专题13 轴对称综合典型问题 讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题13 轴对称综合典型问题 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01 线段问题（轴对称综合题） 题型02 面积问题（轴对称综合题） 题型03 角度问题（轴对称综合题） 题型04 其他问题（轴对称综合题） 题型05 作等腰三角形(尺规作图） 题型06 等腰三角形的性质和判定 题型07 大（小）边对大(小)角定理 题型08 找出图中的等腰三角形 题型09 根据等校对等边证明边相等 题型10 根据等角对等边求边长 题型11 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 题型12 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 题型13 等边三角形的判定和性质 题型14 含30度角的直角三角形 题型15 最短路径问题 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点01：等腰三角形的性质和判定 1.等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 3.等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 【针对训练】 例1．如图，为斜边上的高，的平分线分别交，于点E、F，，垂足为点G． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 【变式训练】将沿折叠，使点刚好落在边上的点处． (1)在图1中，若，，，求； (2)在图2中，若， ①求证：． ②若，求的度数． 知识点02：等边三角形及其性质和判定 1.等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 3. 等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【针对训练】 例2．已知：如图，D、E分别是等边三角形两边、上的点，连接、，与交于点O，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】如图，在等边三角形中，点分别在边和边上（点不与点重合，点不与点重合），且． (1)判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)求证：是等腰三角形； (3)若是锐角三角形，请直接写出度数的取值范围． 知识点03：含30°角的直角三角形的性质 1. 含30°角的直角三角形的性质： 30°角所对的直角边等于斜边的一半。 证明如下： 如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC。证明BD＝ ∵△ABC是等边三角形 ∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°。 ∵AD⊥BC ∴AD平分∠BAC，∠BAD＝∠CAD＝30° BD＝CD＝BC ∴BD＝AB 【针对训练】 例3．如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，下列说法：①；②；③；④；⑤．其正确的有 ． 【变式训练】已知，在等边△中，、分别为、边上的点，，连接、相交于点． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点作于，若，求证：． 知识点04：最短路径问题 1.垂直线段最短问题 动点所在的直线已知型 方法技巧：一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短。 2.将军饮马问题 方法技巧：定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值． ①两定一动 ②一定两动 ③两定两动 【针对训练】 例4．唐诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，隐含了一个有趣的数学问题——“将军怎样走才能使总路程最短”？如图，在平面直角坐标系中，将军从出发，先到山脉m的任意位置望烽火，再到河岸n的任意位置饮马后返回到A点，且m与n的夹角为，则将军所走的最短总路程为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【变式训练】如图，在等边中，D为中点，点P，Q分别为上的点，，，在上有一动点E，则的最小值为 ． 典例精析 题型01 线段问题（轴对称综合题） 【典例】如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： (1)画出（顶点均在格点上）关于直线对称的； (2)的面积是 ； (3)在上画出点，使的值最小．（保留作图痕迹） 题型02 面积问题（轴对称综合题） 【典例】如图，在直角坐标系中，，，． (1)在平面直角坐标系中描点，画出；并作出关于轴对称的图形； (2)求的面积； (3)设点在轴上，且与的面积相等，直接写出点的坐标． 题型03 角度问题（轴对称综合题） 【典例】如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在小正方形网格的格点上． (1)画出关于轴的对称图形（点、、的对应点分别为，，）； (2)画，点在第二象限内的格点上，且，画出所有符合条件的图形，并写出点的坐标． 题型04 其他问题（轴对称综合题） 【典例】如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题． (1)画出格点关于直线对称的； (2)请用无刻度的直尺和圆规作中边上的高；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在上画出点P，使最小． 题型05 作等腰三角形(尺规作图） 【典例】尺规作图： (1)如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图中作出表示它位置的点． (2)已知等腰三角形腰长为a，腰上的高的长为h，求作这个等腰三角形． 题型06 等腰三角形的性质和判定 【典例】如图，为斜边上的高，的平分线分别交，于点E、F，，垂足为点G． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 题型07 大（小）边对大(小)角定理 【典例】如图，在中，，，以为圆心、任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以、为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，给出下列说法：①是的平分线：②；③点在的垂直平分线上；④点是线段的中点． 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 题型08 找出图中的等腰三角形 【典例】图①、图②、图③均是（的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，在给定的网格中按下列要求画图． (1)在图①中画一个，使它与全等； (2)在图②中画一个，使它与全等； (3)在图③中画一个，使是等腰三角形且为钝角三角形． 题型09 根据等校对等边证明边相等 【典例】如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨80米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长150米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（  ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型10 根据等角对等边求边长 【典例】某市一座老式桥梁需进行加固改造，工程师对主梁结构进行了分析，如图，为主梁框架，是桥墩支撑角度的2倍，即，工程师计划在的角平分线处安装钢架，交底梁于点D，为确保稳定性，必须过点B焊接加固钢索，使得，分别交，于点F，E． (1)求证：加固后的是等腰三角形； (2)经测量，主梁全长为13米，关键节点间距为5米，求原始支撑段的长度． 题型11 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 【典例】如图，已知中，，，在直线取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的点P共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型12 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【典例】已知平面直角坐标系中有，两点．若在坐标轴上取点，使为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型13 等边三角形的判定和性质 【典例】已知：如图，D、E分别是等边三角形两边、上的点，连接、，与交于点O，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 题型15 最短路径问题 【典例】已知，是，两个城镇和一条河流． (1)如图1，，两个城镇在河流同一侧，现计划在河边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，在河边找出点的位置，使的值最小（保留作图痕迹）． (2)如图2，，两个城镇在河流的两侧，现计划在河流靠镇的一边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，因条件限制，铺在河流中的管道必须垂直于河边，请在河边找出点的位置，使铺设管道的总长最小（保留作图痕迹）． 1．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆．工程人员这种操作方法的依据是（     ） A．等角对等边 B．等腰三角形三线合一的性质 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 2．如图，梯子与地面的夹角，梯子上端靠墙，底端到墙角距离，则梯子的长度为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，点在边上，连接，，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．新情境如图所示的人字梯撑开后的主视图是一个等腰三角形，且，取底边的中点为，连接．已测得，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，，点E在边上，与相交于点G，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，在中，，，则的度数为________． 8．已知的三边a，b，c满足，则是___________三角形．（填“等边”“等腰”或“不等边”） 9．如图，在中，，于点，于点，于点，若，则的值为_____． 10．如图，等腰中，，，点在上．请在上确定一点，使连接后，是等边三角形． (1)写出确定点的操作过程． (2)以（1）中操作过程的描述为已知条件，证明是等边三角形． 11．如图，在等腰中，，分别以点A、点B为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点M和点N，连接，直线与交于点D，连接，则的度数是（     ） A． B． C． D． 12．学习了三角形全等的判定方法后，我们知道满足“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”（即“”）的两个三角形不一定全等．那么在和中，，，，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 13．如图所示，与均是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，连结交于点G，连结交于点F，连结，、交于点P，连结．有下列结论： ①；②；③；④．其中正确的有几个？（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．如图，在中，，以为圆心，长为半径作弧，与交于点，以为圆心，长为半径作弧，与交于点，连结，，则的度数为（     ） A． B． C． D．与的大小有关 15．如图等边中，，且垂直于点D，，则等于（     ） A． B． C． D． 16．如图，在中，，，是边上的中线，且．若、分别是、上的动点，则的最小值是（     ） A．4 B．5 C． D． 17．如图，在中，，是的中垂线，的周长为15，，则的长为______． 18．如图，在中，，P为上一点，以点P为顶点作，交于D，交于E，若，，则的长是______． 19．已知：如图，在等边中，为边上一点，且．动点从点出发沿边以每秒2个单位的速度向点运动，连接，设点运动的时间为秒．若，则的值为_____秒． 20．如图，是等边三角形，点在的延长线上，点在线段上，，与交于点，若，，则的长为_____________． 21．如图，点在的内部，且，，分别为点关于直线，的对称点，若，求的度数．    22．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．如图，已知两条公路、交于点，小明家位于点处，小刚家位于经过点垂直的公路和经过点与平行的公路的交汇处，请作出小刚家所在的位置． 23．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 24．如图，已知，平分，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若于点D，，求的度数． 25．如图，某旅游区要在景观湖的湖心小岛上修建一个度假村，需要知道景点与小岛的距离，施工人员的设计方案如下：在岸边确定点，画出，，射线交于点，只需量出线段的长，就可以知道景点与小岛的距离． (1)说明这样设计的理由； (2)实际测量时，由于在处有一堵墙阻挡了测量路线，无法直接测量出，间的距离，施工人员改进了方案，量得，，，，，求景点与小岛的距离． 26．如图，在平面直角坐标系中，且、、． (1)在图中画出线段关于y轴对称的线段，并直接写出点的坐标为 ； (2)在（1）的基础上，直接写出的面积为 ； (3)在x轴上有一条长度是1的运动线段（点M在点N左边），使得最小，请画出点M．（保留必要的画图的痕迹）． 27．在综合实践课上，李老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰纸片中，，，将一块含角的足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． (1)当时， ； (2)当等于何值时，？请说明理由； (3)在点的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 轴对称综合典型问题 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01 线段问题（轴对称综合题） 题型02 面积问题（轴对称综合题） 题型03 角度问题（轴对称综合题） 题型04 其他问题（轴对称综合题） 题型05 作等腰三角形(尺规作图） 题型06 等腰三角形的性质和判定 题型07 大（小）边对大(小)角定理 题型08 找出图中的等腰三角形 题型09 根据等校对等边证明边相等 题型10 根据等角对等边求边长 题型11 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 题型12 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 题型13 等边三角形的判定和性质 题型14 含30度角的直角三角形 题型15 最短路径问题 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点01：等腰三角形的性质和判定 1.等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 3.等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 【针对训练】 例1．如图，为斜边上的高，的平分线分别交，于点E、F，，垂足为点G． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)54 【思路引导】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和，三角形面积，熟练掌握它们的性质是解题的关键； （1）先根据角平分线的性质得出，,再证，由对顶角相等可知，故可得出，那么，由此可得出结论； （2）先证，再根据即可解答； 【规范解答】（1）证明：∵是的平分线，，， ∴，, ,, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴ ． 【变式训练】将沿折叠，使点刚好落在边上的点处． (1)在图1中，若，，，求； (2)在图2中，若， ①求证：． ②若，求的度数． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【思路引导】本题考查了折叠，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据折叠的性质可求出，即可求解； （2）根据折叠的性质可得出，，根据三角形外角的性质并结合已知可得出，则，最后根据等角对等边即可得证； ②设，则，，，根据等边对等角得出．根据折叠的性质可得出，则，根据三角形外角的性质得出，在中根据三角形内角和定理可求出，则，， 最后在中根据三角形内角和定理求解即可． 【规范解答】（1）解：由折叠性质得：， ∴， （2）①证明： 沿折叠得到， ， ．， ， ， ； ②设，则，， ， ． 折叠， ∴． ， 在中，， 解得 ，， ∴． 知识点02：等边三角形及其性质和判定 1.等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 3. 等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【针对训练】 例2．已知：如图，D、E分别是等边三角形两边、上的点，连接、，与交于点O，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，找出全等三角形是解题关键．根据等边三角形的性质证明，得到，再结合三角形外角的性质求解即可． 【规范解答】解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， 故选：B． 【变式训练】如图，在等边三角形中，点分别在边和边上（点不与点重合，点不与点重合），且． (1)判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)求证：是等腰三角形； (3)若是锐角三角形，请直接写出度数的取值范围． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）证明即可； （2）由，得到，等边三角形，得到，则，继而由等角对等边证明即可； （3）找出两个临界位置，当时，可得，则，再由互余求解，当点重合时，如图，此时，即可求解范围． 【规范解答】（1）解：，理由如下： ∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3）解：当时，如图， ∵由（2）得， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点重合时，如图，此时， ∴是锐角三角形时，． 知识点03：含30°角的直角三角形的性质 1. 含30°角的直角三角形的性质： 30°角所对的直角边等于斜边的一半。 证明如下： 如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC。证明BD＝ ∵△ABC是等边三角形 ∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°。 ∵AD⊥BC ∴AD平分∠BAC，∠BAD＝∠CAD＝30° BD＝CD＝BC ∴BD＝AB 【针对训练】 例3．如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，下列说法：①；②；③；④；⑤．其正确的有 ． 【答案】①③④ 【思路引导】本题主要考查全等三角形的判定和性质，直角三角形中所对的直角边是斜边的一半，等边三角形的判定和性质．熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．根据等边三角形的性质证明，即可得到①正确；根据直角三角形中所对的直角边是斜边的一半即可判断③正确，根据线段的和差关系即可证明④正确，无法证明，以及． 【规范解答】解： 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， ， ， ，③正确； ， ， ，故④正确； 无法证明，以及，故②和⑤错误； 故答案为：①③④． 【变式训练】已知，在等边△中，、分别为、边上的点，，连接、相交于点． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点作于，若，求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析； 【思路引导】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得出，证出，证明，则即可得解答； （2）由（1）得，由全等三角形的性质得出，AE=BD，求出，由直角三角形性质得出，证出，得出，即可得出； 【规范解答】（1）解：∵是等边三角形， ， ， ∴， ∴ ． （2）证明：由（1）得：， ，，， ， ∴， ， ∴， ． 知识点04：最短路径问题 1.垂直线段最短问题 动点所在的直线已知型 方法技巧：一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短。 2.将军饮马问题 方法技巧：定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值． ①两定一动 ②一定两动 ③两定两动 【针对训练】 例4．唐诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，隐含了一个有趣的数学问题——“将军怎样走才能使总路程最短”？如图，在平面直角坐标系中，将军从出发，先到山脉m的任意位置望烽火，再到河岸n的任意位置饮马后返回到A点，且m与n的夹角为，则将军所走的最短总路程为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【思路引导】此题考查了轴对称的性质、等边三角形的判定和性质等知识．作点A关于直线m、n的对称点D、E，连接，交m、n于B、C，则，得到的周长，此时的周长最小值为的长，再证明是等边三角形，得到即可． 【规范解答】解：作点A关于直线m、n的对称点D、E，连接，交m、n于B、C，则， ∴的周长， ∴此时的周长最小值为的长， 则：， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即的周长最小值为， 故选：A． 【变式训练】如图，在等边中，D为中点，点P，Q分别为上的点，，，在上有一动点E，则的最小值为 ． 【答案】7 【思路引导】本题考查轴对称-最短路线问题，等边三角形的判定与性质， 作点Q关于的对称点，连接交于E，连接，此时的值最小，最小值，求出即可，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题． 【规范解答】解：∵是等边三角形， ∴， ∵D为中点， ∴， ∵， ∴， 如图，作点Q关于的对称点，连接，则， 当点P，E，共线时，最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 典例精析 题型01 线段问题（轴对称综合题） 【典例】如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： (1)画出（顶点均在格点上）关于直线对称的； (2)的面积是 ； (3)在上画出点，使的值最小．（保留作图痕迹） 【答案】(1)画图见解析 (2)4 (3)作图见解析 【思路引导】本题考查了画轴对称图形，轴对称最短问题，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）利用三角形面积公式求三角形的面积． （3）关于作点C的对称点，连接，交于点P，此时点P即为所求． 【规范解答】（1）解：如图所示：即为所求， （2）, 故答案为：4. （3）如图所示：点P即为所求； 题型02 面积问题（轴对称综合题） 【典例】如图，在直角坐标系中，，，． (1)在平面直角坐标系中描点，画出；并作出关于轴对称的图形； (2)求的面积； (3)设点在轴上，且与的面积相等，直接写出点的坐标． 【答案】(1)图形见解析 (2) (3)或 【思路引导】本题主要考查了作图-轴对称变换，平面直角坐标系中点的坐标的特征，三角形的面积等知识，注意点的位置有两个是解题的关键． （1）根据点的坐标找到位置即可；根据轴对称的性质，画出； （2）用矩形面积减去三个三角形面积即可； （3）根据的面积，求出的长即可解决问题． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求；即为所求． （2）； （3）当点在轴上时，的面积， 即， 解得：． 点的坐标为或． 题型03 角度问题（轴对称综合题） 【典例】如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在小正方形网格的格点上． (1)画出关于轴的对称图形（点、、的对应点分别为，，）； (2)画，点在第二象限内的格点上，且，画出所有符合条件的图形，并写出点的坐标． 【答案】(1)作图见解析； (2)或． 【思路引导】（）根据题意，确定，，的位置，然后顺次连接即可； （）根据网格及等腰直角三角形的性质作图即可； 此题考查了轴对称图形的作法及等腰三角形的定义，理解题意，结合图形求解是解题的关键． 【规范解答】（1）根据题意，确定，，，的位置如图所示，然后顺次连接， ∴即为所求； （2）取，连接，， ∵为小正方形的对角线， ∴； 取，连接，， 由图得，， ∴， ∴点的坐标为或． 题型04 其他问题（轴对称综合题） 【典例】如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题． (1)画出格点关于直线对称的； (2)请用无刻度的直尺和圆规作中边上的高；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在上画出点P，使最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】本题主要考查了轴对称作图，尺规作图—作垂线，熟练掌握相关性质和作图步骤是解题的关键． （1）先画出点A、B、C关于对称的对应点，再依次连接即可； （2）以点C为圆心，长为半径画弧，交于一点，再以该点和点B为圆心，大于该点到点B距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，连接点C和两弧交点，交于点H，即为所求； （3）连接A、，与的交点即为所求点P． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，点P即为所求． 题型05 作等腰三角形(尺规作图） 【典例】尺规作图： (1)如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图中作出表示它位置的点． (2)已知等腰三角形腰长为a，腰上的高的长为h，求作这个等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查作图--应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）作平分，垂直平分线段，射线交于点P，点P即为所求； （2）作于点D，在射线上截取线段，以A为圆心，a为半径作弧交直线于点B，C，连接，即为所求． 【规范解答】（1）解：如图1中，点P即为所求； （2）如图2中，即为所求． 由作图可知：， 故即为所求． 题型06 等腰三角形的性质和判定 【典例】如图，为斜边上的高，的平分线分别交，于点E、F，，垂足为点G． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)54 【思路引导】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和，三角形面积，熟练掌握它们的性质是解题的关键； （1）先根据角平分线的性质得出，,再证，由对顶角相等可知，故可得出，那么，由此可得出结论； （2）先证，再根据即可解答； 【规范解答】（1）证明：∵是的平分线，，， ∴，, ,, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴ ． 题型07 大（小）边对大(小)角定理 【典例】如图，在中，，，以为圆心、任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以、为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，给出下列说法：①是的平分线：②；③点在的垂直平分线上；④点是线段的中点． 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】利用基本作图可判断①；利用角平分线的定义计算出，可得的度数，可判断②；由得到，根据线段垂直平分线的判定可判断③；根据直角三角形中斜边长大于直角边长可得，可判断④． 【规范解答】解：由作图可知：是的平分线，故说法①正确； ∵中，，， ∴， ∴， ∴，故说法②正确； ∵， ∴， ∴点在的垂直平分线上，故说法③正确； ∵在中，， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∴点不是线段的中点，故说法④错误， 综上所述，正确的有①②③，共个， 故选：C． 【考点剖析】本题考查作图—基本作图，角平分线的定义，三角形外角的定义及性质，等角对等边，垂直平分线的判定，熟知角平分线的作法是解题的关键． 题型8 找出图中的等腰三角形 【典例】图①、图②、图③均是（的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，在给定的网格中按下列要求画图． (1)在图①中画一个，使它与全等； (2)在图②中画一个，使它与全等； (3)在图③中画一个，使是等腰三角形且为钝角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】本题考查了网格作图，全等三角形的判定与性质，三角形的分类，等腰三角形的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用网格特征，即可画出一个与全等的，即可作答． （2）运用网格特征，即可画出一个与全等的，即可作答． （3）根据是等腰三角形且为钝角三角形，且结合网格特征，即可作答． 【规范解答】（1）解：如图①所示 （2）解：如图②所示 （3）解：如图③所示 题型09 根据等校对等边证明边相等 【典例】如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨80米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长150米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（  ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【思路引导】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键； 在火车自左向右运动的过程中，车长可以是腰，也可以是底边，分别判断即可． 【规范解答】解：当车长为底时， ， 是等腰三角形是； 当车长为腰时， ，，，， ，，，是等腰三角形， 故得到的等腰三角形共有5个． 故选：D． 题型10 根据等角对等边求边长 【典例】某市一座老式桥梁需进行加固改造，工程师对主梁结构进行了分析，如图，为主梁框架，是桥墩支撑角度的2倍，即，工程师计划在的角平分线处安装钢架，交底梁于点D，为确保稳定性，必须过点B焊接加固钢索，使得，分别交，于点F，E． (1)求证：加固后的是等腰三角形； (2)经测量，主梁全长为13米，关键节点间距为5米，求原始支撑段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)原始支撑段的长度是8米 【思路引导】（1）由垂直的定义得到，由角平分线的定义得到，根据三角形的内角和得到，得到，于是得到结论； （2）连接，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，得到，由等腰三角形的性质得到，等量代换得到，于是得到结论． 【规范解答】（1）证明：， ， 又平分， ， 又在和中 ， ， ， 为等腰三角形； （2）解：连接，   ，平分， 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， 又 中，， ， ， ． ． 【考点剖析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键． 题型11 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 【典例】如图，已知中，，，在直线取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的点P共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【思路引导】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意，画出图形，即可得到答案． 【规范解答】解：分三种情况①，②，③： 如图，①以点A为圆心，长为半径交直线于点和， ②以点B为圆心，长为半径交直线于点A和， ③线段垂直平分线与直线的交点记为点， 符合条件的点P共有4个， 故选：C． 题型12 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【典例】已知平面直角坐标系中有，两点．若在坐标轴上取点，使为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【思路引导】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的特征，等腰三角形的定义，线段的垂直平分线的判定，利用圆的定义作图，掌握等腰三角形的作图是解题的关键．由题意知，是等腰三角形，故需分三种情况进行讨论，分别是，画出图形即可得到结论． 【规范解答】解：当，以为圆心，为半径作圆，与坐标轴有2个交点，但是点三点共线，故有1个等腰三角形，如图： 当时，以为圆心，为半径作圆，与坐标轴有2个交点，故有2个等腰三角形，如图： 当时，作出的垂直平分线，坐标轴有2个交点，故有2个等腰三角形，如图： 综上所述，共计有5个符合条件的点C， 故选：B． 题型13 含30度角的直角三角形 【典例】如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，下列说法：①；②；③；④；⑤．其正确的有 ． 【答案】①③④ 【思路引导】本题主要考查全等三角形的判定和性质，直角三角形中所对的直角边是斜边的一半，等边三角形的判定和性质．熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．根据等边三角形的性质证明，即可得到①正确；根据直角三角形中所对的直角边是斜边的一半即可判断③正确，根据线段的和差关系即可证明④正确，无法证明，以及． 【规范解答】解： 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， ， ， ，③正确； ， ， ，故④正确； 无法证明，以及，故②和⑤错误； 故答案为：①③④． 题型14 最短路径问题 【典例】已知，是，两个城镇和一条河流． (1)如图1，，两个城镇在河流同一侧，现计划在河边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，在河边找出点的位置，使的值最小（保留作图痕迹）． (2)如图2，，两个城镇在河流的两侧，现计划在河流靠镇的一边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，因条件限制，铺在河流中的管道必须垂直于河边，请在河边找出点的位置，使铺设管道的总长最小（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了轴对称的性质、平移的性质、最短路径问题，根据轴对称和平移的性质正确作图是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据平移的性质作图即可． 【规范解答】（1）解：如图1，作关于河边（直线）的对称点，连接交直线于点，连接， 由轴对称的性质得， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， ∴如图所示，点的位置即为所求； （2）解：设河流宽度（直线与直线之间的距离）为， 将点向下平移至，连接交直线于点，作直线交直线于点，连接，如图2： 则， 由平移的性质得，， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，即铺设管道的总长最小， ∴如图所示，点的位置即为所求． 1．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆．工程人员这种操作方法的依据是（     ） A．等角对等边 B．等腰三角形三线合一的性质 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 【答案】B 【知识点】三线合一 【详解】解：，， ， 故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”的性质． 2．如图，梯子与地面的夹角，梯子上端靠墙，底端到墙角距离，则梯子的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、含30度角的直角三角形 【分析】由题意知，结合可得，再利用含角的直角三角形性质求解即可． 【详解】解：∵墙与地面垂直， ， ， ， ， ， ． 3．如图，在中，点在边上，连接，，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据等角对等边求边长 【分析】利用“等角对等边”可得，与相加即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 4．新情境如图所示的人字梯撑开后的主视图是一个等腰三角形，且，取底边的中点为，连接．已测得，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、三线合一 【分析】根据等腰三角形等边对等角求出顶角度数，结合三线合一性质计算即可求解． 【详解】解：，， ， ， ，为的中点， 平分， ． 5．如图，，点E在边上，与相交于点G，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对顶角相等、三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质、等边对等角 【分析】根据全等三角形的性质得到，根据等边对等角得到，根据三角形内角和定理及对顶角相等作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、等边对等角、根据等角对等边求边长 【分析】利用得到，然后结合得到，等量代换得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 7．如图，在中，，，则的度数为________． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】根据等边对等角以及三角形内角和定理，可得，接着利用平角求得，最后再次根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 8．已知的三边a，b，c满足，则是___________三角形．（填“等边”“等腰”或“不等边”） 【答案】等边 【知识点】绝对值非负性、等边三角形的判定 【分析】根据非负数的性质可得的关系，从而判断三角形形状． 【详解】解：由题意，得， 所以， 所以是等边三角形． 9．如图，在中，，于点，于点，于点，若，则的值为_____． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积、三线合一 【分析】利用三线合一性质得到，然后根据列式求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴． 10．如图，等腰中，，，点在上．请在上确定一点，使连接后，是等边三角形． (1)写出确定点的操作过程． (2)以（1）中操作过程的描述为已知条件，证明是等边三角形． 【答案】(1)解：如图，过点D，作，交于E； (2)证明：∵等腰中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴是等边三角形． 【知识点】过直线外一点作已知直线的平行线、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）过点D，作交于； （2）先证明是等边三角形，根据平行线的性质得即可证得是等边三角形． 【详解】（1）略 （2）略 11．如图，在等腰中，，分别以点A、点B为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点M和点N，连接，直线与交于点D，连接，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、等边对等角 【分析】由等腰三角形性质求出，再根据是的垂直平分线得出，求出，即可求出结论． 【详解】解：在等腰中，， ， 由题意得：是的垂直平分线， ∴， ∴， ． 12．学习了三角形全等的判定方法后，我们知道满足“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”（即“”）的两个三角形不一定全等．那么在和中，，，，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）、大（小）边对大（小）角定理 【详解】解：已知，，， 若，由大角对大边得，此时为锐角，存在两种不同的三角形满足条件（为锐角或钝角），均符合，无法判定全等； 若，则，故，得，结合，由可判定全等； 若，由大角对大边得，若为钝角则三角形内角和超过，故唯一，三角形唯一，可判定全等； 若，则，为直角三角形，满足条件的三角形唯一，可判定全等． 13．如图所示，与均是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，连结交于点G，连结交于点F，连结，、交于点P，连结．有下列结论： ①；②；③；④．其中正确的有几个？（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等三角形综合问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、等边三角形的判定和性质 【分析】先证明，得到，，，再证明，得到，则①正确； 在线段上取一点，使，连接，证明，得到是等边三角形，则，故②正确；再结合，得到，故③正确；根据，，得到，则，故④正确． 【详解】解：∵和均是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， 故①正确； 在线段上取一点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴，， 故②正确； ∵， ∴， 故③正确； ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故④正确， 综上所述，正确的序号为①②③④． 14．如图，在中，，以为圆心，长为半径作弧，与交于点，以为圆心，长为半径作弧，与交于点，连结，，则的度数为（     ） A． B． C． D．与的大小有关 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】设，，求出，继而得到，，利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：设，， ， 由题意得，， ，， ，， ． 15．如图等边中，，且垂直于点D，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、等边三角形的性质 【分析】先根据等边三角形的性质得到，等边对等角以及三角形内角和定理求解，即可求解． 【详解】解：∵等边中，，垂直 ∴， ∵ ∴ ∴． 16．如图，在中，，，是边上的中线，且．若、分别是、上的动点，则的最小值是（     ） A．4 B．5 C． D． 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、三线合一、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点B作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴垂直平分， ∴， 如图，过点B作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长， ∵， ∴， 即的最小值是． 17．如图，在中，，是的中垂线，的周长为15，，则的长为______． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查垂直平分线的性质，三角形的周长． 根据垂直平分线的性质得到，根据的周长为15，得到，从而求得，进而即可解答． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为15， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：9． 18．如图，在中，，P为上一点，以点P为顶点作，交于D，交于E，若，，则的长是______． 【答案】9 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是证明三角形全等． 证明，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：9． 19．已知：如图，在等边中，为边上一点，且．动点从点出发沿边以每秒2个单位的速度向点运动，连接，设点运动的时间为秒．若，则的值为_____秒． 【答案】1 【知识点】全等三角形的性质、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的性质，由等边三角形的性质得，得出，由全等三角形的性质得，再根据“时间=路程÷速度”求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 20．如图，是等边三角形，点在的延长线上，点在线段上，，与交于点，若，，则的长为_____________． 【答案】3 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，解决此题的关键是正确的应用等边三角形的性质． 先根据等边三角形的性质得到三个内角是，再根据角度的计算用表示出相关的角，得到，进而证明，即可解决问题． 【详解】解：如图，在 上截取，连接． 设，则， ∵是等边三角形， ∴,， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 21．如图，点在的内部，且，，分别为点关于直线，的对称点，若，求的度数．    【答案】 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称的性质，角的和差，由轴对称的性质可得，，，进而可得，即得点三点共线，得到，再根据角的和差关系计算即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，分别为点关于直线，的对称点， ∴，，， ∵，， ∴点三点共线， ∴， ∴ ． 22．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．如图，已知两条公路、交于点，小明家位于点处，小刚家位于经过点垂直的公路和经过点与平行的公路的交汇处，请作出小刚家所在的位置． 【答案】点即为所求． 【知识点】过直线外一点作已知直线的平行线、作垂线(尺规作图) 【分析】根据题意，结合垂线的作图方法、平行线的判定画图即可． 本题考查作图—应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：如图，先过点作直线，再在直线的上方作，交射线于点，则点即为所求． 23．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1) 证明：连接． 垂直平分， ， ，， ∴垂直平分， ， ； (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定及性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得，，即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质和三角形周长公式进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）的周长为21cm， ， ， ， ，， ， ． 24．如图，已知，平分，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若于点D，，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】此题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，熟记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键． （1）由角平分线的定义得到，由可得，根据等量代换可得； （2）由垂直的定义得出，可得，由平行线的性质得出，根据角平分线的定义即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 25．如图，某旅游区要在景观湖的湖心小岛上修建一个度假村，需要知道景点与小岛的距离，施工人员的设计方案如下：在岸边确定点，画出，，射线交于点，只需量出线段的长，就可以知道景点与小岛的距离． (1)说明这样设计的理由； (2)实际测量时，由于在处有一堵墙阻挡了测量路线，无法直接测量出，间的距离，施工人员改进了方案，量得，，，，，求景点与小岛的距离． 【答案】(1) 理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴测量出线段的长度，就可以知道景点与小岛的距离． (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定和等腰三角形的判定是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定进行证明即可； （2）根据三角形内角和定理和三角形外角的性质判断出，进而即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴景点与小岛的距离是． 26．如图，在平面直角坐标系中，且、、． (1)在图中画出线段关于y轴对称的线段，并直接写出点的坐标为 ； (2)在（1）的基础上，直接写出的面积为 ； (3)在x轴上有一条长度是1的运动线段（点M在点N左边），使得最小，请画出点M．（保留必要的画图的痕迹）． 【答案】(1)见解析， (2)5.5 (3)见解析 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、根据成轴对称图形的特征进行求解、利用网格求三角形面积 【分析】本题主要考查了利用轴对称变换进行作图以及最短路线问题，画一个图形的轴对称图形时，是先从确定一些特殊的对称点开始．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点，解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形． （1）根据轴对称的性质，得到线段的端点关于y轴对称的点，再连接即可；根据点的位置即可得出点的坐标； （2）根据割补法即可得到的面积； （3）作点B关于x轴的对称点，作轴，使得，连接交x轴于一点，则该交点即为点M． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求，点的坐标为； 故答案为：； （2）解：的面积为； 故答案为：； （3）解：如图，作点B关于x轴的对称点，作轴，使得，连接交x轴于一点，则该交点即为点M，连接， 由，，可得四边形为平行四边形，故， 由轴对称的性质，可得，故（最短）， 而的长为定值，故此时最小． 27．在综合实践课上，李老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰纸片中，，，将一块含角的足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． (1)当时， ； (2)当等于何值时，？请说明理由； (3)在点的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：当时，；理由如下： ∵，， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴（）； (3)存在，或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，进而可以解决问题； （2）当时，与全等，理由为：根据，且度数，求出与度数，再由外角性质得到，根据，利用即可得证； （3）点在滑动时，的形状可以是等腰三角形，分三种情况考虑：当；；，分别求出夹角的大小即可． 本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）略 （3）解：存在是等腰三角形；理由如下： ∵是等腰三角形， ，， ①当时， ∴， 即， ∴； ②当时，是等腰三角形， ∴，即， ∴； ③当时，是等腰三角形， ∴， ∴， 即， ∴， 此时点与点重合，点和重合， ∵点不与，重合， ∴，舍去， 综合所述，存在是等腰三角形；或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $