17.2　用公式法分解因式 (第3课时）教学设计 2026-2027学年人教版八年级年数学上册

17.2　用公式法分解因式 第3课时 【教材分析】 前两个课时把两件工具分别磨了一遍：两项的用平方差，三项的用完全平方。这一课时要把它们装进同一道题里用，还得先把公因式处理掉。教材在这里转了个弯——从“认公式”转到“安排先后顺序”。 真正的难点不在会不会用公式，而在知不知道先做哪一步。mn³－m³n 这样的式子，两项都有 mn，硬套平方差套不上，一提公因式立刻就顺了。教材把它安排成一道对比题，就是要让学生在“套不上 → 提一下试试 → 通了”这个来回里，自己体会到顺序不能颠倒。 这节课还有一层延伸：公式可以重复用。m⁴－1 用一次平方差得到的 (m²－1) 里还藏着第二个平方差，学生第一次遇到“分解完还要再看看”，也是在这一课时。这个习惯一旦养成，后面分式的约分、解分式方程里检验增根，都会受益。 【学情分析】 学生手里有的：提公因式法、平方差公式、完全平方公式三件工具都会用了，单项式的除法、幂的运算也熟。 真上起来会卡的地方： 1．看不见公因式。a³－8a²＋16a 里的 a，学生往往提了一次就以为完事，其实提完括号里正好是完全平方式；反过来，也有人压根没想起先去提，直接对着三项式找公式。 2．顺序颠倒。16a⁵－9a³b² 这类题，学生习惯先看“两项相减 → 平方差”，可 16a⁵ 和 9a³b² 都不是平方的形式，套不动。不先提出 a³，公式就永远用不上。 3．分解完不再回头检查。m⁴－1 写到 (m²＋1)(m²－1) 就停笔是常态；(m²＋1) 不能分，但 (m²－1) 可以，这一步能主动回头的人数不多。 4．分配律用混。第7题 －3(m²＋1)＋6m 这种带着括号的，学生容易只把 －3 乘进第一个括号，写成 －3m²＋1＋6m；或者提出 －3 之后，括号里第二项的符号忘了变。 5．负号当家的时候手软。提出 －3 得 －3(m²－2m＋1)，有学生写成 3(m²－2m＋1)，把符号丢了。 【教学目标】 1．遇到一个多项式，能先判断有没有公因式，提完再看括号里的项数选公式；能说清“先提公因式、再用公式法”这个顺序为什么不能倒过来。 2．会分解需要重复用公式的式子，比如 m⁴－1、(x²＋2x)²－1 这类；分解完会逐个因式检查能不能再分。 3．能用因式分解解决简单的求值问题，比如知道 a－b、ab 的值，求 a³b－2a²b²＋ab³ 的值。 【重点难点】 重点：把提公因式法与公式法放在一起灵活使用。 难点：安排分解的先后顺序，以及判断哪一个因式还能接着分——顺序一旦颠倒，公式就套不上；少检查一步，答案就不彻底。 【教学准备】 多媒体课件：一页“三件工具”对照表（提公因式法、平方差公式、完全平方公式各自管什么）、几道题的结构标注、检测题原题投影。 学生用品：练习本；“分解流程图”小卡片，上面印三步——先看有没有公因式、再数括号里的项数、最后逐个因式回头查。 板书准备：黑板左侧固定写“先提 → 再用公式 → 查彻底”这行顺序，红笔标出中间的箭头，凡是分解的题都指一遍。 【教学过程】 一、创设情境，导入新课 [师]先看两个式子。（板书）x³－4x、x³－6x²＋9x。谁能把它们分解因式？ （学生动笔，教师巡视，请两名学生上台） [师]先看第一个。你第一步做的什么？ [生]我先看有没有公因式，两项都有 x，提出 x，得 x(x²－4)；然后 x²－4 还能用平方差，分成 (x＋2)(x－2)。 [师]第二个呢？ [生]也是先提 x，x(x²－6x＋9)，括号里是三项，正好是完全平方式，只能是 (x－3)²。 [师]（板书两步）两道题的走法一样：先动手提，再挑公式。为什么不一上来就找公式？ [生]x³－4x 两项里有一项是 x³，不是平方，套不上平方差。 [师]（指板书）这就是今天要练的本事——不是会不会用工具，而是会不会安排先做什么、后做什么。（板书课题：17.2　用公式法分解因式　第3课时） 二、探究归纳 1．两道题，同一个开头 [师]请同学们分解下面两个式子，做完和同桌说说你是怎么下手的。 （1）mn³－m³n。 （2）a³－8a²＋16a。 （学生动笔，两人上台板演，教师巡视） [师]看板演的两行。 （1）mn³－m³n=mn(n²－m²)=mn(n＋m)(n－m)。 （2）a³－8a²＋16a=a(a²－8a＋16)=a(a－4)²。 [师]两行的第一步做的都是什么？ [生]都是提公因式。（1）提的是 mn，（2）提的是 a。 [师]第二步呢？ [生]（1）第二步用的是平方差公式；（2）第二步用的是完全平方公式。 [师]也就是说，第一步一样，第二步挑的工具不一样，为什么？ [生]（1）提完之后括号里是两项，所以用平方差；（2）括号里剩下三项，所以用完全平方。 [师]（板书在“先提”后面补上“再数项数”）那我把问题反过来问：第一步不提公因式，直接套公式，行不行？ [师]（1）里的 mn³ 能不能写成某个式子的平方？ [生]不能，mn³ 不是平方的形式。 [师]（2）里的 a³ 呢？ [生]也不是。 [师]所以不先提，公式就无从下手。顺序不是老师定的规矩，是式子本身要求的。 [师]（板书）所以：多项式有公因式的，先提公因式，再用公式法——这个顺序不能颠倒。 2．公式还能接着用 [师]再看两个，这两个比刚才狡猾一点。 （1）m⁴－1。 （2）a⁴－8a²＋16。 （学生动笔，同桌交流，教师巡视） [师]（1）先说第一步。有公因式吗？ [生]没有。但是 m⁴ 可以看成 (m²)²，1 是 1²，所以可以用平方差：m⁴－1=(m²＋1)(m²－1)。 [师]写完这个算完了吗？ [生]没有，(m²＋1) 不能分了，可是 (m²－1) 还能用平方差，等于 (m＋1)(m－1)。 [师]（板书）对，答案要写成 (m²＋1)(m＋1)(m－1)。回头看一眼，这一步是怎么多出来的？ [生]因为分解完又检查了一遍括号里的每个因式。 [师]（2）这个呢？ [生]a⁴－8a²＋16 是三项，可以看成 (a²)²－8a²＋4²，中间 8a²=2×a²×4，所以是完全平方式，等于 (a²－4)²。 [师]括号里那个 a²－4 就这么留着吗？ [生]不行，a²－4=(a＋2)(a－2)，还要代回去。 [师]代回去之后是什么？ [生][(a＋2)(a－2)]²，也就是 (a＋2)²(a－2)²。 [师]（板书）积的平方等于各自平方的积。这里的写法容易出错，我写全：a⁴－8a²＋16=(a²－4)²=[(a＋2)(a－2)]²=(a＋2)²(a－2)²。 [师追问]这两道题告诉我们，检查那一步要检查什么？ [生]看每个因式还能不能再分。 [师]（板书）提醒一：公式法可能要用两次、三次，分解的时候随手就当“还没完”看。提醒二：只要还有一个因式能接着分，答案就不算到位。 3．例1：把下列多项式因式分解 （1）16a⁵－9a³b²。 （2）x³y³－2x²y²＋xy。 [师]第（1）题，先解决一个疑问：这题是两项相减，是不是能用平方差？ [生]不能，16a⁵ 不是平方，9a³b² 也不是。 [师]那就先看公因式。两项都有什么？ [生]都有 a³，系数 16 和 9 没有公因数，所以公因式是 a³。 [师]提出来看看。 解：（1）16a⁵－9a³b²=a³(16a²－9b²)=a³(4a＋3b)(4a－3b)。 [师]提完括号里是 16a²－9b²，这时候再用平方差，一次就到位了。第（2）题自己试试。 （学生独立完成，一名学生板演） 解：（2）x³y³－2x²y²＋xy=xy(x²y²－2xy＋1)=xy(xy－1)²。 [师]（2）的公因式是谁？ [生]xy。 [师]括号里提完是 x²y²－2xy＋1，怎么看出它是完全平方式的？ [生]x²y² 是 (xy)²，1 是 1²，中间 2xy=2×xy×1，所以是 (xy－1)²。 [师]注意后一个因式里 xy 是整体，别再往下拆。 4．例2：把多项式因式分解 （x²＋2x）²－1。 [师]这个式子的外面像什么？ [生]两个式子的平方相减，像平方差。 [师]那 a 和 b 分别是什么？ [生]a 是 (x²＋2x)，b 是 1。 [师]先按平方差走一步。 解析：（x²＋2x）²－1=（x²＋2x＋1）（x²＋2x－1）。 [师]两个括号都写完了吗？回头看看。 [生]第一个括号 x²＋2x＋1 是完全平方式，还能分，是 (x＋1)²。第二个括号 x²＋2x－1 两项……分不动了。 [师]所以最后的结果是？ [生]（x＋1）²（x²＋2x－1）。 [师]（板书）解析补全：（x²＋2x）²－1=（x²＋2x＋1）（x²＋2x－1）=（x＋1）²（x²＋2x－1）。 [师追问]这道题走的是几步？ [生]先用平方差，再用一次完全平方。 [师]（指板书的那行顺序）顺序还是那句话：先看整体像不像公式，用完之后立刻回头查括号，能分就继续分。 [师]归纳一下分解的思路：式子里有公因式的，先提公因式；提完或本来就没有公因式的，看项数挑公式；公式可以重复用，每一步做完都回头查一遍，直到每个因式都不能再分为止。 三、交流反思 [师]把今天用到的工具再点一遍名。 [生]两个方法：提公因式法和公式法。 [师]使用的时候有哪几条要交代？ [生]第一，几种方法可以一起用，同一个公式也可能用两次以上；第二，分解要一直做到每个因式都不能再分。 [师]还有一条最要紧的，谁来补？ [生]要先提公因式，再用公式法。 [师]（板书加粗）对，顺序错了，公式根本套不上。做题时养成一个动作习惯：拿到式子先扫一眼有没有公因式，这一步花不了两秒钟，能省掉后面很多弯路。 四、检测反馈 1．把 a³－2a²＋a 分解因式，结果正确的是（　　） A．a(a－1)²　　　　　B．a(a²－2a) C．a(a＋1)(a－1)　　　　D．a²(a－2)＋a 2．将多项式 x³－x 分解因式正确的是（　　） A．x(x²－1)　　　　　B．x(1－x²) C．x(1＋x)(1－x)　　　　D．x(x＋1)(x－1) 3．把多项式 3x²－27 因式分解的结果是（　　） A．3(x²－9)　　　　　B．3(x－3)² C．3(x－9)(x＋9)　　　　D．3(x－3)(x＋3) 4．已知 a－b=5，ab=－6，则 a³b－2a²b²＋ab³ 的值为（　　） A．57　　B．120　　C．－39　　D．－150 5．因式分解：8a³－8a²＋2a=＿＿＿＿。 6．若 y－x=－1，xy=4，则代数式 －(1/2)x³y＋x²y²－(1/2)xy³ 的值是＿＿＿＿。 7．因式分解：－3(m²＋1)＋6m=＿＿＿＿。 8．因式分解：x²－4y²－2x＋4y=＿＿＿＿。 9．因式分解：x³－6x²＋11x－6=＿＿＿＿。 10．因式分解： （1）a²－16b²；（2）3a²－6ab＋3b²。 11．因式分解： （1）2x²y－18y； （2）(m＋n)²－4m－4n＋4。 【参考答案与解析】 第1题：答案 A。 解析：a³－2a²＋a 三项都含 a，先提公因式得 a(a²－2a＋1)；括号里 a²－2a＋1 的中间项 －2a=－2×a×1，与首尾 a²、1² 配得上，是完全平方式，等于 (a－1)²。所以结果是 a(a－1)²。B 停在 a(a²－2a)，括号里还能提 a、还能用完全平方公式，不彻底；C 展开是 a(a²－1)=a³－a，与原式不符；D 的 a²(a－2)＋a 还是和的形式，不是几个整式的积。 验算：取 a=3，原式 =27－18＋3=12；A 得 3×(3－1)²=3×4=12，一致。 第2题：答案 D。 解析：x³－x=x(x²－1)，括号里 x²－1=x²－1²，用平方差得 (x＋1)(x－1)，所以结果是 x(x＋1)(x－1)。A 少分了一步；B 的 x(1－x²)=x－x³，符号与原式相反；C 的 x(1＋x)(1－x)=x(1－x²)=x－x³，也是符号错。 验算：取 x=2，原式 =8－2=6；D 得 2×3×1=6，一致。 第3题：答案 D。 解析：3x²－27 两项系数有公因数 3，先提出来得 3(x²－9)；括号里 x²－9=x²－3²，用平方差得 (x＋3)(x－3)。所以结果是 3(x－3)(x＋3)。A 括号里没分完；B 的 3(x－3)²=3x²－18x＋27，与原式不符；C 的 3(x－9)(x＋9)=3x²－243，也不符。 第4题：答案 D。 解析：先分解再代入。a³b－2a²b²＋ab³ 三项都含有 ab，提出 ab 得 ab(a²－2ab＋b²)；括号里是完全平方式，等于 (a－b)²。所以原式 =ab(a－b)²。把 a－b=5、ab=－6 代入：(－6)×5²=－6×25=－150。 验算：取满足 a－b=5、ab=－6 的一组数，a=2、b=－3，则 a³b－2a²b²＋ab³=8×(－3)－2×4×9＋2×(－27)=－24－72－54=－150，与结果一致。 第5题：答案 2a(2a－1)²。 解析：8a³－8a²＋2a 三项的公因式是 2a，提出得 2a(4a²－4a＋1)；括号里 4a²=(2a)²，1=1²，中间 －4a=－2×2a×1，是完全平方式，等于 (2a－1)²。所以结果是 2a(2a－1)²。 验算：把 2a(2a－1)² 展开，(2a－1)²=4a²－4a＋1，乘 2a 得 8a³－8a²＋2a，与原式一致。 第6题：答案 －2。 解析：三项都含有 －(1/2)xy，先提出公因式：原式 =－(1/2)xy(x²－2xy＋y²)=－(1/2)xy(x－y)²。已知 y－x=－1，所以 x－y=1；又 xy=4。代入得 －(1/2)×4×1²=－2。 注意这里 y－x=－1 与 x－y=1 是一回事，写的时候别把符号抄反。验算：取 x=2、y=1（满足 y－x=－1、xy=2……），为稳妥起见改用满足条件的另一组数检验不便，改由展开核对：－(1/2)xy(x²－2xy＋y²)=－(1/2)x³y＋x²y²－(1/2)xy³，与原式完全相同，说明分解没有变形。 第7题：答案 －3(m－1)²。 解析：先把括号去掉并整理：－3(m²＋1)＋6m=－3m²－3＋6m。三项都含 －3，提出 －3 得 －3(m²－2m＋1)；括号里是完全平方式，等于 (m－1)²。所以结果是 －3(m－1)²。 验算：取 m=2，原式 =－3×(4＋1)＋12=－15＋12=－3；结果式 －3×(2－1)²=－3，一致。这里最容易错的是提出 －3 以后括号里第二项符号没变，写成 －3(m²－2m－1)，那就不对了。 第8题：答案 (x－2y)(x＋2y－2)。 解析：四项式先想“分组”。把前两项、后两项各凑一组：x²－4y²－2x＋4y=(x²－4y²)－(2x－4y)。前一組用平方差得 (x＋2y)(x－2y)；后一组提出 2 得 2(x－2y)。这时候两组都含有 (x－2y)，把它提出来：(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y)=(x－2y)(x＋2y－2)。 验算：把 (x－2y)(x＋2y－2) 展开，得 x²＋2xy－2x－2xy－4y²＋4y=x²－4y²－2x＋4y，与原式一致。 第9题：答案 (x－1)(x－2)(x－3)。 解析：这是一个三次四项式，本课时的方法直接套不上，得先用“拆项分组”把它分成两组，再各组提出公因式。 第一步，把中间的一项拆开，让前两项能凑出完全平方式：x³－6x²＋11x－6=(x³－6x²＋9x)＋(2x－6)。 第二步，前一组提出 x：x(x²－6x＋9)=x(x－3)²；后一组提出 2：2(x－3)。 第三步，两组都含 (x－3)，提取公因式：(x－3)[x(x－3)＋2]=(x－3)(x²－3x＋2)。 第四步，括号里 x²－3x＋2 是二次三项式，把中间项拆开：x²－3x＋2=x²－2x－x＋2=x(x－2)－(x－2)=(x－2)(x－1)。 所以 x³－6x²＋11x－6=(x－1)(x－2)(x－3)。 验算：把 (x－1)(x－2)(x－3) 展开，(x－2)(x－3)=x²－5x＋6，再乘 (x－1) 得 x³－5x²＋6x－x²＋5x－6=x³－6x²＋11x－6，与原式一致。 （说明：本题属于综合拓展题，用到的“拆项分组”超出了本课时的两种方法，供学有余力的同学尝试，不作为全班统一要求。） 第10题：答案（1）(a＋4b)(a－4b)；（2）3(a－b)²。 解析： （1）a²－16b² 两项相减，16b²=(4b)²，用平方差公式，a 取 a，b 取 4b，得 (a＋4b)(a－4b)。 （2）3a²－6ab＋3b² 三项都含 3，先提公因式得 3(a²－2ab＋b²)；括号里是完全平方式，等于 (a－b)²。所以结果是 3(a－b)²。只写 3(a²－2ab＋b²) 不算分解完。 验算：取 a=3、b=1，（2）式原式 =27－18＋3=12；结果式 3×(3－1)²=12，一致。 第11题：答案（1）2y(x＋3)(x－3)；（2）(m＋n－2)²。 解析： （1）2x²y－18y 两项都含 2y，提出得 2y(x²－9)；括号里用平方差得 (x＋3)(x－3)。所以结果是 2y(x＋3)(x－3)。 （2）先把式子里的后两项合起来看：－4m－4n=－4(m＋n)，于是原式 =(m＋n)²－4(m＋n)＋4。这时把 (m＋n) 当成一个字母，式子成了 □²－4□＋4 的样子，中间 －4(m＋n)=－2×(m＋n)×2，是完全平方式，所以等于 [(m＋n)－2]²，即 (m＋n－2)²。 验算：取 m=2、n=1，（2）式原式 =9－8－4＋4=1；结果式 (2＋1－2)²=1，一致。 五、布置作业 教科书P132练习，第132页习题17.2第3题。 选做：把自己做错的一道分解题抄下来，在旁边写清楚错在哪一步——是没提公因式、公式选错了，还是分解没到底。 六、板书设计 知识要点区 例题区 练习与提示区 课题：17.2　用公式法分解因式（第3课时） 例1：（1）16a⁵－9a³b²=a³(16a²－9b²)=a³(4a＋3b)(4a－3b)； 顺序提示（红笔加粗）：先提公因式 → 再用公式法 → 查彻底 两个方法：提公因式法、公式法 （2）x³y³－2x²y²＋xy=xy(x²y²－2xy＋1)=xy(xy－1)² 判断提示：提完先数括号里的项数，两项用平方差，三项用完全平方 三个公式：a²－b²=(a＋b)(a－b)；a²＋2ab＋b²=(a＋b)²；a²－2ab＋b²=(a－b)² 例2：（x²＋2x）²－1=（x²＋2x＋1）（x²＋2x－1）=（x＋1）²（x²＋2x－1） 两步走完不算完，回头查每个因式还能不能分 顺序：有公因式必须先提，公式法可以重复用 探究题：mn³－m³n=mn(n＋m)(n－m)；a³－8a²＋16a=a(a－4)²；m⁴－1=(m²＋1)(m＋1)(m－1) 检测第8题的板演位（分组找公因式） 七、教学反思 1．“先提公因式”这句话学生背得出，做题时想不起来。上一轮上这节课时，16a⁵－9a³b² 这道题有近一半人卡在开头，对着 16a⁵ 想把它写成谁的平方。这次我改了个做法：讲例1之前先让他们看题目三秒钟，只回答一个问题——“有没有公因式”，不许动笔算。全班的答案齐了再往下走。这样一来，卡壳的人少了很多。今后每讲一道综合题，都先停三秒问这一句。 2．“分解完再回头查”这个动作，得靠硬性要求。m⁴－1 只写到 (m²＋1)(m²－1) 的同学，不是不会分，是没想到要分。今年我在板书右侧固定写一行“每个因式再查一遍”，每道题的答案写完，就带着全班把手里的因式念一遍，念到哪个能分就当场补。念三次以后，多数人会自己养成习惯。 3．符号和括号这两处失分最冤。第6题提出 －(1/2)xy、第7题提出 －3，改作业时各自的错法五花八门：符号丢的、括号里第二项不变号的、把 y－x=－1 抄成 x－y=－1 的。下学期这两道题我不在课上讲答案，直接把错例抄到黑板上，让他们挑毛病——找别人的错比改自己的错认真。 4．第9题超出本课方法，要摆明态度。x³－6x²＋11x－6 用本课时的两种方法做不了，得靠拆项分组。以前我在这道题上花过十几分钟，结果后排同学全程发愣。现在改成明说一句“这是拓展题，会做的写，不会的跳过”，把时间留给第8题分组找公因式——那个才是本课时能生根的地方。 5．求值题是这节课的加分项，要留足时间。第4题、第6题都是“先分解、再代入”，学生第一遍往往直接死算。今年我特意让第4题先按 a=2、b=－3 算一遍，等他们算累了再给分解的办法，对比一下就记住了。留八分钟做这两题是值得的。 6．整体代换的意识还要再磨。第11题第（2）小题里 －4m－4n 要合起来看，学生一眼看不出来。以后碰到这种式子，我打算先让他们在草稿上把 －4m－4n 圈起来，旁边写 －4(m＋n)，把这个动作做实，比口头说“注意整体”效果好。 学科网（北京）股份有限公司 $