专题05 抛物线（期中复习讲义）高二数学苏教版选择性必修第一册

专题05 抛物线 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 抛物线定义 考点二 有关抛物线的轨迹方程 考点三 求抛物线的标准方程 考点四 抛物线的焦半径 考点五 实际问题中的抛物线方程 考点六 抛物线的焦点弦 考点七 直线与抛物线相交的交点、弦长 考点八 抛物线的对称性 考点九 抛物线的中点弦 考点十 抛物线的切线 考点十一 抛物线上点到定点、焦点的距离 05 重难题型突破 题型一 抛物线中的多边形问题 题型二 抛物线上点到定直线的距离 题型三 定点问题 题型四 定值问题 题型五 最值问题 06 限时分层演练 基础固本练 综合进阶练 从近年江苏省高二期中考试来看，抛物线内容主要考基础考点和基本方法，难易度主要是基础题与适中题，若出现解答题，则第2问有一定难度； 题型上单选题、多选题、填空题、解答题中均可能出现. 选择题、填空题主要考根据方程判断焦点位置、求参数（范围），轨迹判断及求轨迹方程，由基本量求标准方程、直线与抛物线位置关系（弦长、中点弦问题、交点坐标、三角形周长面积、特别是焦点弦有关问题、相切）、抛物线中的最值范围、定点、定值问题等. 解答题的第1问常考求抛物线的标准方程及，第2问常考直线与抛物线的位置关系. 识记 定义，标准方程，焦点坐标，准线方程及性质，对称轴，焦半径. 理解 焦点位置对方程的影响，焦点准线的关系，焦半径与焦点弦，直线与抛物线的位置关系中只有一个交点时有可能是相交. 应用 直线与抛物线的位置关系，抛物线的弦长，中点弦问题，定点定值问题，范围最值. 考点一 抛物线定义 ⚠️概念辨析 注意焦点位置，仔细分析：“距离相等” 【例1-1】（24-25高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为,上一点到轴的距离为6，且，则（   ） A．4 B．8 C．16 D．12 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】抛物线定义的理解 【分析】根据抛物线定义列方程求参数即可. 【详解】由题设及抛物线的定义，有. 故选：A 【例1-2】（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为5，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线的焦半径公式 【分析】设，由抛物线的定义可得，得，代入抛物线方程求出纵坐标即可得到点的坐标. 【详解】抛物线的焦点为,准线方程为， ； 因为点到的焦点的距离为5，所以由抛物线的定义得，得； 又因为为抛物线上一点，所以，所以， 所以点的坐标为； 故选：A 【例1-3】（21-22高二上·江苏连云港·期中）已知点F为抛物线C：的焦点，点，若点Р为抛物线C上的动点，当取得最大值时，点P恰好在以F，为焦点的椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、抛物线定义的理解、根据韦达定理求参数 【分析】过点P引抛物线准线的垂线，交准线于D，根据抛物线的定义可知，记，根据题意，当最小，即直线与抛物线相切时满足题意，进而解出此时P的坐标，解得答案即可. 【详解】如图，易知点在抛物线C的准线上，作PD垂直于准线，且与准线交于点D，记，则. 由抛物线定义可知，.由图可知，当取得最大值时，最小，此时直线与抛物线相切，设切线方程为，代入抛物线方程并化简得： ，，方程化为：，代入抛物线方程解得：，即，则，. 于是，椭圆的长轴长，半焦距，所以椭圆的离心率. 故选：D. 【例1-4】（多选）（23-24高二上·江苏·期中）当变化时，方程表示的曲线形状，下列说法中正确的是（    ） A．时，方程表示一条直线 B．或是方程表示双曲线的充要条件 C．时，方程表示椭圆 D．该方程不可能表示抛物线 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】由方程求曲线的图形、判断方程是否表示椭圆、判断方程是否表示双曲线、抛物线定义的理解 【分析】根据的不同取值分别判断曲线形状即可. 【详解】对于A：当时方程为，所以此时曲线为直线，此时图像是一条直线，A正确； 对于B：方程可以化为， 当时方程为，表示焦点在轴上的双曲线， 当时方程为，表示焦点在轴上的双曲线，所以是充分条件； 若方程表示双曲线，则或，解得或者，所以是必要条件， 所以是充要条件，B正确； 对于C：方程可以化为，当时方程为，此时曲线为圆，C错误； 对于D：因为方程可以化为，所以不可能是抛物线，D正确， 故选：ABD 【例1-5】（24-25高二上·江苏泰州·期中）若方程表示的曲线是抛物线，则实数的值为__________，此抛物线的顶点坐标为__________. 【答案】； 【难度】0.4 【知识点】抛物线定义的理解 【分析】抛物线定义的条件有“距离相等”，所以由已知条件应构造出2个距离（两点距离、点到直线的距离，且2个距离中有相同的点）.由已知变形得，由抛物线定义可求，进而可得焦点为，进而求得抛物线的对称轴与准线交点可求抛物线的顶点坐标. 【详解】由，可得， 所以，所以， 方程表示到点的距离与直线的距离之比为常数， 若方程表示的曲线是抛物线，则，解得， 为抛物线的焦点，直线为抛物线的准线， 过与直线垂直的直线方程为， 由，解得，所以抛物线的准线与对称轴的交点坐标为， 又抛物线的顶点是焦点与的中点， 所以抛物线的顶点坐标为. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：关键是把方程变形为，利用抛物线的定义可求，考查抛物线的定义的应用，难度较大. ⚠️避坑指南 ❌ 焦点不一定在坐标轴上，准线也不一定平行于坐标轴 考点二 有关抛物线的轨迹方程 【例2-1】（23-24高二上·江西景德镇·期中）已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】直角坐标系中的基本公式的应用、抛物线定义的理解、利用抛物线定义求动点轨迹 【分析】等价变形给定等式，再利用式子表示的几何意义，由抛物线的定义可得. 【详解】因为， 得， 即动点到定点的距离与到定直线的距离相等， 且点不在直线上， 则由抛物线定义知，动点的轨迹为抛物线. 故选：D. 【例2-2】（25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆，直线，则与直线相切且与圆外切的圆的圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹 【分析】考察点到F的距离与到直线的距离，作辅助直线结合抛物线定义可解. 【详解】由图可知，到F的距离比到直线的距离大1， 记直线为直线 ，则到F的距离等于到直线的距离， 由抛物线定义可知，M的轨迹为顶点在原点开口向左的抛物线，其中， 所以M的轨迹方程为： 故选：B 【例2-3】（21-22高二上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，下列结论正确的有（   ）个   ①过双曲线右焦点的直线被双曲线所截线段长的最小值为 ②方程表示的曲线是双曲线 ③若动圆过点且与直线相切，则圆心的轨迹是抛物线 ④若椭圆的离心率为，则实数 A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、利用双曲线定义求方程、利用抛物线定义求动点轨迹 【分析】①直线被双曲线所截线段长的最小值为，所以该命题错误； ②方程表示以，为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，故该命题错误； ③圆心的轨迹是抛物线，故该命题正确； ④当焦点在轴上时，解得，故该命题错误． 【详解】解：①过双曲线右焦点的直线被双曲线所截线段长的最小值为，所以该命题错误； ②方程的几何意义是平面内动点到两个定点，距离差等于6的点的轨迹，表示以，为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，故该命题错误； ③若动圆过点且与直线相切，则圆心到的距离等于到直线的距离，则圆心的轨迹是抛物线，故该命题正确； ④椭圆的离心率为，当焦点在轴上时，，，则， 则，解得，故该命题错误． 故选：A 【例2-4】（多选）（23-24高二上·江苏常州·期中）已知圆，圆，圆，圆，直线，则（    ） A．与圆都外切的圆的圆心轨迹是双曲线的一支 B．与圆外切､内切的圆的圆心轨迹是椭圆 C．过点且与直线相切的圆的圆心轨迹是抛物线 D．与圆都外切的圆的圆心轨迹是一条直线 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——椭圆、求双曲线的轨迹方程、利用抛物线定义求动点轨迹 【分析】根据几何关系确定，A正确，，B正确，根据抛物线定义知C正确，确定，得到D错误，得到答案. 【详解】对选项A：设圆心为，半径为，则，，故， 圆心轨迹是双曲线的一支，正确； 对选项B：设圆心为，半径为，则，，故， 圆心轨迹是椭圆，正确； 对选项C：设圆心为，半径为，故到定点和定直线的距离相等为， 圆心轨迹是抛物线，正确； 对选项D：设圆心为，半径为，则，，故， 在两圆外，圆心轨迹是两条射线，错误； 故选：ABC. 【例2-5】（24-25高二上·上海·课后作业）若点P到点的距离比它到直线的距离大1，则点P的轨迹方程为______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹 【分析】根据题意，由抛物线的定义，即可得到结果. 【详解】因为点P到点的距离比它到直线的距离大1， 所以点P到点的距离等于它到直线的距离， 由抛物线的定义可知，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 即抛物线的焦点在轴正半轴，，即， 所以点P的轨迹方程为. 故答案为： 考点三 求抛物线的标准方程 【例2-1】（25-26高二上·河南南阳·期中）已知某抛物线的顶点为坐标原点，焦点在直线上，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】先求得焦点坐标，再根据焦点坐标求解抛物线方程即可. 【详解】直线与轴的交点为，与轴的交点为， 当抛物线的焦点在轴上时，可得焦点坐标为，此时抛物线的标准方程为； 当抛物线的焦点在轴上时，可得焦点坐标为，此时抛物线的标准方程为. 故选：D 【例2-2】（24-25高二上·江苏淮安·期中）过点且焦点在y轴上的抛物线方程为（  ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】根据抛物线焦点的位置设抛物线为，结合所过点求方程. 【详解】由题意，可设抛物线为，又点在抛物线上， 所以，故所求抛物线为. 故选：D 【例2-3】（24-25高二下·江苏南京·期末）抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，的准线交轴于点，若，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】先根据已知条件求出的坐标，然后利用垂直关系列出等式求出，进而得到抛物线方程. 【详解】根据题意，设抛物线方程为， 则，准线方程为. 所以点. 因为，所以， 化简得，即，解得. 所以抛物线方程为. 故选：D. 【例2-4】（多选）（24-25高二上·江苏常州·期中）顶点在原点，且过点的拋物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程 【分析】根据点的位置，确定拋物线的焦点位置，设出抛物线的标准方程，代入点坐标计算即可. 【详解】∵点在第二象限， ∴拋物线的焦点在轴的负半轴上，或在轴的正半轴上． 当拋物线的焦点在轴的负半轴上时， 设抛物线的标准方程为， ∵点在抛物线上，则，解得， ∴抛物线的标准方程是； 当拋物线的焦点在轴的正半轴上时， 设抛物线的标准方程为， ∵点在抛物线上，则，解得， ∴抛物线的标准方程是. 综上，抛物线的标准方程是或. 故选：AC. 【例2-5】（24-25高二上·江苏常州·期中）以双曲线的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为______ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求双曲线的焦点坐标、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】根据双曲线可得抛物线的焦点为，即可得方程. 【详解】由双曲线方程可知，且焦点在x轴上， 可知双曲线的右焦点为，即抛物线的焦点为， 所以抛物线的标准方程为. 故答案为：. 考点四 抛物线的焦半径 【例4-1】（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知F是抛物线的焦点，点在C上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式 【分析】求得抛物线的准线方程及点的横坐标后，利用抛物线的定义计算即可. 【详解】由题可得抛物线的准线为，又因点在C上，所以，解得， 所以，故C正确. 故选：C. 【例4-2】（25-26高二上·江苏徐州·期中）若是抛物线上一点，为抛物线的焦点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】抛物线的焦半径公式 【分析】根据抛物线的定义可得解. 【详解】由抛物线方程为， 则其准线， 又在抛物线上，则，且到直线的距离， 由抛物线定义可知， 故选：C. 【例4-3】（24-25高二上·江苏苏州·阶段检测）已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，.则（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】抛物线的焦半径公式 【分析】设，根据得到相关方程，解出即可. 【详解】由题得，准线方程为，设， 根据对称性，不妨假设点位于第一象限，过点作轴， 因为，则， 则，又因为是抛物线上一点， 则，代入上式有，解得或3， 显然由图知，则，则. 故选：A 【例4-4】（多选）（23-24高二上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，，，为抛物线上的任意三点(异于点)，，则下列说法正确的有（    ） A．设，到直线的距离分别为，，则 B． C．若，则 D．若直线，，的斜率分别为，，，则 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】直线斜率的定义、抛物线的焦半径公式、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】根据抛物线得定义可判断；根据三角形重心公式以及抛物线定义可判断；根据重心相关性质即可判断；根据题意求得直线,,的斜率，代入等式计算可判断. 【详解】对于，抛物线方程为，所以抛物线得准线为， 所以，到直线的距离之和， 因为三点不一定共线，所以，即，故错误； 对于，因为为抛物线上任意三点，且， 所以为的重心，，所以， 所以，故正确； 对于，延长交于点，因为为的重心，所以，且是的中点， 因为，在中，有，所以，故正确； 对于，因为，；两式相减,得：, 所以,,同理可得,,, 所以，故正确. 故选：. 【例4-5】（22-23高二上·江苏宿迁·期中）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若，则中点M到抛物线准线的距离为___________. 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】抛物线的焦半径公式 【分析】抛物线的焦点，准线方程为，由中点坐标公式可得的横坐标，由此求得点到抛物线准线的距离. 【详解】由抛物线的方程可得， 故它的焦点，准线方程为． 由中点坐标公式可得PQ的中点， 由于，则M到准线的距离为， 故答案为：4. 考点五 实际问题中的抛物线方程 【例5-1】（24-25高二上·江苏扬州·期中）如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，当水面下降1m后，桥洞内水面宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、求实际问题中的抛物线方程 【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，分析可知点在该抛物线上，求出的值，可得出抛物线的方程，将代入抛物线方程，即可得出结果. 【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为，由题意可知点在抛物线上， 所以，可得，所以抛物线的方程为， 当水面下降后，即当时，，可得， 因此，当水面下降后，桥洞内水面宽为. 故选：D. 【例5-2】（23-24高二上·江苏泰州·期中）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，那么车辆通过隧道的限制高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求实际问题中的抛物线方程 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，即可得到抛物线方程，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】取隧道截面，以抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立直角坐标系， 则，设抛物线方程为 ，将点代入抛物线方程， 可得，则抛物线方程为，行车宽度，将代入抛物线方程， 可得，所以限度为. 故选：B 【例5-3】（25-26高二上·陕西咸阳·期中）如图是济新高速黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地针式回转缆悬索桥.大桥主跨长约500米，主塔高约100米，缆悬索是以为顶点且开口向上的抛物线的一部分，若为抛物线的焦点，则主塔端点到焦点的距离约为（    ）    A．1350米 B．758米 C．725米 D．558米 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】抛物线定义的理解、求实际问题中的抛物线方程 【分析】根据给定条件，建立直角坐标系，求出其准线方程，结合抛物线的定义即可求解. 【详解】以为原点，直线为轴，过且与主塔平行的直线为轴，建立平面直角坐标系， 连接，，则， 设抛物线的方程为， 则，解得， 因此抛物线的焦点为， 准线方程为 ， 利用抛物线的定义得：. 故选：C 【例5-4】（25-26高二上·江苏徐州·期中）某数学爱好者在上海博物馆参观时，对一件清康熙款青花龙凤纹碗产生了兴趣.如图所示，该瓷碗水平置于桌面上，底座高1cm，碗口直径15cm，碗深7.5cm.若将碗身（不含底座）的轴截面轮廓近似看作抛物线，碗内有一根长度为10cm的木棒通过抛物线焦点，且两端紧贴碗的内壁.则木棒的中点离桌面的距离为__________cm. 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】抛物线的焦半径公式、求实际问题中的抛物线方程 【分析】建立平面直角坐标系，设出抛物线的方程，代入点，求得抛物线的方程，利用抛物线的定义，即可求解. 【详解】建立平面直角坐标系，如图所示， 设抛物线的方程为，其焦点为， 碗口直径为，碗深，所以抛物线过点， 所以，解得，所以抛物线的方程为， 设，过中点作轴， 由抛物线的定义可得，解得， 所以，所以木棒的中点离桌面的距离为. 故答案为：. 【例5-5】（25-26高二上·江苏南通·期中）早在一千多年之前，我国已经把溢流孔用于造桥技术，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击．现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔的轮廓线均为抛物线的一部分，且4个溢流孔的轮廓线相同．结合下图，根据图上尺寸，建立平面直角坐标系，则桥拱的轮廓线所在的抛物线方程为_______________，B，C两点的横坐标之差为_______________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求实际问题中的抛物线方程、抛物线的应用 【分析】根据已知条件，分别设抛物线的方程，结合抛物线过点，以及4个溢流孔的轮廓线平移关系求、所在溢流孔的抛物线，再联立抛物线方程求出交点坐标即可得. 【详解】设桥拱所在抛物线的方程为，该抛物线过点， ，解得，故桥拱所在抛物线为①， 设所在溢流孔的抛物线方程为，该抛物线过点， ，解得，故所在溢流孔的抛物线为， 个溢流孔的轮廓线相同， ，所在溢流孔的抛物线为②， 联立①②，消元得，解得或， 所以，，则B，C两点的横坐标之差为. 故答案为：， 考点六 抛物线的焦点弦 【例6-1】（25-26高二上·江苏宿迁·期末）过抛物线的焦点的直线交抛物线于A，B两点，点在第一象限，有，则直线的斜率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】抛物线的焦半径公式、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题 【分析】作出抛物线的准线，设A、B在l上的射影分别是C、D，连接AC、BD，过B作于E.由抛物线的定义结合题中的数据，可算出Rt△ABE中，的值，从而得到直线AB的斜率k值. 【详解】作出抛物线的准线l：，设A、B在l上的射影分别是C、D， 连接AC、BD，过B作BE⊥AC于E. ∵，∴设， 由点A、B分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得. 因此，Rt△ABE中，，， 则直线AB的斜率， 故选：B. 【例6-2】（25-26高二上·河北·阶段检测）如图，是抛物线上一点，是抛物线的焦点，，则（    ） A．8 B．4 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标，然后求出直线的方程，联立该直线与抛物线方程，求出点的坐标，进而求出. 【详解】由抛物线的方程可知，焦点， 因为，所以直线的斜率， 因此直线的方程为，与抛物线方程联立，消去得，， 解得，，由图可知点的横坐标为，. 故选：C. 【例6-3】（22-23高二上·四川绵阳·期中）如图所示，已知抛物线过点，圆. 过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、与抛物线焦点弦有关的几何性质、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由点在抛物线上求出p，焦半径的几何性质有，再将目标式转化为，应用基本不等式“1”的代换求最值即可，注意等号成立条件. 【详解】由题设，16＝2p×2，则2p＝8，故抛物线的标准方程：，则焦点F(2,0)， 由直线PQ过抛物线的焦点，则， 圆C2：圆心为(2,0)，半径1， ， 当且仅当时等号成立，故的最小值为13. 故选：D 【点睛】关键点点睛：由焦半径的倾斜角式得到，并将目标式转化为，结合基本不等式求最值. 【例6-4】（多选）（25-26高二上·江苏宿迁·期中）已知抛物线，直线l过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则（    ） A．C的准线方程为 B．线段MN的长度的最小值为4 C．存在唯一直线l，使得F为线段MN的中点 D．以线段MN为直径的圆与C的准线相切 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】由抛物线方程就可求出准线方程，即可判断A；设直线MN的方程为，，，联立方程，利用韦达定理求出，进而可求出，再逐一判断BCD即可． 【详解】对于A，抛物线的准线方程为，故A错误； 对于B，， 由题意可得直线MN的斜率不等于零，设方程为，，， 联立，消得，， 则，所以， 所以，时取等号， 所以线段MN的长度的最小值为4，故B正确； 对于C，由B选项得线段MN的中点坐标为， 若点为线段MN的中点， 则，解得， 所以存在唯一直线，使得为线段MN的中点，故C正确； 对于D，由C选项知线段MN的中点坐标为， 则中点到准线的距离为，又， 所以，即以线段MN为直径的圆与的准线相切，故D正确． 故选：BCD． 【例6-5】（25-26高二上·四川绵阳·阶段检测）抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．已知点为抛物线的焦点，从点出发的光线经抛物线上一点反射后，反射光线经过点（10，1），若入射光线和反射光线所在直线都与圆相切，则的值是_________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】L根据点斜式求解入射光线的方程，进而根据点到直线的距离公式求解. 【详解】由题意，反射光线平行于轴且经过点，故其方程为， 因反射点在光线与抛物线上，所以该点纵坐标为， 当时，，故入射光线经过和，， 故入射光线的方程为，化简得， 圆心为，半径为， 所以， 当，化简得：，解得， 当，化简得：， 无解. 综上. 故答案为： 考点七 直线与抛物线相交的交点、弦长 【例7-1】（23-24高二上·江苏无锡·期中）斜率为1的直线经过抛物线（）的焦点，且与抛物线相交于两点，线段的长为8，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】由弦长求参数、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】先设点和，设直线方程为，联立直线和抛物线方程，利用弦长公式可计算出的值. 【详解】设点和，设直线方程为， 联立方程：，可得：， ， 线段的长为：， 得， 故选：C. 【例7-2】（25-26高二上·吉林长春·期中）抛物线的焦点为F，C的准线与轴交于点，过且倾斜角为的直线与交于M，N两点（在轴上方），则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】直线与抛物线交点相关问题 【分析】易得直线MF的方程为，与抛物线方程联立，求得M，N的坐标，进而得到求解. 【详解】由抛物线得焦点为， 由题意，得直线MF的方程为，与抛物线方程联立， 消去得， 解得， 所以， ， 所以， 故选：D 【例7-3】（25-26高二上·陕西商洛·期末）如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于A，B两点，交其准线于点，若是的中点，且，则线段的长为（    ） A．6 B．4 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】抛物线定义的理解、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】设直线的方程为，根据中点条件将的坐标表示出来，根据求出，然后联立直线与抛物线方程，结合韦达定理求出坐标，最后根据两点距离公式求出结果. 【详解】由题意得，，设直线的方程为. 因为的横坐标为，代入方程得其纵坐标为. 所以点的坐标为，设， 因为是的中点，所以，解得. 所以，由于，所以根据抛物线的定义可得，解得. 所以直线的方程为，抛物线. 联立直线与抛物线方程得，化简得. 所以，由于，所以，所以. 所以线段的长为. 故选：D. 【例7-4】（多选）（25-26高二上·江苏无锡·期中）设抛物线的焦点为，点在轴上，若线段的中点在抛物线上，且点到抛物线的准线的距离为，则（   ） A． B．的坐标为 C． D．直线的方程为 【答案】AD 【难度】0.4 【知识点】直线与抛物线交点相关问题、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】由题意得焦点为，准线为 ，设的坐标为，由中点坐标公式得，，即.由点到抛物线准线的距离为，得，解得. 即可判断选项A；故抛物线方程为，，则，求出和的值，即可判断选项B；根据三角形面积公式即可判断选项C；根据直线的点斜式方程化简即可判断选项D. 【详解】如图，由题意得焦点为，准线为 ， 设的坐标为，由为的中点得，，即. 由点到抛物线准线的距离为，得，解得. 故选项A正确； 由选项A知抛物线方程为，，则，故，， 所以点的坐标为或.故选项B错误； 的面积为.故选项C不正确； 由，或知， 直线的方程为，即.故选项D正确. 故选：AD 【例7-5】（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知抛物线，直线与相交于，两点，若的准线上一点满足，则的坐标为_____. 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】根据抛物线标准方程确定其准线方程，设出准线上动点的坐标形式，将直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理得到两交点横、纵坐标的和与积的关系式，然后，将垂直条件转化为两向量的数量积为零，写出代数等式并代入韦达定理所得的坐标关系式，得到关于动点纵坐标的一元二次方程. 【详解】已知抛物线，则准线方程为，设点在准线上，， 将直线代入抛物线方程得： ， 化简整理得：， 设，则是方程的两个根， ， 由得：， 于是 则， 代入，得：， ，， 即， 化简得： 代入已知数值得：， 整理得：， 即故，即. 故答案为： 考点八 抛物线的对称性 【例8-1】（25-26高二上·江苏·期中）已知过抛物线的焦点的直线垂直于轴，且与抛物线交于，两点，点在轴上，且．若（为坐标原点），则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】抛物线的对称性的应用、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】由题意设，，讨论点的坐标为或者，即可根据，求出p的值，即可求得答案. 【详解】由抛物线的方程，得， 由抛物线的对称性，不妨设，， 当点的坐标为时，，， 因为，所以，则（不合题意，舍去）； 当点的坐标为时，， 因为，所以，则， 所以抛物线的准线方程为， 故选：A． 【例8-2】（24-25高二下·云南·期中）已知抛物线，其中，是过拋物线焦点的两条互相垂直的弦，直线的倾斜角为，当时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】抛物线的对称性的应用、利用焦半径公式解决直线与抛物线交点问题、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】依题写出直线的方程并与抛物线方程联立，求得的横坐标，利用弦长公式结合抛物线对称性求出相关线段长，即可求得答案． 【详解】由题意知，直线的倾斜角，则直线的方程为， 联立，消去可得：，解得， ，， 由抛物线的定义可得，， 根据抛物线的对称性结合是过抛物线焦点的两条互相垂直的弦， 可知，， 故， 故“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为． 故选：D 【例8-3】（25-26高三上·北京东城·期中）已知抛物线和所围成封闭曲线，点在曲线上，给定点，则下列说法中正确的是（  ） A．存在，对所有点，均不存在使得 B．任意，恰有三对不同的点，满足每对点关于点对称 C．存在，曲线上恰有四个点满足到的距离等于 D．任意，当点运动时，都满足 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】抛物线的对称性的应用、由方程研究曲线的性质、抛物线上的点到定点的距离及最值 【分析】首先确定两抛物线交点，根据抛物线对称轴为轴可确定A错误；设，，讨论在同一条抛物线上和分别在两条抛物线上的情况，可求得当时，不存在三对不同的点满足条件，知B错误；取即可验证得到C正确；取，，可验证得到D错误. 【详解】由，得：或，即两抛物线交点为和； 对于A，与图象均关于轴对称，点在轴上， 当关于轴对称时，，A错误； 对于B，若关于点对称，则可设，， 若均在上，则，解得：； 即当时，存在一组关于对称的点和； 若分别在和上， 不妨令在上，在上， 由得：，则， 若，则，方程组无解，此时不存在关于对称的点； 当时，不存在三对不同的点，满足每对点关于点对称，B错误； 对于C，当时，到点的距离等于的点的轨迹为； 由得：，满足， 此时存在两点到点的距离等于； 由得：，满足， 此时存在两点到点的距离等于； 当时，曲线上恰有四个点满足到的距离等于， 即存在，曲线上恰有四个点满足到的距离等于，C正确； 对于D，当时，，取，， 此时， 此时不满足，D错误. 故选：C. 【例8-4】（多选）（21-22高二上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，方程对应的曲线为，则（    ） A．曲线是封闭图形，其围成的面积大于 B．曲线关于原点中心对称 C．曲线上的点到原点距离的最小值为 D．曲线上的点到直线距离的最小值为 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】抛物线的对称性的应用、求点到直线的距离、直线围成图形的面积问题 【分析】对于选项A，作出曲线的图象与曲线的图象即可判断；对于选项B结合中心对称的概念即可判断；对于选项C，设曲线E上任意一点为，结合两点间的距离公式化简整理即可判断；对于选项D，结合点到直线的距离公式即可判断. 【详解】对于选项A，作出曲线的图象，即可判断为封闭图形，再作出的图象，    由图知曲线围成的面积大于曲线围成的面积，且曲线与轴正半轴的交点坐标为，与轴正半轴的交点坐标为，所以围成的面积为，所以选项A正确； 对于选项B，因为点，点均满足方程，则可得到曲线关于原点中心对称，所以选项B正确； 对于选项C，设曲线E上任意一点为，则其到原点的距离的平方为，且，即曲线上的点到原点距离的最小值为，故选项C错误； 对于选项D，曲线上任意一点为， 则其到直线距离为，故选项D正确； 故选：ABD 【例8-5】（24-25高二上·江苏镇江·期末）若抛物线 上存在关于直线对称的点，则实数k的取值范围是_____． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】设出过对称点的直线的方程，直曲联立表示出韦达定理，得到的中点为，代入已知直线方程得到用表示的判别式，再结合二次函数和分式不等式求解即可； 【详解】由题意可知，设抛物线 上存在关于直线对称的点为，直线的方程为， 联立，消去可得， ， 设的中点为，则，， 因为点在直线上，所以， 解得， 将代入判别式可得，化简可得， 由二次函数的关系可得恒成立， 所以上式等价于，解得. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用对称关系得到直线，再利用中点坐标公式得到关系. 考点九 抛物线的中点弦 【例9-1】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知抛物线，弦过抛物线的焦点且满足，则弦的中点到轴的距离为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】与抛物线焦点弦有关的几何性质、抛物线的中点弦、直线与抛物线交点相关问题 【分析】根据可得，再根据韦达定理即可求出的坐标，进而可求解. 【详解】抛物线的焦点， 设，假设， 显然弦所在的直线的斜率存在且不等于零， 设弦所在的直线方程为， 联立，消去可得，， 所以， 因为，所以，则， 所以，解得，所以， 所以， 所以弦的中点的坐标为， 所以弦的中点轴的距离为， 故选:C. 【例9-2】（22-23高二上·江苏宿迁·期末）如图，已知抛物线，过点且斜率为正的直线与抛物线C交于两点，线段AB的中点为M，线段AB的中垂线交x轴于T，过原点垂直于直线的直线交直线于点N，则四边形面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求直线与抛物线的交点坐标、抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线的中点弦、根据韦达定理求参数 【分析】由直线与抛物线方程联立求得的坐标，再写出线段AB的中垂线，求出的坐标，再写出直线及点,再用表示四边形面积，再根据单调性计算即可. 【详解】设直线的方程为， 联立方程组，可得； 所以；所以，即 线段AB的中垂线为：，令得 直线为：，令得 所以,又因为即得四边形为平行四边形 因为直线l与抛物线C交于两点，所以，即 又因为直线l的斜率为正，所以 即四边形面积为 令，易证，当时， 是单调递增的 所以. 故选：. 【例9-3】（23-24高二上·湖北·期中）若抛物线上两点，关于直线对称，且，则中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】抛物线的中点弦 【分析】根据已知条件求得，进而求得中点坐标. 【详解】因为抛物线上两点，关于直线对称， 故和直线垂直， 所以，故， 又，所以， 故中点坐标是，即 故选：B 【例9-4】（多选）（25-26高二上·江苏连云港·期末）设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点.则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若点到焦点的距离为3，则的坐标为 C．若，则的最小值为 D．抛物线的一条弦恰好以为中点，则弦所在直线方程是 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】抛物线上的点到定点的距离及最值、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、抛物线的中点弦 【分析】由抛物线的方程及两点距离公式依次判断A、B、C，应用点差法求直线斜率，再由点斜式写出直线方程判断D. 【详解】抛物线，， A，，则，A正确； B，设且，则，得， ，B错误； C，因为，所以点在抛物线开口外侧，如下图： 所以，C正确； D，由，则， 而，则，由题意直线的斜率一定存在， 所以，则，可得，D错误. 故选：AC 【例9-5】（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）抛物线，直线与抛物线交于两点，满足，设线段的中点为，则到轴的最小距离为___________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】抛物线的中点弦 【分析】设，可得，且到轴的距离为，再根据抛物线定义及三角形性质求解即可. 【详解】由抛物线，得焦点为，准线方程为， 设， 因为线段的中点为，所以，且到轴的距离为， 由抛物线定义及三角形三边关系定理，可知， 当且仅当三点共线时等号成立， 则，即到轴的最小距离为. 故答案为：. 考点十 抛物线的切线 【例10-1】（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知抛物线，则抛物线上一点到直线的最小距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、求直线与抛物线的交点坐标、求抛物线的切线方程、直线与抛物线交点相关问题 【分析】由题意可得当点为平行于的直线且与抛物线相切的切点时，才能取最小值，求出切线方程，即可得点的坐标，即可得解. 【详解】解：由题意可知，当平行于的直线与抛物线相切， 且点为切点时， 点到直线的最小， 设切线方程为，即， 由，可得，所以，解得， 所以，即， 所以点到直线的距离. 故选：A. 【例10-2】（23-24高二上·江苏常州·期末）在抛物线上取横坐标为和2的两点，平行于直线的直线同时与抛物线和圆相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求抛物线的切线方程 【分析】结合题意求出直线的斜率并设出直线方程，联立抛物线，求出，再利用直线与圆相切求出半径即可. 【详解】结合题意可得：令，则，故，令，则，故， 所以直线的斜率为， 因为平行于直线的直线同时与抛物线和圆相切， 所以直线可设为， 联立可得：，则，解得， 所以直线为，即， 又的圆心为半径为， 所以圆心到直线的距离为， 因为直线与圆相切，所以. 故选:A. 【例10-3】（24-25高二下·江苏南京·开学考试）抛物线有一个重要的性质：从焦点出发的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，此时反射面为抛物线在该点处的切线．过抛物线上的一点P（异于原点O）作C的切线l，过O作l的平行线交PF（F为C的焦点）于点Q，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求抛物线的切线方程、直线与抛物线交点相关问题 【分析】由光学性质可知，即，结合由三角不等式可得答案； 【详解】由可得，故焦点, 如图，由光学性质可知：入射光线，反射光线轴，所以， 又，所以，因为轴，， 则有，所以，即， 由三角不等式可得（因在抛物线上且异于原点，等号不可取）， 即；故选：B. 【点睛】关键点点睛：根据平行线以及光学性质可得，，故，进而可得，即可利用三角形三边关系求解. 【例10-4】（多选）（25-26高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为为其上一动点，则（    ） A．当时， B．当时，抛物线在点处的切线方程为 C．以为圆心且与轴相切的圆与抛物线有且只有一个公共点 D．经点发出平行于轴的光线经过抛物线上点反射穿过焦点后交抛物线于点 ，则的面积为 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式、求抛物线的切线方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】对于A选项由焦半径公式即可判断；对于B选项，先求出点，设出直线，联立直线与抛物线，利用即可解出答案；对于C选项，写出圆的方程，联立圆与抛物线解出其交点坐标即可；对于D选项，分别求的坐标，即可求出的面积. 【详解】对于A选项：抛物线的焦点，准线， 由焦半径公式可知， 若，则，解得，A正确； 对于B选项：当时，，则点，由题意知切线斜率存在且不为， 设切线斜率，则切线方程为：， 联立直线与抛物线：消得： 因为直线与抛物线相切 所以 解得：， 所以切线方程为：,B错误； 对于C选项：以为圆心且与轴相切的圆，半径为，圆的方程为. 联立抛物线方程，解得,, 所以圆与抛物线仅有一个公共点,C正确； 对于D选项：由题意知直线：，则, 又， 所以，点， 所以直线：，化简得：， 联立直线与抛物线得：消得： 解得 所以， 所以，点到直线：的距离， 所以的面积为，D正确. 【例10-5】（21-22高二下·四川成都·期末）已知F为抛物线C：的焦点，过点F的直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，抛物线在点A，B处的切线分别为和，若和交于点P，则的最小值为______． 【答案】4 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值、求抛物线的切线方程、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、根据韦达定理求参数 【分析】设直线：，利用韦达定理求得，设，利用判别式求得直线的方程，进而得到的坐标，从而可得，再利用基本不等式即得. 【详解】由题可知，设直线：，直线:与联立消， 得，设，，则，， ∴， 设， 由，可得，∴， 又，∴，∴，即， 同理可得 ， 所以可得，即，∴， ∴，当且仅当，即取等号. 故答案为：4. 考点十一 抛物线上点到定点、焦点的距离 【例11-1】（24-25高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为，定点为抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】根据抛物线的定义，结合图形求解即可． 【详解】抛物线的焦点为，准线方程是， 过点作准线的垂线，垂足为，过点作准线的垂线，垂足为， ∵点在抛物线上，∴根据抛物线的定义得， ∴，当且仅当共线时取等号， ∴的最小值为8．故选：A． 【例11-2】（24-25高二上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，已知直线与交于点，点是抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由一般式方程判断直线的垂直、轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围）、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】分析可知点在以为直径的圆上（不含），根据抛物线的定义可得，结合圆下性质可得，再根据几何性质即可得结果. 【详解】直线，即，可知直线过定点； 直线，即，可知直线过定点； 且，则， 可知点在以为直径的圆上（不含），此时圆心为，半径. 因为抛物线的焦点为，准线为， 且点是抛物线上一动点，则，即， 可得， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 又因为，当且仅当点在线段上时，等号成立， 即， 所以的最小值为.故选：A. 【点睛】方法点睛：对于圆锥曲线小题，常常利用定义转化，并结合图形解决问题. 【例11-3】（24-25高二上·江苏无锡·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上动点，点为圆上动点，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】根据抛物线的性质，将点到焦点的距离化为点到准线的距离，则由图象可知，的最小值在，，，四点共线且在之间时取得，即可得到答案. 【详解】圆的圆心为，半径为， 过点作垂直抛物线的准线于， 由抛物线的定义可知，，所以， 当且仅当，，，四点共线且在之间时，等号成立， 而，所以， 即的最小值为4.故选：B. 【例11-4】（多选）（23-24高二上·江苏南京·期末）已知点，点在曲线上运动，点在圆上运动，则的值可能是（    ）. A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、抛物线上的点到定点的距离及最值 【分析】根据抛物线的定义及圆的性质求出的最小值即可. 【详解】抛物线的焦点，准线，圆的圆心为，半径为1， 过点作于，设点，，， ， 当且仅当三点共线，点位于之间时等号成立， ， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4，AB不可能，CD可能. 故选：CD 【点睛】关键点点睛：关键是能够将所求式子表示为关于某一变量的函数的形式，从而配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最值. 【例11-5】（25-26高二上·江苏南通·期末）已知抛物线是的焦点，是上一个动点，点，动点满足，则的最小值为__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】先求得点的轨迹，进而得，再根据抛物线的定义转化求解即可. 【详解】设，因为点，动点满足， 所以，整理得， 即，所以，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 因为抛物线，焦点，准线方程为， 过点准线的垂线，垂足为，则， 因为，当且仅当三点共线且在点之间时等号成立， 所以，当且仅当三点共线时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 题型一 抛物线中的多边形问题 【典例1】（23-24高二上·江苏·期中）已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A、B两点，若面积是面积的两倍，则＝（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线中的三角形或四边形面积问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质、根据韦达定理求参数 【分析】当直线l的斜率为0时，不合要求，设过F的直线l的方程为，与抛物线联立后得到两根之和，两根之积，根据面积之比得到，从而求出，，进而由抛物线焦点弦公式进行计算. 【详解】由题意得，当直线l的斜率为0时，此时与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去； 设过F的直线l的方程为，与抛物线联立得， ， 设，，则， 因为面积是面积的两倍，所以， 则，解得，则， 则，解得， 故，则. 故选：B 【迁移应用】 1．（24-25高二上·湖南永州·期中）已知为抛物线的焦点，斜率为的直线与抛物线交于，两点，且位于轴的两侧（在的上方），（其中为坐标原点），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示、抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】设出直线方程，直曲联立，由韦达定理和向量的数量积为零求出直线方程，再由三角形面积公式求出面积可解； 【详解】设点，，直线， 联立，化简为，， ，， ， ， ，， ，， ，，， 又，直线与横轴交点的横坐标为2， ，， 则. 故选：B. 2．（25-26高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过点（）的直线与交于，两点，直线，分别交于，两点．记，，面积为，面积为，则（   ） A． B．的最小值为4 C．当时，为锐角 D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】设直线：，然后再与抛物线联立结合韦达定理即可对A判断求解；由即可对B判断求解；由可对C判断求解；设，，结合抛物线焦半径性质及三角形面积公式可得，即可求解. 【详解】A：设直线：，联立抛物线得， 则，，故A正确； B：， 当时取到等号，故B错误； C：时，．故为锐角，C正确；． 选项D：设，， 则，． ，D正确； 故选：ACD. 3．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知抛物线C：的焦点为F，P是抛物线C上的动点，且在第一象限．过P向抛物线的准线作垂线，垂足为Q．若直线PF的斜率为，则是面积为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】确定焦点坐标，设，根据斜率得到，，再计算面积即可. 【详解】抛物线的焦点为，设，，则， 解得或（舍），，准线方程为，则， . 故答案为：. 题型二 抛物线上点到定直线的距离 【典例2】（23-24高二下·江苏盐城·期中）设点是曲线上一点，则点到直线最小的距离为_________________. 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、求抛物线上一点到定直线的最值 【分析】设，利用点到直线距离公式表示出点P到直线距离，根据函数最值即可求解. 【详解】点P在曲线上，设， 则点P到直线l的距离为， 当时，. 故答案为：. 💡破题要诀 表示出距离是解题关键，另外可能用基本不等式求解最值. 【迁移应用】 1．（21-22高二上·安徽宿州·期末）抛物线上一点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求平行线间的距离、求抛物线的切线方程、求抛物线上一点到定直线的最值 【分析】求出与平行且与相切的直线方程，从而与之间的距离即为上一点到直线距离的最小值，利用点到直线距离公式求出即可. 【详解】设直线 与相切， 联立与得：， 由，得：， 则直线为， 故与之间的距离即为上一点到直线距离的最小值， 由两平行线间距离公式得：. 故选：A 2．（2025·江苏苏州·三模）已知抛物线，点M是抛物线上的动点，则M到直线和的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求抛物线上一点到定直线的最值 【分析】利用抛物线的定义将所求距离之和转化为抛物线上的动点到焦点与定直线的距离之和加1，结合图形，判定当且仅当三点共线时，取得最小值即可. 【详解】由可知抛物线的焦点为，准线方程为：， 如图过点作于点，作于点，交直线于点，则， 由图知，，则M到直线和的距离之和为： ， 因点M是抛物线上的动点，故当且仅当三点共线时，取得最小值， 即点到直线的距离，为，此时取得最小值为， 即M到直线和的距离之和的最小值为. 故选：D. 3.（多选）（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知抛物线：（）的焦点为，过拋物线上一点作两条斜率之和为0的直线，与的另外两个交点分别为，，则下列说法正确的是（    ） A．的准线方程是 B．直线的斜率为定值 C．若圆与以为半径的圆相外切，则圆与直线相切 D．若的面积为，则直线的方程为 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线、根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】根据给定条件，求出抛物线的方程，结合斜率坐标公式及抛物线定义，逐项计算判断得解. 【详解】依题意，，解得，即抛物线：，焦点，准线方程，A正确； 设，显然，直线的斜率， 同理直线的斜率，由，得，解得， 因此直线的斜率，B错误； 圆，令圆的半径为，由圆与圆相外切，得， 而，于是，即圆的圆心到y轴的距离为圆的半径，则圆与直线相切，C正确； 由消去得：，，，， ，而点到直线的距离， 则的面积，D错误. 故选：AC 题型三 定点问题 【典例3】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知抛物线上两点满足，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】数量积的坐标表示、直线过定点问题、抛物线中的直线过定点问题、根据韦达定理求参数 【分析】分直线斜率不存在和存在两种情况，设的方程，将其与抛物线方程联立消去，根据韦达定理求得的表达式，由推出，借助于韦达定理求得，即可判断. 【详解】当直线垂直于轴时，设其方程为，，则， 由，可得，解得，此时直线：，恒过定点； 当直线的斜率存在时，设其方程为代入抛物线，得， 设，则，且，， 所以 ， 解得，则直线，恒过定点. 综上，可得直线过定点， 故选：B. 💡破题要诀 求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 【迁移应用】 1．（22-23高二上·江苏·单元测试）是抛物线C：上一定点，A，B是C上异于P的两点，直线PA，PB的斜率，满足为常数，，且直线AB的斜率存在，则直线AB过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】抛物线中的直线过定点问题 【分析】设，结合题意可得①，设直线AB：并联立抛物线，应用韦达定理及①求参数b关于的关系式，并将直线化为，利用其过定点求x、y，即可确定坐标. 【详解】设，则，相减得， ，同理得：， 为常数，， ，整理有，① 设直线AB：，代入抛物线方程得：， ，则， 代入①，得：，有， 代入AB的直线方程，得：， ， ， 直线过定点，则，解得：，即， 直线AB所过定点 . 故选：C. 2.（多选）（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知是抛物线上不同于原点的两点，点是抛物线的焦点，下列说法正确的是（    ） A．点的坐标为 B． C．若，则直线经过定点 D．若点为抛物线的两条切线，则直线的方程为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、与抛物线焦点弦有关的几何性质、抛物线中的直线过定点问题 【分析】根据抛物线焦点坐标可判断A，根据焦点弦的性质可判断B，根据垂直关系得，由两点坐标求解直线方程即可判断C，根据切线方程求出切点坐标，进而根据两点求解直线方程即可求解D. 【详解】因为拋物线，故的坐标为故A正确； 由于当直线过焦点时，由抛物线定义可得，但直线不一定过焦点，故B错误； 若，故，即或（舍去）， 因为直线，即，得，故直线经过定点，故C正确； 设过点的切线方程为，联立 ， 所以，故 或，所以方程的根为， 故切线方程中分别为和，故， ， 可得直线，即，故D正确. 故选：ACD. 3.（22-23高二下·浙江杭州·期中）已知抛物线，直线l交该抛物线于M，N两点（直线l不过原点），若，则直线l经过定点________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】抛物线中的直线过定点问题 【分析】由题意可设直线的方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，再根据，可得，求出，即可得解. 【详解】由题意可设直线的方程为，， 联立，消得， 则，， 因为，所以，即， 即，所以，所以， 又，所以，所以直线的方程为，所以直线l经过定点. 故答案为：. 题型四 定值问题 【典例4】（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，分别交抛物线于两点，则直线的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的定值问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】先求出抛物线方程，设切线方程，利用点到直线距离公式求出切线斜率的关系，联立切线与抛物线方程，利用韦达定理求出交点坐标关系，进而求出直线的斜率． 【详解】点为抛物线上一点，， 抛物线方程为， 圆的圆心为，半径， 设过的切线方程为，即， 圆心到切线的距离等于半径，， 设两条切线的斜率为，满足， 联立切线与抛物线方程得， 由韦达定理得切线与抛物线的另一交点或的纵坐标为，则， 设点，则，， ，故A正确． 故选：A． 💡破题要诀 设参数联列方程利用韦达定理转化代入目标化简得出结论. 【迁移应用】 1．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，直线，分别于抛物线交于点，．设直线，的斜率分别为，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】抛物线中的定值问题 【分析】因为，设，，，，的方程为，通过联立直线与抛物线解得的纵坐标，同理得到的纵坐标，再根据斜率公式得到，整理得，设直线为，联立方程结合韦达定理可得答案. 【详解】抛物线的焦点为， 由题意可知：可知直线与抛物线必相交， 设，，，， 则， 设的方程为， 联立方程，消去并整理得，根据韦达定理得，即， 同理可得，则，可得， 设直线为， 联立方程，消去并整理得，根据韦达定理得， 所以. 故选：B. 2.（多选）（24-25高二上·江苏徐州·期中）抛物线焦点为，顶点为，过的直线交抛物线于两点，分别过，作准线的垂线，垂足分别为，下列说法正确的是（    ） A．为定值 B． C．三点共线 D． 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线中的定值问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】先确定F坐标，设l方程，联立方程利用韦达定理可判定A，利用平面向量的数量积可判定B，利用两点斜率公式可判定C，利用抛物线的定义结合A的结论可判定D. 【详解】易知，准线方程，不妨设， 与抛物线方程联立有，所以， 而，故A正确； 易知，则， 显然，即，故B错误； 易知，显然，即三点共线，故C正确； 由抛物线定义可知， 由上知，所以，故D错误. 故选：AC. 3.（24-25高二上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，且与交于点，则下列结论正确的是（    ） A．的通径长为4 B．线段的中点在定直线上 C．直线的斜率之积为定值 D．若，直线与的准线交于点，则 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】抛物线中的定值问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】对A：求出直线与轴交点后即可得，即可得通径；对B：联立直线与曲线方程，结合韦达定理可计算出线段的中点坐标，即可得其轨迹；对C：结合斜率定义与所得韦达定理计算即可得解；对D：由可得点坐标，再计算出点坐标即可得解. 【详解】对A：由过点，且抛物线的焦点在轴正半轴上， 故点即为抛物线的焦点，则，即， 则的通径长为，故A正确； 对B：，消去得：， 设、，则，， 有，， 故线段的中点为，在曲线上，不在定直线上，故B错误； 对C：， 故直线的斜率之积为定值，故C正确； 对D：若，由，则，， 则，故，故D正确. 故选：ACD. 题型五 最值问题 【典例5】（23-24高二上·江苏苏州·阶段检测）已知抛物线，圆，在抛物线上任取一点，向圆作两条切线和，切点分别为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用定义求向量的数量积、求平面两点间的距离、抛物线的范围、抛物线上的点到定点的距离及最值 【分析】设点，由已知关系，可用点坐标表示出，在中，由，进而可推出，根据的范围，即可得到结果. 【详解】由已知，，.如图，设点，则， ， 在中，有 ， 易知，则， 则 ， 因为，所以当时，取得最大值， 又，所以，. 所以，的取值范围是. 故选：A. 💡破题要诀 与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法 （1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解． （2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值（注意：有时需先换元后再求最值）. 【迁移应用】 1．（22-23高二下·湖北荆州·阶段检测）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】基本（均值）不等式的应用、抛物线的焦半径公式、抛物线中的参数范围问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】由抛物线定义及勾股定理得到，，由基本不等式求出最值. 【详解】设， 因为，所以， 过点分别作准线于点，，由抛物线定义可知， 由梯形中位线可知， 因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 故，故，的最小值为. 故选：B 2．（多选）（22-23高二上·江苏南京·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，以线段为直径的圆交轴于、两点，设线段的中点为，则（    ） A．若抛物线上存在一点到焦点的距离等于3，则抛物线的方程为 B． C．若点到抛物线准线的距离为2，则的最小值为 D．若，则直线的斜率为 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】根据定义求抛物线的标准方程、抛物线中的参数范围问题、抛物线中的定值问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】设为或为联立抛物线，应用韦达定理，A、D利用抛物线定义列方程求参数；B、C结合向量数量积坐标表示、即可判断. 【详解】抛物线的焦点为,，准线方程为， 若抛物线上存在一点到焦点的距离等于3， 由抛物线的定义得，解得，则抛物线的方程为，故A错误； 设,，,，直线为，与抛物线联立， 消去得，可得，， 所以，， 则，故B正确； 由抛物线的定义得 ，解得，则直线的斜率为，故D错误； 抛物线的焦点到准线的距离为，则该抛物线的方程为， 设直线为，联立，得，， 所以，则， ，到轴的距离为， ，当且仅当时取得等号，故C正确． 故选：BC 3．（20-21高三下·江苏南京·阶段检测）已知圆C: ，点在抛物线T：上运动，过点引直线，与圆C相切，切点分别为，，则的取值范围为__________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】切线长、切点弦及其方程、抛物线的范围、平面解析综合 【分析】设出点的坐标，探讨出的取值范围，借助四边形MPCQ的面积计算，把表示为的函数即可作答. 【详解】如图，连接CP，CQ，CM，依题意，，而， 而，则CM垂直平分线段PQ，于是得四边形MPCQ的面积为面积的2倍， 从而得，即 ， 设点，而，，则， 当且仅当t=1时取“=”，， 因此得，即，得， 所以的取值范围为. 故答案为： 基础固本练（限时：15分钟） 1．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为（    ）. A． B．2 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】运用抛物线的定义将距离之和的最小值问题转化为三点共线问题，后求最值即可. 【详解】解：如图，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为M，由抛物线的定义可知，， 要使点P到点的距离与到该抛物线准线的距离之和最小，则当Q，P，F三点共线时最小， 最小值为. 故选：A. 2．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）在平面直角坐标系中，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，直线，分别交抛物线准线于，两点，则下列说法正确的有（    ） A．轴 B． C．以为直径的圆与抛物线准线恒相交 D．面积的最小值为 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线中的三角形或四边形面积问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题 【分析】设直线，联立方程可得韦达定理.对于A：求点C的坐标，结合韦达定理分析判断；对于B：：求点D的坐标，结合数量积分析判断；对于C：根据抛物线的定义分析判断；对于D：结合韦达定理就面积，即可判断. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点，准线， 显然直线的斜率可以不存在，但不为0，此时直线与抛物线必相交， 设直线， 联立方程，消去x可得，可得. 对于选项A：可知直线， 令，可得，即，所以轴，故A正确； 对于选项B：同理可得：，轴， 则，可得，所以，故B正确； 对于选项C：因为， 由梯形中位线可知：以为直径的圆的圆心到准线的距离为， 即圆心到准线的距离等于半径，所以以为直径的圆与抛物线准线恒相切，故C错误； 对于选项D：因为， 可得面积， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最小值为. 故选：ABD. 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（24-25高二上·江苏·阶段检测）已知是抛物线上的两点，若直线过抛物线的焦点F且倾斜角为，是A，B在准线上的射影，则下列命题不正确的是（    ） A． B． C． D．为直角三角形 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】抛物线定义、焦半径公式、与抛物线焦点弦有关的几何性质、根据韦达定理求参数 【分析】对于选项A，设直线的方程为，代入，再利用韦达定理，即可得到结论；对于选项B，利用抛物线的定义和选项A中的结论，表示出即可；对于选项C，由抛物线的定义，在直角三角形中，运用余弦函数的定义，即可得到的长，同理可得的长，即可判断；对于选项D，由是A，B在准线上的射影，可求出，进而判断D正确. 【详解】对于选项A，设直线的方程为，代入， 可得，所以，，故A正确； 对于选项B，因为是过抛物线的焦点的弦， 所以由抛物线定义可得， 由选项A知，，，所以. 即，解得， 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，也适合上式，所以，故B正确； 对于选项C，， 所以，同理可得，所以，故C错误； 对于选项D，由抛物线的定义可知，，则. 因为，所以，则；同理可得. 因为，所以. 所以为直角三角形，选项D正确； 故选：C. 2．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知抛物线的焦点为，准线过点，直线与交于两点，弦的中点为，过分别作准线的垂线，垂足分别为，则（    ） A． B．若点在抛物线上，则点到准线的距离为3 C．若直线过焦点，则 D．若的面积是的面积的2倍，则点的轨迹方程为 【答案】AC 【难度】0.4 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线中的三角形或四边形面积问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】根据可得，求出后判断A，根据抛物线定义求出到准线的距离后可判断B，根据抛物线的定义结合等腰三角形的性质、平行线内错角的性质可证，故可判断C的正误，利用设点法结合面积关系可得或，据此求出的轨迹方程后判断D. 【详解】对于A，因为准线过，故，故，故A正确； 对于B，由A可得抛物线方程为，故准线方程为， 而在抛物线上，故到准线的距离为，故B错误； 对于C，由抛物线的定义可得，故， 同理，故， 故，，而，故，故C正确；    对于D：由题设可得不过焦点，故设，， 则，此时的面积为， 当时，则， 令，则，故此时的面积为（1）， 故，而相异，故， 故即，故或， 又，且， 若，则即的轨迹方程为， 因为，故，故此时的轨迹方程为， 若，同理可得的轨迹方程为， 因为，故，同理可得的轨迹方程为， 若，则，此时的面积为， 故，故， 故或，故或， 此时，该点在曲线上， 综上，的轨迹方程为或，故D错误. 故选：AC 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 抛物线 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 抛物线定义 考点二 有关抛物线的轨迹方程 考点三 求抛物线的标准方程 考点四 抛物线的焦半径 考点五 实际问题中的抛物线方程 考点六 抛物线的焦点弦 考点七 直线与抛物线相交的交点、弦长 考点八 抛物线的对称性 考点九 抛物线的中点弦 考点十 抛物线的切线 考点十一 抛物线上点到定点、焦点的距离 05 重难题型突破 题型一 抛物线中的多边形问题 题型二 抛物线上点到定直线的距离 题型三 定点问题 题型四 定值问题 题型五 最值问题 06 限时分层演练 基础固本练 综合进阶练 从近年江苏省高二期中考试来看，抛物线内容主要考基础考点和基本方法，难易度主要是基础题与适中题，若出现解答题，则第2问有一定难度； 题型上单选题、多选题、填空题、解答题中均可能出现. 选择题、填空题主要考根据方程判断焦点位置、求参数（范围），轨迹判断及求轨迹方程，由基本量求标准方程、直线与抛物线位置关系（弦长、中点弦问题、交点坐标、三角形周长面积、特别是焦点弦有关问题、相切）、抛物线中的最值范围、定点、定值问题等. 解答题的第1问常考求抛物线的标准方程及，第2问常考直线与抛物线的位置关系. 识记 定义，标准方程，焦点坐标，准线方程及性质，对称轴，焦半径. 理解 焦点位置对方程的影响，焦点准线的关系，焦半径与焦点弦，直线与抛物线的位置关系中只有一个交点时有可能是相交. 应用 直线与抛物线的位置关系，抛物线的弦长，中点弦问题，定点定值问题，范围最值. 考点一 抛物线定义 ⚠️概念辨析 注意焦点位置，仔细分析：“距离相等” 【例1-1】（24-25高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为,上一点到轴的距离为6，且，则（   ） A．4 B．8 C．16 D．12 【例1-2】（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为5，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例1-3】（21-22高二上·江苏连云港·期中）已知点F为抛物线C：的焦点，点，若点Р为抛物线C上的动点，当取得最大值时，点P恰好在以F，为焦点的椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【例1-4】（多选）（23-24高二上·江苏·期中）当变化时，方程表示的曲线形状，下列说法中正确的是（    ） A．时，方程表示一条直线 B．或是方程表示双曲线的充要条件 C．时，方程表示椭圆 D．该方程不可能表示抛物线 【例1-5】（24-25高二上·江苏泰州·期中）若方程表示的曲线是抛物线，则实数的值为__________，此抛物线的顶点坐标为__________. ⚠️避坑指南 ❌ 焦点不一定在坐标轴上，准线也不一定平行于坐标轴 考点二 有关抛物线的轨迹方程 【例2-1】（23-24高二上·江西景德镇·期中）已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【例2-2】（25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆，直线，则与直线相切且与圆外切的圆的圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【例2-3】（21-22高二上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，下列结论正确的有（   ）个   ①过双曲线右焦点的直线被双曲线所截线段长的最小值为 ②方程表示的曲线是双曲线 ③若动圆过点且与直线相切，则圆心的轨迹是抛物线 ④若椭圆的离心率为，则实数 A． B． C． D． 【例2-4】（多选）（23-24高二上·江苏常州·期中）已知圆，圆，圆，圆，直线，则（    ） A．与圆都外切的圆的圆心轨迹是双曲线的一支 B．与圆外切､内切的圆的圆心轨迹是椭圆 C．过点且与直线相切的圆的圆心轨迹是抛物线 D．与圆都外切的圆的圆心轨迹是一条直线 【例2-5】（24-25高二上·上海·课后作业）若点P到点的距离比它到直线的距离大1，则点P的轨迹方程为______. 考点三 求抛物线的标准方程 【例2-1】（25-26高二上·河南南阳·期中）已知某抛物线的顶点为坐标原点，焦点在直线上，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【例2-2】（24-25高二上·江苏淮安·期中）过点且焦点在y轴上的抛物线方程为（  ） A．或 B． C．或 D． 【例2-3】（24-25高二下·江苏南京·期末）抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，的准线交轴于点，若，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【例2-4】（多选）（24-25高二上·江苏常州·期中）顶点在原点，且过点的拋物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【例2-5】（24-25高二上·江苏常州·期中）以双曲线的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为______ 考点四 抛物线的焦半径 【例4-1】（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知F是抛物线的焦点，点在C上，则（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（25-26高二上·江苏徐州·期中）若是抛物线上一点，为抛物线的焦点，则（   ） A． B． C． D． 【例4-3】（24-25高二上·江苏苏州·阶段检测）已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，.则（    ） A． B． C．3 D．4 【例4-4】（多选）（23-24高二上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，，，为抛物线上的任意三点(异于点)，，则下列说法正确的有（    ） A．设，到直线的距离分别为，，则 B． C．若，则 D．若直线，，的斜率分别为，，，则 【例4-5】（22-23高二上·江苏宿迁·期中）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若，则中点M到抛物线准线的距离为___________. 考点五 实际问题中的抛物线方程 【例5-1】（24-25高二上·江苏扬州·期中）如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，当水面下降1m后，桥洞内水面宽为（    ） A． B． C． D． 【例5-2】（23-24高二上·江苏泰州·期中）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，那么车辆通过隧道的限制高度为（    ） A． B． C． D． 【例5-3】（25-26高二上·陕西咸阳·期中）如图是济新高速黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地针式回转缆悬索桥.大桥主跨长约500米，主塔高约100米，缆悬索是以为顶点且开口向上的抛物线的一部分，若为抛物线的焦点，则主塔端点到焦点的距离约为（    ）   A．1350米 B．758米 C．725米 D．558米 【例5-4】（25-26高二上·江苏徐州·期中）某数学爱好者在上海博物馆参观时，对一件清康熙款青花龙凤纹碗产生了兴趣.如图所示，该瓷碗水平置于桌面上，底座高1cm，碗口直径15cm，碗深7.5cm.若将碗身（不含底座）的轴截面轮廓近似看作抛物线，碗内有一根长度为10cm的木棒通过抛物线焦点，且两端紧贴碗的内壁.则木棒的中点离桌面的距离为__________cm. 【例5-5】（25-26高二上·江苏南通·期中）早在一千多年之前，我国已经把溢流孔用于造桥技术，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击．现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔的轮廓线均为抛物线的一部分，且4个溢流孔的轮廓线相同．结合下图，根据图上尺寸，建立平面直角坐标系，则桥拱的轮廓线所在的抛物线方程为_______________，B，C两点的横坐标之差为_______________． 考点六 抛物线的焦点弦 【例6-1】（25-26高二上·江苏宿迁·期末）过抛物线的焦点的直线交抛物线于A，B两点，点在第一象限，有，则直线的斜率是（   ） A． B． C． D． 【例6-2】（25-26高二上·河北·阶段检测）如图，是抛物线上一点，是抛物线的焦点，，则（    ） A．8 B．4 C． D． 【例6-3】（22-23高二上·四川绵阳·期中）如图所示，已知抛物线过点，圆. 过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例6-4】（多选）（25-26高二上·江苏宿迁·期中）已知抛物线，直线l过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则（    ） A．C的准线方程为 B．线段MN的长度的最小值为4 C．存在唯一直线l，使得F为线段MN的中点 D．以线段MN为直径的圆与C的准线相切 【例6-5】（25-26高二上·四川绵阳·阶段检测）抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．已知点为抛物线的焦点，从点出发的光线经抛物线上一点反射后，反射光线经过点（10，1），若入射光线和反射光线所在直线都与圆相切，则的值是_________． 考点七 直线与抛物线相交的交点、弦长 【例7-1】（23-24高二上·江苏无锡·期中）斜率为1的直线经过抛物线（）的焦点，且与抛物线相交于两点，线段的长为8，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【例7-2】（25-26高二上·吉林长春·期中）抛物线的焦点为F，C的准线与轴交于点，过且倾斜角为的直线与交于M，N两点（在轴上方），则（   ） A． B． C．2 D．3 【例7-3】（25-26高二上·陕西商洛·期末）如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于A，B两点，交其准线于点，若是的中点，且，则线段的长为（    ） A．6 B．4 C． D． 【例7-4】（多选）（25-26高二上·江苏无锡·期中）设抛物线的焦点为，点在轴上，若线段的中点在抛物线上，且点到抛物线的准线的距离为，则（   ） A． B．的坐标为 C． D．直线的方程为 【例7-5】（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知抛物线，直线与相交于，两点，若的准线上一点满足，则的坐标为_____. 考点八 抛物线的对称性 【例8-1】（25-26高二上·江苏·期中）已知过抛物线的焦点的直线垂直于轴，且与抛物线交于，两点，点在轴上，且．若（为坐标原点），则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【例8-2】（24-25高二下·云南·期中）已知抛物线，其中，是过拋物线焦点的两条互相垂直的弦，直线的倾斜角为，当时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【例8-3】（25-26高三上·北京东城·期中）已知抛物线和所围成封闭曲线，点在曲线上，给定点，则下列说法中正确的是（  ） A．存在，对所有点，均不存在使得 B．任意，恰有三对不同的点，满足每对点关于点对称 C．存在，曲线上恰有四个点满足到的距离等于 D．任意，当点运动时，都满足 【例8-4】（多选）（21-22高二上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，方程对应的曲线为，则（    ） A．曲线是封闭图形，其围成的面积大于 B．曲线关于原点中心对称 C．曲线上的点到原点距离的最小值为 D．曲线上的点到直线距离的最小值为 【例8-5】（24-25高二上·江苏镇江·期末）若抛物线 上存在关于直线对称的点，则实数k的取值范围是_____． 考点九 抛物线的中点弦 【例9-1】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知抛物线，弦过抛物线的焦点且满足，则弦的中点到轴的距离为（    ） A． B．3 C． D．4 【例9-2】（22-23高二上·江苏宿迁·期末）如图，已知抛物线，过点且斜率为正的直线与抛物线C交于两点，线段AB的中点为M，线段AB的中垂线交x轴于T，过原点垂直于直线的直线交直线于点N，则四边形面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例9-3】（23-24高二上·湖北·期中）若抛物线上两点，关于直线对称，且，则中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【例9-4】（多选）（25-26高二上·江苏连云港·期末）设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点.则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若点到焦点的距离为3，则的坐标为 C．若，则的最小值为 D．抛物线的一条弦恰好以为中点，则弦所在直线方程是 【例9-5】（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）抛物线，直线与抛物线交于两点，满足，设线段的中点为，则到轴的最小距离为___________． 考点十 抛物线的切线 【例10-1】（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知抛物线，则抛物线上一点到直线的最小距离为（    ） A． B． C． D． 【例10-2】（23-24高二上·江苏常州·期末）在抛物线上取横坐标为和2的两点，平行于直线的直线同时与抛物线和圆相切，则（    ） A． B． C． D． 【例10-3】（24-25高二下·江苏南京·开学考试）抛物线有一个重要的性质：从焦点出发的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，此时反射面为抛物线在该点处的切线．过抛物线上的一点P（异于原点O）作C的切线l，过O作l的平行线交PF（F为C的焦点）于点Q，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例10-4】（多选）（25-26高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为为其上一动点，则（    ） A．当时， B．当时，抛物线在点处的切线方程为 C．以为圆心且与轴相切的圆与抛物线有且只有一个公共点 D．经点发出平行于轴的光线经过抛物线上点反射穿过焦点后交抛物线于点 ，则的面积为 【例10-5】（21-22高二下·四川成都·期末）已知F为抛物线C：的焦点，过点F的直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，抛物线在点A，B处的切线分别为和，若和交于点P，则的最小值为______． 考点十一 抛物线上点到定点、焦点的距离 【例11-1】（24-25高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为，定点为抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【例11-2】（24-25高二上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，已知直线与交于点，点是抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例11-3】（24-25高二上·江苏无锡·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上动点，点为圆上动点，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【例11-4】（多选）（23-24高二上·江苏南京·期末）已知点，点在曲线上运动，点在圆上运动，则的值可能是（    ）. A．1 B．3 C．4 D．5 【例11-5】（25-26高二上·江苏南通·期末）已知抛物线是的焦点，是上一个动点，点，动点满足，则的最小值为__________. 题型一 抛物线中的多边形问题 【典例1】（23-24高二上·江苏·期中）已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A、B两点，若面积是面积的两倍，则＝（    ） A．4 B． C．5 D． 【迁移应用】 1．（24-25高二上·湖南永州·期中）已知为抛物线的焦点，斜率为的直线与抛物线交于，两点，且位于轴的两侧（在的上方），（其中为坐标原点），则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过点（）的直线与交于，两点，直线，分别交于，两点．记，，面积为，面积为，则（   ） A． B．的最小值为4 C．当时，为锐角 D． 3．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知抛物线C：的焦点为F，P是抛物线C上的动点，且在第一象限．过P向抛物线的准线作垂线，垂足为Q．若直线PF的斜率为，则是面积为______． 题型二 抛物线上点到定直线的距离 【典例2】（23-24高二下·江苏盐城·期中）设点是曲线上一点，则点到直线最小的距离为_________________. 💡破题要诀 表示出距离是解题关键，另外可能用基本不等式求解最值. 【迁移应用】 1．（21-22高二上·安徽宿州·期末）抛物线上一点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏苏州·三模）已知抛物线，点M是抛物线上的动点，则M到直线和的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 3.（多选）（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知抛物线：（）的焦点为，过拋物线上一点作两条斜率之和为0的直线，与的另外两个交点分别为，，则下列说法正确的是（    ） A．的准线方程是 B．直线的斜率为定值 C．若圆与以为半径的圆相外切，则圆与直线相切 D．若的面积为，则直线的方程为 题型三 定点问题 【典例3】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知抛物线上两点满足，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 【迁移应用】 1．（22-23高二上·江苏·单元测试）是抛物线C：上一定点，A，B是C上异于P的两点，直线PA，PB的斜率，满足为常数，，且直线AB的斜率存在，则直线AB过定点（    ） A． B． C． D． 2.（多选）（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知是抛物线上不同于原点的两点，点是抛物线的焦点，下列说法正确的是（    ） A．点的坐标为 B． C．若，则直线经过定点 D．若点为抛物线的两条切线，则直线的方程为 3.（22-23高二下·浙江杭州·期中）已知抛物线，直线l交该抛物线于M，N两点（直线l不过原点），若，则直线l经过定点________． 题型四 定值问题 【典例4】（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，分别交抛物线于两点，则直线的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 💡破题要诀 设参数联列方程利用韦达定理转化代入目标化简得出结论. 【迁移应用】 1．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，直线，分别于抛物线交于点，．设直线，的斜率分别为，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2.（多选）（24-25高二上·江苏徐州·期中）抛物线焦点为，顶点为，过的直线交抛物线于两点，分别过，作准线的垂线，垂足分别为，下列说法正确的是（    ） A．为定值 B． C．三点共线 D． 3.（24-25高二上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，且与交于点，则下列结论正确的是（    ） A．的通径长为4 B．线段的中点在定直线上 C．直线的斜率之积为定值 D．若，直线与的准线交于点，则 题型五 最值问题 【典例5】（23-24高二上·江苏苏州·阶段检测）已知抛物线，圆，在抛物线上任取一点，向圆作两条切线和，切点分别为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法 （1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解． （2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值（注意：有时需先换元后再求最值）. 【迁移应用】 1．（22-23高二下·湖北荆州·阶段检测）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D． 2．（多选）（22-23高二上·江苏南京·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，以线段为直径的圆交轴于、两点，设线段的中点为，则（    ） A．若抛物线上存在一点到焦点的距离等于3，则抛物线的方程为 B． C．若点到抛物线准线的距离为2，则的最小值为 D．若，则直线的斜率为 3．（20-21高三下·江苏南京·阶段检测）已知圆C: ，点在抛物线T：上运动，过点引直线，与圆C相切，切点分别为，，则的取值范围为__________. 基础固本练（限时：15分钟） 1．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为（    ）. A． B．2 C． D． 2．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）在平面直角坐标系中，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，直线，分别交抛物线准线于，两点，则下列说法正确的有（    ） A．轴 B． C．以为直径的圆与抛物线准线恒相交 D．面积的最小值为 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（24-25高二上·江苏·阶段检测）已知是抛物线上的两点，若直线过抛物线的焦点F且倾斜角为，是A，B在准线上的射影，则下列命题不正确的是（    ） A． B． C． D．为直角三角形 2．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知抛物线的焦点为，准线过点，直线与交于两点，弦的中点为，过分别作准线的垂线，垂足分别为，则（    ） A． B．若点在抛物线上，则点到准线的距离为3 C．若直线过焦点，则 D．若的面积是的面积的2倍，则点的轨迹方程为 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $