5.2二次函数的图象第3课时（教学课件）数学新教材北师大版九年级上册

第五章 二次函数 5.2 二次函数的图象 第3课时 学 习 目 标 1.能够画出二次函数y＝a(x－h)2的图象，并能理解它的性质；(重点) 2.探索二次函数y＝a(x－h)2与二次函数y＝ax2的图象的关系，理解抛物线的平移规律.（难点） 知识回顾 a,c的符号 a>0,c>0 a>0,c<0 a<0,c>0 a<0,c<0 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 向上 向下 y轴（直线x=0） y轴（直线x=0） （0,c） （0,c） 当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大. 当x<0时，y随x增大而增大； 当x>0时，y随x增大而减小. x=0时，y最小值=c x=0时，y最大值=c 问题：说说二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的特征. 情境引入 我们已经学习过二次函数y＝ax2＋c的图象可以由函数y＝ax2的图象经过上下平移得到.那么如果将函数y＝ax2的图象左右平移呢？它左右平移后又会得到怎样的函数形式，它又有哪些性质呢？ 二次函数y＝a(x－h)2的图象有什么特征？它与二次函数y＝ax2的图象有什么关系？比如，二次函数y＝2（x-1）2的图象与二次函数y＝2x2的图象有什么关系呢？本节课我们将继续研究有关问题． x y O －2 2 2 4 6 4 －4 8 y＝2x2 新知探究 探究：二次函数y=a（x-h）2的图象和性质 x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … y＝2x2 … … y＝2(x－1)2 … … 32 18 8 2 0 2 8 18 32 50 32 18 8 2 0 2 8 18 画出二次函数y＝2(x－1)2的图象． （1）完成下表，你能发现2(x－1)2与2x2的值有什么关系？ 由表格知二次函数y＝2x2中自变量x每取一个确定的值，所得到的函数值与自变量由原来的x增加1后对应的二次函数y＝2(x－1)2的函数值相等. O x y 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 –5 –4 –3 –2 –1 –3 –2 –1 y=2x2 你是怎么画的，与同伴进行交流. （2）在图中画出二次函数y=2(x－1)2的图象. 新知探究 画出二次函数y=2(x－1)2的图象如图所示. 画法一：可采用二次函数图象的通常画法，即经过列表、描点、连线三个步骤. 画法二：将二次函数y＝2x2的图象向右平移1个单位长度即可得到二次函数y=2(x－1)2的图象. y=2(x–1)2 向右平移1个单位长度 新知探究 (3)二次函数y=2(x-1)2 的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？ 二次函数y=2(x-1)²与y=2x2的图象形状相同，开口方向也相同，只要将二次函数y＝2x2的图象向右平移1个单位长度，就可以得到二次函数y=2(x－1)2的图象. O x y 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 –5 –4 –3 –2 –1 –3 –2 –1 y=2x2 y=2(x–1)2 y=2(x－1)2的图象开口向上，对称轴是直线x=1，顶点坐标是(1,0). x=1 O x y 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 –5 –4 –3 –2 –1 –3 –2 –1 y=2x2 y=2(x–1)2 x=1 新知探究 抛物线 增减性 y=2x² y=2(x-1)² 当x＜0时，y随x的增大而减小； 当x＞0时，y随x的增大而增大. 当x＜1时，y随x的增大而减小； 当x＞1时，y随x的增大而增大. (4)二次函数y=2(x-1)2中，当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？ (1)画出二次函数y=2(x-2)²的图象，它与二次函数y=2x²的图象有什么相同之处和不同之处？ O x y 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 –5 –4 –3 –2 –1 –3 –2 –1 y=2x2 新知探究 y=2(x–2)2 x=2 二次函数y=2(x-2)²与y=2x2的图象形状相同，开口方向也相同，都向上，但对称轴和顶点坐标不同. 新知探究 (2)你能由二次函数y=2x²的图象分别得到二次函数y=2(x+1)²和y=2(x+2)²的图象吗？你是怎么做的？ O x y 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 –5 –4 –3 –2 –1 –3 –2 –1 y=2x2 y=2(x+2)2 x=-2 y=2(x+1)2 x=-1 由二次函数y=2x2 的图象向左平移1个单位就得到二次函数y=2(x+1)² 的图象. 由二次函数y=2x2 的图象向左平移2个单位就得到二次函数y=2(x+2)² 的图象. 新知探究 (3)二次函数y＝a(x－h)2的图象是什么形状？其中的h对图象有什么影响？与同伴进行交流. 二次函数y＝a(x－h)2的图象是一条抛物线. 当h＞0时，抛物线的对称轴在y轴的右侧；当h＜0时，抛物线的对称轴在y轴的左侧. 新知探究 二次函数y=a（x-h)2的图象与y=ax2 的图象的关系 知识归纳 当h>0时，向右平移h个单位 (1)二次函数y＝a(x－h)2与y=ax2 的图象的形状相同，只是位置不同. (2)二次函数y＝a(x－h)2可由二次函数y=ax2 的图象向左或向右平移得到.具体如下： y=ax2 y=a(x-h)2 当h＜0时，向左平移个单位 左右平移规律：括号内左加右减；括号外不变. 新知探究 1. 将二次函数y＝－5x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－5(x＋3)2的图象，平移的方法是(　　) A．向上平移3个单位　　B．向下平移3个单位 C．向左平移3个单位　　D．向右平移3个单位 C 新知探究 二次函数 y=a(x-h)2的性质 知识归纳 y=a(x-h)2 开口 对称轴 顶点 最值 增减性 x>h x<h a>0 a<0 向上 x=h (h,0) y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 当x=h时， ymin=0 向下 x=h (h,0) 当x=h时， ymax=0 y随x的增大而减小 y随x的增大而增大 新知探究 2.对于抛物线的说法错误的是（ ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标是（2，0） C．抛物线的对称轴是直线x=2 D．当x＞2时，y随x的增大而增大 D 已知抛物线y=a(x-h)2的对称轴为x=-1，且过点(2,-3). (1)求抛物线的解析式； (2)画出函数的图象； (3)从图象上观察，当x取何值时，y随x的增大 而增大?当x取何值时，函数有最大值(或最小值)? 例1 x y O 典例分析 解:(1)∵抛物线y=a(x-h)2的对称轴为x=-1，且过点(2,-3). ∴ h=-1 -3=a(2-h)2 解得 ∴y=(x+1)2. (2)函数的图象如图所示. (3)当x＜-1时，y随x的增大而增大； 当x=-1时，函数有最大值0. x=-1 y=-(x+1)2 典例分析 如图，已知抛物线y＝(x－2)2的顶点为C，直线y＝2x＋4与抛物线交于A、B两点，试求S△ABC. 例2 解：抛物线y＝(x－2)2的顶点C的坐标为(2，0)， 联立两函数的解析式，得 解得 所以点A的坐标为(6，16)，点B的坐标为(0，4)． 如图，过A作AD⊥x轴，垂足为D， 则S△ABC＝S梯形ABOD－S△ACD－S△BOC ＝(OB＋AD)·OD－OC·OB－CD·AD ＝(4＋16)×6－×2×4－×4×16＝24. 3.二次函数y=2(x-2)2的大致图象是( ) A. B. C. D. 巩固练习 1.抛物线y=-5(x-2)2的顶点坐标是( ) A.(-2,0) B.(2,0) C.(0,-2) D.(0,2) B 2.二次函数y=-(x+1)2的最大值是( ) A.-2 B.-1 C.1 D.0 D B 巩固练习 5.将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图象，平移的方法是(　　) A.向上平移1个单位　　 B.向下平移1个单位  C.向左平移1个单位　　 D.向右平移1个单位 C 6.顶点为(－2，0)，开口方向、形状与函数y＝－x2的图象相同的抛物线的解析式为(　　) A.y＝(x－2)2 B.y＝(x+2)2 C.y＝－(x+2)2 D.y＝－(x－2)2 C 4.将抛物线y＝-3x2向左平移4个单位长度,所得到抛物线的表达式为(　　) A.y＝-3(x＋4)2　　 B.y＝-3(x-4)2  C.y＝-3x2＋4　　 D.y＝-3x2-4 A 巩固练习 7.若抛物线y＝3(x＋)2的图象上的三个点，A(－3，y1)，B(－1，y2)，C(0，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为________________． y2＜y3＜y1 8.已知二次函数y=-(x+h)2，当x<-2时，y的值随着x值的增大而增大，当x>-2时，y的值随着x值的增大而减小，当x=0时，y的值为 . -4 9.将抛物线y＝-(x＋2)2向______平移______个单位长度，得到抛物线y＝-(x-1)2． 右 3 巩固练习 10.已知抛物线y=a(x-h)2的对称轴是直线x=-2，且过点(1,-3). (1)抛物线的表达式为 . (2)抛物线的顶点坐标为 . (3)当x在什么范围内时，y随x的增大而减小?当x取何值时，函数有最大(或最小)值? y=-(x+ 2)2 (-2,0) 解:(3)∵，对称轴为直线x=-2, ∴抛物线的开口向下，当x>-2时，y随x的增大而减小. ∵抛物线的顶点坐标为(-2,0)，且< 0, ∴当x=-2时，函数有最大值. x y O 11.已知二次函数y=-(x-2)2. (1)画出函数图象，确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； (2)求当0≤x≤3时，y的取值范围. 巩固练习 x=2 -2 y=-(x-2)2 解:(1)函数图象如图所示. 开口向下，顶点坐标为（2，0），对称轴为直线x=2. (2)∵二次函数y=-(x-2)2的对称轴为直线x=2， 又∵0≤x≤3, ∴当x=2时，ymax=0，当x=0时，ymin=-(0-2)2=-2. 当a＞0时:开口向上,对称轴为直线x=h，顶点为(h,0).当x=h时，ymin=0.x＞h时,y随x的增大而增大,x＜h时,y随x的增大而减小. 课堂小结 二次函数的图象-第3课时 二次函数y=a(x-h)2的性质 二次函数y=a(x-h)2与y=ax2 的图象的关系 当a＜0时:开口向下,对称轴为直线x=h，顶点为(h,0).当x=h时，ymax=0.x＞h时,y随x的增大而减小,x＜h时,y随x的增大而增大. 作业布置 1.必做题：随堂练习第1题。 2.探究性作业：习题5.2第4题。 感谢聆听! $