第23讲 认识证明（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年北师大版八年级数学上册

简一数理 初中专题讲义 第23讲 认识证明 （新教材北师大版） 知识点一、命题 2 知识点二、公理、定理、证明 2 知识点三、证明的书写规范 2 知识点四、推理两类 3 知识点五、易错点 3 知识点六、核心思想 3 【题型1 判断是否是命题】 3 【题型2 写出命题的题设与结论】 5 【题型3 判断命题真假】 7 【题型4 举例说明假（真）命题】 9 【题型5 举反例】 10 【题型6 定理与证明】 12 【题型7 代数问题证明】 13 【题型8 写出一个命题的已知、求证及证明过程】 16 【题型9 已知证明过程填写理论依据】 21 【题型10 根据给出到的论断组命题并证明】 24 【题型11 以几何为背景的推理与论证】 27 【题型12 以代数为背景的推理与论证】 31 【题型13 逻辑推理与论证】 33 【探究式学习】 36 【课后检测】 39 【复盘笔记】 51 知识点一、命题 1.定义：判断一件事情的语句，叫做命题。 ✅要点：必须是判断句；疑问句、感叹句、作图语句不是命题。 2.结构：由条件和结论两部分组成，可改写成：如果……，那么…… “如果”后面是条件，“那么”后面是结论。 3.分类 · 真命题：条件成立，结论一定成立。 · 假命题：条件成立，结论不一定成立；只需举出1个反例就能证明是假命题。 知识点二、公理、定理、证明 1.公理（基本事实）：公认的、不需要证明，直接作为推理依据的真命题。 例：两点确定一条直线；两点之间线段最短。 2.定理：经过演绎证明证实为正确的真命题，可以作为后续推理的依据。 公理不需要证明；定理必须证明。 3.证明：从命题的条件出发，依据定义、公理、已证定理，一步步推理，推出结论成立的过程。 知识点三、证明的书写规范 1. 格式：已知、求证、证明 · 已知：题目给出的条件； · 求证：要证明的结论； · 证明：推理过程，每一步后面写依据（定义、公理、定理）。 2.要求：推理步步有据，不能跳关键逻辑，不能凭直观看图下结论。 知识点四、推理两类 1. 合情推理：观察、猜想、归纳、类比，用来发现结论，结论不一定正确。 2.演绎推理：严谨逻辑推导，用来证明结论，只要依据正确，结论一定成立。 证明依靠演绎推理。 知识点五、易错点 1. 命题不一定是真命题；假命题不是没有条件结论，只是结论不成立。 2. 证明时，不能用待证结论当作推理依据（循环论证）。 3. 画图只是辅助，图形观察不能代替证明。 4. 公理不需要证明；定理一定需要证明。 知识点六、核心思想 逻辑推理：用严谨的推理，确认命题是否成立。 【题型1 判断是否是命题】 【例1】（25-26八年级上·河南驻马店·期末）下列正确的选项是（   ） A．命题同旁内角互补是真命题 B．作线段这句话是命题 C．对顶角相等是定义 D．边长为1，，的三角形是直角三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了命题的定义与真假判断、几何定义与性质的区别以及勾股定理的逆定理，熟练掌握命题的判定方法和勾股定理逆定理的应用是解题的关键． 本题需要逐一判断四个选项的正误，先明确命题的定义、真假命题的判断标准、几何定义与性质的区别，再用勾股定理的逆定理验证三角形形状． 【详解】解：∵同旁内角互补的前提是两直线平行，缺少该条件则不成立， ∴A项错误； ∵作线段是作图指令，不是陈述句，无法判断真假， ∴B项错误； ∵对顶角相等是对顶角的性质，而非定义， ∴C项错误， ∵边长为，，的三角形满足，由勾股定理逆定理可知该三角形是直角三角形； ∴D项正确 故选：D． 【变式1-1】画示意图表示下列概念之间的关系：多边形；正五边形；四边形；梯形；等腰三角形；直角三角形（示意图中用序号表示对应概念） 【答案】 解：示意图如下： 【分析】本题考查多边形及其相关特殊图形（正五边形、四边形、梯形、等腰三角形、直角三角形 ）的概念及分类关系．解题关键是明确各图形概念，依据包含关系绘制示意图来准确呈现它们之间的逻辑联系． 牢记多边形、正五边形、四边形、梯形、等腰三角形、直角三角形的定义．确定多边形包含其他各类图形；四边形是多边形的一类，梯形属于四边形；等腰三角形和直角三角形是三角形的不同类型，且都属于多边形 ．用图形直观呈现上述包含关系，大圈表示多边形，内部嵌套表示不同层级包含关系的小圈． 【详解】略 【变式1-2】下列语句中属于定理的是（    ） A．在直线上任取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是同位角 C．对顶角相等 D．直线和垂直吗？ 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，同位角、内错角、同旁内角，垂线，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．根据定理的意义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、在直线上任取一点E，不是命题，所以不是定理，故A不符合题意； B、如果两个角相等，那么这两个角是同位角，是假命题，故B不符合题意； C、对顶角相等，是定理，故C符合题意； D、直线和垂直吗？不是命题，所以不是定理，故D不符合题意； 故选：C． 【变式1-3】下列语句中，是命题的是（　　） A．你喜欢数学吗？ B．取线段的中点 C．美丽的天空 D．两直线平行，内错角相等 【答案】D 【分析】本题考查了命题的定义，判断一件事情的语句叫命题，根据命题的定义逐一进行判断即可得到答案，掌握命题的定义是解题的关键． 【详解】解：、你喜欢数学吗？是疑问句，没有作出判断，不是命题，不符合题意； 、取线段的中点，没有作出判断，不是命题，不符合题意； 、美丽的天空，是描叙性语言，没有作出判断，不是命题； 、两直线平行，内错角相等，是命题，符合题意； 故选：． 【题型2 写出命题的题设与结论】 【例2】（25-26八年级上·河南南阳·期中）小琪同学做了4道练习题如下，若答对一道题得10分，你认为她的得分是(    ) （1）的小数部分是；（2）命题“同位角相等”的条件是“两个角是同位角”； （3）若，则；（4）要说明命题“是负数”是假命题，可举反例． A．10分 B．20分 C．30分 D．40分 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的小数部分，无理数的小数部分，平方运算，反例的举法，根据以上知识逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵，小数部分为精确值，∴第（1）题错误． ∵命题“同位角相等”的形式为“如果两个角是同位角，那么它们相等”，条件确是“两个角是同位角”，∴第（2）题正确． ∵，则，∴第（3）题正确． ∵命题“是负数”不是总成立，当时，不是负数，反例正确，∴第（4）题正确． ∴共答对题，得分分． 故选：C． 【变式2-1】下列说法不正确的是（    ） A．“相等的角是对顶角”是假命题 B．“两直线平行，同位角相等”是真命题 C．命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是“一个三角形是等边三角形” D．“若，则”是假命题的反例可以是 【答案】C 【分析】根据对顶角的概念，平行线的判定，等边三角形的定义，绝对值的定义判断各项，即可得出结论． 【详解】解：A．“相等的角是对顶角”是假命题，正确，故A选项不符合题意； B．“两直线平行，同位角相等”是真命题，正确，故B选项不符合题意； C．命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是“三角形的三个内角都相等”，错误，故C选项符合题意； D．，，故“若，则”是假命题的反例可以是正确，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了判断命题的真假，命题的条件，用反例法证明命题的真假，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式2-2】命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是（  ） A．垂直 B．两条直线互相平行 C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线 【答案】D 【分析】命题有条件和结论两部分组成，条件是已知的部分，结论是由条件得出的推论． 【详解】“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是“两条直线垂直于同一条直线”，结论是“两条直线互相平行”． 故选：D． 【点睛】本题考查了对命题的题设和结论的理解，解题的关键在于利用直线垂直的定义进行判断． 【变式2-3】已知命题“若，则．”下列三位同学的判断中正确的有（    ） 甲同学：“该命题是真命题．” 乙同学：“该命题的结论是．” 丙同学：“若在该命题的题设中添加，都大于零，则该命题成为真命题．” A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据命题的结构和真假命题的定义，依次判断三位同学的说法，统计正确个数即可得到答案． 【详解】解：∵当，时，满足，但， ∴原命题是假命题，甲同学判断错误． “若题设，则结论”是命题的标准形式，该命题的结论为， ∴乙同学判断正确． 添加条件都大于零后，命题变为“若且，则”， ∵两个正数的平方相等，正数本身必然相等， ∴该命题是真命题，丙同学判断正确． 综上，正确的判断共有个． 【题型3 判断命题真假】 【例3】（26-27八年级上·甘肃张掖·开学考试）下列命题中，是真命题的是（     ） A．如果直线与相交，直线与相交，那么直线与相交 B．两个锐角互余 C．的算术平方根是 D．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 【答案】D 【分析】通过举反例排除假命题，再验证剩余选项的正确性． 【详解】解：A选项： 若直线，直线与、均相交，满足题设但与不相交，故A为假命题； B选项：例如和均为锐角，和为，不互余，直角三角形中的两个锐角才互余，故B为假命题； C选项： 64的算术平方根是，不是，故C为假命题； D选项：如果两个实数相等，那么它们的平方相等，是真命题． 【变式3-1】下列命题中，真命题是（     ） A．若一个数的立方等于它本身，则这个数一定是 B．若一个数的绝对值等于它本身，则这个数一定是正数 C．若一个数的平方根等于它本身，则这个数是和 D．若一个数的立方根等于它本身，则这个数为、、 【答案】D 【详解】解：A选项，，即1的立方等于本身，故A为假命题； B选项，，即0的绝对值等于本身，故B为假命题； C选项，的平方根是，不等于本身，故C为假命题； D选项，，，的立方根均等于本身，故D为真命题． 【变式3-2】对于下列四个命题： ①如果有两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ②如果和是对顶角，那么 ③一个角的余角一定小于这个角的补角 ④如果和互余，与的余角互补，那么和互补 真命题有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题结合平行线性质，对顶角性质，余角补角的定义，逐个判断命题真假，即可得到真命题个数． 【详解】①根据平行线的性质，如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故①是真命题； ②由对顶角的性质可知，对顶角相等，因此如果和是对顶角，那么，故②是真命题； ③设这个角为，因为该角有余角，因此，该角的余角为，补角为，因为，因此，即一个角的余角一定小于这个角的补角，故③是真命题； ④因为和互余，因此的余角为，又因为与的余角互补，因此，即和互补，故④是真命题； 综上，四个命题均为真命题． 故选：A． 【变式3-3】下列说法：①所有实数都能用数轴上的点表示；②调查观众对《给阿嬷的情书》的满意度最适合采用全面调查的方式；③的平方根是；④“对顶角相等”的逆命题是假命题；⑤抽样调查的样本容量越小，对总体的估计就越准确，其中正确的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据实数与数轴的关系，调查方式的选择，平方根的概念，逆命题真假判断，抽样调查样本容量的性质，逐一判断每个说法即可得到正确个数． 【详解】解：① 由实数与数轴的对应关系可知，所有实数都能用数轴上的点表示，故①正确； ② 调查观众满意度，调查对象数量较大，适合采用抽样调查，不适合全面调查，故②错误； ③ ，的平方根是， 的平方根是，不是，故③错误； ④ “对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，相等的角不一定是对顶角，因此逆命题是假命题，故④正确； ⑤ 抽样调查中，样本容量越大，对总体的估计越准确，样本容量越小估计误差越大，故⑤错误； 综上，正确的说法共个． 【题型4 举例说明假（真）命题】 【例4】（25-26八年级上·山西太原·期末）下列命题中，真命题的是（   ） A．在同一年内，如果5月4日是星期一，那么5月11日也是星期一 B．两个锐角之和一定是钝角 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】A 【分析】正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题． 【详解】解：A、∵5月4日到5月11日间隔为7天，一周有7天，∴经过1个完整星期后，星期数不变，故选项符合题意； B、若两个锐角分别为和，和为，仍为锐角，故选项不符合题意； C、解方程， 去分母，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得， 解得，故选项不符合题意； D、当时，，但，故选项不符合题意． 【变式4-1】要说明命题“若，则”是假命题的反例可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了假命题和反例，解题的关键是掌握反例的定义． 假命题的反例需满足命题的题设，但不满足命题的结论，据此分析选项即可． 【详解】解：∵当，时， ∴，，即成立， 又∵，即不成立， ∴此例可作为原命题的反例， 故选：B． 【变式4-2】有下列命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． 其中假命题有(   ) A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查了判断真假命题，平方根、立方根等相关知识，根据算术平方根和立方根的意义逐项进行判断，进而可得答案． 【详解】解：∵ 对于①，取，，有，但，∴①为假命题； ∵ 对于②，立方根具有唯一性，，则，∴②为真命题； ∵ 对于③，取，，有，但，∴③为假命题； ∵ 对于④， 则 ，∴④为真命题． ∴ 假命题有①和③． 故选：B． 【变式4-3】下列命题中，属于假命题的是（  ） A．两点确定一条直线 B．同角的余角相等 C．全等三角形的对应角相等 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查命题的真假判断．根据直线公理、余角的性质、全等三角形的性质以及反例逐项判断即可． 【详解】解：选项A：两点确定一条直线，是几何基本公理，正确； 选项B：同角的余角相等，设和均为的余角，则，，∴，正确； 选项C：全等三角形的对应角相等，由全等三角形性质可知，正确； 选项D：取，，则，但，，，即，∴ 命题不成立． ∴ 假命题是D， 故选：D． 【题型5 举反例】 【例5】（25-26七年级下·上海闵行·期中）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中的可以为（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】举反例判断假命题，反例需满足命题的条件，且不满足命题的结论，据此逐一判断选项即可； 【详解】解：反例需满足命题条件，不满足命题结论， 选项A中，不满足条件，不符合要求； 选项B中，满足，且，满足结论，不符合要求； 选项C中，满足，且，满足结论，不符合要求； 选项D中，满足，且，不满足结论，符合反例要求， ∴反例中的可以为． 【变式5-1】下列选项中，可以用来证明命题“若，则”假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、当，时， ，， 不满足条件，结论也不成立，不能作为反例，不合题意； B、当，时， ，， 满足条件但结论不成立，能作为反例，符合题意； C、当，时， ，又， 不满足条件，但结论成立，不能作为反例，不合题意； D、当，时， ∵，又， 满足条件，结论也成立，不能作为反例，不合题意． 【变式5-2】下列各组、的值能作为说明命题“，则”为假命题的反例的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：、，不满足，不能成为说明命题为假命题的反例； 、，不满足，不能成为说明命题为假命题的反例； 、，满足，也满足，不能成为说明命题为假命题的反例； 、满足，不满足，能成为说明命题为假命题的反例． 【变式5-3】对于命题“如果，那么”，能说明该命题为假命题的反例是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了命题的真假，反例的定义，解题的关键是掌握反例． 根据反例的定义，结合命题逐项进行判断即可． 【详解】解：A．当时，且，命题成立，不符合题意； B． 当时，且，命题成立，不符合题意； C． 当时，， ，，不满足条件，不符合题意； D．当 时，，，所以，但，该命题为假命题，该选项符合题意； 故选：D． 【题型6 定理与证明】 【例6】有下列描述：①过点 A 作直线 AF // BC ；②连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；③两直线平行，同旁内角互补；④垂直于同一直线的两条直线互相垂直.其中是定理 的有（    ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【答案】B 【分析】通过真命题（公理或其他已被证明的定理）出发,经过受逻辑限制的演绎推导,证明为正确的结论的命题或公式叫做定理. 【详解】①是题目条件或者要求,不是定理; ②是三角形中位线定义,不是定理; ③是定理; ④是假命题,应该是垂直于同一直线的两条直线互相平行. 故选B. 【点睛】该题考查了定理定义,首先先判断该句是否是真命题,如果是真命题的话,再判断是否经过逻辑推理可以进行证明,如果是,就说明该句是定理. 【变式6-1】下列命题中，不是定理的是（　　） A．直角三角形两锐角互余 B．两直线平行，同旁内角互补 C．n边形的内角和为（n﹣2）×180° D．相等的角是对顶角 【答案】D 【分析】根据定理是正确的命题判断． 【详解】直角三角形两锐角互余，A是定理； 两直线平行，同旁内角互补，B是定理； n边形的内角和为（n﹣2）×180°，C是定理； 相等的角不一定是对顶角，D不是定理． 故选D． 【点睛】本题考查了命题和定理，命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 【变式6-2】下列能作为证明依据的是(     ) A．已知条件 B．定义和基本事实 C．定理和推论 D．以上三项都可以 【答案】D 【详解】解：已知条件、定义和基本事实、定理和推论都可以作为证明的依据．故选D． 【变式6-3】“定义、定理、基本事实、命题、真命题、假命题”它们之间的关系恰好可以用下图表示，请指出A，B，C，D，E，F分别与它们中的哪一个对应． 【答案】A表示命题，B表示假命题，C表示真命题，D，E，F分别表示定义、定理、基本事实中任意一个． 【详解】试题分析：根据命题包括真命题、假命题，真命题包括定义、定理、基本事实等作答． 试题解析：解：命题包括真命题、假命题．真命题包括定义、定理、基本事实等．故A表示命题，B表示假命题，C表示真命题，D，E，F分别表示定义、定理、基本事实中任意一个． 【题型7 代数问题证明】 【例7】（2026七年级下·江苏·专题练习）证明：如果一个数的平方的个位数不是5，那么这个数的个位数也不是5． 【答案】见解析 【分析】根据逆否命题以及完全平方公式进行判断即可． 【详解】证明：设整数个位数为5，可表示为， ∴， 因此，这个整数平方的个位数为5， ∴如果一个数的个位数是5，那么这个数的平方的个位数是5为真命题， ∴一个数的平方的个位数不是5，那么这个数的个位数也不是5． 【变式7-1】证明命题 (1)求证：两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等． (2)说明“如果一个三位数的三个数位上的数字的和能被3整除，那么这个三位数也能被3整除”是真命题． 【答案】(1) 已知，如图，在和中，，，， 求证：． 证明：∵，，，， ∴， 在和中， ， ∴． (2) 解：该命题是真命题，理由如下： 设三位数的百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，则这个三位数为， 由题意知，为整数， ∴，也为整数， ∴这个三位数能被3整除，故该命题是真命题． 【分析】本题考查了命题的证明，全等三角形的判定等知识，解题的关键是： （1）先画出图形，写出已知、求证，然后根据全等三角形的判定方法证明即可； （2）设三位数的百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，则这个三位数为，根据，进行判断作答即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式7-2】证明：两个奇数之和是偶数． 【答案】 证明：设两个奇数分别为，，其中，为整数，则 ． 因为，，都为整数， 所以为整数． 所以是偶数． 所以两个奇数之和是偶数． 【分析】本题考查证明，设两个奇数分别为，，其中，为整数，进而得到，即可得证． 【详解】略 【变式7-3】某数学实验小组在探究“关于x的二次三项式﹣x2+2x+3的性质”时，进行了如下活动． 【试验操作】取不同的x的值，计算代数式﹣x2+2x+3的值． (1)补充完整下列表格： x … ﹣1 0 1 2 3 … ﹣x2+2x+3 … 0 3 4 … (2)【观察猜想】实验小组组员观察表格，提出以下猜想：同学甲说：“代数式﹣x2+2x+3的值随着x的增大而增大”．同学乙说：“不论x取何值，代数式﹣x2+2x+3的值一定不大于4”．请你也提出一个合理的猜想 ； (3)【验证猜想】我们知道，猜想有可能是正确的，也有可能是错误的，请你分别判断甲、乙两位同学的猜想是否正确，若不正确，请举出反例；若正确，请加以证明． 【答案】(1)3,0 (2)当x＞1时，代数式的值随着x的增大而减小（答案不唯一） (3)甲的判断不正确，乙的判断正确， 例如当x=2时，﹣x2+2x+3=3＜4； ∴同学甲说：“代数式﹣x2+2x+3的值随着x的增大而增大”是错误的； 乙的判断是正确的，原因如下： ， 由于， ∴， 所以同学乙的判断正确． 【分析】（1）将数值代入计算即可； （2）填一个从表中数据可以得到的结论，并言之有理即可； （3）根据表中数据即可举出反例说明甲的判断错误，通过对代数式进行变形，即可得到它的最大值为4，证明乙正确． 【详解】（1）当x=2时，﹣x2+2x+3=3； 当x=3时，﹣x2+2x+3=0； 故答案为：3；0． （2）当x＞1时，代数式的值随着x的增大而减小（答案不唯一）． （3）略 【点睛】本题考查了代数式的求值及其变化规律问题，解题关键是能够根据表中数据正确判断代数式值的情况，并能够对代数式进行正确的变形． 【题型8 写出一个命题的已知、求证及证明过程】 【例8】（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）求证：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等． 【答案】将命题转化为几何语言如下： 如图，已知在和中，，，是边上的中线，是边上的中线，且． 求证：． 证明：∵是边上的中线，是边上的中线， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， 在和中， ， ∴ ， ∴ ， 在和中， ， ∴ ． 【分析】先将命题转化为几何语言，然后先证明，可得，再利用即可证明． 【详解】略 【变式8-1】证明：等腰三角形两腰上的中线相等． (1)填空：已知，如图，在中，，和分别是______．求证：_____． (2)完成证明过程． 【答案】(1)腰上的中线； (2)证明：∵和分别是的腰上的中线， ∴，． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 【分析】（1）根据题意，易得和分别是的中线，求证； （2）证明，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 【变式8-2】证明命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边一半．    已知：如图中，，___________． 求证：___________ 证明： 请根据图形，补充完整：已知、求证，并写出详细证明过程． 【答案】已知：如图中，，点O为边的中点． 求证：． 证明：延长到D使，连接，，则， ∵点O为边的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】延长到D使，连接，，先证明，得到，，再证明，得到，即可得到． 【详解】解：略． 【变式8-3】春天是放风筝的季节，清朝诗人高鼎在《村居》中用两句诗描绘了春天放风筝的场景：“草长莺飞二月天”，“忙趁东风放纸鸢”．我们研究的四边形中有一种叫筝形，如图1所示． 【筝形的定义】 两组邻边分别相等的四边形．即：若四边形满足且，则四边形为筝形． （）【任务】如图2是由小正方形组成的网格图，在网格中仅用无刻度的直尺和笔，画出一个顶点在格点的筝形； 【任务】某数学活动小组在探究筝形的角、对角线的性质过程中，得出以下命题： 命题：筝形有一组对角相等． 命题：筝形一条对角线垂直平分另一条对角线． 命题：筝形的每一条对角线平分一组对角． （）以上命题是真命题的有______个． （）选择其中的一个真命题，结合图1写出已知求证并对这个命题进行证明． 【答案】（）画图见解析（答案不唯一）； （）； （）选择命题． 已知：如图①，筝形中，，； 求证：； 证明：如图①，连接， 在和中， ， ∴， ∴； 选择命题． 已知：如图②，筝形中，，，对角线相交于点； 求证：且． 证明：在和中， ， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴且． 【分析】本题考查了筝形的定义，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （）根据筝形的定义画图即可； （）根据筝形的特征判断即可求解； （）根据全等三角形的判定和性质即可求证； 【详解】（）解：如图所示，四边形即为所求；（答案不唯一） （）解：命题：筝形有一组对角相等，是真命题； 命题：筝形一条对角线垂直平分另一条对角线，是真命题； 命题：筝形的每一条对角线平分一组对角，是假命题； ∴以上命题是真命题的有个， 故答案为：； （）略 【题型9 已知证明过程填写理论依据】 【例9】（26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）填空： 已知：如图，，，，试说明． 解：（已知）， ________， 即． 在和中， ∵ ________（）． （________）． 【答案】；；；全等三角形的对应角相等 【分析】根据结论和线段的和差关系，以及全等的判定和全等三角形的对应角相等，即可解答． 【详解】略 【变式9-1】观察下面两式计算的结果，； 我们发现：一般地，设，有 这是什么道理呢？下面我们来证明这个结论，并在下面括号中填上依据： 一方面，__________． __________． 另一方面， 根据算术平方根的意义，可得是_________的算术平方根，即． 于是我们得到二次根式的乘法法则： (1)填空：将以上横线处填写完整． (2)计算： ① ② 【答案】(1)积的乘方法则；算术平方根的意义； (2)①4，② 【分析】（1）根据积的乘方法则和算术平方根的相关定义进行填写即可； （2）根据二次根式的乘法法则和性质进行计算和化简即可． 【详解】（1）解：（积的乘方法则） （算术平方根的意义）， 是的算术平方根． （2）解：①原式 ； ②原式 ． 【变式9-2】如图，在直线上取一点O，作，使平分．请你猜想和的数量关系，并说明理由． 其中一种解题过程如下：请在括号中注明根据，在横线上补全步骤． 解：∵， ∴ （ ）． ∴． ∴（ ）． ∵ 平分， ∴ （ ）． ∵ 是平角， ∴（ ）． ∴． ∴． ∴ ． 【答案】；角的和的定义；等式的基本性质；；角平分线的定义；平角的定义；； 【分析】利用直角、角平分线、平角的性质，通过等式代换推导两角关系． 【详解】略 【变式9-3】老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】阅读证明可以得到答案． 【详解】解：根据证明过程可知，证明的真命题是，且，则， 故选：A． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是能分清命题的题设与结论． 【题型10 根据给出到的论断组命题并证明】 【例10】（2025八年级上·全国·专题练习）证明命题：两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等． 【答案】 已知，如图，在和中，，，， 求证：． 证明：∵，，，， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】本题考查了命题的证明，全等三角形的判定等知识，解题的关键是：先画出图形，写出已知、求证，然后根据全等三角形的判定方法证明即可； 【详解】略 【变式10-1】如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题： ①；②；③． 从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由． 【答案】 可以构造出3个命题，分别为：①②⇒③；②③⇒①；①③⇒②．以上3个命题都是真命题， ①②⇒③， ， ， ， ， ， ； ②③⇒①， ， ， ， ， ， ； ①③⇒②， ， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查命题的证明，根据命题的定义，选择条件和结论，根据平行线的判定和性质，进行证明即可． 【详解】略 【变式10-2】已知：如图，在中，D，E是边上的两点，G是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①平分；②；③． 条件：_______，结论：_______．（填序号） 证明： 【答案】 解：当条件是①平分，②；结论是③时： 证明：平分， ． ， ，． ； 当条件是①③，结论是②时： 证明：平分， ． ∵， ∴， ∴， ∴； 当条件是②③，结论是①时： ， ，． ， ， ∴平分． 【分析】本题考查命题的证明，先选择条件和结论，再根据平行线的性质和判定，角平分线的定义，以及三角形的外角的性质，进行证明即可． 【详解】略 【变式10-3】金乡县某中学七年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队（分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加金乡县数学知识竞赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：甲：C得亚军；D得季军；乙：D得冠军；A得亚军；丙：C得冠军；B得亚军．已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为______． 【答案】C，A，D，B 【分析】因为三人都猜对了一半，假设甲说的前半句正确，来看看后面的说法有没有矛盾，有矛盾就是错误的没矛盾就是正确的． 【详解】解：①假设甲说的：C是亚军正确，则他说D是季军错误， 于是乙说：D是殿军正确，则乙说的A得亚军就错误， 故丙说：B得亚军正确，与假设甲说的：C是亚军正确互相矛盾， 所以：甲说的：C是亚军错误； ②假设甲说的：C是亚军错误，则他说D是季军正确， 于是乙说：D是冠军错误，则乙说的A得亚军就正确， 故丙说：B得亚军错误，C是冠军正确； 没有矛盾， 故：冠，亚，季，殿军分别为：C，A，D，B． 故答案为：C，A，D，B． 【点睛】本题主要考查了推理能力，往往假设一个正确或错误，来推看看有没有矛盾． 【题型11 以几何为背景的推理与论证】 【例11】（24-25七年级下·四川成都·阶段检测）如图，在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，与分别交于点G，H，与交于点I．则_____． 【答案】 【分析】此题考查了面积与等积变换的知识．此题难度较大，注意掌握等高三角形面积的比等于其对应底的比性质的应用，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．首先连接，，由在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，可设，继而求得，以及的面积，则可求得的面积，然后由等高三角形面积的比等于其对应底的比，求得答案． 【详解】解：根据题意，， 如图所示，连接， 设， 在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点， ，，， ， 设点到的高为，点到的高为， ∴， ∴， ， ， 又， ，， ， 故答案为：． 【变式11-1】如图，有两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个半径相等的小圆，另一个大圆内有2个半径相等的小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大？猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证猜想． 【答案】一样大，理由如下： 设10个小圆中每个圆的半径为，2个小圆中每个圆的半径为，每个大圆的半径为r， 则． 10个小圆周长，2个小圆周长． 所以它们的周长一样大． 【分析】本题考查猜想和验证，求圆的周长，设10个小圆中每个圆的半径为，2个小圆中每个圆的半径为，每个大圆的半径为r，根据圆的周长公式进行计算，判断即可． 【详解】略 【变式11-2】收集欧几里得和《原本》的有关资料，并与同伴进行交流． 【答案】见解析． 【分析】可以利用网络查阅手机，并交流心得体会． 【详解】 欧几里得（Euctid,约公元前 300 年）是古希腊论证数学的集大成者，他通过继承和发展前人的研究成果，编辑出旷世巨著《原本》（Elements）．这部书的最大意义在于，它是用公理化方法建立起演绎体系的最早典范．欧几里得的生平后世所知甚少，但根据有限的历史记载推断，欧几里得早年就学于雅典，公元前 300 年左右，欧几里得应托勒密王一世之邀到当时的文化中心亚历山大，成为亚历山大学派的奠基人．据说，托勒密王问欧几里得，除了他的《原本》之外，有没有其他学习几何的捷径，欧几里得回答道：“几何无王者之路．”意思是在几何里，没有专门为国王铺设的道路．这句话后来推广为“求知无坦途”，成为千古传诵的学习箴言．另一则故事记载，一个学生才开始学习第一个命题，就问，“学习了几何学之后我能得到什么？”欧几里得对家奴说：“给他三个钱币，因为他想在学习中获得实利．”由此可见，欧几里得主张学习必须循序渐进、刻苦钻研，不赞成投机取巧的作风和狭隘的实用主义观点． 《原本》的前四卷包含了平面几何的一些基本内容，如全等形、平行线、多边形、圆、毕达哥拉斯定理、初等作图及相似形等．第Ⅴ卷是比例论，这是《原本》的最高成就．毕达哥拉斯学派过去虽然也建立了比例论，不过只适用于可公度量，这样很难建立关于一切量的比例关系．卷Ⅵ把卷Ⅴ已建立的理论用到平面图形上去，处理相似直线图形中的各种成比例线段等等．卷Ⅶ、Ⅷ、Ⅸ是数论，讨论正整数的性质和分类．卷Ⅹ是篇幅最大的一卷，主要讨论无理量，即不可公度量．卷Ⅺ是立体几何，卷Ⅻ是穷竭法，这是希腊人创造的强有力的证明方法．经欧多克索斯的努力臻于完善，最后被收入《原本》之中，最后的第ⅩⅢ卷主要讨论了球的内接正多面体的作图法．众所周知，公理化方法是数学中的重要方法，它的主要精神是从尽可能少的几条公理以及若干原始概念出发，推导出尽可能多的命题．历史上，公理化思想最早出现在希腊，而《原本》就是公理化思想的典型代表．过去所积累下来的数学知识是零碎的、片段的，只有借助逻辑的方法，把这些知识组织起来，加以分类、比较，揭露彼此间的内在联系，系统化、条理化地整理在一个严密的系统之中，才能建成巍峨的几何大厦，《原本》完成了这项艰巨的任务，对整个数学的发展产生了深远影响． 它是如何在题目中应用的呢？我们也通过两个问题来具体说明． 问题1：《原本》中第ⅩⅢ卷主要讨论了正整数的性质和分类． 解析：错误 问题2：《原本》中主要讨论无理量的是（ ） A．卷X B．卷VII C．卷XII D．卷VI 解：A 【点睛】本题是让学生了解欧几里得的情况，学习欧几里得对数学发展的贡献及《几何原本》的主要内容，以及它们在解题中具体怎么应用． 【变式11-3】《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法．这种方法所体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．公理化思想 【答案】D 【分析】结合题意，根据公理化思想的性质分析，即可得到答案． 【详解】根据题意，这种方法所体现的数学思想是：公理化思想 故选：D． 【点睛】本题考查了公理化思想的知识；解题的关键是熟练掌握公理化思想的性质，从而完成求解． 【题型12 以代数为背景的推理与论证】 【例12】（2024·湖南长沙·模拟预测）张浩有红牌和蓝牌各张，已知张浩能在一个摊位上用张红牌换张银牌和张蓝牌，还能在另一个摊位上用张蓝牌换张银牌和张红牌，若他按照上述方法继续换下去，直到手中的牌无法交换为止，则张浩手中最后有银牌（　　）张 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了以代数为背景的推理与论证．利用张红牌换张银牌和张蓝牌，张蓝牌换张银牌和张红牌，分别结合牌的张数表示出每次换取的银牌张数以及对应红或蓝牌的数量进而求出答案． 【详解】解：由题意可得：用张红牌可以换张银牌和张蓝牌， 此时还剩张红牌，还剩（张）蓝牌， 利用张蓝牌可以换张银牌和张红牌， 此时还剩张蓝牌，还剩（张）红牌， 利用张红牌可以换张银牌和张蓝牌， 此时还剩（张）蓝牌， 利用张蓝牌可以换张银牌和张红牌， 此时还剩张蓝牌，还剩张红牌， 利用张红牌可以换张银牌和张蓝牌， 此时还剩张蓝牌， 则利用张蓝牌可以换张银牌和张红牌， 此时还剩张蓝牌，还剩张红牌，到此结束． 故张浩手中最后有银牌：（张）． 故选：D． 【变式12-1】如图A、B、C是固定在桌面上的三根小棒，其中A上有5个大小不同的圆片，从上到下，圆片的直径依次增大．现要将这5个圆片移动到B上，要求：①每次只能移动一个圆片；②圆片只能在A、B、C之间移动；③大圆片不能放在小圆片上面．那么完成这件事情最少要移动圆片（    ）    A．31次 B．33次 C．17次 D．25次 【答案】A 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，逻辑推理的应用，由题意，一个圆片至少要移动一次，两个圆片至少要移动3次，三个圆片至少要移动7次，从而归纳出五个圆片至少要移动的数量． 【详解】解：移动一个圆片，至少移动1次，而， 移动两个圆片，至少要移动3次，而， 移动三个圆片，至少要移动7次，而， ∴移动五个圆片，至少要移动（次）， 故选：A． 【变式12-2】长沙市某中学啦啦操队，其参赛道具于花分别装在、、三个纸箱里，不知其数，现对三个纸箱的手花进行3次调整：第一次，箱不动，在、两箱中的一箱中取出5束手花放在另一箱；第二次，箱不动，在、两箱中的一箱取出7束放在另一箱；第三次，箱不动，在、两箱中的一箱取出9束放在另一箱．经过三次调整后，、、三个纸箱各有手花10束、10束、10束，则原来箱最多有（    ）束手花． A．5 B．8 C．12 D．14 【答案】C 【分析】由最后的结果向前推理，可得答案． 【详解】解：要使原来C箱最多，根据题意得： ∵第三次调整后，A箱有10束，B箱有10束，C箱有10束， ∴第二次调整后，A箱有10束，B箱有（束），C箱有（束）， ∴第一次调整后，A箱有（束），B箱有1束，C箱有（束）， ∴原来C箱有12束； 故选：C． 【点睛】此题考查了逆向思维解应用题，解题的关键是从最后的结果向前根据数量关系，求出上一步的结果，一步步的推，进而求解即可． 【变式12-3】为了预防新型冠状病毒的感染，人员之间需要保持一米以上的安全距离，某公司会议室共有四行四列桌椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米，为了保证更加安全，公司规定在此会议室开会时，每一行、每一列不能有连续三人就座．例如图中第一列所示情况就不满足条件（其中“√”表示就座人员）．根据该公司要求，该会议室最多可容纳的就座人数为（ ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】B 【解析】分步安排每一排就坐，根据第一排与第二排的空座位值是否在同一列分情况安排第三排人员就坐，从而得出结论． 【详解】解： 第一步，在第一排安排3人就坐，且空出中间一个座位，不妨设空出第二个座位， 第二步，在第二排安排3人就坐，且空出中间一个座位，则可空出第二或第三个座位， 第三步，若第二排空出第二个座位，则第三排只能安排一人在第二个座位就坐， 第四步，在第四排安排3人就坐，空出第二或第三个座位，此时会议室共容纳3+3+1+3=10人， 重复第三步，若第二步空出第三个座位，则第三排可安排2人在中间位置就坐， 重复第四步，在第四排安排3人就坐，空出第二个座位，此时会议室共容纳3+3+2+3=11人． 故选：B． 【点睛】本题考查了组合排列数计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 【题型13 逻辑推理与论证】 【例13】甲、乙、丙、丁、戊、己是六名嫌疑犯，审讯他们时，他们的供词如下： 甲：“乙、戊作案了”； 乙：“甲、丁作案了”； 丙：“乙、己作案了”； 丁：“甲、丙作案了”； 戊：“甲、己作案了”． 已知案件是由两人共同作案的，这些供词中有一人是假话，其余四人都是一半真一半假．则作案的两人是（   ） A．甲、丙 B．乙、戊 C．丁、己 D．甲、戊 【答案】D 【分析】本题考查了推理与论证，合理的分析与推理排除是解题关键．根据证词中各人出现次数，判断出只能是甲与丙或甲与丁或甲与戊或乙与己合伙作案，再逐一判断，最终确定答案． 【详解】解：根据条件，5份供词中一份假的，其余都是一真一假，且这4份供词都有一个罪犯的名字． 两个罪犯的名字在五份供词中一共出现了四次． 在供词中，甲出现了3次，乙出现了2次，丙出现了1次，丁出现了1次，戊出现了1次，己出现了2次， 因此只能是甲与丙或甲与丁或甲与戊或乙与己合伙作案， 当甲与丙合伙作案时，则丁的供词全对，与已知矛盾； 当甲与丁合伙作案时，则乙的供词全对，与已知矛盾； 当乙与己合伙作案时，则丙的供词全对，与已知矛盾； 当甲与戊为作案人时，丙的供词为全假，甲、乙、丁、戊的供词均为一真一假，符合题意． 只能是甲与戊合伙作案． 故选：D． 【变式13-1】已知甲、乙、丙三人，一位是湖南人，一位是河南人，一位是海南人，丙比海南人年龄大，甲和湖南人不同岁，湖南人比乙年龄小，由此可以推知：甲、乙、丙三人中（    ） A．甲不是海南人 B．湖南人比甲年龄小 C．湖南人比河南人年龄大 D．海南人年龄最小 【答案】D 【分析】本题考查了逻辑推理，掌握基本的逻辑推理方法是关键． 根据题意得到丙是湖南人，乙是河南人，甲是海南人，海南人的年龄小于湖南人的年龄，湖南人的年龄小于河南人的年龄，由此即可求解． 【详解】解：丙比海南人年龄大，则丙不是海南人，可能是湖南人或河南人， ∴年龄关系：海南人年龄丙的年龄， ∵甲和湖南人不同岁，湖南人比乙年龄小， ∴丙是湖南人，即海南人年龄湖南人年龄，湖南人年龄乙的年龄， ∴年龄关系：海南人年龄湖南人（丙）年龄乙的年龄，即丙是湖南人，乙是河南人，甲是海南人， ∴海南人的年龄最小， 故选：D ． 【变式13-2】甲、乙、丙、丁四位同学将在学校举办的“学党史，讲党史”活动中进行演讲，要求每位演讲者只演讲一次，并且在同一时间只有一位演讲者．已知有两位演讲者在午餐前演讲，另两位演讲者在午餐后演讲，丙一定在午餐前演讲，丁在第一位或在第四位演讲，在甲和乙之间演讲的仅有一位演讲者，则第三位演讲者是（   ） A．甲 B．丙 C．甲或乙 D．乙或丁 【答案】C 【分析】本题主要考查推理，解题的关键是根据题意进行推理即可． 分三种情况：若丙在第一位演讲；若丙在第二位演讲，丁在第一位演讲；若丙在第二位演讲，丁在第四位演讲，即可求解． 【详解】解：若丙在第一位演讲，则丁在第四位演讲， ∴此时第二位和第三位为甲和乙， ∵在甲和乙之间演讲的仅有一位演讲者， ∴此时矛盾，不符合题意； 若丙在第二位演讲，丁在第一位演讲， 此时第三位，第四位为甲，乙， ∵在甲和乙之间演讲的仅有一位演讲者， ∴此时矛盾，不符合题意； 若若丙在第二位演讲，丁在第四位演讲， 则甲、乙在第一位和第三位演讲。 此时甲、乙之间恰为第二位的丙，符合在甲和乙之间演讲的仅有一位演讲者的条件， 故此种情况成立，第三位演讲者是甲或乙． 故选：C 【变式13-3】以下4位老师分别任教语文、数学、英语和科学．张老师说：我不是语文老师：王老师说：我不教数学；李老师说：我是英语老师：赵老师说：我不是数学老师，也不是科学老师．下面说法不正确的是（   ） A．张老师教科学 B．王老师教科学 C．李老师教英语 D．赵老师教语文 【答案】A 【分析】本题主要考查了逻辑推理应用题，解题方法是由确定项开始用排除法，逐个推论确定各自的正确选项，最终解决问题．根据四位老师的陈述，逐一确定各自所教学科，再判断选项的正确性． 【详解】解：李老师明确表示自己是英语老师，因此确定李老师教英语． 赵老师说“我不是数学老师，也不是科学老师”，因此赵老师只能教剩下的语文． 王老师说“我不教数学”，结合赵老师已教语文，王老师只能教科学． 张老师说“我不是语文老师”，剩下的数学由张老师任教． 验证选项： A． 张老师教科学：错误，张老师实际教数学． B． 王老师教科学：正确． C． 李老师教英语：正确． D． 赵老师教语文：正确． 综上，不正确的选项是A 故选：A． 【探究式学习】 1．（八年级上·广西南宁·期中）【综合与实践】 阅读材料：课本第页数学活动中介绍一种新的几何图形——“筝形”．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 我们研究一种新几何图形的一般过程：先学习定义，再研究性质和判定．而性质的研究，其实就是对图形边，角，对角线等基本要素的研究．八年级某班按照这样的思路对“筝形”的性质开展研究： 第一步：根据定义剪出一个“筝形”； 第二步：用测量、折纸等方法猜想“筝形”边，角，对角形的结论； 第三步：通过证明得到性质．    解答问题： (1)猜想“筝形”的对角线有怎样的结论？请写出来． (2)请画出图形，写出已知，求证并证明得到对角线的性质． (3)从性质进一步探究可得到“筝形”的面积公式，请直接写出“筝形”的面积公式． 【答案】(1)“筝形”的对角线互相垂直； (2) 已知：四边形是“筝形”，，，对角线相交于点． 求证：．    证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (3)“筝形”的面积等于对角线积的一半． 【分析】（）根据题意写出答案即可； （）根据题意，画出图形，根据图形写出已知求证，利用“”可证明，得到，利用“”可证明，即可证明“筝形”的对角线互相垂直； （）把“筝形”转化为两个三角形的面积相加，即可得到“筝形”的面积计算公式； 本题考考查了“筝形”对角线的性质及其应用，根据题意画出图形是解题的关键． 【详解】（1）解：“筝形”的对角线互相垂直； （2）略 （3）∵， ∴， ∴“筝形”的面积等于对角线积的一半． 2.（七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）探究问题：已知，画一个角，使//，//，且DE交BC于点P．与有怎样的数量关系？ (1)我们发现与有两种位置关系：如图1与图2所示． ①图1中与数量关系为________；图2中与数量关系为________； 选择图1的情况，说明理由． ②由①得出一个真命题，请用文字叙述该命题． (2)应用②中的真命题，解决以下问题：若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的3倍少60°，求出这两个角的度数． 【答案】(1) ①如图1中，（互补）；如图2中，（相等）     理由：如图1中， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； ②如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补 (2)这两个角的度数是30°，30°或60°，120° 【详解】（1）解：①略． ②真命题：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补； （2）解：设两个角分别为x和 由题意或 解得或 ∴这两个角的度数是30°，30°或60°，120°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行线的推理，理解如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补是解答关键． 【课后检测】 1．（26-27八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）为证明“对于任何实数，”是假命题，下列哪个选项可以作为反例（     ） A．1 B．4 C．9 D．16 【答案】A 【分析】找到实数使不成立，即可证明“对于任何实数，”是假命题． 【详解】解：A．当时，，不成立，能证明“对于任何实数，”是假命题，符合题意； B．当时，，不能证明“对于任何实数，”是假命题，不符合题意； C．当时，，不能证明“对于任何实数，”是假命题，不符合题意； D．当时，，不能证明“对于任何实数，”是假命题，不符合题意． 2．（26-27八年级上·浙江杭州·阶段检测）下列句子中，是命题的为（     ） A．整数一定大于零吗？ B．作一个角的角平分线 C．三角形的中线平分对边 D．将开立方 【答案】C 【详解】解：命题是判断一件事情的陈述句． A、是疑问句，没有对事情作出判断，不是命题； B、是作图指令，没有对事情作出判断，不是命题； C、是陈述句，对三角形中线平分对边作出了判断，是命题； D、是操作指令，没有对事情作出判断，不是命题． 3．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】假命题的反例需满足命题的条件成立，但结论不成立，据此解答． 【详解】解：该命题的条件为，结论为，反例需满足且． A．当时，，不满足，不符合反例要求； B．当时，满足且，不符合反例要求； C．当时，满足且，不符合反例要求； D．当时，，且，符合反例要求． 4．（26-27八年级上·山东聊城·开学考试）下列语句中，是定义的是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间的所有连线中，线段最短 C．两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离 D．三角形中任意两边的和大于第三边 【答案】C 【分析】明确定义是对概念含义的描述规定，需与事实、性质类命题区分． 【详解】解：A、两点确定一条直线，是基本事实，不属于定义； B、两点之间的所有连线中，线段最短，是基本事实，不属于定义； C、对“两点之间的距离”的含义作出明确规定，属于定义； D、三角形中任意两边的和大于第三边，是三角形的性质定理，不属于定义． 5．（25-26七年级下·陕西安康·期末）下列选项中，能说明命题“任何偶数都是的整数倍”是假命题的反例是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：反例需满足是偶数且不是的整数倍，是奇数，不满足偶数条件， 排除B， ，均为偶数，且，，都是的整数倍， 排除A，D， 是偶数，且，不是的整数倍， 符合反例要求， 故选：C． 6．（25-26七年级下·重庆铜梁·期末）下面命题为真命题的是（     ） A．如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等； B．若，满足，，则； C．在平面直角坐标系中，点P的坐标是，轴，且，则点一定在第二象限； D．若，为整数，则最小值是． 【答案】B 【分析】逐一判断每个选项命题的真假，用到平行线性质、绝对值性质、平面直角坐标系的相关初中知识推导即可． 【详解】解：选项A：两个角的两边互相平行时，这两个角相等或互补，故选项A是假命题； 选项B：， ， 可得：， ； 将代入， 得：，把代入得：， 整理得； 若，则， ，则， 代入得， 解得：， 则， ， 故B选项是真命题； 选项C：，轴，， 的纵坐标为，横坐标为或， 即Q为（第一象限）或（第二象限）， 不一定在第二象限， 故C选项是假命题； 选项D：，，为整数， 的取值为，，，，，，，最小值是，不是， 故D选项是假命题． 7．（25-26七年级下·福建福州·期末）下列命题：①相等的角是对顶角；②三角形的三条高线交于一点；③三角形的重心是三条角平分线的交点；④三条边对应相等的两个三角形全等．其中真命题有（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【分析】根据对顶角的概念，三角形的高、重心的概念，全等三角形的判定，逐个判断每个命题的真假，统计真命题个数即可. 【详解】解：①对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行时同位角相等，因此①是假命题； ②钝角三角形的三条高线作为线段不存在公共交点，仅三条高线所在直线交于一点，因此②是假命题； ③三角形的重心是三条中线的交点，因此③是假命题； ④根据全等三角形的判定定理，三条边对应相等的两个三角形全等，因此④是真命题； 综上，真命题共有1个. 8．（25-26七年级下·湖北黄冈·期中）下列命题不正确的是（    ） A．一个数的立方根等于本身的数有、和 B．实数与数轴上的点一一对应 C．一个数的算术平方根等于它本身的数只有 D．无限不循环小数叫做无理数 【答案】C 【详解】解：A、立方根等于本身的数为，，，故命题正确，不符合题意； B、根据实数的基本性质，实数与数轴上的点一一对应，故命题正确，不符合题意； C、的算术平方根是，等于它本身；的算术平方根是，等于它本身，算术平方根等于本身的数有和，故命题不正确，符合题意； D、根据无理数的定义，无限不循环小数叫做无理数，故命题正确，不符合题意． 9．（八年级上·河南郑州·期末）下列命题为真命题的是（   ） A． B．一个等腰三角形的两边长分别为8和4，则它的周长等于20或16 C．某校为了解学生在校一周体育锻炼时间的情况，随机调查了30名学生，调查结果如表所示，则这30名学生在校一周体育锻炼时间的中位数和众数分别为， 锻炼时间 5 6 7 8 人数 7 10 7 6 D．有两边及第三边上的高对应相等的两个锐角三角形全等 【答案】D 【分析】利用二次根式的运算性质、等腰三角形的性质以及三角形三边关系、中位数和众数的概念，全等三角形的判定方法等知识逐项判断即可． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、若腰长为，则三边长分别为、、，，满足三角形三边关系，故该等腰三角形的周长为； 若腰长为，则三边长分别为、、，，不满足三角形三边关系，故此情况不存在， 故原命题错误，是假命题，不符合题意； C、这组数据的中位数为第和个数据的平均数，即中位数为；出现次数最多，众数为； 故原命题错误，是假命题，不符合题意； D、如图，，，第三边上高，根据勾股定理可得：，，所以，即可得到第三边，故可得到，即有两边及第三边上的高对应相等的两个锐角三角形全等， 故原命题正确，是真命题，符合题意． 10．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）下面四个命题： ①一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ②一个有理数与一个无理数的积一定是无理数； ③两个无理数的和一定是无理数； ④两个无理数的积一定是无理数． 其中真命题的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】通过反例判断各命题真假，即可判断． 本题考查了命题的判断，实数的运算及无理数、有理数的定义，熟知以上知识是解题关键． 【详解】对于命题①：设为有理数，为无理数，若为有理数，则为有理数，矛盾，∴为无理数，命题①真； 对于命题②：取反例，有理数0与无理数的积为0，是有理数，∴命题②假； 对于命题③：取反例，无理数与的和为0，是有理数，∴命题③假； 对于命题④：取反例，无理数与的积为2，是有理数，∴命题④假； ∴真命题只有1个； 故选：A． 11．（26-27八年级上·黑龙江绥化·开学考试）命题“若，则”是______________命题．（选填“真”或“假”） 【答案】 假 【分析】根据二次根式的性质，，因此仅能推出，可举反例判断命题真假． 【详解】解：根据二次根式的性质，可得，， ∵若，可得，即或， 举反例：取，，此时，满足，但， ∴原命题不成立，是假命题． 12．（26-27九年级上·北京西城·开学考试）请写出能判断命题“若，则”是假命题的一组实数，的值：_____，_____． 【答案】 1 【分析】要证明原命题为假命题，只需找到一组满足但不满足的实数，即可． 【详解】解：取，时， ，，可得，即，满足原命题的条件； ，，可得，即，不满足命题的结论，可说明原命题是假命题． 13．（26-27七年级上·湖南长沙·开学考试）四个小朋友踢球，不小心打碎了玻璃，四人中只有1人说谎．小方说：是小强打碎的；小强说：不是我打碎的；小明说：是小方打碎的；小林说：我没打碎．打碎玻璃的是：__________．（填人名） 【答案】小方 【分析】小方和小强的表述互相矛盾，两人必有一真一假，结合只有1人说谎的条件，剩余两人一定都说真话，可直接推出结果． 【详解】解：∵小方说“是小强打碎的”，小强说“不是我打碎的”，两人表述矛盾， ∴小方和小强必有一人说真话，一人说假话， ∵四人中只有1人说谎， ∴说谎者一定在小方和小强之中，小明和小林说的都是真话， ∵小明说“是小方打碎的”是真话， ∴打碎玻璃的是小方． 14．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）下列命题中，是真命题的是______________．（填序号） ①相等的角是对顶角． ②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． ③用根号表示的数都是无理数． 【答案】 ② 【详解】解：① 相等的角不一定是对顶角，例如两平行线被第三条直线所截得到的同位角相等，但同位角不是对顶角，因此①是假命题； ② 由垂线的基本性质可知，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此②是真命题； ③ 用根号表示的数不都是无理数，例如，是有理数，因此③是假命题． 15．（26-27八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在和中，，，，在同一直线上，下面给出四个论断：①；②；③；④． (1)任选三个为条件，余下一个为结论，写出所有的真命题（用序号○○○→○表示）． (2)在所写真命题中，选择一个真命题进行证明． 【答案】(1)①③④→②；①②④→③； (2)解：选择①③④→②，证明如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 选择①②④→③，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【分析】（1）（2）根据全等三角形的性质与判定定理分析和证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 16．（26-27八年级上·全国·课后作业）指出下列命题中的真命题和假命题，若是假命题，请举出反例： (1)两个锐角的和等于； (2)当时，一定成立． 【答案】(1)假命题． 反例：两个锐角分别为和，它们的和为，不等于（反例不唯一）． (2)真命题 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，， ∴． 17．（25-26七年级下·上海金山·期末）在学习全等三角形及其性质中例题16后，受此启发，小海和小明有了新的探究． 例16   证明：两边对应相等且其中一组等边上的中线相等的两个三角形全等． 如图，已知：在和中，，，、分别是边、上的中线，且．求证：． (1)小海发现：“两角对应相等且其中一组等角的平分线相等的两个三角形全等”是真命题． ①如图，请根据题意在图中画出示意图；并根据条件和结论，参照你的示意图，写出“已知”和“求证”； ②写出由条件推出结论的完整过程． (2)小明发现：“两边对应相等且其中一组等边上的高相等的两个三角形全等”是真命题．该结论是否正确？请简单说明理由，无需完整过程． 【答案】(1)①如图： 已知：在和中，，，平分，平分，且；求证：． ② 证明：∵平分，平分， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2)结论不正确，理由：可以构造反例：两个三角形有两边对应相等，且其中一组等边上的高相等，但这两个三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，它们不全等．如图： ，，，则与不全等． 【分析】（1）①在和中，分别作和的角平分线、； 已知：在和中，，，平分，平分，且；求证：． ② 先证明，根据证明，得，再根据即可证明； （2）结论不正确，可以举反例说明． 【详解】（1）解：①在和中，分别作和的角平分线、； ②略 （2）略 18．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图1，已知在和中，，，．在此条件下，再强化条件，分别得到下列三个命题． 命题1：若与是直角，则． 命题：若与是钝角，则． 命题：若与是锐角，则． (1)命题1为真命题，理由：__________________； (2)请将下面命题2的证明过程补充完整； 证明：如图，作交的延长线于点，交的延长线于点， ∵， ∴． 在和中， … (3)命题3是否为真命题？请画出图形，并说明理由． 【答案】(1) 命题是真命题，理由如下： 与是直角， 和是直角三角形， ，， （）； (2) 证明：如图，作交的延长线于点，交的延长线于点， ， ． 在和中， ， （）， ， 在和中， ， （）， ， 又，， （）； (3) 命题3不是真命题， 如图所示：以为圆心，长为半径画弧，交于、， 虽然，，，但是和不全等， 故命题不是真命题． 【分析】（1）根据直角三角形全等的判定定理即可得到结论； （2）由可证，可得，由可证，可得，由可证； （3）以为圆心，长为半径画弧，交于、；得和不全等． 【详解】（1）解：略； （2）略； （3）解：略． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 51 页 第 1 页 共 51 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 第23讲 认识证明 （新教材北师大版） 知识点一、命题 2 知识点二、公理、定理、证明 2 知识点三、证明的书写规范 2 知识点四、推理两类 3 知识点五、易错点 3 知识点六、核心思想 3 【题型1 判断是否是命题】 3 【题型2 写出命题的题设与结论】 4 【题型3 判断命题真假】 4 【题型4 举例说明假（真）命题】 5 【题型5 举反例】 6 【题型6 定理与证明】 6 【题型7 代数问题证明】 6 【题型8 写出一个命题的已知、求证及证明过程】 8 【题型9 已知证明过程填写理论依据】 9 【题型10 根据给出到的论断组命题并证明】 11 【题型11 以几何为背景的推理与论证】 13 【题型12 以代数为背景的推理与论证】 14 【题型13 逻辑推理与论证】 15 【探究式学习】 16 【课后检测】 18 【复盘笔记】 23 知识点一、命题 1.定义：判断一件事情的语句，叫做命题。 ✅要点：必须是判断句；疑问句、感叹句、作图语句不是命题。 2.结构：由条件和结论两部分组成，可改写成：如果……，那么…… “如果”后面是条件，“那么”后面是结论。 3.分类 · 真命题：条件成立，结论一定成立。 · 假命题：条件成立，结论不一定成立；只需举出1个反例就能证明是假命题。 知识点二、公理、定理、证明 1.公理（基本事实）：公认的、不需要证明，直接作为推理依据的真命题。 例：两点确定一条直线；两点之间线段最短。 2.定理：经过演绎证明证实为正确的真命题，可以作为后续推理的依据。 公理不需要证明；定理必须证明。 3.证明：从命题的条件出发，依据定义、公理、已证定理，一步步推理，推出结论成立的过程。 知识点三、证明的书写规范 1. 格式：已知、求证、证明 · 已知：题目给出的条件； · 求证：要证明的结论； · 证明：推理过程，每一步后面写依据（定义、公理、定理）。 2.要求：推理步步有据，不能跳关键逻辑，不能凭直观看图下结论。 知识点四、推理两类 1. 合情推理：观察、猜想、归纳、类比，用来发现结论，结论不一定正确。 2.演绎推理：严谨逻辑推导，用来证明结论，只要依据正确，结论一定成立。 证明依靠演绎推理。 知识点五、易错点 1. 命题不一定是真命题；假命题不是没有条件结论，只是结论不成立。 2. 证明时，不能用待证结论当作推理依据（循环论证）。 3. 画图只是辅助，图形观察不能代替证明。 4. 公理不需要证明；定理一定需要证明。 知识点六、核心思想 逻辑推理：用严谨的推理，确认命题是否成立。 【题型1 判断是否是命题】 【例1】（25-26八年级上·河南驻马店·期末）下列正确的选项是（   ） A．命题同旁内角互补是真命题 B．作线段这句话是命题 C．对顶角相等是定义 D．边长为1，，的三角形是直角三角形 【变式1-1】画示意图表示下列概念之间的关系：多边形；正五边形；四边形；梯形；等腰三角形；直角三角形（示意图中用序号表示对应概念） 【变式1-2】下列语句中属于定理的是（    ） A．在直线上任取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是同位角 C．对顶角相等 D．直线和垂直吗？ 【变式1-3】下列语句中，是命题的是（　　） A．你喜欢数学吗？ B．取线段的中点 C．美丽的天空 D．两直线平行，内错角相等 【题型2 写出命题的题设与结论】 【例2】（25-26八年级上·河南南阳·期中）小琪同学做了4道练习题如下，若答对一道题得10分，你认为她的得分是(    ) （1）的小数部分是；（2）命题“同位角相等”的条件是“两个角是同位角”； （3）若，则；（4）要说明命题“是负数”是假命题，可举反例． A．10分 B．20分 C．30分 D．40分 【变式2-1】下列说法不正确的是（    ） A．“相等的角是对顶角”是假命题 B．“两直线平行，同位角相等”是真命题 C．命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是“一个三角形是等边三角形” D．“若，则”是假命题的反例可以是 【变式2-2】命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是（  ） A．垂直 B．两条直线互相平行 C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线 【变式2-3】已知命题“若，则．”下列三位同学的判断中正确的有（    ） 甲同学：“该命题是真命题．” 乙同学：“该命题的结论是．” 丙同学：“若在该命题的题设中添加，都大于零，则该命题成为真命题．” A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【题型3 判断命题真假】 【例3】（26-27八年级上·甘肃张掖·开学考试）下列命题中，是真命题的是（     ） A．如果直线与相交，直线与相交，那么直线与相交 B．两个锐角互余 C．的算术平方根是 D．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 【变式3-1】下列命题中，真命题是（     ） A．若一个数的立方等于它本身，则这个数一定是 B．若一个数的绝对值等于它本身，则这个数一定是正数 C．若一个数的平方根等于它本身，则这个数是和 D．若一个数的立方根等于它本身，则这个数为、、 【变式3-2】对于下列四个命题： ①如果有两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ②如果和是对顶角，那么 ③一个角的余角一定小于这个角的补角 ④如果和互余，与的余角互补，那么和互补 真命题有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式3-3】下列说法：①所有实数都能用数轴上的点表示；②调查观众对《给阿嬷的情书》的满意度最适合采用全面调查的方式；③的平方根是；④“对顶角相等”的逆命题是假命题；⑤抽样调查的样本容量越小，对总体的估计就越准确，其中正确的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型4 举例说明假（真）命题】 【例4】（25-26八年级上·山西太原·期末）下列命题中，真命题的是（   ） A．在同一年内，如果5月4日是星期一，那么5月11日也是星期一 B．两个锐角之和一定是钝角 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式4-1】要说明命题“若，则”是假命题的反例可以是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】有下列命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． 其中假命题有(   ) A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【变式4-3】下列命题中，属于假命题的是（  ） A．两点确定一条直线 B．同角的余角相等 C．全等三角形的对应角相等 D．如果，那么 【题型5 举反例】 【例5】（25-26七年级下·上海闵行·期中）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中的可以为（    ） A．2 B．0 C． D． 【变式5-1】下列选项中，可以用来证明命题“若，则”假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】下列各组、的值能作为说明命题“，则”为假命题的反例的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】对于命题“如果，那么”，能说明该命题为假命题的反例是（　　） A．， B．， C．， D．， 【题型6 定理与证明】 【例6】有下列描述：①过点 A 作直线 AF // BC ；②连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；③两直线平行，同旁内角互补；④垂直于同一直线的两条直线互相垂直.其中是定理 的有（    ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【变式6-1】下列命题中，不是定理的是（　　） A．直角三角形两锐角互余 B．两直线平行，同旁内角互补 C．n边形的内角和为（n﹣2）×180° D．相等的角是对顶角 【变式6-2】下列能作为证明依据的是(     ) A．已知条件 B．定义和基本事实 C．定理和推论 D．以上三项都可以 【变式6-3】“定义、定理、基本事实、命题、真命题、假命题”它们之间的关系恰好可以用下图表示，请指出A，B，C，D，E，F分别与它们中的哪一个对应． 【题型7 代数问题证明】 【例7】（2026七年级下·江苏·专题练习）证明：如果一个数的平方的个位数不是5，那么这个数的个位数也不是5． 【变式7-1】证明命题 (1)求证：两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等． (2)说明“如果一个三位数的三个数位上的数字的和能被3整除，那么这个三位数也能被3整除”是真命题． 【变式7-2】证明：两个奇数之和是偶数． 【变式7-3】某数学实验小组在探究“关于x的二次三项式﹣x2+2x+3的性质”时，进行了如下活动． 【试验操作】取不同的x的值，计算代数式﹣x2+2x+3的值． (1)补充完整下列表格： x … ﹣1 0 1 2 3 … ﹣x2+2x+3 … 0 3 4 … (2)【观察猜想】实验小组组员观察表格，提出以下猜想：同学甲说：“代数式﹣x2+2x+3的值随着x的增大而增大”．同学乙说：“不论x取何值，代数式﹣x2+2x+3的值一定不大于4”．请你也提出一个合理的猜想 ； (3)【验证猜想】我们知道，猜想有可能是正确的，也有可能是错误的，请你分别判断甲、乙两位同学的猜想是否正确，若不正确，请举出反例；若正确，请加以证明． 【题型8 写出一个命题的已知、求证及证明过程】 【例8】（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）求证：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等． 【变式8-1】证明：等腰三角形两腰上的中线相等． (1)填空：已知，如图，在中，，和分别是______．求证：_____． (2)完成证明过程． 【变式8-2】证明命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边一半．    已知：如图中，，___________． 求证：___________ 证明： 请根据图形，补充完整：已知、求证，并写出详细证明过程． 【变式8-3】春天是放风筝的季节，清朝诗人高鼎在《村居》中用两句诗描绘了春天放风筝的场景：“草长莺飞二月天”，“忙趁东风放纸鸢”．我们研究的四边形中有一种叫筝形，如图1所示． 【筝形的定义】 两组邻边分别相等的四边形．即：若四边形满足且，则四边形为筝形． （）【任务】如图2是由小正方形组成的网格图，在网格中仅用无刻度的直尺和笔，画出一个顶点在格点的筝形； 【任务】某数学活动小组在探究筝形的角、对角线的性质过程中，得出以下命题： 命题：筝形有一组对角相等． 命题：筝形一条对角线垂直平分另一条对角线． 命题：筝形的每一条对角线平分一组对角． （）以上命题是真命题的有______个． （）选择其中的一个真命题，结合图1写出已知求证并对这个命题进行证明． 【题型9 已知证明过程填写理论依据】 【例9】（26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）填空： 已知：如图，，，，试说明． 解：（已知）， ________， 即． 在和中， ∵ ________（）． （________）． 【变式9-1】观察下面两式计算的结果，； 我们发现：一般地，设，有 这是什么道理呢？下面我们来证明这个结论，并在下面括号中填上依据： 一方面，__________． __________． 另一方面， 根据算术平方根的意义，可得是_________的算术平方根，即． 于是我们得到二次根式的乘法法则： (1)填空：将以上横线处填写完整． (2)计算： ① ② 【变式9-2】如图，在直线上取一点O，作，使平分．请你猜想和的数量关系，并说明理由． 其中一种解题过程如下：请在括号中注明根据，在横线上补全步骤． 解：∵， ∴ （ ）． ∴． ∴（ ）． ∵ 平分， ∴ （ ）． ∵ 是平角， ∴（ ）． ∴． ∴． ∴ ． 【变式9-3】老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【题型10 根据给出到的论断组命题并证明】 【例10】（2025八年级上·全国·专题练习）证明命题：两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等． 【变式10-1】如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题： ①；②；③． 从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由． 【变式10-2】已知：如图，在中，D，E是边上的两点，G是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①平分；②；③． 条件：_______，结论：_______．（填序号） 证明： 【变式10-3】金乡县某中学七年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队（分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加金乡县数学知识竞赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：甲：C得亚军；D得季军；乙：D得冠军；A得亚军；丙：C得冠军；B得亚军．已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为______． 【题型11 以几何为背景的推理与论证】 【例11】（24-25七年级下·四川成都·阶段检测）如图，在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，与分别交于点G，H，与交于点I．则_____． 【变式11-1】如图，有两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个半径相等的小圆，另一个大圆内有2个半径相等的小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大？猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证猜想． 【变式11-2】收集欧几里得和《原本》的有关资料，并与同伴进行交流． 【变式11-3】《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法．这种方法所体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．公理化思想 【题型12 以代数为背景的推理与论证】 【例12】（2024·湖南长沙·模拟预测）张浩有红牌和蓝牌各张，已知张浩能在一个摊位上用张红牌换张银牌和张蓝牌，还能在另一个摊位上用张蓝牌换张银牌和张红牌，若他按照上述方法继续换下去，直到手中的牌无法交换为止，则张浩手中最后有银牌（　　）张 A． B． C． D． 【变式12-1】如图A、B、C是固定在桌面上的三根小棒，其中A上有5个大小不同的圆片，从上到下，圆片的直径依次增大．现要将这5个圆片移动到B上，要求：①每次只能移动一个圆片；②圆片只能在A、B、C之间移动；③大圆片不能放在小圆片上面．那么完成这件事情最少要移动圆片（    ）    A．31次 B．33次 C．17次 D．25次 【变式12-2】长沙市某中学啦啦操队，其参赛道具于花分别装在、、三个纸箱里，不知其数，现对三个纸箱的手花进行3次调整：第一次，箱不动，在、两箱中的一箱中取出5束手花放在另一箱；第二次，箱不动，在、两箱中的一箱取出7束放在另一箱；第三次，箱不动，在、两箱中的一箱取出9束放在另一箱．经过三次调整后，、、三个纸箱各有手花10束、10束、10束，则原来箱最多有（    ）束手花． A．5 B．8 C．12 D．14 【变式12-3】为了预防新型冠状病毒的感染，人员之间需要保持一米以上的安全距离，某公司会议室共有四行四列桌椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米，为了保证更加安全，公司规定在此会议室开会时，每一行、每一列不能有连续三人就座．例如图中第一列所示情况就不满足条件（其中“√”表示就座人员）．根据该公司要求，该会议室最多可容纳的就座人数为（ ） A．12 B．11 C．10 D．9 【题型13 逻辑推理与论证】 【例13】甲、乙、丙、丁、戊、己是六名嫌疑犯，审讯他们时，他们的供词如下： 甲：“乙、戊作案了”； 乙：“甲、丁作案了”； 丙：“乙、己作案了”； 丁：“甲、丙作案了”； 戊：“甲、己作案了”． 已知案件是由两人共同作案的，这些供词中有一人是假话，其余四人都是一半真一半假．则作案的两人是（   ） A．甲、丙 B．乙、戊 C．丁、己 D．甲、戊 【变式13-1】已知甲、乙、丙三人，一位是湖南人，一位是河南人，一位是海南人，丙比海南人年龄大，甲和湖南人不同岁，湖南人比乙年龄小，由此可以推知：甲、乙、丙三人中（    ） A．甲不是海南人 B．湖南人比甲年龄小 C．湖南人比河南人年龄大 D．海南人年龄最小 【变式13-2】甲、乙、丙、丁四位同学将在学校举办的“学党史，讲党史”活动中进行演讲，要求每位演讲者只演讲一次，并且在同一时间只有一位演讲者．已知有两位演讲者在午餐前演讲，另两位演讲者在午餐后演讲，丙一定在午餐前演讲，丁在第一位或在第四位演讲，在甲和乙之间演讲的仅有一位演讲者，则第三位演讲者是（   ） A．甲 B．丙 C．甲或乙 D．乙或丁 【变式13-3】以下4位老师分别任教语文、数学、英语和科学．张老师说：我不是语文老师：王老师说：我不教数学；李老师说：我是英语老师：赵老师说：我不是数学老师，也不是科学老师．下面说法不正确的是（   ） A．张老师教科学 B．王老师教科学 C．李老师教英语 D．赵老师教语文 【探究式学习】 1．（八年级上·广西南宁·期中）【综合与实践】 阅读材料：课本第页数学活动中介绍一种新的几何图形——“筝形”．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 我们研究一种新几何图形的一般过程：先学习定义，再研究性质和判定．而性质的研究，其实就是对图形边，角，对角线等基本要素的研究．八年级某班按照这样的思路对“筝形”的性质开展研究： 第一步：根据定义剪出一个“筝形”； 第二步：用测量、折纸等方法猜想“筝形”边，角，对角形的结论； 第三步：通过证明得到性质．    解答问题： (1)猜想“筝形”的对角线有怎样的结论？请写出来． (2)请画出图形，写出已知，求证并证明得到对角线的性质． (3)从性质进一步探究可得到“筝形”的面积公式，请直接写出“筝形”的面积公式． 2.（七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）探究问题：已知，画一个角，使//，//，且DE交BC于点P．与有怎样的数量关系？ (1)我们发现与有两种位置关系：如图1与图2所示． ①图1中与数量关系为________；图2中与数量关系为________； 选择图1的情况，说明理由． ②由①得出一个真命题，请用文字叙述该命题． (2)应用②中的真命题，解决以下问题：若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的3倍少60°，求出这两个角的度数． 【课后检测】 1．（26-27八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）为证明“对于任何实数，”是假命题，下列哪个选项可以作为反例（     ） A．1 B．4 C．9 D．16 2．（26-27八年级上·浙江杭州·阶段检测）下列句子中，是命题的为（     ） A．整数一定大于零吗？ B．作一个角的角平分线 C．三角形的中线平分对边 D．将开立方 3．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27八年级上·山东聊城·开学考试）下列语句中，是定义的是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间的所有连线中，线段最短 C．两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离 D．三角形中任意两边的和大于第三边 5．（25-26七年级下·陕西安康·期末）下列选项中，能说明命题“任何偶数都是的整数倍”是假命题的反例是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·重庆铜梁·期末）下面命题为真命题的是（     ） A．如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等； B．若，满足，，则； C．在平面直角坐标系中，点P的坐标是，轴，且，则点一定在第二象限； D．若，为整数，则最小值是． 7．（25-26七年级下·福建福州·期末）下列命题：①相等的角是对顶角；②三角形的三条高线交于一点；③三角形的重心是三条角平分线的交点；④三条边对应相等的两个三角形全等．其中真命题有（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 8．（25-26七年级下·湖北黄冈·期中）下列命题不正确的是（    ） A．一个数的立方根等于本身的数有、和 B．实数与数轴上的点一一对应 C．一个数的算术平方根等于它本身的数只有 D．无限不循环小数叫做无理数 9．（八年级上·河南郑州·期末）下列命题为真命题的是（   ） A． B．一个等腰三角形的两边长分别为8和4，则它的周长等于20或16 C．某校为了解学生在校一周体育锻炼时间的情况，随机调查了30名学生，调查结果如表所示，则这30名学生在校一周体育锻炼时间的中位数和众数分别为， 锻炼时间 5 6 7 8 人数 7 10 7 6 D．有两边及第三边上的高对应相等的两个锐角三角形全等 10．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）下面四个命题： ①一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ②一个有理数与一个无理数的积一定是无理数； ③两个无理数的和一定是无理数； ④两个无理数的积一定是无理数． 其中真命题的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（26-27八年级上·黑龙江绥化·开学考试）命题“若，则”是______________命题．（选填“真”或“假”） 12．（26-27九年级上·北京西城·开学考试）请写出能判断命题“若，则”是假命题的一组实数，的值：_____，_____． 13．（26-27七年级上·湖南长沙·开学考试）四个小朋友踢球，不小心打碎了玻璃，四人中只有1人说谎．小方说：是小强打碎的；小强说：不是我打碎的；小明说：是小方打碎的；小林说：我没打碎．打碎玻璃的是：__________．（填人名） 14．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）下列命题中，是真命题的是______________．（填序号） ①相等的角是对顶角． ②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． ③用根号表示的数都是无理数． 15．（26-27八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在和中，，，，在同一直线上，下面给出四个论断：①；②；③；④． (1)任选三个为条件，余下一个为结论，写出所有的真命题（用序号○○○→○表示）． (2)在所写真命题中，选择一个真命题进行证明． 16．（26-27八年级上·全国·课后作业）指出下列命题中的真命题和假命题，若是假命题，请举出反例： (1)两个锐角的和等于； (2)当时，一定成立． 17．（25-26七年级下·上海金山·期末）在学习全等三角形及其性质中例题16后，受此启发，小海和小明有了新的探究． 例16   证明：两边对应相等且其中一组等边上的中线相等的两个三角形全等． 如图，已知：在和中，，，、分别是边、上的中线，且．求证：． (1)小海发现：“两角对应相等且其中一组等角的平分线相等的两个三角形全等”是真命题． ①如图，请根据题意在图中画出示意图；并根据条件和结论，参照你的示意图，写出“已知”和“求证”； ②写出由条件推出结论的完整过程． (2)小明发现：“两边对应相等且其中一组等边上的高相等的两个三角形全等”是真命题．该结论是否正确？请简单说明理由，无需完整过程． 18．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图1，已知在和中，，，．在此条件下，再强化条件，分别得到下列三个命题． 命题1：若与是直角，则． 命题：若与是钝角，则． 命题：若与是锐角，则． (1)命题1为真命题，理由：__________________； (2)请将下面命题2的证明过程补充完整； 证明：如图，作交的延长线于点，交的延长线于点， ∵， ∴． 在和中， … (3)命题3是否为真命题？请画出图形，并说明理由． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 51 页 第 1 页 共 51 页 学科网（北京）股份有限公司 $