抛物线中阿基米德三角形经典例题赏析专项训练-2027届高三数学一轮复习

抛物线中阿基米德三角形经典例题赏析 目录 经典例题赏析：抛物线中的阿基米德三角形问题 2 【试题呈现】（满分17分） 2 第（1）问解析 2 第（2）问（i）解析 2 第（2）问（ii）解析 4 名师赏析与高观点点评（极点极线与阿基米德三角形） 4 1. 极点极线的深度剖析 4 2. 阿基米德三角形模型的揭示 5 3. 核心性质的运用与印证 5 4. 面积公式的高效应用 5 经典例题赏析：抛物线中的阿基米德三角形问题 6 【试题呈现】（满分17分） 6 第（1）问解析 6 第（2）问①解析 7 第（2）问②解析 8 方法一：坐标法（代数推导） 8 方法二：焦半径公式结合非对称韦达定理 9 方法三：焦半径角度公式法（极坐标视角） 10 名师赏析与高观点拓展（阿基米德三角形） 12 经典例题赏析：抛物线中的阿基米德三角形问题 【试题呈现】（满分17分） 1.已知抛物线 的顶点为原点，焦点 到直线 的距离为 . （1）求抛物线 的方程. （2）设 为直线 上的点，过点 作抛物线 的两条切线 ，其中 为切点. （i）证明：直线 过定点. （ii）求 面积的最小值. 第（1）问解析 本问满分4分. 由题意，抛物线 的焦点为 ，准线方程为 因为焦点 到直线 的距离为 ，所以 即 因为 ，所以 解得 因为抛物线顶点为原点，焦点为 ，所以抛物线 的方程为 第（2）问（i）解析 本问满分6分. 方法：导数求切线方程与直线系方程 由（1）知抛物线 即 求导得 设 .抛物线在点 处的切线方程为 因为 整理得 同理可得在点 处的切线方程为 因为点 在两条切线上，所以 即 同理 即 这说明点 和点 都在直线 上.因为两点确定一条直线，所以直线 的方程为 令 ，得 .故直线 恒过定点 （即焦点 ）. 第（2）问（ii）解析 本问满分7分. 方法：弦长公式与点到直线距离公式 由（i）知直线 的方程为 （其中 ）.联立 消去 得 由韦达定理得： 弦长|AB|= 点 到直线 的距离为 所以 的面积 因为 ，所以当 时， 取得最小值 名师赏析与高观点点评（极点极线与阿基米德三角形） 1. 极点极线的深度剖析 从射影几何的高观点来看，本题第（2）问（i）的几何本质是极点极线理论.点 在直线 上运动，而 恰好是抛物线 的准线.根据极点极线的配极原则，准线上的任意一点 所对应的极线，必定经过准线对应的焦点 .解析过程中求出的直线 的方程 恒过点 ，正是这一几何性质的代数表现形式. 2. 阿基米德三角形模型的揭示 本题第（2）问更是经典的“阿基米德三角形”模型.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形.在本题中， 为两条切线，弦 为切点弦， 即为阿基米德三角形. 3. 核心性质的运用与印证 · 性质一：顶点在准线上则底边过焦点. 本题中顶点 在准线 上，由阿基米德三角形的性质可知，切点弦 必过焦点 .这与解析结果完美吻合. · 性质二：垂直关系. 阿基米德三角形中，准线上的顶点 与焦点 的连线必定垂直于切点弦 ，即 . 4. 面积公式的高效应用 对于抛物线 ，过焦点的弦 与两切线围成的阿基米德三角形面积公式为 本题中 ，所以 代入 的差值 得 当 时最小值为 .掌握阿基米德三角形的这些高维性质与极点极线的几何背景，不仅能大幅提升解题效率，更能深刻领略解析几何中代数推导与几何直观相互印证的内在统一之美. 经典例题赏析：抛物线中的阿基米德三角形问题 【试题呈现】（满分17分） 1. 已知动点 到定点 的距离比到 轴距离大 ，记动点 的轨迹为曲线 . （1）求轨迹 的方程. （2）过 的直线 交曲线 于 ，曲线 在点 处的切线相交于点 . ① 证明：. ② 当 时，求 的面积. 第（1）问解析 设动点 .由题意，点 到定点 的距离为 点 到 轴的距离为 .根据题意得 两边平方整理得 分类讨论： 当 时， 即 当 时， 即 所以轨迹 的方程为 或 第（2）问①解析 本问满分6分. 方法：导数求切线方程与韦达定理 由第（2）问题意，直线 交曲线 于 两点，说明 在抛物线 上.抛物线即 求导得 设 ，过 的直线 方程为 联立 消去 得 由韦达定理得： 曲线 在点 处的切线方程为 即 同理可得在点 处的切线方程为 联立两切线方程求交点 ，解得 所以点 直线 的斜率 又直线 的斜率为 ，所以 故 第（2）问②解析 方法一：坐标法（代数推导） 由 得 结合 ，得 不妨设 则 此时 所以 由①知 ，所以 的边 上的高为 .点 ，，则 所以 的面积 方法二：焦半径公式结合非对称韦达定理 由抛物线 知，焦点为 ，准线方程为 设 .由抛物线的焦半径公式可知： 因为 所以 即 因为直线 过焦点 ，由抛物线焦点弦的固有性质知 将 代入 得到 解得 （因为 ），从而 此时 弦长 点 是阿基米德三角形的顶点，由性质知 由①知 .又 ，所以 其中 为直线 的倾斜角.又由 可解得 则直线斜率为 所以 于是 所以面积 方法三：焦半径角度公式法（极坐标视角） 设直线 的倾斜角为 .对于抛物线 ，以焦点 为极点，极轴平行于 轴向右，其极坐标方程为 本题中 ，即 ，故焦半径角度公式为 因为 所以 即 化简得 又因为 ，所以 （取正）.此时 弦长 由阿基米德三角形性质可知顶点 在准线 上，且 .在 中， 的纵向距离为 所以 所以面积 名师赏析与高观点拓展（阿基米德三角形） 1. 阿基米德三角形背景：本题的第（2）问是经典的“阿基米德三角形”问题.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形.在本题中， 即为一个阿基米德三角形. 1. 几何性质一：顶点在准线上.根据阿基米德三角形的性质，若弦 过抛物线的焦点 ，则对应的阿基米德三角形的顶点 必定在抛物线的准线上.本题中抛物线 的准线为 ，而由解析过程可知 ，恰好印证了这一性质. 1. 几何性质二：垂直关系.阿基米德三角形中，焦点弦所对的顶点 与焦点 的连线必定垂直于该焦点弦，即 .本题第①问正是对此性质的直接考察.进一步地，阿基米德三角形底边上的中线（即 ）平行于抛物线的对称轴，且 到 的距离等于 到准线的距离的两倍. 1. 几何性质三：面积公式与解法对比.对于抛物线 ，过焦点的弦 与两切线围成的阿基米德三角形面积公式为 本题中 ，，所以 代入 得 本题提供了三种解法：坐标法展现了代数推导的严密性；焦半径结合非对称韦达定理揭示了代数结构消元的技巧；焦半径角度公式则通过极坐标视角极大简化了运算量.掌握阿基米德三角形的这些高维性质及多元解法，不仅能大幅提升解题效率，更能深刻领略解析几何中代数推导与几何直观相互印证的内在统一之美. 1 学科网（北京）股份有限公司 $