精品解析：甘肃庆阳市宁县第一中2025-2026学年高一第二学期期末考试数学试题

甘肃庆阳市宁县第一中2025-2026学年高一第二学期期末考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接由复数的除法运算即可得解. 【详解】由题意有. 故选：B． 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 3. 已知随机事件互斥，且，，则等于（ ） A. B. 0.4 C. 0.5 D. 0.7 【答案】D 【解析】 【分析】因为和互斥，由求出，再由，可得到答案. 【详解】因为和互斥， 所以， 又，所以， 因为， 所以. 故选：D. 4. 从1，2，3，4这4个数中随机选取2个数，则选取的2个数之积大于4的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接由列举法计算古典概型概率. 【详解】该试验的样本空间为，共包含6个样本点， “选取的2个数之积大于4”对应的事件为，含有3个样本点， 所以选取的2个数之积大于4的概率为． 故选：C. 5. 在等腰中，，，则的值为（ ） A. B. -2 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据余弦定理得， 由，得. 6. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为（    ）（单位：米） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在中，由正弦定理求出BC，进而在直角三角形中求得答案即可. 【详解】由题意，在中，， 由正弦定理可知. 在中，， 于是. 故选：D 7. 如图，某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，现需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是（ ） A. 640元 B. 512元 C. 390元 D. 347.5元 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据已知条件求出侧面的高，然后求出侧面的面积，然后求出该四棱台的总的表面积，进而可求出该零部件的防腐处理费用. 【详解】因为正四棱台中，，高为8cm， 则侧面的斜高为. 所以. 所以该四棱台的表面积为， 又每平方厘米的防腐处理费用为0.5元， 所以该部件的防腐处理费用是元. 故选：B. 8. 在中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，若则面积的最大值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用正弦定理以及两角和差的正弦公式得出，再利用余弦定理和同角关系得出，最后结合面积公式和一元二次函数求最值. 【详解】由以及正弦定理得， 即， 所以，即，所以， 因为，所以， 所以， 所以， 等号成立时， 故面积的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数和，则（ ） A. B. C. D. 在复平面对应的点在第二象限 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数模的公式、运算法则、共轭复数的定义、复数对应的点判断各选项即可. 【详解】由，，则，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，在复平面上对应的点为，在第四象限，故D错误． 故选：AC. 10. 已知甲运动员的投篮命中率是0.8，乙运动员的投篮命中率是0.9，甲､乙投篮互不影响.若两人各投篮一次，则（ ） A. 都没有命中的概率是0.02 B. 都命中的概率是0.72 C. 至少一人命中的概率是0.94 D. 恰有一人命中的概率是0.18 【答案】AB 【解析】 【分析】由对立事件的概率计算甲乙不中的概率，利用独立事件的概率求解判断选项，；利用对立事件的求解判断选项；甲中乙不中和甲不中乙中两种情况求解可判断选项. 【详解】都没有命中的概率为，正确； 都命中的概率为，正确； 至少一人命中的概率为，错误； 恰有一人命中的概率为，错误. 故选：. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（ ） A. 存在点Q，使平面MBN B. 不存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 C. 三棱锥的体积是定值，为 D. 经过C，M，B，N四点的球的表面积 【答案】AC 【解析】 【分析】利用立体几何点线面的位置关系及求体积表面积知识对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A，若点是的中点，则， 又因为,所以. 因为面,面 所以面.故选项A正确. 对于选项B，当点与重合，此时，, 又因为，所以 故四点共面，所以选项B不正确. 对于选项C，因为到面的距离即为正方体的棱长，且. 所以.故选项C正确. 对于选项D，设分别为和的中点，则经过四点的球即为 长方体的外接球. 因为该长方体的长宽高分别为.所以. 所以.故选项D不正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 棱长为4的正方体的内切球的体积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】正方体内切球的直径即为正方体的棱长，再由体积公式计算． 【详解】由题意球半径为2，体积为． 故答案为： 13. 函数的值域是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用整体法求值域. 【详解】 ， 又， . 的值域为. 故答案为： 14. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理边角互化可得，即可利用余弦定理求解. 【详解】根据正弦定理由可得， 又，所以， 故, 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）若，求的值； （2）若，求的值； （3）若，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 因为，所以 ，解得. 【小问2详解】 因为，所以 ，解得. 【小问3详解】 ，，. 因为，所以，解得， 所以. 16. 如图，四棱锥中，，，在底面中，，，且，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成的角的余弦值. 【答案】（1） 取的中点为，连接，如下图所示： 在中，为的中点，的中点为，则，且； 由已知，可得且， 所以四边形为平行四边形，可得， 易知平面，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，易证明四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得结论； （2）作出异面直线与所成角的平面角，再由余弦定理可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点为，连接， 所以，且，可得四边形为平行四边形， 即，所以（或其补角）即为异面直线与所成的角， 由可得，由勾股定理可得， 所以； 即可得异面直线与所成的角的余弦值为. 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，． （1）求角B的大小； （2）若的外接圆半径，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理即可求解； （2）由正弦定理求得，结合以及求得，再结合三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 又，所以． 【小问2详解】 由正弦定理，得，又，所以． 因为，所以， 由，得，所以，，又，所以． 所以的面积为． 18. 某校为了提高学生的反诈骗意识，举办了反诈骗知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值 （2）估计所抽取的100份成绩的平均数与中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）用分层抽样的方法从和两个区间共抽取出4名学生，再从这4名学生中随机抽取2名学生进行交流分享，求这2名交流分享的学生成绩均在区间的概率； 【答案】（1） （2）平均数为74分，中位数75 （3） 【解析】 【分析】（1）利用所有长方形的面积之和是1求出即可； （2）利用平均数和中位数的求法直接求出； （3）利用分层抽样抽取4人，然后再利用超几何分布求出概率, 【小问1详解】 由频率分布直方图的性质，可得，解得; 【小问2详解】 样本成绩的平均数为：分; ，，的频率之和为0.35，所以中位数在之间，设中位数为x，则，得; 【小问3详解】 由频率分布直方图知，样本答卷成绩在的频率为，答卷成绩在的频率为，所以样本答卷成绩在和的人数比为3∶1，即从答卷成绩在和中分别抽取3人和1人, 记为A，B，C，，从这4人中随机抽取2名依次交流，则样本空间为： ，共有6种情形，即, 设事件“2名进行交流分享的学生成绩均在区间”，则事件，共有3种，即， 由古典概型的概率计算公式，可得， 所以2名进行交流分享的学生成绩均在区间的概率为. 19. 已知四面体中，和都是边长为4的正三角形，，点为中点，连接、. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）过点作平面平行于直线，平面与四面体的棱，分别交于点，，求四面体体积的取值范围. 【答案】（1）因为和都是边长为4的正三角形， 且点为中点，所以，， 而，面，可得平面， 而平面，所以平面⊥平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定得到平面，再结合面面垂直的判定定理求解即可. （2）利用等体积法求出点面距离，构造线面角，再结合同角三角函数的基本关系求解即可. （3）利用面面平行并结合相似的性质得到，再结合面面垂直的性质得到平面，最后利用棱锥的体积公式求解出解析式，最后结合二次函数性质得到范围即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 设点到平面的距离为， 由（1）知平面，且是边长为的等边三角形. 所以， 而， ，， 代入得到，解得， 设直线与平面所成角为. 则，即为所求. 【小问3详解】 作出符合题意的图形， 由题意得平面平面，平面，故， 设，且，， 由题意得，则，得到， 由已知得，而，设，则， 由相似性质得，则，， 可得， 过在平面内，作，则由（1）知平面平面， 而面，可得平面，故为到平面的距离， 因为是边长为的正三角形，所以， 则， 令，由二次函数性质得当时，取得最大值， 而，则取得最大值， 当时，可得，当时，可得，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃庆阳市宁县第一中2025-2026学年高一第二学期期末考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知随机事件互斥，且，，则等于（ ） A. B. 0.4 C. 0.5 D. 0.7 4. 从1，2，3，4这4个数中随机选取2个数，则选取的2个数之积大于4的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 在等腰中，，，则的值为（ ） A. B. -2 C. 2 D. 6. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为（    ）（单位：米） A. B. C. D. 7. 如图，某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，现需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是（ ） A. 640元 B. 512元 C. 390元 D. 347.5元 8. 在中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，若则面积的最大值为（ ） A. B. C. 3 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数和，则（ ） A. B. C. D. 在复平面对应的点在第二象限 10. 已知甲运动员的投篮命中率是0.8，乙运动员的投篮命中率是0.9，甲､乙投篮互不影响.若两人各投篮一次，则（ ） A. 都没有命中的概率是0.02 B. 都命中的概率是0.72 C. 至少一人命中的概率是0.94 D. 恰有一人命中的概率是0.18 11. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（ ） A. 存在点Q，使平面MBN B. 不存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 C. 三棱锥的体积是定值，为 D. 经过C，M，B，N四点的球的表面积 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 棱长为4的正方体的内切球的体积为______． 13. 函数的值域是______． 14. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）若，求的值； （2）若，求的值； （3）若，求. 16. 如图，四棱锥中，，，在底面中，，，且，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成的角的余弦值. 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，． （1）求角B的大小； （2）若的外接圆半径，求的面积． 18. 某校为了提高学生的反诈骗意识，举办了反诈骗知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值 （2）估计所抽取的100份成绩的平均数与中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）用分层抽样的方法从和两个区间共抽取出4名学生，再从这4名学生中随机抽取2名学生进行交流分享，求这2名交流分享的学生成绩均在区间的概率； 19. 已知四面体中，和都是边长为4的正三角形，，点为中点，连接、. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）过点作平面平行于直线，平面与四面体的棱，分别交于点，，求四面体体积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $