第二章《实数》单元检测培优试卷2026-2027学年北师大版八年级数学上册

第二章《实数》 单元检测 【新教材北师大版】 满分：100分；考试时间：90分钟 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共20题，单选8题，填空5题，解答7题，满分100分，限时90分钟。本卷题型针对性高，覆盖面广，选题有深度，，难度分布合理，可量化学生的掌握程度！ 一、单选题（共8题，每小题3分，共24分） 1．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）下列实数中：，无理数的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2026·山东潍坊·模拟预测）的相反数是（     ） A． B． C．2023 D． 3．（2026七年级上·全国·专题练习）下列关于平方根、算术平方根、立方根的说法，正确的是（     ） A．算术平方根等于本身的数只有0 B．平方根等于本身的数是0和1 C．立方根等于本身的数是0和 D．负数没有立方根 4．（26-27八年级上·广东清远·阶段检测）若，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D． 5．（26-27八年级上·山东菏泽·阶段检测）按如图所示的程序计算，若开始输入x的值为64，则最后输出y的值是（     ） A． B． C．2 D． 6．（25-26八年级上·全国·单元复习）一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 7．（八年级下·河南新乡·阶段检测）若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 8．（七年级下·河南濮阳·期末）在平面直角坐标系中，任意两点，，规定运算： （1）； （2）； （3）当且时，，有下列四个命题：①若，，则，；②若，则；③若，则；④对任意点M、N、P，均有成立，其中错误的命题的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题（共5题，每小题3分，共15分） 9．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在数轴上点表示的实数是___________． 10．（26-27八年级上·山西太原·阶段检测）比较大小________．（填“”，“”或者“”） 11．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）观察数表： 第1行：，2，； 第2行：，，； 第3行：，4，； …… 根据数表排列的规律，第6行从左向右第2个数是_____________． 12．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）将一个正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃杯的水中，水位升高了．已知玻璃杯内部的底面半径为，则正方体的棱长为_________．（取，结果取整数） 13．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，和是等腰直角三角形，，连接AD、BC．若，，则四边形ABCD面积的最大值为________． 三、解答题（共7题，61分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（26-27八年级上·山东菏泽·阶段检测）（本题6分）计算： (1)； (2)． 15．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）（本题7分）按要求完成下列各题： (1)计算：． (2)计算：． 16．（26-27八年级上·辽宁锦州·阶段检测）（本题8分）已知最简二次根式与可以合并，若，化简：． 17．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）（本题8分）少林武术、龙门石刻、云台丹霞、汴京梦华…处国家级旅游景区皆是华夏文明的璀璨坐标．某中学课外活动小组制作了精美的少林寺、龙门石窟、清明上河园等景点卡片，并为每张卡片制作特色封皮，并提供如下信息． 课题 景点卡片及封皮制作 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为． (1)正方形卡片的边长为 ； (2)通过计算判断正方形卡片能否直接装进长方形封皮中． 18．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）（本10分）湖边巡检人员在岸边C点回收作业小船，C点距离水面竖直高度．小船初始停泊在水面B点，绷紧的缆绳长度为． (1)开始时，小船到岸边垂足A的距离长为________m； (2)若工作人员收回缆绳后小船滑行至D处，缆绳由变为，求小船向岸边A移动的距离的长． 19．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）（本10分）如图中，，，点D是平面内一点（不与点A，B，C重合），连接，，．将沿直线翻折，得到，连接．连接，交于点E，点F是上一点，且，连接． (1)求证：； (2)若，，求点G到直线的距离； 20．（26-27八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）（本12分）阅读材料：像，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，徐老师出了一道题“已知，求的值”．聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为， 所以， 所以，所以， 所以，所以，所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)的有理化因式是 ． ； (2)比较大小： （填，，，或中的一种）； (3)计算：； (4)若，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章《实数》 单元检测 【新教材北师大版】 满分：100分；考试时间：90分钟 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共20题，单选8题，填空5题，解答7题，满分100分，限时90分钟。本卷题型针对性高，覆盖面广，选题有深度，，难度分布合理，可量化学生的掌握程度！ 一、单选题（共8题，每小题3分，共24分） 1．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）下列实数中：，无理数的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据无理数是无限不循环小数，结合有理数的定义逐个判断即可． 【详解】解：在所给实数中，，，，是有理数， 和是无理数，共2个． 故选项B符合题意． 2．（2026·山东潍坊·模拟预测）的相反数是（     ） A． B． C．2023 D． 【答案】B 【详解】解：， ∴的相反数是． 3．（2026七年级上·全国·专题练习）下列关于平方根、算术平方根、立方根的说法，正确的是（     ） A．算术平方根等于本身的数只有0 B．平方根等于本身的数是0和1 C．立方根等于本身的数是0和 D．负数没有立方根 【答案】C 【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：∵ 算术平方根等于本身的数是0和1， ∴ A选项不符合题意； ∵ 平方根等于本身的数只有0， ∴ B选项不符合题意； ∵ 立方根等于本身的数是0和，且负数有立方根， ∴ C选项符合题意，D选项不符合题意． 4．（26-27八年级上·广东清远·阶段检测）若，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D． 【答案】A 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴． 5．（26-27八年级上·山东菏泽·阶段检测）按如图所示的程序计算，若开始输入x的值为64，则最后输出y的值是（     ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据程序流程图，依次进行算术平方根和立方根的计算，并判断结果是否为无理数，若为有理数则循环计算，直到结果为无理数输出． 【详解】解：输入，取算术平方根得， 是有理数， 取立方根得， 是有理数， 将作为新输入值，取算术平方根得， 是无理数， 输出． 6．（25-26八年级上·全国·单元复习）一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根与立方根，熟练掌握算术平方根与立方根的性质是解题关键．先根据算术平方根求出，再根据立方根的性质即可得． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根为， ∴， ∴， ∴的立方根是， 故选：C． 7．（八年级下·河南新乡·阶段检测）若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】C 【分析】本题考查解二次根式方程，涉及二次根式乘法运算、二次根式定义及解一元一次方程等知识，熟练掌握二次根式定义是解决问题的关键． 先由二次根式乘法运算化简，再由二次根式定义得到方程，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：， ， ，即，解得， 故选：C． 8．（七年级下·河南濮阳·期末）在平面直角坐标系中，任意两点，，规定运算： （1）； （2）； （3）当且时，，有下列四个命题：①若，，则，；②若，则；③若，则；④对任意点M、N、P，均有成立，其中错误的命题的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【详解】①因为，，所以，，即，，故①正确； ②设，则，；而，所以，，则，，所以，故②正确； ③设，则，，而，则，不能得到，，所以不能判断，故③不正确； ④因为，，所以，故④正确． 综上所述，错误的命题为③共1个， 故选：D． 二、填空题（共5题，每小题3分，共15分） 9．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在数轴上点表示的实数是___________． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出的长，则可得到的长，结合数轴可得答案． 【详解】解：如图所示， 由勾股定理得， ∴， ∵点A在原点的左侧， ∴点A表示的实数是． 10．（26-27八年级上·山西太原·阶段检测）比较大小________．（填“”，“”或者“”） 【答案】 【分析】比较两个正数的大小，可将两数分别平方，通过比较平方后结果的大小，得到原数的大小关系． 【详解】解：∵和都是正数， ∴可通过比较平方的大小判断原数大小； ∵，， ∴， ∴． 11．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）观察数表： 第1行：，2，； 第2行：，，； 第3行：，4，； …… 根据数表排列的规律，第6行从左向右第2个数是_____________． 【答案】 【分析】将所有数统一改写为算术平方根的形式，归纳出被开方数的排列规律，再根据规律计算求解． 【详解】解：将原数表中所有数改写为算术平方根的形式，可得： 第1行：，， 第2行：，， 第3行：，， …… 归纳规律可得，数表中所有数是从开始的连续偶数的算术平方根，每行有个数， 第行从左向右第个数，是整个序列的第个数，对应被开方数为 将，代入得被开方数 因此第6行从左向右第2个数是． 12．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）将一个正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃杯的水中，水位升高了．已知玻璃杯内部的底面半径为，则正方体的棱长为_________．（取，结果取整数） 【答案】9 【分析】根据题意可知，水位升高部分的圆柱体体积等于正方体的体积，根据圆柱和正方体的体积公式列方程，再利用立方根的意义求解，最后对结果取整数即可. 【详解】解：设正方体的棱长为， 由题意得，， 将代入， 可得：， ， ， 正方体的棱长为． 13．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，和是等腰直角三角形，，连接AD、BC．若，，则四边形ABCD面积的最大值为________． 【答案】/ 【分析】延长到点，使，连接，可得，进而得出，从而得到当时，面积最大． 【详解】解：延长到点，使，连接， ∵和是等腰直角三角形，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵当时，最大为：， ∴最大值为：． 三、解答题（共7题，61分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（26-27八年级上·山东菏泽·阶段检测）（本题6分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）（本题7分）按要求完成下列各题： (1)计算：． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方根、立方根的定义计算即可； （2）根据乘法结合律、同底数幂的乘法计算即可 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 16．（26-27八年级上·辽宁锦州·阶段检测）（本题8分）已知最简二次根式与可以合并，若，化简：． 【答案】 【分析】先利用最简二次根式与可以合并得出被开方数相同，继而求出a，再根据x的范围和完全平方公式化简即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴， 解得：， 当，即时，， ∴ ． 17．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）（本题8分）少林武术、龙门石刻、云台丹霞、汴京梦华…处国家级旅游景区皆是华夏文明的璀璨坐标．某中学课外活动小组制作了精美的少林寺、龙门石窟、清明上河园等景点卡片，并为每张卡片制作特色封皮，并提供如下信息． 课题 景点卡片及封皮制作 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为． (1)正方形卡片的边长为 ； (2)通过计算判断正方形卡片能否直接装进长方形封皮中． 【答案】(1)12 (2)能 【分析】（1）根据正方形的面积公式，利用算术平方根进行计算求解； （2）假设出长方形的长和宽，根据面积列出方程，利用算术平方根进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴正方形卡片的边长为； （2）解：正方形卡片能直接装进长方形封皮中，理由如下， 假设长方形的长为，则宽为，根据题意得， ， ∴， ∵，， ∴或（舍去） ∴长方形的长为，宽为， ∵， ∴正方形卡片能直接装进长方形封皮中． 18．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）（本10分）湖边巡检人员在岸边C点回收作业小船，C点距离水面竖直高度．小船初始停泊在水面B点，绷紧的缆绳长度为． (1)开始时，小船到岸边垂足A的距离长为________m； (2)若工作人员收回缆绳后小船滑行至D处，缆绳由变为，求小船向岸边A移动的距离的长． 【答案】(1) (2)小船向岸边A移动的距离的长为． 【分析】（1）根据勾股定理求出长； （2）根据勾股定理求出长,． 【详解】（1）解：在中，，，， 由勾股定理得：， 即， ； （2）在中，，，， 由勾股定理得：， 即， ； ， 答：小船向岸边A移动的距离的长为． 19．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）（本10分）如图中，，，点D是平面内一点（不与点A，B，C重合），连接，，．将沿直线翻折，得到，连接．连接，交于点E，点F是上一点，且，连接． (1)求证：； (2)若，，求点G到直线的距离； 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∵沿直线翻折，得到， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）根据全等三角形的判定证明，再由折叠的性质得到，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，，，求得，根据勾股定理得到，，根据折叠的性质得到，，设点G到直线的距离为h，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由翻折得，，， ∴， ∴， ∵， ∴点B、点D、点G三点共线， ∴， 设点G到直线的距离为h， 则， ∴， 即点G到直线的距离为． 20．（26-27八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）（本12分）阅读材料：像，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，徐老师出了一道题“已知，求的值”．聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为， 所以， 所以，所以， 所以，所以，所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)的有理化因式是 ． ； (2)比较大小： （填，，，或中的一种）； (3)计算：； (4)若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)2； (4)0. 【分析】（1）因为，所以的有理化因式是；把的分子、分母同时乘以，可得结果为； （2）把转化为，把转化为，因为，根据分子相同的两个分数，分母越大分数越小，可得：，从而可知； （3）分别进行分母有理化，可得，再进行计算； （4）首先把进行分母有理化，可得：，得出，再整体代入代数式计算求值即可． 【详解】（1）解：， 的有理化因式是； ； （2）解： ， ； ， ； （3）解： ； （4）解：， ∴， ∴ ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $