精品解析：上海市吴淞中学2025-2026学年高一上学期第二次学科调研考试数学试卷

吴淞中学 2025 学年第一学期高一第二次学科调研考试数学试卷 一、填空题（1-6 题每题 3 分，7-12 题每题 4 分） 1. 已知集合A＝{－1，3，m}，集合B＝{3，4}，若B⊆A，则实数m＝________. 【答案】4 【解析】 【详解】 2. 函数的定义域是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据偶次根式被开方数非负及无意义，即可求得答案. 【详解】由题意，，解得且. 故答案为： 3. 已知，则xy的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，代入所求，结合二次函数的性质，即可得答案. 【详解】由题意得，则， 为开口向下，对称轴为的抛物线， 所以当时，有最大值. 故答案为： 4. 已知，则用a，b表示为______. 【答案】 【解析】 【分析】先把指数形式转化为对数形式，再利用对数运算法则求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为： 5. 函数的最小值是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角不等式求函数的最小值. 【详解】因为（当即时取等号）. 故答案为：2 6. 已知是奇函数，当时，，则当时， =________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用奇函数定义求出解析式. 【详解】函数是奇函数，且当时，， 则当时，，. 故答案为： 7. 函数的图像不经过第二象限，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先判断指数型函数的单调性，依题意可得当时即可. 【详解】因为在定义域R上单调递增， 又的图像不经过第二象限， 所以当时，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 8. 不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】设可得其定义域，根据对数函数与幂函数的单调性，可得的单调性，结合特殊值，分析即可得答案. 【详解】设，定义域为， 因为对数函数在单调递增，幂函数在单调递增， 所以在单调递增， 又， 所以的解集为. 故答案为： 9. 已知函数在上有最大值7，最小值6，则正数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二次函数性质，结合最值情况求出范围. 【详解】函数，当且仅当时取等号， 由函数的最小值为6，得，则；而，函数的最大值为7， 因此，即，解得，则， 所以正数的取值范围是. 故答案为： 10. 设函数，集合，集合，则阴影部分表示的集合为___. 【答案】 【解析】 【分析】求函数的定义域、值域，可得集合、，再根据集合的运算求阴影部分表示的集合. 【详解】由，所以. 由，所以，所以. 所以. 所以阴影部分表示的集合为：. 故答案为： 11. 已知函数，若方程有且仅有3个根，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为方程有2个非零根，画出 的图象，再根据与直线有2个交点数形结合求解即可. 【详解】方程即， 显然为方程的一个根， 由题意方程有2个非零根，则函数与有两个交点， 画出函数的图象，如图所示： 由图可知，故实数的取值范围为. 故答案为： 12. 若使集合中的元素个数最少，则实数的取值范围是_______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意对的值进行讨论,求出对应的集合,再分析集合中元素的个数,从而得出元素最少的情况,即可求得答案. 【详解】集合, 方程, 解得:,, ,, 当时,； 当时,,； 当时,,. 当时,集合的元素的个数无限； 当时,,， 又，当且仅当，即时，等号成立， 当时，集合，所包含元素个数最少， 所以需，解得. 故答案为: . 【点睛】本题主要考查了不等式解法与应用,同时也考查了分类讨论的思想,其中对的值讨论是本题的关键,属于难题. 二、选择题（13-14题每题3分，15-16题每题4分） 13. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，得到的解集，从而得到答案. 【详解】，解得或， 由于或，但或， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 14. 已知，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质，可判断A、B的正误；根据指数函数的单调性，结合条件，可判断C的正误；根据对数函数的单调性，结合条件，可判断D的正误. 【详解】选项A：因为，所以，故A错误； 选项B：因为，所以，故B错误； 选项C：因为在R上单调递减，且， 所以，故C错误； 选项D：因为，所以， 因为在上单调递减， 所以，故D正确. 故选：D 15. 定义在上的函数在区间上是增函数，且函数的图像关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移变换可得, 的图像关于直线对称,根据对称性可得答案. 【详解】因为的图像关于直线对称， 所以的图像关于直线对称，故. 故选:C. 【点睛】本题考查了函数的图象的平移变换以及函数的对称性,本题为基础题. 16. 存在函数满足，对任意都有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的概念逐项分析即可. 【详解】选项A：令（），则，原式可变形为（）. 令（），则，所以，即，满足题意，A正确； 选项B：令（），对于同一个，有两个不同结果（如时，或，或）， 一个对应两个函数值，故不存在这样的函数，B错误； 选项C：令（），对于同一个，有两个不同结果（如时，，或）， 一个对应两个函数值，故不存在这样的函数，C错误； 选项D：令（），对于同一个，有两个不同结果（如时，或，或）， 一个对应两个函数值，故不存在这样的函数，D错误； 故选：A 三、解答题 17. 设全集，已知集合，集合， （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据绝对值不等式的解法和一元二次不等式的解法，分别求出集合A、B，根据交集运算的概念，即可得答案. （2）由（1）可得集合，根据并集运算的概念，即可得答案. 【小问1详解】 由，得或，解得或， 所以集合或， 由，解得，则集合， 所以. 【小问2详解】 由（1）得， 所以 18. 求下列方程的解集 （1） （2） 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数的定义及运算求解，注意对数的真数大于0. （2）对的取值讨论，去掉绝对值，转化为指数方程求解. 【小问1详解】 因为， 所以有，即，解得或（舍去）. 故方程的解集为. 【小问2详解】 当时，可化为，即，解得. 当时，可化为，整理得， 解得或. 因为，所以不满足，故舍去. 所以. 综上，方程的解集为. 19. 杭州塘栖，位于京杭大运河畔，是闻名遐迩的“枇杷之乡”.这里出产的白沙枇杷，具有“塘栖枇杷甲天下”的美誉.白沙枇杷树单株的产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，单株白沙枇杷树的培养总成本投入为元.已知白沙枇杷的市场售价大约为30元/千克.记白沙枇杷树单株利润为（单位：元）. （1）求的函数关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当施用肥料为4千克时，利润最大，为960元 【解析】 【分析】（1）当时，，由题意，代入可得解析式，当时，，由题意，代入可得解析式，综合即可得答案. （2）根据解析式，结合二次函数，可得时的最大值，根据基本不等式，可得时的最大值，综合即可得答案. 【小问1详解】 当时，， 此时， 当时，， 此时， 综上，. 【小问2详解】 当时， 函数图象为开口向上，对称轴为的抛物线， 又， 所以当时， 有最大，且为930； 当时，， 令， 当且仅当，即时取等号， 所以， 所以当时，有最大，且为960>930， 综上，当施用肥料为4千克时，利润最大，为960元. 20. 已知函数. （1）当时，判断在上的单调性并证明； （2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围； （3）讨论函数的零点个数. 【答案】（1）当,时, 在单调递减. 证明：任取， = 由，有，， 所以，即. 则， 所以当时，在上的单调递减. （2）； （3）当或时，有1个零点; 当或或时，有2个零点; 当或时，有3个零点; 【解析】 【分析】(1) 当时,利用函数单调性的定义可判断在上的单调性，并用定义法证明. (2)利用分离参数的方法将不等式恒成立，化为，然后求最值即可. (3) 函数的零点个数,即方程的实根的个数，可数形结合分析得出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 不等式恒成立,即 所以在上恒成立. 而(当即 时取得等号)，所以. 【小问3详解】 由即, 所以 , 设作出函数的图象，如下. 由图可知:当或时，有1个零点; 当或或时，有2个零点; 当或时，有3个零点; 【点睛】本题考查函数单调性的判断，以及不等式恒成立问题的求解，利用参数分离的方法解决恒成立问题是基本方法,属于中档题. 21. 已知，函数. （1）当时，解不等式； （2）若函数的值域为，求的取值范围； （3）若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，求的取值范围. 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】(1)根据对数函数的单调性可解得， 注意真数大于零； (2) 化简得到的值域为，故能够取到一切大于0的实数，由于二次项系数含参，故需要分类讨论，当时，显然不符合题意；故只能，再结合即得答案. (3) 化简对数方程得到，在的条件下只有一个根，然后分类讨论即可得到答案. 【详解】(1) 时，不等式等价于， 所以，所以，所以， 所以不等式的解集为. (2) 因为函数的值域为，即的值域为，故能够取到一切大于0的实数， 当时，，不符合题意； 当时， ；不符合题意， 当时， 根据二次函数的图象和性质可得，解得； 综上所述： 的取值范围是. (3) 关于的方程的解集中恰好只有一个元素， 所以的解集中恰好只有一个元素， 即且的解集中恰好只有一个元素， 所以，即， ①当时，解得，此时 ，满足题意； ②当时， ，此时也满足题意； ③当且时，两根为，， 当时，由 得， 当时，由得， 因为和只能取一个值， 所以只能取，所以且， 解得. 综上所述：的取值范围是. 【点睛】考查了对数不等式，复合函数的值域问题和对数方程的问题.，分类讨论思想，本题为较难题 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吴淞中学 2025 学年第一学期高一第二次学科调研考试数学试卷 一、填空题（1-6 题每题 3 分，7-12 题每题 4 分） 1. 已知集合A＝{－1，3，m}，集合B＝{3，4}，若B⊆A，则实数m＝________. 2. 函数的定义域是______. 3. 已知，则xy的最大值为______. 4. 已知，则用a，b表示为______. 5. 函数的最小值是______. 6. 已知是奇函数，当时，，则当时， =________． 7. 函数的图像不经过第二象限，则实数的取值范围是______. 8. 不等式的解集为______. 9. 已知函数在上有最大值7，最小值6，则正数的取值范围是______. 10. 设函数，集合，集合，则阴影部分表示的集合为___. 11. 已知函数，若方程有且仅有3个根，则实数的取值范围为______. 12. 若使集合中的元素个数最少，则实数的取值范围是_______________. 二、选择题（13-14题每题3分，15-16题每题4分） 13. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 15. 定义在上的函数在区间上是增函数，且函数的图像关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 16. 存在函数满足，对任意都有（ ） A. B. C. D. 三、解答题 17. 设全集，已知集合，集合， （1）求； （2）求. 18. 求下列方程的解集 （1） （2） 19. 杭州塘栖，位于京杭大运河畔，是闻名遐迩的“枇杷之乡”.这里出产的白沙枇杷，具有“塘栖枇杷甲天下”的美誉.白沙枇杷树单株的产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，单株白沙枇杷树的培养总成本投入为元.已知白沙枇杷的市场售价大约为30元/千克.记白沙枇杷树单株利润为（单位：元）. （1）求的函数关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 20. 已知函数. （1）当时，判断在上的单调性并证明； （2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围； （3）讨论函数的零点个数. 21. 已知，函数. （1）当时，解不等式； （2）若函数的值域为，求的取值范围； （3）若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $