5.3.1 实物抛物线问题 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

实物抛物线问题 5 北师版九年级上册 1 复习导入 对称轴： 最值： 顶点坐标： y = ax2 + bx + c 二次函数： ？ (a，b，c 是常数，a ≠ 0) 探究新知 一名学生推铅球时， 铅球运动的高度 y（单位：m）是向前运动的水平距离 x（单位：m）的二次函数，其中（4，3）是图象的顶点，你能求出这个二次函数的表达式吗？ 解：根据图象是一条抛物线且顶点坐标为（4，3），因此设它的关系式为 y = a(x－4)2 + 3 又因为图象过点（10，0） 所以a(10－4)2 + 3 = 0 例1 如图，某球员在罚球线处投篮，球从点 A 处出手，恰好经过篮圈中心 B。 已知球出手的位置 A 到地面的距离为 2.25 m，到篮圈中心 B 的水平距离为 4 m， 篮圈中心 B 到地面的距离为 3.05 m。 建立如图所示的平面直角坐标系后，这位球员所投球的运动路线是抛物线 y = ax2 + c （－3 ≤ x ≤ 1）。求这条抛物线的表达式和球运动的最大高度。 O x/m y/m 3 A ：（－3，2.25） B ：（1，3.05） 4－3 = 1 平面直角坐标系的 y 轴经过抛物线的顶点 “顶点式” 设抛物线的表达式为： y = ax2 + c 6 O x/m y/m 3 O x/m y/m 3 4－3 = 1 解：由题意可知，这条抛物线经过点 A（－3，2.25），B（1，3.05）。将这两个点的坐标分别代入表达式 y = ax2 + c，得 2.25 = 9a + c， 3.05 = a + c。 解这个方程组，得 a = －0.1， c = 3.15。 所以，这条抛物线的表达式为 y = －0.1x2 + 3.15。 7 所以，这条抛物线的表达式为 y = －0.1x2 + 3.15。 O x/m y/m 3 O x/m y/m 3 4－3 = 1 a = －0.1 ＜ 0， 当 x = 0 时，y 取得最大值， y最大 = 3.15。 因此，球运动的最大高度是 3.15 m。 （1）二次函数的图象与 y 轴交点的纵坐标为 1，且经过点（2，5）和（－2，13），求这个二次函数的表达式。 思考·交流 解：因为抛物线与 y 轴交点纵坐标为 1，所以可设抛物线关系式为 y = ax2 + bx + 1，则可得： 5 = 4a + 2b + 1， 13 = 4a－2b + 1， 解得 a = 2， b = －2。 所以二次函数表达式为 y = 2x2－2x + 1。 解法一 9 （1）二次函数的图象与 y 轴交点的纵坐标为 1，且经过点（2，5）和（－2，13），求这个二次函数的表达式。 思考·交流 解：设二次函数的表达式为 y = ax2 + bx + c，由题意得 1 = c， 5 = 4a + 2b + c， 13 = 4a－2b + c。 解这个方程组，得 a = 2， c = 1。 b = －2， 所以二次函数表达式为 y = 2x2－2x + 1。 解法二 已知二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的表达式。 除了用“一般式”还有其他的方法吗？ 如果已知二次函数的图象与 x 轴的两个交点坐标分别为( x1，0 )， ( x2，0)。 那么可设二次函数的表达式为：y = a(x－x1)(x－x2) 再将另一个已知点的坐标带入，解方程求出 a 的值即可。 交点式 解：设二次函数的表达式为 y = a(x + 1)(x－3)。 将 (0，－3) 代入，可得 a(0＋1) (0－3) =－3 解得 a = 1 所以二次函数表达式为 y = (x＋1)(x－3) = x2－2x－3。 交点式 （2）确定二次函数的表达式需要几个条件？与同伴进行交流。 思考·交流 选用表达式的形式 已知条件 顶点式 y = a（x－h）2 + k（a ≠ 0） 一般式 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 交点式 y = a(x－x1) (x－x2) (a ≠ 0) 2 个 顶点和另一点的坐标 二次函数各项系数中的一个和两点的坐标 抛物线与 x 轴的两交点坐标和另一点的坐标 3 个 3 个 14 达标检测 已知二次函数图象的顶点坐标是（－1，1），且经过点（1，－3），求这个二次函数的表达式。 【选自教材P142 随堂练习 T1】 解：因为二次函数的顶点坐标是（－1，1）， 设这个二次函数的表达式为 y = a（x + 1）2 + 1， 将点（1，－3）代入 y = a（x + 1）2 + 1 中，得 －3 = a（1 + 1）2 + 1， 解得：a = －1 即，这个二次函数的表达式为 y = －（x + 1）2 + 1 = －x2－2x。 （1）已知二次函数 y = x2 + bx + c 的图象经过点（1，1）和（2，3），求这个二次函数的表达式； 解：因为二次函数 y = x2 + bx + c 的图象经过（1，1）与（2，3）两点， 所以 所以这个二次函数的表达式为 y = x2－x + 1。 【选自教材P142 随堂练习 T2】 1 + b + c = 1， 4 + 2b + c = 3， 解得 b = －1， c = 1。 （2）请你更换第（1）题中的部分已知条件，重新编制一道求二次函数 y = x2 + bx + c 表达式的题目，使所求得的二次函数表达式与第（1）题相同。 【选自教材P142 随堂练习 T2】 答案不唯一。例如： 已知二次函数 y = x2 + bx + c 的图象过（0，1）和（3，7）两点，求这个函数的表达式。 已知二次函数 y = x2 + bx + c 的顶点坐标是 ，且图象经过点（2，2），求这个函数的表达式。 课堂小结 选用表达式的形式 已知条件 顶点式 y = a（x－h）2 + k（a ≠ 0） 一般式 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 交点式 y = a(x－x1) (x－x2) (a ≠ 0) 顶点和另一点的坐标 二次函数各项系数中的一个和两点的坐标 抛物线与 x 轴的两交点坐标和另一点的坐标 完成练习册本课时的习题。 课后作业 $