专题03 椭圆（期中复习讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题03 椭圆 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 椭圆定义 考点二 求椭圆标准方程 考点三 由椭圆方程求参数或参数范围 考点四 与椭圆有关的轨迹问题 考点五 共焦点的椭圆方程 考点六 椭圆的顶点、长短轴 考点七 椭圆的焦半径 考点八 椭圆的焦点三角形 考点九 椭圆的离心率 考点十 椭圆的对称问题 考点十一 椭圆的范围问题 05 重难题型突破 题型一 轨迹问题 题型二 由基本量求椭圆标准方程 题型三 椭圆上的点与焦点、定点距离的和差的最值 题型四 椭圆的离心率的范围问题 06 限时分层演练 基础固本练 综合进阶练 从近年江苏省高二期中考试来看，椭圆内容主要考基础考点和基本方法，难易度主要是基础题与适中题，较难题主要出现在解答题第2问； 题型上单选题、多选题、填空题、解答题中均可能出现. 选择题、填空题主要考根据方程判断曲线、由曲线求参数（范围），轨迹判断及求轨迹方程，由基本量求标准方程、离心率、焦点三角形的周长面积、椭圆的弦、椭圆中的最值范围问题等. 解答题的第1问常考求椭圆的标准方程，第2问常考直线与椭圆的位置关系. 识记 定义，标准方程，的关系，焦点坐标，长短轴，顶点，焦半径，离心率. 理解 方程表示椭圆的条件，焦点位置对方程的影响，的关系，离心率. 应用 直线与椭圆的位置关系，椭圆的弦长，离心率，中点弦. 考点一 椭圆定义 ⚠️概念辨析 一是定值：，为定值； 二是条件：时才是椭圆. 【例1-1】（24-25高二上·江苏宿迁·期中）方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不表示任何图形 【例1-2】（23-24高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知一动圆经过，且与圆：相切，则圆心的轨迹是（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．拋物线 【例1-3】（24-25高二上·江苏连云港·期中）一动圆与圆外切，与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【例1-4】（多选）（2026高二·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．已知点，，动点满足，则点的轨迹是椭圆 B．已知点，，动点满足，则点的轨迹是椭圆 C．已知点，，动点满足，则点的轨迹是椭圆 D．已知点，，动点满足，则点的轨迹是椭圆 【例1-5】（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）平面内一动点到两定点距离之和为常数，则点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．无轨迹 ⚠️避坑指南 ❌ 忽视定值的条件 考点二 求椭圆标准方程 【例2-1】（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）平面内动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（2025高二·江苏·专题练习）已知M为圆P：上的一个动点，定点，线段MQ的垂直平分线交线段PM于N点，则N点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【例2-3】（23-24高二上·江苏淮安·阶段检测）焦点在 y轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为（     ） A． B． C． D． 【例2-4】（25-26高二上·江苏无锡·期中）方程的化简结果为（   ） A． B． C． D． 【例2-5】（23-24高二上·江苏泰州·阶段检测）已知椭圆的焦点为，，过点的直线与椭圆交于两点，若，则的方程为_________. 考点三 由椭圆标准方程求参数或参数范围 【例3-1】（24-25高二上·江苏连云港·期中）方程表示椭圆，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【例3-2】（25-26高二上·江苏镇江·期末）已知椭圆的焦点在轴上，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例3-3】（25-26高二上·四川成都·阶段检测）是方程表示椭圆的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例3-4】（多选）（23-24高二上·江苏淮安·开学考试）若方程所表示的曲线为C，则下面四个说法中正确的是（    ） A．曲线C可能是圆 B．若，则C为椭圆 C．若C为椭圆，且焦点在x轴上，则 D．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则 【例3-5】（23-24高三上·上海宝山·阶段检测）已知m、n均为实数，方程表示椭圆，且该椭圆的焦距为4，则n的取值范围是_____________. 考点四 与椭圆有关的轨迹问题 【例4-1】（24-25高二上·江苏泰州·阶段检测）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足（若在轴上，即为），则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（2025·江苏南京·三模）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【例4-3】（24-25高二上·江苏南通·阶段检测）已知曲线，将曲线上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线；将曲线上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的一半，得到曲线．则曲线与的一个公共点坐标为（   ） A． B． C． D． 【例4-4】（多选）（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知圆的方程为，直线为圆的切线，记两点到直线的距离分别为，动点满足，则动点的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【例4-5】（24-25高二上·江苏常州·期中）已知点，，点满足直线的斜率之积为，则的最小值为________． 考点五 共焦点的椭圆方程 方法技巧：与曲线：有相同焦点的椭圆的方程可设为：（）. 【例5-1】（22-23高二·全国·课堂例题）与椭圆有相同焦点，且过点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【例5-2】（23-24高二上·北京·阶段检测）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程是______ ． 【例5-3】（21-22高二上·天津西青·期中）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为______. 【例5-4】（22-23高二·全国·课堂例题）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为__________. 【例5-5】（20-21高二·全国·课后作业）求满足下列条件的椭圆的标准方程． （1）过点，且与椭圆有公共的焦点； （2）中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点，． 考点六 椭圆的顶点、长短轴 【例6-1】（25-26高二上·江苏南通·期末）椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【例6-2】25-26高二上·陕西榆林·阶段检测）中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点，的椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【例6-3】（23-24高二上·江苏扬州·期末）已知M是椭圆上一动点，则该点到椭圆短轴端点的距离的最大值为（   ） A．2 B． C． D． 【例6-4】（多选）（25-26高二上·江苏扬州·阶段检测）已知是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上且不在轴上，则下列说法正确的有（   ） A．椭圆的短轴长为3 B．的周长为 C．的面积的最大值为 D．的取值范围是 【例6-5】（24-25高二上·江苏南通·阶段检测）2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹．太空飞船与空间站的对接，需经过多次变轨．某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）到地面的距离为，近地点（长轴端点中离地面最近的点）到地面的距离为，地球的半径为R，则该椭圆的短轴长为______（用，，R表示）． 考点七 椭圆的焦半径 【例7-1】（25-26高二上·江苏淮安·期中）如果椭圆上一点P到焦点的距离等于2，则点P到另一个焦点的距离为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【例7-2】（24-25高二上·重庆北碚·期末）已知椭圆的方程为，则椭圆上一点到左焦点的距离最小值为（   ）. A．8 B．5 C．3 D．2 【例7-3】（20-21高二·全国·课后作业）已知为椭圆上一点，，分别是圆和上的点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例7-4】（多选）（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是航天员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”． 如图，在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G． 若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，已知点M是“曲圆”上动点，则下列说法正确的有（    ） A．椭圆的长轴长为 B．线段AB长度的取值范围是 C． D．满足的点M有且仅有两个 【例7-5】（21-22高二上·辽宁朝阳·期末）已知，分别是椭圆C：的左､右焦点，点P是椭圆C上任意一点，令，则m的最大值是___________. 考点八 椭圆的焦点三角形 【例8-1】（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知椭圆的左、右焦点为、，为上任意一点（不含顶点），则的周长为（   ） A．4 B． C．5 D．6 【例8-2】（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且.弦过点，则的周长为（   ） A．10 B．20 C． D． 【例8-3】（23-24高二上·江苏南通·期中）已知点为椭圆上的一个动点，点，分别为该椭圆的左、右焦点，当时，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例8-4】（多选）（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知椭圆的两个焦点分别为是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（   ） A．的周长为12 B．的面积最大值为 C．的最大值为16 D．存在点，使得 【例8-5】（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知是椭圆的两个焦点，过的直线交于A、B两点，若的周长为16，则____________． 考点九 椭圆的离心率 方法技巧：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 【例9-1】（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知地球运行的轨道是椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，若地球到太阳的最大和最小距离分别为，，则这个椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【例9-2】（25-26高二上·江苏扬州·期中）椭圆的左顶点为，点，均在上且关于轴对称.若直线，的斜率之积为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例9-3】（25-26高二上·江苏宿迁·期中）如图，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的3倍，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【例9-4】（多选）（25-26高二上·江苏淮安·期中）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经该椭圆反射后，反射光线经过另一个焦点.已知椭圆的左､右焦点分别为，且，一条光线从出发，经过椭圆的若干次反射，第二次经过点时光线走过的路程为，则该椭圆的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 【例9-5】（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，．点在上，点在轴上，，，则的离心率为_____． 考点十 椭圆的对称问题 【例10-1】（23-24高二上·全国·课后作业）若点在椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上 C．点在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系 【例10-2】（24-25高二上·浙江绍兴·期中）已知M，N是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则的取值范围为（    ） A．[51,76] B．[52,76] C．[64,80] D．[68,80] 【例10-3】（23-24高二上·江苏连云港·期中）椭圆的内接矩形的最大面积为（    ） A． B． C．4 D．2 【例10-4】（多选）（23-24高二上·江苏常州·期中）已知，，满足条件的动点的轨迹为，满足条件的动点的轨迹为，则下列结论正确的是（    ） A．轨迹既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．轨迹既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 C．轨迹上的点到点的距离的最小值为2 D．轨迹与轨迹有两个不同的交点 【例10-5】（22-23高二上·江苏南京·期中）若，是椭圆：的两个焦点，点，为椭圆上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为_________． 考点十一 椭圆的范围问题 【例11-1】（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知是椭圆上的点，则的值可能是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【例11-2】（23-24高二上·江苏常州·期中）设是椭圆的上顶点，点在上，则的最大值为（    ） A．16 B．4 C．3 D．5 【例11-3】（23-24高二上·浙江·期中）已知分别是椭圆的左､右两个焦点，若该椭圆上存在点满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例11-4】（24-25高二上·江苏南京·期中）已知椭圆，直线与交于A，B两点，点为上异于A，B的动点，则（    ） A．当时， B． C．存在点，使得 D． 【例11-5】（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是___________． 题型一 轨迹问题 【典例1】（25-26高二上·甘肃兰州·期中）平面内动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 熟悉距离公式，将条件转化为同一个动点与两定点距离之和为定值，由椭圆定义可求解. 【迁移应用】 1．（24-25高二上·河北唐山·期中）设点，的周长为36，则的顶点的轨迹方程为（   ） A． B． C．+ D． 2．（25-26高二上·吉林长春·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知为坐标原点，长为3的线段，端点，分别在轴､轴上滑动，若动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 题型二 由基本量求椭圆标准方程 【典例2】（25-26高二上·江苏扬州·期中）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到：椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆的中心为原点，焦点，均在轴上，其面积为，若椭圆上一点满足，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 💡破题要诀 根据条件转化为基本量之间满足的关系式，列出方程，求出基本量，即可求解. 【迁移应用】 1．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点满足，以的短轴为直径作圆，截直线的弦长为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）如图，椭圆的右顶点为A，上顶点为B，从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点，若，，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3.（23-24高二上·江苏泰州·阶段检测）已知椭圆的焦点为，，过点的直线与椭圆交于两点，若，则的方程为_________. 题型三 椭圆上的点与焦点、定点距离的和差的最值 【典例3】（23-24高二上·江苏连云港·期中）设椭圆C：的左焦点为F，下顶点为B，点P在C上，则的最大值为（    ） A．1 B．b C．3 D．3b    💡破题要诀 三点共线是解题关键. 【迁移应用】 1．（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知动点在椭圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知F为椭圆C：的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高二上·吉林延边·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型四 椭圆离心率的范围问题 【典例4】（25-26高二上·江苏宿迁·期中）椭圆的离心率的范围为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 将离心率用表示，可得关于的不等式，即可求解. 【迁移应用】 1．（24-25高二上·江苏常州·期末）若椭圆与直线交于点，，点为的中点，直线（为原点）的斜率小于，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）法国著名的数学家蒙日发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”．已知焦点在轴上的椭圆，为椭圆上任意两点，动点在直线上．若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3.（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知椭圆的左焦点为F，过F且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D．若，则椭圆离心率的最大值为________． 题型五 椭圆中的弦中点问题 【典例5】（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知直线l与椭圆相交于A，B两点，若弦AB的中点坐标为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 点差法：代点作差构造斜率解出. 【迁移应用】 1．（24-25高二上·福建厦门·期中）已知焦点在轴上的椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的短半轴长为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 2．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知椭圆C：，过椭圆C的焦点的直线l与椭圆C相交于，两点，设线段的中点为P.若，则（   ） A． B． C．1 D．9 3．（25-26高二上·江苏无锡·期末）过点的直线与椭圆交于，两点，若为中点，则直线的方程为____________. 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知点，，直线PA和直线PB的斜率的乘积为，则点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏常州·期中）曲线表示椭圆，则实数的取值范围为（   ） A． B．或 C． D． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知椭圆的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，四边形的面积为8，原点到直线的距离为则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏泰州·期中）已知点是椭圆上的一点，分别是的左、右焦点，且，点在的平分线上，为原点，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 椭圆 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 椭圆定义 考点二 求椭圆标准方程 考点三 由椭圆方程求参数或参数范围 考点四 与椭圆有关的轨迹问题 考点五 共焦点的椭圆方程 考点六 椭圆的顶点、长短轴 考点七 椭圆的焦半径 考点八 椭圆的焦点三角形 考点九 椭圆的离心率 考点十 椭圆的对称问题 考点十一 椭圆的范围问题 05 重难题型突破 题型一 轨迹问题 题型二 由基本量求椭圆标准方程 题型三 椭圆上的点与焦点、定点距离的和差的最值 题型四 椭圆的离心率的范围问题 题型五 椭圆中点弦问题 06 限时分层演练 基础固本练 综合进阶练 从近年江苏省高二期中考试来看，椭圆内容主要考基础考点和基本方法，难易度主要是基础题与适中题，较难题主要出现在解答题第2问； 题型上单选题、多选题、填空题、解答题中均可能出现. 选择题、填空题主要考根据方程判断曲线、由曲线求参数（范围），轨迹判断及求轨迹方程，由基本量求标准方程、离心率、焦点三角形的周长面积、椭圆的弦、椭圆中的最值范围问题等. 解答题的第1问常考求椭圆的标准方程，第2问常考直线与椭圆的位置关系. 识记 定义，标准方程，的关系，焦点坐标，长短轴，顶点，焦半径，离心率. 理解 方程表示椭圆的条件，焦点位置对方程的影响，的关系，离心率. 应用 直线与椭圆的位置关系，椭圆的弦长，离心率，中点弦. 考点一 椭圆定义 ⚠️概念辨析 一是定值：，为定值； 二是条件：时才是椭圆. 【例1-1】（24-25高二上·江苏宿迁·期中）方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不表示任何图形 【答案】C【难度】0.94【知识点】椭圆定义及辨析 【分析】根据椭圆的定义求解即可． 【详解】∵， ∴方程可表示平面内点到点与点的距离之和为的图形， 即， ∴方程表示的轨迹是线段， 故选：C． 【例1-2】（23-24高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知一动圆经过，且与圆：相切，则圆心的轨迹是（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．拋物线 【答案】B 【难度】0.85【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、椭圆定义及辨析 【分析】易得点在圆内，则圆内切与圆，再根据椭圆的定义即可得解. 【详解】因为，所以点在圆内，所以圆内切与圆， 由两圆内切的关系可知，，从而， 所以点轨迹是以为焦点的椭圆. 故选：B. 【例1-3】（24-25高二上·江苏连云港·期中）一动圆与圆外切，与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】B【难度】0.65【知识点】椭圆定义及辨析、轨迹问题——椭圆 【分析】先把两圆方程化成标准方程，得出圆心和半径，设出动圆圆心坐标，根据两圆相切的性质推导出满足的关系式后即可求解. 【详解】由可得，，圆心为，半径； 由可得，圆心为，半径. 设动圆的圆心为，半径为， 由于动圆和外切，根据两圆外切的性质，， 由于动圆和内切，根据两圆内切的性质，， 于是， 即动点到的距离之和是，且大于两定点间距离， 根据椭圆的定义，动圆圆心的轨迹是椭圆. 故选：B 【例1-4】（多选）（2026高二·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．已知点，，动点满足，则点的轨迹是椭圆 B．已知点，，动点满足，则点的轨迹是椭圆 C．已知点，，动点满足，则点的轨迹是椭圆 D．已知点，，动点满足，则点的轨迹是椭圆 【答案】AD【难度】0.94【知识点】椭圆定义及辨析、轨迹问题——椭圆 【分析】根据椭圆的定义分别判断各选项. 【详解】A选项：，所以动点的轨迹是椭圆，A选项正确； B选项：，所以动点的轨迹是线段，B选项错误； C选项：，所以动点不存在，C选项错误； D选项：，所以动点的轨迹是椭圆，D选项正确； 故选：AD. 【例1-5】（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）平面内一动点到两定点距离之和为常数，则点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．无轨迹 【答案】BCD【难度】0.85【知识点】椭圆定义及辨析 【分析】对M满足的条件进行分类讨论，结合椭圆的定义和平面几何知识加以推理论证，可得本题答案． 【详解】根据题意，得， ①当时，满足椭圆的定义，可得点M的轨迹为以为焦点的椭圆； ②当时，，点M在线段上，点M的轨迹为线段； ③当时，，不存在满足条件的点M． 综上所述，点M的轨迹为椭圆或线段或不存在. 故选：BCD. ⚠️避坑指南 ❌ 忽视定值的条件 考点二 求椭圆标准方程 【例2-1】（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）平面内动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】利用椭圆定义求方程 【分析】利用椭圆的定义求解即可. 【详解】由题意，点到两个定点，的距离之和等于常数， 根据椭圆的定义可知，点的轨迹为以，为焦点的椭圆，且，， 所以，故所求的轨迹方程为. 故选：D 【例2-2】（2025高二·江苏·专题练习）已知M为圆P：上的一个动点，定点，线段MQ的垂直平分线交线段PM于N点，则N点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】由标准方程确定圆心和半径、利用椭圆定义求方程 【分析】根据题意，得到，且，结合椭圆的定义，得到点的轨迹是以为焦点的椭圆，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 由，可得， 因为线段的垂直平分线交线段于点，可得， 则， 结合椭圆的定义，可得点的轨迹是以为焦点的椭圆， 其中，可得，则， 所以点的轨迹方程为. 故选：C. 【例2-3】（23-24高二上·江苏淮安·阶段检测）焦点在 y轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】根据椭圆的标准方程，结合题干列出方程，即可. 【详解】因为焦点在 y轴上，故设椭圆方程为， 则，且， 解得：，所以椭圆的标准方程为. 故选：D 【例2-4】（25-26高二上·江苏无锡·期中）方程的化简结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】利用椭圆定义求方程 【分析】设，结合距离公式，得出其轨迹符合椭圆定义，求出椭圆标准方程即可. 【详解】设，则， 且， 点轨迹是以为焦点，为长轴长的椭圆， 则， 其标准方程为. 故选：D. 【例2-5】（23-24高二上·江苏泰州·阶段检测）已知椭圆的焦点为，，过点的直线与椭圆交于两点，若，则的方程为_________. 【答案】【难度】0.65【知识点】利用椭圆定义求方程、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】根据已知和椭圆定义求出、，点在轴上（也为椭圆的顶点），在中，由余弦定理、解得，再由求出可得答案. 【详解】因为，所以， 又，所以， 又，所以，，， 又，所以，所以，所以在轴上（也为椭圆的顶点）， 在中，由余弦定理可得， ，可得，解得， 所以，则的方程为. 故答案为：. 考点三 由椭圆标准方程求参数或参数范围 【例3-1】（24-25高二上·江苏连云港·期中）方程表示椭圆，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B【难度】0.94【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围 【分析】根据方程表示椭圆列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】由于方程表示椭圆， 所以，解得或. 故选：B 【例3-2】（25-26高二上·江苏镇江·期末）已知椭圆的焦点在轴上，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围 【分析】根据题意得，解出即可. 【详解】由题意有：， 所以. 故选：A. 【例3-3】（25-26高二上·四川成都·阶段检测）是方程表示椭圆的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D【难度】0.65【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围、既不充分也不必要条件 【分析】由充分条件及必要条件的定义，结合椭圆的标准方程，得到结果. 【详解】当时，，，此时，方程化简为表示圆，不满足充分性， 当方程表示椭圆时，，解得，不满足必要性. 故是方程表示椭圆的既不充分也不必要条件. 故选：D. 【例3-4】（多选）（23-24高二上·江苏淮安·开学考试）若方程所表示的曲线为C，则下面四个说法中正确的是（    ） A．曲线C可能是圆 B．若，则C为椭圆 C．若C为椭圆，且焦点在x轴上，则 D．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则 【答案】AD【难度】0.85【知识点】判断方程是否表示椭圆、根据方程表示椭圆求参数的范围 【分析】根据方程为圆列式求解判断A，排除B，根据椭圆标准方程的特征列不等式求解范围即可判断CD. 【详解】当即时，方程为， 表示圆心为原点，半径为1的圆，故选项A正确，选项B错误； 若C为椭圆，且焦点在x轴上，则，解得，故选项C错误； 若C为椭圆，且焦点在y轴上，则，解得，故选项D正确. 故选：AD. 【例3-5】（23-24高三上·上海宝山·阶段检测）已知m、n均为实数，方程表示椭圆，且该椭圆的焦距为4，则n的取值范围是_____________. 【答案】【难度】0.65【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围 【分析】由椭圆的定义可得，，，再分和两种情况讨论，结合椭圆的焦距即可得解. 【详解】由题意得，，，所以， ①若，即时，则焦点在轴上， 则，所以， 代入，，， 得，解得； ②若，即时，则焦点在轴上， 则，所以， 代入，，， 得，解得； 综上，n的取值范围是. 故答案为：. 考点四 与椭圆有关的轨迹问题 【例4-1】（24-25高二上·江苏泰州·阶段检测）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足（若在轴上，即为），则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】求平面轨迹方程、轨迹问题——椭圆 【分析】利用相关点法求动点轨迹方程. 【详解】由题意，设，，则， 因是线段的中点， 又因为点在曲线上，即， 故，即. 故选：A 【例4-2】（2025·江苏南京·三模）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】求平面轨迹方程、轨迹问题——椭圆 【分析】设，因为是的中点，且轴，则有，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，因为是的中点，且轴，则有，如图： 又在圆上，将代入其中可得 ，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A. 【例4-3】（24-25高二上·江苏南通·阶段检测）已知曲线，将曲线上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线；将曲线上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的一半，得到曲线．则曲线与的一个公共点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】轨迹问题——椭圆 【分析】根据给定条件，求出曲线与的方程，再联立求出交点坐标即可. 【详解】设曲线上任意点，则点在曲线上，于是得曲线：， 同理得曲线：，由，解得， 因此曲线与的公共点坐标为. 故选：C 【例4-4】（多选）（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知圆的方程为，直线为圆的切线，记两点到直线的距离分别为，动点满足，则动点的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.4【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、轨迹问题——椭圆 【分析】分别过点作直线的垂线，垂足分别为，，切点为，得，再根据椭圆定义可得答案． 【详解】如图，分别过点作直线的垂线，垂足分别为， 则，，切点为， 因为，所以是的中点， 所以是梯形的中位线，所以． 又因为圆的方程为，所以，所以， 即，所以动点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设椭圆的方程为 ， 则，所以， 所以动点的轨迹方程为＝1． 故选：B. 【例4-5】（24-25高二上·江苏常州·期中）已知点，，点满足直线的斜率之积为，则的最小值为________． 【答案】【难度】0.65【知识点】数量积的坐标表示、轨迹问题——椭圆 【分析】先求出的轨迹方程，再结合向量数量积的坐标形式可求最小值. 【详解】设，则，故， 整理得到：，而 故， 而，故， 故答案为： 考点五 共焦点的椭圆方程 方法技巧：与曲线：有相同焦点的椭圆的方程可设为：（）. 【例5-1】（22-23高二·全国·课堂例题）与椭圆有相同焦点，且过点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】求共焦点的椭圆方程 【分析】由题意可设椭圆的方程为，将代入可求得结果. 【详解】由题意可设椭圆的方程为.又所求椭圆过点， 所以将代入椭圆方程，得，解得（舍去）. 故所求的椭圆方程为. 故选：B. 【例5-2】（23-24高二上·北京·阶段检测）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程是______ ． 【答案】【难度】0.85【知识点】求共焦点的椭圆方程 【分析】根据题意，求出椭圆的标准方程，分析可得其焦点坐标，即可得要求的椭圆的焦点坐标，设其左右焦点为、，由椭圆的定义可得，由椭圆的几何性质可得的值，代入椭圆的标准方程即可得答案． 【详解】根据题意，椭圆的标准方程为，其焦点坐标为， 则所求的椭圆的焦点坐标为，设其左右焦点为、，又由椭圆经过点， 则有，则， 又由，则，则要求椭圆的方程为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，涉及椭圆的标准方程，注意先将已知椭圆的方程变为标准方程. 【例5-3】（21-22高二上·天津西青·期中）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为______. 【答案】【难度】0.85【知识点】求共焦点的椭圆方程 【分析】设所求椭圆的标准方程为，求出椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义求出的值，进而可求得的值，由此可得出所求椭圆的方程. 【详解】椭圆的标准方程为，其焦点坐标为， 设所求椭圆的标准方程为， 由椭圆的定义可得， 所以，，则， 因此，所求椭圆的方程为. 故答案为：. 【例5-4】（22-23高二·全国·课堂例题）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为__________. 【答案】【难度】0.85【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、求共焦点的椭圆方程 【分析】由条件设所求椭圆的标准方程为，将点P的坐标代入，求解即可. 【详解】由条件设所求椭圆的标准方程为. 将点P的坐标代入，得，解得或（舍去）. 故所求椭圆的标准方程为.故答案为：. 【例5-5】（20-21高二·全国·课后作业）求满足下列条件的椭圆的标准方程． （1）过点，且与椭圆有公共的焦点； （2）中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点，． 【答案】（1）；（2）. 【难度】0.85 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、求共焦点的椭圆方程 【分析】（1）设椭圆标准方程，代入点，即可求得椭圆的标准方程； （2）方法一，设椭圆的标准方程，代入点的坐标，即可求得椭圆的标准方程，方法二，设椭圆标准方程的一般形式，，代入点的坐标，即可求得椭圆的标准方程. 【详解】（1）设所求椭圆的方程为． ∵点在所求椭圆上，∴，解得， ∴所求椭圆的标准方程为． （2）方法一  当椭圆的焦点在轴上时，可设椭圆的标准方程为． 依题意有，得．由知，不符合题意，故舍去． 当椭圆的焦点在轴上时，可设椭圆的标准方程为． 依题意有，得，∴所求椭圆的标准方程为． 方法二  设椭圆的方程为． 依题意有，解得．∴所求椭圆的方程为， 故椭圆的标准方程为． 考点六 椭圆的顶点、长短轴 【例6-1】（25-26高二上·江苏南通·期末）椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】求椭圆的长轴、短轴 【分析】将椭圆方程化为标准方程，得出的值，即可得出该椭圆的长轴长. 【详解】将椭圆方程化为标准方程得，则，故该椭圆的长轴长为. 故选：D. 【例6-2】25-26高二上·陕西榆林·阶段检测）中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点，的椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、求椭圆的顶点坐标 【分析】根据椭圆的性质计算即可. 【详解】由题意可知分别为该椭圆的右顶点和上顶点，，则其焦点在纵轴上， 不妨设该椭圆方程为，即，所以该椭圆方程为. 故选：C 【例6-3】（23-24高二上·江苏扬州·期末）已知M是椭圆上一动点，则该点到椭圆短轴端点的距离的最大值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】求二次函数的值域或最值、求椭圆中的最值问题 【分析】设为椭圆上一动点，利用两点间距离公式结合动点在椭圆上，由二次函数求最值即可. 【详解】设为椭圆上一动点，由椭圆，不妨取椭圆短轴一端点B， 则， 由可得，则， 由知，当时，. 故选：C 【例6-4】（多选）（25-26高二上·江苏扬州·阶段检测）已知是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上且不在轴上，则下列说法正确的有（   ） A．椭圆的短轴长为3 B．的周长为 C．的面积的最大值为 D．的取值范围是 【答案】BC【难度】0.65 【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题、椭圆上点到焦点的距离及最值、求椭圆的长轴、短轴、椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】根据标准方程得出可判断A，应用椭圆的定义得出周长判断B，应用几何特征得出面积判断C，因为点在椭圆上且不在轴上，则可判断D. 【详解】椭圆为：短轴长，故A错误； 的周长为，故B正确； 的面积为，所以最大值为，故C正确； 因为点在椭圆上且不在轴上，则，取值范围是，故D错误． 故选：BC 【例6-5】（24-25高二上·江苏南通·阶段检测）2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹．太空飞船与空间站的对接，需经过多次变轨．某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）到地面的距离为，近地点（长轴端点中离地面最近的点）到地面的距离为，地球的半径为R，则该椭圆的短轴长为______（用，，R表示）． 【答案】【难度】0.85【知识点】求椭圆的长轴、短轴、星体运行轨道问题 【分析】根据题意结合椭圆的性质分析运算. 【详解】设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c， 由题意可知，， 所以． 所以，所以． 故答案为：. 【点睛】本题所求的是椭圆的短轴长，因此求出b的表达式后注意乘2，不要直接填b的表达式． 考点七 椭圆的焦半径 【例7-1】（25-26高二上·江苏淮安·期中）如果椭圆上一点P到焦点的距离等于2，则点P到另一个焦点的距离为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】A【难度】0.94【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值、椭圆定义及辨析 【分析】根据椭圆的定义可以解. 【详解】由椭圆的定义得：，所以. 故选：A 【例7-2】（24-25高二上·重庆北碚·期末）已知椭圆的方程为，则椭圆上一点到左焦点的距离最小值为（   ）. A．8 B．5 C．3 D．2 【答案】D【难度】0.85【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值 【分析】根据椭圆方程及其性质，即可得点到左焦点的距离最小值. 【详解】由椭圆方程知，椭圆上点到左焦点的距离最小值为. 故选：D 【例7-3】（20-21高二·全国·课后作业）已知为椭圆上一点，，分别是圆和上的点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】椭圆上点到焦点距离及最值、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】点为椭圆上的动点，，分别为两个圆上的动点，三个点都是动点，需要研究图形的结构特征，注意到两圆的圆心分别是椭圆的左、右焦点，如图，因此可以固定其中两个点，实现动静转化． 由椭圆的定义得到为定值，至于，只需与圆的半径产生联系即可． 【详解】根据椭圆的定义，得， 所以， 即所求取值范围为．故选：A 【例7-4】（多选）（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是航天员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”． 如图，在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G． 若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，已知点M是“曲圆”上动点，则下列说法正确的有（    ） A．椭圆的长轴长为 B．线段AB长度的取值范围是 C． D．满足的点M有且仅有两个 【答案】ABC【难度】0.4【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值、求椭圆的长轴、短轴 【分析】选项A，根据题意求出半圆的半径为，，再根据求出，从而得到椭圆的长轴长；选项B，由及得到所求；选项C，按照点是椭圆上的点和圆上的点讨论求解，若点是上半部分即半椭圆上的点，根据椭圆的定义可得，若点是下半部分即半圆上的点，根据题意求出椭圆在轴下方的点为永远在圆在轴下方的点为的下方，直线交轴下方的椭圆于点，则，利用三角形两边之和大于第三边得到，从而得解；选项D， 当点是轴下方的半圆上的点时，由直径所对的圆周角是直径得到结论. 【详解】选项A，半圆所在的圆过椭圆的焦点，半圆的半径为， 椭圆的短轴与半圆的直径重合，，， 焦点为，，， ，椭圆的长轴长为，故A正确； 选项B，依题意，，， ，即，故B正确； 选项C，椭圆的焦点为，椭圆的下半圆与轴交于点，点为椭圆的下焦点， 点是“曲圆”上动点，当点是上半部分即半椭圆上的点时，， 当点是下半部分即半圆上的点时， 设，则有，解得， 将椭圆补全，如图，过作轴的垂线交椭圆上轴下方的点为， 椭圆方程为，，，， 椭圆在轴下方的点为永远在圆在轴下方的点为的下方， 直线交轴下方的椭圆于点，则， ，， ，，， 综上可知，，故C正确； 选项D， 当点是轴下方的半圆上的点时，为圆的直径，， 满足的点M有无数个，故D错误. 故选：ABC. 【例7-5】（21-22高二上·辽宁朝阳·期末）已知，分别是椭圆C：的左､右焦点，点P是椭圆C上任意一点，令，则m的最大值是___________. 【答案】25【难度】0.65【知识点】基本不等式求积的最大值、椭圆上点到焦点的距离及最值 【分析】根据给定条件利用椭圆定义结合均值不等式直接计算作答. 【详解】依题意，由椭圆定义得：，则，当且仅当时取“=”， 所以m的最大值为25. 故答案为：25 考点八 椭圆的焦点三角形 【例8-1】（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知椭圆的左、右焦点为、，为上任意一点（不含顶点），则的周长为（   ） A．4 B． C．5 D．6 【答案】D【难度】0.85【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】根据椭圆的定义即可求得答案. 【详解】由椭圆方程知，，，所以， 根据椭圆的定义可知，，又， 所以的周长为. 故选：D. 【例8-2】（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且.弦过点，则的周长为（   ） A．10 B．20 C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】根据椭圆定义求解. 【详解】因为，所以，解得， 由椭圆方程知，所以，解得，即. 所以的周长为， 故选：D. 【例8-3】（23-24高二上·江苏南通·期中）已知点为椭圆上的一个动点，点，分别为该椭圆的左、右焦点，当时，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A【难度】0.85【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题、椭圆定义及辨析 【分析】根据题意，设，结合椭圆的定义以及勾股定理列出方程，再由三角形的面积公式，即可得到结果. 【详解】由题意可得，设， 则，所以， 解得，所以. 故选：A 【例8-4】（多选）（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知椭圆的两个焦点分别为是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（   ） A．的周长为12 B．的面积最大值为 C．的最大值为16 D．存在点，使得 【答案】AC【难度】0.65【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题、基本不等式求积的最大值、椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆中的最值问题 【分析】利用椭圆的定义判断A，利用椭圆的性质结合三角形面积公式判断B，根据椭圆的定义结合基本不等式分析判断C，可知点在以为直径的圆上，分析椭圆与圆的交点情况判断D即可. 【详解】由椭圆方程可知：， 则. 对于A，的周长为，故A正确； 对于B，由三角形面积公式得， 结合椭圆性质得，当在椭圆上顶点和下顶点时，最大， 则的面积最大值为，故B错误， 对于C，因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为16，故C正确； 对于D，作出符合题意的图形，若存在点，使得，可知点在以为直径的圆上， 但，可知圆与椭圆没有交点，故不存在点，使得，故D错误. 故选：AC 【例8-5】（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知是椭圆的两个焦点，过的直线交于A、B两点，若的周长为16，则____________． 【答案】【难度】0.85【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】根据椭圆的定义求出的值，由此可求得的值. 【详解】由题意得，则椭圆的焦点在轴上，过的直线交于、两点， 可得的周长为，则， 故.故答案为： 考点九 椭圆的离心率 方法技巧：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 【例9-1】（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知地球运行的轨道是椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，若地球到太阳的最大和最小距离分别为，，则这个椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆的性质求椭圆参数，应用离心率公式求解. 【详解】设该椭圆的长轴长为，焦距为，则由题意得，， 得，则这个椭圆的离心率. 故选：A 【例9-2】（25-26高二上·江苏扬州·期中）椭圆的左顶点为，点，均在上且关于轴对称.若直线，的斜率之积为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】椭圆的对称性、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】首先设出点的坐标，再代入斜率公式，结合点在椭圆上，即可化简求解. 【详解】设，，，，即，则， 所以椭圆的离心率. 故选：B 【例9-3】（25-26高二上·江苏宿迁·期中）如图，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的3倍，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.4【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用椭圆与圆的性质计算即可. 【详解】设，易知， 则，， 又，所以. 故选：C. 【例9-4】（多选）（25-26高二上·江苏淮安·期中）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经该椭圆反射后，反射光线经过另一个焦点.已知椭圆的左､右焦点分别为，且，一条光线从出发，经过椭圆的若干次反射，第二次经过点时光线走过的路程为，则该椭圆的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD【难度】0.65【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆长轴与短轴以及其定义，可得答案. 【详解】设椭圆的长轴长为； 若光线从沿长轴向左射出，则第二次经过时， 光走过的路程为，所以，即，故； 若光线从沿长轴向右射出，则第二次经过时， 光走过的路程为，所以，即，故； 若光线从沿其他方向射出，则第二次经过时， 光走过的路程为，所以，故.  故选：ABD. 【例9-5】（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，．点在上，点在轴上，，，则的离心率为_____． 【答案】【难度】0.4【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】先设出点的坐标，利用向量的关系和垂直的条件，结合椭圆的性质来求解离心率即可. 【详解】设，， ，，解得， 又，，即， 把代入，得，化简得， 点在上，把代入，得，得， 又，，化简得，即， 等式两边同时除以，得，即， 令，得，解得或， ，，即. 故答案为：. 考点十 椭圆的对称问题 【例10-1】（23-24高二上·全国·课后作业）若点在椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上 C．点在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系 【答案】C【难度】0.85【知识点】椭圆的对称性、点和椭圆的位置关系 【分析】根据椭圆的对称性可判断. 【详解】点与点关于原点对称， 点与关于轴对称， 点与关于轴对称， 若点在椭圆上，根据椭圆的对称性，，，三点都在椭圆上， 故选：C 【例10-2】（24-25高二上·浙江绍兴·期中）已知M，N是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则的取值范围为（    ） A．[51,76] B．[52,76] C．[64,80] D．[68,80] 【答案】C【难度】0.65【知识点】椭圆定义及辨析、根据椭圆的有界性求范围或最值、椭圆的对称性 【分析】由是左焦点，连接，利用椭圆对称性及定义，将目标式化为，结合及二次函数性质求范围. 【详解】若是左焦点，连接，又关于原点对称， 所以为平行四边形或为左右顶点，则， 由，则， 故，则， 开口向上且对称轴为，又， 所以. 故选：C 【例10-3】（23-24高二上·江苏连云港·期中）椭圆的内接矩形的最大面积为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】A【难度】0.65【知识点】根据椭圆的有界性求范围或最值、椭圆的对称性 【分析】首先利用坐标表示矩形的面积，再利用基本不等式求面积的最大值. 【详解】设内接矩形，在第一象限的顶点坐标为，， 由对称性可知，， 当且仅当，即时等号成立， 联立，解得：，此时等号成立， 所以椭圆的内接矩形的最大面积为. 故选：A 【例10-4】（多选）（23-24高二上·江苏常州·期中）已知，，满足条件的动点的轨迹为，满足条件的动点的轨迹为，则下列结论正确的是（    ） A．轨迹既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．轨迹既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 C．轨迹上的点到点的距离的最小值为2 D．轨迹与轨迹有两个不同的交点 【答案】ACD【难度】0.4【知识点】椭圆的应用、椭圆定义及辨析、椭圆的对称性、求椭圆中的最值问题 【分析】根据题意求出动点的轨迹方程即可判断A； 根据题意列式判断轨迹的对称性即可判断B； 根据已知条件进行转化即可求得最小值进而判断C； 根据题意转化得到即可判断两个轨迹的交点个数进而判断D. 【详解】对于A，因为，所以动点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设椭圆为，则， 得，所以轨迹方程为， 所以轨迹既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A正确； 对于B，因为满足条件的动点的轨迹为， 所以设，则， 将代入原式，即， 则轨迹关于轴对称，故B错误； 对于C，由，得， 当且仅当三点共线时等号成立，故C正确； 对于D，轨迹与轨迹有两个不同的交点，即点和点重合的点， 则，解得，由于， 所以轨迹与轨迹在第一象限和第四象限各有一个交点，故D正确. 故选：ACD 【例10-5】（22-23高二上·江苏南京·期中）若，是椭圆：的两个焦点，点，为椭圆上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为_________． 【答案】8【难度】0.65【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆的对称性、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】根据椭圆对称性及矩形的性质知四边形为矩形，进而有，再根据椭圆定义、勾股定理求即可. 【详解】由已知及对称性得：四边形为矩形，即， 所以， 由椭圆定义与勾股定理知：，可得． 所以四边形的面积为8.故答案为：8 考点十一 椭圆的范围问题 【例11-1】（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知是椭圆上的点，则的值可能是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A【难度】0.85【知识点】根据椭圆的有界性求范围或最值 【分析】可设，得到，求得的取值范围，即可求解. 【详解】由椭圆，可设，其中， 则，其中， 因为，所以， 即的取值范围为，结合选项，可得A符合题意. 故选：A. 【例11-2】（23-24高二上·江苏常州·期中）设是椭圆的上顶点，点在上，则的最大值为（    ） A．16 B．4 C．3 D．5 【答案】B【难度】0.85【知识点】根据椭圆的有界性求范围或最值 【分析】设得，利用，配方后利用的范围可得答案. 【详解】，设，则，所以， ， 因为，所以当时，有最大值为. 故选：B. 【例11-3】（23-24高二上·浙江·期中）已知分别是椭圆的左､右两个焦点，若该椭圆上存在点满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】根据椭圆的有界性求范围或最值、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】由，分别是椭圆：的左、右两个焦点，求得m的范围，当点位于短轴端点时，取最大值，要使上存在点满足，则的最大值大于或等于，从而可得答案. 【详解】解：由，分别是椭圆：的左、右两个焦点， 则，当点位于短轴端点时，取最大值， 要使上存在点满足，则的最大值大于或等于， 即点位于短轴端点时，大于或等于， 则，解得．故选：A. 【例11-4】（24-25高二上·江苏南京·期中）已知椭圆，直线与交于A，B两点，点为上异于A，B的动点，则（    ） A．当时， B． C．存在点，使得 D． 【答案】ABD【难度】0.65【知识点】求椭圆中的弦长、用定义求向量的数量积、求椭圆中的最值问题 【分析】设点，则,从而，根据在椭圆上，则有 ，则，再结合，可判断选项A； 利用可判断选项B； 根据可判断选项C， 利用平面三角形的坐标面积公式即可判断选项D. 【详解】设，则,所以， 因为点在椭圆上，所以，所以，则， 时，，代入，解得，此时，A正确； 因为为的中点，所以,所以， 因为点在椭圆上，所以，所以，所以， 因为点在椭圆上，所以，所以，B正确； 因为，,所以, 所以，所以当时，， 因为点为上异于A，B的动点，所以当，即时，不存在点使得，C错误； 以下证明，若，则，, 所以, 所以 ， 因为， 所以， 设， 则，D正确； 故选：ABD. 【例11-5】（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是___________． 【答案】【难度】0.65【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】根据直线方程与曲线具有两个公共点，联立方程进行求解. 【详解】直线过点，， 联立方程；则 ，即，故， 根据图象的交点，可得，故.故答案为：. 题型一 轨迹问题 【典例1】（25-26高二上·甘肃兰州·期中）平面内动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】利用椭圆定义求方程、轨迹问题——椭圆 【分析】利用椭圆的定义求解即可. 【详解】由题意，点到两点，的距离之和为， 所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且，，， 所以点P的轨迹方程为. 故选：B 💡破题要诀 熟悉距离公式，将条件转化为同一个动点与两定点距离之和为定值，由椭圆定义可求解. 【迁移应用】 1．（24-25高二上·河北唐山·期中）设点，的周长为36，则的顶点的轨迹方程为（   ） A． B． C．+ D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】轨迹问题——椭圆 【分析】由题意得到，根据椭圆的定义，可得点的轨迹是一条以为焦点的椭圆，即可得到答案. 【详解】由题意的周长为，， 所以，所以, 可知点的轨迹是以为焦点，长轴长为除去长轴的两个端点的椭圆， 所以， 所以点的轨迹方程为. 故选：B. 2．（25-26高二上·吉林长春·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】利用椭圆定义求方程、轨迹问题——椭圆 【分析】根据动圆与已知两圆位置关系，求得动圆圆心满足的关系式，利用椭圆定义进行判断，并求出，得到轨迹方程. 【详解】设圆圆心为，半径为， 圆圆心为，半径为，动圆圆心为，半径为 则， 由圆与圆外切可得， 由圆与圆内切可得， 所以，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设为 则，所以， 所以轨迹方程为， 故选：B. 3．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知为坐标原点，长为3的线段，端点，分别在轴､轴上滑动，若动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、轨迹问题——椭圆 【分析】根据条件，利用向量的坐标运算用点的坐标表示出点的坐标，再利用给定线段长求出方程. 【详解】设点，由，得， 则，而线段长为3，即，因此， 所以动点的轨迹方程为. 故选：A 题型二 由基本量求椭圆标准方程 【典例2】（25-26高二上·江苏扬州·期中）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到：椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆的中心为原点，焦点，均在轴上，其面积为，若椭圆上一点满足，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】先根据焦点位置确定椭圆标准方程形式，再利用椭圆定义求，结合面积公式求，进而得到标准方程. 【详解】因为椭圆的中心为原点，焦点均在轴上，故其标准方程为. 由椭圆定义，，得. 又椭圆面积为，由题知，即，解得， 故，， 因此椭圆的标准方程为. 故选：D 💡破题要诀 根据条件转化为基本量之间满足的关系式，列出方程，求出基本量，即可求解. 【迁移应用】 1．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点满足，以的短轴为直径作圆，截直线的弦长为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】取弦的中点，连接，求出，再根据椭圆定义结合勾股定理求出之间的关系，即可求得. 【详解】由题意知以的短轴为直径作圆，截直线的弦长为，设交点为A，B， 取弦的中点，连接，如下图所示：    则，，因为，所以， 因为为的中点，是的中点，所以，，且垂直平分弦， 因为，，所以，所以， 由椭圆定义可知，，， 所以，解得，， 因为，，所以，，所以椭圆方程为. 故选：B 2．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）如图，椭圆的右顶点为A，上顶点为B，从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点，若，，则椭圆C的标准方程为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】根据平行关系得到相似关系，得到，，结合题目条件，求出，得到椭圆方程. 【详解】由题意得， 当时，，解得，故，所以， 因为，所以，即，解得，故， 所以，解得，所以， 椭圆C的标准方程为.故选：A 3.（23-24高二上·江苏泰州·阶段检测）已知椭圆的焦点为，，过点的直线与椭圆交于两点，若，则的方程为_________. 【答案】【难度】0.65【知识点】利用椭圆定义求方程、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】根据已知和椭圆定义求出、，点在轴上（也为椭圆的顶点），在中，由余弦定理、解得，再由求出可得答案. 【详解】因为，所以，又，所以， 又，所以，，， 又，所以，所以，所以在轴上（也为椭圆的顶点）， 在中，由余弦定理可得， ，可得，解得，所以， 则的方程为.故答案为：. 题型三 椭圆上的点与焦点、定点距离的和差的最值 【典例3】（23-24高二上·江苏连云港·期中）设椭圆C：的左焦点为F，下顶点为B，点P在C上，则的最大值为（    ） A．1 B．b C．3 D．3b 【答案】C【难度】0.85【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】利用椭圆的定义，结合两点间线段最短进行求解即可. 【详解】设该椭圆的右焦点为，因为点P在C上，所以， 所以， 当三点共线时，有最大值，即， 所以的最大值为，故选：C    💡破题要诀 三点共线是解题关键. 【迁移应用】 1．（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知动点在椭圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】利用椭圆的定义，将问题化为的最小值，数形结合即可得解. 【详解】由题意，为一个焦点，另一焦点为，且； 因为，所以在椭圆外部，所以，即求的最小值； 由于，当三点共线时取等号；所以的最大值为； 故选：D. 2.（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知F为椭圆C：的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】定点到圆上点的最值、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】要求的最小值，根据椭圆的定义可以转化为（其中为椭圆的左焦点），即求的最小值，即为圆心与的距离减去半径，进而解决问题． 【详解】如图，由题可知，圆的圆心坐标为，半径为1， 设椭圆的左焦点为，即，则， 故要求的最小值，即求的最小值， 所以的最小值等于， 即的最小值为， 故选：D． 3.（25-26高二上·吉林延边·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.4 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、椭圆定义及辨析、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】根据题意作图，利用椭圆的定义结合三角形的三边关系得出，再根据两点间距离公式计算即可. 【详解】如图，为椭圆上任意一点，则， 所以， 因为为圆上任意一点，则， 所以， 当且仅当共线且在和之间时，等号成立． 由题意知，，则， 所以的最小值为． 故选：B． 题型四 椭圆离心率的范围问题 【典例4】（25-26高二上·江苏宿迁·期中）椭圆的离心率的范围为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】由椭圆的离心率求参数的取值范围 【分析】对分类讨论，确定焦点的位置，将离心率用表示，可得关于的不等式，从而可求的范围. 【详解】由椭圆方程， 当时，椭圆焦点在轴上，，，， 所以，解得； 当时，椭圆焦点在轴上，，，， 所以，解得，故实数的取值范围为. 故选：D. 💡破题要诀 将离心率用表示，可得关于的不等式，即可求解. 【迁移应用】 1．（24-25高二上·江苏常州·期末）若椭圆与直线交于点，，点为的中点，直线（为原点）的斜率小于，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.4【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】将直线方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，结合斜率关系求出离心率范围. 【详解】依题意，由，消去得，, ，解得， 设，则，则点， 由直线的斜率小于，得， 由，，得，椭圆焦点在轴上， 所以椭圆离心率， 所以椭圆的离心率的取值范围为. 故选：C. 2.（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）法国著名的数学家蒙日发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”．已知焦点在轴上的椭圆，为椭圆上任意两点，动点在直线上．若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.15【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】先由椭圆焦点位置确定的下限，再根据蒙日圆定义得蒙日圆方程，结合为锐角的条件分析直线与蒙日圆的位置关系，求得的范围，最后计算椭圆离心率的取值范围. 【详解】由椭圆的焦点在轴上，得. 直线都与椭圆相切， 直线所围成的矩形的外接圆即为椭圆的蒙日圆. 因恒为锐角，故点在蒙日圆外. 又在直线上，因此直线与蒙日圆相离，即原点到直线的距离大于蒙日圆半径. 原点到直线的距离：，故，平方得，即. 结合，得. 椭圆离心率. 当时，，故，即. 故选：B 3.（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知椭圆的左焦点为F，过F且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D．若，则椭圆离心率的最大值为________． 【答案】【难度】0.4【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆中的弦长 【分析】设直线，与椭圆方程联立，结合韦达定理利用弦长公式求解，进而求出线段AB的中垂线所在直线方程，求出和，利用得，即可得解. 【详解】设椭圆的左焦点为，，，则直线， 联立方程，消去y得：， ，则 ， ，，则， 设线段AB的中点，则，， 即， 线段AB的中垂线所在直线方程为， 令，则，解得， 即，则， 由题意可得：，即， 整理得，则，即椭圆离心率的最大值为. 题型五 椭圆中点弦问题 【典例5】（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知直线l与椭圆相交于A，B两点，若弦AB的中点坐标为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】由弦中点求弦方程或斜率 【分析】利用点差法即可求解. 【详解】设， 则，两式相减可得， 即. 因为弦AB的中点坐标为，所以， 所以. 易知，所以， 所以直线l的方程为，化简得. 经验证满足题意，故直线l的方程为. 故选：A. 💡破题要诀 点差法：代点作差构造斜率解出. 【迁移应用】 1．（24-25高二上·福建厦门·期中）已知焦点在轴上的椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的短半轴长为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B【难度】0.65【知识点】求椭圆的长轴、短轴、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】运用作差法、中点坐标公式及直线斜率求解即可. 【详解】设直线与椭圆相交于，， 由题意得，， 直线的斜率为， 由，两式相减得， 所以，即，所以，即. 所以椭圆的短半轴长为4. 2．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知椭圆C：，过椭圆C的焦点的直线l与椭圆C相交于，两点，设线段的中点为P.若，则（   ） A． B． C．1 D．9 【答案】B【难度】0.4 【知识点】由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】要解决这道题，我们可以利用椭圆的性质以及点差法来求解. 【详解】已知椭圆C：的焦点，故椭圆焦点在轴上，标准形式为 ，其中，且，得方程（1）， 设直线l与椭圆C相交于，，中点为，则 ，直线l过和P. 其斜率为，将，代入椭圆方程并相减。得： ，因式分解后除以，得： ，代入的值： ，化简得：， 即（2），联立（1）（2），将代入（1）：， 所以，即，则，故. 故选：B 3．（25-26高二上·江苏无锡·期末）过点的直线与椭圆交于，两点，若为中点，则直线的方程为____________. 【答案】【难度】0.65【知识点】由弦中点求弦方程或斜率 【分析】借助点差法可得，再利用为线段AB的中点计算可得，即可得直线的方程. 【详解】设、，则有、， 故，化简得，故， 由为线段AB的中点，则，则，， 则， 又，故，解得， 即直线的方程为，化简得. 故答案为：. 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知点，，直线PA和直线PB的斜率的乘积为，则点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】轨迹问题——椭圆 【分析】设的坐标为，根据两点斜率表达式得到方程，化简即可. 【详解】设的坐标为，则， 整理得，故点的轨迹方程为． 故选：D． 2．（25-26高二上·江苏常州·期中）曲线表示椭圆，则实数的取值范围为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围 【分析】将椭圆方程变形得，再列出不等式组即可. 【详解】， 则，解得或. 故选：B. 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知椭圆的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，四边形的面积为8，原点到直线的距离为则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求点到直线的距离、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】根据题意表示椭圆的长轴与短轴的长度，利用四边形面积公式建立方程，由顶点坐标与截距式写出直线方程，利用点到直线距离公式建立方程，联立两个方程，可得答案. 【详解】由题意可得，则四边形的面积，即， 由，则直线的方程为，整理可得， 原点到直线的距离，解得， 联立，解得，所以方程为. 故选：C. 2．（25-26高二上·江苏泰州·期中）已知点是椭圆上的一点，分别是的左、右焦点，且，点在的平分线上，为原点，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.4【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】设，，延长ON交于A，由题意得出是等腰三角形. 在中由余弦定理得到含a，c的齐次方程即可求解离心率. 【详解】设，，延长ON交于A，如图所示.    由题意知，O为的中点，∴点A为中点. 又，点N在的平分线上， ∴，∴是等腰三角形，∴， 则，所以. 又，所以. 又在中，由余弦定理得， 即，即，化简得：. 又，所以，所以，即故选：A. 第 1 页 共 16 页 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