贵州省毕节市黔西市八年级数学2026-2027学年上学期月考测试（北师大版八年级上册第一章勾股定理第二章实数）

2026-2027学年秋季学期八年级上册数学第一次月考卷 （测试时间：120分钟 满分150分） 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每小题 3分，共 36分．每小题均有 A、B、C、D 四个选项，其中只有一个选项正确） 1.三个正方形的面积如图所示，则面积为的正方形的边长为（    ）   A.164 B.36 C.8 D.6 2.在下列各数中：，，，， ，有理数有（     ）个． A. B. C. D. 3.以下列各组数为三边的三角形中不是直角三角形的是（   ） A. B.6，8，10 C. D.4，5，6 4.下列说法中正确的是（    ） A. B.0.09的平方根是0.3 C.1的立方根是 D.0的立方根是0 5.如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（　　） A.15 dm B.17 dm C.20 dm D.25 dm 6.下列二次根式中最简二次根式是（    ） A. B. C. D. 7.如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，若，，则小正方形的面积是（   ） A.1 B.2 C.3 D.4 8.直角三角形的两条直角边的长分别为6，8，则其斜边上的高为（    ） A.6 B.8 C.12 D. 9.数轴上点所表示的实数是（    ）   A. B. C. D. 10.下列计算正确的是（   ） A. B. C. D. 11.已知，那么的值为（     ） A. B. C. D. 12.《九章算术》“勾股”章记载：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”题目大意：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高度为多少？（注：1丈尺）．若设竹子未折断部分的高度为尺，根据勾股定理可列方程求解，则未折断部分的高度为（　　） A.4.55尺 B.5.45尺 C.6.35尺 D.7.25尺 二、填空题（每小题 4 分，共 16 分） 13.一个正数的平方根为和，则的值为            ． 14.的平方根是              ． 15.式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是             ． 16.如图，圆柱形玻璃容器高，底面圆的周长为，在外侧距下底的点处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口的点处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度是              ． 三、解答题（本大题共 9 题，共 98 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.求下列各式中x的值： （1） （2） 18.计算： （1）； （2）． （1）； （2）． 19.把下列各数填入相应的括号内 -π， ，3.1， ，0.8080080008...(相邻两个8之间0的个数逐次增加1)， -， ， ， 整数集合｛                                 ｝   负分数集合｛                               …｝ 正数集合｛                                …｝ 负数集合｛                                …｝ 有理数集合｛                              …｝ 无理数集合｛                              …｝ 20.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上． （1）直接写出：________，________； （2）判断的形状，并说明理由． 21.已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为，求的算术平方根； 22.已知某开发区有一块四边形的空地，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？ 23.池塘中有一株荷花的茎长为，无风时露出水面部分米，如果把这株荷花向旁边拉至使它的顶端A恰好到达池塘的水面B处，此时荷花顶端离原来位置的距离米，求这株荷花的茎长． 24.已知：，，满足． （1）求，，的值； （2）请判断以，，为边构成的的形状，并说明理由． 25.阅读下面计算过程： ； ； ； 求： （1）的值． （2）的值． （3）若，求的值 2026-2027学年秋季学期八年级上册数学第一次月考卷 试卷答案 1．【答案】D 【解析】已知四边形OGMN和四边形OBCD是正方形，面积分别为64和100，即可求得OG和OD的长，再利用勾股定理即可求得GD的长． ∵四边形OGMN和四边形OBCD是正方形，面积分别为64和100 ∴OG2=64,OD2=100 ∴OG=8,OD=10 ∴ 故面积为的正方形的边长为：6 故选:D 【点睛】本题考查了正方形的基本性质，四边形各边相等，面积等于边长的平方，本题还考查了利用勾股定理解直角三角形． 2．【答案】C 【解析】根据有理数和无理数的定义，化简可以开方的根式，再找出所有有理数和无理数即可． 解：∵， ∴，，均为有理数，，均为无理数， ∴有理数共有个． 3．【答案】D 【解析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握若一个三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解． 解：A、因为，所以能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意； B、因为，所以能够作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意； C、因为，所以能够作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意； D、因为，所以不能够作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意； 故选：D． 4．【答案】D 【解析】根据算术平方根的定义判断A选项，根据平方根的定义判断B选项，根据立方根的定义判断C，D选项． 解：A、，故该选项不符合题意； B、0.09的平方根是±0.3，故该选项不符合题意； C、1的立方根是1，故该选项不符合题意； D、0的立方根是0，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平方根，算术平方根，立方根，注意平方根与算术平方根的区别． 5．【答案】B 【解析】根据勾股定理求解出最短路程即可． 最短路径 故答案为：B． 【点睛】本题考查了利用勾股定理求最短路程的问题，掌握勾股定理是解题的关键． 6．【答案】C 【解析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 解：A、被开方数含开得尽方的因数，故本选项不符合题意； B、被开方数含有分母，故本选项不符合题意； C、被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，故本选项符合题意； D、被开方数含能开得尽方的因数，故本选项不符合题意； 故选：C． 7．【答案】A 【解析】本题考查了勾股定理等，先求出大正方形的面积为，由勾股定理得，求出小正方形的面积，即可求解；能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 解：正方形的面积为：， ， ， 小正方形的面积是， 故选：A． 8．【答案】D 【解析】根据等面积法计算即可； 设斜边为c，斜边上的高为h， ∵直角三角形两条直角边的长分别为6，8， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，结合等面积法计算是解题的关键． 9．【答案】C 【解析】求得选项平方根的近似值，观察数轴上点的位置，对比各选项的数值，即可求得答案． ，，． 观察数轴上点的位置，对比各选项的数值，可知点表示实数． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，实数与数轴，熟知无理数的估算方法是解题的关键． 10．【答案】C 【解析】本题考查了二次根式的定义、除法、加法运算，解题的关键是掌握相关的运算法则．根据二次根式的运算法则依次分析各选项即可作出判断． 解：A、，故该选项错误； B、，故该选项错误； C、，故该选项正确； D、，故该选项错误； 故选：C． 11．【答案】D 【解析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，熟练掌握非负数的性质是解题的关键．根据非负数的性质得出，代入计算即可． 解：， ， ， ， 故选：D． 12．【答案】A 【解析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，准确计算是解题的关键． 本题可根据竹子折断后形成的直角三角形进行求解，关键是要利用勾股定理建立方程． 设竹子未折断部分的高度为尺，因竹子高尺，所以折断部分的高为尺， 根据题意可得出图形： ， 解得：； 故选． 13．【答案】 【解析】本题考查了平方根，根据正数有两个平方根，它们互为相反数可得，解方程即可求解，掌握平方根的性质是解题的关键． 解：∵一个正数的平方根为和， ∴， 解得， 故答案为：． 14．【答案】±2 【解析】解：∵ ∴的平方根是±2． 故答案为±2． 15．【答案】 【解析】本题主要考查了二次根式的定义，根据被开方数不能为负数即可解答． 解：式子在实数范围内有意义， ∴， 即， 故答案为：． 16．【答案】 【解析】此题考查平面展开-最短路径问题，画出正确的平面展开图，作出辅助线构造直角三角形利用勾股定理求解是解题关键．先把圆柱沿过B点的母线剪开，然后展开如图，点为点A展开后的对应点，根据两点之间线段最短得到最短路线长度为 的长度，然后根据勾股定理计算的长即可． 解：把圆柱沿过B点的母线剪开，然后展开如图，点为点A展开后的对应点， 作于H，则，， ， ∴， 在 中，． 故答案为：． 17．【答案】（1） （2） 【解析】本题考查平方根和立方根，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）先整理为，再根据平方根的定义求解； （2）先整理为，再根据立方根的定义求解． （1）， ， ， ； （2）， ， ， ． 18．【答案】（1）（2）2（3）（4） 【解析】【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 【解析】本题主要考查了二次根式的加减计算，熟知二次根式的加减计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可． （2）先化简二次根式，再计算绝对值和零指数幂，最后计算加减法即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19．【答案】见解析 【解析】试题分析：有理数包括整数和分数，整数包括正整数、0、负整数，根据以上内容即可判断. 试题解析：整数集合｛ ，， … ｝ 负分数集合｛ …｝ 正数集合｛，3.1， ，0.8080080008…, , , ,, ,…｝ 负数集合｛ , …｝ 有理数集合｛, 3.1,,,,,, …｝ 无理数集合｛,0.8080080008…,, …｝ 点睛：本题考查了有理数的定义的应用，能理解有理数的定义是解此题的关键，注意：有理数包括整数和分数，整数包括正整数、0、负整数，分数包括正分数和负分数. 20．【答案】（1）， （2）直角三角形，见解析 【解析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理进行求解即可； （2）根据勾股定理的逆定理进行判断即可解答． 【小问1详解】 解：，． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴． ∴是直角三角形，且． 21．【答案】 【解析】本题考查了平方根、算术平方根与立方根，熟练掌握平方根与立方根的性质是解题关键．先根据平方根的性质可得和互为相反数，从而可得，解方程可得，再根据立方根的性质可得，然后代入计算算术平方根即可得． 解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得， ∵的立方根为， ∴， 解得， ∴， ∴的算术平方根为． 22．【答案】7200元 【解析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用．连接，先根据勾股定理求出，再由勾股定理逆定理可得，然后根据四边形的面积为求出面积，进而得出答案． 解：如图，连接， 在中，，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为 ， 元， 即需要投入7200元． 23．【答案】这株荷花的茎长为 【解析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理的方程思想． 根据题意直接得出三角形各边长，进而利用勾股定理求出答案． 解：由题意可得：设，则， ∵， ∴， 则， 解得：， 答：这株荷花的茎长为． 24．【答案】（1）；； （2）直角三角形，理由见解析 【解析】本题主要考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理，正确求出a、b、c的值是解题的关键． （1）几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0，据此求解即可； （2）根据（1）所求可证明，则可证明是直角三角形． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴，，； 【小问2详解】 解：以，，为边构成的是直角三角形，理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 25．【答案】（1） （2） （3） 【解析】本题主要考查了分母有理化、二次根式的化简求值，弄清分母有理化的方法是解本题的关键， （1）原式根据阅读材料中的方法变形即可得到结果； （2）原式各项变形后，抵消合并即可得到结果； （3）先化简，然后代入所求式子计算即可． 【小问1详解】 解： ； 小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年秋季学期八年级上册数学第一次月考卷 作业大赛模板（通用版） 一、作品基础信息 表格 项目 填写内容 作品名称 20262027 学年八年级上册数学第一次月考作业卷 学段学科 初中 数学 适用年级 八年级 教材版本 北师大版 对应内容 八年级上册 第一章勾股定理、第二章实数单元综合检测 作业类型 单元检测作业 完成时长 总时长 120 分钟 设计者 贵州省毕节市黔西市第五中学 廖开俊 二、设计背景与意图 1. 课标与教材分析  课标要求：本作业对应的学科核心素养是数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象，需达成理解实数概念、熟练二次根式运算、掌握勾股定理及其逆定理，能利用勾股定理解决简单实际问题的学业质量标准。 教材地位：勾股定理是几何计算重要工具，实数是初中数系扩充的关键章节；本单元实现几何定理与实数运算结合，为后续一元二次方程、四边形学习奠定基础。 教学重难点：重点为勾股定理及逆定理应用、平方根立方根概念、二次根式化简运算；难点为勾股定理实际模型构建、分母有理化、非负数性质综合运用。 2. 学情分析 表格 维度 具体描述 已有基础 学生已经学习勾股定理、平方根、立方根、实数分类、二次根式化简，会简单网格计算，具备基础几何与代数计算能力。 现有困惑 容易混淆平方根与算术平方根；实数分类辨别容易出错；最短路径、荷花、竹子折断这类实际问题不会抽象出直角三角形模型；分母有理化掌握不熟练。 差异分析 部分学生可以熟练综合运用勾股定理与实数运算；中等学生基础概念掌握，但实际应用题建模薄弱；学困生对根式运算、无理数辨别容易频繁出错。 3. 设计意图（一段话讲清即可） 本套月考作业围绕勾股定理与实数两大单元，由基础选择、填空到计算、几何证明、实际应用、拓展阅读探究题分层设计，兼顾概念辨析、计算训练、几何建模、阅读理解能力，兼顾不同层次学生，诊断学生知识漏洞，落实四大数学核心素养。 三、作业目标 表格 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 A 辨别有理数、无理数；区分平方根、算术平方根、立方根；掌握最简二次根式概念；熟记勾股定理及逆定理 数学抽象 选择题、填空题正确率，概念辨析作答情况 能力运用 B 熟练二次根式化简计算；能在网格、折叠、圆柱展开、实际情境中构建直角三角形，运用勾股定理求解；会分母有理化运算 数学运算、直观想象 计算题步骤完整度，应用题列式与计算结果 思维发展 C 能利用勾股逆定理判断直角三角形；综合非负数性质、平方根立方根性质进行推理计算；阅读理解材料实现知识迁移解决新题型 逻辑推理 几何说理、探究题推导过程 情感态度 D 感受我国古代数学成就（赵爽弦图、九章算术），体会数学来源于生活，提升数学应用意识 文化意识 应用题答题完整性，对古代数学问题解答 四、作业内容与目标对应表 表格 题号 题型 题目概要 对应作业目标编号 设计意图 参考答案 / 评价要点 1 单选题 利用勾股定理求正方形面积对应的边长 A、B 结合正方形面积与勾股定理基础应用，考查几何图形中定理使用 答案 D；评价：能识别直角三角形三边平方与正方形面积关系即可得分 2 单选题 区分一组数当中有理数的个数 A 实数概念辨析，区分有理数无理数，考察根式化简 答案 C；评价：能先化简根式再判断数的类型 3 单选题 勾股逆定理判断哪一组三边不能构成直角三角形 A、B 巩固勾股定理逆定理基础判断 答案 D；评价：掌握两边平方和是否等于第三边平方的判断方法 4 单选题 平方根、算术平方根、立方根概念辨析 A 易混淆概念对比辨析，扫除概念误区 答案 D；评价：分清平方根 ± 与算术平方根的区别 5 单选题 蚂蚁爬台阶最短路径勾股应用 B、C 立体台阶展开为平面直角三角形，考察最短路径模型 答案 B；评价：会将台阶展开，求出两条直角边长 6 单选题 识别最简二次根式 A 最简二次根式两个判定条件的考察 答案 C；评价：记住被开方数不含分母、不含开得尽方因数 7 单选题 赵爽弦图求小正方形面积 A、D 结合我国古代数学，勾股定理综合计算，渗透数学文化 答案 A；评价：大正方形减四个全等直角三角形面积得到小正方形面积 8 单选题 直角三角形等面积法求斜边上的高 B 勾股定理 + 面积法综合，高频考点 答案 D；评价：先求斜边，利用面积相等列等式 9 单选题 数轴上识别无理数 A、C 实数与数轴一一对应，无理数估算大小 答案 C；评价：能够估算无理数近似值 10 单选题 二次根式计算判断正误 A、B 二次根式加减乘除基础运算辨析 答案 C；评价：掌握 $\sqrt {a^2}= a $ 运算规则 11 单选题 算术平方根非负性，求代数式幂次 B、C 多个非负数相加等于 0 的经典题型综合 答案 D；评价：非负数和为 0，则每一项等于 0 12 单选题 九章算术竹子折断实际应用题 B、D 古代数学情境，建立勾股方程求解 答案 A；评价：读懂题意设未知数列出勾股定理方程 13 填空题 正数两个平方根互为相反数求参数 A、B 平方根性质：一个正数两个平方根互为相反数 答案 2；评价：掌握两平方根相加等于 0 列方程 14 填空题 16​的平方根 A 双重开方，区分算术平方根与平方根易错点 答案 ±2；评价：先算出16​=4，再求 4 的平方根 15 填空题 二次根式有意义条件求 x 范围 A 二次根式被开方数≥0 基础考点 答案x≥5；评价：被开方数大于或等于 0 16 填空题 圆柱蜘蛛苍蝇最短路径 B、C 圆柱侧面展开，立体转平面勾股计算 答案234​；评价：展开之后找两条直角边，勾股定理计算 17 解答题 利用平方根立方根解方程 B 直接开平方法、开立方解方程，基础计算 （1）x=±23​（2）x=2；评价：步骤完整，注意平方根两个解，立方根唯一解 18 解答题 二次根式混合计算 B 二次根式化简、平方差公式、零指数幂、绝对值综合运算 (1)53​ (2)2 (3)92​ (4)3；评价：先化简根式，再合并同类二次根式，步骤完整 19 解答题 把数填入对应数集 A 实数完整分类，区分整数、分数、正负数、有理无理数 见试卷解析；评价：先化简再分类，不漏数、不重复填写 20 解答题 网格求线段长，用逆定理判断直角三角形 B、C 网格勾股求边长，勾股逆定理证明直角三角形 (1)，；(2) 直角三角形；评价：会算各边平方，验证两边平方和等于第三边平方并写理由 21 解答题 平方根立方根综合求算术平方根 B、C 结合平方根互为相反数、立方根定义求参数再运算 答案13​；评价：分步求出 a、b，再计算算术平方根 22 解答题 四边形空地求面积实际应用题 B、C 连接对角线分割四边形为两个三角形，勾股定理 + 逆定理组合求面积，解决造价实际问题 7200 元；评价：会做辅助线分割图形，分别计算两个三角形面积求和 23 解答题 荷花池水实际勾股方程应用 B、D 生活情境，构建直角三角形列方程求解荷花茎长 2m；评价：正确设未知数，找到直角三边列方程求解 24 解答题 绝对值、算术平方根、平方和为 0，判断三角形形状 B、C 非负数综合 + 勾股逆定理判定直角三角形 (1)a=12,b=5,c=13 (2) 直角三角形；评价：每个非负数等于 0 求出三边，再验证勾股逆定理 25 解答题 阅读材料分母有理化，裂项相消，代数式求值 B、C 阅读理解新方法，知识迁移，拓展探究；分层拔高题 (1)7​−6​ (2)9 (3)−2；评价：读懂范例模仿分母有理化，会化简、抵消、代入求值 五、作业评价 表格 维度 A（优秀） B（良好） C（待改进） 权重 得分 知识理解 基础选择填空全部正确，平方根、实数、二次根式概念理解准确 13 处概念细节错误，没有根本性概念误解 概念混淆，大量基础题做错 20% 能力运用 计算步骤完整规范；应用题可以抽象直角三角形，列式正确；结果准确 计算少量失误；应用题模型基本正确，少量计算错误 不会建立数学模型，计算大量错误，缺少解题步骤 30% 思维发展 几何证明理由充分；阅读探究题可以自主迁移方法，推理逻辑清晰 推理过程完整，深度不足，探究题能完成基础部分 说理缺少依据，探究题无法读懂材料，不会迁移方法 30% 情感态度 完整完成整张试卷；九章算术、赵爽弦图类题目认真作答，书写工整，错题可以主动反思订正 按时完成全部作业，书写较为工整，能处理古代数学情境题目 完成度低，书写潦草，畏惧应用题和阅读探究题 20% 六、 试题详情 2026-2027学年秋季学期八年级上册数学第一次月考卷 （测试时间：120分钟 满分150分） 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每小题 3分，共 36分．每小题均有 A、B、C、D 四个选项，其中只有一个选项正确） 1.三个正方形的面积如图所示，则面积为的正方形的边长为（    ）   A.164 B.36 C.8 D.6 2.在下列各数中：，，，， ，有理数有（     ）个． A. B. C. D. 3.以下列各组数为三边的三角形中不是直角三角形的是（   ） A. B.6，8，10 C. D.4，5，6 4.下列说法中正确的是（    ） A. B.0.09的平方根是0.3 C.1的立方根是 D.0的立方根是0 5.如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（　　） A.15 dm B.17 dm C.20 dm D.25 dm 6.下列二次根式中最简二次根式是（    ） A. B. C. D. 7.如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，若，，则小正方形的面积是（   ） A.1 B.2 C.3 D.4 8.直角三角形的两条直角边的长分别为6，8，则其斜边上的高为（    ） A.6 B.8 C.12 D. 9.数轴上点所表示的实数是（    ）   A. B. C. D. 10.下列计算正确的是（   ） A. B. C. D. 11.已知，那么的值为（     ） A. B. C. D. 12.《九章算术》“勾股”章记载：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”题目大意：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高度为多少？（注：1丈尺）．若设竹子未折断部分的高度为尺，根据勾股定理可列方程求解，则未折断部分的高度为（　　） A.4.55尺 B.5.45尺 C.6.35尺 D.7.25尺 二、填空题（每小题 4 分，共 16 分） 13.一个正数的平方根为和，则的值为            ． 14.的平方根是              ． 15.式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是             ． 16.如图，圆柱形玻璃容器高，底面圆的周长为，在外侧距下底的点处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口的点处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度是              ． 三、解答题（本大题共 9 题，共 98 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.求下列各式中x的值： （1） （2） 18.计算： （1）； （2）． （1）； （2）． 19.把下列各数填入相应的括号内 -π， ，3.1， ，0.8080080008...(相邻两个8之间0的个数逐次增加1)， -， ， ， 整数集合｛                                 ｝   负分数集合｛                               …｝ 正数集合｛                                …｝ 负数集合｛                                …｝ 有理数集合｛                              …｝ 无理数集合｛                              …｝ 20.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上． （1）直接写出：________，________； （2）判断的形状，并说明理由． 21.已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为，求的算术平方根； 22.已知某开发区有一块四边形的空地，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？ 23.池塘中有一株荷花的茎长为，无风时露出水面部分米，如果把这株荷花向旁边拉至使它的顶端A恰好到达池塘的水面B处，此时荷花顶端离原来位置的距离米，求这株荷花的茎长． 24.已知：，，满足． （1）求，，的值； （2）请判断以，，为边构成的的形状，并说明理由． 25.阅读下面计算过程： ； ； ； 求： （1）的值． （2）的值． （3）若，求的值 七、 答案与解析 1．【答案】D 【解析】已知四边形OGMN和四边形OBCD是正方形，面积分别为64和100，即可求得OG和OD的长，再利用勾股定理即可求得GD的长． ∵四边形OGMN和四边形OBCD是正方形，面积分别为64和100 ∴OG2=64,OD2=100 ∴OG=8,OD=10 ∴ 故面积为的正方形的边长为：6 故选:D 【点睛】本题考查了正方形的基本性质，四边形各边相等，面积等于边长的平方，本题还考查了利用勾股定理解直角三角形． 2．【答案】C 【解析】根据有理数和无理数的定义，化简可以开方的根式，再找出所有有理数和无理数即可． 解：∵， ∴，，均为有理数，，均为无理数， ∴有理数共有个． 3．【答案】D 【解析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握若一个三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解． 解：A、因为，所以能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意； B、因为，所以能够作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意； C、因为，所以能够作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意； D、因为，所以不能够作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意； 故选：D． 4．【答案】D 【解析】根据算术平方根的定义判断A选项，根据平方根的定义判断B选项，根据立方根的定义判断C，D选项． 解：A、，故该选项不符合题意； B、0.09的平方根是±0.3，故该选项不符合题意； C、1的立方根是1，故该选项不符合题意； D、0的立方根是0，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平方根，算术平方根，立方根，注意平方根与算术平方根的区别． 5．【答案】B 【解析】根据勾股定理求解出最短路程即可． 最短路径 故答案为：B． 【点睛】本题考查了利用勾股定理求最短路程的问题，掌握勾股定理是解题的关键． 6．【答案】C 【解析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 解：A、被开方数含开得尽方的因数，故本选项不符合题意； B、被开方数含有分母，故本选项不符合题意； C、被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，故本选项符合题意； D、被开方数含能开得尽方的因数，故本选项不符合题意； 故选：C． 7．【答案】A 【解析】本题考查了勾股定理等，先求出大正方形的面积为，由勾股定理得，求出小正方形的面积，即可求解；能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 解：正方形的面积为：， ， ， 小正方形的面积是， 故选：A． 8．【答案】D 【解析】根据等面积法计算即可； 设斜边为c，斜边上的高为h， ∵直角三角形两条直角边的长分别为6，8， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，结合等面积法计算是解题的关键． 9．【答案】C 【解析】求得选项平方根的近似值，观察数轴上点的位置，对比各选项的数值，即可求得答案． ，，． 观察数轴上点的位置，对比各选项的数值，可知点表示实数． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，实数与数轴，熟知无理数的估算方法是解题的关键． 10．【答案】C 【解析】本题考查了二次根式的定义、除法、加法运算，解题的关键是掌握相关的运算法则．根据二次根式的运算法则依次分析各选项即可作出判断． 解：A、，故该选项错误； B、，故该选项错误； C、，故该选项正确； D、，故该选项错误； 故选：C． 11．【答案】D 【解析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，熟练掌握非负数的性质是解题的关键．根据非负数的性质得出，代入计算即可． 解：， ， ， ， 故选：D． 12．【答案】A 【解析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，准确计算是解题的关键． 本题可根据竹子折断后形成的直角三角形进行求解，关键是要利用勾股定理建立方程． 设竹子未折断部分的高度为尺，因竹子高尺，所以折断部分的高为尺， 根据题意可得出图形： ， 解得：； 故选． 13．【答案】 【解析】本题考查了平方根，根据正数有两个平方根，它们互为相反数可得，解方程即可求解，掌握平方根的性质是解题的关键． 解：∵一个正数的平方根为和， ∴， 解得， 故答案为：． 14．【答案】±2 【解析】解：∵ ∴的平方根是±2． 故答案为±2． 15．【答案】 【解析】本题主要考查了二次根式的定义，根据被开方数不能为负数即可解答． 解：式子在实数范围内有意义， ∴， 即， 故答案为：． 16．【答案】 【解析】此题考查平面展开-最短路径问题，画出正确的平面展开图，作出辅助线构造直角三角形利用勾股定理求解是解题关键．先把圆柱沿过B点的母线剪开，然后展开如图，点为点A展开后的对应点，根据两点之间线段最短得到最短路线长度为 的长度，然后根据勾股定理计算的长即可． 解：把圆柱沿过B点的母线剪开，然后展开如图，点为点A展开后的对应点， 作于H，则，， ， ∴， 在 中，． 故答案为：． 17．【答案】（1） （2） 【解析】本题考查平方根和立方根，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）先整理为，再根据平方根的定义求解； （2）先整理为，再根据立方根的定义求解． （1）， ， ， ； （2）， ， ， ． 18．【答案】（1）（2）2（3）（4） 【解析】【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 【解析】本题主要考查了二次根式的加减计算，熟知二次根式的加减计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可． （2）先化简二次根式，再计算绝对值和零指数幂，最后计算加减法即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19．【答案】见解析 【解析】试题分析：有理数包括整数和分数，整数包括正整数、0、负整数，根据以上内容即可判断. 试题解析：整数集合｛ ，， … ｝ 负分数集合｛ …｝ 正数集合｛，3.1， ，0.8080080008…, , , ,, ,…｝ 负数集合｛ , …｝ 有理数集合｛, 3.1,,,,,, …｝ 无理数集合｛,0.8080080008…,, …｝ 点睛：本题考查了有理数的定义的应用，能理解有理数的定义是解此题的关键，注意：有理数包括整数和分数，整数包括正整数、0、负整数，分数包括正分数和负分数. 20．【答案】（1）， （2）直角三角形，见解析 【解析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理进行求解即可； （2）根据勾股定理的逆定理进行判断即可解答． 【小问1详解】 解：，． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴． ∴是直角三角形，且． 21．【答案】 【解析】本题考查了平方根、算术平方根与立方根，熟练掌握平方根与立方根的性质是解题关键．先根据平方根的性质可得和互为相反数，从而可得，解方程可得，再根据立方根的性质可得，然后代入计算算术平方根即可得． 解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得， ∵的立方根为， ∴， 解得， ∴， ∴的算术平方根为． 22．【答案】7200元 【解析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用．连接，先根据勾股定理求出，再由勾股定理逆定理可得，然后根据四边形的面积为求出面积，进而得出答案． 解：如图，连接， 在中，，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为 ， 元， 即需要投入7200元． 23．【答案】这株荷花的茎长为 【解析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理的方程思想． 根据题意直接得出三角形各边长，进而利用勾股定理求出答案． 解：由题意可得：设，则， ∵， ∴， 则， 解得：， 答：这株荷花的茎长为． 24．【答案】（1）；； （2）直角三角形，理由见解析 【解析】本题主要考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理，正确求出a、b、c的值是解题的关键． （1）几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0，据此求解即可； （2）根据（1）所求可证明，则可证明是直角三角形． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴，，； 【小问2详解】 解：以，，为边构成的是直角三角形，理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 25．【答案】（1） （2） （3） 【解析】本题主要考查了分母有理化、二次根式的化简求值，弄清分母有理化的方法是解本题的关键， （1）原式根据阅读材料中的方法变形即可得到结果； （2）原式各项变形后，抵消合并即可得到结果； （3）先化简，然后代入所求式子计算即可． 【小问1详解】 解： ； 小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $