精品解析：山东省德州市实验中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试题

山东省德州市实验中学 高三数学月考试题（10月） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. 4 D. 4. 已知函数是定义在上的周期为2的奇函数，且当时，有，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 5. 在平面直角坐标系中，锐角以为顶点，轴的非负半轴为始边.将的终边绕顺时针旋转后与单位圆交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知函数若，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知角满足，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知定义在R上的单调函数，满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 可能是单调递减函数 C. 为奇函数 D. 若，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知火箭在时刻的速度为（单位：千米/秒），质量为（单位：千克），满足（为常数），分别为火箭初始速度和质量．假设一小型火箭初始质量千克，其中包含燃料质量为500千克，初始速度，经过秒后的速度千米/秒，此时火箭质量千克，当火箭燃料耗尽时的速度大约为_________． 13. 已知，则的最小值为_________ 14. _________ 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，函数． （1）函数的图像恒过定点，若函数的图像恰好过点，求实数的值. （2）若时，设函数在时的值域分别为，求时实数的取值范围． 16. 已知函数在和处取得极值，且经过点（0，1）. （1）求函数的解析式； （2）当时，若函数有且仅有两个零点，求k的取值范围 17. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）求证：. 18. 已知 （1）若，求的值； （2）若且，求的值. 19. 设是定义在上的奇函数，，当时，. （1）当时，求的解析式； （2）当时，求方程的所有实根之和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省德州市实验中学 高三数学月考试题（10月） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据全称量词命题的否定规则：全称量词命题的否定为存在量词命题 . 原命题为全称量词命题： 将全称量词替换为存在量词，变量的取值范围保持不变； 否定原命题的结论，结论的否定为. 因此原命题的否定为. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解分式不等式得到集合的范围，再对比集合和的元素，判断二者的包含关系即可.  【详解】分式不等式，等价于 ， 解得，即. 选项A：由于但，两个集合元素不相等，故，A错误； 选项BD：任取，都满足，所以，B正确，D错误； 选项C：由于但，存在属于的元素不属于，故，C错误； 3. 已知，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角公式与同角三角函数的基本关系化简所求表达式，代入的值计算即可得到结果. 【详解】由可知，且（若，则，与已知矛盾）， 所以   .  4. 已知函数是定义在上的周期为2的奇函数，且当时，有，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由于是周期为2的奇函数，故. 5. 在平面直角坐标系中，锐角以为顶点，轴的非负半轴为始边.将的终边绕顺时针旋转后与单位圆交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的定义得到，利用同角三角函数关系及两角差的正弦公式计算即可. 【详解】由题意知，. 因为为锐角，所以. 又， 所以. 6. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】设函数 ，求导得：, 当 时，，则在 上单调递增； 若 ，由 在 上单调递增，可得 ， 即，充分性成立； 举反例：取  ​，满足 ， 即成立，但不满足 ，必要性不成立； 因此，是的充分不必要条件. 7. 函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调区间，再由零点存在性定理判定零点个数即可. 【详解】, 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 当时，，所以当时，，无零点； 而，，且函数在上单调递增，故有一个零点. 故选：B 8. 已知函数若，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先画出的图象，不妨令，数形结合可知且，即可求出的取值范围. 【详解】因为，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，且； 当时，所以在上单调递增，且， 所以的图象如下所示： 又，且，不妨令， 结合图象可知且，即， 所以，即的取值范围为. 故选：A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据指数、对数的关系及对数加法的运算法则判断A，由基本不等式判断BC，利用对数函数的单调性判断D. 【详解】因为，， 所以，故A正确； 由可得（，等号不成立），故B错误； 由可得（，等号不成立），故C正确； 因为，故D正确. 故选：ACD 10. 已知角满足，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二倍角的余弦公式判断A，根据角的变换及两角差的余弦公式计算判断B，由题意及同角三角形函数的基本关系判断C，由角的变换及两角和的正弦公式计算判断D. 【详解】因为，所以，故A正确； 因为， 所以，故B正确； 由，，两式相除可得，故C错误； ， 故D正确. 故选：ABD 11. 已知定义在R上的单调函数，满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 可能是单调递减函数 C. 为奇函数 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由单调函数性质，奇函数定义结合赋值法可判断各选项正误. 【详解】因为定义在R上的单调函数，则，. 对于A，令，则或， 若，则对，取，都有，不满足单调函数性质， 故，故A正确； 对于B，令，则或（舍），则， 因，结合为定义在R上的单调函数，则只能是单调递增函数； 对于C，令，则（舍）， 则，取，取， 则，又定义为R，则为奇函数，故C正确； 对于D，令，则，令， 则， 则，故D正确. 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知火箭在时刻的速度为（单位：千米/秒），质量为（单位：千克），满足（为常数），分别为火箭初始速度和质量．假设一小型火箭初始质量千克，其中包含燃料质量为500千克，初始速度，经过秒后的速度千米/秒，此时火箭质量千克，当火箭燃料耗尽时的速度大约为_________． 【答案】 6千米/秒 【解析】 【分析】根据题意，得到和，结合对数的运算性质，即可求解． 【详解】由题意知，火箭在时刻的速度为，质量为，满足， 因为经过秒后的速度千米秒，此时火箭质量千克， 可得，火箭耗尽燃料时速度为， 两式相除得． 13. 已知，则的最小值为_________ 【答案】 【解析】 【分析】先根据的取值范围得到的取值范围，再利用基本不等式求最值，验证等号成立条件符合要求即可得到最小值. 【详解】由，得， 由基本不等式得 ，  当且仅当，即，即当时，等号成立， 所以的最小值为. 14. _________ 【答案】4 【解析】 【分析】先将正切化为弦函数，再结合辅助角公式、二倍角正弦公式、诱导公式化简求值. 【详解】由题意得： ， 又因为， 又， 所以. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，函数． （1）函数的图像恒过定点，若函数的图像恰好过点，求实数的值. （2）若时，设函数在时的值域分别为，求时实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的性质可得定点，代入函数即可得解； （2）根据单调性分别求出函数值域，再根据得，即可得解. 【小问1详解】 函数的图像恒过定点， 所以，则； 【小问2详解】 时，为上增函数， 则时，， ∵为上的减函数， ∴当时，， ∵，∴， ∴解得， 实数k的取值范围是． 16. 已知函数在和处取得极值，且经过点（0，1）. （1）求函数的解析式； （2）当时，若函数有且仅有两个零点，求k的取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，根据在和处取得极值，可得，解之即可得解； （2）函数零点个数转化为两个函数图象交点的个数，利用导数求出函数的单调区间及极值，由此结合题意列出不等式，从而可得出答案. 【小问1详解】 因为函数在和处取得极值， 所以和是方程的两个根， 则，解得，经检验符合已知条件， 函数经过点得. 所以函数的解析式为； 【小问2详解】 当时，函数有且仅有两个零点， 令，可得， 则问题转化为与的图象在上有且仅有两个交点. ，令，即，即得或. 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增； 所以； 结合与的图象在上有且仅有两个交点， 可得或，解得或； 所以k的取值范围 17. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）求证：. 【答案】（1）时，的单调递增区间为，无递减区间； 时，的单调递增区间为，递减区间为. （2） （3）由（2）取，可得不等式：， 即对任意的恒成立. 令（为正整数），得，因此：. 对不等式左右两侧累加： ，故原不等式得证. 【解析】 【分析】（1）对求导得到导函数表达式，根据的取值分类讨论导函数的正负，以此确定单调区间； （2）由分参得到，令，其中，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围； （3）利用第二问的结论，选取合适的值得到，进而得到，再对放缩后的通项求和，利用等差数列求和公式完成证明. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得：. 当时，在上恒成立， 因此的单调递增区间为，无递减区间； 当时，令，解得. 时，，函数上递增； 时，，函数上递减， 此时函数的递增区间为，递减区间为. 综上所述，当时，函数的递增区间为，递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无递减区间. 【小问2详解】 对任意的，由，可得， 令，其中， 则， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得， 故实数的取值范围是. 【小问3详解】 略 18. 已知 （1）若，求的值； （2）若且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用诱导公式化简得，将所求齐次式转化为关于的表达式代入计算即可； （2）利用两角和的正切公式求，结合角的取值范围确定角的值. 【小问1详解】 由题意得：， 所以，所以， 所以； 【小问2详解】 由有：， 所以， 又，所以， 所以. 19. 设是定义在上的奇函数，，当时，. （1）当时，求的解析式； （2）当时，求方程的所有实根之和. 【答案】（1） （2）当时，所有实根之和为；当时，所有实根之和为。 【解析】 【分析】（1）首先根据函数的奇偶性求解的解析式，再根据已知条件求得的解析式，进而求得答案； （2）首先画出函数在上的图象，然后结合图象根据对称性求得函数实根之和. 【小问1详解】 若，则，则， 因为为奇函数，所以，即，. 所以当时，. 若，则， 因为，所以. 综上，当时，的解析式为. 【小问2详解】 作出函数在上的图象，如图， 则函数的最小值为， 若，则方程在上的解为或，则； 若，则在上有个解，且它们分别关于直线和对称， 设它们从小到大依次为，，，，则，，则. 综上可得，当时，的所有实根之和为， 当时，的所有实根之和为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $