精品解析：山东省新泰市第一中学北校2026-2027学年高三上学期第一次大单元考试数学试题

新泰一中北校高三上学期第一次大单元考试 数学试卷 2026.10 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题只有一个正确答案，每题5分） 1. 设全集，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 用列举法表示集合和后，根据补集的概念进行运算即可得到答案. 【详解】， ， . 故选：A 【点睛】本题考查了解对数不等式，考查了集合的补集运算，属于基础题. 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得， 所以， 所以原不等式的解集为. 3. 若是函数的极小值点，则函数的极大值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据极值点列方程，求得，进而求得的极大值. 【详解】函数的定义域是， ， ， 所以在区间上单调递增， 在区间上，单调递减， 所以的极大值为. 4. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量模的计算公式及向量垂直的条件可得结果. 【详解】因为，所以， 两式相减得，即． 又，所以，联立，解得,即． 故选：C． 5. 已知点在角的终边上，将的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则＝（ ） A. － B. － C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，再根据诱导公式可求出结果. 【详解】依题意得，又，所以. 6. 已知是非零平面向量，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的定义和运算律，结合充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】由，得，故必要性成立； 由，得，得， 不一定成立，故充分性不成立. 所以“”是“”必要不充分条件. 故选：B 7. 非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的定义及垂直关系的向量表示，结合向量数量积运算律求解即可. 【详解】由向量在向量上的投影向量为，可得， 所以，则. 因为，所以， 即. 也即. 因为，所以， 即，解得. 8. 已知函数定义域为，且函数与均为偶函数，当时，是减函数，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两个偶函数推出周期为2，将a，b，c自变量统一转化到区间，利用该区间函数递减，比较自变量大小得到函数值大小. 【详解】因为函数是偶函数，则，又因为为偶函数，则， 可化为，所以有， 所以函数是周期为2的函数，则，， 又时，是减函数，由， 可得，即. 二、多选题（每个题目6分，答对部分答案得部分分，答错得0分.） 9. 已知实数，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】选项A，因为，所以. 选项B，若，，满足，但不满足. 选项C，因为，所以，则，所以. 选项D，若，，不满足. 10. 关于函数，下列说法正确的有（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在上单调递增 D. 将向右平移个单位得到 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正弦型函数的性质，依次判断周期、对称中心、单调区间与图像平移；选项A：利用正弦型函数周期公式 直接计算最小正周期；选项B：将横坐标代入函数，验证函数值是否为0，判断是否为对称中心；选项C：先整体换元求出函数单调递增区间，再判断给定区间是否为增区间的子区间；选项D：先三角函数图像平移遵循“左加右减，只对变换”，再代入化简得到平移后的解析式，最后逐个判断即可. 【详解】对于A：，，A正确； 对于B：代入，， 正弦型函数对称中心的函数值必须为0，故点不是对称中心，B错误； 对于C：求单调增区间， 令， ， ， 取，增区间： 区间是它的子区间，C正确； 对于D：向右平移，得 ，D正确. 11. 在中，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】先利用二倍角公式得，再利用进行放缩，得出的范围，进而判断A，利用特殊值代入检验判断BC，利用反证法判断D. 【详解】由题意得：， 所以或，又，所以， 即，，又，所以， 若，与矛盾，所以，故A正确； 设，所以，所以，使得，故B错误； 设，所以，所以，使得，故C错误； 假设，则，即，所以， 又，所以，与矛盾，所以，故D正确. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分；12题答对一空得3分，都答对得5分） 12. 已知，则_________，_________． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】根据二倍角的正余弦公式及同角三角函数的基本关系求解. 【详解】由已知得，． 又，同号，则， 所以． 13. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则________． 【答案】3 【解析】 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 所以，所以， 又当时，，令，所以， 所以，所以. 14. 已知a＞1，b＞1，若logab=3logba+2，ab=ba，则a+b=______． 【答案】4 【解析】 【分析】设logab=x，x＞0；则logba=，因为logab=3logba+2，所以，x=+2，解得，x=-1（舍去）或x=3，结合ab=ba条件，即可解得a，b的值． 【详解】解：设logab=x；则logba=，因为logab=3logba+2， 所以，x=+2，解得，x=-1或x=3； 由于a＞1，b＞1，x=logab＞0，所以x=3； ∴logab=3，∴a3=b；①， 又因为ab=ba， 所以ab=（a3）a=a3a； ∴b=3a；且a＞1，b＞1②， 由①②得，a=，b=3； ∴a+b=4． 故答案为4． 【点睛】本题考查对数的运算性质，换元的解题方法，是基础题． 四、解答题（请把答案填写在答题纸的指定位置，答错位置不得分） 15. 在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，且角的终边经过点． （1）求，； （2）若为第四象限角，且，求． 【答案】（1），. （2） 【解析】 【小问1详解】 因为角的终边经过点，则， 可得，， 所以，. 【小问2详解】 若为第四象限角，且，则， 所以. 16. 已知函数． （1）当时，求该函数的值域； （2）求不等式的解集； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令，将原函数的值域问题转化为二次函数在上的值域问题，再结合二次函数的图象和性质可得； （2）令，将不等式转化为一元二次不等式，并解得或，再根据对数函数的单调性可得不等式的解集. 【小问1详解】 由函数，得函数的定义域为. 令，当时，由对数函数单调性得：. 将原函数展开换元：， 所以原函数的值域问题转化为求二次函数在上的值域问题. 因为，二次函数的开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，且， 所以函数的最小值为，最大值为. 所以函数在的值域为， 因此函数在上的值域为. 【小问2详解】 不等式等价于，整理得， 因式分解得， 令，则，解得或. 当时，即，， 由于是定义域为的单调递增函数，所以 当时，即，， 由于是定义域为的单调递增函数，所以. 综上所述，不等式的解集为. 17. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且． （1）求； （2）求函数与的图象在区间内的交点横坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到函数的图象经过点，再代入求值即可； （2）令，再解三角方程即可． 【小问1详解】 解：由题意，函数的图象经过点， 所以函数的图象经过点，即， 代入中，得，即， 由，得， 所以，解得； 【小问2详解】 由（1）得，， ， 令，得， 则或， 解得或（舍去）， 当时，；当时，；当时，． 所以函数与的图象在区间内的交点横坐标为． 18. 在中，内角的对边分别为，若. （1）求角的大小； （2）若，的平分线交于点，求线段长度的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及余弦定理进行求解； （2）由三角形的面积公式及余弦定理得，再由基本不等式求解． 【小问1详解】 因为， 所以：， 即， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 又，所以. 【小问2详解】 因为， 所以，解得， 由余弦定理得，即， 设 ，则 ， 由基本不等式：，故， 解得，故， 又 ，所以， 因此. 19. 已知，且曲线在点处的切线方程为. （1）求的值； （2）设的导函数为，求的单调区间； （3）证明：当时，. 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为； （3） 由（2）可知在上单调递增， 又，， 又， 所以，即， 所以，使得， 所以当时，即，所以在上单调递减； 当时，即，所以在上单调递增； 又，， 所以， 所以当时，. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，根据计算可得； （2）求出的解析式，从而求出其导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间； （3）由（2）可得的单调性，结合零点存在性定理得到，使得，即可得到的单调性，从而求出，即可得证. 【小问1详解】 因为，所以， 因为曲线在点处的切线方程为， 所以，解得； 【小问2详解】 由（1）可得，所以， 则，定义域为， 所以， 因为，令，即，解得； 令，即，解得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新泰一中北校高三上学期第一次大单元考试 数学试卷 2026.10 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题只有一个正确答案，每题5分） 1. 设全集，，则（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 3. 若是函数的极小值点，则函数的极大值为（ ） A. B. C. D. 1 4. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 2 5. 已知点在角的终边上，将的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则＝（ ） A. － B. － C. D. 6. 已知是非零平面向量，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数定义域为，且函数与均为偶函数，当时，是减函数，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每个题目6分，答对部分答案得部分分，答错得0分.） 9. 已知实数，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 关于函数，下列说法正确的有（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在上单调递增 D. 将向右平移个单位得到 11. 在中，已知，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分；12题答对一空得3分，都答对得5分） 12. 已知，则_________，_________． 13. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则________． 14. 已知a＞1，b＞1，若logab=3logba+2，ab=ba，则a+b=______． 四、解答题（请把答案填写在答题纸的指定位置，答错位置不得分） 15. 在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，且角的终边经过点． （1）求，； （2）若为第四象限角，且，求． 16. 已知函数． （1）当时，求该函数的值域； （2）求不等式的解集； 17. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且． （1）求； （2）求函数与的图象在区间内的交点横坐标． 18. 在中，内角的对边分别为，若. （1）求角的大小； （2）若，的平分线交于点，求线段长度的取值范围. 19. 已知，且曲线在点处的切线方程为. （1）求的值； （2）设的导函数为，求的单调区间； （3）证明：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $