上海市宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题

罗店中学高一上10月月考数学试卷 2026.10.8 一、填空题（本大题满分36分，每题3分） 1.若全集U={1,2,34,5,A={L,2},则7= 2.设D={《x,y)川y=x2},则(-1，)D.(选填“∈”、“g"”) 3.若2x2+3x+5=a(2x+1)(x+1)+b恒成立，则a-b的值 4.“、b中至少有一个能被6整除”的否定形式是 5.设集合A={1,2},则满足AUB={1,2,3}的集合B的个数是 6.命题“若x<1,则x<3a-2”是真命题，求实数a的取值范围是 7。不论实数m取何值，点P(m+1,2-m)一定不在第象限.（选填“一”、“二”、“三”或“四”） 8.设、2是方程x2+x-3=0的两个实数根，则x-x2+2022= 9.已知全集U=R,集合A={y=Vx2+x+2, B={xx<0或x>S}.集合C表示图中阴影区域对应的集 合，则集合C= ,(用区间表示) 10.关于x的不等式ar-b<0的解集为(2，+oo),则关于x不等式(+b(x-l)<0的解集为 1l.设a、b、a、b均为非零常数，不等式a,x+b>0和ax+b>0的解集分别为M、N,则 4=点是“M=N"的 条件。（选填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”和“既非充 az b, 分也非必要”) 12.已知集合{a,b,c}={0,l,2},若下列三个关系中有且只有一个正确：①a≠2：②b=2:③ c≠0，则100a+10b+c= 二、单选题（本大题满分12分，每题3分） 13.a、b、c∈R,b>c,下列不等式恒成立的是()， A.a+b2>a+c2 B.a2+b>a2+cC.ab2>ac? D.a'b>a'c 14.给出命题：“如果n是素数，那么n2+2不是素数”甲同学判断该命题是假命题，他给出这个判断的 反例可以是()。 A.n=2 B.n=3 C.n=4 D.n=5 15.设集合A= slx-2nez.B-xlxentj.nez. 下列图形能表示A与B关系的是 16.以某些整数为元素的集合P具有以下性质，则下列选项中是正确的()， (1)P中元素有正数，也有负数：(2)P中元素有奇数，也有偶数： (3)-1P:(4)若xy∈P,则x+y∈P. A.集合P中一定有0但没有2 B.集合P中一定有0可能有2 C,集合P中可能有0可能有2 D.集合P中既没有0又没有2 三、解答题（本大题满分52分，共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域 内写出必要的步骤.) 17.（本题满分4+4=8分) (1)已知a、b为实数，比较a2+b2与4a-2b-5的值的大小： (2)若-1≤x+y≤2，-2≤x-y≤1，求x-2y的范围. 18.(本题满分4+6=10分) 已知集合A={xx-2<a,集合B={x-2<x<3}, (1)若a=2,求AUB、A∩B； (2)若A∩B=A,求实数a的取值范围 19。(本题满分4+6=10分) 我校校园文化节即将到来，高一年级将开展“数字配对”的抽奖活动，活动规则如下：每人可以抽取一 张卡片，每张卡片上都印有一个不小于-10且不大于10的整数，其中不含2，每张卡片数字对应一个抽 奖号码，卡片上的数字减去2所得的差，与抽奖号码减去3所得的差，两者的乘积等于12。 (口)记卡片上的数字为x,卡片数字对应的抽奖号码为y,请用含有卡片数字x的式子来表示抽奖 号码y: (2)当抽奖号码不小于3且不大于7时，抽奖者可以领取奖品。请问抽到哪些数字的卡片可以领取 奖品？请写出满足领取奖品的卡片数字所组成的集合， 20.(本题满分4+8=12分) (1)已知m∈R,若不等式(m+)x2-mx+m-1<0的解集是空集，求m的取值范围： (2)命题P:x2-5x+6<0,命题9：x2-4x+3a2<0,若命题P是命题9的充分非必要条件， 求实数a的取值范围 21.(本题满分3+4+5-12分) 对于至少含两个元素的有限正整数集A,定义它的“两两和集”为 S(A)={2lz=x+,其中xy∈4且x<以 (1)若A={1,2,4,5},求S(4): (2)已知集合A中恰好含有四个元素，且S(4)={5,7,8,10,11,13},写出所有符合条件的集合A: (3)猜想：当集合A含有n个元素(n≥2)时，S()的元素个数最少是多少？证明你的猜想，罗店中学高一上10月月考数学试卷 2026.10.8 一、填空题（本大题满分36分，每题3分) 1.若全集U=1,2,3,4,5},A={1,2,则A= 【答案】{3,4,5} 【详解】因为全集U={1,2,3,4,5},A={1,2},所以7={3,4,5}， 2.设D={(xy)川y=x2},则(-1，)D.(选填“∈”、“E”) 【答案】∈ 【详解】（-1,1)是有序实数对，且满足1=(-1)，故(-1，)∈D, 故答案为：∈ 3.若2x2+3x+5=a(2x+1)(x+1)+b恒成立，则a-b的值_ 【答案】-3 【详解】因为2x2+3x+5=a(2x+1)(x+1)+b,即2x2+3x+5=2x2+3ax+a+b恒成立， 2=2a a=1 所以3=3a,所以 b=4 故答案为：3 5=a+b 4.“a、b中至少有一个能被6整除”的否定形式是 【答案】a、b不能被6整除 5.设集合A={1,2},则满足AUB={1,2,3}的集合B的个数是 【答案】4 【详解】由题意，可知A={1,2,AUB=1,2,3}, 则结合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合A=1,2的子集个数问题， 所以满足条件的集合B共有22=4个. 试卷第1页（共9页） 6.命题“若x<1,则x<3a-2”是真命题，求实数a的取值范围是 【答案】a≥1 【详解】a:x<1,B:x<3a-2,且若u则B是真命题，则{xk<1}s{xk<3a-2}, 所以，3a-2≥1，解得a≥1.故答案为：a≥1. 7.不论实数m取何值，点P(m+1,2-m)一定不在第象限.（选填“一”、“二”、“三”或“四”） 【答案】三 【详解】当m<-1时，m+1<0,2-m>0,此时点P(m+1,2-m)位于第二象限： 当-1<m<2时，m+1>0,2-m>0,此时点P(m+1,2-m)位于第一象限： 当m>2时，m+1>0,2-m<0,此时点P(m+1,2-m)位于第四象限 当m=-1时，点P(0,3)位于y轴的正半轴上； 当m=2时，点P(3,0)位于x轴的正半轴上. 故不论实数m取什么值，点P(m+1,2-m)一定不在第三象限 8.设x1、2是方程x2+x-3=0的两个实数根，则x2-x2+2022= 【答案】2026 【详解】因为，x2是方程x2+x-3=0的两个实数根，由韦达定理得x+x2=-1, 所以x2=-1-x,故x2-x2+2022=x2-(-1-x)+2022=x2+x+2023=2026, 故答案为：2026 U 9.已知全集U=R,集合A={y=V-x+x+2, B={xx<0或x>5}.集合C表示图中阴影区域对应的集 合，则集合C=·(用区间表示) 【答案】C=[0,2] 试卷第2页（共9页） 10.关于x的不等式ax-b<0的解集为(2，+oo),则关于x不等式(ax+b)(x-1)<0的解集为 【答案】（-∞，-2)U(1,+0) 【详解】由不等式ax-b<0的解集为(2，+∞)，得a<0且=2. L 代入不等式(c+bx-)<0,等价于ax+合x-小<0 因a<0,不等式等价于(x+2)(x-1)>0. 所以不等式的解集为(-∞，-2)U(1,+∞). 11.设4、b、42、b2均为非零常数，不等式ax+b,>0和a2x+b2>0的解集分别为M、N,则 4=点”是“M=N的 条件.（选填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”和“既非充 az b2 分也非必要”) 【答案】必要非充分 【详解】设2=么=k,则a=ka,4=他，所以ax+4>0台ka,x+,>0台ka,x+b)>0, a,b, 当k<0时，ax+6>0台a,x+h,<0,此时M≠N,所以=2推不出“M=N” 当M=N时，有4,4，同号，且-么=-么，可以推出二-2， 41a2 综上所述二=2"是“M=N”的必要非充分条件 az b, 12.已知集合{a,b,c}={0,1,2,若下列三个关系中有且只有一个正确：①a≠2；②b=2；③ c≠0，则100a+10b+c=」 【答案】201 a≠2， 【详解】若“a≠2”正确，则b≠2，因为a≠2且b≠2，则c=2,矛盾. c=0. a=2, 若“b=2”正确，则 b=2,,矛盾. c=0. 试卷第3页（共9页） a=2, 若“c≠0”正确，则b≠2，则b=0,c=1. c≠0. 综上得，a=2,b=0,c=1代入100a+10b+c=200+1=201. 二、单选题（本大题满分12分，每题3分） 13.a、b、c∈R,b>c,下列不等式恒成立的是(). A.a+b2>a+c2 B.a2+b>a2+c C.ab2>ac2 D.a2b>a'c 【答案】B 【详解】对于A,若<G,则b2<c2,选项不成立，故A错误： 对于B,由不等式的可加性可知，a2+b>a2+c,故B正确； 对于C、D,若a=0,则选项不成立，故C、D错误. 故选：B. 14.给出命题：“如果n是素数，那么n2+2不是素数”.甲同学判断该命题是假命题，他给出这个判断的 反例可以是(). A.n=2 B.n=3 C.n=4 D.n=5 【答案】B 【详解】由题意得：需要找出一个反例，即存在一个素数n,使得n2+2也是素数. 选项A:当n=2时，计算：n2+2=22+2=4+2=6, 6不是素数（合数），符合命题结论，不能作为反例，故选项A不正确： 选项B:当n=3时，计算：n2+2=32+2=9+2=11, 11是素数，满足反例条件，故选项B正确： 选项C:n=4不是素数，不满足命题前提，不能作为反例，故选项C不正确； 选项D:当n=5时，计算：n2+2=52+2=25+2=27, 27不是素数（合数，可被3整除），符合命题结论，不能作为反例，故选项D不正确. 故选：B 试卷第4页（共9页） ,设条合4-x=号e、8一红=+号e,则下列国形德表示4与B关系的是 A B B B D B 【答案】A -人昌器-}三4做速 16.以某些整数为元素的集合P具有以下性质，则下列选项中是正确的（). (1)P中元素有正数，也有负数；(2)P中元素有奇数，也有偶数： (3)-1P;(4)若x、y∈P,则x+y∈P. A.集合P中一定有0但没有2 B.集合P中一定有0可能有2 C.集合P中可能有0可能有2 D.集合P中既没有0又没有2 【答案】A 【详解】解：由(4)得x∈P,则x∈P(k是正整数). 由(1)可设x,yeP,且x>0,y<0,则y、(-y)x∈P,而0=y+(-y)x∈P. 假设2∈P,则2k∈P.由上面及(4)得0,2,4,6,8，.均在P中， 故2k-2∈P(k是正整数)， 不妨令P中负数为奇数-2k+1(k为正整数)， 由(4)得(2k-2)+(-2k+1)=-1∈P,矛盾. 故若2∈P,则P中没有负奇数. 若P中负数为偶数，设为-2k(k为正整数)，则由(4)及2∈P, 得-2，-4,6，…均在P中，即-2m-2∈P(m为非负整数)， 则P中正奇数为2m+1,由(4)得(-2m-2)+(2m+1)=-1∈P,矛盾. 综上，0∈P,，2EP.故选：A. 三、解答题（本大题满分52分，共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域 内写出必要的步骤.) 试卷第5页（共9页） 17.(本题满分4+4=8分) (1)已知a、b为实数，比较a2+b2与4a-2b-5的值的大小： (2)若-1≤x+y≤2，-2≤x-y≤1，求x-2y的范围. 【详解】(1)由(a2+b2)-(2a-4b-5)=a2-2a+1+b2+4b+4=(a-1)2+(b+2)2≥0， 所以a2+b2≥2a-4b-5,当且仅当a=1,b=-2时取等号. (2)x-2y∈[-4,2] 令x-2y=m(x+y)+n(x-y),所以x-2y=(m+n)x+(m-n)y,， 「1=m+n m=- 所以 则 -2=m-n 子，所以x-2y=c+功-列 n= 2 因为-1≤x+ys2-2sx-ys1,所以-15-2x+川s2-3sx-列s 所以x-2y∈[-4,2]. 18.(本题满分4+6=10分) 已知集合A={xx-2<@,集合B={x-2<x<3} (1)若a=2,求AUB、A∩B; (2)若A∩B=A,求实数a的取值范围. 【答案】(1).AUB={x|-2<x<4},A∩B=(0,3)(2)(-o,1] 【详解】(1)解：A={xx-2<a,a=2时，解得A={x0<x<4}, 由2-<1，得-3<0，即(x+2x-3)<0,解得-2<x<3,所以B={2<x<3}, x+2 x+2 .AUB={x-2<x<4},AnB=(0,3) (2)当a≤0时，A=☑，符合题意 当a>0,∴A={x2-a<x<2+@,,A∩B=A,A∈B, 2-a≥-2 2+a≤3，解得0<a≤1， a>0 所以实数a的取值范围为(-o∞，1] 试卷第6页（共9页） 19.（本题满分4+6=10分) 我校校园文化节即将到来，高一年级将开展“数字配对”的抽奖活动，活动规则如下：每人可以抽取一 张卡片，每张卡片上都印有一个不小于-10且不大于10的整数，其中不含2。每张卡片数字对应一个抽 奖号码，卡片上的数字减去2所得的差，与抽奖号码减去3所得的差，两者的乘积等于12。 (1)记卡片上的数字为x,卡片数字对应的抽奖号码为y,请用含有卡片数字x的式子来表示抽奖 号码y: (2)当抽奖号码不小于3且不大于7时，抽奖者可以领取奖品。请问抽到哪些数字的卡片可以领取 奖品？请写出满足领取奖品的卡片数字所组成的集合。 【解析】(1)设卡片上的数字为x,对应的抽奖号码为y。根据配对规则，得(x-2)(y-3)=12。 由于x≠2，所以y=3+ 12 x-2 (2)根据抽奖条件，需要同时满足以下两个不等式：3≤3+12≤7。 x-2 第一个不等式通分解得x>2。第二个不等式移项、通分解得x<2或x≥5， 取上述两个不等式解集的交集，得x≥5， 结合卡片数字的取值集合，可领取奖品的卡片数字为{5,6,7,8,9,10}. 20.（本题满分4+8=12分) (1)已知m∈R,若不等式(m+1)x2-mx+m-1<0的解集是空集，求m的取值范围： (2)命题P:x2-5x+6<0,命题9：x2-4ax+3a2<0,若命题p是命题9的充分非必要条件， 求实数a的取值范围. 【答案】 (2)[山，2] 【详解】(1)当m+1=0时，即m=-1,则由x-2<0,得x<2,不合题意， 当m+1≠0，即m≠-时，由不等式f(x)<0的解集为⑦得 A=m2-4m+Xm-D≤0'解得m≥2 [m+1>0 3 2W3 所以m的取值范围为 试卷第7页（共9页) (2)解x2-5x+6<0,因式分解得(x-2)(x-3)<0,故P的解集为(2,3)， 解x2-4ar+3a2<0,因式分解得(x-a)(x-3a<0, 因为命题P是命题9的充分不必要条件，所以(2,3)是9解集的真子集， 当a=0,9的解集为☑，不符，舍； 当a<0时，9的解集为(3a,a),不符，舍： 当a>0时，9的解集为(a,3a, 3a之3（等号不同时取)，解得1sa≤2： a≤2 又因为(2,3)是9解集的真子集，所以有 综上，实数a的取值范围[1,2]. 21.(本题满分3+4+5=12分) 对于至少含两个元素的有限正整数集A,定义它的“两两和集”为 S(A)={z到z=x+y,其中xy∈A,且x<y以 (1)若A={1,2,4,5},求S(4): (2)已知集合A中恰好含有四个元素，且S(A)={5,7,8,10,11,13},写出所有符合条件的集合A: (3)猜想：当集合A含有n个元素(n≥2)时，S(A)的元素个数最少是多少？证明你的猜想。 【答案】（①）S(4)={3,5,6,7,9}(2)A={1,4,6,7}或A={2,3,5,8} 【详解】(1)计算所有两两和并去掉重复的结果，得S(A)={3,5,6,7,9} (2)设A={a,b,c,d,其中a<b<c<d。四个元素共有六种两两配对，和集恰好有六个元素，因 此六个和互不相同。 最小、第二小及最大的和分别确定为a+b=5,a+c=7,c+d=I3 由此得到b=5-a,c=7-a,d=6+a 于是b+d=11,a+d=2a+6,b+c=12-2a 其余两个和对应8和10，分两种情况讨论。 ①若a+d=8,b+c=10,则2a+6=8,解得a=1,所以A={1,4,6,7}: ②若a+d=10,b+c=8,则2a+6=10,解得a=2,所以A={2,3,5,8: 试卷第8页（共9页） 检验可知，两组均符合题意。因此所有符合条件的集合为A={1,4,6,7}或A={2,3,5,8} (3)猜想：两两和集的元素个数的最小值为2-3。证明如下。 将集合中的元素按从小到大排列为41<a2<L<an, 当n=2时，两两和集恰好有一个元素，结论成立。 当n≥3时，考虑下列均属于S(A)的数，由不等式的传递性可得： a1+42<4+a3<L<a1+an<a2+an<L<an-1+am。共有(n-1)+(n-2)=2n-3个。因此，两两 和集至少含有2n-3个元素。 再证明可以取到2n-3:对任意n≥2，取A=1,2,,n, 所有两两和都是不小于3且不大于2n-1的整数。其中，1+2,1+3，，1+n是从3到n+1的整数： 当n≥3时，2+n,3+n,,(n-1)+n可取到其余整数。因此S(A)={3,4,,2n-1},其元素个数为 (2n-1)-3+1=2n-3。所以所求最小值为2n-3。 试卷第9页（共9页）