5.4 二元一次方程与一次函数 同步练习 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 以基础巩固为核心，分层设计梯度清晰，覆盖一次函数与二元一次方程关系的概念理解、运算应用及综合实践，注重数学思维与应用意识培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|一次函数平移、交点与方程组解、象限判断等单一知识点|直接应用概念公式，如单选题1-5、解答题16图象法解方程组，培养抽象能力与几何直观| |提升层|含参数函数、直线围成面积、简单新定义等综合知识点|结合参数计算与面积综合，如单选题6-8、解答题19计时装置实际应用，发展运算能力与推理意识| |综合层|函数与几何综合、行程问题、最短路径等复杂应用|跨知识点整合，如单选题9-10、解答题20距离公式应用，培养模型观念与创新意识|

5.4 二元一次方程与一次函数 同步练习2026-2027学年 北师大版八年级数学上册 一、单选题 1．将一次函数的图象向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 3．一次函数的图象经过点，点，那么该函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．在平面直角坐标系中，直线与x轴的交点坐标为，则该直线与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 5．若二元一次方程组的解为则一次函数与的图象的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 6．一次函数y＝（m﹣2）x＋m2﹣3的图象与y轴交于点M（0，6），且y的值随着x的值的增大而减小，则m的值为（    ） A．﹣6 B．﹣ C．3 D．﹣3 7．若直线与两坐标轴所围成的三角形面积是4个面积单位，则k的值为（   ） A． B． C． D． 8．如图，直线与直线交于点A，两条直线分别交x轴于点B，点C，则 的面积为（     ） A． B．5 C． D．7 9．已知直线：与直线都经过，直线交y轴于点，交x轴于点A，直线交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接，有以下说法： ①方程组的解为； ②直线：的； ③； ④当的值最小时，点P的坐标为． 其中正确的说法是（    ）    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 10．在一条笔直的公路上、两地相距，甲车从地开往地，乙车从地开往地，甲车比乙车先出发．设甲、乙两车距地的路程为千米，甲车行驶的时间为小时，与之间的关系如图所示，下列说法错误的是（   ） A．甲车行驶小时时两车相遇 B．甲车的速度为，乙车的速度为 C．甲车出发小时后乙车才出发 D．当甲、乙两车相距时，乙车行驶了小时 二、填空题 11．若一次函数的图象与直线平行，且与轴交于，则该一次函数的解析式为___________． 12．如图，已知直线与直线相交于点C，与y轴别相交于点A，B，则的面积是____________． 13．如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是________． 14．我们定义：在平面直角坐标系中，点，，若，，且，则称点是点的“阶变换点”．例如，点是点的“3阶变换点” （1）若点，则点的“2阶变换点”为______； （2）已知点，点的“阶变换点”记为，点的“3阶变换点”记为，若直线经过点和点，则直线在轴上的截距为______． 15．已知直线与直线都经过点，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点．直线 直线且经过原点，且与直线交于点．点为轴上任意一点，连接，．对于以下结论，正确的有____________． ①方程组的解为；②；③；④当的值最小时，点的坐标为． 三、解答题 16．利用图象法解下列二元一次方程组： (1) (2) 17．已知一次函数，完成下列问题： (1)在直角坐标系中画出该函数的图象； (2)观察图象，当时，y取值范围是_______； (3)将直线平移后经过点，直接写出平移后的直线表达式________． 18．如图，已知直线与直线交于点，且直线分别与轴，轴交于点，点． (1)求点的坐标． (2)若点在直线上，且，求点的横坐标． 19．综合实践小组模拟“刻漏”原理，用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了简易计时装置如图所示，现需要在甲容器外壁标记刻度，以便通过刻度直接读取时间． 为此，综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后，每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 记录时间 8:00 8:10 8:20 8:30 流水时间 0 10 20 30 水面高度（观察值） 30 29 28.1 27 其中“，”是初始状态下的准确数据，后续数据测量可能存在误差． (1)任务1：利用“，；，”这两组数据求水面高度与流水时间的函数解析式． (2)任务2：利用任务1所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为时是几点钟？ 20．阅读材料，在平面直角坐标系中，已知轴上两点，的距离记作，若是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离，如图，过分别向轴、轴作垂线、和，垂足分别是，直线交于点，在中，，． (1)平面直角坐标系内任意两点间的距离公式为：__________； (2)直接应用平面内两点间距离公式计算点之间的距离为__________； (3)利用上面公式，在平面直角坐标系中的两点为轴上任一点，则的最小值和此时点的坐标； (4)应用两点间的距离公式，求代数式的最小值． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B D B D D A B D 1．【答案】B 【知识点】一次函数图象平移问题、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数图象平移问题，求一次函数解析式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据一次函数图象平移的规律求解． 【详解】解：∵一次函数的图象向上平移1个单位长度， ∴平移后的函数表达式为， 故选：B． 2．【答案】A 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】根据方程组的解是两条直线的交点的横纵坐标即可得出结果. 【详解】解：由图象可知：关于x，y的方程组即方程组的解为. 3．【答案】B 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查确定一次函数解析式，一次函数的图象，理解题意，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 先确定一次函数图象，然后根据一次函数的性质确定经过的象限即可得出结果． 【详解】解：设一次函数的解析式为， 将点，点代入得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为， ∵， ∴该函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限， 故选：B． 4．【答案】D 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点，利用待定系数法求出直线解析式，再令求出其函数值，即可解题． 【详解】解：直线与x轴的交点坐标为， ，解得， 直线解析式为， 当时，， 该直线与y轴的交点坐标为， 故选：D． 5．【答案】B 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的解，解决本题的关键是掌握方程组的解就是两函数图像的交点. 根据方程组的解就是两函数图像交点坐标求解即可. 【详解】解：二元一次方程组的解为， 一次函数与的图象的交点坐标为. 故选：B ． 6．【答案】D 【知识点】根据一次函数增减性求参数、求一次函数解析式 【分析】先代入点M的坐标，得到m 的值，再根据一次函数中函数值y随着x的值的增大而减小，从而确定m的值； 【详解】解：依题意，将点M（0，6）代入一次函数y＝（m﹣2）x＋m2﹣3得到： 6= m2﹣3， 解得：m=3或-3， 又由一次函数中函数值y随着x的值的增大而减小，得到 m﹣2<0, 解得：m<2， ∴m=-3, 故选择：D 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 7．【答案】D 【知识点】求直线围成的图形面积、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】先根据坐标轴上点的特征求出直线与x、y轴的交点坐标，然后根据三角形的面积公式得到，再进行计算即可． 【详解】解：当，，则直线与y轴的交点坐标为：， 当时，，解得：，则直线与x轴的交点坐标为：， ∴，解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为是解题的关键． 8．【答案】A 【知识点】求直线围成的图形面积、一次函数图象与坐标轴的交点问题、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】联立两个函数求出交点，然后分别求出，，结合图形求面积即可． 【详解】解：联立， 解得：， ∴交点； ， 当时，， ∴与x轴交于点， ，当时，， ∴与x轴交于点， ∴， ∴． 9．【答案】B 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、两直线的交点与二元一次方程组的解、两点之间线段最短、线段问题(轴对称综合题) 【分析】①根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；②利用待定系数法求得k的值；③求得和的长，根据三角形面积计算公式，即可得到的面积；④根据轴对称的性质以及两点之间线段最短，即可得到当的值最小时，点P的坐标为． 【详解】解：①∵直线与直线都经过， ∴方程组的解为，故①正确，符合题意； ②把，代入直线，可得，解得， ∴故②正确，符合题意； ③把代入直线，可得， 中，令，则， ∴， ∴， 在直线中，令，则， ∴， ∴， ∴，故③错误，不符合题意； ④点A关于y轴对称的点为，连接， 由点C、的坐标得，直线的表达式为：， 由对称知，,, 当点共线，即点P位于点D处时，,最小， ∴当的值最小时，点P的坐标为，故④正确，符合题意； 故选：B． 【点睛】本题为一次函数综合题，主要考查了一次函数图象与性质，三角形面积以及最短距离问题，运用轴对称知识作线段的等量转换是解题的关键． 10．【答案】D 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息、求一次函数解析式 【分析】根据图象及一次函数的图象与性质可依次进行排除选项． 【详解】解：由图象可知：当时，， ∴甲车行驶小时时两车相遇；A选项正确； ∵甲车的速度为：，乙车的速度为：， ∴B选项正确； ∵小时， ∴甲车出发小时后乙车才出发， ∴C选项正确； ∵甲车的速度为：，乙车的速度为：， ∴， ∴当甲、乙两车相距时，，即：， 解得：或， ∴或， ∴当甲、乙两车相距时，乙车行驶了或小时. ∴D选项错误. 11．【答案】 【知识点】求一次函数解析式 【分析】根据两直线平行得到，与轴交于得到． 【详解】解：一次函数的图象与直线平行，且与轴交于， ，， 该一次函数的解析式为． 12．【答案】2 【知识点】求直线围成的图形面积 【分析】本题考查了两直线相交问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解，也考查了三角形面积公式． 先求出，，从而得出，联立方程组即可求出点C的坐标，再根据三角形面积公式即可得出答案． 【详解】直线中，令，则 直线中，令，则 ， 将与联立 解得： 点C的坐标为 故答案为：． 13．【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组），解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．由两条直线的交点坐标，先求出m，再求出方程组的解即可． 【详解】解：∵经过， ∴， ∴， ∴直线与直线相交于点， ∴方程组的解是． 故答案为：． 14．【答案】 【知识点】求一次函数解析式、点坐标规律探索 【分析】本题考查了新定义运算，求一次函数的解析式以及一次函数图象与坐标轴的交点问题； （1）根据“阶变换点”的定义直接计算坐标； （2）先求两点坐标，待定系数法求得解析式，进而令，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，点的2阶变换点： ，， 故点为； 故答案为：． （2）解：点的阶变换点： ，， 即； 的3阶变换点： ，， 即； 将，代入 ， 解得： ∴ 当时， 故答案为：． 15．【答案】①②③④ 【知识点】求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解、根据成轴对称图形的特征进行求解、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，轴对称—最短路径问题，勾股定理的应用，正确地求得函数解析式是解题的关键．方程组的解为；故符合题意；把，点代入解方程组得到直线：，求得直线的解析式为，把代入得到直线，解方程组得到，得到，根据三角形的面积公式得到，故符合题意；解方程得到，根据勾股定理计算可得③符合题意；作点关于轴的对称点，连接交轴于，此时的值最小，求出直线的解析式为，当时，，得到，符合题意． 【详解】解：直线与直线都经过点， 方程组的解为，故①正确； 把，点代入得， ， 直线， 直线直线且经过原点， 直线的解析式为， 把代入得，， ， 直线， 解方程组得， ， 在中，令，则， 解得， ， ，故②正确； ，， ， ∴或（舍去），故③正确； 直线交轴于点， ， 作点关于轴的对称点，连接，则， ∴， ∴当共线时，的值最小， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 在中，当时，， ，故④正确； 故答案为：①②③④． 16．【答案】(1) (2) 【知识点】图象法解二元一次方程组 【分析】（1）画出一次函数和的图象，得出交点坐标即可得出二元一次方程组的解； （2）画出一次函数和的图象，得出交点坐标即可得出二元一次方程组的解． 【详解】（1）解：如图所示：   两函数图象交于点， 方程组的解为； （2）解：如图所示：   两函数图象交点为， 方程组的解为． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象的交点与二元一次方程组的关系，解题的关键是根据二元一次方程画出函数图象． 17．【答案】(1) 在直角坐标系中画出该函数的图象，如图所示， (2) (3) 【知识点】求一次函数解析式、画一次函数图象、一次函数图象平移问题、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了画一次函数图象，一次函数的平移，根据自变量的范围求函数的取值范围，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）分别求得直线与坐标轴的交点，进而画出函数图象； （2）观察图象即可求解； （3）设平移后的解析式为，将点代入，待定系数法求解析式即可求解． 【详解】（1）解：由，当时，，当时，， 则一次函数图象经过点 （2）当时，， 观察图象，当时，y取值范围是：； （3）∵将直线平移后经过点， 设向上平移m个单位，则平移后直线解析式为， 将点，代入得，， 解得：， ∴， 即． 18．【答案】(1)，, (2)点的横坐标为或． 【知识点】求直线围成的图形面积、一次函数图象与坐标轴的交点问题、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了直线与坐标轴交点问题，两直线交点问题； （1）联立直线解析式求得的坐标，分别令，得出的坐标； （2）设，根据，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：， ∴， ∵直线分别与轴，轴交于点，点． 当时，，当时，， ∴,； （2）解：设， ∵， ∴， 即， 解得：或， ∴点的横坐标为或． 19．【答案】(1) (2)当甲容器中的水面高度为时是 【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）观察实验数据知，水面高度与流水时间的函数符合一次函数的特征，用待定系数法求出函数解析式即可； （2）由（1）所求函数解析式，计算当时的自变量值，即可求解． 【详解】（1）解：由表中数据可得：每过10分钟，水面高度h减少约，所以水面高度h是流水时间t的一次函数， 设，把，；，代入得：， 解得， ∴， 答：水面高度与流水时间的函数解析式为； （2）解：当时，， 解得， 而，，即10时30分， 答：当甲容器中的水面高度为时是． 20．【答案】(1) (2) (3)5； (4) 【知识点】求一个数的算术平方根、求一次函数解析式、坐标与图形变化——轴对称、已知两点坐标求两点距离 【分析】（）根据题意即可求解； （）利用两点间距离公式计算即可； （）作点关于轴的对称点，连接，与轴相交于点，可知此时的值最小，利用两点间距离公式可求出的最小值，再利用待定系数法求出直线的解析式，进而可求出点的坐标； （4）由原式，可得原式表示点到点和的距离之和，由两点之间线段最短，可知当点在以点和为端点的线段时，代数式的值最小，进而利用两点间距离公式即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得，， 故答案为：； （3）解：作点关于轴的对称点，连接，与轴相交于点，则， ∴， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小， ∵， ∴的最小值为， 设直线的解析式为，把代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴； （4）解：∵原式， ∴原式表示点到点和的距离之和， 由两点之间线段最短，可知当点在以点和为端点的线段时，代数式的值最小， ∴最小值． 【点睛】本题考查了两点间距离公式，轴对称的性质，两点之间线段最短，求一次函数解析式，掌握两点间距离公式是解题的关键． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $