第8章 锐角三角函数 2026-2027学年苏科版数学九年级下册

教师 刘老师 学生 年级 九年级 时间 学科 数学 课程名称 锐角三角函数 一．解三角形（共9小题） 1．（2025秋•安国市期末）比较tan50°，cos10°，sin70°的大小关系是（　　） A．tan50°＜cos10°＜sin70° B．tan50°＜sin70°＜cos10° C．sin70°＜tan50°＜cos10° D．sin70°＜cos10°＜tan50° 2．（2026秋•重庆校级同步）已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝21，AD＝8，sinB．则tan∠EDC的值为（　　） A． B． C． D． 3．（2026•曹县二模）如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5网格中，点A、B、C均在格点上，连接AB、BC，则sinB的值是（　　） A． B． C． D． 4．（2026•陈仓区模拟）如图，甲、乙两位登山者同时从点A出发，一段时间后，甲步行m米到达点C，乙步行n米到达点B．若坡角为α，则甲、乙两人的垂直距离CD可以表示为（　　） A．（m﹣n）cosα米 B．（m﹣n）sinα米 C．米 D．米 5．（2025秋•东台市期末）如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，则∠ACD的正弦值是（　　） A．1 B． C． D． 6．（2026•沁水县二模）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则sin∠BPC的值为（　　） A． B． C． D． 7．（2025秋•苏州期末）如图，在矩形空地ABCD上划有一些车位，矩形EFGH是其中一个车位．B，F，E三点在同一直线上，点E在边AD上，点G在边BC上，且EF＝5.3m，FG＝2.4m，∠AEB＝θ，则AB的长度（单位：m）为（　　） A．5.3sinθ+2.4cosθ B．5.3cosθ+2.4sinθ C．5.3sinθ+2.4sinθ D．5.3cosθ+2.4cosθ 8．（2026•桂林模拟）如图，6个全等的小正方形放置在△ABC中，则tanA的值是（　　） A．2 B． C．3 D． 9．（2025秋•梁溪区校级期末）综合与实践 【阅读材料】 在△ABC中，如果已知两边长及其夹角的度数，那么这个三角形的大小和形状就确定了，也就是这个三角形可解了．这是解三角形的重要思想，可用于解决实际问题． 【问题初探】 如图1，在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c．若a＝6，b＝4，∠C＝60°，求c． 【问题解决】 如图2，校园内教学楼两侧有A、B两棵大树被教学楼阻隔，无法直接测量距离，怎么办？某兴趣小组对这一问题进行了探究．得到如下测量方案： 步骤1：在空旷地找一点C； 步骤2：利用测角仪多次测量并取平均值，得到∠BCA≈α（α为锐角）； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值，得到AC≈m，BC≈n． 请你利用上述方法计算A；B两树间的直线距离．（用含m、n、α的式子表示） 二．特殊角的三角函数值（共4小题） 10．（2025秋•沂源县期末）计算： （1）2cos30°﹣tan60°+sin45°•cos45°； （2）（﹣1）2025+2sin30°﹣cos60°+sin60°+tan245°． 11．（2025秋•苏州期末）计算：． 12．（2026秋•徐汇区校级月考）计算：． 13．（2025秋•惠山区校级期中）计算： （1）； （2）． 三．三角函数的应用（共20小题） 14．（2024•建邺区一模）如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°．现有一架斜靠在墙上的梯子，为了能够安全使用，该梯子前后移动的最大距离AD为1.9m．使用这架梯子最高可以攀上多高的墙？ （参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73） 15．（2025•玄武区二模）如图，某栋大楼一侧OC临近山坡AP，点O、A、B在同一直线上．山坡AP的坡度为3：4，坡脚A与坡顶P之间的距离AP＝20m．在坡脚A处测得楼顶C的仰角为76°，在坡顶P处测得楼顶C的仰角为21°，求大楼的高度． （参考数据：tan21°°≈4） 16．（2025•玄武区一模）如图，南京定林寺塔堪称“世界第一斜塔”．设斜塔的塔底为A，塔顶为B，过点A作地面AE的垂线AC，垂足为A，过点B作AC的垂线，垂足为C，斜塔AB与AC的夹角∠CAB＝5.7°，在点E的正上方点D处测得塔顶B的仰角为33.7°，塔底A的俯角为4.2°，DE＝1.6m，求塔顶B到地面AE的距离． （参考数据：，， 17．（2025秋•滨湖区期末）小华家院子里有如图一把遮阳伞，他发现在一天当中，遮阳伞保持不动的情况下，伞下的投影长度会随着时间推移而变化．于是他测量了相关数据，并画出了侧面示意图．已知遮阳伞支架AB垂直于地面BC，点D在AB上，AD＝0.6m，D，E，F三点共线，DF＝3DE＝3AE． （1）如图1，当太阳光线与DF垂直时，它与地面的夹角正好为60°，求DF落在地面上的投影GH； （2）如图2，遮阳伞保持（1）中角度不动，当太阳光线与地面的夹角为α时，求DF落在地面上的投影GH（结果用含α的式子表示）． 18．（2013•铁岭）如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tanα的值．测量员在山坡P处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为37°，塔底B的仰角为26.6°．已知塔高BC＝80米，塔所在的山高OB＝220米，OA＝200米，图中的点O、B、C、A、P在同一平面内，求山坡的坡度．（参考数据sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75） 19．（2025•鼓楼区二模）根据图中三角形区域顶点的位置及边长，计算BC的长．（精确到0.1m）（参考数据：tan53°≈1.32，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，18.442≈340，） 20．（2020•玄武区一模）如图，某工地有一辆底座为AB的吊车，吊车从水平地面C处吊起货物，此时测得吊臂AC与水平线的夹角为18°，将货物吊至D处时，测得吊臂AD与水平线的夹角为53°，且吊臂转动过程中长度始终保持不变，此时D处离水平地面的高度DE＝11m，求吊臂的长． （参考数据：sin18°≈0.30，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．） 21．（2025•南京二模）如图，为了测量河流的宽度AB，一架水平飞行的无人机先在C处测得河流两岸A，B两处的俯角分别为70°，45°，之后无人机水平向前飞行6m至D处，此时测得河岸B处的俯角为58°．点A，B，C，D在同一平面内，求河流的宽度AB的长．（结果精确到0.1m．参考数据：tan58°≈1.6，tan70°≈2.75） 22．（2025•亭湖区三模）如图①，生活中人们常常利用定滑轮来升降物体．如图②，某物体的初始位置在水平地面上的C处，此时在将绳子拉直的A处测得定滑轮点P的仰角为45°，继续向后水平移动1m到B处测得定滑轮点P的仰角为37°，此时物体上升到D处．已知AM，BN均垂直于地面，AM＝BN＝1.6m，物体和定滑轮大小忽略不计，运动过程中绳子总长不变，求物体与定滑轮的距离PD的长．（结果精确到0.1m，参考数据：，，， 23．（2025秋•滨湖区期末）在三角形ABC中，点P为射线BA上一点． （1）已知点Q为射线BC上一点，请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作⊙O，使点P在⊙O上，并与BC相切于点Q； （2）已知BP＝4，，点P在⊙O上，当点O在射线BA上且⊙O与BC相切时，直接写出⊙O的半径．（如需画草图，请使用图2） 24．（2026•拱墅区模拟）如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂AB，连杆BC，悬臂CD和安装在D处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面l上的示意图．已知支撑臂AB⊥l，AB＝15cm，BC＝30cm，测量得∠ABC＝148°，∠BCD＝28°，AE＝9cm．求摄像头到桌面l的距离DE的长（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，1.73） 25．（2025•江宁区校级一模）如图，点C、D、E在同一水平线上，在A处测得点C在正北60m处，点D在北偏东45°；在B处测得点E在北偏东37°，点A在北偏西60°，AB＝80m，求D、E两点间的距离．（结果保留根号，参考数据：tan37°≈0.75．） 26．（2026秋•北碚区校级同步）国庆来临之际，某景区在A，B，C，D四个景点设置了不同的NPC打卡活动，游客可前往各景点完成打卡．如图，A，B，C，D在同一平面内，打卡点A位于点B的北偏东75°方向，且位于点C的北偏东30°方向200米处，打卡点C位于点B的东南方向，打卡点D位于点C的正东方向，且位于点A的南偏东30°方向上（参考数据：1.41，1.73，2.45，3.87）． （1）求AB的长度（结果保留根号）； （2）游客甲从点A出发，沿A→D方向前往点D，同时游客乙从点C出发，沿C→D方向前往点D．在乙到达点D之前，甲、乙两人的定位显示两人之间的直线距离为150米．已知乙的速度是甲的速度的3倍，求此时游客甲距离点A多少米（结果保留小数点后一位）？ 27．（2025秋•惠山区校级期中）小明和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．测量示意图如图所示，他们在坡面FB上的点D处安装测角仪DE，测得信号杆顶端A的仰角α为45°，DE与坡面的夹角β为72.5°，又测得点D与信号杆底端B之间的距离DB为12m．已知DE＝1.8m，点A，B，C在同一条直线上，AB，DE均与水平线FC垂直．求信号杆AB的高．（参考数据：sin72.5°≈0.95，cos72.5°≈0.30，tan72.5°≈3.17） 28．（2025秋•锡山区期末）某种落地灯如图1所示，图2是其侧面示意图（假设台灯底座为线段GH，其高度忽略不计，灯罩和灯泡假设为点D），AB为立杆，其高为100cm；BC为支杆，它可以绕点B旋转，其中BC长为30cm；DE为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度，它也可以绕点C旋转． （1）如图2所示，若将支杆BC绕点B顺时针转动使得∠ABC＝150°，求点C到台灯底座GH的距离； （2）使用过程中发现：当灯泡与地面的距离不低于101cm且不高于105cm时，台灯光线最佳．如图3所示，现测得CD为40cm，支杆BC与悬杆DE之间的夹角∠BCD＝105°，支杆BC与立杆AB之间所成的∠ABC＝135°，请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：，） 29．（2026秋•重庆校级同步）如图1是一款手推婴儿车，图2是该款婴儿车的车架示意图，M，N为半径均为10cm的圆形轮胎的圆心，后轮支架杆BM与地面所成的角为45°，主支架杆BC与BM所成的角度为90°，推手支架AD的支点D恰好为BC的中点．已知BM＝BC＝48cm．（参考数据：1.41，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70．） （1）求主支架杆C点距地面的高度；（结果精确到0.1cm） （2）手推婴儿车的车把高度合适范围一般在85～95cm，即握把A距地面的高度范围是85～95cm．若推手支架AD的长为65cm，∠ADB＝80°，则此手推婴儿车的车把是否符合要求，请说明理由． 30．（2025•江宁区校级二模）如图，港口A位于港口B的南偏西37°方向，且两个港口之间距离为20km．一艘海轮从港口A出发，沿北偏东21°方向航行，一段时间后到达C处，C处位于港口B的北偏东76°方向．此时海轮距离哪一个港口更近？（参考数据：tan21°，tan37°，tan76°≈4．） 31．（2025•秦淮区二模）如图，直线l1，l2分别是两条河岸线，点A，B，C在河岸线l1上，点D，E在河岸线l2上，且DA⊥l1，EC⊥l1．测得∠EAC＝α，∠EBC＝β，∠DBA＝γ．（图中所有点均在同一平面内） （1）如果，，tanγ＝1，那么l1与l2是否平行？说明理由． （2）如果l1与l2平行，那么tanα，tanβ，tanγ之间满足的数量关系是 ____________________ ． 32．（2026•鼓楼区模拟）如图，港口A在港口B的南偏西53°方向20km处，一艘渔船从港口A出发，以10km/h的速度沿着北偏东23.5°的方向前进，15min后，一艘快艇从B出发，以40km/h的速度沿着北偏西53°的方向前进．设快艇出发xh． （1）当渔船、快艇到各自出发地的距离相等时，可得方程____________________ ； （2）当快艇出现在渔船的正北方时，求x的值．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，sin23.5°≈0.40，cos23.5°≈0.92） 33．（2025•鼓楼区一模）如图，小明乘高铁从南向北匀速行驶，速度为50m/s．小明在B处通过窗口看到远处两棵树（记为C和D），此时C在小明的北偏东45°方向，D在小明的北偏东63.4°方向．7s后，小明到达A处，此时C和D恰好都在自己的南偏东53.1°方向．求两棵树之间的距离CD．（参考数据：tan63.4°≈2，tan53.1°．） 四．三角函数与其它知识点结合（共5小题） 34．（2025秋•惠山区校级期中）如图，在▱ABCD中，AB＝25，AD＝40，∠B是锐角且，E是BC边上的动点，连接DE，作∠DEF＝∠B，EF与AD边交于点F，则过点D，E，F的⊙O的半径最小值为___________________ ． 35．（2025秋•锡山区期末）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，，点D在BC边上，且∠CAD＝∠B． （1）若AB＝5，求AD的长； （2）求tan∠DAB的值． 36．（2025秋•梁溪区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，过点C的切线交DA的延长线于点E，DE⊥CE，连接CD，BC． （1）求证：∠BCO＝∠DCO； （2）若，AE＝3，求⊙O的半径． 37．（2025秋•滨湖区期末）如图，PA是⊙O的切线，点A为切点．点B为⊙O上一点，射线PB，AO交于点C，连接AB，点D在AB上，过点D作DF⊥AB，交AP于点F，作DE⊥BP，垂足为点E．AD＝BE，BD＝AF． （1）求证：PB是⊙O的切线； （2）若AP＝2，，求⊙O的半径． 38．（2025秋•惠山区校级期中）【特例猜想】如图1，在Rt△ABC中，以AB为直径作圆O，设其半径为r，三边长分别为a，b，c，由锐角三角函数定义可得：，，经变形可得：，因此． （1）【推广证明】进一步研究发现，不仅在直角三角形中成立，在任意的三角形中都成立．请你利用图2证明． （2）【实际应用】如图3，在△ABC中，∠B为钝角，r为△ABC的外接圆半径．若，BC＝5，AC＝10，求△ABC的面积． 五．课后作业（共6小题） 39．（2025秋•浔阳区校级期末）定向越野拉练活动是学校素质教育的一次生动实践，我区某校每年组织一次定向越野拉练活动．如图，点A为出发点，途中设置两个检查点分别为点B和点C，行进路线为A→B→C→A，点B在点A的南偏东25°方向处，点C在点A的北偏东80°方向，∠ABC＝45°，则检查点B和C之间的距离为（　　） A．千米 B．千米 C．千米 D．4.5千米 40．（2025秋•梁溪区校级期末）计算： （1）； （2）． 41．（2023•重庆）人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A，B养殖场捕捞海产品．经测量，A在灯塔C的南偏西60°方向，B在灯塔C的南偏东45°方向，且在A的正东方向，AC＝3600米． （1）求B养殖场与灯塔C的距离（结果精确到个位）； （2）甲组完成捕捞后，乙组还未完成捕捞，甲组决定前往B处协助捕捞，若甲组航行的平均速度为600米每分钟，请计算说明甲组能否在9分钟内到达B处？ （参考数据：1.414，1.732） 42．（2023•青岛）太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为AB，点O是AB的中点，OC是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，DE＝1.5m，EC＝5m．该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为37°，在E处测得电池板边缘点B的仰角为45°．此时点A、B与E在一条直线上．求太阳能电池板宽AB的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin37°，cos37°，tan37°，1.41） 43．（2025•建邺区二模）如图，港口B位于港口A的南偏西63°方向，港口C位于港口A的南偏东37°方向，港口C位于港口B的北偏东79°方向．一艘海轮从港口B出发，沿正东方向航线前行．已知港口C到航线的距离为110km，求港口A到航线的距离．（参考数据：tan37°≈0.75，tan63°≈2.0，tan79°≈5.0）． 44．（2024•建邺区二模）如图，A，B，C为山脚两侧在同一条直线上的三个观测点，计划沿直线AB开通穿山隧道DE，其中AD＝352m，EC＝170m，CB＝196m．在山顶P处测得点A，B，C的俯角分别为α＝β＝37°，γ＝45°，求DE的长． （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 苏科版九年级下锐角三角函数 参考答案与试题解析 一．解三角形（共9小题） 1．（2025秋•安国市期末）比较tan50°，cos10°，sin70°的大小关系是（　　） A．tan50°＜cos10°＜sin70° B．tan50°＜sin70°＜cos10° C．sin70°＜tan50°＜cos10° D．sin70°＜cos10°＜tan50° 【解答】解：∵在锐角范围内，余弦函数递减，且10°＜20°， ∴cos10°＞cos20°＝sin70°， 即sin70°＜cos10°． ∵tan45°＝1，且正切函数在锐角范围内递增，50°＞45°， ∴tan50°＞1， 又∵cos10°＜1（余弦函数递减，cos0°＝1）， ∴cos10°＜tan50°， 综上，sin70°＜cos10°＜tan50°． 故选：D． 2．（2026秋•重庆校级同步）已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝21，AD＝8，sinB．则tan∠EDC的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴， ∴， ∴CD＝BC﹣BD＝21﹣6＝15， ∴， ∴∠EDC＝∠C， ∴． 故选：B． 3．（2026•曹县二模）如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5网格中，点A、B、C均在格点上，连接AB、BC，则sinB的值是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，连接AC， ∵在由边长为1的小正方形组成的5×5网格中，点A、B、C均在格点上， ∴， ∴BC2＝AB2+AC2， ∴∠BAC＝90°， ∴． 故选：A． 4．（2026•陈仓区模拟）如图，甲、乙两位登山者同时从点A出发，一段时间后，甲步行m米到达点C，乙步行n米到达点B．若坡角为α，则甲、乙两人的垂直距离CD可以表示为（　　） A．（m﹣n）cosα米 B．（m﹣n）sinα米 C．米 D．米 【解答】解：由题意得：BC＝AC﹣AB＝（m﹣n）米，∠CBD＝α， 在Rt△CBD中，sin∠CBD， ∴CD＝BC•sin∠CBD＝（m﹣n）sinα米， 故选：B． 5．（2025秋•东台市期末）如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，则∠ACD的正弦值是（　　） A．1 B． C． D． 【解答】解：连接AD， 由勾股定理得：AD2＝12+32＝10，CD2＝12+32＝10，AC2＝22+42＝20， ∴AD＝CD，AD2+CD2＝AC2， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝∠ACD＝45°， ∴∠ACD的正弦值是． 故选：C． 6．（2026•沁水县二模）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则sin∠BPC的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图， ∵在网格中，每个小正方形的边长均为1， ∴，，BC∥AE∥DF， ∴△BCP∽△AEP，∠AEP＝∠CDF， ∴， ∴， ∴∠AEP＝∠APE＝∠BPC＝∠CDF， ∴． 故选：A． 7．（2025秋•苏州期末）如图，在矩形空地ABCD上划有一些车位，矩形EFGH是其中一个车位．B，F，E三点在同一直线上，点E在边AD上，点G在边BC上，且EF＝5.3m，FG＝2.4m，∠AEB＝θ，则AB的长度（单位：m）为（　　） A．5.3sinθ+2.4cosθ B．5.3cosθ+2.4sinθ C．5.3sinθ+2.4sinθ D．5.3cosθ+2.4cosθ 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠GBF， ∴在Rt△BFG中，， ∴， ∵在Rt△BFG中，， ∴， 故选：A． 8．（2026•桂林模拟）如图，6个全等的小正方形放置在△ABC中，则tanA的值是（　　） A．2 B． C．3 D． 【解答】解：如图， ∵6个全等的小正方形放置在△ABC中， ∴∠EHF＝90°，HF＝2EH，∠HEF＝∠A， ∴． 故选：A． 9．（2025秋•梁溪区校级期末）综合与实践 【阅读材料】 在△ABC中，如果已知两边长及其夹角的度数，那么这个三角形的大小和形状就确定了，也就是这个三角形可解了．这是解三角形的重要思想，可用于解决实际问题． 【问题初探】 如图1，在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c．若a＝6，b＝4，∠C＝60°，求c． 【问题解决】 如图2，校园内教学楼两侧有A、B两棵大树被教学楼阻隔，无法直接测量距离，怎么办？某兴趣小组对这一问题进行了探究．得到如下测量方案： 步骤1：在空旷地找一点C； 步骤2：利用测角仪多次测量并取平均值，得到∠BCA≈α（α为锐角）； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值，得到AC≈m，BC≈n． 请你利用上述方法计算A；B两树间的直线距离．（用含m、n、α的式子表示） 【解答】解：【问题初探】过点A作AD⊥BC于点D，如图1所示： ∴∠ADC＝∠ADB＝90°， ∴△ACD和△ABD都是直角三角形， 在Rt△ACD中，AC＝b＝4，∠C＝60°， ∴sinC，cos∠C， ∴AD＝AC•sinC＝4×sin60°，CD＝AC•cos∠C＝4×cos60°＝2， ∵BC＝a＝6， ∴BD＝BC﹣CD＝6﹣2＝4， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB， 即c＝AB； 【问题解决】过点A作AE⊥BC于点E，如图2所示： ∴∠AEC＝∠QEB＝90°， ∴△AEC和△AEB都是直角三角形， 依题意得：AC≈m，BC≈n，∠BCA≈α（α为锐角）； 在Rt△AEC中，sin∠BCA，cos∠BCA， ∴AE＝AC•sin∠BCA＝m•sinα，CE＝AC•cos∠BCA＝m•cosα， ∴BE＝BC﹣CE＝n﹣m•cosα， 在Rt△AEB中，由勾股定理得：AB2＝AE2+BE2＝（m•sinα）2+（n﹣m•cosα）2， 整理得：AB2＝m2•（sin2α+cos2α）+n2﹣2mn•cosα， ∵sin2α+cos2α＝1， ∴AB2＝m2+n2﹣2mn•cosα， ∴AB． 二．特殊角的三角函数值（共4小题） 10．（2025秋•沂源县期末）计算： （1）2cos30°﹣tan60°+sin45°•cos45°； （2）（﹣1）2025+2sin30°﹣cos60°+sin60°+tan245°． 【解答】解（1）2cos30°﹣tan60°+sin45°•cos45° ＝2 ； （2）（﹣1）2025+2sin30°﹣cos60°+sin60°+tan245° ＝﹣1+212 ＝﹣1+11 ． 11．（2025秋•苏州期末）计算：． 【解答】解： ． 12．（2026秋•徐汇区校级月考）计算：． 【解答】解： ． 13．（2025秋•惠山区校级期中）计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1）原式； （2）原式 ＝1﹣5 ＝﹣4． 三．三角函数的应用（共20小题） 14．（2024•建邺区一模）如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°．现有一架斜靠在墙上的梯子，为了能够安全使用，该梯子前后移动的最大距离AD为1.9m．使用这架梯子最高可以攀上多高的墙？ （参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73） 【解答】解：由题意得：AB＝DE，BC⊥AC， 设AB＝DE＝x米， 在Rt△ABC中，∠BAC＝50°， ∴AC＝AB•cos50°≈0.64x（米）， 在Rt△EDC中，∠EDC＝75°， ∴DC＝ED•cos75°≈0.26x（米）， ∵AC﹣DC＝AD， ∴0.64x﹣0.26x＝1.9， 解得：x＝5， ∴DE＝AB＝5米， 在Rt△EDC中，EC＝DE•sin75°≈5×0.97＝4.85（米）， ∴使用这架梯子最高可以攀上高约为4.85米的墙． 15．（2025•玄武区二模）如图，某栋大楼一侧OC临近山坡AP，点O、A、B在同一直线上．山坡AP的坡度为3：4，坡脚A与坡顶P之间的距离AP＝20m．在坡脚A处测得楼顶C的仰角为76°，在坡顶P处测得楼顶C的仰角为21°，求大楼的高度． （参考数据：tan21°°≈4） 【解答】解：过点P作PD⊥AB，垂足为D，过点P作PE⊥OC，垂足为E， 由题意得：OE＝PD，PE＝OD， ∵山坡AP的坡度为3：4， ∴， ∴设DP＝3xm，则AD＝4xm， 在Rt△ADP中，AP5x（m）， ∵AP＝20m， ∴5x＝20， 解得：x＝4， ∴AD＝16m，DP＝12m， ∴OE＝DP＝12m， 设OA＝am，则PE＝DO＝OA+AD＝（a+16）m， 在Rt△AOC中，∠CAO＝76°， ∴OC＝AO•tan76°≈4a（m）， 在Rt△CEP中，∠CPE＝21°， ∴CE＝PE•tan21°（a+16）m， ∵CE+OE＝OC， ∴（a+16）+12＝4a， 解得：a＝5， ∴CO＝4a＝20（m）， ∴大楼的高度约为20m． 16．（2025•玄武区一模）如图，南京定林寺塔堪称“世界第一斜塔”．设斜塔的塔底为A，塔顶为B，过点A作地面AE的垂线AC，垂足为A，过点B作AC的垂线，垂足为C，斜塔AB与AC的夹角∠CAB＝5.7°，在点E的正上方点D处测得塔顶B的仰角为33.7°，塔底A的俯角为4.2°，DE＝1.6m，求塔顶B到地面AE的距离． （参考数据：，， 【解答】解：过D点作DH⊥AC于H点，过B点作BF⊥DH于F点，如图，设CH＝x米， 根据题意得∠CAB＝5.7°，∠HDA＝4.2°，∠FDB＝33.7°， ∵∠HAE＝∠AHD＝∠AED＝90°， ∴四边形AEDH为矩形， ∴AH＝DE＝1.6m， ∵∠CHF＝∠BCH＝∠BFH＝90°， ∴四边形BCHF为矩形， ∴CH＝BF＝x米，HF＝BC， 在Rt△ADH中，∵tan∠ADH， ∴DH21.6（米）， 在Rt△ACB中，∵tan∠CAB， ∴BC＝（1.6+x）×tan5.7°（1.6+x）＝（0.1x+0.16）米， ∴HF＝（0.1x+0.16）米， 在Rt△BDF中，∵tan∠FDB， ∴DF1.5x， ∵DF+HF＝DH， ∴1.5x+0.1x+0.16＝21.6， 解得x＝13.4， ∴AC＝AH+CH＝1.6+13.4＝15（米）． 答：塔顶B到地面AE的距离为15米． 17．（2025秋•滨湖区期末）小华家院子里有如图一把遮阳伞，他发现在一天当中，遮阳伞保持不动的情况下，伞下的投影长度会随着时间推移而变化．于是他测量了相关数据，并画出了侧面示意图．已知遮阳伞支架AB垂直于地面BC，点D在AB上，AD＝0.6m，D，E，F三点共线，DF＝3DE＝3AE． （1）如图1，当太阳光线与DF垂直时，它与地面的夹角正好为60°，求DF落在地面上的投影GH； （2）如图2，遮阳伞保持（1）中角度不动，当太阳光线与地面的夹角为α时，求DF落在地面上的投影GH（结果用含α的式子表示）． 【解答】解：（1）如图，过点G作GM垂直于FH，∠DGB＝∠FHB＝60°， 由题意，∠ADE＝∠DGB＝60°，且AE＝DE， ∴△ADE为等边三角形， ∴DE＝AD＝0.6m，DF＝1.8m， ∵∠FDG＝∠F＝∠FMG＝90°， ∴四边形DGMF为矩形， ∴GM＝DF＝1.8m， ∴， ∴． （2）如图，过点G作GN∥DF交FH于点N，过点N作NP⊥BC于点P，过点F作FQ⊥BC于点Q，交GN于点M， ∵∠ADE＝60°， 由（1）得，DF＝1.8m， ∵DF平行于GN，DG平行于FH， ∴GN＝DF＝1.8m， 在Rt△GNP中，，， ∵AB⊥BC，FQ⊥BC， ∴AB∥FQ， ∴∠DFQ＝∠ADE＝60°， ∵GN∥DF， ∴∠GMQ＝∠DFQ＝60°， ∴∠NGP＝90°﹣∠GMQ＝90°﹣60°＝30°， ∴，， ∴， ∴， ∴． 18．（2013•铁岭）如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tanα的值．测量员在山坡P处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为37°，塔底B的仰角为26.6°．已知塔高BC＝80米，塔所在的山高OB＝220米，OA＝200米，图中的点O、B、C、A、P在同一平面内，求山坡的坡度．（参考数据sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75） 【解答】解：如图，过点P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，则四边形ODPE为矩形． 在Rt△PBD中，∵∠BDP＝90°，∠BPD＝26.6°， ∴BD＝PD•tan∠BPD＝PD•tan26.6°； 在Rt△CPD中，∵∠CDP＝90°，∠CPD＝37°， ∴CD＝PD•tan∠CPD＝PD•tan37°； ∵CD﹣BD＝BC， ∴PD•tan37°﹣PD•tan26.6°＝80， ∴0.75PD﹣0.50PD＝80， 解得PD＝320（米）， ∴BD＝PD•tan26.6°≈320×0.50＝160（米）， ∵OB＝220米， ∴PE＝OD＝OB﹣BD＝60米， ∵OE＝PD＝320米， ∴AE＝OE﹣OA＝320﹣200＝120（米）， ∴tanα0.5， ∴坡度为1：2． 19．（2025•鼓楼区二模）根据图中三角形区域顶点的位置及边长，计算BC的长．（精确到0.1m）（参考数据：tan53°≈1.32，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，18.442≈340，） 【解答】解：如图：过点C作CE⊥AD，垂足为E，延长EC交BF于点G， 由题意得：AH⊥BG，EG＝AH，AE＝GH， 设CG＝xm， 在Rt△ACE中，∠EAC＝53°，AC＝10m， ∴CE＝AC•sin53°≈8（m），AE＝AC•cos53°≈6（m）， ∴EG＝AH＝CE+CG＝（x+8）m，AE＝GH＝6m， 在Rt△BCG中，∠CBG＝45°， ∴BGx（m）， ∴BH＝BG﹣GH＝（x﹣6）m， 在Rt△ABH，AH2+BH2＝AB2， ∴（8+x）2+（x﹣6）2＝18.442， 解得：x1＝﹣12（舍去），x2＝10， ∴CG＝BG＝10m， 在Rt△BCG中，BC1014.1（m）， ∴BC的长约为14.1m． 20．（2020•玄武区一模）如图，某工地有一辆底座为AB的吊车，吊车从水平地面C处吊起货物，此时测得吊臂AC与水平线的夹角为18°，将货物吊至D处时，测得吊臂AD与水平线的夹角为53°，且吊臂转动过程中长度始终保持不变，此时D处离水平地面的高度DE＝11m，求吊臂的长． （参考数据：sin18°≈0.30，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．） 【解答】解：过点A作AF⊥DE，垂足为F， 设AD＝AC＝x， 在Rt△AFD中， ∠DAF＝53°， ∴sin∠DAF， ∴DF＝ADsin∠DAF＝xsin53°， 在Rt△ABC中， ∠C＝18°， ∴sinC， ∴AB＝ACsinC＝xsin18°， 在矩形AEFB中， AB＝EF＝xsin18°， ∵DE＝DF+EF， ∴11＝xsin53°+xsin18°， ∴x10， 所以吊臂长为10m． 21．（2025•南京二模）如图，为了测量河流的宽度AB，一架水平飞行的无人机先在C处测得河流两岸A，B两处的俯角分别为70°，45°，之后无人机水平向前飞行6m至D处，此时测得河岸B处的俯角为58°．点A，B，C，D在同一平面内，求河流的宽度AB的长．（结果精确到0.1m．参考数据：tan58°≈1.6，tan70°≈2.75） 【解答】解：过点A作AF⊥CD，垂足为F，过点B作BE⊥CD，交CD的延长线于点E， 由题意得：AF＝BE．AB＝EF， 设DE＝xm， ∵CD＝6m， ∴CE＝CD+DE＝（x+6）m， 在Rt△DEB中，∠EDB＝58°， ∴BE＝DE•tan58°≈1.6x（m）， 在Rt△BCE中，∠ECB＝45°， ∴BE＝CE•tan45°＝（x+6）m， ∴1.6x＝x+6， 解得：x＝10， ∴AF＝BE＝x+6＝16（m）， 在Rt△ACF中，∠ACF＝70°， ∴CF5.82（m）， ∴EF＝CE﹣CF＝16﹣5.82≈10.2（m）， ∴AB＝EF＝10.2m， ∴河流的宽度AB的长约为10.2m． 22．（2025•亭湖区三模）如图①，生活中人们常常利用定滑轮来升降物体．如图②，某物体的初始位置在水平地面上的C处，此时在将绳子拉直的A处测得定滑轮点P的仰角为45°，继续向后水平移动1m到B处测得定滑轮点P的仰角为37°，此时物体上升到D处．已知AM，BN均垂直于地面，AM＝BN＝1.6m，物体和定滑轮大小忽略不计，运动过程中绳子总长不变，求物体与定滑轮的距离PD的长．（结果精确到0.1m，参考数据：，，， 【解答】解：延长BA，交 PD于点E，由题意得BE⊥PC，设PE为xm， ∵在Rt△APE中，， ∴， ∵在Rt△BPE中，，sin 37°， ∴BE，， ∵AB＝BE﹣AE， 即， ∴x＝3， 在Rt△APE中，（m）， 在Rt△BPE中，（m）， ∵绳子总长不变， ∴CD＝PB﹣BA＝5﹣4.23≈0.77（m）， ∴PD＝PE+DE＝PE+（AM﹣CD）＝3+（1.6﹣0.77）≈3.8（m）， 答：PD的长为3.8m． 23．（2025秋•滨湖区期末）在三角形ABC中，点P为射线BA上一点． （1）已知点Q为射线BC上一点，请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作⊙O，使点P在⊙O上，并与BC相切于点Q； （2）已知BP＝4，，点P在⊙O上，当点O在射线BA上且⊙O与BC相切时，直接写出⊙O的半径．（如需画草图，请使用图2） 【解答】解：（1）如图所示，⊙O即为所求； （2）设⊙O的半径为r， ∵⊙O与BC相切， 如图，设切点为D，连接OD，则OD⊥BC， 在Rt△OBD中，， ∴， ∴BD＝2r， ∵BP＝4， ∴OB＝BP+OP＝4+r， 在Rt△OBD中，OB2＝OD2+BD2， ∴（4+r）2＝r2+（2r）2， 解得，， ∵r＞0， ∴， 同理，BO′＝BP﹣O′P＝4﹣r， ∴， ∴BD′＝2r， 在Rt△O′BD中，O′B2＝O′D′2+BD′2， ∴（4﹣r）2＝r2+（2r）2， 解得，， ∵r＞0， ∴， 综上所述，⊙O半径为或． 24．（2026•拱墅区模拟）如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂AB，连杆BC，悬臂CD和安装在D处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面l上的示意图．已知支撑臂AB⊥l，AB＝15cm，BC＝30cm，测量得∠ABC＝148°，∠BCD＝28°，AE＝9cm．求摄像头到桌面l的距离DE的长（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，1.73） 【解答】解：过点C作CF⊥l，垂足为F，过点B作BN⊥CF，垂足为N，过点D作DM⊥CF，垂足为M，设DM与BC交于点G， 则FN＝AB＝15cm，BN＝AF，DM＝EF，DE＝MF，∠ABN＝90°，DM∥BN， ∵∠ABC＝148°， ∴∠CBN＝∠ABC﹣∠ABN＝148°﹣90°＝58°， 在Rt△CBN中，BC＝30cm， ∴CN＝30•sin58°≈30×0.85＝25.5（cm）， BN＝30•cos58°≈30×0.53＝15.9（cm）， ∴AF＝BN＝15.9cm， ∴DM＝EF＝AE+AF＝9+15.9＝24.9（cm）， ∵DM∥BN， ∴∠CGM＝∠CBN＝58°， ∴∠CDM＝∠CGM﹣∠DCB＝58°﹣28°＝30°， 在Rt△CDM中，CM＝DM•tan30°24.9≈14.36（cm）， ∴MN＝CN﹣CM＝25.5﹣14.36＝11.14（cm）， ∴MF＝MN+NF＝11.14+15≈26.1（cm）， ∴DE＝MF＝26.1cm， ∴摄像头到桌面l的距离DE的长约为26.1 cm． 25．（2025•江宁区校级一模）如图，点C、D、E在同一水平线上，在A处测得点C在正北60m处，点D在北偏东45°；在B处测得点E在北偏东37°，点A在北偏西60°，AB＝80m，求D、E两点间的距离．（结果保留根号，参考数据：tan37°≈0.75．） 【解答】解：在A处测得点C在正北60m处，点D在北偏东45°，点C、D、E在同一条直线上，如图，过点B作BN⊥DE于N，过点A作AM⊥BN于M， ∴CD⊥AC，AC＝CD＝60， ∵BN⊥DE，AM⊥BN， ∴∠ACD＝∠CNM＝∠AMN＝90°， ∴四边形ACNM是矩形，即AC＝MN＝60m，CN＝AM， 在B处测得点E在北偏东37°，点A在北偏西60°，AB＝80m， 在Rt△ABM中，，cos∠ABM＝cos60°， ∴AM＝80×sin60°＝8040（m），BM＝80×cos60°＝8040（m）， ∴BN＝BM+MN＝BM+AC＝40+60＝100（m）， ∴m， ∴DN＝CN﹣CD＝（4060）m， 在Rt△BEN中，， ∴NE＝BN•tan37°＝100×0.75≈75（m）， ∴（米）， ∴D、E两个小区的物业服务中心距离是． 26．（2026秋•北碚区校级同步）国庆来临之际，某景区在A，B，C，D四个景点设置了不同的NPC打卡活动，游客可前往各景点完成打卡．如图，A，B，C，D在同一平面内，打卡点A位于点B的北偏东75°方向，且位于点C的北偏东30°方向200米处，打卡点C位于点B的东南方向，打卡点D位于点C的正东方向，且位于点A的南偏东30°方向上（参考数据：1.41，1.73，2.45，3.87）． （1）求AB的长度（结果保留根号）； （2）游客甲从点A出发，沿A→D方向前往点D，同时游客乙从点C出发，沿C→D方向前往点D．在乙到达点D之前，甲、乙两人的定位显示两人之间的直线距离为150米．已知乙的速度是甲的速度的3倍，求此时游客甲距离点A多少米（结果保留小数点后一位）？ 【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E，如图， 由题意得：∠ACB＝75°，∠ABC＝60°，AC＝200米， ∴∠BAC＝45°， ∵CE⊥AB， ∴△ACE为等腰直角三角形， ∴AE＝ECAC＝100（米），∠ACE＝45°， ∴∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE＝30°， ∴BE＝CE•tan30°（米）， ∴AB＝AE+BE（米）． （2）设甲运动的位置为F，乙运动的位置为H，连接FH，则FH＝150米，过点F作FK⊥CD于点K，如图， 由题意得：∠CAD＝∠ACD＝60°， ∴∠D＝∠CAD＝∠ACD＝60°， ∴△ACD为等边三角形， ∴CD＝AD＝AC＝200米， 设AF＝x米，则CH＝3x米， ∴DF＝（200﹣x）米，DH＝（200﹣3x）米， ∵FK⊥CD， ∴FK＝FD•sin60°（200﹣x）米，DK＝FD•cos60°（200﹣x）米， ∴KH＝DK﹣DH＝|x﹣100|米， ∵FK2+KH2＝FH2， ∴， ∴7x2﹣800x+17500＝0， ∴x， ∵3.87， ∴x＝84.8（不合题意，舍去）或x＝29.5． 答：此时游客甲距离点A29.5米． 27．（2025秋•惠山区校级期中）小明和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．测量示意图如图所示，他们在坡面FB上的点D处安装测角仪DE，测得信号杆顶端A的仰角α为45°，DE与坡面的夹角β为72.5°，又测得点D与信号杆底端B之间的距离DB为12m．已知DE＝1.8m，点A，B，C在同一条直线上，AB，DE均与水平线FC垂直．求信号杆AB的高．（参考数据：sin72.5°≈0.95，cos72.5°≈0.30，tan72.5°≈3.17） 【解答】解：在坡面FB上的点D处安装测角仪DE，测得信号杆顶端A的仰角α为45°，DE与坡面的夹角β为72.5°，又测得点D与信号杆底端B之间的距离DB为12m． 过点E作EI⊥AC于点I，过点D作DH⊥AC于点H，如图所示： ∵AB，DE均与水平线FC垂直． ∴DE∥AC， ∴∠DBH＝∠BDE＝72.5°， ∵DH⊥AC ∴∠DHI＝90° 在Rt△DBH中，， 则HD＝BD×sin72.5°＝12×0.95＝11.4（m）， 在Rt△DBH中，， 则BH＝BD×cos72.5°＝12×0.30＝3.6（m）， ∵过点E作EI⊥AC于点I，过点D作DH⊥AC于点H，DE∥AC， ∴∠EDH＝∠DHI＝∠HIE＝90°， ∴EI＝HD＝11.4m，HI＝DE＝1.8m， ∵∠AEI＝45°，∠AIE＝90°， ∴∠EAI＝45°， ∴AI＝EI＝11.4m， ∴AB＝AI+IH﹣BH＝11.4+1.8﹣3.6＝9.6（m）， 即信号杆的高AB为9.6m． 28．（2025秋•锡山区期末）某种落地灯如图1所示，图2是其侧面示意图（假设台灯底座为线段GH，其高度忽略不计，灯罩和灯泡假设为点D），AB为立杆，其高为100cm；BC为支杆，它可以绕点B旋转，其中BC长为30cm；DE为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度，它也可以绕点C旋转． （1）如图2所示，若将支杆BC绕点B顺时针转动使得∠ABC＝150°，求点C到台灯底座GH的距离； （2）使用过程中发现：当灯泡与地面的距离不低于101cm且不高于105cm时，台灯光线最佳．如图3所示，现测得CD为40cm，支杆BC与悬杆DE之间的夹角∠BCD＝105°，支杆BC与立杆AB之间所成的∠ABC＝135°，请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：，） 【解答】解：（1）如图，过点B作BF∥GH，过点C作CQ⊥BF于点Q，延长CQ交GH于点P． 由题意得：∠HAB＝90°，PQ＝AB＝100（cm）． ∵BF∥GH， ∴∠ABF＝90°． ∵∠ABC＝150°， ∴∠CBF＝150°﹣90°＝60°． 在Rt△BQC中，sin∠CBF， ∵BC＝30cm， ∴． ∴． 答：点C到台灯底座GH的距离为； （2）如图，分别过点D作DM⊥GH于点M，DI∥GH交CB于点I，过点B作BN⊥DM于点N，过点C作CK⊥BN于点K，交DI于点J． 由题意得：∠HAB＝∠ABN＝90°，DI∥BN∥GH， ∴∠CKB＝∠CJI＝∠CJD＝90°， ∵∠ABC＝135°， ∴∠CBK＝∠CIJ＝135°﹣90°＝45°． ∵∠BCD＝105°， ∴∠CDI＝180°﹣105°﹣45°＝30°． 在Rt△CJI中，sin∠CDI， ∵CD＝40cm， ∴CJ＝CD•sin∠CDI＝20cm， 在Rt△CKB中，sin∠CBK， ∵BC＝30cm， ， ∴JK＝CK﹣CJ＝21.15﹣20＝1.15（cm）， ∴DM＝DN+MN＝JK+AB＝101.15（cm）， 即灯泡与地面的距离为101.15cm， ∵101＜101.15＜105， ∴台灯光线是为最佳． 29．（2026秋•重庆校级同步）如图1是一款手推婴儿车，图2是该款婴儿车的车架示意图，M，N为半径均为10cm的圆形轮胎的圆心，后轮支架杆BM与地面所成的角为45°，主支架杆BC与BM所成的角度为90°，推手支架AD的支点D恰好为BC的中点．已知BM＝BC＝48cm．（参考数据：1.41，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70．） （1）求主支架杆C点距地面的高度；（结果精确到0.1cm） （2）手推婴儿车的车把高度合适范围一般在85～95cm，即握把A距地面的高度范围是85～95cm．若推手支架AD的长为65cm，∠ADB＝80°，则此手推婴儿车的车把是否符合要求，请说明理由． 【解答】解：（1）连接CM， ∵BC⊥BM，BM＝BC＝48cm， ∴∠BMC＝45°，， 由题意得∠BMN＝45°， ∴∠CMN＝90°，即CM⊥MN， ∵⊙M的半径为10cm， ∴主支架杆C点距地面的高度为：； （2）不符合要求，理由如下： 过点D作PQ∥MN交CM于点Q，过点A作AE⊥DP于点E， ∴∠CQD＝∠CMN＝90°， 由（1）可知，∠MCB＝∠BMC＝45°， ∴∠CDQ＝45°， ∴∠PDB＝∠CDQ＝45°， ∵∠ADB＝80°， ∴∠ADP＝35°． 在Rt△ADE中，∵， ∴AE≈37.1cm， ∵D是BC的中点， ∴， ∴， ∴握把A距地面的高度为：37.1+77.7﹣16.9≈97.9cm， ∵97.9cm＞95cm， ∴不符合要求． 30．（2025•江宁区校级二模）如图，港口A位于港口B的南偏西37°方向，且两个港口之间距离为20km．一艘海轮从港口A出发，沿北偏东21°方向航行，一段时间后到达C处，C处位于港口B的北偏东76°方向．此时海轮距离哪一个港口更近？（参考数据：tan21°，tan37°，tan76°≈4．） 【解答】解：方法一：如图，作CE⊥DE于点E，作DA⊥DE于点D，作CG⊥DG交DA的延长线于点G， 在Rt△ABD中，∠ADB＝90°， ∵tan∠ABD，即， 设AD＝3a km，BD＝4a km，则AB＝5a km， 又∵AB＝20＝5a km， ∴a＝4， ∴BD＝16km，AD＝12km， 设CF＝x km，则AG＝x km， 在Rt△AGC中，由tan21°可知， 解得：CG， ∴DEkm， ∴EB＝（）km， 在Rt△CEB中，CE＝（12+x）km， ∵tan76°， ∴4， 解得x＝8， 即CF＝AG＝8km， ∴AC2＝AG2+CG2＝82+212＝505，BC2＝CE2+EB2＝202+52＝425， ∴AC＞BC，即C处距离港口B更近； 方法二：由题意得：∠CBA＝180°﹣37°﹣76°＝67°，∠BAC＝37°+21°＝58°， ∴AC＞BC， ∴C处距离港口B更近． 31．（2025•秦淮区二模）如图，直线l1，l2分别是两条河岸线，点A，B，C在河岸线l1上，点D，E在河岸线l2上，且DA⊥l1，EC⊥l1．测得∠EAC＝α，∠EBC＝β，∠DBA＝γ．（图中所有点均在同一平面内） （1）如果，，tanγ＝1，那么l1与l2是否平行？说明理由． （2）如果l1与l2平行，那么tanα，tanβ，tanγ之间满足的数量关系是 　　 ． 【解答】解：（1）l1∥l2，理由如下： ∵DA⊥l1，EC⊥l1． ∴tanγ1，tanα，tanβ，AD∥CE， ∴AD＝AB，ACCE，BCCE， ∴AB＝AC﹣BCCECE＝CE， ∴AD＝CE， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴l1∥l2； （2）∵l1∥l2，DA⊥l1，EC⊥l1． ∴AD＝CE，tanγ，tanα，tanβ， ∴AB，AC，BC， ∴AB＝AC﹣BC，即， ∴． 故答案为：． 32．（2026•鼓楼区模拟）如图，港口A在港口B的南偏西53°方向20km处，一艘渔船从港口A出发，以10km/h的速度沿着北偏东23.5°的方向前进，15min后，一艘快艇从B出发，以40km/h的速度沿着北偏西53°的方向前进．设快艇出发xh． （1）当渔船、快艇到各自出发地的距离相等时，可得方程　　 ； （2）当快艇出现在渔船的正北方时，求x的值．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，sin23.5°≈0.40，cos23.5°≈0.92） 【解答】解：（1）快艇出发xh，渔船、快艇到各自出发地的距离相等， ∵渔船从港口A出发，以10km/h的速度前进，15min后，一艘快艇从B出发， ∴渔船行驶了（x）h， ∴渔船行驶的路程为10（x）（km）， ∵快艇的速度是40km/h， ∴xh走过的距离为40x（km）， ∴可得方程10（x）＝40x， 故答案为：； （2）设快艇出现在渔船的正北方时，快艇和渔船所在地点分别是C，D， 如图所示， 由题意得∠E＝∠AFD＝∠BGC＝90°，∠C＝53°，∠ADF＝23.5°， ∵在Rt△AEB中，∠ABE＝53°， ∴sin53°， ∴AE＝AB•sin53°＝20×0.80＝16， ∵在Rt△BCG中，∠BCG＝53°， ∴sin53°， ∴BG＝40x•0.80＝32x， 在Rt△AFD中，∠ADF＝23.5°， ∵sin23.5°， ∴AF＝AD•sin23.5°＝10（x）×0.40＝4x+1， ∵EF＝BG，AF+EF＝AE， ∴4x+1+32x＝16， 解得x． 33．（2025•鼓楼区一模）如图，小明乘高铁从南向北匀速行驶，速度为50m/s．小明在B处通过窗口看到远处两棵树（记为C和D），此时C在小明的北偏东45°方向，D在小明的北偏东63.4°方向．7s后，小明到达A处，此时C和D恰好都在自己的南偏东53.1°方向．求两棵树之间的距离CD．（参考数据：tan63.4°≈2，tan53.1°．） 【解答】解：作CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，则∠AEC＝∠BEC＝∠AFD＝∠BFD＝90°，设CE长xm， ∵∠ABC＝45°， ∴BE＝xm， ∵∠A＝53.1°， ∴AE0.75xm， 由题意得：AB＝50×7＝350（m）， ∴x+0.75x＝350， 解得：x＝200， ∴AE＝150m，CE＝200m， ∴AC＝250m， 设BF长ym，则AF＝（350﹣y）m， ∵∠ABD＝63.4°， ∴DF＝2ym， ∵tan∠A， ∴， 解得：y＝140， ∴DF＝280m，AF＝210m， ∴AD＝350m， ∴CD＝350﹣250＝100（m）． 答：两棵树之间的距离CD约为100m． 四．三角函数与其它知识点结合（共5小题） 34．（2025秋•惠山区校级期中）如图，在▱ABCD中，AB＝25，AD＝40，∠B是锐角且，E是BC边上的动点，连接DE，作∠DEF＝∠B，EF与AD边交于点F，则过点D，E，F的⊙O的半径最小值为　　 ． 【解答】解：如图，作△DEF的外接圆⊙O，连接OE、OF、OD，过O作OH⊥AD于点H， 设∠DEF＝∠B＝α， ∴∠FOD＝2∠DEF＝2α， ∴∠FOH＝α＝∠B， 过E作EI⊥AD于点I，过A作AG⊥BC于点G， ∵AB＝25，， ∴BG＝AB•cosB＝7， ∴， ∵∠FOH＝∠B，∠AGB＝∠OHF＝90°， ∴△ABG∽△FOH， ∴，即， ∴， ∵OH+OE≥EI， 即， 解得， ∴⊙O的半径最小值为， 故答案为：． 35．（2025秋•锡山区期末）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，，点D在BC边上，且∠CAD＝∠B． （1）若AB＝5，求AD的长； （2）求tan∠DAB的值． 【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠C＝90°， ∵∠CAD＝∠B，∠C＝∠C， ∴△CAD∽△CBA， ∴， ∵在Rt△ACB中，． ∴， ∵AB＝5， ∴． （2）如图所示，过点D作AB的垂线，垂足为M， ∵，且∠CAD＝∠B， ∴． 在Rt△ACD中，． 设CD＝k，则AC＝2k， 由（1）可知BC＝2AC＝4k． 在Rt△ACD中，由勾股定理得； 在Rt△ABC中，由勾股定理得， 在Rt△BDM中，， 设DM＝x，BM＝2x， 在Rt△BDM中，由勾股定理得， 又∵DB＝4k﹣k＝3k， ∴， 解得， ∴，， ∴． 在Rt△ADM中，． 36．（2025秋•梁溪区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，过点C的切线交DA的延长线于点E，DE⊥CE，连接CD，BC． （1）求证：∠BCO＝∠DCO； （2）若，AE＝3，求⊙O的半径． 【解答】（1）证明：∵CE是⊙O的切线， ∴OC⊥CE， ∵DE⊥CE， ∴OC∥DE， ∴∠CDA＝∠DCO， 由圆周角定理得：∠B＝∠CDA， ∵OB＝OC， ∴∠BCO＝∠B， ∴∠BCO＝∠DCO； （2）解：如图，连接AC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠BCA＝90°， ∴∠B+∠ACO＝90°， ∵OC⊥CE， ∴∠ACE+∠ACO＝90°， ∴∠B＝∠ACE， ∵∠B＝∠BCO＝∠DCO，sin∠DCO， ∴sinB，sin∠ACE， ∵AE＝3， ∴AC＝5， ∴AB， ∴⊙O的半径为． 37．（2025秋•滨湖区期末）如图，PA是⊙O的切线，点A为切点．点B为⊙O上一点，射线PB，AO交于点C，连接AB，点D在AB上，过点D作DF⊥AB，交AP于点F，作DE⊥BP，垂足为点E．AD＝BE，BD＝AF． （1）求证：PB是⊙O的切线； （2）若AP＝2，，求⊙O的半径． 【解答】（1）证明：如图，DF⊥AB，DE⊥BP，连接OB， ∴∠ADF＝∠DEB＝90°， ∴△BDE与△AFD是直角三角形， 在Rt△BDE与Rt△AFD中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△AFD（HL）， ∴∠DBE＝∠FAD， ∵PA是⊙O的切线， ∴∠CAP＝90°， ∴∠CAB+∠PAB＝90°， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA， ∴∠OBA+∠ABE＝90°， ∴∠OBE＝90°， ∵OB是⊙O的半径， ∴PB是⊙O的切线； （2）解：∵∠CAP＝90°，AP＝2，， ∴PC＝3， 在直角三角形ACP中，由勾股定理得：， ∵∠CBO＝∠CAP＝90°，∠C＝∠C， ∴△CBO∽△CAP， ∴， ∴， 解得：， 即⊙O的半径为． 38．（2025秋•惠山区校级期中）【特例猜想】如图1，在Rt△ABC中，以AB为直径作圆O，设其半径为r，三边长分别为a，b，c，由锐角三角函数定义可得：，，经变形可得：，因此． （1）【推广证明】进一步研究发现，不仅在直角三角形中成立，在任意的三角形中都成立．请你利用图2证明． （2）【实际应用】如图3，在△ABC中，∠B为钝角，r为△ABC的外接圆半径．若，BC＝5，AC＝10，求△ABC的面积． 【解答】解：（1）结论成立．理由如下： 如图1，连接CO并延长，交⊙O于点D，连接BD， 在Rt△BCD中，， ∴． ∵∠A＝∠D， ∴sinA＝sinD， ∴． （2）过点B作BE⊥AC， 由（1）得， ∴． ∴． ∴， ∵AC＝10， ∴， ∵CE2+BE2＝CB2， ∴（10）2+（AB）2＝52， 解得：或， ∵∠B为钝角， ∴AC＝10为最长边， ∴不符合题意，舍去， ∴， ∴， ∴． 五．课后作业（共6小题） 39．（2025秋•浔阳区校级期末）定向越野拉练活动是学校素质教育的一次生动实践，我区某校每年组织一次定向越野拉练活动．如图，点A为出发点，途中设置两个检查点分别为点B和点C，行进路线为A→B→C→A，点B在点A的南偏东25°方向处，点C在点A的北偏东80°方向，∠ABC＝45°，则检查点B和C之间的距离为（　　） A．千米 B．千米 C．千米 D．4.5千米 【解答】解：如图，点B在点A的南偏东25°方向处，点C在点A的北偏东80°方向，∠ABC＝45°，过点A作AH⊥BC于点H， ∴∠AHB＝∠AHC＝90°，∠BAC＝180°﹣80°﹣25°＝75°， ∵∠ABC＝45°，∠AHB＝90°， ∴∠BAH＝180°﹣∠ABC﹣∠AHB＝180°﹣45°﹣90°＝45°， ∴∠CAH＝∠BAC﹣∠BAH＝75°﹣45°＝30°， 在Rt△ABH中，AB＝3km， ∴AH＝AB•sin∠ABC＝3•sin45°＝33（km）；BH＝AB•cos∠ABC＝3•cos45°＝33（km）， 在Rt△ACH中，∠CAH＝30°， ∴CH＝AH•tan∠CAH＝3（km）， ∴BC＝BH+CH＝（3）km， 故选：A． 40．（2025秋•梁溪区校级期末）计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1）原式1 ； （2）原式＝4﹣22 ＝4﹣2 ＝4． 41．（2023•重庆）人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A，B养殖场捕捞海产品．经测量，A在灯塔C的南偏西60°方向，B在灯塔C的南偏东45°方向，且在A的正东方向，AC＝3600米． （1）求B养殖场与灯塔C的距离（结果精确到个位）； （2）甲组完成捕捞后，乙组还未完成捕捞，甲组决定前往B处协助捕捞，若甲组航行的平均速度为600米每分钟，请计算说明甲组能否在9分钟内到达B处？ （参考数据：1.414，1.732） 【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D， 在Rt△ACD中，∠ACD＝60°，AC＝3600米，cos60°，sin60°， ∴AD＝36001800（米），CD3600＝1800（米）． 在Rt△BCD中，∠BCD＝45°， ∴∠B＝45°＝∠BCD， ∴BD＝CD＝1800（米）， ∴BC18001800×1.414≈2545（米）． 答：B养殖场与灯塔C的距离约为2545米； （2）AB＝AD+BD＝18001800≈1800×1.732+1800≈4917.6（米）， 600×9＝5400（米）， ∵5400米＞4917.6米， ∴能在9分钟内到达B处． 42．（2023•青岛）太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为AB，点O是AB的中点，OC是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，DE＝1.5m，EC＝5m．该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为37°，在E处测得电池板边缘点B的仰角为45°．此时点A、B与E在一条直线上．求太阳能电池板宽AB的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin37°，cos37°，tan37°，1.41） 【解答】解：过点B作BH⊥DC于点H，过点B作BF⊥OC于点F，如图， 依题意得：OC⊥DC，∠BDH＝37°，∠BEH＝45°， 又BH⊥DC ∴△BEH和△OEC均为等腰直角三角形， ∴EH＝BH，EC＝OC， ∵DE＝1.5m，EC＝5m， ∴OC＝EC＝5m， ∵BH⊥DC，BF⊥OC，OC⊥DC， ∴四边形BHCF为矩形， ∴BF＝CH，BH＝CF，BF∥CH， ∴∠OBF＝∠BEH＝45°， ∴△OBF为等腰直角三角形， ∴BF＝OF＝CH， 设BF＝xm，则OF＝CH＝xm， ∴EH＝BH＝EC﹣CH＝（5﹣x） m， ∴DH＝DE+EH＝1.5+5﹣x＝（6.5﹣x） m， 在Rt△BDH中，tan∠BDH， 即：tan37°， ∴， 解得：x＝0.5， 检验后知道x＝0.5是原方程的根． ∴BF＝OF＝0.5（m）， 在等腰Rt△OBF中，由勾股定理得：OB0.50.5×1.41＝0.705（m）， ∵点O为AB的中点， ∴AB＝2OB≈2×0.705≈1.4（m）， 答：太阳能电池板宽AB的长度约为1.4m． 43．（2025•建邺区二模）如图，港口B位于港口A的南偏西63°方向，港口C位于港口A的南偏东37°方向，港口C位于港口B的北偏东79°方向．一艘海轮从港口B出发，沿正东方向航线前行．已知港口C到航线的距离为110km，求港口A到航线的距离．（参考数据：tan37°≈0.75，tan63°≈2.0，tan79°≈5.0）． 【解答】解：如图，作正东方向航线BD，过C作CE⊥BD于E点，过A作AF⊥BD于F点，过C点作CG⊥AF于G点， 根据题意，得CE＝110km，∠ECB＝79°，设EF＝xkm， ∴在Rt△CBE中，BE＝CE•tan∠CBE＝110×tan79°≈110×5＝550（km）， ∴BF＝BE﹣EF＝550﹣x（km）， ∵在Rt△ABF中，∠BAF＝63°， ∴AF（km）， ∴AG＝AF﹣CE110（km）， ∵在Rt△AGC中，∠GAC＝37°， ∴tan37°， ∴0.75＝x÷（）， 解得x＝90， ∴AF230（km）， 答：港口A到航线的距离为230km． 44．（2024•建邺区二模）如图，A，B，C为山脚两侧在同一条直线上的三个观测点，计划沿直线AB开通穿山隧道DE，其中AD＝352m，EC＝170m，CB＝196m．在山顶P处测得点A，B，C的俯角分别为α＝β＝37°，γ＝45°，求DE的长． （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 【解答】解：如图：过点P作PF⊥AB，垂足为F， 由题意得：PG∥AB， ∴∠PCA＝γ＝45°，∠A＝α＝37°，∠B＝β＝37°， ∴∠A＝∠B＝37°， ∴PA＝PB， ∴AB＝2BF， 设CF＝xm， ∵BC＝196m， ∴BF＝BC+CF＝（x+196）m， 在Rt△CFP中，∠PCF＝45°， ∴PF＝CF•tan45°＝x（m）， 在Rt△BPF中，PF＝BF•tan37°≈0.75（x+196）m， ∴x＝0.75（x+196）， 解得：x＝588， ∴BF＝x+196＝784（m）， ∴AB＝2BF＝1568（m）， ∵AD＝352m， ∴DE＝AB﹣AD﹣BC﹣CE＝850（m）， ∴DE的长约为850m． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/16 17:05:32；用户：18247042488；邮箱：89572204@qq.com；学号：20331983 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $