阿基米德三角形性质及应用 专项训练-2027届高三数学一轮复习

2027届高三数学一轮复习——阿基米德三角形性质及应用 一、阿基米德三角形的定义 过圆锥曲线上任意两点 分别作两条切线相交于点 ，则称 为阿基米德三角形. 其中 为顶点， 为底边. 当底边 过圆锥曲线的焦点时， 叫阿基米德焦点三角形. 以下性质以抛物线 为例. 二、性质及证明 【性质1】阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴. 【对应例题】 已知抛物线 ，过焦点 的弦 的端点处切线交于点 ， 为 中点. 证明： 轴. 【变式训练】 抛物线 的弦 的中点为 ，过 的切线交于点 ，求 的纵坐标. 【性质2】若阿基米德三角形的底边即弦 过抛物线内的定点 ，则另一顶点 的轨迹为一条直线. 【对应例题】 已知抛物线 ， 为直线 上的动点，过 作抛物线的两条切线，切点分别为 . 证明：直线 过定点. 【变式训练】 抛物线 的阿基米德三角形底边 过定点 ，求顶点 的轨迹方程. 【性质3】抛物线以 点为中点的弦平行于 点的轨迹. 【对应例题】 已知抛物线 的弦 的中点为 ，顶点 的轨迹为直线 . 求直线 的斜率，并判断弦 是否平行于 . 【变式训练】 抛物线 的弦 中点为 ，求顶点 的轨迹方程及弦 的斜率. 【性质4】若直线 与抛物线没有公共点，以 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点.（若直线 方程为 ，则定点的坐标为 ） 【对应例题】 抛物线 ， 为直线 上任意一点，过 引抛物线的两条切线，切点分别为 . 求证： 三点的横坐标成等差数列. 【变式训练】 直线 与抛物线 无公共点，以 上一点为顶点作阿基米德三角形，求其底边所过定点的坐标. 【性质5】底边为 的阿基米德三角形的面积最大值为 . 【对应例题】 已知抛物线 的阿基米德三角形的底边长为 ，求该三角形面积的最大值. 【变式训练】 抛物线 的阿基米德三角形底边长为 ，求面积最大值. 【性质6】若阿基米德三角形的底边过焦点，顶点 的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积最小值为 . 【对应例题】 过抛物线 的焦点 作弦 ，过 作切线交于 ，求 面积的最小值. 【变式训练】 过抛物线 的焦点作弦 ，阿基米德三角形为 ，求 面积的最小值及此时顶点 的轨迹. 【性质7】 的中点 在抛物线上，且 处的切线与 平行. 【对应例题】 已知 是抛物线 上两点，过 作切线交于 ， 为 中点. 证明：线段 的中点在抛物线上. 【变式训练】 抛物线 的阿基米德三角形顶点 ，求 中点的坐标，并判断其是否在抛物线上. 【性质8】抛物线上任取一点 （不与 重合），过 作抛物线切线交 于 ，连接 ，则 的面积是 面积的2倍. 【对应例题】 已知抛物线 的阿基米德三角形 ， 为抛物线上异于 的点，过 的切线交 于 . 若 的面积为 ，求 的面积. 【变式训练】 抛物线 的阿基米德三角形 ， 在抛物线上，过 的切线交 于 . 若 的面积为 ，求 的面积. 三、拓展迁移 （一）多选题 【拓展迁移1】 1. (高二上·河南南阳·阶段检测)（多选）已知抛物线 ，点 在其准线上运动，过 作抛物线的两条切线，切点分别为 ，且直线 过焦点 ，则下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为 B. 为定值 C. 若 为弦 的中点，且 与 不重合，则 轴 D. . 若直线 的斜率为1，则 的面积为 【拓展迁移2】 1. (安徽合肥·模拟预测)（多选）如图，抛物线 ，过点 向抛物线 作两条切线 ，切点分别为 . 切线 分别交 轴于 . 设 ，则下列说法正确的有（ ） A. 过点 的切线方程为 B. 当点 在准线上时， 的最小值为 8 C. 当点 在准线上时， D. 对任意点 均有 【拓展迁移3】 1. (高三上·重庆·阶段检测)（多选）已知抛物线 的焦点为 ，经过点 的直线交抛物线 于 两点，则下列说法中正确的有（ ） A. 点 的坐标为 B. 若点 在第一象限，且 ，则直线 的斜率为 C. D. 过点 作抛物线 的两条切线，切点分别为 ，若点 为 的线段 上任意一点，则 面积的最大值为 （二）填空题 【拓展迁移4】 1. (高二上·浙江杭州·期末) 已知 为抛物线 的焦点，过点 的直线 与抛物线 交于不同的两点 和 ，抛物线 在 两点处的切线交于点 ，则 的最小值为________. （三）解答题 【拓展迁移5】 1. 已知椭圆 ，点 在椭圆上，过 作椭圆的切线交于点 . 若弦 过椭圆的右焦点 . 求证：点 在定直线上，并求该定直线的方程. 【拓展迁移6】 1. 设抛物线 ，过点 作直线 与抛物线交于 两点，分别过 作抛物线的切线交于点 . （1）求点 的轨迹方程； （2）求 面积的最小值. 【拓展迁移7】 1. 已知抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，过点 的直线 与抛物线 交于 两点（异于原点 ），抛物线在 两点处的切线交于点 . (1)求抛物线 的标准方程； (2)证明：点 在定直线上； (3)在(2)的结论下，求此时 的面积最小值，并求此时直线 的方程. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 阿基米德三角形性质及应用 一、阿基米德三角形的定义 过圆锥曲线上任意两点 分别作两条切线相交于点 ，则称 为阿基米德三角形. 其中 为顶点， 为底边. 当底边 过圆锥曲线的焦点时， 叫阿基米德焦点三角形. 以下性质以抛物线 为例. 二、性质及证明 【性质1】阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴. 证明：设 ， 为弦 的中点，则过 的切线方程为 ，过 的切线方程为 ，联立方程，并由 ，解得两切线交点 . 又 ，所以 轴（即平行于抛物线的轴）. 【对应例题】 已知抛物线 ，过焦点 的弦 的端点处切线交于点 ， 为 中点. 证明： 轴. 解析：设 ，. 由性质1直接可得 ，. 因为 与 的纵坐标相等，所以 轴. 【变式训练】 抛物线 的弦 的中点为 ，过 的切线交于点 ，求 的纵坐标. 答案：（由性质1， 的纵坐标等于 的纵坐标）. 【性质2】若阿基米德三角形的底边即弦 过抛物线内的定点 ，则另一顶点 的轨迹为一条直线. 证明：设 为抛物线内的定点，弦 过定点 . 设顶点 ，满足 且 ，故弦 所在的直线方程为 （此处以 点坐标表示弦方程）. 又由于弦 过抛物线内的定点 ，故代入得 ，即点 的轨迹方程为直线 . 【对应例题】 已知抛物线 ， 为直线 上的动点，过 作抛物线的两条切线，切点分别为 . 证明：直线 过定点. 解析：设 ，由性质2，弦 所在直线方程为 . 由 得 ，且 ，故 . 令 得 ，所以直线 恒过定点 . 【变式训练】 抛物线 的阿基米德三角形底边 过定点 ，求顶点 的轨迹方程. 答案：（由性质2直接代入得 ）. 【性质3】抛物线以 点为中点的弦平行于 点的轨迹. 证明：由性质2的证明可知：点 的轨迹方程为直线 . 因为点 为弦 的中点，故 的轨迹方程可表示为 ，斜率 . 而弦 所在的直线方程为 ，由性质1的证明可知 . 故弦 所在直线斜率为 ，又因为轨迹与弦 不重合，故两者平行. 【对应例题】 已知抛物线 的弦 的中点为 ，顶点 的轨迹为直线 . 求直线 的斜率，并判断弦 是否平行于 . 解析：. 由性质2， 的轨迹方程为 ，即 ，斜率 . 弦 斜率 . 故 ，弦 平行于 . 【变式训练】 抛物线 的弦 中点为 ，求顶点 的轨迹方程及弦 的斜率. 答案： 的轨迹：；. 【性质4】若直线 与抛物线没有公共点，以 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点.（若直线 方程为 ，则定点的坐标为 ） 证明：任取直线 上的一点 ，则有 ，即 . 由性质2可知，弦 所在的直线方程为 ，将 代入可得：，整理得 . 令 且 ，解得 . 故弦 所在的直线过定点 . 【对应例题】 抛物线 ， 为直线 上任意一点，过 引抛物线的两条切线，切点分别为 . 求证： 三点的横坐标成等差数列. 解析：设 ，. 由性质4，弦 所在直线方程为 . 将 代入得 ，即 . 设 ，则 ，即 ，故 的横坐标成等差数列. 【变式训练】 直线 与抛物线 无公共点，以 上一点为顶点作阿基米德三角形，求其底边所过定点的坐标. 答案：由 ，定点为 . 【性质5】底边为 的阿基米德三角形的面积最大值为 . 证明：，设 到 的距离为 ，由性质1知：（直角边与斜边）. 设直线 的方程为 ，则 . 所以 . 【对应例题】 已知抛物线 的阿基米德三角形的底边长为 ，求该三角形面积的最大值. 解析：. 由性质5，. 【变式训练】 抛物线 的阿基米德三角形底边长为 ，求面积最大值. 答案：，. 【性质6】若阿基米德三角形的底边过焦点，顶点 的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积最小值为 . 证明：由性质2，若底边过焦点 ，则 ， 点的轨迹方程是 ，即为准线；易验证 ，即 ，故阿基米德三角形为直角三角形，且 为直角顶点. 所以 ，面积 . 【对应例题】 过抛物线 的焦点 作弦 ，过 作切线交于 ，求 面积的最小值. 解析：. 由性质6，面积最小值为 . 【变式训练】 过抛物线 的焦点作弦 ，阿基米德三角形为 ，求 面积的最小值及此时顶点 的轨迹. 答案：最小值为 ，顶点 的轨迹为准线 . 【性质7】 的中点 在抛物线上，且 处的切线与 平行. 证明：由性质1知 ，可得 点坐标为 ，此点显然在抛物线上；过 点的切线斜率为 ，结论得证. 【对应例题】 已知 是抛物线 上两点，过 作切线交于 ， 为 中点. 证明：线段 的中点在抛物线上. 解析：由性质7直接可得，设 ，则 中点坐标为 . 代入 验证成立. 【变式训练】 抛物线 的阿基米德三角形顶点 ，求 中点的坐标，并判断其是否在抛物线上. 答案：由性质7，，中点 . 代入 ，不相等，故不在抛物线上.（注：此题需注意 值不同，性质表述有差异） 【性质8】抛物线上任取一点 （不与 重合），过 作抛物线切线交 于 ，连接 ，则 的面积是 面积的2倍. 证明：由阿基米德重要结论：抛物线与弦之间所围成区域的面积为阿基米德三角形面积的三分之二可知： 的面积是弦 与抛物线围成的面积减去弦 和 与抛物线围成的面积，即 ，而 的面积则是 ，故 的面积是 面积的2倍. 【对应例题】 已知抛物线 的阿基米德三角形 ， 为抛物线上异于 的点，过 的切线交 于 . 若 的面积为 ，求 的面积. 解析：由性质8，. 【变式训练】 抛物线 的阿基米德三角形 ， 在抛物线上，过 的切线交 于 . 若 的面积为 ，求 的面积. 答案：. 三、拓展迁移 （一）多选题 【拓展迁移1】 1. (高二上·河南南阳·阶段检测)（多选）已知抛物线 ，点 在其准线上运动，过 作抛物线的两条切线，切点分别为 ，且直线 过焦点 ，则下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为 B. 为定值 C. 若 为弦 的中点，且 与 不重合，则 轴 D. 若直线 的斜率为1，则 的面积为 答案：BCD 解析： 抛物线 ，焦点 ，准线 . 设 ，. A选项：由抛物线定义，. 直线 过 ，设 ，与 联立得 . 所以 ，. 所以 . 因为 ，且 ，所以 . 当且仅当 即 时取等号. 所以最小值为 . A错误. B选项：. 所以 为定值. B正确. C选项：由阿基米德三角形性质1，底边 中点为 ，顶点为 ，则 轴. C正确. D选项：若 ，则 . 此时 . . 到 的距离 . 面积 . D正确. 答案：BCD. 【拓展迁移2】 1. (安徽合肥·模拟预测)（多选）如图，抛物线 ，过点 向抛物线 作两条切线 ，切点分别为 . 切线 分别交 轴于 . 设 ，则下列说法正确的有（ ） A. 过点 的切线方程为 B. 当点 在准线上时， 的最小值为 8 C. 当点 在准线上时， D. 对任意点 均有 答案：ABD 解析： A选项：抛物线 . 过点 的切线斜率为 . 切线方程 . 因为 ，代入得 . A正确. B选项： 在准线 上，设 . 切点弦 方程：. 与 联立得 . . 计算得 的最小值为 8. B正确. C选项：当 在准线上时，. 代入计算，该式不成立. C错误. D选项：对任意点 ，均有 . 由阿基米德三角形性质，正确. D正确. 答案：ABD. 【拓展迁移3】 1. (高三上·重庆·阶段检测)（多选）已知抛物线 的焦点为 ，经过点 的直线交抛物线 于 两点，则下列说法中正确的有（ ） A. 点 的坐标为 B. 若点 在第一象限，且 ，则直线 的斜率为 C. D. 过点 作抛物线 的两条切线，切点分别为 ，若点 为 的线段 上任意一点，则 面积的最大值为 解析： A. ，焦点 . A正确. B. . 设直线倾斜角为 ，. 解得 ，. 正确. C. 设 ，. . . 错误. D. . 切点弦 ：. 与 联立，，. . 由阿基米德性质，在 处切线与 平行时最大. ，. . 距离 . 面积 . D正确. 答案：ABD. （二）填空题 【拓展迁移4】 1. (高二上·浙江杭州·期末) 已知 为抛物线 的焦点，过点 的直线 与抛物线 交于不同的两点 和 ，抛物线 在 两点处的切线交于点 ，则 的最小值为________. 解析： 抛物线 ，焦点 ，准线 . 由性质， 在准线上，. 设直线 ，联立 ，. . . . . 原式 . 令 . 原式 . 当 时， 在 处取得最小值. 最小值为 . 答案：. （三）解答题 【拓展迁移5】 1. 已知椭圆 ，点 在椭圆上，过 作椭圆的切线交于点 . 若弦 过椭圆的右焦点 . 求证：点 在定直线上，并求该定直线的方程. 解析： 椭圆的阿基米德三角形具有与抛物线类似的性质：当底边过焦点时，顶点在相应的准线上. 椭圆 的右焦点为 ，对应的准线为 . 本题中 ，所以 . 右焦点 ，对应准线 . 因此，点 在定直线 上. 证明过程简述如下：设 ，过 作椭圆的两条切线 ，切点为 . 由椭圆的极点极线理论，切点弦 所在直线方程为 . 因为 过焦点 ，代入得 ，即 . 所以点 在定直线 上. 【拓展迁移6】 1. 设抛物线 ，过点 作直线 与抛物线交于 两点，分别过 作抛物线的切线交于点 . （1）求点 的轨迹方程； （2）求 面积的最小值. 解析： （1）. 设 ，底边 过定点 . 由性质2， 的轨迹方程为 ，代入 ，得 ，即 . 故点 的轨迹方程为直线 . （2）由性质1知， 平行于 轴（ 为 中点），所以 到 的距离 . 设直线 的方程为 ，与 联立得 . 设 ，则 . 弦长 . 的纵坐标为 ，横坐标为 . 所以 . 面积 . 令 ，则 . 当 时，. 当 时，面积趋近于0. 此处需注意，当 时， 弦长不为0，但 ，此时直线过顶点（0,0），不符。重新审视： 在抛物线外部，. 令 ，. 求导知在 时取得最小值. 代入 ，. 所以面积最小值为 . 【拓展迁移7】 1. 已知抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，过点 的直线 与抛物线 交于 两点（异于原点 ），抛物线在 两点处的切线交于点 . (1)求抛物线 的标准方程； (2)证明：点 在定直线上； (3)在(2)的结论下，求此时 的面积最小值，并求此时直线 的方程. 解析： 1. 因为准线方程为 ，所以 ，解得 . 所以抛物线 的标准方程为 . 1. 焦点 . 设直线 的方程为 ，. 联立 和 ，得 . 所以 . 抛物线 在点 处的切线方程为 ，在点 处的切线方程为 . 联立两切线方程，解得 . 所以点 在定直线 上. 1. 由(2)的结论可知： · 因此 . 设点 到直线 的距离为 ，， 的方程为 ， ， 因此 ， 因为 ，所以当 时， 取到最小值 1， 因此 的最小值为 ， 此时直线 的方程为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $