专题04 双曲线（期中复习讲义）高二数学上学期苏教版选择性必修第一册

该高中数学双曲线复习讲义通过知识框架图与对比表格系统构建知识体系，梳理双曲线定义、标准方程、几何性质等核心内容，突出焦点三角形、直线与双曲线位置关系等重难考点，呈现a,b,c,e的内在联系及考情规律，助力学生形成结构化认知。 讲义亮点在于题型分类与分层练习设计，如焦点三角形问题结合定义与余弦定理突破难点，中点弦问题用点差法培养推理能力，基础通关练到综合拓展练覆盖不同层次需求。通过解题技巧指导与典例变式训练，发展数学思维与应用意识，既支持学生自主复习，也为教师精准教学提供有效工具。

专题04 双曲线（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 双曲线定义 掌握双曲线的定义 基础考点，常出现在选择题，填空题 根据双曲线定义求方程 掌握双曲线的定义求标准方程 基础考点，常出现在选择题，填空题 根据方程表示双曲线求参数 掌握双曲线的标准方程 基础考点，常出现在选择题，填空题 双曲线离心率 掌握双曲线的简单几何性质，了解双曲线中a，b，c，e的几何意义 基础考点，常出现在选择题，填空题 双曲线中的焦点三角形 掌握双曲线中焦点三角形常用结论，定义，余弦定理，面积公式 重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题 双曲线渐近线 掌握型双曲线和型双曲线的渐近线； 基础考点，常出现在选择题，填空题 直线与双曲线位置关系 掌握代数法判断直线与双曲线的位置关系，韦达定理应用 重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题 知识点01 双曲线的定义 1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2、集合语言表达式 双曲线就是下列点的集合:. 3、说明 若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小. (1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支; (2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支. 知识点02 双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 知识点03 双曲线的简单几何性质 标准方程 （） （） 图形 性质 范围 或 或 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 ， , 渐近线 离心率 ，， a，b，c间的关系 知识点04等轴双曲线 （，）当时称双曲线为等轴双曲线 ①； ②离心率； ③两渐近线互相垂直，分别为； ④等轴双曲线的方程，； 知识点05 直线与双曲线的位置关系 1、代数法：设直线，双曲线联立解得： （1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； ，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点； （2）时， 存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若， 时，，直线与双曲线相交于两点； 时，，直线与双曲线相离，没有交点； 时，直线与双曲线有一个交点；相切 不存在，时，直线与双曲线没有交点； 直线与双曲线相交于两点； 知识点06 弦长公式 1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，则 为直线斜率 2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则弦长. 知识点07 双曲线与渐近线的关系 1、若双曲线方程为渐近线方程： 2、若双曲线方程为（，）渐近线方程： 3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为， 4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上） 题型一 根据双曲线定义求方程 解｜题｜技｜巧 双曲线定义 【典例1】已知，，动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】在平面直角坐标系中，已知点点的轨迹为.则的方程为 . 【变式2】已知圆，圆，动圆与圆都外切，则动圆圆心的轨迹方程为 . 题型二 根据方程表示双曲线求参数 解｜题｜技｜巧 根据标准方程形式判断对比求参数 （） （） 【典例1】已知方程表示双曲线，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【变式1】“或”是“方程表示的焦点在轴的双曲线”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【变式2】设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型三 和、差距离最值 解｜题｜技｜巧 根据定义转化： 【典例1】已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．1 【变式1】已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ． 【变式2】已知点，将函数的图像绕原点顺时针旋转得到曲线C，在C上任取一点P，则（    ） A． B．2 C． D．不确定 题型四 双曲线中焦点三角形问题 解｜题｜技｜巧 1、定义 2、余弦定理 3、面积公式 【典例1】已知是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】双曲线的两个焦点分别是与，焦距为4，M是双曲线上的一点，且，则的面积是 . 【变式2】已知双曲线的左右焦点为，点为双曲线上一点，若，则的周长是 ． 题型五 双曲线中渐近线 解｜题｜技｜巧 1、若双曲线方程为渐近线方程： 2、若双曲线方程为（，）渐近线方程： 【典例1】已知双曲线：（，）的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知双曲线的一条渐近线方程为，则的实轴长为（    ） A．12 B．8 C． D． 【变式2】已知双曲线C：（m＞0）的上、下焦点分别为，A为C上一点，且，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 题型六 双曲线离心率 解｜题｜技｜巧 常用工具：定义： 余弦定理： 齐次式：通过三角函数（如正弦定理）转化几何关系，或利用不等式（如三角形三边关系）构造，的齐次式求离心率（注意椭圆）. 【典例1】已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 . 【变式1】已知椭圆和双曲线有相同的焦点是它们的一个公共点，且，若的离心率为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点是的渐近线上的一点，且，，则E的离心率为 . 题型七 直线与双曲线的位置关系 解｜题｜技｜巧 1、代数法：设直线，双曲线联立解得： （1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； ，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点； （2）时， 存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若， 时，，直线与双曲线相交于两点； 时，，直线与双曲线相离，没有交点； 时，直线与双曲线有一个交点；相切 不存在，时，直线与双曲线没有交点； 直线与双曲线相交于两点； 【典例1】过点与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值集合是 ． 【变式1】直线过点与双曲线有且只有一个交点，则这样的直线有 条． 【变式2】已知双曲线，则过且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为 . 题型八 弦长 解｜题｜技｜巧 1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，则 为直线斜率 2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则弦长 【典例1】已知双曲线的左焦点为，离心率为2. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，与轴交于点，且是的中点，求. 【变式1】在平面直角坐标系中，已知点，动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线交于两点，且，求直线的方程． 【变式2】已知双曲线与有相同的渐近线，点为的右焦点，，为的左右顶点． (1)求双曲线的方程； (2)过点倾斜角为的直线交双曲线于，两点，求． 题型九 中点弦 解｜题｜技｜巧 双曲线：若AB是双曲线的一条不过双曲线中心的弦，设M是线段AB的中点，O是坐标原点，若OM、AB的斜率均存在，则 【典例1】已知双曲线的实轴长为，离心率为.直线与双曲线相交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若的中点为，求直线的方程． 【变式1】已知双曲线：（，）的实轴长为2，点到双曲线的渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)过点的动直线交双曲线于、两点，设线段的中点为，求点的轨迹方程. 【变式2】已知双曲线 (1)求双曲线的虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程； (2)过点的直线与双曲线交于，两点且点恰好为线段的中点，求直线的方程 题型十直线与双曲线相交中定点问题 解｜题｜技｜巧 1、定点问题的求解思路： （1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. （2）特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 2、过定点问题的两大类型及解法 （1）动直线过定点问题 解法：设动直线方程（斜率存在）为，由题设条件将用表示为得 故动直线过定点；若动直线斜率不为0，可设方程为. （2）动曲线过定点问题 解法：引入参变量建立曲线的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点 【典例1】已知双曲线的离心率为，点在上． (1)求的方程； (2)设斜率为且不经过点的直线交于两点，记直线的斜率分别为，，若，证明：直线过定点． 【变式1】已知双曲线的渐近线为，双曲线的左顶点为，直线与双曲线C相交于A，B（异于点P）两点． (1)求双曲线C的方程； (2)若的中点为，求直线l的方程； (3)若以为直径的圆恒过点P，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【变式2】已知双曲线. (1)若直线与双曲线相交于两点，线段的中点坐标为，求直线的方程. (2)若为双曲线右支上异于右顶点的一个动点，为双曲线的右焦点，轴上是否存在定点，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 题型十一直线与双曲线相交中定值问题 解｜题｜技｜巧 在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用， 【一般策略】 ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关 ②引进变量法：选择适当的动点坐标或动直线中的系数为变量，然后把要证明为定值的量表示成上述变量的函数，最后把得到的函数化简，消去变量得到定值 【典例1】已知和为双曲线上的两点． (1)求C的方程． (2)过点的直线l与双曲线C交于D，E两点（D，E不在x轴上）． （ⅰ）若D，E均在C的右支上，且，求l的方程； （ⅱ）直线AD和AE分别与直线交于M，N两点，证明：以MN为直径的圆被x轴截得的弦长为定值． 【变式1】（1）已知动点在椭圆上，为椭圆的焦点，，问：是否为定值？ （2）已知动点在双曲线的右支上，为双曲线的焦点，，问：是否为定值． 【变式2】在平面直角坐标系xOy中，已知点D为双曲线E：的右顶点，，在双曲线上. (1)求双曲线E的方程； (2)过点且斜率为的直线l与双曲线E的左支交于A，B两点，的外接圆的圆心为P，直线OP的斜率为，证明：为定值. 题型十二直线与双曲线相交中定直线问题 解｜题｜技｜巧 1、 在圆锥曲线中，定直线问题指的是：在曲线或相关点、线满足某些动态条件（如点在曲线上运动、直线绕定点转动等）时，始终存在一条固定不变的直线，使得动态元素（如交点、轨迹、垂足等）始终在这条直线上，这条直线就被称为“定直线”. 2、圆锥曲线中的定直线问题的常见类型及解题策略： ①联立方程消去参； ②挖掘图形的对称性，解出动点横坐标或纵坐标 ③将横纵坐标分别用参数表示，再消参 ④设点，对方程变形解得定直线 【典例1】已知，分别是双曲线：的上顶点，下焦点． (1)求的标准方程； (2)过的直线与的上、下支分别交于两点（异于），直线平分线段与的下支交于点，证明：直线与直线的交点在定直线上． 【变式1】已知双曲线的离心率和焦距分别为和，设点的坐标分别为. (1)求双曲线的方程； (2)已知是双曲线的左支上异于点的一个动点，直线交的右支于点是坐标原点. （i）记和的面积分别为，且，求直线的方程； （ii）设直线与直线的交点为，证明：点在一条定直线上. 【变式2】已知双曲线的一条渐近线方程为，且点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)设双曲线左右顶点分别为，在直线上取一点，直线交双曲线右支于点，直线交双曲线左支于点，直线和直线的交点为，求证：点在定直线上. 期中基础通关练（测试时间：50分钟） 1．已知双曲线C：的渐近线方程为，点在C上，则C的焦距为（    ） A． B． C． D． 2．若双曲线：上的某点到两个焦点的距离之差为4，则双曲线的渐近线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知双曲线过点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的左、右焦点分别为，若上一点到轴的距离为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 6．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且的焦距为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（多选）设双曲线的左、右焦点分别为，，且，，为上关于坐标原点中心对称的两点，则下列说法正确的有（   ） A．的实轴长为 B． C．若，则直线的斜率为 D．若，则 8．（多选）已知双曲线和，其中，且，则（   ） A．与虚轴长相等 B．与焦距相等 C．与离心率相等 D．与渐近线相同 9．已知点，若直线上存在点满足，则实数的取值范围是 ． 10．方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是 ． 11．已知双曲线的左、右焦点分别为． (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，点在双曲线右支上，且，求的面积． 12．（1）过点的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，求直线的方程． （2）已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于，且点是线段的中点？若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由． 期中重难突破练（测试时间：40分钟） 1．已知双曲线的左、右顶点分别为点，，点在双曲线的右支上且异于点.若直线的斜率的取值范围是，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．设是双曲线的左、右焦点，点是双曲线右支上一点，若的内切圆的半径为（为圆心），且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，虚轴长为，过且斜率为k的直线l交双曲线C的右支于M，N两点（其中点M在第一象限内），则（   ） A．双曲线C的方程为 B．当时， C．若，则的面积为 D．当时，的内切圆半径为 4．已知为坐标原点，为双曲线的左焦点，过且斜率为的直线与在第二象限交于点，线段的中点为.若，则的离心率为 . 5．已知双曲线的左、右焦点分别为，且．过的直线与交于两点． (1)求的方程； (2)若均在的右支上，且的周长为，求的方程； (3)是否存在轴上的定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．已知双曲线C：的离心率为2，其右焦点F到一条渐近线的距离为. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线：与双曲线C交于不同的两点A，B，且以线段为直径的圆经过点，证明：直线过定点. 期中综合拓展练（测试时间：35分钟） 1．已知双曲线的离心率，是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线上异于的动点，直线的斜率分别为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆和双曲线有相同的焦点为两曲线在第一象限的交点，分别为曲线的离心率.若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）已知分别为双曲线的左、右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为，点为在第一象限上的点，点的坐标为，为的平分线．则下列正确的是（   ） A．双曲线的方程为 B． C． D．点到轴的距离为 4．双曲线，渐近线方程为，焦距为，设直线与交于两点. (1)求双曲线的方程； (2)若且，求的值； (3)若，过分别作双曲线的切线，且相交于点，求点的轨迹方程. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 双曲线（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 双曲线定义 掌握双曲线的定义 基础考点，常出现在选择题，填空题 根据双曲线定义求方程 掌握双曲线的定义求标准方程 基础考点，常出现在选择题，填空题 根据方程表示双曲线求参数 掌握双曲线的标准方程 基础考点，常出现在选择题，填空题 双曲线离心率 掌握双曲线的简单几何性质，了解双曲线中a，b，c，e的几何意义 基础考点，常出现在选择题，填空题 双曲线中的焦点三角形 掌握双曲线中焦点三角形常用结论，定义，余弦定理，面积公式 重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题 双曲线渐近线 掌握型双曲线和型双曲线的渐近线； 基础考点，常出现在选择题，填空题 直线与双曲线位置关系 掌握代数法判断直线与双曲线的位置关系，韦达定理应用 重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题 知识点01 双曲线的定义 1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2、集合语言表达式 双曲线就是下列点的集合:. 3、说明 若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小. (1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支; (2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支. 知识点02 双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 知识点03 双曲线的简单几何性质 标准方程 （） （） 图形 性质 范围 或 或 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 ， , 渐近线 离心率 ，， a，b，c间的关系 知识点04等轴双曲线 （，）当时称双曲线为等轴双曲线 ①； ②离心率； ③两渐近线互相垂直，分别为； ④等轴双曲线的方程，； 知识点05 直线与双曲线的位置关系 1、代数法：设直线，双曲线联立解得： （1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； ，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点； （2）时， 存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若， 时，，直线与双曲线相交于两点； 时，，直线与双曲线相离，没有交点； 时，直线与双曲线有一个交点；相切 不存在，时，直线与双曲线没有交点； 直线与双曲线相交于两点； 知识点06 弦长公式 1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，则 为直线斜率 2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则弦长. 知识点07 双曲线与渐近线的关系 1、若双曲线方程为渐近线方程： 2、若双曲线方程为（，）渐近线方程： 3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为， 4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上） 题型一 根据双曲线定义求方程 解｜题｜技｜巧 双曲线定义 【典例1】已知，，动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义可知点的轨迹为以为焦点，实轴为的双曲线的上支，求出、，即可得到轨迹方程. 【详解】由及双曲线的定义可知， 点的轨迹为以为焦点，实轴为的双曲线的上支，则， 因为，所以，故点的轨迹方程为． 故选：A 【变式1】在平面直角坐标系中，已知点点的轨迹为.则的方程为 . 【答案】 【分析】根据双曲线的定义待定系数法求解即可，由于是双曲线的一支，注意横坐标的范围. 【详解】由题，点M的轨迹是为焦点，实轴长为2的双曲线的右支， 故可设C的方程为， 由题：，解得：, 故C的方程为. 故答案为：． 【变式2】已知圆，圆，动圆与圆都外切，则动圆圆心的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据双曲线的定义，判断出双曲线的参数的值，写出轨迹方程. 【详解】对圆，圆心为；对圆，圆心为. 设动圆的半径为，则，所以点的运动轨迹为以为焦点的双曲线的左支. 易知，解得； 又，解得； ，所以动圆圆心的轨迹方程为. 故答案为： 题型二 根据方程表示双曲线求参数 解｜题｜技｜巧 根据标准方程形式判断对比求参数 （） （） 【典例1】已知方程表示双曲线，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据双曲线标准方程的特征列出关于的不等式，解不等式可得结果. 【详解】∵方程表示双曲线， ∴，解得. 故选：C. 【变式1】“或”是“方程表示的焦点在轴的双曲线”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】B 【分析】由方程表示的焦点在轴的双曲线求出的范围，再根据充分必要条件的概念判断即可. 【详解】方程表示的焦点在轴的双曲线， 所以“或”是“方程表示的焦点在轴的双曲线”成立的必要不充分条件. 故选：B 【变式2】设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程表示焦点在轴上的双曲线列式计算求解. 【详解】方程表示焦点在轴上的双曲线， 由题意可得 解得， 故选：B． 题型三 和、差距离最值 解｜题｜技｜巧 根据定义转化： 【典例1】已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．1 【答案】D 【分析】由双曲线的定义得，由三角不等式得出，即可求解． 【详解】如图，设双曲线的右焦点为，连接，则， 因为， 而，所以， 当三点共线且在之间时等号成立，故的最大值是1． 故选：D． 【变式1】已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义转化为可求解. 【详解】设右焦点为，则，则， 依题意有， ，（当在线段与双曲线的交点时，取等号）． 故的最小值为9.    故答案为：. 【变式2】已知点，将函数的图像绕原点顺时针旋转得到曲线C，在C上任取一点P，则（    ） A． B．2 C． D．不确定 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义可求解. 【详解】直线与联立得两交点的坐标为、，这两点间的距离为， 所以函数的图像绕原点顺时针旋转得到双曲线方程为，由双曲线定义得. 故选：A． 题型四 双曲线中焦点三角形问题 解｜题｜技｜巧 1、定义 2、余弦定理 3、面积公式 【典例1】已知是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线方程，得到，结合条件，利用双曲线的定义，得，再由余弦定理，即可求解. 【详解】由题易知，又，又，所以， 在中，，， 由余弦定理得， 故选：C. 【变式1】双曲线的两个焦点分别是与，焦距为4，M是双曲线上的一点，且，则的面积是 . 【答案】6 【分析】根据给定条件，结合双曲线定义求出，进而求出三角形面积. 【详解】由双曲线的焦距为4，得，解得， 由，，解得或， 当时，点为双曲线离焦点较近的顶点，与共线，不符合要求， 因此，，为直角三角形， 所以的面积是. 故答案为：6 【变式2】已知双曲线的左右焦点为，点为双曲线上一点，若，则的周长是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用双曲线定义，结合勾股定理求出三角形周长. 【详解】双曲线的实半轴长，焦点，， 由点在双曲线上，得，由，得， ， 因此，所以的周长是. 故答案为： 题型五 双曲线中渐近线 解｜题｜技｜巧 1、若双曲线方程为渐近线方程： 2、若双曲线方程为（，）渐近线方程： 【典例1】已知双曲线：（，）的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设双曲线的焦距为，由条件可求，求双曲线的焦点坐标及渐近线方程，根据点到直线距离公式求焦点到渐近线的距离列方程求，由关系求由此可得结论. 【详解】设双曲线的焦距为，则， 故，所以双曲线的焦点坐标为， 又双曲线的渐近线方程为， 所以双曲线的焦点到渐近线的距离， 因为焦点到渐近线的距离为， 所以，所以， 所以双曲线的渐近线方程为，即， 故选：A. 【变式1】已知双曲线的一条渐近线方程为，则的实轴长为（    ） A．12 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线方程，可得，即可求得渐近线方程，根据条件，可得，进而可求得m值，即可得答案 【详解】由题意可得， 所以， 所以一条渐近线的方程为， 所以，解得， 则，所以实轴长. 故选：C 【变式2】已知双曲线C：（m＞0）的上、下焦点分别为，A为C上一点，且，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线定义可得，从而求出渐近线方程. 【详解】由双曲线定义可知，所以，即， 所以双曲线C：，则渐近线方程为. 故选：B． 题型六 双曲线离心率 解｜题｜技｜巧 常用工具：定义： 余弦定理： 齐次式：通过三角函数（如正弦定理）转化几何关系，或利用不等式（如三角形三边关系）构造，的齐次式求离心率（注意椭圆）. 【典例1】已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据已知条件结合圆的弦长公式求得，利用建立不等式即可求得双曲线的离心率范围. 【详解】设以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点， 则到渐近线的距离，， 由，得，即，解得， 即，于是，而， 所以双曲线的离心率的取值范围是． 故答案为： 【变式1】已知椭圆和双曲线有相同的焦点是它们的一个公共点，且，若的离心率为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理列式，再结合离心率的计算公式，可求双曲线的离心率. 【详解】如图： 设椭圆：，双曲线：. 因为它们有相同的焦点，所以. 不妨设点在第一象限，且，， 因为点在椭圆上， 所以. 又， 所以. 又在双曲线上， 所以. 所以. 所以双曲线的离心率为：. 故选：A 【变式2】已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点是的渐近线上的一点，且，，则E的离心率为 . 【答案】 【分析】不妨设在直线上，且在第一象限，坐标为，根据，可得，在中，根据，结合，可得关于的方程，即可求解. 【详解】 如图，不妨设在直线上，且在第一象限，坐标为， 因为，， 所以直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以，即， 整理可得，解得，则， 在中，，所以， 两边平方可得，又， 所以，即， 解得或（舍）. 故答案为：. 题型七 直线与双曲线的位置关系 解｜题｜技｜巧 1、代数法：设直线，双曲线联立解得： （1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； ，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点； （2）时， 存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若， 时，，直线与双曲线相交于两点； 时，，直线与双曲线相离，没有交点； 时，直线与双曲线有一个交点；相切 不存在，时，直线与双曲线没有交点； 直线与双曲线相交于两点； 【典例1】过点与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值集合是 ． 【答案】 【分析】设直线的方程为：，联立双曲线得到，解方程即可. 【详解】设直线的方程为：，联立双曲线得： 当时，方程有唯一解，此时. 当时，令，则 解得． 故答案为：. 【变式1】直线过点与双曲线有且只有一个交点，则这样的直线有 条． 【答案】2 【分析】结合双曲线的顶点和渐近线及点位置，画出对应图形即可得. 【详解】由双曲线方程知：右顶点为，渐近线为，点在双曲线的外部， 如下图所示，    所以，过点的直线与渐近线平行与双曲线有且只有一个交点. 故共有两条直线满足要求. 故答案为：2 【变式2】已知双曲线，则过且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为 . 【答案】 【分析】首先说明直线斜率存在，然后设出方程，联立双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解. 【详解】联立与，解得，这表明满足题意的直线斜率一定存在， 设所求直线斜率为，则过点且斜率为的直线方程为， 联立，化简并整理得：， 由题意得或， 解得或无解，即，经检验，符合题意. 故答案为：. 题型八 弦长 解｜题｜技｜巧 1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，则 为直线斜率 2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则弦长 【典例1】已知双曲线的左焦点为，离心率为2. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，与轴交于点，且是的中点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知求，由关系求，写出方程； （2）由已知可得，求出直线方程，联立-消元-韦达定理，利用弦长公式求解. 【详解】（1）由已知可得，所以，所以， 所以的方程为. （2）因为是中点，所以点的横坐标为2，所以， 所以直线的斜率，方程为， 由，得， 设，则， 所以. 【变式1】在平面直角坐标系中，已知点，动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线交于两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用双曲线定义可得，即可求得的方程为； （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理由弦长公式计算即可求得，可得直线的方程. 【详解】（1）根据题意由可知， 动点的轨迹为以为焦点，实轴长为的双曲线， 即，所以， 所以可得的方程为； （2）如下图所示： 依题意设， 联立与的方程， 消去整理可得，则； 且，解得； 所以， 解得，满足，符合题意； 所以直线的方程为. 【变式2】已知双曲线与有相同的渐近线，点为的右焦点，，为的左右顶点． (1)求双曲线的方程； (2)过点倾斜角为的直线交双曲线于，两点，求． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据共渐近线得到，根据焦点得到，解得答案. （2）联立方程得到根与系数的关系，利用弦长公式计算得到答案. 【详解】（1）双曲线与有相同的渐近线，则， 为的右焦点，则，解得，， 双曲线方程为； （2）直线的方程为，，即， ，，， . 题型九 中点弦 解｜题｜技｜巧 双曲线：若AB是双曲线的一条不过双曲线中心的弦，设M是线段AB的中点，O是坐标原点，若OM、AB的斜率均存在，则 【典例1】已知双曲线的实轴长为，离心率为.直线与双曲线相交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若的中点为，求直线的方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据题意条件，结合双曲线性质列方程组，联立求解，即可得双曲线的方程； （2）联立直线方程与双曲线方程，利用韦达定理结合中点坐标公式，即可求解. 【详解】（1）根据题意，双曲线的实轴长为，离心率为，则 ，解得， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）知，双曲线的方程为， 设，， 联立，化简得， 则，且，， 由为的中点，得，解得，，且满足， 所以直线的方程为. 【变式1】已知双曲线：（，）的实轴长为2，点到双曲线的渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)过点的动直线交双曲线于、两点，设线段的中点为，求点的轨迹方程. 【答案】(1) (2)，其中或 【分析】（1）根据实轴长得，利用点到直线的距离结合求解即可； （2）设，，，联立直线l与双曲线的方程，消去y，得，且，得且，由韦达定理，得，从而得，联立消去k，得，再根据的范围得出的范围，即可得解. 【详解】（1）双曲线的实轴长为，由已知，，则， 因为双曲线：（，）的一条渐近线为， 点到双曲线的渐近线的距离为，所以， 所以，所以，所以双曲线的方程是； （2）易知直线的斜率存在设为，设、、， 联立直线l与双曲线E的方程，得，消去y，得． 由且，得且． 由韦达定理，得． 所以，． 由消去k，得． 由且，得或． 所以，点M的轨迹方程为，其中或． 【变式2】已知双曲线 (1)求双曲线的虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程； (2)过点的直线与双曲线交于，两点且点恰好为线段的中点，求直线的方程 【答案】(1)虚半轴为，焦点坐标为离心率为渐近线方程为 (2) 【分析】（1）将双曲线化为标准方程，即可利用双曲线的几何性质求解. （2）设，，根据点为线段AB的中点，利用“点差法”求解. 【详解】（1）将化为标准方程可得， 由方程可得，解得， 故实半轴为，虚半轴为， 所以渐近线方程为， 又，解得， 所以焦点坐标为，离心率. （2）设，， 因为点为线段的中点， 所以有，， 所以 所以， 又 所以在双曲线内部，所以直线一定与双曲线有两个交点， 所以直线的方程为：， 即：. 题型十直线与双曲线相交中定点问题 解｜题｜技｜巧 1、定点问题的求解思路： （1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. （2）特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 2、过定点问题的两大类型及解法 （1）动直线过定点问题 解法：设动直线方程（斜率存在）为，由题设条件将用表示为得 故动直线过定点；若动直线斜率不为0，可设方程为. （2）动曲线过定点问题 解法：引入参变量建立曲线的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点 【典例1】已知双曲线的离心率为，点在上． (1)求的方程； (2)设斜率为且不经过点的直线交于两点，记直线的斜率分别为，，若，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据双曲线上的点及离心率求得，即可求解； （2）设直线的方程为，与双曲线方程联立，韦达定理，根据斜率关系并化简得，即可判断定点. 【详解】（1）因为点在双曲线上，所以， 由离心率为可得，解得， 所以的方程为． （2）如图，设直线的方程为，， 联立得， 由题意可得，且， 化简得， 由韦达定理得． 因为， 所以， 整理得， 即， 化简得，因为直线不经过点，所以， 此处需要排除当直线经过点时满足的参数关系． 所以，即，满足， 所以直线的方程为，即直线过定点． 【变式1】已知双曲线的渐近线为，双曲线的左顶点为，直线与双曲线C相交于A，B（异于点P）两点． (1)求双曲线C的方程； (2)若的中点为，求直线l的方程； (3)若以为直径的圆恒过点P，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)过定点，定点坐标为． 【分析】（1）根据给定条件，求出渐近线方程，进而求出即可. （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理结合中点坐标公式求解. （3）利用韦达定理及数量积的坐标表示求出的关系即可得解. 【详解】（1）双曲线的渐近线为，依题意，， 而双曲线C的左顶点为，则， 所以双曲线的方程为． （2）由（1）知，双曲线的方程为，设， 由消去得，， ，且， ，由为的中点，得，解得，满足， 所以直线l的方程为，即. （3）由（2）知，．， 则 ，由以为直径的圆恒过点P，得， 于是，解得或， 当时，直线过，不符合题意； 当时，直线过定点， 所以直线l过定点，该定点坐标为.    【变式2】已知双曲线. (1)若直线与双曲线相交于两点，线段的中点坐标为，求直线的方程. (2)若为双曲线右支上异于右顶点的一个动点，为双曲线的右焦点，轴上是否存在定点，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，. 【分析】（1）利用点差法可求出直线斜率，再求直线方程即可； （2）利用正切二倍角公式结合点在双曲线上化简可得； 【详解】（1）设，则，作差得， 又线段的中点坐标为，则， 所以，可得， 所以，即；经检验成立 （2）假设存在定点，使得， 设，焦点，若时，， 所以，化简得， 又，则，整理得对恒成立， 所以，可得， 当，此时为等腰直角三角形，也成立， 综上，. 题型十一直线与双曲线相交中定值问题 解｜题｜技｜巧 在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用， 【一般策略】 ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关 ②引进变量法：选择适当的动点坐标或动直线中的系数为变量，然后把要证明为定值的量表示成上述变量的函数，最后把得到的函数化简，消去变量得到定值 【典例1】已知和为双曲线上的两点． (1)求C的方程． (2)过点的直线l与双曲线C交于D，E两点（D，E不在x轴上）． （ⅰ）若D，E均在C的右支上，且，求l的方程； （ⅱ）直线AD和AE分别与直线交于M，N两点，证明：以MN为直径的圆被x轴截得的弦长为定值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）将点代入求参数即可； （2）（ⅰ）设直线l的方程为，，，联立得到，，再利用弦长求参数即可求解； （ⅱ）由题知直线，进而得到，同理可得，利用，代入计算即可证明. 【详解】（1）由题可知，解得，， 所以C的方程为． （2）（ⅰ）由题可知直线l斜率不为0，设直线l的方程为， 联立，得， 设，， 则且， 解得，，， ， 解得，所以l的方程为． （ⅱ）证明：直线，令，得， 同理可得，故，． 记以MN为直径的圆与x轴交于P，Q两点，圆心为， 所以 由（1）知，，， 所以 ， 所以，为定值． 【变式1】（1）已知动点在椭圆上，为椭圆的焦点，，问：是否为定值？ （2）已知动点在双曲线的右支上，为双曲线的焦点，，问：是否为定值． 【答案】（1）是；（2）是 【分析】（1）根据三角换元，结合两点间距离公式即可代入化简求解，或者利用中位线以及椭圆的定义求解， （2）设出点的坐标，根据两点间距离公式即可化简求解. 【详解】（1）解法1  如图，设，因为为椭圆的焦点，不妨设． 又因为，所以． 因为 ． 因为，所以，原式为定值． 解法2  （定义法）,如图，不妨取椭圆右焦点为,左焦点为, 由可知是的中点，连接, ， 为定值。 （2）如图，设，则． 因为为双曲线焦点，不妨取右焦点． 又因为，所以． 则． 因为，所以，原式． 因为点在双曲线右支上，所以， 所以原式为定值． 【变式2】在平面直角坐标系xOy中，已知点D为双曲线E：的右顶点，，在双曲线上. (1)求双曲线E的方程； (2)过点且斜率为的直线l与双曲线E的左支交于A，B两点，的外接圆的圆心为P，直线OP的斜率为，证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将点的坐标代入方程计算即可. （2）假设直线方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理求得斜率范围，然后假设圆的方程，并于双曲线方程联立，最后将联立之后的两方程系数对应成比例，计算即可. 【详解】（1）因为，在双曲线E上， 所以，故，所以E的标准方程为． （2）如图： 设直线l：，由 得，① 所以，因为直线l与双曲线E的左支交于A，B两点， 所以，且，故， 设圆P：，，由， 得，② 由双曲线的右顶点D在圆上得， 由①②得. 由，可得③ 由，可得④ 所以3④③可得，即． 题型十二直线与双曲线相交中定直线问题 解｜题｜技｜巧 1、 在圆锥曲线中，定直线问题指的是：在曲线或相关点、线满足某些动态条件（如点在曲线上运动、直线绕定点转动等）时，始终存在一条固定不变的直线，使得动态元素（如交点、轨迹、垂足等）始终在这条直线上，这条直线就被称为“定直线”. 2、圆锥曲线中的定直线问题的常见类型及解题策略： ①联立方程消去参； ②挖掘图形的对称性，解出动点横坐标或纵坐标 ③将横纵坐标分别用参数表示，再消参 ④设点，对方程变形解得定直线 【典例1】已知，分别是双曲线：的上顶点，下焦点． (1)求的标准方程； (2)过的直线与的上、下支分别交于两点（异于），直线平分线段与的下支交于点，证明：直线与直线的交点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题中所给数据求解即可； （2）设直线方程为：，，，联立直线和双曲线方程，结合韦达定理可得，求出点坐标，直线方程，再联立直线和直线方程，求出交点坐标即可得证. 【详解】（1）由题意，，， 所以， 所以C的方程为． （2）证明：由题意，直线的斜率存在， 设直线方程为：，，．    联立，消去，得， 由于，同号，所以，， ， 所以， 联立，解得， 所以， 所以直线的方程为，即， 联立，解得， 所以直线与直线的交点在定直线上． 【变式1】已知双曲线的离心率和焦距分别为和，设点的坐标分别为. (1)求双曲线的方程； (2)已知是双曲线的左支上异于点的一个动点，直线交的右支于点是坐标原点. （i）记和的面积分别为，且，求直线的方程； （ii）设直线与直线的交点为，证明：点在一条定直线上. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）由双曲线的离心率、焦距以及的关系式，建立方程组，可得答案； （2）（i）设出直线方程，联立写出韦达定理，根据三角形面积公式，结合题意可知三角形等底，面积之差等于纵坐标之差，根据整式化简，可得答案；（ii）由（i）所得韦达定理，整理等量关系，设出直线方程求得交点建立方程，化简整理，可得答案. 【详解】（1）由题意：，解得， 所以双曲线的方程为：. （2） （i）因为与A不重合，所以直线的斜率不为0，故可设直线的方程为， 联立得，设， 因为点在双曲线的左支上，所以，解得， 又，则， 即有，则，解得， 满足，所以，于是直线的方程为. （ii）由（i），则，故. ，则，所以直线的方程为， 同理，所以直线的方程为：， 故点的横坐标满足：， 显然，由题意得：， 则， 则，故点在定直线上. 【变式2】已知双曲线的一条渐近线方程为，且点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)设双曲线左右顶点分别为，在直线上取一点，直线交双曲线右支于点，直线交双曲线左支于点，直线和直线的交点为，求证：点在定直线上. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用双曲线的性质，代入点坐标计算即可； （2）法一、用点P坐标表示直线，联立双曲线方程得出C、D坐标，再表示直线，联立求其交点即可证明；法二、直接利用C、D坐标表示直线，利用三点共线的斜率关系计算可用表示直线方程，联立求其交点即可证明. 【详解】（1）因为渐近线方程为，所以，设双曲线为， 代入得，双曲线的标准力程为； （2）法一、 设直线，联立双曲线得：， ，且； 设直线，联立双曲线得：， ，且； 所以 则 设，则，两式相除消得 所以在直线上； 法二、 设直线， 直线， 由于，即， 由于，即， 则. 设，则，两式相除消得 所以在直线上；    期中基础通关练（测试时间：50分钟） 1．已知双曲线C：的渐近线方程为，点在C上，则C的焦距为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线渐近线方程得，再把点代入双曲线方程求出的值，最后根据双曲线的性质求出焦距. 【详解】双曲线C：的渐近线方程为，则有，即， 双曲线方程可表示为， 点在C上，有，解得，即，得， 双曲线中为半焦距，则有，得， 所以双曲线C的焦距为. 故选：D 2．若双曲线：上的某点到两个焦点的距离之差为4，则双曲线的渐近线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线定义求出，再由双曲线方程求出其渐近线方程. 【详解】双曲线：上的某点到两个焦点的距离之差为4， 则有，得， 所以双曲线的渐近线的方程为. 故选：C 3．已知双曲线过点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点在双曲线上求得，再确定双曲线参数，应用直接法求离心率. 【详解】由题设，则，故， 所以双曲线离心率为. 故选：D 4．已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得到双曲线的渐近线方程，根据斜率之积等于得到的关系，再根据的关系和离心率的概念求双曲线的离心率. 【详解】双曲线的渐近线方程为. 因为两条渐近线互相垂直， 所以. 所以双曲线的离心率为：. 故选：A 5．已知双曲线的左、右焦点分别为，若上一点到轴的距离为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的方程与几何性质结合三角形面积公式计算. 【详解】由题意知点的横坐标为，代入得， 又， 所以的面积为. 故选：B 6．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且的焦距为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据渐近线的倾斜角可得，即可由焦距以及的关系列方程求解. 【详解】由条渐近线的倾斜角为，可知，故， 又和， 解得，故双曲线方程为， 故选：A 7．（多选）设双曲线的左、右焦点分别为，，且，，为上关于坐标原点中心对称的两点，则下列说法正确的有（   ） A．的实轴长为 B． C．若，则直线的斜率为 D．若，则 【答案】BD 【分析】A利用即可；B利用对称性得出，再结合双曲线的定义即可；C利用即可求出点坐标，再计算直线的斜率即可；D利用并结合双曲线的定义可得，再利用勾股定理即可. 【详解】设为双曲线的半焦距，则2， 由，即，所以的实轴长为，故A错误； 由于关于原点中心对称，关于原点中心对称， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以，故B正确； 由，解得，所以， 所以直线斜率即直线斜率，，故C错误； 由，，可得，， 则，所以， 又，所以，故D正确. 故选：BD. 8．（多选）已知双曲线和，其中，且，则（   ） A．与虚轴长相等 B．与焦距相等 C．与离心率相等 D．与渐近线相同 【答案】BD 【分析】根据条件，利用双曲线的性质，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】双曲线的虚轴在轴上，虚轴长为， 双曲线的虚轴在轴上，虚轴长为，故A错误； 双曲线和焦距均为，故B正确； 双曲线的离心率为， 双曲线的离心率为，故C错误； 双曲线的渐近线为， 双曲线的渐近线为，故D正确． 故选：BD. 9．已知点，若直线上存在点满足，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出动点的轨迹方程，再求出渐近线方程，由直线与双曲线右支有公共点即可求出的范围. 【详解】由，得在以点为焦点，实轴长为2的双曲线的右支上， 依题意实半轴长，虚半轴长， 则点的轨迹方程为，其渐近线方程为， 由直线与双曲线右支有公共点，可得. 故答案为：. 10．方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由双曲线方程的特征即可求解. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的双曲线， 所以，解得. 故答案为：. 11．已知双曲线的左、右焦点分别为． (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，点在双曲线右支上，且，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出椭圆的焦点坐标，再利用待定法求出双曲线方程. （2）利用双曲线定义，结合余弦定理、三角形面积公式求解. 【详解】（1）椭圆的焦点为和， 依题意，，解得，所以双曲线的标准方程为. （2）设，，则由双曲线的定义得， 在中，， 则，所以的面积. 12．（1）过点的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，求直线的方程． （2）已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于，且点是线段的中点？若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）不存在这样的直线，理由见解析 【分析】（1）设直线与椭圆的交点为，代入椭圆方程，利用点差法可求出直线的斜率，从而可求出直线方程； （2）设，代入双曲线方程，利用点差法可求出直线的斜率，从而可求出直线方程，然后将直线方程代入双曲线方程检验即可. 【详解】（1）设直线与椭圆的交点为． 因为，所以点在椭圆内， 为的中点，． 又两点在椭圆上，则， 两式相减得， 于是， ，即， 故所求直线的方程为，即． （2）设存在被点平分的弦，且， 则，， 两式相减，得， 故直线． 由，消去得， ． 这说明直线与双曲线不相交， 故被点平分的弦不存在，即不存在这样的直线． 期中重难突破练（测试时间：40分钟） 1．已知双曲线的左、右顶点分别为点，，点在双曲线的右支上且异于点.若直线的斜率的取值范围是，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线方程可得，，设，代入双曲线方程可得.结合斜率公式、不等式的性质及题干条件即可求解. 【详解】由双曲线方程可得，，设， 则，即. 所以，所以. 又，所以. 故选：A. 2．设是双曲线的左、右焦点，点是双曲线右支上一点，若的内切圆的半径为（为圆心），且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作，根据题意得到，得．结合，得到即可得到结论. 【详解】过作， 由题意知． 因为，所以四边形为正方形， 得． 由双曲线的定义可得， 即，所以， 得． 又因为，所以， 得，． 在中，，得到， 所以． 故选：A．    3．（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，虚轴长为，过且斜率为k的直线l交双曲线C的右支于M，N两点（其中点M在第一象限内），则（   ） A．双曲线C的方程为 B．当时， C．若，则的面积为 D．当时，的内切圆半径为 【答案】BCD 【分析】对于A，由的关系即可判断；对于B，根据双曲线的定义及勾股定理解方程组即可判断；对于C，根据双曲线的定义，余弦定理及面积公式即可判断；对于D，设直线的方程，与双曲线联立，解出点的坐标，然后利用内切圆的等面积公式即可判断. 【详解】对于A，由，虚轴长为，得，， 所以，故双曲线C的方程为，故A错误； 对于B，由，则， 故，而，所以， 故，得，所以，故B正确； 对于C，由得，根据双曲线定义得． 由余弦定理可得，即， 可得，所以的面积为，故C正确； 对于D，当时，设直线MN的方程为， 联立，消去y得，， 解得，，当时，M点坐标，， ，，，， 的周长， 设的内切圆半径为r，则，解得，故D正确．    故选：BCD 4．已知为坐标原点，为双曲线的左焦点，过且斜率为的直线与在第二象限交于点，线段的中点为.若，则的离心率为 . 【答案】/ 【分析】记的右焦点为，连接,利用双曲线的性质求出的三边，代入余弦定理构造齐次式解出离心率即可. 【详解】记的右焦点为，连接, 因为线段的中点为为的中点，所以， 又因为是双曲线上一点，，所以， 由直线的斜率为，可得， 在中，由余弦定理可得， 即，整理得， 解得或（舍去），即的离心率为， 故答案为： 5．已知双曲线的左、右焦点分别为，且．过的直线与交于两点． (1)求的方程； (2)若均在的右支上，且的周长为，求的方程； (3)是否存在轴上的定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点，使得为定值. 【分析】（1）根据双曲线中的意义和关系，可求的值，得到双曲线的方程. （2）先根据双曲线的定义，求出弦的长度；设直线：，与双曲线方程联立，利用弦长公式，可求的值，即得直线方程. （3）假设存在轴上的定点，使得为定值.结合（2）中的结论，根据为定值，可求的值. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以. 所以双曲线的方程为：. （2）因为均在的右支上，且的周长为， 所以. 如图：    因为，设直线：，代入得： ， 整理得：. 设，， 因为均在的右支上，所以，且，所以， . 所以. 所以. 所以. 所以直线的方程为：，即. （3）假设存在轴上的定点，使得为定值. 因为，， 所以 . 因为为常数，所以. 此时. 所以存在点，使得为定值. 6．已知双曲线C：的离心率为2，其右焦点F到一条渐近线的距离为. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线：与双曲线C交于不同的两点A，B，且以线段为直径的圆经过点，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】(1)利用已知条件及，可求得双曲线方程； (2)以线段为直径的圆经过点转化为，再联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理得到，可得到直线过的定点. 【详解】（1）因为双曲线的右焦点为，渐近线方程为， 所以右焦点为到渐近线的距离为， 因为双曲线的离心率为，所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为． （2）如图， 设，， 联立，得， 则，，， 所以， ， 因为以线段为直径的圆经过点，所以， 所以，即， 所以， 化简得，即， 因为，，所以， 所以直线的方程为， 所以直线过定点. 期中综合拓展练（测试时间：35分钟） 1．已知双曲线的离心率，是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线上异于的动点，直线的斜率分别为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一，由双曲线的第三定义可求；方法二，由离心率得，再由点差法和斜率公式可求. 【详解】方法一，  由双曲线的性质可得，且，． 方法二，  由题易知解得，双曲线的方程为． 由题知关于坐标原点对称，设，，， 由得． 直线的斜率分别为，且， ，，， ． 2．已知椭圆和双曲线有相同的焦点为两曲线在第一象限的交点，分别为曲线的离心率.若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据椭圆、双曲线的定义，结合三角形的相似，探索的关系，再利用基本不等式求的最小值. 【详解】如图： 根据椭圆和双曲线的定义，可得. 又，，所以∽. 所以. 又，， 所以， 当且仅当，即时取“”. 故选：C 3．（多选）已知分别为双曲线的左、右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为，点为在第一象限上的点，点的坐标为，为的平分线．则下列正确的是（   ） A．双曲线的方程为 B． C． D．点到轴的距离为 【答案】BD 【分析】利用点到直线的距离公式结合题意建立方程，求解基本量，进而得到双曲线方程判断A，作出符合题意的图形，利用角平分线定理判断B，结合题意与双曲线定义得到，，再利用余弦定理求出，利用向量中线定理得到，再结合向量数量积的定义求出，最后求解判断C，先点到轴的距离，再利用等面积公式建立方程求解距离判断D即可. 【详解】对于A，因为，， 设到的距离为，由点到直线的距离公式得， 由题意得到的距离为，得到，解得， 又渐近线方程为，则，而， 联立方程组，解得， 则双曲线的方程为，故A错误． 对于B，如图，作出符合题意的图形，    因为为的平分线，所以由角平分线定理得2，故B正确， 对于C，由已知得，由双曲线定义可得， 而为在第一象限的点，可得， 则，解得，，而， 在中，由余弦定理得， 因为是的中点，所以， 则，可得， 而， 可得，解得，故C错误， 对于D，在中，由同角三角函数的基本关系得， 设点到轴的距离为，由等面积公式得， 得到，解得，故D正确． 故选：BD 4．双曲线，渐近线方程为，焦距为，设直线与交于两点. (1)求双曲线的方程； (2)若且，求的值； (3)若，过分别作双曲线的切线，且相交于点，求点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，利用双曲线的几何性质，列出方程组，求得的值，即可得到曲线的方程； （2）由，得到直线方程为，联立方程组，利用，求得或，再由弦长公式，列出方程，求得的值； （3）设，设处的切线方程为，联立方程组，根据，求得，得到在处的切线方程，同理得到在处的切线方程，结合为两切线的交点，得到都在上，结合恒过定点，求得，即可得到答案. 【详解】（1）解：由双曲线，渐近线方程为，焦距为， 可得，解得：，所以双曲线的方程为. （2）解：因为，所以直线方程为， 联立方程组，整理得， 由，解得或， 设，可得， 又由， 可得， 整理得，解得，此时满足，所以. （3）解：设 设在处的切线方程为，且， 代入，可得， 令，整理得， 解关于的二次方程，其中， 则，所以曲线在处的切线方程为， 又因为，所以在点处的切线方程为， 同理可得，曲线在处的切线方程为， 因为为两切线的交点，则满足， 即都在直线上， 又因为，可得都在直线上， 因为恒过定点，可得，解得， 综上可得，点的轨迹方程为. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $