精品解析：江苏省苏州市昆山市昆山市第一中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

2025级高一第一次学情调研 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 函数的定义域为 A. B. C. D. 3. 已知命题，，那么是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（　　） A. B. C. D. 5. 已知实数，满足，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知实数a，b，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 7. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列各组函数中，表示的不是同一函数的有（ ） A. B. C. D. 11. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则的最大值是 B. 若，则的最小值为2 C. 若，，均为正实数，且，则的最小值是4 D. 已知，且，则最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为________． 13. 已知函数的定义域是，则的定义域是______ 14. 定义：对于非空集合，若元素，则必有，则称集合为“和集合”.已知集合，则集合所有子集中，是“8和集合”的集合有_____个. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求及； （2）若，求实数的取值范围. 16. 设命题p:对任意，不等式恒成立；命题q:存在，使得不等式成立． （1）若p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p与命题q中有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围． 17. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求，的值； （2）若，求不等式的解集． 18. 如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200的十字型地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪．甲工程队参与投标，给出的报价为：花坛报价为4200元/，花岗岩地坪报价为210元/，草坪报价为80元/．设总造价为S（单位：元），AD的长为x（单位：m）． （1）试建立S关于x的函数，并写出x的取值范围； （2）现有乙工程队也参与竞标，其给出的整体报价为元，若无论AD的长为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 19. 设k是正整数，A是的非空子集（至少有两个元素），如果对于A中的任意两个元素x，y，都有，则称A具有性质. （1）试判断集合，是否具有性质？并说明理由； （2）若集合，证明A不可能具有性质； （3）若集合且具有性质和，求A中元素个数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一第一次学情调研 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集定义直接得结果. 【详解】， 故选：D. 【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 2. 函数的定义域为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据根号有意义的条件及分式有意义的条件，进行求解. 【详解】∵函数， ∴≥0，且x-4≠0， ∴﹣2≤x≤6，且x≠4， ∴f（x）的定义域为：， 故选B． 【点睛】本题主要考查函数的定义域及其求法，属于基础题． 3. 已知命题，，那么是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据命题的否定的概念直接判断. 【详解】由已知命题，， 则，， 故选：A. 4. 若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依次判断各选项中的函数是否满足定义域和值域要求即可. 【详解】对于A，函数在处有意义，不满足定义域为，A错误； 对于B，函数的定义域为，值域为，满足题意，B正确； 对于C，函数在处有意义，不满足定义域为，C错误； 对于D，函数在处有意义，不满足定义域为，D错误. 故选：B. 5. 已知实数，满足，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式性质直接可得取值范围. 【详解】由已知， 又，， 则，， 所以， 即， 故选：D. 6. 已知实数a，b，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断． 【详解】为充要条件． 故选：C. 7. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为，则，，且， 所以， ， 当且仅当时，即当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 8. 若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简为，再对分类讨论分别求出原不等式的解集，然后根据其解集中恰有3个整数解求出实数的取值范围. 【详解】不等式可化为， 当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意； 当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意； 当时，原不等式等价于，其解集为， 其解集中恰有3个整数解，所以，解得； 当时，原不等式等价于， 其解集为，不满足题意； 当时，原不等式等价于，其解集为， 其解集中恰有3个整数解，所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是正确的分类讨论，二是要注意在处理满足整数解时等号的取舍． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可判断A，举反例即可求解BC，作差法即可判断D. 【详解】因为，所以，所以，故A正确； 当时，，故B错误； 当时，，故C错误； ，又，所以，即，故D正确. 故选:AD. 10. 下列各组函数中，表示的不是同一函数的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】从函数的定义域、对应关系和值域对各选项逐一分析判断即得. 【详解】对于A，的定义域为的定义域为，故不是同一函数； 对于B，的值域为的值域为，故不是同一函数； 对于C，，定义域都为，是同一函数； 对于D，的定义域为的定义域为，故不是同一函数． 故选:ABD． 11. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则的最大值是 B. 若，则的最小值为2 C. 若，，均为正实数，且，则的最小值是4 D. 已知，且，则最小值是 【答案】AD 【解析】 【分析】根据选项中各式的特点，进行适当变形，使用基本不等式进行判断．注意“1”的妙用及等号能否取到． 【详解】对于A，由可得，由基本不等式可得， 当且仅当时，即时取等号，所以的最大值为，故A正确； 对于，， 当且仅当时等号成立，但此时无解，等号无法取得，则最小值不为2，故B错误； 对于C，由可得 ， 当且仅当且，即，，时，等号成立，由于，，均为正实数，则等号取不到，故C错误； 对于D，由得，即， 设，则，解得， 又，则， 所以， 当时，即时取等号.所以最小值是.故D正确； 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用必要不充分条件的定义求出范围. 【详解】由题知，， 又因为“”是“”的必要不充分条件，可得， 故答案为：. 13. 已知函数的定义域是，则的定义域是______ 【答案】 【解析】 【分析】 根据的定义域是，可求出的定义域为，，从而要使得函数有意义，则需满足，解出的范围即可． 【详解】解：的定义域是，； ； ； 的定义域为，； 要使有意义，则：； 解得； 原函数的定义域是． 故答案为：． 【点睛】考查函数定义域的定义及求法，已知的定义域求的定义域的方法，以及已知的定义域求的定义域的方法． 14. 定义：对于非空集合，若元素，则必有，则称集合为“和集合”.已知集合，则集合所有子集中，是“8和集合”的集合有_____个. 【答案】15 【解析】 【分析】 由新定义可得集合的子集中，、、、一定成组出现，再由子集的概念即可得解. 【详解】由题意，集合的子集中，、、、一定成组出现， 当集合的子集中只有1个元素时，即为，共1个； 当集合的子集中有2个元素时，即为，共3个； 当集合的子集中有3个元素时，即为，共3个； 当集合的子集中有4个元素时，即为，共3个； 当集合的子集中有5个元素时，即为，共3个； 当集合的子集中有6个元素时，即为，共1个. 当集合的子集中有7个元素时，即为，共1个. 则集合所有子集中，是“8和集合”的集合有15个. 故答案为：15. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求及； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；或. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，将代入计算，结合集合的运算，即可得到结果； （2）根据题意，分与讨论，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 当时，，且， 则， 又或，则或. 【小问2详解】 当时，则，解得， 此时满足； 当时，则，即， 由可得或， 解得或， 综上所述，实数的取值范围是. 16. 设命题p:对任意，不等式恒成立；命题q:存在，使得不等式成立． （1）若p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p与命题q中有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】（1）的取值范围； （2）m的取值范围为. 【解析】 【分析】（1）求出即可，由函数单调性求出，故，解不等式得到答案； （2）求出为真命题时的，进而分为真命题，为假命题或为假命题，为真命题两种情况，求出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为为真命题，所以对任意，不等式恒成立，只需， 其中在上单调递增，故， 所以，解得，所以的取值范围； 【小问2详解】 若为真命题，即存在，使得不等式成立，则， 其中，而，故时，， 所以，故； 因为命题p与命题q中有且只有一个是真命题， 所以为真命题，为假命题或为假命题，为真命题， 若为真命题，为假命题，则，所以； 若为假命题，为真命题，则或，所以. 综上，或， 所以m的取值范围为. 17. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求，的值； （2）若，求不等式的解集． 【答案】（1），； （2）当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． 【解析】 【分析】（1）由题意可得和是方程的两个根，且，根据韦达定理即可求解； （2）等式即，对分类讨论即可求解. 【小问1详解】 因为不等式的解集为， 所以和是方程的两个根，且， 可得，解得，． 【小问2详解】 当时，不等式即，即， ①当时，，解得； ②当时，不等式可化为，解得或； ③当时，不等式化为， 若，则； 若，则； 若，则， 综上所述，当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． 18. 如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200的十字型地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪．甲工程队参与投标，给出的报价为：花坛报价为4200元/，花岗岩地坪报价为210元/，草坪报价为80元/．设总造价为S（单位：元），AD的长为x（单位：m）． （1）试建立S关于x的函数，并写出x的取值范围； （2）现有乙工程队也参与竞标，其给出的整体报价为元，若无论AD的长为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设，由十字型地域面积可得与y的关系，然后可得到S关于x的函数表达式及x的取值范围； （2）由（1）结合题意可得恒成立，可得答案. 【小问1详解】 设，因十字型地域面积为200，AD的长为x. 则. 则 . 【小问2详解】 由（1）， 则恒成立，即. 又，当且仅当时等号成立， 所以，所以. 19. 设k是正整数，A是的非空子集（至少有两个元素），如果对于A中的任意两个元素x，y，都有，则称A具有性质. （1）试判断集合，是否具有性质？并说明理由； （2）若集合，证明A不可能具有性质； （3）若集合且具有性质和，求A中元素个数的最大值. 【答案】（1）不具有性质，具有性质，理由：，不具有性质. ，，，具有性质； （2）证明：将集合中的元素分为如下10个集合， ，，，，，，，，，. 所以从集合中取11个元素，那么这10个集合至少有一个集合要选2个数，存在两个元素其差为5，不可能具有性质； （3）455个. 【解析】 【分析】（1）根据定义判断是否具有性质即可； （2）将集合中的元素分为10个集合，进行求解即可； （3）先说明连续11项中集合A中最多选取5项，然后求出集合A中共有455个元素，即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 先说明连续11项中集合A中最多选取5项，以1，2，3…，11为例.将这11个数分为，，，，，，7个集合， ①，6，7同时选，因为具有性质和，所以选5则不选1，；选6则不选2，；选7则不选3，；则只剩4，.故1，2，…，11中属于集合A的元素个数不超过5个. ②，6，7选2个，若只选5，6，则1，2，9，10，7不可选，又只能选一个元素，3，8可以选，故1，2，…，11中属于集合A的元素个数不超过5个. 若选5，7，则只能从2，4，8，10中选，但4，8不能同时选，故1，2，…，11中属于集合A的元素个数不超过5个. 若选6，7，则2，3，10，11，5不可选，又只能选一个元素，4，9可以选，故1，2，…11中属于集合A的元素个数不超过5个. ③，6，7中只选1个，又四个集合，，，每个集合至多选1个元素，故1，2，…，11中属于集合A的元素个数不超过5个. 由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合A的元素至多只有5个，如取1，4，6，7，9.因为， 则把每11个连续自然数分组，前90组每组至多选取5项；从991开始，最后10个数至多选取5项，故集合A的元素最多有个. 给出如下选取方法：从1，2，…，11中选取1，4，6，7，；然后在这5个数的基础上每次累加11，构造90次. 此时集合A的元素为：1，4，6，7，；，15，17，18，；，26，28，29，；；，2017，2019，2020，2022，991，994，996，997，999共455个元素. 经检验可得该集合符合要求，故集合A的元素最多有455个. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键点在于根据集合新定义对集合的中元素进行分类，可先取其中连续11项进行讨论较为简单. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $