17.1 用提公因式法分解因式 教学设计 2026-2027学年人教版八年级数学上册

17.1 用提公因式法分解因式 教学设计 课题 17.1 用提公因式法分解因式 课型 新授课 课时 1课时（45分钟） 授课对象 八年级学生 教学重点 确定多项式各项的公因式，用提公因式法分解因式 教学难点 正确找出公因式；提公因式后另一个因式的确定 一、素养目标 目标维度 具体目标 会用数学的眼光观察现实世界 （抽象能力、符号意识） 能通过整式乘法与因式分解的对比观察，发现两者是方向相反的恒等变形，抽象出因式分解的概念模型，感知多项式与整式乘积之间的互逆关系。 会用数学的思维思考现实世界 （推理能力、运算能力） 经历“观察—对比—归纳”的探究过程，能归纳出找公因式的三步法（定系数、定字母、定指数）；能正确运用提公因式法将多项式分解为整式乘积的形式，并能通过整式乘法检验分解是否正确。 会用数学的语言表达现实世界 （模型观念、应用意识） 能用符号语言准确表述因式分解与整式乘法的互逆关系；能运用提公因式法解决代数化简、求值及简单几何问题（如判断三角形形状），体会因式分解在简化运算中的作用。 二、教学过程 教学环节 与时间 教师活动 学生活动 设计意图 一、引入新课 （约5分钟） 【复习提问】 1.单项式乘多项式的法则是什么？ m(a+b+c)=ma+mb+mc 2.填空： (1) x(x+1) = x2+x (2) (x+1)(x-1) = x2-1 由旧知引入：利用整式乘法，可以将几个整式乘积化为一个多项式；反过来，有时需要将一个多项式写成几个整式乘积的形式。 回答问题。 完成填空。 思考：整式乘法反过来是什么？ 用旧知引入新知，为因式分解概念做铺垫。 二、新知探究 （约12分钟） 【探究1】把下列多项式写成整式乘积的形式： (1) x2+x = x(x+1) (2) x2-1 = (x+1)(x-1) 【因式分解定义】 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解（也叫分解因式）。 因式分解与整式乘法是方向相反的变形。 【归纳】 1.对象是多项式，结果是整式的积 2.是恒等变形（形式改变，值不变） 3.必须分解到每个因式不能再分解为止 【探究2】观察共同点： pa+pb+pc 都含因式p；x2+x 都含因式x 【公因式】多项式中各项都含有的相同因式，叫做公因式。 【提公因式法】如果多项式各项有公因式，把公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式乘积的形式。 pa+pb+pc = p(a+b+c) 【找公因式三步法】 ①定系数：各项系数的最大公约数 ②定字母：各项都含有的相同字母 ③定指数：相同字母的最低次幂 【练一练】找公因式： (1) ma+mb → m (2) 4kx-8ky → 4k (3) 5y3+20y2 → 5y2 (4) a2b-2ab2+ab → ab 观察、比较、讨论。 归纳因式分解与整式乘法的互逆关系。 练习找公因式。 经历“观察—对比—归纳”过程。 理解互逆变形。 掌握找公因式的方法。 三、典例精析 （约10分钟） 【例1】把8a3b2+12ab3c分解因式。 分析： ①系数：8与12的最大公约数是4 ②字母：相同字母a、b ③指数：a的最低指数是1，b的最低指数是2 公因式是4ab2 解： 8a3b2+12ab3c = 4ab2·2a2+4ab2·3bc = 4ab2(2a2+3bc) 检验：用整式乘法乘回去验证。 【例2】把2a(b+c)-3(b+c)分解因式。 分析：把(b+c)看作一个整体，公因式是(b+c) 解： 2a(b+c)-3(b+c) = (b+c)(2a-3) 【提公因式法步骤】 第一步：找公因式 第二步：提取公因式，写成乘积形式 先独立解决，再交流讨论。 注意：(b+c)可看作整体。 用整式乘法检验结果。 规范提公因式法的书写。 强调整体思想。 学会检验。 四、课堂练习 （约10分钟） 【必做题】 1.下列因式分解结果正确的是（B） A. 12xyz-9x2y2=3xyz(4-3xy)（错，第二项无z） B. 3a2y-3ay+6y=3y(a2-a+2) ✓ C. -x2+xy-xz=-x(x+y-z)（错，应为-x(x-y+z)） D. 3b2+5ab+b=b(3a+5b)（错，漏了+1） 2.多项式4ab2+16a2b2-12a3b2c的公因式是（C） A. 4ab2c B. ab2 C. 4ab2 D. 4a3b2c 解析：系数最大公约数4，相同字母a,b，最低指数a1b2 3.已知3x2+mx+n分解结果为(3x+2)(x-1)，则m=-1，n=-2 解析：(3x+2)(x-1)=3x2-x-2，对比得m=-1,n=-2 4.因式分解： (1) 4a3c2+12ab3c = 4ac(a2c+3b3) (2) 5a(b+c)-3(b+c) = (b+c)(5a-3) (3) (a+c)(a-b)-a-c = (a+c)(a-b-1) 【选做题】 5.△ABC三边a,b,c，a+2ab=c+2bc，判断三角形形状。 解：a-c+2ab-2bc=0 (a-c)+2b(a-c)=0 (a-c)(1+2b)=0 ∵1+2b≠0，∴a=c ∴△ABC是等腰三角形 独立完成练习。 注意符号问题。 注意提公因式后剩余项不能漏1。 从基础到综合，分层练习。 培养应用意识。 五、课堂总结 （约3分钟） 引导回顾： 1.什么是因式分解？它与整式乘法有什么关系？ 2.找公因式的三步法是什么？ 3.提公因式法的步骤？ 4.如何检验分解是否正确？ 学生归纳： 1.多项式→整式乘积，与整式乘法互逆 2.定系数、定字母、定指数 3.找公因式→提取公因式 4.用整式乘法乘回去检验 梳理知识体系。 六、布置作业 （约5分钟） 1.必做题：教科书习题17.1 2.选做题： (1) 已知2x+y=4，xy=3，求2x2y+xy2的值。 答：=xy(2x+y)=3×4=12 (2) 化简求值：(2x+1)2-(2x+1)(2x-1)，x=½ 答：=(2x+1)[(2x+1)-(2x-1)]=(2x+1)·2=4x+2 代入x=½：4×½+2=4 记录作业。 选做题注意整体代入思想。 分层作业。 培养整体代入思想。 三、板书设计 17.1 用提公因式法分解因式 1.因式分解：多项式→几个整式的积（与整式乘法互逆） 2.公因式：各项都含有的相同因式 找公因式三步法： ①定系数：最大公约数 ②定字母：相同字母 ③定指数：最低次幂 3.提公因式法： pa+pb+pc = p(a+b+c) 步骤：找公因式→提取公因式 四、教学反思 本节课从学生已掌握的整式乘法出发，通过互逆变形引出因式分解概念，学生容易理解和接受。教学中需特别关注三个易错点：①提公因式后剩余项容易漏写“1”（如3b²+5ab+b提b后应为b(3b+5a+1)，而非b(3b+5a)）；②首项为负时，提负公因式后括号内各项要变号；③公因式要提尽，不能只提一部分。后续应加强辨析练习，让学生通过整式乘法检验分解结果，养成良好的检验习惯。 学科网（北京）股份有限公司 $