第二章 实数重难点检测卷重难点专题提升精讲精练2026-2027学年八年级数学上册（北师大版）

**基本信息** 第二章实数单元重难点检测卷，覆盖全章知识，通过情境化问题与分层设计，适配单元复习，提升数学眼光、思维与语言能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数比较、最简二次根式、代数式最值|结合数轴、程序图情境，考查抽象能力| |填空题|8/24|立方根、高斯取整、规律探究|融入幻圆、面积问题，体现几何直观| |解答题|10/66|分母有理化、构造对偶式、黄金矩形|通过华罗庚立方根方法、数值转换器等探究题，培养推理意识与应用能力|

第二章 实数重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共28题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：实数全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（2026·安徽蚌埠·模拟预测）下列实数中，最大的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴四个选项中是最大的数． 2．（25-26八年级下·甘肃陇南·期中）下列根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】最简二次根式满足两个条件：①被开方数是整数或整式；②被开方数不能再开方，再进一步分析即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、符合最简二次根式的定义，是最简二次根式，故本选项正确． 3．（25-26八年级下·浙江湖州·阶段检测）关于代数式的说法正确的是（     ） A．有最大值2 B．有最小值2 C．有最大值3 D．有最小值3 【答案】D 【分析】根据得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 当时，代数式取得最小值3． 4．（25-26七年级下·河南信阳·阶段检测）如图，数轴上点N表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先估算所给选项中的实数范围，再根据数轴上点N表示的数的范围即可解答． 【详解】解：∵，，，， ∴数轴上点N表示的数可能是． 5．（25-26七年级下·重庆铜梁·期末）根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据程序框图，输入后计算，若结果不大于6则将结果重新代入计算，直到结果大于6为止，通过计算并比较大小即可得出答案． 【详解】解：输入， 第一次计算结果为， ， 需将重新代入计算， 同理，第二次计算结果为， 由此规律可知，每次计算后的被开方数增加2， 当计算结果为时，，仍不满足结果， 需将再次代入计算， 下一次计算结果为， ， 输出结果为． 6．（25-26七年级下·云南红河·阶段检测）正五角星是常见的图案，如图，在画正五角星时需满足．人们把这个数叫做黄金分割数．用你学过的知识估计的值应在（     ） A．0.1和0.5之间 B．0.5和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 【答案】B 【分析】本题考查无理数的估算. 先确定 的取值范围，再利用不等式的性质求出 的范围即可． 【详解】解： 即 即 该数值在 和 之间． 7．（25-26七年级下·吉林·阶段检测）将1、、、按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图中的规律找到与表示的两数，再根据二次根式的乘法法则计算出两数之积． 【详解】解：表示第排第个数， 由图中规律可知前排有个数， 到第排第个数共有个数， ， 表示的数是， 表示第排第个数， 前排有个数， 到第排第个数共有个数， ， 表示的数是， 与表示的两数之积是. 8．（25-26七年级下·河北唐山·期末）如图，将两个长为，宽为的长方形沿对角线剪开，用得到的个完全一样的直角三角形围成如图所示的正方形，则该正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图1确定直角三角形的两直角边长，结合图2判断为直角三角形的斜边，利用勾股定理求解即可； 【详解】解：∵长方形的长为，宽为， ∴剪开得到的直角三角形的两直角边长分别为和， 由图2可知，中间正方形的边长即为直角三角形的斜边， ∴根据勾股定理得． 9．（25-26八年级上·河北张家口·期末）二次根式除法可以这样做：如．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以； ②若是的小数部分，则的值为； ③比较两个二次根式的大小：； ④计算． 以上结论正确的是（    ） A．①③④ B．①④ C．①②③ D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查利用分式的基本性质、平方差公式进行分母有理化． ①类比示例，利用分式的基本性质进行分母有理化； ②估计无理数的整数部分，求出小数部分，进而分母有理化进行化简； ③通过分母有理化，比较两个二次根式的大小； ④通过分母有理化找到题中无理式求和的运算规律，从而化简求出值． 【详解】解：①，故将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以，故①正确； ②∵a是的小数部分， ∴， ∴，故②错误； ③∵，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④∵ ，故④错误； 综上，①③正确． 故选：D． 10．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）如图是添加了便签的台历，正方形为日历区，正方形为备忘录区，长方形为便签区，已知日历区的面积为，备忘录区的面积为．则便签区的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，准确计算是解题的关键．根据题意分别求得两个正方形的边长，进而求得长方形的长和宽，即可求解． 【详解】解：∵正方形得面积为，正方形的面积为， ∴，， ∴， ∴长方形的面积， 即便签区的面积为， 故选：C． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（2026·吉林长春·模拟预测）比较大小：________．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】两个同分母正分数比较大小，只需比较分子的大小，对于两个正数，可利用平方法比较大小，正数平方越大，原数越大． 【详解】解：和分母均为，且都是正数，因此只需比较分子与的大小， ，，且， ， ． 12．（2026八年级下·海南省直辖县级单位·模拟预测）计算：_______；________． 【答案】 【分析】利用二次根式的基本性质计算即可，用到性质和． 【详解】解： ；． 13．（25-26七年级下·陕西安康·期末）若的立方根是，则的算术平方根是_________． 【答案】 【分析】根据立方根的定义求出的值，代入得到的值后，再计算其算术平方根即可． 【详解】解： 的立方根是， ， 解得， 将代入，得， 的算术平方根是， 的算术平方根是． 14．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）中的为高斯取整符号，表示不大于x的最大整数，即“向下取整”，也可记作；则相对应的表示不小于x的最小整数，即“向上取整”．则 （1）的值为______； （2）的值为______． 【答案】 3 0 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握立方根的定义以及新定义的意义是正确解答的关键． （1）根据的定义进行解答即可； （2）根据的定义可得到，计算即可． 【详解】解：（1）根据的定义可知，； 故答案为：3； （2）∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， 即， ∵ ∴ ∴， ∴． 故答案为：3，0． 15．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图1，已知长方形A与长方形B的宽相等，将它们如图2的方式无重叠摆放时组成一个大正方形；将它们如图3的方式重叠摆放时组成一个大长方形．若图2中大正方形的面积为36，图3中大长方形的面积为24，则长方形B的面积为______． 【答案】8 【分析】设长方形A的长为，长方形B的长为，可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：设长方形A的长为，长方形B的长为， ∴，，两个长方形的宽为， ∵， ∴，， ∴长方形A与长方形B的宽为， ∴长方形B的面积为． 16．（25-26七年级下·广东惠州·期末）利用计算器计算出的表中各数的算术平方根如下： … … … … 根据以上规律，若，，则____________． 【答案】 【分析】通过观察表格数据，得到被开方数小数点移动与算术平方根小数点移动的对应规律，再运用规律计算即可得到结果． 【详解】解：由表格可知，当被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位，其算术平方根的小数点相应向右（或向左）移动一位， ，且是的小数点向左移动两位得到的， ． 17．（25-26八年级下·河北邢台·阶段检测）我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念．如图所示的是一个简单的二阶幻圆模型，若内、外两个圆周上四个数之和以及外圆两直径上的四个数之和都相等，则__________． 【答案】0 【分析】设内圆圆周上未知的数为c，根据外圆竖直方向直径上四个数的和等于内圆圆周上四个数的和列式，即可求解． 【详解】解：设内圆圆周上未知的数为c， 由题意得：， ∴． 18．（25-26八年级下·黑龙江伊春·阶段检测）如图，要在长、宽的长方形木板上截两个面积分别为和的正方形，是否可行？______．（填“可行”或“不可行”） 【答案】不可行 【分析】本题考查了二次根式的应用，根据正方形的面积公式可以分别求得两个正方形的边长是和，显然只需比较两个正方形的边长的和与7的大小即可．此题要能够正确求得每个正方形的边长，并能够正确比较实数的大小． 【详解】解：， ， ． 则截两个面积为和的正方形，不可行． 故答案为：不可行． 三、解答题（10小题，共66分） 19．（26-27八年级上·全国·课后作业）下列说法是否正确？为什么？ (1)两个整数相除，如果永远除不尽，那么结果一定是一个无理数； (2)任意一个无理数的绝对值都是正数． 【答案】(1) 该说法错误．两个整数相除的结果可以表示为分数，属于有理数， 例如，是无限循环小数，属于有理数． (2) 该说法正确．无理数是无限不循环小数，不为0，所以正无理数的绝对值是它本身，为正数；负无理数的绝对值是它的相反数，仍为正数，故任意一个无理数的绝对值都是正数． 【分析】（1）正确掌握无理数的概念，无理数是无限不循环小数，其余能用两个整数之比表示的数均为有理数． （2）明确无理数一定不是 0，且除0以外的任何数取绝对值后一定为正． 【详解】（1）略． （2）略． 20．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）计算与解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据算术平方根，立方根，绝对值求解即可； （2）根据平方根，求解即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： 或． 21．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）阅读下列材料： ∵ ，即：； ∴ 的整数部分为1，小数部分为． 请根据材料提示，进行解答： (1)的整数部分是________，小数部分是_________； (2)若，其中：a是整数，．求的值． 【答案】(1)3，3 (2) 【分析】（1）根据，求解即可； （2）根据文中的方法求解即可； 【详解】（1）解：∵，即； ∴的整数部分是3，小数部分是； （2）解：∵，即； ∴ 故的整数部分是15，小数部分是； 故； 故． 22．（25-26八年级下·山东淄博·期中）阅读材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ∵， 又∵， ∴． 这种方法称为“构造对偶式”． 解答问题： (1)已知，试证明为定值． (2)已知，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意“构造对偶式”，解得其值为，结合题目所给条件即可证明； （2）由题意构造“构造对偶式”，解得其值为8，结合题目所给条件得，和联立即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ， 即为定值； （2）解：， ， ， ， 得，，即：， 两边平方得，，解得：， 经检验，是原方程的解． 23．（25-26八年级下·陕西商洛·期末）我们知道，实数和数轴上的点是一一对应的，因此，实数都可以在数轴上找到相应的位置． (1)如图①，一个直角三角形的直角边落在数轴上，点与数轴原点重合，，，，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的实数是 ； (2)在图②中，作出实数所在的位置．（保留必要的作图痕迹） 【答案】(1) (2)如图，点表示的实数为． 构造直角如图所示，直角边落在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，，则，， 由勾股定理得， 以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则， ∴点表示的实数为． 【分析】（1）根据勾股定理求出，得到，即可解答； （2）以实数为圆心，半径长作弧与数轴的交点即为表示的实数为，通过构造直角三角形得到半径长即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 由作图，可知， ∵点与数轴原点重合， ∴点表示的实数是； （2）略 24．（25-26七年级下·河北保定·期中）有一个数值转换器，原理如图所示． (1)当输入的的值为36时，输出的______． (2)是否存在输入有效的的值后，始终输不出的值的情况？如果存在，请写出所有满足要求的的值；如果不存在，请说明理由． (3)小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”．请你推算输入的数据可能是什么情况，并说明理由． (4)若输出的的值是，试判断输入的的值是否唯一．若不唯一，请写出满足题意的最小的2个不同的值． 【答案】(1) (2)存在，或 (3) 输入的数据可能是负数，理由如下： ∵负数没有算术平方根， ∴屏幕显示“该操作无法运行”， ∴输入的数据可能是负数； (4)输入的值不唯一，最小的2个满足题意的值为2，4 【分析】（1）根据运算规则即可求解； （2）根据0和1的算术平方根即可判断； （3）根据负数没有算术平方根即可解答； （4）找到使得输出值为的最小的两个数即可． 【详解】（1）解：当时，，是无理数， ∴输出的； （2）解：存在，当或时，始终输不出值， ∵0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数， ∴始终输不出值； （3）解：略； （4）解：4的算术平方根是2，2的算术平方根是， 故输入的值不唯一，最小的2个满足题意的值为2，4． 25．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）学习完《二次根式》后，小慧在数学课外资源拓展活动中，她和启智小组的同学们遇到一道题： 已知，求的值．她是这样解答的： 解：∵ ，， 请你根据小慧的解题过程，解决如下问题： (1) ； (2)化简：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照例题的化简解答即可． （2）仿照例题的化简解答即可． （3）先化简，得出，再利用代入计算，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：， ， ， 故 ． 26．（25-26七年级下·山东临沂·期末）小明在学完立方根后，不知道如何在不使用计算器的情况下求出的立方根．同桌小华提醒他可以按照教材上数学家华罗庚的方法口算立方根，于是他们进行了下面的探究： ①首先进行估算：因为，，，所以，所以能确定是两位数． ②其次观察立方数：，，，，，，，，．由的个位上的数是，，确定的个位上的数是． ③接着划去后面的三位得到数，而，，，所以，所以，所以的十位上的数是，于是得到，即的立方根是． 请你根据小明和小华探究的方法完成下列问题： (1)填空：的立方根是一个______位数，其个位上的数是_______； (2)根据上面的步骤，请计算的立方根，并书写详细过程． 【答案】(1)两， (2)解：． 详细过程如下： ，，， ， 的立方根是一个两位数， 由的个位上的数是，，可得的个位数为， 接着划去后面的三位得到数，而，，则， ， ， ， 的十位上的数是，结合其个位上的数是，于是得到， 即的立方根是． 【分析】（1）类比材料中的解法步骤①②求解即可； （2）类比材料中的解法步骤①②③求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， 的立方根是一个两位数， 由的个位上的数是，，可得的个位数为； （2）略 27．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）观察下列各式： 第1个等式：    第2个等式： 第3个等式：    第4个等式： …… 根据以上规律，解决下列问题： (1)直接写出第5个等式：______． (2)按照上面每个等式反映的规律，第个等式为______． (3)利用上述规律化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查与实数相关的规律型问题，算术平方根，关键是由给出的等式，发现规律． （1）由前几个等式的规律，即可得到答案； （2）由给出的等式，发现规律，即可得到答案 （3）根据规律化简，再计算即可． 【详解】（1）解：由前几个等式的规律得到第5个等式是：， 故答案为：； （2）解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ， ∴第n个等式是：， 故答案为：； （3）解： ． 28．（25-26八年级下·广东江门·期中）【阅读理解】二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如：化简． 解：将分子、分母同乘以得： ． (1)化简： ； (2)【拓展延伸】宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图1，已知黄金矩形（）的宽．求黄金矩形中边的长； (3)如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)矩形是黄金矩形．证明见解析 【分析】（1）模仿阅读材料中的方法，利用平方差公式，将分子和分母同时乘以分母的有理化因式，从而消去分母中的根号，达到化简的目的； （2）根据黄金矩形的定义建立方程关于的方程，即可求解； （3）先根据图形关系计算出新矩形的长和宽，然后计算新矩形的宽与长的比值；最后将该比值与黄金比 进行比较，若相等则为黄金矩形，反之则不是． 【详解】（1）解：； （2）解：∵ 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形的宽， ∴， ∴=． （3）解：矩形是黄金矩形．理由如下： ∵ 黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形， ∴，， ∴=， 故矩形是黄金矩形． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 实数重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共28题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：实数全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（2026·安徽蚌埠·模拟预测）下列实数中，最大的数是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·甘肃陇南·期中）下列根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·浙江湖州·阶段检测）关于代数式的说法正确的是（     ） A．有最大值2 B．有最小值2 C．有最大值3 D．有最小值3 4．（25-26七年级下·河南信阳·阶段检测）如图，数轴上点N表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·重庆铜梁·期末）根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．6 B． C． D． 6．（25-26七年级下·云南红河·阶段检测）正五角星是常见的图案，如图，在画正五角星时需满足．人们把这个数叫做黄金分割数．用你学过的知识估计的值应在（     ） A．0.1和0.5之间 B．0.5和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 7．（25-26七年级下·吉林·阶段检测）将1、、、按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之积是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·河北唐山·期末）如图，将两个长为，宽为的长方形沿对角线剪开，用得到的个完全一样的直角三角形围成如图所示的正方形，则该正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·河北张家口·期末）二次根式除法可以这样做：如．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以； ②若是的小数部分，则的值为； ③比较两个二次根式的大小：； ④计算． 以上结论正确的是（    ） A．①③④ B．①④ C．①②③ D．①③ 10．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）如图是添加了便签的台历，正方形为日历区，正方形为备忘录区，长方形为便签区，已知日历区的面积为，备忘录区的面积为．则便签区的面积为（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（2026·吉林长春·模拟预测）比较大小：________．（填“”，“”或“”） 12．（2026八年级下·海南省直辖县级单位·模拟预测）计算：_______；________． 13．（25-26七年级下·陕西安康·期末）若的立方根是，则的算术平方根是_________． 14．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）中的为高斯取整符号，表示不大于x的最大整数，即“向下取整”，也可记作；则相对应的表示不小于x的最小整数，即“向上取整”．则 （1）的值为______； （2）的值为______． 15．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图1，已知长方形A与长方形B的宽相等，将它们如图2的方式无重叠摆放时组成一个大正方形；将它们如图3的方式重叠摆放时组成一个大长方形．若图2中大正方形的面积为36，图3中大长方形的面积为24，则长方形B的面积为______． 16．（25-26七年级下·广东惠州·期末）利用计算器计算出的表中各数的算术平方根如下： … … … … 根据以上规律，若，，则____________． 17．（25-26八年级下·河北邢台·阶段检测）我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念．如图所示的是一个简单的二阶幻圆模型，若内、外两个圆周上四个数之和以及外圆两直径上的四个数之和都相等，则__________． 18．（25-26八年级下·黑龙江伊春·阶段检测）如图，要在长、宽的长方形木板上截两个面积分别为和的正方形，是否可行？______．（填“可行”或“不可行”） 三、解答题（10小题，共66分） 19．（26-27八年级上·全国·课后作业）下列说法是否正确？为什么？ (1)两个整数相除，如果永远除不尽，那么结果一定是一个无理数； (2)任意一个无理数的绝对值都是正数． 20．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）计算与解方程 (1)； (2)． 21．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）阅读下列材料： ∵ ，即：； ∴ 的整数部分为1，小数部分为． 请根据材料提示，进行解答： (1)的整数部分是________，小数部分是_________； (2)若，其中：a是整数，．求的值． 22．（25-26八年级下·山东淄博·期中）阅读材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ∵， 又∵， ∴． 这种方法称为“构造对偶式”． 解答问题： (1)已知，试证明为定值． (2)已知，求的值． 23．（25-26八年级下·陕西商洛·期末）我们知道，实数和数轴上的点是一一对应的，因此，实数都可以在数轴上找到相应的位置． (1)如图①，一个直角三角形的直角边落在数轴上，点与数轴原点重合，，，，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的实数是 ； (2)在图②中，作出实数所在的位置．（保留必要的作图痕迹） 24．（25-26七年级下·河北保定·期中）有一个数值转换器，原理如图所示． (1)当输入的的值为36时，输出的______． (2)是否存在输入有效的的值后，始终输不出的值的情况？如果存在，请写出所有满足要求的的值；如果不存在，请说明理由． (3)小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”．请你推算输入的数据可能是什么情况，并说明理由． (4)若输出的的值是，试判断输入的的值是否唯一．若不唯一，请写出满足题意的最小的2个不同的值． 25．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）学习完《二次根式》后，小慧在数学课外资源拓展活动中，她和启智小组的同学们遇到一道题： 已知，求的值．她是这样解答的： 解：∵ ，， 请你根据小慧的解题过程，解决如下问题： (1) ； (2)化简：； (3)若，求的值． 26．（25-26七年级下·山东临沂·期末）小明在学完立方根后，不知道如何在不使用计算器的情况下求出的立方根．同桌小华提醒他可以按照教材上数学家华罗庚的方法口算立方根，于是他们进行了下面的探究： ①首先进行估算：因为，，，所以，所以能确定是两位数． ②其次观察立方数：，，，，，，，，．由的个位上的数是，，确定的个位上的数是． ③接着划去后面的三位得到数，而，，，所以，所以，所以的十位上的数是，于是得到，即的立方根是． 请你根据小明和小华探究的方法完成下列问题： (1)填空：的立方根是一个______位数，其个位上的数是_______； (2)根据上面的步骤，请计算的立方根，并书写详细过程． 27．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）观察下列各式： 第1个等式：    第2个等式： 第3个等式：    第4个等式： …… 根据以上规律，解决下列问题： (1)直接写出第5个等式：______． (2)按照上面每个等式反映的规律，第个等式为______． (3)利用上述规律化简：． 28．（25-26八年级下·广东江门·期中）【阅读理解】二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如：化简． 解：将分子、分母同乘以得： ． (1)化简： ； (2)【拓展延伸】宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图1，已知黄金矩形（）的宽．求黄金矩形中边的长； (3)如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论． 学科网（北京）股份有限公司 $