17.2　用公式法分解因式 (第1课时）教学设计 2026-2027学年人教版八年级数学上册

17.2　用公式法分解因式 第1课时 【教材分析】 这节课接在提公因式法后面，是本章第二条分解因式的路。提公因式法靠的是“各项都有”，能不能用一眼就能看出来；平方差公式不一样，它要求式子长得对——必须是两项、符号相反、各自又能写成平方的样子。教材把它安排在这里，正是要让学生从“看有没有公因式”转到“看式子像不像公式”。 课上的知识链条是这样的：先顺着算两个乘法，把 (a＋5)(a－5)=a²－25 这类结果摆出来；再把这两行倒过来读，a²－25 就写成了 (a＋5)(a－5)。这一来一回，正好对上第17章开头讲的因式分解与整式乘法互逆。学生一旦把这层“倒着读”的关系看清楚，公式就不是背下来的，而是从乘法里认出来的。 平方差公式是本章第一个“有名字的公式”，也是后面完全平方公式的样板。这节课把“认结构—定a、b—代公式—查彻底”这套动作练顺了，下一课时的完全平方公式就能顺着同一个套路走。 【学情分析】 学生手里有的：上节课刚学会提公因式法，知道因式分解要做到“几个整式的积”；整式的乘法刚学完，会算 (a＋5)(a－5) 这样的乘法；平方数也认得出，看到 4x² 能想到 (2x)²。 真上起来会卡的地方： 1．两项符号的问题看得不仔细。－x²＋4y² 这种把负号写在前面、正项写在后面的，学生第一眼会说“不能用”，忘了把两项调个位置就成 4y²－x²。检测第2题就是照这个坑出的。 2．把“不是平方的形式”当成平方。x²－y 里的 y 不是谁的平方，可它长得很像，容易被当成 b。类似的还有 4a²－9n 这类，要一个个试。 3．多项式的整体当字母用不顺手。(x＋p)²－(x＋q)² 里的两个括号，学生明明知道要把 (x＋p) 看成一个整体，动笔时却忍不住先展开，越算越乱。 4．分解不彻底。x³－4x 提完公因式写成 x(x²－4) 就收手，括号里还能用平方差接着分，这一步年年有人漏。 5．括号里减出来之后不再化简。像 16(a－2b)²－(a＋b)² 中 4(a－2b)－(a＋b) 算出来是 3a－9b，学生常把 3a－9b 就丢在括号里，没把公因数3提出来。 【教学目标】 1．能说出平方差公式的结构特点：两项、符号相反、每一项都能写成某个式子的平方；给出一组多项式，能判断哪一个能用平方差公式分解，并说清理由。 2．能准确指出公式里 a、b 分别对应式子中的哪一部分，会用 a²－b²=(a＋b)(a－b) 把一个二项式分解成两个一次因式的积；遇到多项式的整体（如括号里的式子）也能直接当字母用，不硬展开。 3．分解完能回头查两件事：公因式提净了没有、括号里的因式还能不能接着分；会用平方差公式做如 429²－171² 这类数值计算。 【重点难点】 重点：认识平方差公式的结构，能用它把多项式分解因式。 难点：在较复杂的式子里把 a、b 找准——特别是两项都带系数、带括号，或者要先调整项的顺序、先提出公因式的那些；还有就是分解到底不彻底。 【教学准备】 多媒体课件：两组乘法算式的对照表（正着算与倒着写并排）、平方差公式的结构拆解图、检测题的原题投影。 学生用品：课堂练习本；每人一张“结构判断”小卡片，印着“两项？符号相反？都能写成平方？”三个问题，用作判断时的自检。 板书准备：红粉笔一支，写 a²－b² 里“认定 a、b”的位置；另外留一块固定区域写“分解彻底”四个字。 【教学过程】 一、创设情境，导入新课 [师]上课先来比个快慢，看谁算得最快。（出示问题1） ① 98²－2²； ② 已知 x＋y=4，x－y=2，则 x²－y²=＿＿＿＿；已知 x＋y=2018，x－y=2，则 x²－y²=＿＿＿＿。 （学生动笔，教师掐时间，约一分钟） [师]算完的同学把手举一下。说说你是怎么算的。 [生]第一题我先算 98²=9604，2²=4，减一减是9600。 [生]我没平方，98²－2² 就是 (98＋2)×(98－2)=100×96=9600，不用动笔。 [师]（板书两种算法）同样一道题，一个把两个平方都算出来，一个直接乘两个和差。哪种省事？ [生]第二个，一眼就出结果。 [师]再看②，第二问里 2018 那么大，你要真去平方，算到下课也算不完。 [生]只要把 x＋y 和 x－y 代进去：x²－y²=(x＋y)(x－y)，第一问是4×2=8，第二问是2018×2=4036。 [师]（板书）看出来了吧——一个平方差，只要知道两数的和与差，乘一下就有。这个省事的办法从哪儿来？ （学生迟疑） [师]别急着答，先看下一个问题。（出示问题2）x²－4 和 y²－25 这两个式子，能不能也写成两个因式相乘的样子？先别动手，盯着它们看几秒，说说这两个式子长得像在哪儿。 [生]x²－4 就是 x²－2²，可以写成 (x＋2)(x－2)；y²－25 就是 y²－5²，写成 (y＋5)(y－5)。 [师]对了，那么共同点在哪儿？ [生]都是两个平方相减。 [师]（板书课题）两个平方相减，正是今天要用的工具。这节课我们就来学用公式法分解因式。（板书：17.2　用公式法分解因式　第1课时） 二、探究归纳 1．先正着算，再倒着写 [师]请同学们把下面两道乘法算出来。 （1）(a＋5)(a－5)。 （2）(4m＋3n)(4m－3n)。 （学生动笔，两人上台板演） [师]看板演的结果。 （1）(a＋5)(a－5)=a²－5²=a²－25。 （2）(4m＋3n)(4m－3n)=(4m)²－(3n)²=16m²－9n²。 [师]两行结果里有几项？符号怎么样？ [生]都是两项，中间是减号。 [师]再看第二行，(4m)² 里的 4m 整个平方，不是只把 4 平方。 [师]现在把方向翻过来。已知这两个结果，请你把它们写回两个因式相乘的样子： （1）分解因式：a²－25。 （2）分解因式：16m²－9n²。 （学生从刚才的乘法往上倒着推） [师]谁来说说倒推的依据？ [生]刚才算的是 (a＋5)(a－5)=a²－25，那就说明 a²－25=(a＋5)(a－5)，跟之前学的整式乘法正好反着走。 （1）a²－25=a²－5²=(a＋5)(a－5)。 （2）16m²－9n²=(4m)²－(3n)²=(4m＋3n)(4m－3n)。 [师]把中间那步圈出来：先把两项写成平方，再套用和、差的乘积。这一步是今天的落脚点。回头看导入里的 98²－2²，还有 x²－y²，用的是不是同一件事？ [生]是，98²－2²=(98＋2)(98－2)，x²－y²=(x＋y)(x－y)。 [师]（板书课题补充）所以这一招有个正式名字，叫平方差公式法——两个平方相减，直接写成两数和乘两数差。 2．把公式认下来 [师]（板书）平方差公式： （1）字母表示：a²－b²=(a＋b)(a－b)。 （2）语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。 [师]这个式子有两个方向：从左边到右边是分解因式，从右边到左边是乘法。今天我们要的是前者。谁来把等号右边的样子说清楚？ [生]右边是两个二项式相乘。 [师]这两个二项式有什么讲究？ [生]一个括号里是“a＋b”，另一个是“a－b”，a 是一样的，b 一个正一个负。b 的部分正好差一个符号，其余照抄。 [师]（红笔圈出 a、b 的位置）这就好办了。等号左边，是这两个底数的平方相减；等号右边，是它们的和乘它们的差。判断能不能用公式，就看两点：是不是两项相减，两个底数是不是分别都能写出来。 （2）补一句：公式里的 a、b 不一定是单个字母。它们可以是数、是一个单项式，也可以是一整个多项式。（板书：（x＋p）这种整体也可以当字母用） 3．例题讲解 例：把下列多项式分解因式： （1）4x²－9。 （2）16m²－9n²。 （3）（x＋p）²－（x＋q）²。 [师]先看第（1）小题。它有几项？符号怎么样？ [生]两项，一正一负。 [师]两项分别能写成谁的平方？ [生]4x² 是 (2x)²，9 是 3²。 [师]那就对上了，a 是 2x，b 是 3。 解析：（1）4x²－9=(2x)²－3²=(2x＋3)(2x－3)。 [师]第（2）小题和第（1）小题是一路的，谁来说？ [生]16m² 是 (4m)²，9n² 是 (3n)²，所以 a 取 4m，b 取 3n。 解析：（2）16m²－9n²=(4m)²－(3n)²=(4m＋3n)(4m－3n)。 [师]（3）有点不一样了。这里有 x 吗？ [生]有，可是平方里的东西是两个括号，不是一个字母。 [师]那怎么办？要不要先把括号展开？ [生]不用。把 (x＋p) 看成一个整体，它就是 a；把 (x＋q) 看成另一个整体，它就是 b。 [师]对，就这么干。展开是最笨的一条路。谁来写？ [生]（x＋p）²－（x＋q）²=[(x＋p)＋(x＋q)]·[(x＋p)－(x＋q)]。 [师]两个中括号里还能不能再化简？ [生]第一个是 x＋p＋x＋q=2x＋p＋q；第二个是 x＋p－x－q=p－q。 [师]（板书）注意第二个括号里 x 和 x 抵消了，剩 p－q。所以结果是 (2x＋p＋q)(p－q)。 解析：（3）（x＋p）²－（x＋q）²=[(x＋p)＋(x＋q)]·[(x＋p)－(x＋q)]=(2x＋p＋q)(p－q)。 [师追问]第（3）小题做的时候，最容易在哪儿栽跟头？ [生]第二个中括号去括号的时候，－(x＋q) 里的 q 忘了变号，写成 p＋q。 [师]（在板书上把 －q 圈出来）记住，减去一整个括号，括号里的每一项都要变。 总结：用这个公式分解，按三步走： （1）先看结构：是不是两项相减，两项能不能分别写成平方； （2）把两份“底数”定下来，认准哪一份是 a、哪一份是 b； （3）照公式写出两个因式的积，能化简的化到最简，能接着分的分到底。 三、交流反思 [师]把工具收拢一下。什么样的多项式能用平方差公式？ （1）它是一个二项式，并且两项的符号相反——实在不行，先把它调成“差”的样子，比如 －x²＋4y² 写成 4y²－x²。 （2）两项分别能化成某个式子（数、单项式、多项式都行）的平方。 [师]谁来举个反例，说明条件缺一条就用不上？ [生]x²＋4y² 就不行，两项都是正的，凑不出相减。 [生]x²－y 也不行，y 不是谁的平方。 [师]很好。这两条都要满足，缺一条都不叫平方差。 [师]最后再叮嘱一件事：分解完不能撒手就走。把括号里的每个因式再看一眼，还能分就接着分——检测里就有这样的题，等会儿做题时留意。 四、检测反馈 1．把多项式 x³－4x 因式分解所得的结果是（　　） A．x(x²－4)　　　　　B．x(x＋4)(x－4) C．x(x＋2)(x－2)　　　　D．(x＋2)(x－2) 2．下列各式中，能用平方差分解因式的是（　　） A．x²＋4y²　　B．x²－y C．－x²＋4y²　　D．－x²－4y² 3．因式分解 (x－1)²－9 的结果是（　　） A．(x＋2)(x－4)　　B．(x＋8)(x＋1) C．(x－2)(x＋4)　　D．(x－10)(x＋8) 4．分解因式结果为 －(2a＋b)(2a－b) 的多项式是（　　） A．4a²－b²　　B．4a²＋b² C．－4a²－b²　　D．－4a²＋b² 5．因式分解：a²－1=＿＿＿＿；x²y²－9=＿＿＿＿。 6．若 m²－n²=6，且 m－n=2，则 m＋n=＿＿＿＿。 7．用简便方法计算：429²－171²。 8．把下列各式因式分解： （1）2x³－8x。 （2）36(a＋b)²－25。 （3）16(a－2b)²－(a＋b)²。 （4）8(x²－2y²)－x(7x＋y)＋xy。 9．解方程组 x²－4y²=5，①　x－2y=1。② 【参考答案与解析】 第1题：答案 C。 解析：x³－4x 两项里都含有 x，先用提公因式法提出 x，得 x(x²－4)；括号里 x²－4=x²－2²，还能用平方差继续分，得 x(x＋2)(x－2)。选项 A 只做到了第一步，括号里 x²－4 没分完，属于分解不彻底；B 里 (x＋4)(x－4)=x²－16，展开与原式不符；D 丢掉了公因式 x。 验算：x(x＋2)(x－2)=x(x²－4)=x³－4x，与原式一致。 第2题：答案 C。 解析：逐个按“两项相减、两项都能写成平方”这两条去卡。A 两项 x²、4y² 都是正的，符号相同，凑不出相减，不能用；B 中 x² 是平方，但 y 不是某个式子的平方，两项没法同时变成平方的形式，不能用；C 只要把两项调个位置，－x²＋4y²=4y²－x²=(2y＋x)(2y－x)，能用；D 两项都是负的，－x²－4y²=－(x²＋4y²)，括号里是平方和，仍然不能用。 第3题：答案 A。 解析：把 9 写成 3²，原式就是 (x－1)²－3²，符合平方差公式，此时 a 取 x－1，b 取 3。代入得 [(x－1)＋3][(x－1)－3]，前一个括号化简为 x＋2，后一个括号化简为 x－4，所以结果是 (x＋2)(x－4)。B、C、D 三个选项用 x=0 代入检验即可排除：原式 (0－1)²－9=1－9=－8，而 B 得 8，C 得 －8——C 的数值恰好相同，再用 x=1 检验：原式 0－9=－9，C 得 (1－2)(1＋4)=－5，不相同，排除；D 用 x=0 得 (－10)×8=－80，排除。 第4题：答案 D。 解析：把 －(2a＋b)(2a－b) 先算中括号里的乘法，(2a＋b)(2a－b)=(2a)²－b²=4a²－b²；前面带负号，所以结果是 －(4a²－b²)=－4a²＋b²，选 D。A 是漏掉了负号；B、C 的常数项符号不对。 验算：把 －(2a＋b)(2a－b) 展开，－[(2a)²－b²]=－4a²＋b²，与 D 一致。 第5题：答案 (a＋1)(a－1)；(xy＋3)(xy－3)。 解析：a²－1=a²－1²，a 取 a，b 取 1，得 (a＋1)(a－1)。x²y²－9=(xy)²－3²，这时 a 取 xy，b 取 3，得 (xy＋3)(xy－3)。第二空容易写成 (xy＋3)(xy＋3) 或把 x²y² 当成 (xy²)²，注意 x²y²=(xy)²。 第6题：答案 3。 解析：平方差的另一边正好是两数和与两数差的积：m²－n²=(m＋n)(m－n)。已知 m²－n²=6、m－n=2，代入得 (m＋n)×2=6，所以 m＋n=3。 验算：把 m＋n=3、m－n=2 联立，解得 m=2.5、n=0.5，则 m²－n²=6.25－0.25=6，与已知相符。 第7题：答案 154800。 解析：429²－171²=(429＋171)(429－171)=600×258。600×258=600×250＋600×8=150000＋4800=154800。 验算：429²=184041，171²=29241，184041－29241=154800，与上式结果一致。 第8题：答案（1）2x(x＋2)(x－2)；（2）(6a＋6b＋5)(6a＋6b－5)；（3）3(5a－7b)(a－3b)；（4）(x＋4y)(x－4y)。 解析： （1）2x³－8x 的两项都含 2x，先提公因式：2x³－8x=2x(x²－4)；括号里 x²－4=x²－2²=(x＋2)(x－2)。所以 2x³－8x=2x(x＋2)(x－2)。只写 2x(x²－4) 不算分解完。 （2）36(a＋b)² 是 [6(a＋b)]²，25 是 5²，所以 36(a＋b)²－25=[6(a＋b)]²－5²=[6(a＋b)＋5][6(a＋b)－5]=(6a＋6b＋5)(6a＋6b－5)。 （3）16(a－2b)² 是 [4(a－2b)]²，所以原式=[4(a－2b)]²－(a＋b)²=[4(a－2b)＋(a＋b)][4(a－2b)－(a＋b)]。前一个括号：4a－8b＋a＋b=5a－7b；后一个括号：4a－8b－a－b=3a－9b。于是原式=(5a－7b)(3a－9b)，后一个因式里 3 还能提出去，得 3(5a－7b)(a－3b)。 验算：3(5a－7b)(a－3b)=3(5a²－22ab＋21b²)=15a²－66ab＋63b²；直接展开原式，16(a²－4ab＋4b²)－(a²＋2ab＋b²)=16a²－64ab＋64b²－a²－2ab－b²=15a²－66ab＋63b²，两边一致。 （4）先把式子整理开：8(x²－2y²)－x(7x＋y)＋xy=8x²－16y²－7x²－xy＋xy=8x²－7x²－16y²－xy＋xy=x²－16y²。再用平方差公式：x²－16y²=x²－(4y)²=(x＋4y)(x－4y)。 验算：取 x=1、y=1，原式 =8×(1－2)－1×(7＋1)＋1=－8－8＋1=－15；结果式 (1＋4)(1－4)=5×(－3)=－15，两者相同。 第9题：答案 x=3，y=1。 解析：方程组第一个方程 x²－4y²=5 的左边是平方差，先分解：x²－4y²=(x＋2y)(x－2y)。第二个方程给出 x－2y=1，把它代进上式，得 (x＋2y)×1=5，即 x＋2y=5。这样就把原来的方程组化成了两个一次方程： x＋2y=5，　x－2y=1。 两式相加得 2x=6，x=3；两式相减得 4y=4，y=1。 验算：x=3、y=1 时，x²－4y²=9－4=5，与①相符；x－2y=3－2=1，与②相符。 （说明：本题用到的“消元”办法，是与第二学期要学的二元一次方程组衔接的内容，本课只要求会用平方差公式把①的左边分解开，不需要另外补充新方法。） 五、布置作业 教科书P129练习第1、2题，P132习题17.2第1、7题。 选做：给同桌出两道能用这个公式分解的式子，每题里都埋一个“陷阱”（比如少一个平方、两个符号相同），让同桌找出为什么用不上公式。 六、板书设计 知识要点区 例题板演区 练习板演区 课题：17.2　用公式法分解因式（第1课时） 例：（1）4x²－9=(2x)²－3²=(2x＋3)(2x－3)； 检测第8题的学生板演位 平方差公式：a²－b²=(a＋b)(a－b) （2）16m²－9n²=(4m)²－(3n)²=(4m＋3n)(4m－3n)； 分解彻底的四字提醒：公因式提净、括号里分完 语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。 （3）(x＋p)²－(x＋q)²=[(x＋p)＋(x＋q)][(x＋p)－(x＋q)]=(2x＋p＋q)(p－q)。 导入题两种算法的对照：98²－2² 能用公式的条件：两项相减；两项都能写成平方（a、b 可以是数、单项式或多项式）。 步骤：看结构 → 定 a、b → 代公式 → 化简查彻底 x²－y²=(x＋y)(x－y) 七、教学反思 1．导入的两道速算题效果不错，但时间要卡死。“看谁算得最快”容易把学生带进“拼命算”的劲头里，第一次上的时候我给了两分钟，结果一半人还在算 98²。下次改成明确说一句“只写答案，不许笔算”，一分钟收手，把省下来的时间留给例3。 2．“先展开再套公式”这个习惯不好掰。(x＋p)²－(x＋q)² 这一题，课上果然有人把两个平方展开成 x²＋2px＋p² 和 x²＋2qx＋q² 硬减，减到一半就乱了。下次讲这题时，先问一句“x 和 q 分别是什么（都是字母，不是数）”，把“整体当字母”的意识先立起来再动笔。 3．“分解不彻底”年年有，得当场抓现行。第1题 x³－4x，改作业时我数了一下，选 A 的有七八个。下学期这道题不急着讲答案，请选 A 的同学把答案写到黑板上，再请别人用平方差公式往下分一步，让全班看着括号里“还能分”这件事发生。 4．符号调整要想得起来。－x²＋4y² 这类式子，学生的第一反应是“不能用”。今年我打算在黑板上固定留一行“先把两项调成差的样子”，每遇到这类题就往上写一遍，写三次就记住了。 5．第8题第（4）小题先要整理再分解，学生容易一上来就找公式。这题的顺序是先把括号去掉、合并同类项，变成 x²－16y² 才看得清。下次处理这题时，先让他们把式子抄一遍、画一条横线写“先整理”，再动手。 6．时间分配上，检测第9题如果放在课上做，至少要留八分钟，而且要先提示“把第一个方程的左边分解开”。这节课我把它放到课后，课上只讲思路，效果反而更好；下次保持这个安排。 学科网（北京）股份有限公司 $