4.4 一次函数的应用 查漏补缺2026-2027学年北师大版八年级数学上册

4.4 一次函数的应用 查漏补缺2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 2．已知一次函数的图象如图所示，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 3．如图1所示，在直角梯形中，，．动点从点出发，沿梯形的边由运动．设点运动的路程为，的面积为．把看作的函数，函数的图象如图2所示，则面积为(    )    A．10 B．16 C．18 D．20 4．网红“脏脏包”是时下最流行的一款面包，“脏脏包”正如其名，它看起来脏脏的，吃完以后嘴巴和手上会因沾上巧克力而变“脏”，因而得名“脏脏包”．某面包店每天固定制作甲、乙两种款型的脏脏包共200个，且所有脏脏包当天全部售出，原料成本、销售单价及店员生产提成如表所示： 甲（元/个） 乙（元/个） 原料成本 12 8 销售单价 18 12 生产提成 1 0.6 设该店每天制作甲款型的脏脏包x（个），每天获得的总利润为y（元）．则y与x之间的函数关系式为（　　） A．y＝1.6x+680 B．y＝﹣1.6x+680 C．y＝﹣1.6x﹣680 D．y＝﹣1.6x﹣6800 5．“五一”期间，一体育用品商店搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商店一次性购物超过100元者，超过100元的部分按九折优惠”在此活动中，小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球个（），则小东应付货款（元）与篮球个数（个）的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 6．在劳动节期间，甲、乙两人相约一起去爬山，爬山过程中，甲先爬了100米后，乙才开始追赶甲，乙爬了2分后，速度变成甲爬山速度的3倍，甲、乙两人距地面的高度y（米）与乙爬山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息有下列说法：①甲的爬山速度为10米/分；②；③当乙爬了分后，甲、乙相遇；④甲、乙相遇后，甲再经过1分与乙相距20米，其中正确的有（   ） A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 7．一次函数：与的图象如图所示，下列选项不正确的是（    ） A．随x 的增大而减小 B．函数 的图象不经过第二象限 C． D． 8．以下是我县自来水价格调整表（部分）（单位：元），则调整水价后某户居民月用水量与应交水费（元）的函数大致图象是（    ） 用水类别 现行水价 拟调整水价 第一阶梯：月用水量每户 第二阶梯：月用水量每户超过部分 A． B． C． D． 9．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体质量间有如下关系，下列说法中不正确的个数是（ ） 0 1 2 3 4 5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 （1）y是x的函数，此函数的图像是条直线． （2）所挂物体的质量为时，弹簧长度为， （3）弹簧的长度增加，所挂物体质量增加， （4）弹簧不挂重物时的长度为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，平面直角坐标系中，顶点坐标分别为点，，，是过点与轴垂直的直线．若直线上存在点，使点关于直线的对称点在的内部或边上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图是李明、王平两人在一次赛跑中，路程s与时间t之间的函数关系，读图填空： （1）这是一次________m赛跑； （2）先到终点的是________； （3）王平在赛跑中速度是________． 12．如图，已知一次函数的图像如图所示，则方程的解为______ ；若点和点在一次函数的图像上，则______ 用“>”“<”或“=”连接 13．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，将沿翻折，点恰好落在轴正半轴上的点处，则点的坐标为__________． 14．已知从山脚起每升高，气温就下降．若测得山脚处的气温为，当从山脚起上升的高度为，所在位置的气温是，则关于的函数表达式为___________． 15．某市区出租车的收费标准是起步价元（行程小于或等于3千米），超过3千米每增加1千米（不足1千米按1千米计算）加收元，则出租车费（元）与行程（千米）之间的关系式为__________． 三、解答题 16．在“综合与实践”活动课时，小明关注了佛山移动公司手机资费两种套餐： A套餐：月租0元，市话通话费每分钟元； B套餐：月租费48元，免费市话通话时间48分钟，超出部分每分钟元． 设A套餐每月市话话费为元，B套餐每月市话话费为元，月市话通话时间为x分钟． (1)分别写出，与x的函数关系式； (2)小明爸爸每月市话通话时间为200分钟，请说明选择哪种套餐更合算． 17．为节约能源，促进居民养成低碳生活的习惯，我市采取阶梯计费的方式收取燃气费，收费标准如表： 阶梯 年用气量 价格 第一阶梯 （含）的部分 2.94元/ 第二阶梯 （含）的部分 3.23元/ 第三阶梯 以上的部分 3.82元/ (1)设燃气的年用气量为，燃气费为元，求关于的函数解析式； (2)某居民家今年使用燃气，该居民今年的燃气费是多少元？ 18．已知一次函数， (1)为何值时，图象过原点． (2)已知随增大而增大，求的取值范围． (3)函数图象与轴交点在轴上方，求的取值范围． (4)图象过一、二、四象限，求的取值范围． 19．为了探究函数的图象与性质，甲同学根据学习一次函数的经验，借助函数的图象与性质进行了探究．下面是甲同学的探究过程： 第一步：的自变量的取值范围是全体实数； 第二步：与的几组对应值： … 0 1 2 3 4 5 … … 5 3 2 1 0 0 2 … 第三步：建立平面直角坐标系，画出函数图象； 第四步：借助函数图象研究该函数的性质． (1)补全表格，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象： (2)观察的函数图象，完成以下问题： ①当___________时，函数有最小值为___________；当___________时，随的增大而增大． ②写出自变量的取值范围和因变量的取值范围． ③若直线与的图象有且只有一个交点，求的取值范围． 20．两兄弟进行登山运动，从山脚的北温泉出发，目的地是缙云山的主峰狮子峰，哥哥走了2千米后弟弟才出发，图中表示弟弟出发后两兄弟离北温泉的距离s随时间t变化的图象，根据图象中的有关数据回答下列问题： (1)分别求出表达哥哥和弟弟登山过程中离北温泉的距离s（千米）与时间t（时）的函数解析式；（不要求写自变量的取值范围） (2)当哥哥到达目的地时，弟弟行进到山路上的某点A处，求A点距目的地的距离； (3)若哥哥到达目的地后休息1小时，沿原路下山，途中与弟弟相遇，相遇后各自按原路线下山和上山，问弟弟出发后经过多少小时与哥哥相遇以及此时离目的地的距离． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A A C D D B C A 1．【答案】C 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】根据方程可知当，，从而可判断直线经过点即可． 【详解】解：由方程的解可知：当时，，即当，， ∴直线的图象一定经过点， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键． 2．【答案】C 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题考查了一次函数的图象与一元一次方程的关系，正确理解一次函数的图象与关于x的一元一次方程的关系是解题的关键．由图可知，一次函数的图象与x轴的交点为，即可得到答案． 【详解】解：由图可知，一次函数的图象与x轴的交点为， 所以关于x的方程的解为． 故选：C． 3．【答案】A 【知识点】动点问题的函数图象、一次函数与几何综合 【分析】由题意知：，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：根据图可知当点在上运动时，的面积不变，与面积相等；且不变的面积是在，之间； 所以在直角梯形中，，． 连接， ∴面积为 故选：A． 【点睛】考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是读懂图意，得到相应的直角梯形中各边之间的关系．此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力． 4．【答案】A 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【详解】根据总利润＝单个利润×生产的个数，即可求解． 【解答】解：由题意得：y＝（18﹣12﹣1）x+（12﹣8﹣0.6）（200﹣x）＝1.6x+680， 故y与x之间的函数关系式为：y＝1.6x+680， 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 5．【答案】C 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】根据已知表示出买x个篮球的总钱数以及优惠后价格，进而得出等式即可． 【详解】解：∵凡在该商店一次性购物超过 100元者，超过100元的部分按九折优惠， ∴小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球x个（x＞2）， 则小东应付货款y（元）与篮球个数x（个）的函数关系式是： y=（70x-100）×0.9+100=63x+10（x＞2）， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，根据已知得出货款与篮球个数的等式是解题关键． 6．【答案】D 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程，解题的关键是根据数量关系列出函数解析式． ①根据图象可知道山的高度和所用时间，即可求出甲爬山的速度；②当时，根据高度初始高度速度时间，即可得出关于的函数关系，令可求出相应的值，即可得到的值；③先求出甲、乙距离底面函数解析式，再根据路程之间的关系列出方程求解即可；④求出两个解析式后，分别根据时间计算出相应的函数值，作差即可求解． 【详解】解：①甲的爬山高度是 米，用时 20 分钟，故速度是米／分，故①正确； ②当时，， 当时，，故，故②正确； ③乙提速后距地面的高度（米）与登山时间（分）之间的函数关系式为： ， 甲爬山全程中，距地面的高度（米）与登山时间（分）之间的函数关系式为： ， 当时， 解得：；故③正确； ④令， ， 甲乙相遇后，甲再经过 1 分钟与乙相距 20 米，故④正确； 综上，①②③④均正确， 故选：D． 7．【答案】D 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、判断一次函数的增减性、利用图象法解一元一次方程 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式， 一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图像和性质，利用数形结合是解题的关键. 【详解】由图象可得：对于函数来说,随的增大而减小，故A正确，不符合题意； ∵ ∴函数 的图象经过第一，三， 四象限，不经过第二象限，故B正确，不符合题意； ∵一次函数 与 的图象的交点的横坐标为 ， ，故C正确，不符合题意； 当 时, ， 由图象可知 ，即，故D错误，符合题意； 故选: D. 8．【答案】B 【知识点】梯度计价问题 【分析】根据阶梯水价标准，分段计算用水量立方米对应的水费． 本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵用水量不确定， ∴需分段计算： 第一阶梯水费，当x满足范围是：（元）， 第二阶梯水费，当x满足范围是：（元）， 都是第一阶段函数是正比例函数，第二阶段函数是一次函数，且比正比例函数的图象更陡些． 故选：B． 9．【答案】C 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据表格数据，弹簧长度与物体质量满足线性关系，据此逐一判断各说法的正确性，正确求出一次函数的解析式是解此题的关键． 【详解】解：由表格数据可得，当每增加时，的值增加，即与之间存在线性关系，y是x的函数， 设函数为，代入，可得， 解得：， 即， 故其函数图象为线段，故说法（1）错误； 当时，，故说法（2）不正确； 由表格可得弹簧的长度增加，所挂物体质量增加，故说法（3）不正确； 由表格可得弹簧不挂重物时的长度为，故说法（4）正确； 故不正确的说法有（1）（2）和（3），共3个， 故选：C． 10．【答案】A 【知识点】一次函数与几何综合、坐标与图形变化——轴对称 【分析】根据点、、的坐标求出它们关于直线的对称点的坐标，因为直线上存在点，使点关于直线的对称点在的内部或边上，则直线一定存在点在内部或边上，分别求出直线过点、、时的值，即可得到的取值范围． 【详解】解：如下图所示，点，，关于直线的对称点的坐标分别为，，， ∵直线上存在点，使点关于直线的对称点在的内部或边上， ∴直线上存在点在内或边上， 当直线经过点时，可得：， 解得， 当直线经过点时，可得：， 解得， 当直线经过点时，可得：， 解得：， ∴． 11．【答案】 500 李明 5 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查的是用一次函数解决实际问题． （1）根据图象中点的纵坐标即可直接求得； （2）根据图象可得两人所用时间，据此即可判断； （3）根据图象可得王平用了跑了，据此即可求解． 【详解】解：（1）根据两人所跑的路程都是，则这是一次的赛跑． 故答案为：500； （2）根据图象可得，李明到达终点用了，王平到达终点用了，则先到终点的是李明． 故答案为：李明； （3）王平的速度是：． 故答案为：5． 12．【答案】 4 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解、比较一次函数值的大小 【分析】此题主要考查了一次函数图像与一元一次方程，关键是正确利用数形结合的方法从图像中找到正确答案；根据一次函数的图像经过点，进而得到方程的解；再根据函数的增减性解答即可． 【详解】解：根据图像可得，一次函数经过点， 因此关于x的方程的解； 由图象可知，y随x的增大而增大， ， 故答案为：4；． 13．【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】题目主要考查一次函数的综合应用，解答本题的关键是利用翻折的性质、勾股定理等知识 利用勾股定理可得，由折叠得：，得出点D的坐标，设点，则，由勾股定理代入计算即可得出结果． 【详解】解：把代入得，把代入得：， 解得：， ∴、， ∴，， ∵， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴点， 设点，则， 由折叠得：， 在中， ， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 14．【答案】 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，熟练掌握根据实际问题建立一次函数模型的方法是解题的关键．先根据题意求出每升高的气温下降值，再结合初始气温，推导出气温与高度的函数关系式． 【详解】解：每升高，气温下降， 每升高，气温下降， 升高，气温下降， ， ， ， 故答案为：． 15．【答案】 【知识点】函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查函数关系式，理解出租车的收费标准是正确解答的前提． 根据出租车的收费标准，用含有的代数式表示车费即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：； 16．【答案】(1) (2)选择B种套餐更合算 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据已知，列出函数关系式即可； （2）结合（1），求出时，两种套餐的费用，再比较即可． 本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 【详解】（1）解：根据题意得：，； （2）解：当时， ， ， 选择B种套餐更合算． 17．【答案】(1) (2)该居民今年的燃气费是1897.2元 【知识点】梯度计价问题、求一次函数自变量或函数值 【分析】（1）根据第二阶梯和第三阶梯的计费方式分两种情况表示即可； （2）将代入（1）中解析式求解即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 综上所述，； （2）解： 当时，， 答：该居民今年的燃气费是1897.2元． 18．【答案】(1) (2) (3)且 (4) 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解、根据一次函数增减性求参数、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数中，当，时，函数图象过二、一、四象限是解答此题的关键． （1）根据函数图象过原点可知，，求出的值即可； （2）根据y随x增大而增大可知，求出的取值范围即可； （3）由于函数图象与y轴交点在轴上方，故，进而可得而出的取值范围； （4）根据图象过一、二、四象限列出关于的方程组，求出的取值范围． 【详解】（1）解：函数图象过原点， ，即； （2）随增大而增大， ，解得； （3）函数图象与轴交点在轴上方， 且，解得且； （4）图象过一、二、四象限， ∴，解得． 19．【答案】(1)解：补全表格如下： … 0 1 2 3 4 5 … … 5 3 2 1 0 0 2 … 描点画图如下： (2)①；；；②自变量的取值范围为任意实数，因变量的取值范围为.③或． 【知识点】用描点法画函数图象、一次函数与几何综合、判断一次函数的增减性、求自变量的取值范围 【分析】（1）先补全表格，再描点画图即可； （2）①根据图象作答即可；②根据图象作答即可；③由过定点，再结合图象求解即可. 【详解】（1）解：当时，； 当时，， 当时，； 画图略 （2）解：①当时，函数有最小值为；当时，随的增大而增大． ②由图象可得自变量的取值范围为任意实数，因变量的取值范围为. ③如图，当过时， ∴， 解得：， 当时，，此时两函数图象平行， ∴时，直线与的图象有且只有一个交点； 如图，当过时， ∴， 解得：， ∵当时，，此时两函数图象平行， ∴时，直线与的图象有且只有一个交点； 综上：直线与的图象有且只有一个交点，的取值范围为或． 20．【答案】(1)哥哥登山过程中，路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式为，弟弟登山过程中，路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式为． (2)A点距目的地的距离为千米． (3)弟弟出发后经过小时与哥哥相遇，此时离目的地的距离为千米． 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用． （1）设哥哥登山过程中，路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式为，设弟弟登山过程中，路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式为，进一步利用待定系数法求解即可． （2）当时，哥哥到达目的地，再进一步求解即可． （3）设哥哥下山的函数关系式为，结合题意可得在函数图象上，进一步可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：设哥哥登山过程中，路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式为 ， 把，代入得： ， 解得：， ∴， 设弟弟登山过程中，路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式为， 把代入得：， ∴， ∴弟弟登山过程中，路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式为． （2）解：当时，哥哥到达目的地， ∴， ∴A点距目的地的距离为（千米）． （3）解：设哥哥下山的函数关系式为，结合题意可得在函数图象上， 把，代入得： ， 解得：， ∴哥哥下山的函数关系式为， ∴， 解得：， ∴， ∴弟弟出发后经过小时与哥哥相遇，此时离目的地的距离为千米． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 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