1.1.3 集合的基本运算 知识清单-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

1.1.3 集合的基本运算　知识清单 人教B版（2019）　必修第一册　第一章《集合与常用逻辑用语》 集合之间也能“运算”——交、并、补是由已知集合得到新集合的基本运算 图 1　本节知识地图：交集、并集、全集与补集、运算性质、德摩根定律、容斥原理 一、学习目标与重难点 维度 内容 学习 目标 ① 理解交集、并集、补集的概念，掌握符号 A∩B、A∪B、 A 的写法和读法； ② 会用 Venn 图与数轴进行集合的交、并、补运算； ③ 掌握交、并、补的运算性质，理解 A⊆B 当且仅当 A∩B=A、当且仅当 A∪B=B； ④ 理解并会运用德摩根定律； ⑤ 会用容斥原理 card(A∪B)=card(A)+card(B)−card(A∩B) 解决元素计数问题。 重点 交集、并集、补集的定义与 Venn 图；运算性质；德摩根定律；容斥原理 难点 补集全集的相对性（全集随问题而定）；德摩根定律的等价转换；由 A∩B=A（或 A∪B=B）反求参数 集合不仅能比较“大小”（包含关系），还能像数一样“运算”——由两个已知集合得到一个新的集合。这就是本节课的交、并、补三种基本运算。 二、情境引入 观察下面的集合，思考怎样由已知集合得到新的集合： ①A = {参加数学社的学生}，B = {参加物理社的学生}。 既参加数学社又参加物理社的学生组成什么集合？——这是 A∩B（交集）。 ②全班至少参加一个社团的学生组成什么集合？——这是 A∪B（并集）。 ③以全班为全集 U，全班都不参加社团的学生组成 (A∪B)（补集）。 由已知集合构造新集合，需要“运算”。本节课研究三种基本运算：交、并、补。 三、交集（A ∩ B） 一般地，对于给定的两个集合 A 与 B，由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合，称为 A 与 B 的交集（intersection），记作 A ∩ B（读作“A 交 B”），符号语言为 A∩B = {x | x∈A 且 x∈B}。 定义要点“且”表示两个集合都要满足；交集取的是 公共元素，且每个公共元素只取一次。 特例若 A 与 B 没有公共元素，则 A∩B = ∅（不能说“没有交集”，交集是空集）。 与子集的关系若 A⊆B，则 A∩B = A（A 的元素都在 B 中，公共部分就是 A 本身）。 图 2　交集 Venn 图：两圆重叠部分是 A∩B（左）；两圆无公共元素时 A∩B=∅（右） 运算性质 • （幂等律）； • ；（交换律）。 • （吸收律，可由 Venn 图直观理解）。 举例：设 A = {x | x 是矩形}，B = {x | x 是菱形}，则 A∩B = {x | x 是正方形}——既是矩形又是菱形的四边形，正是正方形。 四、并集（A ∪ B） 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，称为 A 与 B 的并集（union），记作 A ∪ B（读作“A 并 B”），符号语言为 A∪B = {x | x∈A 或 x∈B}。 “或”的含义这里的“或”是 至少一个：属于 A、属于 B、或同时属于两者，都并入集中。 互异性公共元素在并集中 只写一次（例如 {1,2}∪{2,3}={1,2,3}）。 与子集的关系若 A⊆B，则 A∪B = B。 举例 设 A = {x | x 是 2 的倍数}，B = {x | x 是 3 的倍数}，则 A∩B = {x | x 是 6 的倍数}，而 A∪B = {x | x 是 2 或 3 的倍数}；后者 不是“6 的倍数”组成的集合——“或”只要求满足其一。 图 3　并集 Venn 图：两圆所覆盖的全部区域是 A∪B，公共元素只计一次 运算性质 • ；；（交换律）。 • （吸收律）。 五、全集与补集（U， A） 在研究某些集合问题时，如果一个集合含有所研究问题中涉及的 所有元素，那么就称这个集合为 全集，通常记作 U。全集 不一定是实数集 R，它随研究问题的范围而定。 设 U 为全集，A 是 U 的子集，由 U 中 不属于 A 的所有元素组成的集合，称为 A 相对于 U 的 补集（complement），记作 A（读作“A 在 U 中的补集”），即 A = {x | x∈U 且 x∉A}。 相对性补集是 相对于全集而言的：同一个集合 A，全集不同，补集也不同。 记法 A 的下标 U 表明“相对于哪个全集”； A 表示全集取实数集 R 时的补集。 性质A∪( A)=U；A∩( A)=∅；( A)=A； U=∅； ∅=U。 图 4　左： A 是全集 U 内、圆 A 外的部分；右：德摩根定律的 Venn 图验证 六、交、并、补的运算性质（汇总） 类别 性质（用符号表示） 幂等律 A∩A = A；A∪A = A 交换律 A∩B = B∩A；A∪B = B∪A 含空集 A∩∅ = ∅；A∪∅ = A 含补集 A∪( A) = U；A∩( A) = ∅ 双重补 ( A) = A； U = ∅； ∅ = U 吸收律 A∩(A∪B) = A；A∪(A∩B) = A 与包含关系的等价 子集关系可以用运算来刻画： A⊆B 当且仅当 ，也当且仅当 。这是用运算判断子集的又一种方法。 七、德摩根定律 补集运算对交、并运算满足下面两条规律，统称为 德摩根定律（De Morgan’s laws）。它们说明：“并的补”与“交的补”可以转化成补集的交、并，是化简含有补集的复杂集合式的利器。 定律一（并的补）(A∪B) = ( A)∩( B)：两个集合并集的补集，等于它们各自补集的交集。 定律二（交的补）(A∩B) = ( A)∪( B)：两个集合交集的补集，等于它们各自补集的并集。 用文字读更便于记忆： • (A∪B) = ( A)∩( B) 对应“非（A 或 B）= 非A 且 非B”； • (A∩B) = ( A)∪( B) 对应“非（A 且 B）= 非A 或 非B”。 从图 4 右侧的两个 Venn 图可以看出，它们正好把“并的补”和“交的补”各染成了补集交、补集并的区域，可直观验证两条定律。 应用提示 当所求集合形如“多个集合交、并的补”时，先用德摩根定律改写成补集的并、交，往往比直接求交并再取补更简便，也不容易漏算。 八、容斥原理（card） 对于有限集，记集合 A 中元素的个数为 card(A)（也常记作 n(A)）。交集中公共元素被 A、B 各算了一次，因此在求并集元素个数时要“先加后减”： 直观理解：把 A、B 的元素个数直接相加，公共部分（A∩B）被重复计算了一次，所以减去 card(A∩B) 修正。 集合情形 容斥公式 两个集合 card(A∪B) = card(A) + card(B) − card(A∩B) 三个集合 card(A∪B∪C) = card(A)+card(B)+card(C) − card(A∩B) − card(A∩C) − card(B∩C) + card(A∩B∩C) 三个集合时：两两交集被多加一次要减掉，而三者公共部分在“加三集”时被加 3 次、在“减两两交”时被减 3 次，最终被算 0 次，所以要再加回一次 card(A∩B∩C)。 例　运动会报名 某班 45 人，会游泳 25 人，会骑车 20 人，两项都会 8 人。求至少会一项的人数、两项都不会的人数。 解：设 A = {会游泳的人}，B = {会骑车的人}，则 card(A)=25，card(B)=20，card(A∩B)=8。 至少会一项：（人）。两项都不会：45 − 37 = 8（人）。 九、例题 例 1　交、并、补的基本运算（列举法） 已知 A = {1, 2, 3, 4}，B = {3, 4, 5, 6}，全集 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}。求 A∩B、A∪B、 A、(A∩B)。 解： A∩B = {3, 4}； A∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}； A = {5, 6, 7}； (A∩B) = {1, 2, 5, 6, 7}。 注：(A∩B) 中所有不属于 A∩B 的元素都要取，容易漏掉 1、2。 例 2　数轴法求补集（教材例 5） 全集为 R，A = (−1, +∞)，B = (−∞, 2]。求 A、 B。 图 5　数轴法求补集：A 的补集要“补上”端点 −1，B 的补集不包含端点 2 解（数轴法，参看图 5）： A 是 −1 右侧（不含 −1）的全体实数，故其在 R 中的补集是 −1 及其左侧： A = (−∞, −1]； B 是 2 及其左侧的全体实数，故 B = (2, +∞)。 易错：开区间端点 −1 不属于 A，取补时反而要“补上” −1，故 A 在 −1 处是闭的。 例 3　由 A∩B = A 反求参数 已知 A = {x | } = {1, 2}，B = {x | }。若 A∩B = A，求实数 a 的值。 解： ⇔ A⊆B，故 B 必须包含 A 的全部元素 1、2。 因式分解 − ax + a − 1 = (x − 1)(x − (a − 1)) = 0，两根为 1 与 a − 1，所以 B = {1, a − 1}（a ≠ 2 时）或 B = {1}（a = 2 时）。 由 A⊆B需 2 ∈ B，即 a − 1 = 2，解得 a = 3；此时 B = {1, 2} = A，满足。 检验 a = 2若 a = 2，则 B = {1}，不含 2，B ⊉ A，舍去。 综上，a = 3。 易错：A∩B = A 与 A∩B = B 含义相反——前者说明 A 是 B 的子集，后者说明 B 是 A 的子集，切勿颠倒。 十、0 / {0} / ∅ / {∅} 辨析 这四个对象极易混淆，关键看“它是不是集合、若是一个集合，它的元素是什么”。下表帮助厘清（与 1.1.2 的辨析一脉相承）： 对象 是什么 元素情况 0 一个数（元素） 本身不是集合，谈不上“含有元素” {0} 含一个元素的集合（单元素集） 唯一元素是 0 ∅ 空集 不含任何元素 {∅} 含一个元素的集合 唯一元素是 ∅（空集本身） 常见关系0 ∉ ∅（0 不在空集中）；0 ∈ {0}；∅ ∈ {∅}（空集是 {∅} 的元素）；∅ ⊆ {0}（空集是任何集合的子集）；∅ ⊆ ∅；{0} ⊇ ∅。 易错0 = ∅ 错（一个数与空集类型不同）；0 ∈ ∅ 错；∅ ∈ {0} 错（{0} 的元素是 0 而非 ∅）；{∅} = ∅ 错（前者有一个元素）。 十一、本节边界 本课时范围只研究集合的三种基本运算：交集（A∩B）、并集（A∪B）、全集与补集（ A），以及它们的运算性质、德摩根定律、容斥原理 card(A∪B)。 不在此处1.2 常用逻辑用语（命题、量词、充分必要条件）不在本课时；第二章不等式的解法与含参不等式、以及更复杂的集合计数（如容斥在概率中的应用）也不在本课时。 十二、课后巩固 1. 基本运算A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，全集 U = {1, 2, 3, 4, 5}。求 A∩B、A∪B、(A∩B)。 2. 区间与数轴全集 U = R，A = {x | x > −1}，B = {x | x ≤ 2}。用区间表示 A∩B、A∪B、 A、 B。 3. 容斥计数某班 45 人，会英语 30 人，会日语 25 人，两种都会 15 人。求两种都会至少一种、两种都不会的人数。 4. 德摩根表述用文字表述 (A∪B) = ( A)∩( B)，并说明它与“非（A 或 B）= 非A 且 非B”的对应关系。 5. 反求参数A = {x | }，B = {x | }，且 A∩B = A，求 a。 6. 辨析填空（选 ∈、∉、⊆、⊇）(a) 0 ____ ∅；(b) ∅ ____ {0}；(c) ∅ ____ {∅}；(d) 0 ____ {0}。 参考答案 1. A∩B = {2, 3}；A∪B = {1, 2, 3, 4}；(A∩B) = {1, 4, 5}。 2. A∩B = (−1, 2]；A∪B = R； A = (−∞, −1]； B = (2, +∞)。 3. 至少会一种 = 30 + 25 − 15 = 40（人）；两种都不会 = 45 − 40 = 5（人）。 4. A 与 B 的并集的补集，等于 A 的补集与 B 的补集的交集；即“非（A 或 B）= 非A 且 非B”。 5. 由 A∩B = A ⇔ A⊆B，B 必含 1、2；解得 a = 3（a = 2 时 B = {1} 不满足）。 6. (a) ∉（0 不是 ∅ 的元素）；(b) ⊆（空集是任何集合的子集）；(c) ∈（∅ 是 {∅} 的元素，也满足 ⊇）；(d) ∈（0 是 {0} 的元素）。 学科网（北京）股份有限公司 $