第十六章 整式的乘法单元卷2026-2027学年人教版八年级数学上册

第十六章 整式的乘法 单元卷 2026-2027学年人教版八年级数学上册 一．选择题（共10小题） 1．下列运算正确的是（　　） A．x3÷x2＝x B．x2•2x3＝2x6 C．x+3x2＝4x3 D．（x3）2＝x5 2．已知2x+5y+3＝0，则4x•32y的值为（　　） A．8 B． C．16 D．随x、y的变化而变化 3．若m、n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（　　） A．m+3＝27n B．3m＝27n C．m+3＝n27 D．3m＝27+n 4．如图，有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类若干张，如果用A、B、C三类卡片拼成一个边长为（3a+4b）的正方形，则需要C类卡片（　　）张． A．9 B．24 C．16 D．7 5．已知（2x+1）（x+3）＝2x2+mx+3，则m的值是（　　） A．5 B．﹣5 C．7 D．﹣7 6．如图，大正方形与小正方形的面积之差是60，则阴影部分的面积是（　　） A．30 B．20 C．60 D．40 7．我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m，n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n），比如h（2）＝3，则h（4）＝h（2+2）＝3×3＝9，若h（3）＝k（k≠0），那么h（3n）•h（2025）的结果是（　　） A．3k+2025 B．3n+675 C．kn+675 D．2025k 8．若a＝，b＝，则下列结论正确的是（　　） A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．ab＝1 9．如图，长方形ABCD的周长是10cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2，那么矩形ABCD的面积是（　　） A．3cm2 B．4cm2 C．5cm2 D．6cm2 10．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、53个，先从甲袋中取出2x个球放入乙袋，再从乙袋中取出2y个球放入丙袋，最后从丙袋中取出（2x+2y）球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则2x+y的值等于（　　） A．512 B．128 C．64 D．32 二．填空题（共6小题） 11．计算：（﹣0.5）2024×22025＝ _____ ． 12．已知a﹣b＝2，那么a2﹣b2﹣4b的值为_____ ． 13．如果36x2﹣Mxy+25y2是一个完全平方式，那么M的值为 ________ ． 14．已知（2x+1）x+3＝1，则x＝____________ ． 15．若x，y均为实数，43x＝2021，47y＝2021，则： （1）43xy•47xy＝（ _________ ）x+y； （2）+＝_____ ． 16．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m﹣n＞1，则称这个正整数为“智慧优数”，例如，16＝52﹣32，16就是一个智慧优数，可以利用m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第4个智慧优数是_______ ；在1至60的正整数中的智慧优数的个数是_______ ． 三．解答题（共7小题） 17．（1）已知a3m＝2，b2m＝3，求代数式（a2b）3m•bm的值． （2）已知x2﹣4x﹣1＝0，求代数式（2x﹣3）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣y2的值． 18．著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现： 若a＞0且a≠1，b＞0，m，n都是正整数． ①当m＝n时，am＝an；当m＞n时，am＞an；当m＜n时，am＜an； ②当a＝b时，am＝bm；当a＞b时，am＞bm；当a＜b时，am＜bm； 【理解知识】例如： ①若4x＝210，求x的值． 解：法一：∵4x＝（22）x＝22x，∴22x＝210，∴2x＝10．∴x＝5． 法二：∵210＝（22）5＝45，∴4x＝45，∴x＝5． ②比较230与320的大小． 解：230＝（23）10＝810，320＝（32）10＝910，∵8＜9，∴230＜320． 【运用知识】运用上面方法，解决下列问题． （1）若2×8x＝210，求x的值． （2）比较312与96的大小． （3）定义两个正数a，b之间的一种运算，记作[a，b]，如果am＝b，那么[a，b]＝m，例如：∵23＝8，∴[2，8]＝3．求的值． 19．将幂的运算逆向思维可以得到am+n＝am•an，amn＝（am）n，anbn＝（ab）n，am﹣n＝am÷an，在解题过程中，根据算式的特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）填空：＝_____ ； （2）已知3m＝a，3n＝b，求32m﹣3n的值；（用含a，b的式子表示） （3）已知2×8x×64＝24，求x的值． 20．我们不仅要掌握完全平方公式，还要了解完全平方公式的两个变式，即a2+b2＝（a+b）2﹣2ab与（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．请你利用这两个变式解决以下问题： （1）已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值； （2）已知（a+b）2＝17，ab＝2，求（a﹣b）2的值； （3）已知a+＝4．求a2+的值． 21．阅读： 在计算（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： 【观察】：①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； ②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1； ③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1； … （1）【归纳】由此可得（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）＝___________ ； （2）【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： ①计算：22026+22025+22024+22023+…+2+1＝____________ ； ②计算：220﹣219+218﹣217+…﹣23+22﹣2． 22．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是 _____ ； A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．b2+ab＝b（a+b） C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2+ab＝a（a+b） （2）应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题； ①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x的值； ②计算：． 23．【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：a2﹣b2，图2中阴影部分面积可表示为（a+b）（a﹣b），因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 【拓展探究】图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （1）根据图形可得到一个关于（a+b）2、（a﹣b）2、ab的等量关系式是____________________ ； （2）结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题： ①已知a+b＝5，ab＝5，则（a﹣b）2+（a+2）（b+2）＝_______ ． ②已知（2026﹣a）2+（a﹣2025）2＝7，求（2026﹣a）（a﹣2025）的值． 【知识迁移】 （3）如图5，某校举办了以“智启未来，科技筑梦”为主题的校园科技节活动，其中创意竞赛要求设计一款由两个正方形构成的光学元件模型．其中大正方形ABCD与小正方形EFGH的边长分别为a和 b（a＞b）．已知两正方形边长之和a+b＝6，边长之积ab＝5，且E为AB中点．模型中阴影部分为特殊光线吸收区域，其面积大小直接影响光学元件对光线的吸收效果，进而决定模型的光学性能．为优化设计，需精确计算图中阴影部分的面积总和，求该阴影部分面积总和． 第十六章 整式的乘法 单元卷 2026-2027学年人教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．下列运算正确的是（　　） A．x3÷x2＝x B．x2•2x3＝2x6 C．x+3x2＝4x3 D．（x3）2＝x5 【分析】分别根据同底数幂的除法、单项式乘单项式、整式的加法及幂的乘方的运算法则进行计算求解． 【解答】解：∵x3÷x2＝x；故A符合题意； x2•2x3＝2x5；故B不符合题意； x和3x2不是同类项；故C不符合题意； （x3）2＝x6；故D不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了整式的运算，掌握同底数幂的除法、单项式乘单项式、整式的加法及幂的乘方的运算法则是解题的关键． 2．已知2x+5y+3＝0，则4x•32y的值为（　　） A．8 B． C．16 D．随x、y的变化而变化 【分析】逆用幂的乘方的性质与同底数幂的乘法的性质，把4x•32y转化为以2为底的幂相乘的形式，然后再把2x+5y+3＝0整理后代入进行计算即可． 【解答】解：4x•32y＝22x•25y＝22x+5y， ∵2x+5y+3＝0， ∴2x+5y＝﹣3， ∴原式＝2﹣3＝． 故选：B． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键，本题需要注意对性质的逆运用． 3．若m、n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（　　） A．m+3＝27n B．3m＝27n C．m+3＝n27 D．3m＝27+n 【分析】根据已知等式可得27×3m＝327n，由此即可得． 【解答】解：由条件可得27×3m＝327n， ∴33×3m＝327n， ∴3m+3＝327n， ∴m+3＝27n． 故选：A． 【点评】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则，熟练掌握各运算法则是解题关键． 4．如图，有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类若干张，如果用A、B、C三类卡片拼成一个边长为（3a+4b）的正方形，则需要C类卡片（　　）张． A．9 B．24 C．16 D．7 【分析】由题意知长为（3a+4b），宽也为（3a+4b）的正方形的面积应该等于所有小卡片面积之和． 【解答】解：边长为（3a+4b）的正方形的面积为（3a+4b）（3a+4b）＝9a2+24ab+16b2， A图形面积为a2，B图形面积为b2，C图形面积为ab， 则可知需要C类卡片24张． 故选：B． 【点评】本题主要考查完全平方公式的运用，熟记公式是解题的关键． 5．已知（2x+1）（x+3）＝2x2+mx+3，则m的值是（　　） A．5 B．﹣5 C．7 D．﹣7 【分析】先根据多项式乘多项式计算（2x+1）（x+3），然后根据（2x+1）（x+3）＝2x2+mx+3，求出m即可． 【解答】解：（2x+1）（x+3） ＝2x2+6x+x+3 ＝2x2+7x+3， ∵（2x+1）（x+3）＝2x2+mx+3， ∴m＝7， 故选：C． 【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则． 6．如图，大正方形与小正方形的面积之差是60，则阴影部分的面积是（　　） A．30 B．20 C．60 D．40 【分析】设大正方形边长为x，小正方形边长为y，则AE＝x﹣y，然后表示阴影部分面积，再计算整式的乘法和加减，进而可得答案． 【解答】解：设大正方形边长为x，小正方形边长为y，则AE＝x﹣y， 阴影部分的面积是： AE•BC+AE•DB， ＝（x﹣y）•x+（x﹣y）•y， ＝（x﹣y）（x+y）， ＝（x2﹣y2）， ＝60， ＝30． 故选：A． 【点评】此题主要考查了整式的混合运算，关键是正确运用算式表示出阴影部分面积． 7．我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m，n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n），比如h（2）＝3，则h（4）＝h（2+2）＝3×3＝9，若h（3）＝k（k≠0），那么h（3n）•h（2025）的结果是（　　） A．3k+2025 B．3n+675 C．kn+675 D．2025k 【分析】根据h（m+n）＝h（m）•h（n）分别求出h（3n）和h（2025），根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【解答】解：h（3n）•h（2025） ＝ ＝ ＝ ＝kn+675， 故选：C． 【点评】本题考查整式混合运算，同底数幂的乘法，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，掌握乘方的意义． 8．若a＝，b＝，则下列结论正确的是（　　） A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．ab＝1 【分析】利用同底数幂的除法、幂的乘方和积的乘方运算法则计算后判断即可． 【解答】解：∵a＝， ∴a＝ ＝ ＝＝b， 故选：B． 【点评】本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方和积的乘方，做题关键是掌握这些运算法则． 9．如图，长方形ABCD的周长是10cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2，那么矩形ABCD的面积是（　　） A．3cm2 B．4cm2 C．5cm2 D．6cm2 【分析】用矩形的长和宽分别表示矩形的周长和面积，正方形的面积和，从而运用完全平方公式的变形计算即可． 【解答】解：设AB＝x，AD＝y， ∵长方形ABCD的周长是10cm，正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2， ∴x+y＝5，x2+y2＝17， ∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝17， ∴52﹣2xy＝17， ∴xy＝4， 故选：B． 【点评】此题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的几何背景是关键． 10．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、53个，先从甲袋中取出2x个球放入乙袋，再从乙袋中取出2y个球放入丙袋，最后从丙袋中取出（2x+2y）球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则2x+y的值等于（　　） A．512 B．128 C．64 D．32 【分析】先表示出调整后三个袋子中的球的数量，再根据球的总数和三只袋中球的个数相同得到5+2y＝37，53﹣2x＝37，则2x＝32，2y＝16，再由2x+y＝2x•2y进行求解即可． 【解答】解：调整后，甲袋中有29﹣2x+2x+2y＝（29+2y）个球，乙袋中有（29+2x﹣2y）个球，丙袋中有53+2y﹣2x﹣2y＝（53﹣2x）个球． ∵一共有53+53+5＝111球，且调整后三只袋中球的个数相同， ∴调整后每只袋中有111÷3＝37（个）球， ∴29+2y＝37，53﹣2x＝37， ∴2x＝16，2y＝8， ∴2x+y＝2x•2y＝8×16＝128． 故选：B． 【点评】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，掌握同底数幂的运算性质是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 11．计算：（﹣0.5）2024×22025＝ 　2　 ． 【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可． 【解答】解：原式＝（0.5）2024×22025 ＝（0.5）2024×22024×2 ＝（0.5×2）2024×2 ＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，掌握它们的运算法则是解题的关键． 12．已知a﹣b＝2，那么a2﹣b2﹣4b的值为　4　 ． 【分析】求出a＝2+b，代入a2﹣b2﹣4b，再进行计算即可． 【解答】解：∵a﹣b＝2， ∴a＝2+b， ∴那么a2﹣b2﹣4b ＝（2+b）2﹣b2﹣4b ＝4+4b+b2﹣b2﹣4b ＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了完全平方公式的应用，主要考查学生的化简能力． 13．如果36x2﹣Mxy+25y2是一个完全平方式，那么M的值为 　±60　 ． 【分析】根据完全平方公式得出﹣Mxy＝±2×6x×5y，再求出M即可． 【解答】解：∵36x2﹣Mxy+25y2是一个完全平方式， ∴﹣Mxy＝±2×6x×5y， 解得：M＝±60， 故答案为：±60． 【点评】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式是解此题的关键，完全平方式有a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2两个． 14．已知（2x+1）x+3＝1，则x＝　﹣3或0或﹣1　 ． 【分析】直接利用当x+3＝0以及当2x+1＝1，当2x+1＝﹣1，分别分析得出答案． 【解答】解：∵（2x+1）x+3＝1， ∴当x+3＝0， 解得：x＝﹣3， 此时2x+1≠0， 故x＝﹣3时，（2x+1）x+3＝1； 当2x+1＝1， 解得：x＝0， ∴（2x+1）x+3＝1； 当2x+1＝﹣1， 解得：x＝﹣1， ∴（2x+1）x+3＝1； 综上所述：x＝﹣3或0或﹣1． 故答案为：﹣3或0或﹣1． 【点评】此题主要考查了有理数的乘方以及零指数幂的性质，正确分类讨论是解题关键． 15．若x，y均为实数，43x＝2021，47y＝2021，则： （1）43xy•47xy＝（ 　2021　 ）x+y； （2）+＝　1　 ． 【分析】（1）将43xy•47xy化成（43x）y•（47y）x代入数值即可计算； （2）由（1）知43xy•47xy＝2021（x+y），43xy•47xy＝（43×47）xy＝2021xy，得出xy＝x+y即可求． 【解答】解：（1）43xy•47xy＝（43x）y•（47y）x＝2021y×2021x＝2021x+y， 故答案为：2021； （2）由（1）知，43xy•47xy＝2021（x+y）， ∵43xy•47xy＝（43×47）xy＝2021xy， ∴xy＝x+y， ∴+＝＝1， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，根据运算法则将式子进行相应的换算是解题的关键． 16．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m﹣n＞1，则称这个正整数为“智慧优数”，例如，16＝52﹣32，16就是一个智慧优数，可以利用m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第4个智慧优数是　16　 ；在1至60的正整数中的智慧优数的个数是　24　 ． 【分析】根据规律计算求解即可． 【解答】解：∵m﹣n＞1，m，n为正整数， ∴m﹣n≥2， ∴m≥n+2， 当m＝n+2时，由（n+2）2﹣n2＝4+4n，产生的智慧优数为：8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，…， 当m＝n+3时，由（n+3）2﹣n2＝9+6n，产生的智慧优数为：15，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，…， 当m＝n+4时，由（n+4）2﹣n2＝16+8n，产生的智慧优数为：24，32，40，48，56，64，72，80，…， 当m＝n+5时，由（n+5）2﹣n2＝25+10n，产生的智慧优数为：35，45，55，65，75，85，…， 当m＝n+6时，由（n+6）2﹣n2＝36+12n，产生的智慧优数为：48，60，72，84，…， 当m＝n+7时，由（n+7）2﹣n2＝49+14n，产生的智慧优数为：63，77，91，…， 当m＝n+8时，由（n+8）2﹣n2＝64+16n，产生的智慧优数为：80，96，…， 综上，将上述产生的智慧优数从小到大排列如下：8，12，15，16，20，21，24，27，28，32，33，35，36，39，40，44，45，48，51，52，55，56，57，60，63，64，65，68，69，…， ∴第4个智慧优数是16，在1至60的正整数中的智慧优数的个数是24个， 故答案为：16；24． 【点评】本题考查新定义下智慧优数的计算和分类，掌握相关知识是解题的关键． 三．解答题（共7小题） 17．（1）已知a3m＝2，b2m＝3，求代数式（a2b）3m•bm的值． （2）已知x2﹣4x﹣1＝0，求代数式（2x﹣3）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣y2的值． 【分析】（1）由幂的乘方的逆运算得（a3m）2（b2m）2，代值即可求解； （2）由完全平方公式和平方差公式展开，再进行加减运算，整体代入即可求解． 【解答】解：（1）原式＝a6mb3m•bm ＝（a3m）2（b2m）2 当a3m＝2，b2m＝3时， 原式＝22×32 ＝36； （2）原式＝4x2﹣12x+9﹣（x2﹣y2）﹣y2 ＝4x2﹣12x+9﹣x2+y2﹣y2 ＝3x2﹣12x+9， ∵x2﹣4x﹣1＝0， ∴3x2﹣12x＝3， 原式＝3+9 ＝12． 【点评】本题考查了整式化简求解，掌握（am）n＝amn的逆用，能用整体代换法求解是解题的关键． 18．著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现： 若a＞0且a≠1，b＞0，m，n都是正整数． ①当m＝n时，am＝an；当m＞n时，am＞an；当m＜n时，am＜an； ②当a＝b时，am＝bm；当a＞b时，am＞bm；当a＜b时，am＜bm； 【理解知识】例如： ①若4x＝210，求x的值． 解：法一：∵4x＝（22）x＝22x，∴22x＝210，∴2x＝10．∴x＝5． 法二：∵210＝（22）5＝45，∴4x＝45，∴x＝5． ②比较230与320的大小． 解：230＝（23）10＝810，320＝（32）10＝910，∵8＜9，∴230＜320． 【运用知识】运用上面方法，解决下列问题． （1）若2×8x＝210，求x的值． （2）比较312与96的大小． （3）定义两个正数a，b之间的一种运算，记作[a，b]，如果am＝b，那么[a，b]＝m，例如：∵23＝8，∴[2，8]＝3．求的值． 【分析】（1）利用幂的乘方和同底数幂的乘法做即可； （2）用幂的乘方做即可； （3）用幂的乘方和同底数幂的除法做即可． 【解答】解：（1）∵2×8x＝210， ∴2×（23）x＝210，即：23x+1＝210， ∴3x+1＝10， 解得：x＝3． 即x的值为3． （2）∵312＝（32）6＝96， ∴312＝96． 即：312与96的值相等； （3）根据题意设：[2，6]＝m，＝n，则2m＝6，． ∴2m＝2×3，22n＝， ∴3＝2m﹣1，32＝26﹣2n， ∴（2m﹣1）2＝26﹣2n， ∴22m﹣2＝26﹣2n， ∴2m﹣2＝6﹣2n， ∴m+n＝4， ∴＝4． 【点评】此题考查同底数幂的乘法和除法，幂的乘方运算，灵活运用这些公式是关键． 19．将幂的运算逆向思维可以得到am+n＝am•an，amn＝（am）n，anbn＝（ab）n，am﹣n＝am÷an，在解题过程中，根据算式的特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）填空：＝　1　 ； （2）已知3m＝a，3n＝b，求32m﹣3n的值；（用含a，b的式子表示） （3）已知2×8x×64＝24，求x的值． 【分析】（1）逆用积的乘方法则计算即可； （2）逆用同底数幂的除法、幂的乘方法则计算即可； （3）逆用同底数幂的乘法、幂的乘方法则计算即可． 【解答】解：（1） ＝ ＝（﹣1）2026 ＝1， 故答案为：1； （2）∵3m＝a，3n＝b， ∴32m﹣3n＝32m÷33n＝（3m）2÷（3n）3＝； （3）∵2×8x×64＝24， ∴2×（23）x×26＝24， ∴2×23x×26＝24， ∴23x+7＝24， ∴3x+7＝4， 解得x＝﹣1． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 20．我们不仅要掌握完全平方公式，还要了解完全平方公式的两个变式，即a2+b2＝（a+b）2﹣2ab与（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．请你利用这两个变式解决以下问题： （1）已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值； （2）已知（a+b）2＝17，ab＝2，求（a﹣b）2的值； （3）已知a+＝4．求a2+的值． 【分析】（1）利用完全平方公式变形为（a+b）2﹣2ab，将已知等式代入计算即可求得结果； （2）利用完全平方公式变形为（a+b）2﹣4ab，将已知等式代入计算即可求得结果； （3）利用完全平方公式变形为，将已知等式代入计算即可求得结果． 【解答】解：（1）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab ＝52﹣2×3 ＝19； （2）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab ＝17﹣4×2 ＝9； （3）a2+＝ ＝42﹣2 ＝14． 【点评】此题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 21．阅读： 在计算（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： 【观察】：①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； ②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1； ③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1； … （1）【归纳】由此可得（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）＝xn+1﹣1　 ； （2）【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： ①计算：22026+22025+22024+22023+…+2+1＝　22027﹣1　 ； ②计算：220﹣219+218﹣217+…﹣23+22﹣2． 【分析】（1）观察给出的特殊情形等式，对比等式左边第二个多项式的最高次数与右边结果的次数，归纳一般规律； （2）①将所求式子与归纳得到的公式对比，对应公式中x＝2、n＝2026的情况，构造（2﹣1）乘以该式后套用（1）中规律计算即可； ②同①构造（1）中规律公式，据此解答即可． 【解答】解：（1）观察给出的特殊式子可知： （x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）＝xn+1﹣1； 故答案为：xn+1﹣1； （2）①由（1）知（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）＝xn+1﹣1， ∵（2﹣1）（22026+22025+22024+22023+…+2+1）＝22027﹣1， ∴22026+22025+22024+22023+…+2+1＝22027﹣1， 故答案为：22027﹣1； ②（﹣2﹣1）×[（﹣2）20+（﹣2）19+（﹣2）18+（﹣2）17+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）+1]＝（﹣2）21﹣1， 即（﹣3）×[220﹣219+218﹣217+…﹣23+22﹣2+1]＝﹣221﹣1， ∴， ∴． 【点评】本题考查了平方差公式，熟练掌握该知识点是关键． 22．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是 C ； A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．b2+ab＝b（a+b） C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2+ab＝a（a+b） （2）应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题； ①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x的值； ②计算：． 【分析】（1）用代数式分别表示图1、图2中阴影部分的面积即可； （2）①由x2﹣4y2＝12，x+2y＝4利用平方差公式可求出x﹣2y＝3，进而求出x的值即可； ②监管局平方差公式将原式化为（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+），即××××××…××××即可． 【解答】解：（1）图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成的图2是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b）， 所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故答案为：C； （2）①∵x2﹣4y2＝12， ∴（x+2y）（x﹣2y）＝12， ∵x+2y＝4， ∴x﹣2y＝12÷4＝3， ∴2x＝7， 即x＝3.5； ②原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+） ＝××××××…×××× ＝× ＝． 【点评】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 23．【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：a2﹣b2，图2中阴影部分面积可表示为（a+b）（a﹣b），因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 【拓展探究】图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （1）根据图形可得到一个关于（a+b）2、（a﹣b）2、ab的等量关系式是　（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab ； （2）结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题： ①已知a+b＝5，ab＝5，则（a﹣b）2+（a+2）（b+2）＝　24　 ． ②已知（2026﹣a）2+（a﹣2025）2＝7，求（2026﹣a）（a﹣2025）的值． 【知识迁移】 （3）如图5，某校举办了以“智启未来，科技筑梦”为主题的校园科技节活动，其中创意竞赛要求设计一款由两个正方形构成的光学元件模型．其中大正方形ABCD与小正方形EFGH的边长分别为a和 b（a＞b）．已知两正方形边长之和a+b＝6，边长之积ab＝5，且E为AB中点．模型中阴影部分为特殊光线吸收区域，其面积大小直接影响光学元件对光线的吸收效果，进而决定模型的光学性能．为优化设计，需精确计算图中阴影部分的面积总和，求该阴影部分面积总和． 【分析】（1）图4中阴影正方形边长为（a﹣b），其面积可以由面积公式求解，也可以由边长为b+a的大正方形的面积减去4个长方形的面积求得，进而可以得解； （2）①由（1）可知（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝25﹣20＝5，而（a+2）（b+2）＝ab+2（a+b）+4＝5+2×5+4＝19，故（a﹣b）2+（a+2）（b+2）＝5+19＝24； ②利用整体思想，将2026﹣a，a﹣2025分别看成一个整体，结合完全平方公式可得（2026﹣a+a﹣2025）2＝（2026﹣a）2+（a﹣2025）2+2（2026﹣a）（a﹣2025），从而可求出（2026﹣a）（a﹣2025）的值； （3）阴影部分的面积是△ACH面积与b2（小正方形面积的四分之一）的和，由E为AB中点可得AE＝BE＝a，延长HG交BC于点P，则四边形EHPB为长方形，PB＝EH＝b，PH＝BE＝a，CP＝a﹣b，故S△AHC＝S△ABC﹣S△AEH﹣S△CPH﹣S长方形EHPB＝＝，再结合a+b＝6，ab＝5，利用（1）中恒等式计算可以得解． 【解答】解：（1）图4中阴影部分是一个边长为（a﹣b）的正方形，其面积为（a﹣b）2，而阴影正方形的面积也等于大正方形（边长为a+b）面积减去4个边长为a，b的长方形的面积，即（a+b）2﹣4ab， ∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab． 故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab． （2）①由（1）可知（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝25﹣20＝5， （a+2）（b+2）＝ab+2（a+b）+4＝5+2×5+4＝19， ∴（a﹣b）2+（a+2）（b+2）＝5+19＝24， 故答案为：24； ②（2026﹣a+a﹣2025）2＝（2026﹣a）2+（a﹣2025）2+2（2026﹣a）（a﹣2025）＝1， ∵（2026﹣a）2+（a﹣2025）2＝7， ∴（2026﹣a）（a﹣2025）＝×（1﹣7）＝﹣3； （3）∵E为AB中点， ∴AE＝BE＝a， 如图5，延长HG交BC于点P，则四边形EHPB为长方形， ∴PB＝EH＝b，PH＝BE＝a，CP＝a﹣b， ∴S△AHC＝S△ABC﹣S△AEH﹣S△CPH﹣S长方形EHPB ＝ ＝， ∴阴影部分的面积为， ∵a+b＝6，ab＝5， ∴， 故答案为：4． 【点评】本题考查了完全平方公式的变形与几何意义，掌握完全平方公式的灵活变形是解决问题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/16 17:02:40；用户：姚怀洪；邮箱：13927028828；学号：38450005 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $