精品解析：山东省淄博第四中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

淄博四中2026-2027学年高一上学期第一次月考 数学试题 一、单选题 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定，可得答案. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：D. 2. 已知集合，，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，再根据交集的定义求解即可. 【详解】由或，， 则. 故选：D 3. 已知，，若集合，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 1或 【答案】C 【解析】 【详解】由题意，， 所以， 所以， 所以或， 所以或， 当时，不符合集合元素的互异性，舍， 当时，集合为，符合题意， 所以. 4. 已知集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合，由图可知阴影部分表示的集合为,进而求解即可. 【详解】由， ， 由图可知阴影部分表示的集合为, 而，， 则. 故选：B 5. 若，则恒成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由恒成立，结合基本不等式求得，进而根据充分、必要条件的定义判断各选项即可. 【详解】由，则， 当且仅当，即时等号成立，则， 则是恒成立的既不充分也不必要条件， 是恒成立的充分不必要条件， 是恒成立的既不充分也不必要条件， 是恒成立的充要条件. 故选：B 6. 已知，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用不等式的性质求各项代数式的范围. 【详解】A：由不等式的同向可加性得，即，对； B：同乘，不等式变号，得，又， 由不等式的同向可加性得，即，对； C：由B项结论及，利用不等式的同向同正可乘性得，即，对； D：因为，则有又， 由不等式的同向同正可乘性得，则，错. 故选：D 7. 若，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的性质求解最值即可得解. 【详解】令， 当时，， 故，，只需，故， 故选：A 8. 对于有限集合，用表示集合中元素的个数.现有三个有限集合，记，，.已知且，，，.则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据容斥原理可知只需求解的最大值即可，根据三个集合两两交集的元素个数可确定最小值，从而求得结果. 【详解】； ，，， ，， 的最大值为. 故选：A. 二、多选题 9. 已知，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用不等式的性质及作差法判断各项不等式的正误. 【详解】A：由，则，对； B：若时，错； C：由，则，故，对； D： 又，则，故 即， 所以，错. 故选：AC 10. 下列说法中正确的为（ ） A. 集合，若集合有且仅有2个子集，则的值为 B. 若不等式的解集为，则的取值范围为 C. 设集合，，则“”是“”的充分不必要条件 D. 若正实数，，满足，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】举例说明判断A；按结合一元二次不等式恒成立求解判断B；利用充分不必要条件的定义判断C；利用“1”的妙用求出最小值判断D. 【详解】对于A，当时，有且仅有2个子集，A错误； 对于B，当时，恒成立，则；当时，， 解得，因此的取值范围为，B正确； 对于C，当时，；当时，或，则或， 因此“”是“”的充分不必要条件，C正确； 对于D，由正实数满足，得， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：BCD 11. 已知，则下列正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 最大值为8 D. 的最大值为6 【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，， A选项，， ，解得， 当且仅当，即时等号成立， 所以，所以A选项错误. B选项，，， ， 当且仅当时等号成立，所以B选项正确. D选项，， 整理得，， 当且仅当时等号成立，所以D选项错误. C选项，， 由D选项的分析可知：，所以C选项正确. 故选：BC 【点睛】方法点睛：用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： “一正，二定，三相等” .（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致. 三、填空题 12. 若命题“”的否定是真命题，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题设是真命题，利用判别式符号列不等式求参数范围. 【详解】原命题的否定是“”，且是真命题， 则，即，解得. 故的取值范围是. 故答案为： 13. 若正数满足，则的最小值为________，此时________． 【答案】 ①. 72 ②. 【解析】 【分析】由基本不等式乘“1”法即可求解. 【详解】根据题意可得， 当且仅当得，即，时，等号成立． 故答案为：72； 14. 若关于的不等式恰有两个正整数解，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】不等式化为，讨论与1的大小解出不等式，依题意判断的取值范围即可得出． 【详解】关于的不等式可化为， 当时，解得，要使解集中恰有两个正整数解，则，得； 当时，不等式化为，此时无解； 当时，解得，要使解集中恰有两个正整数，则， 此时解集中无正整数解； 综上，实数的取值范围为． 故答案为： 四、解答题 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）命题：，命题：，若是的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 当时，，， 所以； 【小问2详解】 因为是的必要条件， 所以， 当时，，解得，满足条件； 当时，，解得， 综上，实数的取值范围为. 16. 设命题：方程有两个不相等的实数根；命题：. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题，一真一假，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据判别式即可求解， （2）分类即可求解. 【小问1详解】 若命题为真命题， 则， 解得， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 若命题为真命题，解得， 当真假时，，得； 当假真时，，得； 综上所述，实数的取值范围为或. 17. 已知集合，集合. （1）若集合B为单元素集合，求实数a的值； （2）若AB=A，求实数a的取值范围. 【答案】（1）-3 （2） 【解析】 【分析】（1），根据B仅有一个元素，由求解； （2）由得到，分和有一个元素求解. 【小问1详解】 仅有一个元素， ， 【小问2详解】 ，， 当时，，符合题意； 当有一个元素时，，符合题意； 当时，无解. ∴综上，. 18. 已知函数，. （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式 【答案】（1） （2） 若，则关于的不等式解集为或； 若，则关于的不等式解集为； 若，则关于的不等式解集为； 若，则关于的不等式解集为； 若，则关于的不等式解集为. 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论，求得实数的取值范围； （2）当时，不等式是一次不等式，可直接得解；当时，讨论的取值范围，判断对应方程的两根的大小，得到相应的不等式的解集. 【小问1详解】 当时，由，可得，所以不等式恒成立，满足题意； 当时，由题可得恒成立， 所以，解得. 综上，实数的取值范围是. 【小问2详解】 当时，由，可得； 当时，由，可得. 令，则，或. 若，则，所以或； 若，则，所以； 若，则，所以不等式无解； 若，则，所以. 综上所述，若，则关于的不等式解集为或； 若，则关于的不等式解集为； 若，则关于的不等式解集为； 若，则关于的不等式解集为； 若，则关于的不等式解集为. 19. 已知函数． （1）若不等式解集为，求不等式的解集． （2）已知，，当时，， ①若存在正实数，，使不等式有解，求的取值范围； ②求的最小值． 【答案】（1） （2）①;② 【解析】 【分析】（1）由题知，的两根为，进而结合韦达定理得，代入不等式转化为，再解一元二次不等式即可得答案； （2）由题知. ①结合题意得，再结合基本不等式“1”的用法求解最小值，进一步转化为解即可； ② 由得，且，令，进而得，再结合基本不等式求解即可得答案. 【小问1详解】 解：因为不等式 解集为 ， 所以，的两根为， 所以，由韦达定理：，即， 代入不等式得， 因为，所以，两边除以得，解得或， 所以，不等式的解集. 【小问2详解】 解：因为 ，当 时，. 所以，，整理得， ①因为存在正实数，使不等式 有解， 所以， 因为，所以， 所以 当且仅当时等号成立，即时取等， 所以，即， 所以，解得 或 ， 所以，的取值范围为 ② 由得 因为，，所以， 令，则. 所以 所以， ， 当且仅当 时等号成立，即，时等号成立.此时，. 所以，当且仅当，时等号成立,即的最小值为 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淄博四中2026-2027学年高一上学期第一次月考 数学试题 一、单选题 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 3. 已知，，若集合，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 1或 4. 已知集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则恒成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 若，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 对于有限集合，用表示集合中元素的个数.现有三个有限集合，记，，.已知且，，，.则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法中正确的为（ ） A. 集合，若集合有且仅有2个子集，则的值为 B. 若不等式的解集为，则的取值范围为 C. 设集合，，则“”是“”的充分不必要条件 D. 若正实数，，满足，则 11. 已知，则下列正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 最大值为8 D. 的最大值为6 三、填空题 12. 若命题“”的否定是真命题，则实数的取值范围是______． 13. 若正数满足，则的最小值为________，此时________． 14. 若关于的不等式恰有两个正整数解，则的取值范围是______. 四、解答题 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）命题：，命题：，若是的必要条件，求实数的取值范围． 16. 设命题：方程有两个不相等的实数根；命题：. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题，一真一假，求实数的取值范围. 17. 已知集合，集合. （1）若集合B为单元素集合，求实数a的值； （2）若AB=A，求实数a的取值范围. 18. 已知函数，. （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式 19. 已知函数． （1）若不等式解集为，求不等式的解集． （2）已知，，当时，， ①若存在正实数，，使不等式有解，求的取值范围； ②求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $