精品解析：江苏苏州市昆山市昆山中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题

江苏省昆山中学2026—2027学年第一学期高一模块测试一试卷 数学学科 命题人：温忱炜 审核人：沈俊杰 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. ，，，，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 设集合，则下列图象能表示从集合P到集合Q的函数关系的有（ ） A. B. C. D. 4. 已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数解析式符合该图象特征的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，，设关于x的不等式的解集为A，关于x的不等式的解集为B，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 近年来金价波动剧烈．一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.顾客实际获得的黄金（ ） A. 大于 B. 小于 C. 等于 D. 无法判断 7. 已知x，y为正实数，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 8. 设函数（）的定义域为D，若所有点（s，）构成一个正方形区域，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知定义域为的函数可表示为 1 2 3 4 则下列结论正确的是（ ） A. B. 的值域是 C. 的值域是 D. 若，则 10. 下列说法不正确的是（ ） A. “”的充要条件是“” B. 函数的最小值为2 C. 命题“，”的否定是“，” D. 对任意的集合A，B，C，均有 11. 已知实数，，且，则（    ） A. ab的最小值为9 B. 的最小值为18 C. 的最小值为 D. 的最小值为12 三、填空题 12. 设已知集合，，且，都有成立，则a的取值为______________． 13. 已知表示不超过x的最大整数，例如，．函数，，则的值域为______________． 14. 对于，1，2，…，定义集合，并且记，则使得集合中完全平方数的个数为奇数的最小正整数______________． 四、解答题 15. 已知集合． （1）若，求和； （2）若集合，是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16. 已知函数，． （1），用表示，中的较小者，记作，作出的图象，并写出的单调递增区间； （2）设，，求的最小值． 17. 已知函数． （1）若不等式的解集是，求不等式的解集； （2）若，解不等式（结果用表示）； 18. 已知函数，若，且当时，． （1）求、的值，并写出的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）若对任意的都有恒成立，求实数的取值范围． 19. “勾股容方”问题是数学史中一个非常著名的问题．《九章算术》勾股章有云：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”这个问题（图1）已知直角三角形两条直角边长，要求一个与直角三角形有公共直角的正方形的边长（即“勾股容方”）．记，． （1）若，正方形的边长不小于3，求b的取值范围； （2）已知正方形的边长为3，且两条直角边均为整数，写出a，b的所有可能值； （3）事实上，直角三角形还有另一个内接正方形（图2），该正方形的一边与直角三角形斜边部分重合，即“弦中容方”．那么“斜”能否压“正”呢？请求出正方形与正方形面积，并比较它们的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省昆山中学2026—2027学年第一学期高一模块测试一试卷 数学学科 命题人：温忱炜 审核人：沈俊杰 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】不等式，解得，则， 而集合，所以. 2. ，，，，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】ACD举反例；B选项由不等式的可加性可判断. 【详解】对于A，若，则，选项不成立，故A错误； 对于B，由不等式的可加性可知，，故B正确； 对于C、D，若，则选项不成立，故C、D错误． 故选：B． 3. 设集合，则下列图象能表示从集合P到集合Q的函数关系的有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由函数的定义，要想表示从集合P到集合Q的函数， 则集合P中的任意一个元素，在集合Q中都有唯一的元素与之对应. 对于A，集合P中的元素未对应完，比如在集合Q中没有元素与之对应， 因此不能表示从集合P到集合Q的函数； 对于B，由于集合P中的任意一个元素，在集合Q中都有唯一的元素与之对应， 因此，能表示从集合P到集合Q的函数； 对于C，对于集合P中元素，比如，在集合Q中有2个元素与之对应， 因此不能表示从集合P到集合Q的函数； 对于D，对于集合P中元素，比如，在集合Q中有2个元素与之对应， 因此不能表示从集合P到集合Q的函数. 4. 已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数解析式符合该图象特征的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象的两条渐近线结合为正可得正确的选项. 【详解】对于，故其图象的渐近线为，， 而，结合图象可得，故A不符合； 对于，故其图象的渐近线为，， 而，结合图象可知D符合； 对于，因为，故其图象的渐近线为，， 结合图象可知B不符合； 对于，因为，故其图象的渐近线为，， 结合图象可知C不符合； 故选：D. 5. 若，，设关于x的不等式的解集为A，关于x的不等式的解集为B，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】通过分别验证充分性、必要性是否成立，结合一元一次不等式解集的性质判断条件关系. 【详解】充分性证明： 已知，， 对不等式： 当时，解集；当时，解集 同理，不等式的解集为或； 若，则两个解集的边界点相等，即，整理得，充分性成立. 必要性证明： 若，取反例：令，，则不等式的解集； 令，，此时， 但不等式的解集，显然，故必要性不成立. 综上，“”是“”的充分不必要条件. 6. 近年来金价波动剧烈．一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.顾客实际获得的黄金（ ） A. 大于 B. 小于 C. 等于 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】利用杠杆平衡条件求出两次称得的黄金质量，结合基本不等式判断总质量与的大小关系． 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，由天平两臂不等长可知且， 第一次称量：左盘放砝码，右盘放质量为的黄金，根据杠杆平衡条件，得，解得， 第二次称量：右盘放砝码，左盘放质量为的黄金，根据杠杆平衡条件得，解得， 总黄金质量为，由基本不等式得，因，故，等号取不到，即， 因此，即顾客实际获得的黄金大于． 7. 已知x，y为正实数，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】将原式变形，换元设，然后利用基本不等式可求得结果. 【详解】由题得，设， 则， 当且仅当，即时取等号． 所以的最小值为6． 故选：C． 8. 设函数（）的定义域为D，若所有点（s，）构成一个正方形区域，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先设函数与x轴的两个交点的横坐标为： ，，，根据题意有，且，结合求根公式，列式可求的值. 【详解】设函数与x轴的两个交点的横坐标为： ，，， 且由题意可得， 所以函数的定义域为，且. 由题意可知，，， 所以函数的值域为，即， 因为所有的点（s，）构成一个正方形区， 所以，所以，所以， 整理可得，，因为，所以. 故选：B 二、多选题 9. 已知定义域为的函数可表示为 1 2 3 4 则下列结论正确的是（ ） A. B. 的值域是 C. 的值域是 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【详解】，A正确； 的值域是，B正确，C错误； 因为，所以，所以，所以，D正确. 10. 下列说法不正确的是（ ） A. “”的充要条件是“” B. 函数的最小值为2 C. 命题“，”的否定是“，” D. 对任意的集合A，B，C，均有 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，由，得，则， 所以“”是“” 的充分不必要条件，故A错误； 对于B，由， 当且仅当，即时等号成立， 则函数的最小值为2，故B正确； 对于C，命题“，”的否定是“，”， 故C错误； 对于D，设，则或， 当时，，，所以； 当时，，且，所以，，则. 反之，设，则，且， 若，则； 若，由，且，得，且，即，则. 综上所述，，故D正确. 11. 已知实数，，且，则（    ） A. ab的最小值为9 B. 的最小值为18 C. 的最小值为 D. 的最小值为12 【答案】ABC 【解析】 【分析】由基本不等式可得A、B正确，由，可得，再由基本不等式化简计算，可判断C、D的真假. 【详解】因为， 由基本不等式得，即， 令，则，解得或（舍去）， 当时，，解得，当时，ab的最小值为9，故A正确； 因为，当时取等号，的最小值为18，故B正确； 因为，所以， 所以， 当，即，时取等号， 所以的最小值为，故C正确； 因为， 所以，当，即，时等号成立，此时的最小值为13，故D错误． 故选：ABC 三、填空题 12. 设已知集合，，且，都有成立，则a的取值为______________． 【答案】 或 【解析】 【分析】由题设推出，分和两类解方程，再结合集合元素互异性检验舍去不合要求的解即可 【详解】由，都有，可得， 因为且，所以，仅需讨论元素的取值： 当时，整理得，解得或， 若，则，，满足且集合元素互异，符合题意； 若，则，，满足且集合元素互异，符合题意； 当时，整理得，解得，此时，不满足集合元素的互异性，故舍去该解. 综上，的取值为或. 13. 已知表示不超过x的最大整数，例如，．函数，，则的值域为______________． 【答案】 【解析】 【分析】先对函数中的分式分离常数，再分区间讨论分式的取值范围，结合取整函数的定义求解值域． 【详解】首先对分式分离常数：  ，分两种情况讨论： 当时，，因此，变形得，故， 根据取整函数的定义，此时的取值为或； 当时，，因此，变形得，故， 根据取整函数的定义，此时的取值为； 综上，的所有可能取值为，故值域为． 14. 对于，1，2，…，定义集合，并且记，则使得集合中完全平方数的个数为奇数的最小正整数______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据得出中的最小元素，分和两种情况依次验证集合中完全平方数的个数得出结果. 【详解】当时，，对于，1，2，…，集合中最小的元素， 中完全平方数的个数为奇数，则. (1)当时，，，此时中有2个完全平方数； 当时，，，此时中有2个完全平方数； 当时，，，此时中有4个完全平方数； 当时，，，此时中有5个完全平方数； (2)因为当，1，2，…时，一定为偶数. 当时，，，此时中有2个完全平方数； 当时，，，此时中有3个完全平方数； 综上所得，使集合中完全平方数的个数为奇数的最小正整数. 四、解答题 15. 已知集合． （1）若，求和； （2）若集合，是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）或，； （2）. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用补集、并集的定义求解. （2）利用充分不必要条件的定义，结合集合的包含关系列式求出范围. 【小问1详解】 当时，，而， 所以或，. 【小问2详解】 由集合，是的充分不必要条件，得非空集合是的真子集， 因此或， 解得或，则， 所以实数的取值范围是. 16. 已知函数，． （1），用表示，中的较小者，记作，作出的图象，并写出的单调递增区间； （2）设，，求的最小值． 【答案】（1）的图象为 的单调递增区间为：和. （2）8 【解析】 【分析】（1）分析函数，中的较小者，分段画出函数的图象,进而利用函数图象求解单调递增区间； （2）由（1）求得函数的解析式，使用基本不等式求解最小值. 【小问1详解】 ， 当时，令，即，，则； 当时，令，即，解得或， 则 图象如下： 由图可知的单调递增区间为：和； 【小问2详解】 ，，令，则， ，当时等号成立， 所以当时，取到最小值为8. 17. 已知函数． （1）若不等式的解集是，求不等式的解集； （2）若，解不等式（结果用表示）； 【答案】（1） （2） 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【解析】 【分析】（1）先由已知一元二次不等式的解集确定对应方程的根，结合韦达定理求参数，再代入求解目标不等式. （2）将代入后，根据判别式的符号分类讨论求解含参一元二次不等式. 【小问1详解】 由，的解集为可知： 和是方程的两个实根， 根据韦达定理可得：，解得，， 将代入不等式可得：，得， 化简为，因式分解得，解得. 【小问2详解】 当时，，由于， 所以不等式两边同除以，不等号方向改变， 得，则判别式， 因，故的符号由决定， ① 当，即，结合得时， 二次函数开口向上且与轴无交点，不等式恒成立，解集为， ② 当，即，结合得时， 不等式化为，解得，解集为， ③ 当，即，结合得时， 则根据方程求根公式可得：， 记，因为，且， 同时除以负数不等号反向，所以，又因为， 二次函数开口向下，的解集在两根外侧，即： 或， 综上所述：当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. 18. 已知函数，若，且当时，． （1）求、的值，并写出的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）若对任意的都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），， （2）在上单调递减， 证明：、，， ， 由，得，，， 则，即，所以函数在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定函数解析式，结合两个条件求出、的值，进而求得的解析式. （2）判断（1）中函数在上的单调性，再利用单调性定义推理得证. （3）由给定不等式可得，再利用建立不等式并借助单调性化简，再分离参数，借助基本不等式求出最值即可求出范围. 【小问1详解】 函数，当时，由，得，则， 由，得，即，则，所以，， 函数的解析式为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知，当时，，函数在上单调递减， 则函数在上单调递增， 当时，；当时，， 由任意的都有恒成立，得，， 则任意的都有，且恒成立， 因此对任意的恒成立， 而，，当且仅当时取等号，则， 所以实数的取值范围是. 19. “勾股容方”问题是数学史中一个非常著名的问题．《九章算术》勾股章有云：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”这个问题（图1）已知直角三角形两条直角边长，要求一个与直角三角形有公共直角的正方形的边长（即“勾股容方”）．记，． （1）若，正方形的边长不小于3，求b的取值范围； （2）已知正方形的边长为3，且两条直角边均为整数，写出a，b的所有可能值； （3）事实上，直角三角形还有另一个内接正方形（图2），该正方形的一边与直角三角形斜边部分重合，即“弦中容方”．那么“斜”能否压“正”呢？请求出正方形与正方形面积，并比较它们的大小． 【答案】（1） （2），， （3）正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积大于正方形的面积（即“斜”不能压“正”） 【解析】 【分析】（1）设正方形边长为，根据，对应边成比例列式，再利用，可求的取值范围. （2）根据三角形相似，对应边成比例，得到的关系，再根据均为正整数，求出所有的解. （3）分别求出正方形和正方形的边长，可表示它们的面积，利用作差法可比较两个正方形面积的大小. 【小问1详解】 设正方形边长为，因为，所以， 即. 由. 【小问2详解】 因为，且正方形的边长为3， 所以. 因为均为正整数，所以为正整数， 所以当即时，； 当即时，； 当即时，. 所以a，b的所有可能值为：，，. 【小问3详解】 对图1，设，因为， 所以. 所以正方形的面积为. 对图2，因为，且， 设， 由； 由. 由. 所以正方形的面积为. 因为 所以. 即正方形面积大于正方形的面积，所以“斜”不能压“正”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $