离心率范围专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以椭圆离心率范围为核心，通过一题多解构建“定义+几何构造+函数建模”的系统性方法体系，强化跨模块知识融合与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |椭圆离心率范围|1道典例（5解法）+9道练习题|定义法、矩形构造法、三角换元法、坐标法、焦半径法，聚焦“定义+垂直+范围”核心逻辑|以椭圆定义、焦点三角形为基础，通过向量垂直构建几何关系，结合二次函数、双勾函数等实现代数化求解，形成“几何直观→代数建模→范围确定”的完整推理链条|

第18题  离心率范围探秘（一题多解） 已设椭圆的右焦点为，椭圆上的两点A，B关于原点对称，且满足，，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A．    B．    C．    D． 1．与2026年新高考命题特点一致性分析 2026新高考命题特点 本题体现 素养立意，重思维轻套用 无固定题型可套，需灵活运用椭圆定义、矩形构造、函数建模等多条路径 多想少算，回归本质 五种解法均围绕“定义+垂直+范围”核心逻辑，计算量适中，重在思路选择 反套路，开放多解 提供5种独立解法，覆盖定义法、矩形法、三角函数法、坐标法、焦半径法 跨模块融合 横跨解析几何、平面几何、三角函数、函数与不等式 教考衔接，深挖主干 椭圆定义、焦点三角形、向量垂直均为课标核心，无超纲技巧 离心率范围探究 典型的存在性与范围问题，考查临界分析与不等式构造能力 2．解题策略分析：本题从知识上看主要考查了椭圆的相关知识（椭圆的定义，焦点三角形）；从题目的背景看是以坐标原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆有交点，并从直角三角形的两直角边给了限制条件．从解法上看充分考虑椭圆的对称性，利用直角三角形性质及构造矩形充分利用矩形的性质进行求解．从思想上看，一是函数方面（构造二次函数、双勾函数、三角函数）；二是构造不等式． 设 ，（1≤t≤2），由勾股定理得，由椭圆定义，由直角三角形中线性质得关于 t 的函数，换元后求值域． 不妨设，，由，得， 由条件，得， 在中，， 由椭圆的定义及对称性知， 所以， 设，则， ，解得． 感悟反思：本解法利用椭圆的第一定义及直角三角形的性质，再求解的过程中令给本题化简、求解带来诸多方便． 由对称性得四边形 为矩形，故 ．由椭圆定义得和勾股定理，得双勾函数，结合求值域． 作出椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形， 又，即， 故平行四边形为矩形，所以， 设，，则在中，由椭圆定义知，， 所以，整理得，令，得， 又由，得，所以， 所以离心率的取值范围是，故选A． 感悟反思：本解法利用椭圆的第一定义及矩形的性质寻找，将离心率e表示为椭圆上点B到两焦点的比值为自变量的双勾函数． 利用椭圆的第一定义及矩形的性质寻找，在直角三角形中，将离心率用焦距及某个角的三角函数值表示，转化为求三角函数的值域 四边形是矩形，设，则，， 由，得，故， 当时，，，所以， 故，则离心率范围为． 感悟反思：三角换元使表达式更简洁，关键在于确定 θ 的范围．此法将几何问题转化为三角函数求值域，视角独特． 设，则．因为， 所以由焦半径公式得，得        ① 由，得，即， 又由，得，代入上式得 由①②得，所以． 所以， 所以离心率的取值范围是，故选A． 感悟反思：本解法利用椭圆的第二定义、焦半径公式及直角三角形的性质寻找等量关系，构造不等式进行求解，从学生角度来看，焦半径公式属超纲内容． 解法名称 优点 缺点 第一定义+二次函数法 思路最直接，设参技巧简化计算，适合通法推广，不易出错 需经历设参、换元两步，步骤稍多 矩形构造+双勾函数法 计算量最小，两步出结果，效率极高 需理解矩形构造原理，对对称性敏感度有要求 矩形构造+三角函数法 表达式简洁优美，三角换元视角独特，计算流畅 确定θ范围是难点，易因角度范围出错 第二定义+焦半径法 代数化程度高，思路规范，无需几何构造 焦半径公式属拓展内容，部分教材不要求，计算稍繁琐 1．设椭圆的右焦点为，椭圆上的两点，关于原点对称，且满足，，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．设椭圆的左、右焦点分别为，，P是椭圆上一点，，，则椭圆的离心率的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．已知椭圆：的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若，点满足，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，四边形是等腰梯形，，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，，为上关于坐标原点对称的两点，且，的面积，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点，若设且则椭圆离心率的取值范围是　 　.    8．设椭圆的下顶点为，M，N在椭圆上，若四边形为平行四边形，为的倾斜角，且，则椭圆的离心率的取值范围是______． 9．已知椭圆的右焦点为，离心率为．设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，的中点为M，的中点为N，原点在以线段为直径的圆上．设直线AB的斜率为k，若，则的取值范围为_________ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第18题 离心率范围探秘（每日一题）9月刊》参考答案： 1．B 【知识点】垂直关系的向量表示、对勾函数求最值、椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设椭圆的左焦点，由已知条件知四边形为矩形，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到，再根据，得到的范围，然后利用对勾函数的值域得到的范围，然后由求解. 【详解】如图所示： 设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形， 又，即，所以四边形为矩形，， 设，，在直角中，，， 得，所以，令，得， 又，得，所以， 所以 ，即，所以 所以椭圆的离心率的取值范围为， 故选：B 2．C 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，由椭圆定义和勾股定理得到，换元后得到，根据二次函数单调性求出，得到离心率的取值范围. 【详解】设，，由椭圆的定义可得，， 可设，可得，即有，① 由，可得，即为，② 由，可得，令，可得， 即有，由， 可得，即， 则时，取得最小值；或4时，取得最大值. 即有，得. 故选：C 【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率或离心率的取值范围，常见有三种方法：①求出，代入公式； ②根据条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率或离心率的取值范围； ③由题目条件得到离心率关于变量的函数，结合变量的取值范围得到离心率的取值范围. 3．A 【知识点】余弦定理解三角形、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用椭圆的定义和余弦定理可表示出，从而可得，再利用换元法将转化为二次函数的形式，求出二次函数的最小值即可 【详解】设，令，则，， 所以，所以， 在中，，则由余弦定理得 ， 所以， 所以， 令，由，可得，则 ， 所以当，即时，取得最小值， 所以的最小值为 故选：A 4．B 【知识点】余弦定理解三角形、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由、结合正弦定理可得，又，故，再结合余弦定理计算即可得离心率. 【详解】由椭圆定义可知，由，故，， 点满足，即，则， 又，， 即，又， 故，则，即， 即平分，又，故， 则，则， ， ， 由， 故， 即，即，又，故. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题关键在于由、，得到平分，结合，从而得到. 5．B 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据给定条件，可得，利用椭圆的性质得，再结合椭圆的定义求出等腰三角形底角的余弦值并列式求解即得. 【详解】令椭圆的半焦距为c，依题意，，如图，    由椭圆性质知，椭圆上一点到焦点的距离的最小值为长轴端点到相邻焦点的距离， 于是，解得，， 在中，， 显然，解得， 所以的离心率的取值范围是. 故选：B 6．B 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】由对称性得到平行四边形为矩形，根据得到，求出，上存在关于坐标原点对称的两点，，使得，故，从而得到，得到答案. 【详解】由对称性可知，四边形为平行四边形， 因为，所以平行四边形为矩形， ，即， 由椭圆的定义可知，， 由勾股定理得，即， 故，， 由得， 故，，解得， 上存在关于坐标原点对称的两点，，使得，故， 所以，即，所以，解得， 所以离心率的取值范围是 故选：B 7． 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【详解】∵B和A关于原点对称，∴B也在椭圆上． 设左焦点为，根据椭圆定义：|AF|+|A|=2a 又∵|BF|=|A|   ∴|AF|+|BF|=2a  ……① O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c 又|AF|=2csinα   ……② |BF|=2ccosα    ……③ 将②③代入①  2csinα+2ccosα=2a ∴，即， ∵， ∴)≤1，故椭圆离心率的取值范围为 8． 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意，点在椭圆上可得，则，求出的取值范围后即可得解. 【详解】P为椭圆的下顶点，四边形为平行四边形， 在y轴上，，且M，N关于x轴对称， 因为的倾斜角，所以点在第一象限， 可设点， 由点在椭圆上可得，解得， 直线的倾斜角， ，即， 但，，即. 9． 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【详解】试题分析：由题知， ，又因为 是 的中点，所以；所以点 在原点为圆心，半径为的圆上，即 设联立 ，解得因为 ，所以，即，又因为 ，解得，，所以，即 所以 考点：直线与圆锥曲线的综合问题，求离心率取值范围 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $