第16讲 二元一次方程组的应用（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年北师大版八年级数学上册

简一数理 初中专题讲义 第16讲 二元一次方程组的应用 （新教材北师大版） 知识点一、核心概念 2 知识点二、常见模型与等量关系（常考） 2 知识点三、易错点 3 知识点四、解题思想 3 【题型1 方案问题】 3 【题型2 行程问题】 5 【题型3 工程问题】 8 【题型4 数字问题】 10 【题型5 年龄问题】 13 【题型6 分配问题】 15 【题型7 销售利润问题】 17 【题型8 和差倍分问题】 19 【题型9 几何问题】 21 【题型10 图表信息题】 24 【题型11 古代问题】 26 【题型12 其他问题】 28 【探究式学习】 30 【课后检测】 33 【复盘笔记】 47 知识点一、核心概念 1. 列二元一次方程组解应用题思路 当题目中有两个未知量，且能找到两组独立等量关系时，设两个未知数，列方程组求解，比一元一次方程更简便。 2. 基本步骤（六步） ① 审：读懂题意，找出已知量、未知量，梳理两个等量关系式； ② 设：设两个未知数（直接设/间接设，带单位）； ③ 列：根据等量关系列出二元一次方程组； ④ 解：用代入消元法或加减消元法解方程组； ⑤ 验：双重检验：一是检验是否满足方程组，二是检验结果是否符合实际意义（人数、物品不能为负数、小数）； ⑥ 答：写出完整答案，带上单位。 口诀：审、设、列、解、验、答。 知识点二、常见模型与等量关系（常考） 1. 和差倍分问题 · 等量：甲±乙=和/差；甲=倍数×乙±多余量 例：甲乙两数和为100，甲比乙的2倍多10。 2. 行程问题 · 基本公式：路程=速度×时间 1. 相遇：甲路程 + 乙路程 = 总路程 1. 追及：快者路程 − 慢者路程 = 路程差 1. 航行：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度−水流速度 3. 工程问题 · 工作总量=工作效率×工作时间，常设总工程量为1 · 合作总量=甲工作量+乙工作量 4. 配套问题 核心：配套物品数量成固定比例 例：1个螺栓配2个螺母，则 螺母数量 = 2 × 螺栓数量 5. 利润销售问题 · 利润=售价−进价；利润率=利润÷进价；总销售额=单价×数量 · 总利润=单件利润×销量 6. 数字问题 两位数：十位数字$a$，个位数字$b$，这个数$(=10a+b)$； 三位数：$(100a+10b+c)$，注意数字≠数本身。 7. 鸡兔同笼（总量问题） 两个总量：总数量、总价值/总腿数。 8. 方案选择问题 列方程组求出临界点，再分类讨论不同方案的成本，选出最优方案。 知识点三、易错点 1. 设未知数和答句必须带单位，方程里面不写单位； 2. 找到两个独立等量关系，不能重复使用同一个关系列两个方程； 3. 解出来的解要符合现实：人数、零件个数是正整数； 4. 区分“多、少、倍、增加到、增加了”等关键词，防止等量关系写反。 知识点四、解题思想 方程思想：把实际问题转化成数学方程组，用代数计算代替算术推理。 【题型1 方案问题】 【例1】学校组织师生共360人参加游园活动，有载客量分别为45人、30人两种客车可供租用，要求可以租其中一种客车或者两种同时租但租的每辆车必须满载，则师生一次性全部到达公园的租车方案有（     ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】C 【分析】根据总人数列出方程，求方程的非负整数解，统计解的个数即可得到方案数． 【详解】设租用载客量45人的客车辆，载客量30人的客车辆，其中为非负整数， 根据题意总人数为360人，可得： ， 两边同除以15化简得： ， 变形得 ， ∵为非负整数， ∴为整数，且， 可得为非负偶数，且， 因此的所有可能取值为，对应的值为，均符合要求， ∴共有5种租车方案． 【变式1-1】在初中数学项目式学习活动中，张老师为更好地促进学生开展小组合作，将全班46名学生分成4人学习小组和6人学习小组，则分组方案有（     ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】C 【分析】设分成个4人组，个6人组，根据总人数列出二元一次方程，结合均为非负整数的条件，找出所有符合要求的解，即可得到分组方案的数量． 【详解】解：设可以分成个4人组，个6人组，根据题意得 ， 整理得 ， ， 均为非负整数 ， ，且为偶数，因此为非负奇数，且 符合条件的取值为， 对应得到： ，，，，共4组不同解， 分组方案有4种． 【变式1-2】为了进一步落实“双减”政策，增加学生室外活动时间，红星小学某社团计划购买一批篮球和足球用于开展课后服务训练．经了解，已知篮球单价是120元，足球单价是150元．若该社团用2400元购买这两种球（篮球、足球都购买）且2400元恰好用完，则该社团的购买方案的种数一共有（     ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】设出两种球的购买数量，根据总费用列出方程，再结合球数为正整数的条件，找出所有符合要求的二元一次方程的解，统计方案数即可． 【详解】解：设购买篮球个，足球个，，均为正整数， 根据题意列方程，得 ， 化简，得 ， 整理，得 ， ∵，均为正整数， 为整数， 又与互质， 是的倍数， 由得 ，解得， 又，因此的可取的值为，对应为，均符合要求， 因此该社团共有种购买方案． 【变式1-3】活动课上，学习委员把班级40名同学分成若干个学习小组，若每组只能是3人或4人，则分组方案一共有（     ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】C 【分析】本题是二元一次方程的实际应用问题，解题思路是根据总人数列出方程，结合分组数为非负整数，找出所有符合条件的分组方案即可． 【详解】解：设3人组有组，4人组有组，其中均为非负整数， 根据题意得 ， 变形得 ， 和互质， 必为的倍数， 又 ， ， 因此的可取非负整数值为，，， ，对应的值分别为，，， ，均符合要求， 分组方案一共有种，故选C． 【题型2 行程问题】 【例2】一条船顺流航行，两小时行驶；逆流航行，三小时行驶．设船在静水中的速度为，水流速度为，下列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用顺流速度、逆流速度与静水速度、水流速度的关系，结合路程速度时间，列方程即可． 【详解】解：设船在静水中的速度为，水流速度为， 顺流航行两小时行驶， ， 逆流航行三小时行驶， ， 因此所列方程组为， 故选：D． 【变式2-1】一列快车从A地匀速驶向B地，一列慢车从B地匀速驶向A地，两车同时出发，各自到达目的地后停止．两车之间的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，则下列结论错误的是（     ） A．两车出发后相遇 B．A，B两地相距 C．快车比慢车早到达目的地 D．快车的速度为，慢车的速度为 【答案】D 【分析】首先明确函数图像的特殊点意义：时的s值就是A、B两地的距离；时对应的t值就是两车相遇的时间；因为两车相向而行，相遇时路程和等于总路程，所以用总路程除以相遇时间可得到两车的速度和； 观察图像拐点，时，此时其中一辆车到达终点，该点对应的s为，可据此先算出先到达终点的车辆的速度，再结合速度和算出另一辆车的速度；分别用总路程除以两车速度，得到两车走完全程的时间，再计算时间差，对应判断各选项． 【详解】选项A：由图可知，时，两车距离，说明出发后两车相遇，A选项结论正确； 选项B：时，两车还未出发，距离，即A、B两地相距，B选项结论正确； 选项D： 两车2小时相遇，因此速度和：， 图像转折点表示快车到达B地（之后仅慢车行驶），从相遇至快车到达，用时，这段路程就是相遇前慢车走的， ∴， 联立， 解得， ∴D选项中快车速度错误，D选项结论错误． 选项C：快车走完全程时间：，慢车走完全程时间：，时间差：，即快车比慢车早到达，C选项结论正确； 【变式2-2】甲、乙两地相距，一艘轮船往返于两地，从甲地顺流航行到乙地用了，从乙地逆流航行回甲地用了，则这艘轮船在静水中的速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用顺流速度，逆流速度与静水速度，水流速度的关系，结合路程公式列方程组求解即可． 【详解】解：设轮船在静水中的速度为，水流速度为， 由题意可得：， 解得：， ∴这艘轮船在静水中的速度为． 【变式2-3】随着新能源汽车技术的飞速发展，越来越多新能源汽车是由后轮驱动的，所以后轮胎的磨损程度比前轮胎严重．设每个新轮胎报废时的总磨损量为，如某轮胎可行驶公里，则每公里的磨损量为，现有某品牌的轮胎安装在前轮时行驶达到万公里时报废，安装在后轮时行驶达到万公里时报废．如果该汽车行驶若干公里后，将前后轮胎进行对换，那么这两对轮胎最多可以行驶（   ） A．万公里 B．万公里 C．万公里 D．万公里 【答案】B 【分析】本题利用总磨损量的关系求解，当两对轮胎同时报废时，行驶总里程最远，根据每个轮胎报废时总磨损量为，列方程相加即可求出总行驶里程． 【详解】解：设换轮胎前行驶万公里，换胎后再行驶万公里刚好全部报废，总行驶里程万公里. ∵每个新轮胎总磨损量为，前轮每公里磨损量为，后轮每公里磨损量为，原前轮胎换胎后在后轮行驶，总磨损为，原后轮胎换胎后在前轮行驶，总磨损为， ∴可得方程组： ， 将两个方程相加得：， 即， 解得， 因此最多可以行驶万公里． 【题型3 工程问题】 【例3】羊城某工程公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了白云区人和镇的工程、工程，甲工程队晴天需要天完成，雨天工作效率下降；乙工程队晴天需天完成，雨天工作效率下降，实际上两个工程队同时开工，同时完工，两个工程队各工作了（    ）天． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设两工程队各工作了天，在施工期间有天有雨，根据题意列出方程组即可求解，根据题意正确列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设两工程队各工作了天，在施工期间有天有雨， 由题意得，， 解得 ∴两个工程队各工作了天， 故选：． 【变式3-1】甲、乙两个工程队负责修建一条长为1000米的公路．甲工程队独立施工3天后，乙工程队加入两工程队联合施工7天后，还剩80米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工3米，求甲、乙工程队每天各施工多少米？设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米．根据题意，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据甲工程队每天比乙工程队多施工3米，可得方程，根据甲工程队独立施工3天后，乙工程队加入两工程队联合施工7天后，还剩80米的工程，可得，选择符合题意的选项即可． 【详解】解：设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米， 根据根据甲工程队独立施工3天后，乙工程队加入两工程队联合施工7天后，还剩80米的工程，可得， 可列方程组， 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，明确题意，列出相应的方程组是解题的关键． 【变式3-2】某污水处理厂库池里现有待处理的污水m吨．另有从城区流入库池的待处理污水（新流入污水按每小时n吨的定流量增加）．若该厂同时开动2台机组，需30小时处理完污水；若同时开动3台机组，需15小时处理完污水．若5小时处理完污水，则需同时开动的机组数为（    ） A．6台 B．7台 C．8台 D．9台 【答案】B 【分析】设同时开动x台机组，每台机组每小时处理a吨污水，根据“如果同时开动2台机组要30小时刚好处理完污水，同时开动3台机组要15小时刚好处理完污水”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值（用含a的代数式表示），再由5小时内将污水处理完毕，即可得出关于关于x的一元一次方程，解之可得出结论． 【详解】解：设同时开动x台机组，每台机组每小时处理a吨污水， 依题意，得， 解得：， ∵5ax=30a+5a， ∴x=7． 答：要同时开动7台机组． 故选：B． 【点睛】本题考查的是用二元一次方程组来解决实际问题，正确的理解题意是解题的关键． 【变式3-3】一份工作，甲、乙合作20天后乙再单独做8天才完成．若甲的效率提高，乙的效率提高，合作20天就可完成全部工作，则甲单独完成这份工作需（    ） A．28天 B．34天 C．48天 D．58天 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设总工程为，甲每天完成总工程的，乙每天完成总工程的，根据工作总量=工作效率×工作时间，结合“甲、乙合作天后，乙再单独做天才完成；提高工作效率后，甲、乙合作天就可完成全部工作”，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出的值，再将其代入即可求出结论． 【详解】解：设总工程为，甲每天完成总工程的，乙每天完成总工程的， 依题意得：， 解得：， ∴， ∴甲独做这件工作天可以完成． 故选：B． 【题型4 数字问题】 【例4】在大禹治水的时代，有一种神龟背负着一张神秘的图（如图1）浮出洛水，吉祥献瑞，后世称之为“洛书”，当后人将“洛书”上的数填在图2的表中时发现：每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，像这样的数字方阵，称为“幻方”，如果图3也是一个“幻方”，则的值为（     ） A．11 B．15 C．9 D．13 【答案】D 【分析】根据“幻方”的定义，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，即可求出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ∴． 【变式4-1】如图是一个正方形展开图，如果正方体相对的面所标注的值均互为相反数，则字母所标注的代数式的值等于（    ） A．7 B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，同行或同列隔一个是对面，即可确定相对面，列出方程组求解． 【详解】解：由正方体表面展开图的特征可知：“”与“”是相对面，“”与“”是相对面，“”与“”是相对面， 正方体相对的两个面所标注的值均互为相反数， ， 整理得：， 得：， 解得， 将代入①得：， 解得， ， 与互为相反数， ． 【变式4-2】如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．当时，，的值分别为（     ） A．3，2 B．1，4 C．2，3 D．7，5 【答案】C 【分析】根据题意可得，，，先求出，进而得到，解二元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意，可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 则，的值分别为，． 【变式4-3】如图1是2022年8月份的月历，小军同学用“Z”字形框在月历上框出四个数字，将该“Z”字形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若四个日期如图2所示，则下列关于m，n的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据日历上的数字之间的关系列方程组：，再解方程组，再分别检验四个选项即可得到答案． 【详解】解：由题意得： ， 由②得：， 把代入①得：， ， ，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； ，，∴，故选项C符合题意， ，故选项D不符合题意． 【题型5 年龄问题】 【例5】如图是小颖与哥哥的对话，根据对话信息，下面结论正确的是（     ） A．哥哥比小颖大6岁 B．哥哥比小颖大7岁 C．哥哥比小颖大8岁 D．哥哥比小颖大9岁 【答案】A 【分析】利用年龄差不变列出二元一次方程组，解出两人现在年龄，相减求出年龄差，选出正确选项． 【详解】解：设哥哥现在x岁，小颖现在y岁，根据题意得到二元一次方程组： ，即 解得： ∴年龄差：，即哥哥比小颖大6岁． 【变式5-1】甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁，那么（   ） A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁 C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设甲现在的年龄为岁，乙现在的年龄为岁，根据“甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲现在的年龄为岁，乙现在的年龄为岁， 依题意，得：， 解得：． 甲现在的年龄为25岁，乙现在的年龄为20岁， 甲比乙大5岁 故选：A． 【变式5-2】爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（    ） A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁 【答案】C 【分析】由题意得：妹妹今年的年龄为8岁，我今年的年龄为14岁，设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁，再由题意：一家四口人的年龄加在一起是101岁，爸爸比妈妈大1岁，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：现在一家四口人的年龄之和应该比十年前全家人年龄之和多40岁， 但实际上（岁），说明十年前妹妹没出生， 则妹妹今年的年龄为（岁），我的年龄为（岁）， 设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁， 由题意得：， 解得：， 即爸爸今年的年龄为40岁， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式5-3】一名裁缝在一棵树下遇见一只乌龟．当乌龟是裁缝现在的年龄时，裁缝只有其现在的年龄的．当树是乌龟现在的年龄时，乌龟只有其现在的年龄的，若三者现在的年龄之和为264岁，则乌龟现在的年龄为（    ） A．55岁 B．66岁 C．77岁 D．88岁 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设乌龟现在的年龄为x岁，裁缝现在的年龄为y岁，则树现在的年龄为岁，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：设乌龟现在的年龄为x岁，裁缝现在的年龄为y岁，则树现在的年龄为岁， 由题意，得， 解得， 所以乌龟现在的年龄为77岁， 故选：C． 【题型6 分配问题】 【例6】我校开设多种形式的劳动教育课程，提高同学们的基本劳动能力，帮助同学们树立“劳动最光荣、劳动最崇高、劳动最伟大、劳动最美丽”的观念．在某次劳动课上，同学们学习制作福袋和灯笼．已知每卷彩纸可制作福袋个或灯笼个，且每卷彩纸只能做其中的一种．现有卷彩纸，完成后打算将个福袋和个灯笼配成一套礼物送给父母．最后彩纸没有剩余，礼物也刚好成套．设做福袋用了卷彩纸，做灯笼用了卷彩纸，根据题意，下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设做福袋用了卷彩纸，做灯笼用了卷彩纸，根据题意列出方程组即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设做福袋用了卷彩纸，做灯笼用了卷彩纸， 由题意得，， 故选：． 【变式6-1】半期考试后，李老师准备从某玩具厂定制一批盲盒作为礼物奖励学生，玩具厂用某种布料生产玩偶与玩偶组合成这批盲盒，一个盲盒搭配3个玩偶和2个玩偶．已知每米布料可做2个玩偶或1个玩偶，现计划用128米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用米布料做玩偶，用米布料做玩偶，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据布料总长度和玩偶配套关系列出方程组．根据布料总长度为128米，以及一个盲盒搭配3个玩偶和2个玩偶的配套关系，列出方程组． 【详解】解：设用米布料做玩偶，用米布料做玩偶， ∵ 布料总长为128米， ∴ ； ∵ 每米布料可做2个玩偶，或1个玩偶， 每个盲盒搭配3个玩偶和2个玩偶， ∴ ； 故方程组为 ， 故选：A． 【变式6-2】某玩具厂准备用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做2个玩偶A或3个玩偶B，现计划用128米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据布料总长度和玩偶配套关系列出方程组． 根据布料总长度为128米，以及一个盲盒搭配1个玩偶和2个玩偶的配套关系，列出方程组． 【详解】解：已知用米布料做玩偶，用米布料做玩偶，布料总长度为128米，所以， 每米布料可做2个玩偶，则米布料可做个玩偶；每米布料可做3个玩偶，则米布料可做个玩偶， 因为一个盲盒搭配1个玩偶和2个玩偶，要恰好配套，则玩偶的数量是玩偶的数量的2倍，即，化简得， 所以可列方程组， 故选：A． 【变式6-3】有大、小两种型号的货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货17t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货39t，则3辆大货车与3辆小货车一次可以运货（   ） A．22t B．18t C．20t D．23t 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．设每辆大货车一次运货吨，每辆小货车一次运货吨，根据题意列出方程组并求解即可． 【详解】解：设每辆大货车一次运货吨，每辆小货车一次运货吨， 即3辆大货车与3辆小货车一次可以运货吨， 根据题意，得方程组：， 得， 即3辆大货车与3辆小货车一次可以运货吨， 故选：A． 【题型7 销售利润问题】 【例7】某商场甲、乙两个柜台去年十二月份的总营业额为64万元．今年一月份甲柜台的营业额增长了，乙柜台的营业额降低了，且两个柜台的总营业额达到75万元，则甲柜台去年十二月份的营业额为（     ）万元． A．40 B．25 C．26 D．34 【答案】D 【分析】设甲柜台去年十二月份的营业额为万元，乙柜台去年十二月份的营业额为万元，根据去年十二月总营业额和今年一月变化后总营业额的条件，列出方程组即可求解． 【详解】解：设甲柜台去年十二月份的营业额为万元，乙柜台去年十二月份的营业额为万元， 由题意得，， 解得， ∴甲柜台去年十二月份的营业额为34万元． 【变式7-1】2026年是“十五五”的开局之年，某企业年初提出目标：2026年总产值比2025年增加，总支出比2025年减少，实现利润比2025年翻一番．已知该企业2025年的利润（总产值—总支出）为2亿元，则2026年的总产值将达到（     ） A．4亿元 B．亿元 C．6亿元 D．亿元 【答案】D 【详解】解：设2025年该企业的总产值、总支出分别是、亿元 由题意得 解得    故2026年的总产值将达到亿元 【变式7-2】晨光文具店以固定的单价卖出同样的笔记本和水笔，以下是4天的账目记录：第1天，卖出7本笔记本和12支水笔，收入59元；第2天，卖出28本笔记本和48支水笔，收入234元；第3天，卖出21本笔记本和36支水笔，收入177元；第4天，卖出14本笔记本和24支水笔，收入118元；其中记录有误的是（    ） A．第1天 B．第2天 C．第3天 D．第4天 【答案】B 【分析】设笔记本和水笔的单价分别为元和元，根据第一天的记录得到和的关系式，再利用后三天卖出商品数量与第一天的倍数关系，计算正确的总收入，对比记录即可找出错误的一天 【详解】解：设笔记本单价为元，水笔单价为元 根据第1天记录可得 ； 观察数量关系：第2天卖出笔记本数量，水笔数量， 正确总收入应为 ，与记录的234元不符， 验证第3天：，，正确总收入为，与记录一致， 验证第4天：，，正确总收入为，与记录一致， 因此记录有误的是第2天 【变式7-3】购买甲、乙两种笔记本共用50元．若甲种笔记本单价为4元，乙种笔记本单价为6元，且甲种笔记本数量是乙种笔记本数量的整数倍，则购买笔记本的方案有（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】A 【分析】设甲、乙两种笔记本的购买数量，根据总费用列出二元一次方程，结合x、y为正整数，且甲数量是乙的整数倍，利用整除性确定符合条件的方案数． 【详解】解：设购买甲种笔记本本，购买乙种笔记本本， 根据题意得 ， 整理得 ，变形得 ， ∵、均为正整数， ∴， ∴， 又∵为偶数，是奇数， ∴为奇数，的可能取值为， ∵甲种笔记本数量是乙种笔记本数量的整数倍，即为正整数， 分别验证： 当时，，是整数，符合条件； 当时，，不是整数，不符合； 当时，，是整数，符合条件； 当时，，不是整数，不符合； ∴符合条件的方案共种． 【题型8 和差倍分问题】 【例8】已知整点（横纵坐标都是整数）在平面直角坐标系内做“跳马运动”（即中国象棋“日”字形跳跃）．例如在图1中，从点做一次“跳马运动”，可以到点也可以到达点．如图2，点沿轴正方向向右上方做跳马运动，若跳到位置，称为做一次“正横跳马”；若跳到位置．称为做一次“正竖跳马”．当点连续做了次“正横跳马”和次“正竖跳马”后，到达点，求的值为（   ）． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】由题意可得，做一次“正横跳马”横坐标增加2，纵坐标增加1，做一次“正竖跳马”横坐标增加1，纵坐标增加2，据此列方程组进行求解即可． 【详解】解：由题意，当点先连续做了次“正横跳马”，再连续做次“正竖跳马”后，到达点，则： ， ①②，得：， ， 【变式8-1】703班有男女同学若干人，女同学因故走了8名，这时男女同学之比为5：2，后来男同学又走了12名，这时男女同学人数相同，那么最初的女同学有（   ） A．15名 B．16名 C．17名 D．18名 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系、正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设最初的女同学有x人，最初的男同学有y人，根据“女同学因故走了8名，这时男女同学之比为5：2，后来男同学又走了12名，这时男女同学人数相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设最初的女同学有x人，最初的男同学有y人， 依题意，得：，解得：． 故选：B． 【变式8-2】甲、乙两个工程队各有员工80人、100人，现在从外部调90人充实两队，调配后甲队人数是乙队人数的，则甲、乙两队分别分到的人数为（　　） A．28，62 B．36，54 C．50，40 D．20，70 【答案】A 【分析】本题考查了实际问题与二元一次方程组，解题关键是利用等量关系列出方程组． 分别设出甲、乙两队分配人数，利用等量关系列出二元一次方程组，并解出答案． 【详解】设甲队分到x人，乙队分到y人．依题意得， 解得：． 即甲队分到28人，乙队分到62人． 故选A． 【变式8-3】某货运公司临时接到一个任务，从工厂同时运送A，B两种货物各20箱到展馆．货运公司调派甲货车运送A种货物，乙货车运送B种货物，A种货物每箱，B种货物每箱．因为两种货物包装箱完全一样，装运工人一时疏忽，使得两车虽然所装货物数量正确，但部分货物却装混了．运送途中安检时，两车过地秤，发现甲车比乙车的货物重，则甲车有（ ）箱货物装错． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设甲车装A种货物x箱，B种货物y箱，根据从工厂同时运送A，B两种货物各20箱到展馆，运送途中安检时，两车过地秤，发现甲车比乙车的货物重，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设甲车装A种货物x箱，B种货物y箱，则乙车装A种货物箱，B种货物箱，根据题意得： ， 解得：， ∴甲车装了18箱A和2箱B，乙车装了2箱A和18箱B， 所以，甲车有2箱货物装错． 故选：D． 【题型9 几何问题】 【例9】如图，学校规划在一块长，宽的长方形场地上，分别设计与，平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮．如果通道的宽度相等，六块草坪的形状、大小必相同，其中一块草坪的两边，那么通道的宽是多少？（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设通道的宽为，，根据长方形场地的长和宽分别建立方程求解． 【详解】解：设通道的宽是，， ， ， 可得， 根据题意可得， 解得， 故通道的宽度为． 【变式9-1】如图，宽为50厘米的长方形是由10个相同的小长方形拼成的，其中一个小长方形的面积是（     ） A．600 B．500 C．400 D．300 【答案】C 【分析】设小长方形的长为，宽为，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，解出x，y，进而可求出小长方形的面积． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据图形可知：， 解得：， 则一个小长方形的面积是． 【变式9-2】如图，长方形是由6个正方形组成，其中，则图中长方形的周长是（     ） A．44 B．46 C．48 D．50 【答案】C 【分析】设，，根据，结合图形可列出二元一次方程组，即可求解． 【详解】解：如图，标注字母， 由题意设，，则，，， 由题意可得， 解得， ∴， ∴长方形的周长是． 【变式9-3】辰辰用5张大小完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆出如图的图案，已知点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设长方形的长为，宽为，根据点的坐标列出关于，的二元一次方程组，解方程组得出，再结合图形计算即可得出结果． 【详解】解：设长方形的长为，宽为， ∵点的坐标为， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为． 【题型10 图表信息题】 【例10】在方格上做填数游戏，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，又填在图中的数字如下，则，的值是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等得出，和为，进而得出每行第一个数分别为、、，即可得出，可得二元一次方程组，解方程组求出，的值即可得出答案． 【详解】解：∵每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等， ∴，每行每列及对角线上三个方格中的数字和为， ∴第一行第一个数为， 第二行第一个数为， 第三行第一个数为， ∴， 整理得，， ∴， 解得：． 【变式10-1】小宇、小欣和小杰三人玩飞镖游戏，各投支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图所示，则小杰的得分是（     ） A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】D 【分析】设内圈每支镖得分，外圈每支镖得分，根据小宇和小欣的得分情况列出二元一次方程组，求出、的值，再计算小杰的得分即可． 【详解】设内圈每支镖得分，外圈每支镖得分， 由题意得：， 由得：， 将代入得：，解得， 将代入得： ， 内圈每支镖得分，外圈每支镖得分， 小杰的得分为：分． 【变式10-2】如图所示，天平中放有苹果、香蕉、砝码，且两个天平都平衡，则一个苹果的重量是一根香蕉的重量的（    ） A． B． C．2倍 D．3倍 【答案】B 【分析】设1个苹果的重量为，一根香蕉的重量为，一个砝码的重量为，由图可列出方程组，用加减消元法消去，求出与关系，即可得出结果． 【详解】解：设1个苹果的重量为，一根香蕉的重量为，一个砝码的重量为， 由图可得： 由得：， ∴， ∴，即一个苹果的重量是一根香蕉的重量的倍． 【变式10-3】在某一马拉松比赛中，小明和小王报名参加了相同赛程的比赛如图，开赛若干分钟后，小明跑了公里，小王跑了公里，又跑了分钟两人相遇，相遇后小王再跑分钟到达终点，小明再跑分钟到达终点，请问小明和小王参加的是（   ）公里赛程的比赛． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设小明的速度为公里分钟，则小王的速度为b公里分钟，根据路程相同分别列出关于a，b的二元一次方程组求解得出a，b的值，最后再计算路程即可． 【详解】解：设小明的速度为公里分钟，则小王的速度为b公里分钟， 根据函数图象可得： 解得：， （公里）， 小明和小王参加的是公里赛程的比赛． 【题型11 古代问题】 【例11】《算法统宗》中有如下的类似问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少二十五，八两多十五，试问能算者，合与多少肉？”意思是：一个哑巴来买肉，说不出钱的数目，买一斤（16两）还差二十五文钱，买八两多十五文钱，问钱数和肉价各是多少？设肉价为x文/两，哑巴所带的钱数为y文，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】买一斤（16两）肉还差25文，可得肉总价带的钱；买八两肉多15文，可得肉总价带的钱． 【详解】解：由肉价为x文两，哑巴带钱y文． 买16两肉，需要文，还差25文， 买8两肉，需要8x文，多15文， 联立方程组，对应选项． 【变式11-1】《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就，其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，下列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“盈”“不足”的含义，分别列总出钱数与物价的等量关系． 【详解】解：设合伙人数为人，物价为钱， ∵每人出8钱，盈3钱， ∴， ∵每人出7钱，不足4钱， ∴， 联立得． 【变式11-2】《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．如图是《九章算术》中的算筹图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数和的系数与相应的常数项，如图所示的算筹图用方程组的形式表述出来是，类似的，如图所示的算筹图，用方程组的形式表述为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知一个竖直的算筹数是1，一个横着的算筹数是10，每一横行是一个方程，第一个数是的系数；第二个数是的系数；第三个数是第三个和第四个算筹数相加的结果，前面的表示十位，后面的表示个位． 【详解】解：观察图2可知，第一个方程的的系数是 1，的系数是3，结果是18； 第二个方程的的系数是 2，的系数是4，结果是26， 可得图2的方程为． 【变式11-3】我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多六客，一房八客一房空．”诗中后面两句的意思：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房．若设该店有房客人，客房间，则下列二元一次方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设该店有房客人，客房间，如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房．据此列出方程组即可． 【详解】解：设该店有房客人，客房间，根据题意可得，． 【题型12 其他问题】 【例12】费县为了改善全县中、小学办学条件，计划集中采购一批电子白板和投影机，已知购买2块电子白板比购买3台投影机多4000元，购买4块电子白板和3台投影机共需44000元，则购买一块电子白板和一台投影机分别需要（     ） A．4000元，8000元 B．8000元，4000元 C．14000元，8000元 D．10000元，12000元 【答案】B 【分析】由题中两个费用等量关系，设未知数列二元一次方程组求解． 【详解】解：设购买一块电子白板需要元，一台投影机需要元， 根据题意得，解得， ∴购买一块电子白板需要8000元，一台投影机需要4000元． 【变式12-1】已知整点（横、纵坐标都是整数）在平面直角坐标系内做“跳马运动”（即中国象棋“日”字形跳跃）．如图，点沿轴正方向向右上方做跳马运动，若跳到的位置，称为做一次“正横跳马”；若跳到的位置，称为做一次“正竖跳马”．当点连续做了次“正横跳马”和次“正竖跳马”后，到达点，则的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】点到达点，需要向右移动9个单位，向上移动6个单位，一次“正横跳马”会向右移动2个单位，向上移动1个单位；一次“正竖跳马”会向右移动1个单位，向上移动2个单位，据此列出方程组求解即可． 【详解】解：∵一次“正横跳马”会向右移动2个单位，向上移动1个单位；一次“正竖跳马”会向右移动1个单位，向上移动2个单位， 又∵点到达点，需要向右移动9个单位，向上移动6个单位， ∴，解得：， ∴． 【变式12-2】铜山湖国家森林公园，2002年获批国家级森林公园，坐拥“天中大森林、中原北戴河”的美誉．景区内有大小两种船，1艘大船与4艘小船一次可以载乘客46名，2艘大船与3艘小船一次可以载乘客57名，某船家有3艘大船与6艘小船，一次可以载乘客（     ） A．129人 B．120人 C．108人 D．96人 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，先设出单艘大船和小船的载客量，根据题意列方程组求解，再计算目标总载客量即可得到结果． 【详解】解：设1艘大船一次载乘客名，1艘小船一次载乘客名， 根据题意，得：， 解得， ∴3艘大船与6艘小船的总载客量为， 答：一次可以载乘客96人． 【变式12-3】为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文．已知某种加密规则：明文a，b对应的密文为，．例如：明文1，2对应的密文是，4，那么密文，13对应的明文应是（     ） A．5，1 B．13， C．5，3 D．，11 【答案】C 【分析】根据给定的加密规则，由已知密文列出关于明文，的二元一次方程组，解方程组即可得到对应的明文． 【详解】解：设密文,对应的明文为,，根据加密规则可得 将第二个方程两边同乘，得 将所得方程与第一个方程相加，得 ，解得 把代入，得，解得 ∴明文为，， 故选C． 【探究式学习】 1．项目主题：探究纸盒配套的最优方案 素材一 甲车间的工人负责生产如图所示的长方形纸板和正方形纸板． 素材二 乙车间的工人负责用甲车间工人生产的纸板制作出如图所示的竖式和横式两种不同长方体形状的无盖纸盒（不考虑裁剪和接缝）． (1)任务一：请根据以上信息，填写下表： 无盖纸盒 所需长方形纸板/张 所需正方形纸板/张 竖式 横式 (2)任务二：若甲车间工人生产了长方形纸板张，正方形纸板张，且乙车间工人在制作竖式、横式两种纸盒时将纸板恰好用完，则乙车间工人制作的竖式、横式两种纸盒的个数分别为多少？ (3)任务三：若甲车间共有名工人，每名工人一天能生产张长方形纸板或张正方形纸板，已知个竖式纸盒与个横式纸盒配成一套，要使甲车间一天生产的纸板与乙车间所做成的产品恰好配套，则甲车间应该如何安排工人生产两种纸板？ 【答案】(1) 无盖纸盒 所需长方形纸板/张 所需正方形纸板/张 竖式 横式 (2)乙车间工人制作的竖式、横式两种纸盒的个数分别为个和个 (3)甲车间安排名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板 【分析】（1）分析两种无盖纸盒构造，数出各自所需长方形、正方形纸板数量填表； （2）设工人制作的竖式、横式两种纸盒的个数分别为，个，根据长、正方形纸板总量列二元一次方程组，求解得纸盒数量； （3）设甲车间安排名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板，结合总人数和竖横的配套比例列方程组，算出工人分配方案． 【详解】（1）解：据图可知，竖式无盖纸盒侧面需要个长方形纸板，底面需要个正方形纸板， 横式无盖纸盒侧面需要个长方形纸板和个正方形纸板，底面需要个长方形纸板． （2）解：设乙车间工人制作的竖式、横式两种纸盒的个数分别为，个， 根据题意可得， 解得， 故乙车间工人制作的竖式、横式两种纸盒的个数分别为个和个． （3）解：设甲车间安排名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板， 根据题意可得， 解得， 故甲车间安排名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板． 2．综合与实践 【情境】剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的艺术享受．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售（每种剪纸套装至少1套），已知购进3套甲种剪纸装饰套装和2套乙种剪纸装饰套装共需230元，购进2套甲种剪纸装饰套装和3套乙种剪纸装饰套装共需220元． 【探究】 (1)这两种剪纸装饰套装购进时的单价分别为多少元？ (2)设购进甲种剪纸装饰套装x套（），购进甲、乙两种剪纸装饰套装共花费y元，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； 【应用】 (3)在（2）的条件下，若甲种剪纸装饰套装的售价为65元/套，乙种剪纸装饰套装的售价为50元/套．该商家计划购进甲种剪纸装饰套装不超过40套，要使这批剪纸装饰套装全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 【答案】(1)甲种剪纸装饰套装的单价为50元，乙种剪纸装饰套装的单价为40元 (2)y与x之间的函数关系式为，自变量x的取值范围为且x为整数； (3)购进甲种剪纸装饰套装40套，乙种剪纸装饰套装20套时，所获利润最大，最大利润为800元 【分析】（1）设甲种剪纸装饰套装的单价为m元，乙种剪纸装饰套装的单价为n元，根据购进3套甲种剪纸装饰套装和2套乙种剪纸装饰套装共需230元，购进2套甲种剪纸装饰套装和3套乙种剪纸装饰套装共需220元建立方程组求解即可； （2）分别求出两种剪纸装饰套装的费用，二者求和即可得到答案； （3）分别求出两种剪纸装饰套装的利润，二者求和列出利润关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设甲种剪纸装饰套装的单价为m元，乙种剪纸装饰套装的单价为n元， 依题意，得， 解得， 答：甲种剪纸装饰套装的单价为50元，乙种剪纸装饰套装的单价为40元； （2）解：根据题意，得， ∴y与x之间的函数关系式为， 自变量x的取值范围为且x为整数； （3）解：设销售完甲、乙两种剪纸装饰套装时获得的利润为w元，则 ， 即（且x为整数）， ， ∴w随x的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，， 此时． 答：购进甲种剪纸装饰套装40套，乙种剪纸装饰套装20套时，所获利润最大，最大利润为800元 【课后检测】 1．中国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．”意思是：有大小两种容器，已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛．大小容器的容量分别是多少斛？设1个大容器的容量为斛，1个小容器的容量为斛，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设1个大容器的容量为斛，1个小容器的容量为斛， ∵5个大容器和1个小容器的总容量为3斛， ∴， ∵1个大容器和5个小容器的总容量为2斛， ∴， 联立得． 2．中国古代数学著作《张邱建算经》中有一个问题：“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币若干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？设甲有x枚钱币，乙有y枚钱币，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用甲给乙10钱后两人钱数相等的关系排除错误选项，再验证倍数关系对应的方程． 【详解】解：由甲给乙10枚后两人钱币数相等，得， 由乙给甲10枚后甲的钱币数是乙的6倍，得， ∴可得方程组为． 3．《九章算术》中有如下问题：浓酒1斗值50钱，淡酒1斗值10钱．现有30钱，买酒2斗，问浓酒、淡酒各有多少？设浓酒斗，淡酒斗，则下列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设浓酒斗，淡酒斗，根据“买酒总斗数为2斗，总钱数为30钱”列出方程组即可． 【详解】解：设浓酒斗，淡酒斗，根据题意，得 ． 4．《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为斗，行酒为斗，则可列二元一次方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由共买得2斗酒，可得，由总钱数为30钱，醇酒1斗值50钱，行酒1斗值10钱， 可得，即可列出方程组． 【详解】解：设醇酒为斗，行酒为斗 由题意可列方程组为． 5．广东省城市篮球联赛（简称“粤”），是广东省篮球协会于年对广东省男子篮球联赛进行全面升级的城市篮球联赛．如下表所示，是常规赛第七轮结束后的部分球队积分榜信息，则胜一场的积分是（     ） 排名 球队 胜场 负场 积分 中山 … … … … … 珠海 … … … … … 江门 阳江 … … … … … A．1分 B．2分 C．3分 D．4分 【答案】B 【分析】设胜一场和负一场的积分分别为未知数，根据表格中球队的积分关系列出方程组，求解即可得到结果． 【详解】解：设胜一场积分，负一场积分 根据中山队和阳江队的胜负场与总积分，可得 由第一个方程得， 将代入第二个方程得 解得 验证可知符合所有球队积分数据 因此胜一场的积分是2分． 6．《张丘建算经》中有这样一首古诗：甲乙隔溪牧羊，二人互相商量；甲得乙羊九只，多乙一倍正当；乙说得甲九只，两人羊数一样；问甲乙各几羊，让你算个半晌． 如果设甲有羊只，乙有羊只，那么可列方程组（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵甲得乙9只羊后，甲的羊数为只，乙的羊数为只，此时甲羊数是乙的2倍， ∴． ∵乙得甲9只羊后，乙的羊数为只，甲的羊数为只，此时两人羊数相等， ∴． 联立得方程组． 7．我国古代《九章算术》被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记载这样一个问题：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？译文为：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、鸡价各多少？对于以下三位同学的解题方案，正确的个数是（     ） 小青：设人数有人，则； 小军：设鸡价有钱，则； 小萍：设人数有人，鸡价有钱，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】以鸡价不变、人数不变为等量关系，验证三人的解题方案是否正确． 【详解】解：设人数为x人，鸡价为y钱． 由每人出9钱多11钱，可得鸡价为钱，即； 由每人出6钱差16钱，可得鸡价为钱，即， 根据鸡价相等得到，故小青的方案正确； 也可得，故小萍的方案正确； 由每人出9钱多11钱，可得人数为， 由每人出6钱差16钱，可得人数为， 根据人数相等得到，与小军的式子不符，故小军的方案错误． 综上，正确的方案有2个． 8．在平面直角坐标系中，8个大小完全相同的长方形摆成如图所示的图案．若点A的坐标是，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设小长方形的长为，宽为，根据点的坐标列出方程组求出、，再结合图形确定点的坐标． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由图可知，点的纵坐标为，横坐标为， ∵， ∴， 解得， ∴点的纵坐标的绝对值为，横坐标的绝对值为， ∵点在第二象限， ∴点的坐标为． 9．中国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的题目：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何．意思是：有几个人一起去买物品，每人出元，多元；每人出元，少元，问人数、物价各是多少．设人数为人，物价为元，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意找出两个等量关系，分别列方程联立即可得到结果． 【详解】解：设人数为人，物价为元， ∵每人出8元，多3元，总出的钱减去多出的3元等于物价， ∴， ∵每人出7元，少4元，总出的钱加上缺少的4元等于物价， ∴． 联立得方程组． 10．小明在人教版教材116页活动2汽车轮胎换位的探究中，获得了数学信息，知道电动车一般也是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶5000千米报废，后轮行驶3000千米报废，使电动车的一对轮胎同时报废，应在电动车行驶里程达到（     ）千米时，交换前、后轮轮胎， A．1226 B．1465 C．1875 D．2026 【答案】C 【分析】把每个轮胎的总磨损量看作单位“1”， 则前轮每千米磨损，后轮每千米磨损， 设行驶x千米时交换轮胎，再行驶y千米同时报废，根据题意列出x，y的二元一次方程组求解即可． 【详解】解：把每个轮胎的总磨损量看作单位“1”，则前轮每千米磨损，后轮每千米磨损， 设行驶x千米时交换轮胎，再行驶y千米同时报废， 根据题意：， 两式相加得：， 两式相减得：，则， 则， 解得. 则应在电动车行驶里程达到1875千米时，交换前、后轮轮胎. 11．“九宫图”也称为“三阶幻方”，每行的3个数、每列的3个数、斜对角线的3个数的和都相等，则图中______． x 2 y 1 6 【答案】9 【分析】利用三阶幻方中每行、每列、斜对角线的和相等的性质，逐步推导得到和的值，再计算． 【详解】解：设三阶幻方每行、每列、斜对角线的和为，标注各位置未知数字为：第一行第二列，第二行第一列，第二行第三列，第三行第一列 ∵ 左上到右下的斜对角线和为， ∴ ，得 ∵ 右上到左下的斜对角线和为， ∴ ，得 ∵ 第三行的和为， ∴ 将代入上式得：， 整理得 ∵ 三阶幻方所有数的和为，且中间行、中间列、两条对角线的总和为， ∴ 将， 代入，得 ∴ ． 12．用八个大小形状完全一样的长方形在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】设小长方形的长为m，宽为n，根据点A的坐标，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值，进而可得出和的值，再结合点B所在的象限即可得出点B的坐标． 【详解】解：设小长方形的长为m，宽为n， 依题意，得， 解得， ∴，， ∴点B的坐标为． 13．小明在阅读《九章算术》时看到一个问题，大意为：只麻雀、只燕子放在天平上，麻雀一端重，燕子一端轻．麻雀、燕子从两端各交换只，天平就平衡了．已知所有的麻雀和燕子总重斤（“斤”为古代计量单位）．问：麻雀、燕子每只重多少斤？设一只麻雀重斤，一只燕子重斤．请列出符合题意的二元一次方程组：_______________． 【答案】 【分析】提取题干中的两个等量关系，分别列出方程即可得到方程组． 【详解】解：∵所有麻雀和燕子总重为1斤，一只麻雀重斤，一只燕子重斤，共只麻雀与只燕子 ， ∴第一个方程为 ， ∵交换只后，麻雀侧变为只麻雀加只燕子，燕子侧变为只燕子加只麻雀，此时天平平衡，两侧重量相等， ∴第二个方程为 ， ∴方程组为． 14．在“幻方拓展课程”探索中，小明在如下所示的方格内填入了一些数和代数式，若图中每行、每列及每条对角线上的三个数（代数式）之和都相等，则的值为_________． y 0 【答案】 【分析】利用幻方每行、每列、对角线和相等的条件，结合已有完整数据的第一列、对角线、第二行列方程组，求解和后计算． 【详解】解：设幻方中每行、每列、每条对角线的和都为， ∵第一列三个数为，，， ∴， ∵对角线由右上、中间、左下组成，三个数均已知， ∴， 由此可得第一个方程， ∵第二行三个数的和也等于， ∴， 整理得， 将代入得， 解得， 代入得， 因此． 15．现有四个完全相同的直角三角形、按图①方式摆放．形成两个正方形，其中大正方形的边长为，按图②方式摆放，形成两个正方形，其中小正方形的边长为，则一个直角三角形的面积为______． 【答案】 【分析】设直角三角形的两条直角边长分别为，，根据图①大正方形边长为可得，根据图②小正方形边长为可得，联立求解即可得出直角边长，进而求出面积． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边长分别为，，且， 图①中大正方形的边长为，且由四个直角三角形的直角边拼接而成， ， 图②中小正方形的边长为，且等于直角三角形两直角边之差， ， 联立上述两式，解得，， 一个直角三角形的面积为． 16．已知A，B两地相距18千米，甲从A地出发，匀速步行到B地，乙从B地出发，匀速步行到A地．两人同时出发，3小时后相遇；出发4小时后，甲剩余路程是乙剩余路程的2倍．求甲、乙的步行速度． 【答案】甲的步行速度为2.5千米/时，乙的步行速度为3.5千米/时 【分析】根据相遇时路程和等于总路程、剩余路程的倍数关系两个等量关系，列方程组求解． 【详解】解：设甲的步行速度为千米/时，乙的步行速度为千米/时 ∵两人同时出发，3小时后相遇，A、B两地相距18千米 ∴ ∵出发4小时后，甲剩余路程是乙剩余路程的2倍 ∴ ∴ 解得 答：甲的步行速度为2.5千米/时，乙的步行速度为3.5千米/时． 17．在“五一”黄金周期间，小明、小亮等同学随父母一同去某地旅游，在某景点购买门票时，小明与小亮的对话：问： (1)小明他们一共去了几个成人几个学生？ (2)请你帮小明算一算，用哪种方式买票更省钱并说明理由． 【答案】(1)小明他们一共去了个成人，个学生 (2)购买团体票更省钱，理由如下： 若购买团体票张共需：（元） ， 因为， 所以他们购买团体票更省钱． 【分析】（1）设出未知数，根据题意建立等式求解二元一次方程组即可． （2）计算团体票的价格进行比较求解即可． 【详解】（1）解：设共有个成人，名学生． 由题意得，解得， 答：小明他们一共去了个成人，个学生． （2）略 18．列方程组求解古算题： 今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？(选自《九章算术》)题目大意：5头牛、2只羊共值10两“金”；2头牛、5只羊共值8两“金”．每头牛、每只羊各值多少“金”？ 【答案】每头牛值金两，每只羊值金两 【分析】设每头牛值x两“金”、每只羊值y两“金”，由题意得，进而求解即可． 【详解】解：设每头牛值x两“金”、每只羊值y两“金”，由题意得： ，解得：； 答：每头牛值金两，每只羊值金两． 19．如图，某化工厂与，两地有公路和铁路相连．这家工厂从地购买每吨元的原料运回工厂，制成每吨元的产品运到地．已知公路的运价为元／（吨），铁路的运价为元／（吨）．设这批原料有吨，生产成的产品有吨． (1)这批原料从地运回，生产成产品运到地，若两次运输共支出公路运费元，铁路运费元，问这批原料有多少吨？ (2)已知生产这批产品，其它成本费为元，每吨的生产费为元，若这批产品的毛利润为元，直接写出的值．（规定：毛利润销售额原料费其它成本费生产费运输费） 【答案】(1)吨 (2)元 【分析】（1）根据“两次运输共支出公路运费元，铁路运费元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用毛利润销售额原料费其它成本费生产费运输费，即可求出的值． 【详解】（1）解：根据题意得： ， 解得， 答：这批原料有吨． （2）解：由（1）得，生产成的产品有吨． 根据题意得： ． 答：的值为元． 20．某铁件加工厂用如图所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） (1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片_____张，正方形铁片_____张． (2)现有长方形铁片2017张，正方形铁片1178张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒．现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．若充分利用这些铁板加工成铁盒，则最多可以加工成多少个铁盒？ 【答案】(1) (2)加工的竖式铁容器有个，横式铁容器有个 (3)最多可以加工成个铁盒 【分析】（1）根据题意可知竖式铁容器由4个长方形铁片和1个正方形铁片组成，横式铁容器由3个长方形铁片和2个正方形铁片组成，即可得到答案； （2）根据竖式铁容器需要的长方形铁片数量加上横式铁容器需要的长方形铁片数量等于，竖式铁容器需要的正方形铁片数量加上横式铁容器需要的正方形铁片数量等于列二元一次方程组求解即可； （3）先假设35张铁板只有每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片这两种情况，再根据非整数的部分确定有几张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片，从而解决问题． 【详解】（1）解：竖式铁容器由4张长方形铁片和1张正方形铁片组成， 横式铁容器由3张长方形铁片和2张正方形铁片组成， ∴加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片7张，正方形铁片3张． （2）解：设加工的竖式铁容器有个，横式铁容器有个， 根据题意列式，得， 解得， ∴加工的竖式铁容器有个，横式铁容器有个． （3）解：设张铁板做张长方形铁片，张铁板做张正方形铁片， 则可列式为， 解得， 则张铁板可做长方形铁片（张）， 张铁板可做正方形铁片（张）， 剩下的1张铁板可做长方形铁片1张和正方形铁片2张， 此时，长方形铁片为（张），正方形铁片为（张）， 长方形的铁片数量刚好是正方形铁片数量的2倍， ∴最多可以做长方体铁容器（个）． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 47 页 第 1 页 共 47 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 第16讲 二元一次方程组的应用 （新教材北师大版） 知识点一、核心概念 2 知识点二、常见模型与等量关系（常考） 2 知识点三、易错点 3 知识点四、解题思想 3 【题型1 方案问题】 3 【题型2 行程问题】 4 【题型3 工程问题】 4 【题型4 数字问题】 5 【题型5 年龄问题】 6 【题型6 分配问题】 7 【题型7 销售利润问题】 7 【题型8 和差倍分问题】 8 【题型9 几何问题】 8 【题型10 图表信息题】 9 【题型11 古代问题】 10 【题型12 其他问题】 11 【探究式学习】 13 【课后检测】 15 【复盘笔记】 21 知识点一、核心概念 1. 列二元一次方程组解应用题思路 当题目中有两个未知量，且能找到两组独立等量关系时，设两个未知数，列方程组求解，比一元一次方程更简便。 2. 基本步骤（六步） ① 审：读懂题意，找出已知量、未知量，梳理两个等量关系式； ② 设：设两个未知数（直接设/间接设，带单位）； ③ 列：根据等量关系列出二元一次方程组； ④ 解：用代入消元法或加减消元法解方程组； ⑤ 验：双重检验：一是检验是否满足方程组，二是检验结果是否符合实际意义（人数、物品不能为负数、小数）； ⑥ 答：写出完整答案，带上单位。 口诀：审、设、列、解、验、答。 知识点二、常见模型与等量关系（常考） 1. 和差倍分问题 · 等量：甲±乙=和/差；甲=倍数×乙±多余量 例：甲乙两数和为100，甲比乙的2倍多10。 2. 行程问题 · 基本公式：路程=速度×时间 1. 相遇：甲路程 + 乙路程 = 总路程 1. 追及：快者路程 − 慢者路程 = 路程差 1. 航行：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度−水流速度 3. 工程问题 · 工作总量=工作效率×工作时间，常设总工程量为1 · 合作总量=甲工作量+乙工作量 4. 配套问题 核心：配套物品数量成固定比例 例：1个螺栓配2个螺母，则 螺母数量 = 2 × 螺栓数量 5. 利润销售问题 · 利润=售价−进价；利润率=利润÷进价；总销售额=单价×数量 · 总利润=单件利润×销量 6. 数字问题 两位数：十位数字$a$，个位数字$b$，这个数$(=10a+b)$； 三位数：$(100a+10b+c)$，注意数字≠数本身。 7. 鸡兔同笼（总量问题） 两个总量：总数量、总价值/总腿数。 8. 方案选择问题 列方程组求出临界点，再分类讨论不同方案的成本，选出最优方案。 知识点三、易错点 1. 设未知数和答句必须带单位，方程里面不写单位； 2. 找到两个独立等量关系，不能重复使用同一个关系列两个方程； 3. 解出来的解要符合现实：人数、零件个数是正整数； 4. 区分“多、少、倍、增加到、增加了”等关键词，防止等量关系写反。 知识点四、解题思想 方程思想：把实际问题转化成数学方程组，用代数计算代替算术推理。 【题型1 方案问题】 【例1】学校组织师生共360人参加游园活动，有载客量分别为45人、30人两种客车可供租用，要求可以租其中一种客车或者两种同时租但租的每辆车必须满载，则师生一次性全部到达公园的租车方案有（     ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【变式1-1】在初中数学项目式学习活动中，张老师为更好地促进学生开展小组合作，将全班46名学生分成4人学习小组和6人学习小组，则分组方案有（     ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【变式1-2】为了进一步落实“双减”政策，增加学生室外活动时间，红星小学某社团计划购买一批篮球和足球用于开展课后服务训练．经了解，已知篮球单价是120元，足球单价是150元．若该社团用2400元购买这两种球（篮球、足球都购买）且2400元恰好用完，则该社团的购买方案的种数一共有（     ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【变式1-3】活动课上，学习委员把班级40名同学分成若干个学习小组，若每组只能是3人或4人，则分组方案一共有（     ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【题型2 行程问题】 【例2】一条船顺流航行，两小时行驶；逆流航行，三小时行驶．设船在静水中的速度为，水流速度为，下列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】一列快车从A地匀速驶向B地，一列慢车从B地匀速驶向A地，两车同时出发，各自到达目的地后停止．两车之间的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，则下列结论错误的是（     ） A．两车出发后相遇 B．A，B两地相距 C．快车比慢车早到达目的地 D．快车的速度为，慢车的速度为 【变式2-2】甲、乙两地相距，一艘轮船往返于两地，从甲地顺流航行到乙地用了，从乙地逆流航行回甲地用了，则这艘轮船在静水中的速度为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】随着新能源汽车技术的飞速发展，越来越多新能源汽车是由后轮驱动的，所以后轮胎的磨损程度比前轮胎严重．设每个新轮胎报废时的总磨损量为，如某轮胎可行驶公里，则每公里的磨损量为，现有某品牌的轮胎安装在前轮时行驶达到万公里时报废，安装在后轮时行驶达到万公里时报废．如果该汽车行驶若干公里后，将前后轮胎进行对换，那么这两对轮胎最多可以行驶（   ） A．万公里 B．万公里 C．万公里 D．万公里 【题型3 工程问题】 【例3】羊城某工程公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了白云区人和镇的工程、工程，甲工程队晴天需要天完成，雨天工作效率下降；乙工程队晴天需天完成，雨天工作效率下降，实际上两个工程队同时开工，同时完工，两个工程队各工作了（    ）天． A． B． C． D． 【变式3-1】甲、乙两个工程队负责修建一条长为1000米的公路．甲工程队独立施工3天后，乙工程队加入两工程队联合施工7天后，还剩80米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工3米，求甲、乙工程队每天各施工多少米？设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米．根据题意，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】某污水处理厂库池里现有待处理的污水m吨．另有从城区流入库池的待处理污水（新流入污水按每小时n吨的定流量增加）．若该厂同时开动2台机组，需30小时处理完污水；若同时开动3台机组，需15小时处理完污水．若5小时处理完污水，则需同时开动的机组数为（    ） A．6台 B．7台 C．8台 D．9台 【变式3-3】一份工作，甲、乙合作20天后乙再单独做8天才完成．若甲的效率提高，乙的效率提高，合作20天就可完成全部工作，则甲单独完成这份工作需（    ） A．28天 B．34天 C．48天 D．58天 【题型4 数字问题】 【例4】在大禹治水的时代，有一种神龟背负着一张神秘的图（如图1）浮出洛水，吉祥献瑞，后世称之为“洛书”，当后人将“洛书”上的数填在图2的表中时发现：每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，像这样的数字方阵，称为“幻方”，如果图3也是一个“幻方”，则的值为（     ） A．11 B．15 C．9 D．13 【变式4-1】如图是一个正方形展开图，如果正方体相对的面所标注的值均互为相反数，则字母所标注的代数式的值等于（    ） A．7 B． C． D．5 【变式4-2】如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．当时，，的值分别为（     ） A．3，2 B．1，4 C．2，3 D．7，5 【变式4-3】如图1是2022年8月份的月历，小军同学用“Z”字形框在月历上框出四个数字，将该“Z”字形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若四个日期如图2所示，则下列关于m，n的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型5 年龄问题】 【例5】如图是小颖与哥哥的对话，根据对话信息，下面结论正确的是（     ） A．哥哥比小颖大6岁 B．哥哥比小颖大7岁 C．哥哥比小颖大8岁 D．哥哥比小颖大9岁 【变式5-1】甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁，那么（   ） A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁 C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁 【变式5-2】爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（    ） A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁 【变式5-3】一名裁缝在一棵树下遇见一只乌龟．当乌龟是裁缝现在的年龄时，裁缝只有其现在的年龄的．当树是乌龟现在的年龄时，乌龟只有其现在的年龄的，若三者现在的年龄之和为264岁，则乌龟现在的年龄为（    ） A．55岁 B．66岁 C．77岁 D．88岁 【题型6 分配问题】 【例6】我校开设多种形式的劳动教育课程，提高同学们的基本劳动能力，帮助同学们树立“劳动最光荣、劳动最崇高、劳动最伟大、劳动最美丽”的观念．在某次劳动课上，同学们学习制作福袋和灯笼．已知每卷彩纸可制作福袋个或灯笼个，且每卷彩纸只能做其中的一种．现有卷彩纸，完成后打算将个福袋和个灯笼配成一套礼物送给父母．最后彩纸没有剩余，礼物也刚好成套．设做福袋用了卷彩纸，做灯笼用了卷彩纸，根据题意，下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】半期考试后，李老师准备从某玩具厂定制一批盲盒作为礼物奖励学生，玩具厂用某种布料生产玩偶与玩偶组合成这批盲盒，一个盲盒搭配3个玩偶和2个玩偶．已知每米布料可做2个玩偶或1个玩偶，现计划用128米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用米布料做玩偶，用米布料做玩偶，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】某玩具厂准备用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做2个玩偶A或3个玩偶B，现计划用128米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（    ）． A． B． C． D． 【变式6-3】有大、小两种型号的货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货17t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货39t，则3辆大货车与3辆小货车一次可以运货（   ） A．22t B．18t C．20t D．23t 【题型7 销售利润问题】 【例7】某商场甲、乙两个柜台去年十二月份的总营业额为64万元．今年一月份甲柜台的营业额增长了，乙柜台的营业额降低了，且两个柜台的总营业额达到75万元，则甲柜台去年十二月份的营业额为（     ）万元． A．40 B．25 C．26 D．34 【变式7-1】2026年是“十五五”的开局之年，某企业年初提出目标：2026年总产值比2025年增加，总支出比2025年减少，实现利润比2025年翻一番．已知该企业2025年的利润（总产值—总支出）为2亿元，则2026年的总产值将达到（     ） A．4亿元 B．亿元 C．6亿元 D．亿元 【变式7-2】晨光文具店以固定的单价卖出同样的笔记本和水笔，以下是4天的账目记录：第1天，卖出7本笔记本和12支水笔，收入59元；第2天，卖出28本笔记本和48支水笔，收入234元；第3天，卖出21本笔记本和36支水笔，收入177元；第4天，卖出14本笔记本和24支水笔，收入118元；其中记录有误的是（    ） A．第1天 B．第2天 C．第3天 D．第4天 【变式7-3】购买甲、乙两种笔记本共用50元．若甲种笔记本单价为4元，乙种笔记本单价为6元，且甲种笔记本数量是乙种笔记本数量的整数倍，则购买笔记本的方案有（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【题型8 和差倍分问题】 【例8】已知整点（横纵坐标都是整数）在平面直角坐标系内做“跳马运动”（即中国象棋“日”字形跳跃）．例如在图1中，从点做一次“跳马运动”，可以到点也可以到达点．如图2，点沿轴正方向向右上方做跳马运动，若跳到位置，称为做一次“正横跳马”；若跳到位置．称为做一次“正竖跳马”．当点连续做了次“正横跳马”和次“正竖跳马”后，到达点，求的值为（   ）． A．5 B．6 C．7 D．8 【变式8-1】703班有男女同学若干人，女同学因故走了8名，这时男女同学之比为5：2，后来男同学又走了12名，这时男女同学人数相同，那么最初的女同学有（   ） A．15名 B．16名 C．17名 D．18名 【变式8-2】甲、乙两个工程队各有员工80人、100人，现在从外部调90人充实两队，调配后甲队人数是乙队人数的，则甲、乙两队分别分到的人数为（　　） A．28，62 B．36，54 C．50，40 D．20，70 【变式8-3】某货运公司临时接到一个任务，从工厂同时运送A，B两种货物各20箱到展馆．货运公司调派甲货车运送A种货物，乙货车运送B种货物，A种货物每箱，B种货物每箱．因为两种货物包装箱完全一样，装运工人一时疏忽，使得两车虽然所装货物数量正确，但部分货物却装混了．运送途中安检时，两车过地秤，发现甲车比乙车的货物重，则甲车有（ ）箱货物装错． A．5 B．4 C．3 D．2 【题型9 几何问题】 【例9】如图，学校规划在一块长，宽的长方形场地上，分别设计与，平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮．如果通道的宽度相等，六块草坪的形状、大小必相同，其中一块草坪的两边，那么通道的宽是多少？（     ） A． B． C． D． 【变式9-1】如图，宽为50厘米的长方形是由10个相同的小长方形拼成的，其中一个小长方形的面积是（     ） A．600 B．500 C．400 D．300 【变式9-2】如图，长方形是由6个正方形组成，其中，则图中长方形的周长是（     ） A．44 B．46 C．48 D．50 【变式9-3】辰辰用5张大小完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆出如图的图案，已知点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【题型10 图表信息题】 【例10】在方格上做填数游戏，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，又填在图中的数字如下，则，的值是（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式10-1】小宇、小欣和小杰三人玩飞镖游戏，各投支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图所示，则小杰的得分是（     ） A．分 B．分 C．分 D．分 【变式10-2】如图所示，天平中放有苹果、香蕉、砝码，且两个天平都平衡，则一个苹果的重量是一根香蕉的重量的（    ） A． B． C．2倍 D．3倍 【变式10-3】在某一马拉松比赛中，小明和小王报名参加了相同赛程的比赛如图，开赛若干分钟后，小明跑了公里，小王跑了公里，又跑了分钟两人相遇，相遇后小王再跑分钟到达终点，小明再跑分钟到达终点，请问小明和小王参加的是（   ）公里赛程的比赛． A． B． C． D． 【题型11 古代问题】 【例11】《算法统宗》中有如下的类似问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少二十五，八两多十五，试问能算者，合与多少肉？”意思是：一个哑巴来买肉，说不出钱的数目，买一斤（16两）还差二十五文钱，买八两多十五文钱，问钱数和肉价各是多少？设肉价为x文/两，哑巴所带的钱数为y文，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【变式11-1】《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就，其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，下列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式11-2】《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．如图是《九章算术》中的算筹图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数和的系数与相应的常数项，如图所示的算筹图用方程组的形式表述出来是，类似的，如图所示的算筹图，用方程组的形式表述为（     ） A． B． C． D． 【变式11-3】我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多六客，一房八客一房空．”诗中后面两句的意思：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房．若设该店有房客人，客房间，则下列二元一次方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型12 其他问题】 【例12】费县为了改善全县中、小学办学条件，计划集中采购一批电子白板和投影机，已知购买2块电子白板比购买3台投影机多4000元，购买4块电子白板和3台投影机共需44000元，则购买一块电子白板和一台投影机分别需要（     ） A．4000元，8000元 B．8000元，4000元 C．14000元，8000元 D．10000元，12000元 【变式12-1】已知整点（横、纵坐标都是整数）在平面直角坐标系内做“跳马运动”（即中国象棋“日”字形跳跃）．如图，点沿轴正方向向右上方做跳马运动，若跳到的位置，称为做一次“正横跳马”；若跳到的位置，称为做一次“正竖跳马”．当点连续做了次“正横跳马”和次“正竖跳马”后，到达点，则的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式12-2】铜山湖国家森林公园，2002年获批国家级森林公园，坐拥“天中大森林、中原北戴河”的美誉．景区内有大小两种船，1艘大船与4艘小船一次可以载乘客46名，2艘大船与3艘小船一次可以载乘客57名，某船家有3艘大船与6艘小船，一次可以载乘客（     ） A．129人 B．120人 C．108人 D．96人 【变式12-3】为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文．已知某种加密规则：明文a，b对应的密文为，．例如：明文1，2对应的密文是，4，那么密文，13对应的明文应是（     ） A．5，1 B．13， C．5，3 D．，11 【探究式学习】 1．项目主题：探究纸盒配套的最优方案 素材一 甲车间的工人负责生产如图所示的长方形纸板和正方形纸板． 素材二 乙车间的工人负责用甲车间工人生产的纸板制作出如图所示的竖式和横式两种不同长方体形状的无盖纸盒（不考虑裁剪和接缝）． (1)任务一：请根据以上信息，填写下表： 无盖纸盒 所需长方形纸板/张 所需正方形纸板/张 竖式 横式 (2)任务二：若甲车间工人生产了长方形纸板张，正方形纸板张，且乙车间工人在制作竖式、横式两种纸盒时将纸板恰好用完，则乙车间工人制作的竖式、横式两种纸盒的个数分别为多少？ (3)任务三：若甲车间共有名工人，每名工人一天能生产张长方形纸板或张正方形纸板，已知个竖式纸盒与个横式纸盒配成一套，要使甲车间一天生产的纸板与乙车间所做成的产品恰好配套，则甲车间应该如何安排工人生产两种纸板？ 2．综合与实践 【情境】剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的艺术享受．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售（每种剪纸套装至少1套），已知购进3套甲种剪纸装饰套装和2套乙种剪纸装饰套装共需230元，购进2套甲种剪纸装饰套装和3套乙种剪纸装饰套装共需220元． 【探究】 (1)这两种剪纸装饰套装购进时的单价分别为多少元？ (2)设购进甲种剪纸装饰套装x套（），购进甲、乙两种剪纸装饰套装共花费y元，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； 【应用】 (3)在（2）的条件下，若甲种剪纸装饰套装的售价为65元/套，乙种剪纸装饰套装的售价为50元/套．该商家计划购进甲种剪纸装饰套装不超过40套，要使这批剪纸装饰套装全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 【课后检测】 1．中国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．”意思是：有大小两种容器，已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛．大小容器的容量分别是多少斛？设1个大容器的容量为斛，1个小容器的容量为斛，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 2．中国古代数学著作《张邱建算经》中有一个问题：“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币若干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？设甲有x枚钱币，乙有y枚钱币，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 3．《九章算术》中有如下问题：浓酒1斗值50钱，淡酒1斗值10钱．现有30钱，买酒2斗，问浓酒、淡酒各有多少？设浓酒斗，淡酒斗，则下列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 4．《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为斗，行酒为斗，则可列二元一次方程组为（     ） A． B． C． D． 5．广东省城市篮球联赛（简称“粤”），是广东省篮球协会于年对广东省男子篮球联赛进行全面升级的城市篮球联赛．如下表所示，是常规赛第七轮结束后的部分球队积分榜信息，则胜一场的积分是（     ） 排名 球队 胜场 负场 积分 中山 … … … … … 珠海 … … … … … 江门 阳江 … … … … … A．1分 B．2分 C．3分 D．4分 6．《张丘建算经》中有这样一首古诗：甲乙隔溪牧羊，二人互相商量；甲得乙羊九只，多乙一倍正当；乙说得甲九只，两人羊数一样；问甲乙各几羊，让你算个半晌． 如果设甲有羊只，乙有羊只，那么可列方程组（     ） A． B． C． D． 7．我国古代《九章算术》被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记载这样一个问题：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？译文为：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、鸡价各多少？对于以下三位同学的解题方案，正确的个数是（     ） 小青：设人数有人，则； 小军：设鸡价有钱，则； 小萍：设人数有人，鸡价有钱，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．在平面直角坐标系中，8个大小完全相同的长方形摆成如图所示的图案．若点A的坐标是，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 9．中国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的题目：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何．意思是：有几个人一起去买物品，每人出元，多元；每人出元，少元，问人数、物价各是多少．设人数为人，物价为元，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 10．小明在人教版教材116页活动2汽车轮胎换位的探究中，获得了数学信息，知道电动车一般也是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶5000千米报废，后轮行驶3000千米报废，使电动车的一对轮胎同时报废，应在电动车行驶里程达到（     ）千米时，交换前、后轮轮胎， A．1226 B．1465 C．1875 D．2026 11．“九宫图”也称为“三阶幻方”，每行的3个数、每列的3个数、斜对角线的3个数的和都相等，则图中______． x 2 y 1 6 12．用八个大小形状完全一样的长方形在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知，则点的坐标为________． 13．小明在阅读《九章算术》时看到一个问题，大意为：只麻雀、只燕子放在天平上，麻雀一端重，燕子一端轻．麻雀、燕子从两端各交换只，天平就平衡了．已知所有的麻雀和燕子总重斤（“斤”为古代计量单位）．问：麻雀、燕子每只重多少斤？设一只麻雀重斤，一只燕子重斤．请列出符合题意的二元一次方程组：_______________． 14．在“幻方拓展课程”探索中，小明在如下所示的方格内填入了一些数和代数式，若图中每行、每列及每条对角线上的三个数（代数式）之和都相等，则的值为_________． y 0 15．现有四个完全相同的直角三角形、按图①方式摆放．形成两个正方形，其中大正方形的边长为，按图②方式摆放，形成两个正方形，其中小正方形的边长为，则一个直角三角形的面积为______． 16．已知A，B两地相距18千米，甲从A地出发，匀速步行到B地，乙从B地出发，匀速步行到A地．两人同时出发，3小时后相遇；出发4小时后，甲剩余路程是乙剩余路程的2倍．求甲、乙的步行速度． 17．在“五一”黄金周期间，小明、小亮等同学随父母一同去某地旅游，在某景点购买门票时，小明与小亮的对话：问： (1)小明他们一共去了几个成人几个学生？ (2)请你帮小明算一算，用哪种方式买票更省钱并说明理由． 18．列方程组求解古算题： 今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？(选自《九章算术》)题目大意：5头牛、2只羊共值10两“金”；2头牛、5只羊共值8两“金”．每头牛、每只羊各值多少“金”？ 19．如图，某化工厂与，两地有公路和铁路相连．这家工厂从地购买每吨元的原料运回工厂，制成每吨元的产品运到地．已知公路的运价为元／（吨），铁路的运价为元／（吨）．设这批原料有吨，生产成的产品有吨． (1)这批原料从地运回，生产成产品运到地，若两次运输共支出公路运费元，铁路运费元，问这批原料有多少吨？ (2)已知生产这批产品，其它成本费为元，每吨的生产费为元，若这批产品的毛利润为元，直接写出的值．（规定：毛利润销售额原料费其它成本费生产费运输费） 20．某铁件加工厂用如图所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） (1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片_____张，正方形铁片_____张． (2)现有长方形铁片2017张，正方形铁片1178张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒．现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．若充分利用这些铁板加工成铁盒，则最多可以加工成多少个铁盒？ 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 47 页 第 1 页 共 47 页 学科网（北京）股份有限公司 $