4.4 一次函数的应用模块集训2026-2027学年北师大版八年级数学上册

4.4 一次函数的应用 模块集训2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 2．一次函数的图象如图所示，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C．2 D．0 3．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题可迎刃而解，且解法简洁．如图，已知一次函数和的图象交于点，根据图象可得，关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 4．如图，直线上三点A，B，C的横坐标依次为，1，2，分别过点A、B，C作x轴与y轴的垂线，形成了阴影的三角形，则这三个三角形的面积之和为（   ） A． B．3 C． D． 5．已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 6．“五一”期间，一体育用品商店搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商店一次性购物超过100元者，超过100元的部分按九折优惠”在此活动中，小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球个（），则小东应付货款（元）与篮球个数（个）的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 7．爷爷饭后出去散步，从家里出发20min后到一个离家900m的街心花园，与朋友在原地聊天10min后，用15min返回家里．下列四个图象中，能表示爷爷离家的距离y（m）与离家时间x（min）之间函数关系的是（    ） A． B． C． D． 8．某共享单车公司推出一种新的计价方式：前15分钟收费1.8元，之后每超过1分钟收费1.5元（不足1分钟按1分钟计算）．小华骑行了t分钟（且为整数），需要支付的总费用y元，则y与t的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 9．如图，用弹簧测力计拉着重为的木块分别沿倾斜程度不同的斜面向上做匀速直线运动．经测算，在弹性范围内，弹簧测力计的读数与装置高度满足我们学过的某种函数关系．如表，这是一组实验数据，根据表中的数据，当弹簧测力计读数为时，此时装置高度为（    ） 装置高度 0 弹簧测力计的读数 2 4 6 A． B． C． D． 10．如图，点，点，点，直线交轴于点，若直线和的边有公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 11．如图是李明、王平两人在一次赛跑中，路程s与时间t之间的函数关系，读图填空： （1）这是一次________m赛跑； （2）先到终点的是________； （3）王平在赛跑中速度是________． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，将沿翻折，点恰好落在轴正半轴上的点处，则点的坐标为__________． 13．一次函数中两个变量x，y的部分对应值如表所示，那么关于x的方程的解是_________． x … 0 … y … 9 7 5 3 1 … 14．体重的小丽做了一个可行的“瘦身计划”，计划平均每天减掉，x天后的体重为，则y与x之间的关系式为___________． 15．神舟二十一号火箭在发射升空过程中，在最初的一段飞行阶段，火箭的速度随时间均匀变化．此阶段火箭的速度v与时间t关系见下表： 发射时间 2 3 4 5 6 … 火箭速度 100 150 200 250 300 … 火箭发射后第13秒时火箭的速度是____________． 三、解答题 16．为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校准备购买若干套健身器材供学生使用，经调查，某公司有，两种健身器材可供选择，每套型健身器材售价为万元，每套型健身器材售价为万元，经协商，该公司承诺：每套型健身器材在售价的基础上减免万元；每套型健身器材在售价的基础上打七折．学校想购进，两种健身器材共套，若型健身器材买套，共花费万元． (1)请求出与的函数关系式； (2)若型健身器材的数量不超过套，学校应如何购买才能使总费用最少？ 17．甲乙两人匀速从学校出发到1500米处的图书馆看书，如图分别表示甲、乙两人离开学校的距离与甲出发后的时间之间的关系，甲的速度为． (1)由图象可知：甲比乙先出发________分钟，乙的速度是________； (2)甲出发多少分钟，两人相遇，这时他们离开学校多少米？ 18．为节约能源，促进居民养成低碳生活的习惯，我市采取阶梯计费的方式收取燃气费，收费标准如表： 阶梯 年用气量 价格 第一阶梯 （含）的部分 2.94元/ 第二阶梯 （含）的部分 3.23元/ 第三阶梯 以上的部分 3.82元/ (1)设燃气的年用气量为，燃气费为元，求关于的函数解析式； (2)某居民家今年使用燃气，该居民今年的燃气费是多少元？ 19．苏科版伴你学89页第4题给出了平面内两点间距离公式，那你知道这个公式是怎么得到的吗？小明对此做了如下思考，我们快来和小明一起看看吧。 在平面直角坐标系中，已知x轴上两点的距离记作，若、是平面上任意两点，聪明的小明通过构造直角三角形来求间的距离， 如图，过，分别向轴、轴作垂线和，垂足分别是，直线交于点，在中，， ， (1)平面直角坐标系内任意两点间的距离公式为：______； (2)直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离为______； (3)利用上面公式，在平面直角坐标系中的两点，，P为x轴上任一点，则的最小值和此时点的坐标； (4)应用两点间的距离公式，直接写出代数式的最小值． 20．如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以、为边在第一象限内作长方形． (1)求点A、C的坐标； (2)如图②，将对折，使得点A与点C重合，折痕交于点D，求直线的解析式． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A B C C A C A B 1．【答案】C 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】根据方程可知当，，从而可判断直线经过点即可． 【详解】解：由方程的解可知：当时，，即当，， ∴直线的图象一定经过点， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键． 2．【答案】D 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题主要考查了一次函数与方程，根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，进而得到方程的解． 【详解】解：根据图象可得，一次函数的图象经过点， 因此关于x的方程的解， 故选：D． 3．【答案】A 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】本题考查了利用图象法解一元一次方程，根据一次函数和的图象交于点即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵一次函数和的图象交于点， ∴根据图象可得，关于x的方程的解为， 故选：A． 4．【答案】B 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了一次函数的性质与三角形面积计算，分别求出阴影三角形的直角边是解决本题的关键． 分别求出点A、B、C的纵坐标，计算每个点向x轴和y轴作垂线形成的直角三角形的面积，再求和即可． 【详解】解：∵直线上三点A，B，C的横坐标依次为，1，2， 点A横坐标为，代入直线方程得纵坐标； 点B横坐标为1，代入得； 点C横坐标为2，代入得； 记直线与y轴的交点为，如图， 点A形成的三角形面积：； 点B形成的三角形面积：； 点C形成的三角形面积：， ∴这三个三角形的面积之和为3． 故选：B． 5．【答案】C 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，设小明行驶里程是x千米，需要花费y元，分别列出A方案和B方案的费用，分别求出选择A方案和B方案行驶的里程，进而可判断出最优方案． 【详解】解：设小明行驶里程是x千米，需要花费y元， A方案：一共需要花费：， B方案∶ 一共需要花费：， 若选择A方案，，解得：， 若选择B方案，得， 由于，则选择B方案是最优租车方案， 故选：C． 6．【答案】C 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】根据已知表示出买x个篮球的总钱数以及优惠后价格，进而得出等式即可． 【详解】解：∵凡在该商店一次性购物超过 100元者，超过100元的部分按九折优惠， ∴小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球x个（x＞2）， 则小东应付货款y（元）与篮球个数x（个）的函数关系式是： y=（70x-100）×0.9+100=63x+10（x＞2）， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，根据已知得出货款与篮球个数的等式是解题关键． 7．【答案】A 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了函数图象的实际应用，掌握根据实际行程的不同阶段，分析离家距离与时间的变化关系，从而判断对应的函数图象是解题的关键； 通过分阶段分析爷爷的运动状态，确定每个阶段与的变化情况即可解答． 【详解】解：爷爷的行程分为三个阶段： 第一阶段：从家里出发后到离家的街心花园，此阶段离家距离随时间的增大而增大，持续； 第二阶段：与朋友聊天，此阶段离家距离保持不变，时间从到； 第三阶段：用返回家，此阶段离家距离随时间的增大而减小，从到； 观察选项，只有选项A符合这三个阶段的变化情况． 故选：A． 8．【答案】C 【知识点】梯度计价问题 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据计价规则，总费用包括前15分钟的固定费用1.8元和超过15分钟部分按每分钟1.5元计算的费用． 【详解】解：前15分钟收费1.8元，超过部分分钟数为 ，收费为 元， 总费用 ， 故选：C． 9．【答案】A 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用、求一次函数解析式，利用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 设一次函数为，根据题意代入和，得出一次函数的解析式，再利用一次函数的性质即可求解． 【详解】解：设一次函数为， 代入和得，， 解得：， 一次函数为， 当时，， 解得：． 故选：A． 10．【答案】B 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合 【分析】本题考查一次函数的图象性质、直线与三角形边的交点问题，确定直线的定点是解题关键． 先确定直线恒过定点，结合图形可知，直线绕定点旋转时，与边相交的临界位置是过、，求出直线过顶点、时的值即可得出的取值范围． 【详解】解：对于， 当时，令，即，解得，此时点的坐标为， 当时，令，此时直线为轴，直线经过点， 综上所述，直线一定经过点， 由图可知，直线绕定点旋转时，与边相交的临界位置是过、， 当直线经过点时，，解得； 当直线经过点时，，解得； 由图可知，当直线和的边有公共点时的取值范围为． 故选：． 11．【答案】 500 李明 5 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查的是用一次函数解决实际问题． （1）根据图象中点的纵坐标即可直接求得； （2）根据图象可得两人所用时间，据此即可判断； （3）根据图象可得王平用了跑了，据此即可求解． 【详解】解：（1）根据两人所跑的路程都是，则这是一次的赛跑． 故答案为：500； （2）根据图象可得，李明到达终点用了，王平到达终点用了，则先到终点的是李明． 故答案为：李明； （3）王平的速度是：． 故答案为：5． 12．【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】题目主要考查一次函数的综合应用，解答本题的关键是利用翻折的性质、勾股定理等知识 利用勾股定理可得，由折叠得：，得出点D的坐标，设点，则，由勾股定理代入计算即可得出结果． 【详解】解：把代入得，把代入得：， 解得：， ∴、， ∴，， ∵， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴点， 设点，则， 由折叠得：， 在中， ， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 13．【答案】 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程．通过观察函数值表，当时，对应的值为，因此方程的解即为. 【详解】解：根据表格数据，当时，，即， 所以关于的方程的解是， 故答案为：． 14．【答案】 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查一次函数的实际应用，掌握 根据实际数量关系列函数关系式 是解题的关键．根据题中所给条件求解即可． 【详解】解：由题意，初始体重为，每天减重，则x天后的体重． 故答案为：． 15．【答案】650 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】由速度随时间均匀变化可得与满足一次函数关系，求出函数解析式后代入对应t的值即可得到结果． 【详解】解：设函数表达式为， 将，和，代入表达式，得，解得， ∴与的函数表达式为， 当时，． 16．【答案】(1) (2)购买型健身器材套，型健身器材套才能使总费用最少 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意易得购买型健身器材套，然后可列函数解析式进行求解； （2）根据题意易得，然后由及一次函数的增减性可进行求解． 【详解】（1）解：若型健身器材买套，则型健身器材套， 由题意得：， 即与的函数关系式为（，且x为整数）； （2）解：由题意可知，，由可知，总费用为：， 随的增大而减小， 当时，有最小值， 即若型健身器材买套， 则型健身器材买套， 答：购买型健身器材套，型健身器材套才能使总费用最少． 17．【答案】(1)3，50 (2)甲出发15分钟，两人相遇，这时他们离开学校600米 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据图象可直接进行求解； （2）分别求出的解析式，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由图象可知：甲比乙先出发3分钟，乙的速度为； 故答案为3，50； （2）解：设直线的解析式为，由图象可把点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 同理可得：， 联立，解得， 答：甲出发15分钟，两人相遇，这时他们离开学校600米． 18．【答案】(1) (2)该居民今年的燃气费是1897.2元 【知识点】梯度计价问题、求一次函数自变量或函数值 【分析】（1）根据第二阶梯和第三阶梯的计费方式分两种情况表示即可； （2）将代入（1）中解析式求解即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 综上所述，； （2）解： 当时，， 答：该居民今年的燃气费是1897.2元． 19．【答案】(1) (2) (3)最小值是， (4) 【知识点】已知两点坐标求两点距离、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点、两点之间线段最短 【分析】本题考查了两点间距离公式，轴对称的性质，两点之间线段最短，掌握两点间距离公式是解题的关键． （1）根据题意即可求解； （2）利用两点间距离公式计算即可； （3）作点关于轴的对称点，连接，与轴相交于点，可知此时的值最小，利用两点间距离公式可求出的最小值，再利用待定系数法求出直线的解析式，进而可求出点的坐标； （4）由原式，可得原式表示点到点和的距离之和，由两点之间线段最短，可知当点在以点和为端点的线段时，代数式的值最小，进而利用两点间距离公式即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）解：由题意得，， 故答案为：； （3）解：作点关于轴的对称点，连接，与轴相交于点，则， ∴， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小， ∵， ∴的最小值为， 设直线的解析式为，把代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴； （4）解：∵原式， ∴原式表示点到点和的距离之和， 由两点之间线段最短，可知当点在以点和为端点的线段上时，代数式的值最小， ∴最小值． 20．【答案】(1)，； (2)． 【知识点】一次函数与几何综合、折叠问题、已知两点坐标求两点距离、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】（1）直线与轴交点的纵坐标为，与轴交点的横坐标为，代入计算即可； （2）由题意可知的横坐标为，设，由折叠的性质可知，根据勾股定理得到，即，设直线解析式为，根据待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：令，得，解得，即； 令，得，即； （2）解：∵是长方形，在边上， ∴的横坐标为， 设， 由折叠的性质可知， ∵，， ∴， 即， 解得， 即， 设直线解析式为， 代入、得， 解得， 即直线解析式为． 答案第1页，共2页 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