，平分，平分交的延长线于点G，且．则下列结论错误的是（     ） A．平分 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平行线性质、角平分线定义及垂直定义推导角度关系，逐项判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即平分，故A正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∴， ∵， ∴， ∴，故C正确，不符合题意； ∵， ∴， 根据题意无法得到， ∴不一定等于，故D错误，符合题意． 【变式10-2】下列命题：①同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④如果同一平面内的三条直线只有两个交点，那么这三条直线中必有两条直线互相平行．其中真命题的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】注意各命题的适用前提，逐一判断真假． 【详解】解：①同位角不一定相等，缺少“两直线平行”的条件，是假命题； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，缺少“过直线外一点”的条件，是假命题； ③同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，缺少“在同一平面内”的条件，是假命题； ④同一平面内三条直线只有两个交点，则必有两条直线互相平行，是真命题． ∴真命题共1个． 【变式10-3】下列命题中：真命题有（   ） ①实数与数轴上的点一一对应； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③若点在坐标轴上，则； ④已知点、点，则轴． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴的关系、平行公理、平面直角坐标系中点的坐标性质，只需逐个判定四个命题的真假，统计真命题个数即可得到结果． 【详解】解：①∶根据实数的基本性质，实数与数轴上的点一一对应，因此①是真命题． ②∶平行公理要求过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行，若该点在已知直线上，不存在符合条件的平行线，因此②是假命题． ③∶若点在坐标轴上，则点在轴或轴上，可得或，因此，③是真命题． ④∶点与点的纵坐标相等，横坐标不相等，因此直线轴，④是真命题． 综上，真命题共有个，对应选项为B． 【探究式学习】 1．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使得．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方，其中． (1)将图1中的三角尺绕点O逆时针旋转至图2，使得三角尺的一边在的内部，且恰好平分，求的度数； (2)将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图3，使得三角尺的一边在的内部，请探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)将图1中的三角尺绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，旋转的过程中，在第几秒时，边与射线恰好平行． 【答案】(1) (2)，理由如下： ，， ，， ， ， 故与之间的数量关系为： (3)在第9秒或第27秒时，边与射线恰好平行． 【分析】（1）根据平角的定义，角平分线的定义，求出的度数，再根据角的和差关系即可得出结果； （2）根据角的和差关系，得到，，即可得出结论； （3）易得，进而得到当在直线上时，，进行求解即可. 【详解】（1）解：， ， 又∵平分， ， ． （2）略． （3）解：， ， ， ∴当在直线上时，，如图所示，此时旋转角为或， ∵每秒顺时针旋转， ∴在第9秒或第27秒时，边与射线恰好平行． 2．（25-26七年级下·河南三门峡·期末）综合与实践 活动1你有多少种画平行线的方法 学习了平行线后，李明、刘伟、王芳三位同学分别想出了过直线外一点画这条直线的平行线的新方法． 王芳是通过折纸画的，方法如图所示． 【观察发现】 (1)图（2）中操作得到的折痕与直线a的位置关系是 ；以下三个结论，能作为判定图（4）中直线的依据的是 （填序号即可）． ①同位角相等，两直线平行 ②两直线平行，同位角相等 ③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【联系拓展】 (2)将正方形纸片按图方式折叠，标记字母如图，若，求∠EBA的度数．小亮经过思考，想到过点E作．请你根据小亮的想法作出辅助线，并解答； 【迁移探究】 (3)将长方形纸带按如图方式折叠、和分别为折痕，若，，当时，直接写出α与β之间的数量关系． 【答案】(1)垂直；①； (2)，； (3) 【分析】（1）先根据折叠操作的特征判断折痕与直线的位置关系，再区分平行线的判定定理和性质定理，选择符合“由角的关系推平行”的依据即可； （2）根据折叠性质得到对应角相等，结合正方形内角为直角的特征，过作后，利用平行线的传递性得到与也平行，再通过平行线的性质推导角的数量关系即可； （3）先根据折叠性质得到折叠前后对应角相等，再结合平行的性质，利用的条件，通过平行线的性质和邻补角的性质建立和的关系． 【详解】（1）解：第一次折叠使直线沿折痕重合，根据折叠性质，折痕与直线垂直，图2的折痕与直线a的位置关系是垂直； 图4，两次折叠后，直线、都垂直于同一条折痕，得到同位角均为相等， ∴判定图（4）中直线的依据是①同位角相等，两直线平行； （2）解：如图4，过点E作， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：．理由如下： ∵将长方形纸带按如图折叠，和分别为折痕， ， ， ， ， ， ， ，即． 【课后检测】 1．（26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）下列命题中，是真命题的是（     ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 C．过一点有无数条直线与已知直线平行 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【详解】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原命题为假命题，不符合题意； B、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到直线的距离，原命题为假命题，不符合题意； C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题为假命题，不符合题意； D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题，符合题意． 2．（26-27八年级上·浙江宁波·阶段检测）下列命题是假命题的是（     ） A．等角的补角相等 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．对顶角相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】B 【详解】解：A、等角的补角相等，为真命题； B、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题是假命题； C、对顶角相等，为真命题； D、两直线平行，同位角相等，为真命题． 3．（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，、相交于点E，若，则下列结论中不正确的是（     ） A． B． C．E为中点 D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，E为中点， 观察四个选项，选项D中结论不正确． 4．（2026·山东淄博·中考真题）如图，某冰球运动员用球杆连续击球，使冰球从点出发，沿，，，运动至点，已知，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平行线的性质，先由得出内错角相等，求出的度数，再由得出同旁内角互补，从而求出的度数． 【详解】解：， ． ， ， ． 5．（26-27八年级上·辽宁鞍山·开学考试）给出下列命题： ①实数与数轴上的点是一一对应的； ②对顶角相等； ③两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直．其中真命题有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：①实数与数轴上的点是一一对应的，是真命题； ②对顶角相等，是真命题； ③两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等；原说法缺少前提，是假命题； ④在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法缺少前提，是假命题； 即真命题有2个． 6．（2026·辽宁·中考真题）如图，，直线分别与，相交于点，，的平分线交于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线平行内错角相等，求出的度数，再利用角平分线的定义与两直线平行内错角相等求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴． 7．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）如图，将长方形纸片，（，，）沿折痕折叠，点，的对应点分别为，，线段交线段于点，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，过作，证明，结合折叠可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∵长方形纸片沿折痕折叠，点的对应点分别为，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 8．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）如图，下列条件中，不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、与是直线、被直线所截形成的内错角，若，则，故本选项不符合题意； B、，若，即，根据同位角相等，两直线平行，可得，故本选项不符合题意； C、与是直线、被直线所截形成的内错角，若，则，不能判定，故本选项符合题意； D、，若，即，根据同旁内角互补，两直线平行，可得，故本选项不符合题意． 9．（25-26七年级下·黑龙江绥化·期末）下列命题是真命题的是（     ） A．相等的角是对顶角 B．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．同位角相等 【答案】C 【详解】解：A．相等的角不一定是对顶角，如两个独立的直角相等，但不是对顶角，该命题是假命题，故本选项不符合题意． B．只有经过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，不存在平行于已知直线的直线，该命题是假命题，故本选项不符合题意． C．同旁内角互补，两直线平行，是平行线的判定定理，该命题是真命题，故本选项符合题意． D．只有两直线平行时，同位角才相等，缺少前提条件，该命题是假命题，故本选项不符合题意． 10．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，王芳同学通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线．已知点E，F，M，N，G，H是正方形边上的点，点P是正方形内一点．如图1，将正方形沿过P点的线段折叠，使点E落在上的点，点D落在点处，如图2，展开后将正方形沿过P点的线段折叠，使点G落在上的点，点A落在点处，连接．有如下结论： ①图1中，； ②图1中，若，则； ③图2中，； ④图2中，点P是的中点； ⑤图2中，若平分，平分， 则；其中一定正确的结论有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据折叠的性质（轴对称）、正方形的性质、平行线的判定与性质以及多边形内角和定理，逐一分析五个结论的正确性． 【详解】解：①由折叠的性质可知，点 E与点关于直线 对称， ∴， ∵点 在 上， ∴，故①正确； ②由折叠的性质可知：， ∵，， ∴， ∴， ∵ 正方形中， ∴，故②错误； ③由折叠的性质可知，点 G 与点 关于直线 对称， ∴， ∵点在上， ∴， 由①知 ， ∴， 如图，过点 作 ， 则 ， ∴，， 由折叠可知， ∴， ∴， 即，故③正确； ④点 P 是 与 的交点，题目条件无法推出 ，故④错误； ⑤根据折叠可得：，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 根据③得：， ∴， ∵四边形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故⑤正确． 综上所述，正确的结论有①③⑤，共3个． 11．（2026·江苏南通·中考真题）如图，直线，，则的度数为________． 【答案】/55度 【分析】根据“两直线平行，同位角相等”求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 12．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图， 直线， 直线与直线、 分别相交于点、 ，，垂足为点， 若， 则________． 【答案】 【分析】由平行线的性质可得，再结合垂线的定义与三角形的内角和定理计算出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．（26-27八年级上·四川绵阳·开学考试）如图，小明利用两块相同的三角板，分别在三角板的边缘画平行线，这样做的依据是_______，两直线平行． 【答案】内错角相等 【分析】利用画法得到，则根据平行线的判定方法可判断与平行． 【详解】解：由图形可得， 所以（内错角相等，两直线平行）． 14．（26-27八年级上·新疆昌吉·阶段检测）如图，点E，F在上，，，下列条件①；②；③；④；⑤中能使成立的是________． 【答案】②③④ 【分析】由平行线的性质可得，再结合全等三角形的判定定理逐项分析即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ①当添加时，结合，不能推出，故不符合题意； ②当添加时，，即，结合，能推出，故符合题意； ③当添加时，，结合，能推出，故符合题意； ④当添加时，结合，能推出，故符合题意； ⑤当添加时，结合，不能推出，故不符合题意； 综上所述，能使成立的是②③④． 15．（26-27八年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，是的边上一点，交于点，，，若，，则________． 【答案】7 【分析】先根据平行线的性质，得，，再根据说明，从而，最后计算即可． 【详解】解：， ，， 在和中， ， ， ， ， ． 16．（26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）如图，点在线段上，，，求证： 【答案】证明：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 【分析】先证明，则，即可证明． 【详解】略 17．（26-27八年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，在中，D是上的一点，交于点E．若．求证：是的角平分线． 【答案】证明：如图，， ． 又， ， 是的角平分线． 【详解】略 18．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）如图，且，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【详解】略 19．（26-27八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，点在一条直线上，，说明．请将下面的说理过程和理由补充完整． 解：，（已知）， ___________（等式的性质） 即___________， ，（已知） ___________（_____________________） 在和中有，（_____________）， __________________________（_____________） ．（_____________） 【答案】；；；两直线平行，同位角相等；；；；；全等三角形的对应边相等 【分析】根据等式的性质，平行线的性质，全等三角形的判定方法和性质，进行作答即可. 【详解】略 20．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）问题提出 (1)如图①，点分别在直线的两侧，于点于点，若，是直线上一动点，则的最小值为______； 问题探究 (2)如图②，点在直线的同一侧，于点于点，若，是直线上一动点，求的最小值； 问题解决 (3)某市进行河滩治理，将原来一条废弃的小河通过规划后建成一条集旅游、休闲、餐饮于一体的景点，如图③，是两条互相垂直的旅游大道，是位于河中的两座休闲小岛，且岛与的距离分别为，岛与的距离分别为，现计划在旅游大道上选一点，修建桥梁，通往两岛，并修建桥梁，将两岛连起来，为了控制成本，要求修建桥梁的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求修建桥梁总长度的最小值．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作的垂线, 交的延长线于点，连接，根据两点之间线段最短，得到三点共线时，的值最小为的长，根据勾股定理进行求解即可； （2）作点关于直线的对称点，过点作，交的延长线于点，连接，得到，进而得到当三点共线时，最小为的长，再利用勾股定理求解即可； （3）作点关于的对称点连接交于点G，连接，过点作交延长线于点，延长交于点，过点作于点，根据为定值，得到的最小值在最小时取得，得到的最小值为，根据勾股定理分别求出的长，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，过点作的垂线, 交的延长线于点，连接， 由图可知, ， 共线时，最小， ，，， ，， ， ， ， 最小值是； （2）解：如解图①，作点关于直线的对称点，过点作，交的延长线于点，连接， 由对称性可得， ， 当三点共线时，取最小值，即为线段的长， ，，， ，， ， ， 在中，由勾股定理可得， 的最小值是； （3）解：如解图②，作点关于的对称点连接交于点G，连接，过点作交延长线于点，延长交于点，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 由题意可得， ， ， 在中，由勾股定理可得， 由对称性可得， 的最小值为， ， 在中，由勾股定理可得， 修建桥梁总长度的最小值为． 21．（七年级下·吉林长春·期中）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象地称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图①，，E为、之间一点，连接、，请你写出与、之间的数量关系，并说明理由； (2)请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下列问题． ①【类比探究】如图②，，线段与线段相交于点E，，平分交直线于点F，则__________； ②【拓展延伸】如图③，，线段与线段相交于点E，，过点D作交直线于点G，平分，平分，求的度数． 【答案】(1)解：与、之间的数量关系为：，理由如下： 如图， 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴与、之间的数量关系为：． (2)① ② 【分析】（1）过点作，根据平行线公理及推论得，根据平行线性质即可得相等，相等， 进一步根据角的和差计算即可得与、之间的数量关系． （2）根据“猪蹄模型”，结合（1）得：等于，再根据角平分线的定义即可求出的度数． 过点作，根据平行线公理及推论得，根据平行线性质得，根据角平分线定义求出，等量代换可得，再根据求出，再根据角平分线定义求出，再根据求出，再后根据计算即可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：①如图， 根据“猪蹄模型”，结合（1）得：， ∵，， ∴， ∵平分， ∴． ②如图， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴的度数为． 22．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）如图，直线，为平面内一点，连接、，试判断、、的数量关系．刘老师摘选了其中三种情形如图①、②、③． (1)请你选择其中一种完成证明；（注明你选的是图几） (2)在图①中，作平分，平分，两条角平分线交于点，如图④，直接写出与的数量关系 ； (3)在（2）的条件下，过点作交于点，若恰好平分，且，在图⑤中补全图形，并求出的度数． 【答案】(1)选图①：结论：， 证明：过点作，如图所示， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； 选图②，结论：； 证明：过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 选图③，结论：； 证明：过点作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) (3)补全的图形如图所示， 【分析】（1）过点作，根据两直线平行的性质进行推导即可； （2）过点作，根据两直线平行，内错角相等可得，，进而可得，结合平分线的性质可证得即，再结合（1）的结论即可得到与的数量关系； （3）过点作交于点，连接，设，则，根据角平分线的性质可得，，进而得到，，由平行线的性质可得，代入即可求出，即可求出的度数． 【详解】（1）略 （2）如图所示，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴，即， 由（1）可得， ∴， 即； （3）如图所示，过点作交于点，连接， 设， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴ ，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 49 页 第 1 页 共 49 页 学科网（北京）股份有限公司 $