第四单元 比和比例 练习八 知识清单-2026-2027学年数学六年级上册苏教版

《第四单元 比和比例 练习八》知识清单 苏教版·2026-2027学年·数学六年级上册　（本文中“/”表示分数线，如 3/2 表示二分之三） 一、知识梳理 练习八（教材 P55-P57）是本单元的综合练习，覆盖化简比与求比值、比与数量关系、按比例分配、解决实际问题等内容。它把“比的意义、比的基本性质与化简比、按比例分配”串成一条线，重点沟通比与分数、除法的联系。重要结论整理如下表。 要点 具体内容 化简比 把比化成前项和后项只有公因数 1 的最简整数比：整数比同除以最大公因数，分数比同乘分母的最小公倍数，小数比先同乘 10、100……再化简。 求比值 用前项除以后项，结果是一个数（可以是整数、小数或分数）。如 12:18 的比值是 12÷18＝2/3。 化简比与求比值的区别 化简比的结果是一个比（如 1:4），求比值的结果是一个数（如 1/4）；两者不能混淆。 把比改写成后项是 100 的比 用比的基本性质，让前项、后项同乘或同除以一个数使后项变成 100。18:25＝72:100，214:200＝107:100。 比与数量关系 两个量的比就是用前一个量除以后一个量。氧气质量与森林面积的比是 7:100，比值是 7/100。 按比例分配 先求总份数（各项相加），再求每份（总量÷总份数），最后每份×份数；也可用总量×各部分的分率。 解比的关键 遇到正方体的棱长、底面积、体积的比，要按公式先算出再化简：棱长 4:6＝2:3，底面积 16:36＝4:9，体积 64:216＝8:27。 常见应用 国旗长与高的比都是 3:2、按人数比分巧克力、按投资额分利润、按比配饮料、按材料份数配混凝土等。 二、算理剖析 练习八的核心，是把“比”作为一个“可以变形、可以计算、可以分配”的工具，它能和分数、除法自由沟通。 ① 比与除法、分数的沟通：a:b＝a÷b＝a/b。所以 6:9＝6÷9＝2/3，15/36＝15÷36＝5/12，18/12＝18÷12＝3/2。一个比、一个除法算式、一个分数，说的常常是同一件事。 ② 化简比为什么“同乘同除”：由比的基本性质，前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外）比值不变。1.35:9.25＝(1.35×100):(9.25×100)＝135:925＝27:185，前项后项各有公因数 5，约掉后得到最简整数比。 ③ 按比例分配为什么先求总份数：以 180 块巧克力按 35:31:24 分给三个班为例，35＋31＋24＝90（份），90 份对应 180 块，每份就是 180÷90＝2（块），再乘各班份数即可。 ④ 求“还剩多少”的思想：已知总量和一个部分，另一部分＝总量−部分。如足球比赛 90 分钟，先求出已进行的 90×1/3＝30 分钟，剩下的就是 90−30＝60 分钟；药粉与水按 1:40 配，400 克药粉需水 400×40＝16000 克。 ⑤ 为什么“几何量的比要先算再化简”？正方体的棱长比是 4:6，但底面积的比不是 4:6，而是 4²:6²＝16:36＝4:9；体积的比是 4³:6³＝64:216＝8:27。底面积、体积都是新的量，要先按公式算出来，再写它们的比，最后化简。若直接把棱长比当成面积比，就错了。 小结：比、分数、除法三者相通；化简比用基本性质，按比例分配抓“总份数”，解决问题理清“总量、部分、剩余”的关系。 三、方法归纳 （一）化简比与求比值的方法 ① 化简整数比同除以最大公因数：20:8＝5:2、36:2＝18:1、102:68＝3:2； ② 化简分数比同乘分母的最小公倍数：1/3:4/5＝5:12（同乘 15）、3/7:5/21＝9:5（同乘 21）； ③ 化简小数比先化整再约分：0.32:0.8＝32:80＝2:5、1:0.25＝100:25＝4:1； ④ 求比值用前项÷后项，结果是数：4:16 的比值是 1/4，5.6:4.2 的比值是 4/3。 （二）按比例分配的解题步骤 ① 求总份数：把比的各项相加，如 3＋4＋5＝12； ② 求每份：总量÷总份数，如 24÷12＝2； ③ 求各部分：每份×对应份数，如 2×3＝6、2×4＝8、2×5＝10； ④ 检验：各部分相加等于总量，各部分的比等于已知的比。 （三）解决实际问题的方法 ① 先把“比”读清楚：是谁与谁的比、总量是多少； ② 判断用哪种思路：求一个部分用“总量×分率”，求分配用“总量÷总份数×份数”； ③ 涉及角度、面积、体积时，先按公式算，再化简或分配，如直角三角形两锐角和为 90°，按 3:2 分成 54°和 36°。 四、易错警示 ✗ 错误：求 4:16 的比值，把结果写成 1:4。 → ✓ 正确：求比值的结果是一个数，4:16＝4÷16＝1/4；而化简比 4:16＝1:4 才是一个比。 ✗ 错误：化简 1.35:9.25 时只化成 135:925 就停下。 → ✓ 正确：135 和 925 还有公因数 5，必须继续约，最简整数比是 27:185。 ✗ 错误：配药液时，药粉:水＝1:40，用 400 克药粉却算加水 400÷40＝10 克。 → ✓ 正确：药粉 1 份、水 40 份，400 克药粉对应 400×40＝16000 克水；400÷40＝10 是“用 400 克水求药粉”的答案。 ✗ 错误：按 35:31:24 分 180 块巧克力，用 180÷3＝60 当每份。 → ✓ 正确：总份数是比的各项之和 35＋31＋24＝90，每份 180÷90＝2（块）。 ✗ 错误：混凝土按 2:3:5 配料，黄沙 18 吨用完，算水泥剩 18−2×6＝6 吨时把份数弄错。 → ✓ 正确：黄沙 3 份用完，18÷3＝6（份数），水泥用 2×6＝12（吨），18−12＝6（吨）为剩余，石子需 5×6＝30 吨，增加 30−18＝12（吨）。 五、典型例题 例1　化简比并求比值（教材第 2、10 题） 化简并求比值：4:16、5.6:4.2、5/7:5/2；并把 18:25、214:200 改写成后项是 100 的比。 解：4:16＝1:4，比值 1/4；5.6:4.2＝56:42＝4:3，比值 4/3；5/7:5/2＝(5/7×14):(5/2×14)＝10:35＝2:7，比值 2/7。 18:25＝(18×4):(25×4)＝72:100；214:200＝(214÷2):(200÷2)＝107:100。 点睛：化简比写成比，求比值写成数；改写后项是 100 的比，就用比的基本性质让后项变成 100。 例2　国旗的长与高、正方体的比（教材第 3、4 题） 国旗五种尺度的长与高的比分别是 288:192、240:160、192:128、144:96、96:64，化简它们。小正方体棱长 4 cm，大正方体棱长 6 cm，写出大、小正方体棱长、底面积、体积的比并化简。 解：五种尺度长与高的比都化简成 3:2（如 288:192＝3:2）。 棱长的比 4:6＝2:3；底面积 4²:6²＝16:36＝4:9；体积 4³:6³＝64:216＝8:27。 点睛：几何量的比要先按公式算出来再化简，注意底面积是棱长的平方、体积是棱长的立方。 例3　按投资额分配利润（教材第 7 题） 三人合资办厂，投资额分别是 30 万元、40 万元、50 万元，可分配利润 24 万元，按投资额分配，各得多少万元？ 解：30:40:50＝3:4:5，总份数 3＋4＋5＝12（份），每份 24÷12＝2（万元）。 三人分别得 2×3＝6（万元）、2×4＝8（万元）、2×5＝10（万元）。检验：6＋8＋10＝24（万元）。 点睛：比能先化简就先化简，份数越小计算越简便；多部分分配仍按“总份数→每份→各部分”。 例4　按比配饮料（教材第 8 题） 调制几杯 300 毫升的饮料，纯橙汁与水的体积比分别是 1:5、1:4、1:1、2:1。算一算每杯里纯橙汁和水各多少毫升。 解：1:5，总份数 6，每份 300÷6＝50，橙汁 50 毫升、水 250 毫升； 1:4，总份数 5，每份 300÷5＝60，橙汁 60 毫升、水 240 毫升； 1:1，总份数 2，每份 150，橙汁 150 毫升、水 150 毫升；2:1，总份数 3，每份 100，橙汁 200 毫升、水 100 毫升。 点睛：总量相同（都是 300 毫升）时，比不同则各部分不同；先算对总份数，再求每份。 例5　港珠澳大桥与直角三角形（教材第 13、14 题） 港珠澳大桥全长 55 千米，主体桥梁与全长的比约是 2:5，主体桥梁长约多少千米？一个直角三角形两个锐角度数的比是 3:2，两个锐角各是多少度？ 解：桥梁长 55×2/5＝22（千米）。 直角三角形两锐角和为 90°；总份数 3＋2＝5，每份 90÷5＝18（°），两角是 18×3＝54（°）、18×2＝36（°）。 点睛：“主体桥梁与全长的比是 2:5”，即桥梁长占全长的 2/5；直角三角形两锐角和 90° 是隐含的总量。 例6　配制混凝土（教材第 16 题） 混凝土由水泥、黄沙、石子按 2:3:5 的份数配制。如果三种材料各有 18 吨，当黄沙全部用完时，水泥还剩多少吨？石子已经增加了多少吨？ 解：水泥、黄沙、石子的比是 2:3:5。黄沙 18 吨用完，18÷3＝6（份）。水泥用 2×6＝12（吨），还剩 18−12＝6（吨）。 石子需 5×6＝30（吨），已经增加了 30−18＝12（吨）。答：水泥还剩 6 吨，石子增加了 12 吨。 点睛：先由“黄沙用完”求出每份的量（18÷3＝6），再按各材料的份数算出实际用量，最后与 18 吨比较求剩余或增加。 六、拓展延伸 ① 数学文化·“比”在国旗里的规范：《中华人民共和国国旗法》规定国旗有五种通用尺度，它们的宽与高之比都是 3:2，这正是用比来规范统一形状的例子。无论国旗做多大，长与高的比都相同，形状就不会走样。我国古代《考工记》也记载了铜锡合金的配比，是世界上最早的合金配比记录。 ② 生活应用·“比”在身边的用处：量一量自己的一庹长和身高，算出它们的比的比值；再看看肚脐到脚底的距离与身高的比，这个比值越接近 0.618（黄金比），形体越匀称。钢筋混凝土、混凝土配料、汇率换算、地图比例尺，处处都有“比”的身影。学会化简比与按比例分配，就能读懂这些生活里的数学。 七、本课小结 1. 化简比的结果是一个比（如 4:16＝1:4），求比值的结果是一个数（如 1/4），两者不能混淆。 2. 化简整数比同除以最大公因数；化简分数比同乘分母的最小公倍数；化简小数比先同乘 10、100……化整再约分，别漏掉最后的公因数（如 135:925＝27:185）。 3. a:b＝a÷b＝a/b，比与除法、分数可以互相改写；把比改写成后项是 100 的比，就用比的基本性质。 4. 按比例分配：先求总份数，再求每份，最后每份×份数；比有几项，总份数就是几项之和。 5. 几何量（棱长、底面积、体积）的比要先按公式算出再化简。 6. 检验要查两处：各部分合起来等于总量，各部分的比等于已知的比。 学科网（北京）股份有限公司 $