5.4 二元一次方程与一次函数 同步习题 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学单元复习同步练，以二元一次方程与一次函数为核心，通过基础巩固、综合应用到探究拓展的分层设计，培养抽象能力、运算能力与模型意识，实现从概念理解到实际问题解决的递进。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|交点坐标计算、待定系数法求解析式|直接应用概念公式，如单选题1-2题考查直线交点与正比例函数系数| |中档层|图像平移、面积计算、分段函数|结合图像分析，如填空题10-11题涉及动点面积与坐标关系| |提高层|动态几何、分类讨论、新定义问题|综合知识探究，如解答题18题等腰直角三角形存在性讨论，培养推理能力|

5.4 二元一次方程与一次函数 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，直线与的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 2．正比例函数的图象过点，则k的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 3．学校生物兴趣小组观察记录了校园共享果园里橘树苗的生长，将橘树苗的高度与观察时间x（天）的关系记录如下图所示，那么橘树苗在第50天的高度是（   ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，直线（b为常数，）和直线（k为常数，）的交点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．将一次函数的图象向下平移2个单位长度，若平移后的一次函数图象经过点，则b的值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 6．无论a取什么实数，点都在直线上，若是直线上的点，则的值是（     ） A．1 B．0 C． D．2 二、填空题 7．在平面直角坐标系中，已知一条直线经过点，，则表示该直线的二元一次方程为________________． 8．如果一次函数（为常数，）的图象经过点，那么的值随的增大而__________．（填“增大”或“减小”） 9．在平面直角坐标系中，直线与直线、直线分别交于、两点．若点、的纵坐标分别为、，则___________． 10．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．若为直线上一动点，的面积为2，则点的坐标为___________． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴的正半轴于两点，且的面积为． （1）的值为__________； （2）为第二象限内的一点，连接，交轴于点，且，连接，则的面积为___________． 12．若以二元一次方程的解为坐标的点恰好在直线上，则点P的位置在第_______象限． 13．如图，在平面直角坐标系中，，，是的中点，点的坐标是，则与轴交点的坐标是____________________． 三、解答题 14．某市为鼓励市民节约用水，自来水公司采用分段收费标准收费．每月收取水费y（元）与用水量之间的函数关系如图所示． (1)小兰家7月份用水，应交水费多少元？ (2)按图示分段收费标准计算，小兰家3月份和4月份分别交水费29元和19.8元．小兰家4月份比3月份少用水多少吨？ 15．某学校无人机科研小组对甲、乙两架无人机进行飞行试验．两架无人机从不同的高度同时起飞，匀速上升，当上升时，两架无人机的高度相同．两架无人机上升高度与上升时间之间的函数关系如图所示． (1)分别求甲、乙两架无人机的上升高度y与上升时间x之间的函数关系式． (2)上升多长时间时，甲无人机比乙无人机高? 16．规定：若一次函数满足，则称该函数为“简约函数”．例如：在一次函数中，，所以一次函数是“简约函数”． (1)判断：一次函数是否是“简约函数”，并说明理由． (2)如图，直线和直线分别为两个“简约函数”的图象，其中直线的解析式为，直线的解析式为．这两条直线交于点，求点的坐标． 17．如图，在平面直角坐标系中，函数与x轴、y轴分别交于点A、点B，点C为线段的中点． (1)求点A、点B的坐标； (2)求直线的函数表达式； (3)若点P是x轴上的一点，当时，求满足条件的P的坐标． 18．如图，直线：分别与轴，轴交于，两点，直线：分别与轴，轴交于，两点，直线与交于点． (1)求点的坐标及直线的解析式； (2)在直线上确定一点，使，求点的坐标； (3)在平面直角坐标系中，是否存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】两直线交点的坐标同时满足两个直线的解析式，联立解析式求解即可得到交点坐标． 【详解】解：联立， 解得， ∴ 两直线交点坐标为． 2．C 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式，解题的关键是将点的坐标代入函数解析式解方程求．将点代入，解方程即可求出k的值． 【详解】解：是正比例函数，图象过点， ， ， 解得，． 故选：C． 3．B 【分析】利用待定系数法求出y关于x的解析式，再代入求出y即可． 【详解】设解析式为 ， 将和代入，得， 解得， 因此一次函数解析式为， 将代入解析式，得 ， 所以橘树苗在第50天的高度是． 4．C 【分析】先确定一次函数图象经过的象限，再确定正比例函数经过的象限，即可判断交点所在象限． 【详解】解：∵直线（b为常数，），, ∴直线经过第二、三、四象限， ∵直线（k为常数，）, ∴其图象经过第一、三象限， ∵两个函数图象都经过第三象限， ∴交点在第三象限． 故选：C． 5．B 【分析】先根据平移规律得到平移后的函数解析式，再代入已知点的坐标即可求出b的值． 【详解】解：将一次函数的图象向下平移2个单位长度，平移后的解析式为， ∵平移后的一次函数图象经过点． ∴， 解得：． 6．C 【分析】由点A恒在直线上的条件推导直线的解析式，结合点M在直线上的条件代入代数式计算； 【详解】解：设点的横坐标为，纵坐标为， ∵ 点在直线上， ∴ ，； ∴ ，即直线的解析式为； ∵ 在直线上， ∴ ； ∴ ； 7． 【分析】先设该直线的二元一次方程为，利用待定系数法求出直线解析式，再整理为二元一次方程的一般形式即可． 【详解】解：设该直线的二元一次方程为， 将，代入解析式得：， 将代入第一个方程，得， 解得， 该直线的二元一次方程为即． 8．减小 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数的增减性．将点坐标代入函数解析式求出k，再根据一次函数的比例系数k的符号，即可判断增减性． 【详解】解：∵一次函数（为常数，）的图象经过点， ∴， 解得， ∴y 的值随 x 的增大而减小． 故答案为：减小 9． 【分析】分别联立与两个一次函数解析式，求出和，再计算的值即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得 故； 根据题意，得， 解得 故； ． 10．或 【分析】利用待定系数法求出直线的解析式，再根据，求出点的坐标即可． 【详解】解：∵点的坐标分别为，， ∴设直线的解析式为：， 把，代入，得：，解得：， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，解得：； 当时，，解得：； ∴点P的坐标为或． 11． 6 【分析】本题考查一次函数的图象与性质及三角形面积的计算，关键是利用一次函数与坐标轴的交点坐标及三角形面积公式求解参数，再通过直线解析式确定点的坐标，进而利用割补法计算三角形面积． （1）先根据直线与轴的交点求出的长度，结合的面积求出的长度，得到点的坐标，将点坐标代入直线解析式即可求出的值； （2）先根据的长度确定点的坐标，利用、两点坐标求出直线的解析式，代入点的纵坐标求出点的横坐标，最后将的面积拆分为两个以为底的三角形面积之和，计算得出结果． 【详解】（1）解：∵直线交轴正半轴于点， ∴， ∴． ∵，且在轴正半轴， ∴，解得， ∴． 将代入得，解得； 故答案为：． （2）解：∵在轴上，， ∴． 设直线的解析式为， 将、代入得：，解得， ∴直线的解析式为． ∵在直线上， ∴，解得， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：． 12．一 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数图象上点的坐标特征，掌握解二元一次方程组的步骤是解题的关键． 先联立直线的解析式和二元一次方程求出点，再判断点在平面直角坐标系中的位置． 【详解】解：根据题意，将直线的解析式和二元一次方程联立方程组可得， ， 将②代入①得：， ， ， ， ， 将代入②得：， ∴． ∴点的坐标为． ∵，即且， ∴点在第一象限． 故答案为：一． 13． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴的平行线交的延长线于点，证明，可得出点坐标，然后证明，得出，进而得出的长和点坐标，根据点、点坐标可求出直线的解析式，则问题可解． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴的平行线交的延长线于点， 点的坐标是， ，． ，， ． 在和中， ， ， ，， ， ，． ，， ，． 又， ， ， ， ． 设直线的解析式为：， 把，代入解析式，可得：， 解得， ∴直线AB的解析式为：． 令，则， ． 故答案为：． 14．(1)元 (2)吨 【分析】（1）结合图象先求两段函数解析式，把代入对应解析式即可得水费； （2）由水费判断所属收费段，分别代入对应解析式求出3月份和4月份用水量，再相减即可． 【详解】（1）解：当时，设，代入得 ， 解得， ∴； 当时，设，代入、得 ， 解得， ∴； 当时，（元）， 答：应交水费15.4元； （2）解：3月份交水费29元，，，解得； 4月份交水费19.8元，，，解得； ∴小兰家4月份比3月份少用水（吨）． 15．(1)； (2)上升时，甲无人机比乙无人机高 【分析】（1）由图象读出甲、乙经过的点，用待定系数法求解析式即可； （2）令列方程求解即可． 【详解】（1）解：设，由图可知过，代入得 ， 解得， ∴； 设，由图可知过、，代入得 ， 解得， ∴； （2）解：由题意得，即， 解得， ∴上升时，甲无人机比乙无人机高． 16．(1)解：一次函数不是“简约函数”，理由如下： ∵， ∴一次函数不是“简约函数”． (2) 【分析】（1）根据“简约函数”的定义判断即可； （2）根据“简约函数”的定义求出m、n的值，进而得到两条直线的解析式，再联立两直线解析式，解方程组即可得到点A的坐标． 【详解】（1）略 （2）解：∵两个函数均为“简约函数”， ∴，， ， ∴直线与直线的解析式分别为， 联立，解得， ∴点的坐标是． 17．(1)， (2) (3)或 【分析】（1）分别把，代入函数关系式即可求解； （2）根据题意先确定点C的坐标，再利用待定系数法即可解答； （3）分点P在点A右侧和点P在点A左侧两种情况，分别画图分析即可． 【详解】（1）解：当时， ； 当时， 解得； ，． （2）解：， ， 点C为线段的中点， ， ， 设直线的函数表达式为， ，， 解得 即直线的函数表达式为． （3）解：如图，当点P在点A右侧时， ，， ， ， ， ， 在和中 ， ， ； 当点P在点A左侧时， ， ， 直线的函数表达式为，， 直线的函数表达式为， 当时，， 解得， ； 综上可知点P的坐标为或． 18．(1)， (2)点M的坐标为或 (3)存在，点的坐标为和 【分析】（1）先求出点E的纵坐标，再把点E的坐标代入解析式即可求出．即可得到一次函数解析式； （2）分点在线段上和点位于线段的延长线上两种情况进行解答即可； （3）设的坐标为，分点位于直线右侧和点位于直线左侧两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：将点代入，得． 将点代入，得， 解得． ∴直线的解析式为：． （2）解：对于，当时，，解得． 对于，当时，；当时，，解得． ，，． ， ． ． 分情况讨论如下： ①如图，当点在线段上时， ， 即，解得． 将代入，得，解得． 的坐标为． ②如图，当点位于线段的延长线上时， ， 即，解得． 将代入，得，解得． 的坐标为． 综上，点M的坐标为或． （3）设的坐标为，分情况讨论如下： ①如图，当点位于直线右侧时， 过点作轴交于点，过点作于点． ，， ， 又，， ． ，， ，解得． 的坐标为． ②如图，当点位于直线左侧时， 过点作轴交于点，过点作于点． ，， ， 又，， ． ，， ，解得． 的坐标为． 综上，点的坐标为和． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $