第17讲 二元一次方程与一次函数（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年北师大版八年级数学上册

简一数理 初中专题讲义 第17讲 二元一次方程与一次函数 （新教材北师大版） 知识点一、核心关系 2 知识点二、三种位置关系（必考） 2 知识点三、用图像法解二元一次方程组（步骤） 3 知识点四、利用二元一次方程组求一次函数解析式 3 知识点五、易错点 3 知识点六、数学思想 3 【题型1 求一次函数解析式】 3 【题型2 两直线的交点与二元一次方程组的解】 6 【题型3 图像法解二元一次方程组】 10 【题型4 求直线围成的图形面积】 13 【题型5 一次函数与方程组的解的情况（平行 / 重合 / 相交）】 17 【题型6 利用一次函数图像解不等式】 19 【题型7 动点背景下一次函数与方程组综合】 22 【探究式学习】 30 【课后检测】 34 【复盘笔记】 50 知识点一、核心关系 1. 二元一次方程与一次函数的转化 二元一次方程 ax+by=c(b≠0)，可以变形为一次函数：。 · 以二元一次方程的每一组解 (x,y)为坐标的点，都在对应的一次函数图像（直线）上； · 一次函数直线上每一个点的坐标 (x,y)，都满足对应的二元一次方程。 一句话：方程的解 ↔ 直线上点的坐标。 2. 二元一次方程组与两条直线 方程组 的解 (x,y)，就是两条直线 ， 的交点坐标。 知识点二、三种位置关系（必考） 设方程组，对应两条直线 1. ：两直线相交，有唯一交点，方程组有唯一一组解 2. ：两直线平行无交点，方程组无解 3. ：两直线重合，方程组有无数组解 记忆：比值不等相交；比值相等常数不等平行；全都相等重合。 知识点三、用图像法解二元一次方程组（步骤） 1. 把两个二元一次方程都化成一次函数 y=kx+b形式； 2. 在同一平面直角坐标系画出两条直线； 3. 读出两条直线交点的横(k、b)纵坐标； 4. 写出方程组的解。 ⚠️ 图像法缺点：画图读数会有误差，适合粗略求解，精确计算还是用代入/加减消元法。 知识点四、利用二元一次方程组求一次函数解析式 已知一次函数图像上两个点 ，，设解析式 y=kx+b，把两点代入，得到关于 k,b 的二元一次方程组，解出 k、b，即可写出函数表达式。（待定系数法） 知识点五、易错点 1. 二元一次方程变形为一次函数时，移项注意符号； 2. 判断平行/重合，要化成标准比例，不能只看k； 3. 方程组的解是一组x、y，交点坐标是 (x,y)，书写格式不要混淆； 4. 只有b≠0时，二元一次方程才能表示一条一次函数直线。 知识点六、数学思想 数形结合思想：把代数方程（数）和函数图像（形）互相转化。 【题型1 求一次函数解析式】 【例1】定义：对于给定的一次函数（、为常数，且，把形如的函数称为一次函数的“相依函数”，已知一次函数，若点在这个一次函数的“相依函数”图象上，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】找出一次函数的“相依函数”，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出m的值． 【详解】解：一次函数的“相依函数”为， ∵点P（−2，m）在一次函数的“相依函数”图象上， ∴m＝−1×（−2）−1＝1． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据“相依函数”的定义，找出一次函数的“相依函数”是解题的关键． 【变式1-1】已知一次函数的图象与直线平行，且过点，那么此一次函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两条直线相交或平行问题，关键掌握当k相同，且b不相等，图象平行； 设所求一次函数的解析式为 ，根据图象与直线平行可得，将代入即可解答． 【详解】解：设所求一次函数的解析式为 ， 函数的图象与直线平行， ， 又过点，有， 解得， 一次函数的解析式为， 故选：B． 【变式1-2】小华用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系内作出了两个一次函数的图象，，如图所示，则小华解的这个方程组是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组与一次函数的关系，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 两个一次函数的交点为两个一次函数解析式所组成方程组的解．因此本题需根据图中直线所经过的点的坐标，用待定系数法求出两个一次函数的解析式．然后联立两个函数的解析式，即可得出所求的方程组． 【详解】解：设直线的函数解析式为， 由图可知，直线过，， ，解得， ∴直线的函数解析式为． ， ． 设直线的函数解析式为， 由图可知，直线过，， ，解得， ∴直线的函数解析式为． ． 因此所求的二元一次方程组为． 故选：A． 【变式1-3】已知一次函数（为常数，且）的图象经过点，且与轴的交点坐标为，则下列关于该一次函数的说法，正确的是（    ） A．该一次函数的图象可能是由函数的图象平移得到 B．该一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积可能为2 C．该一次函数的图象与轴交于正半轴 D．该一次函数的图象不经过第一象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数的性质等知识点，先求出一次函数的解析式，然后再运用一次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵一次函数（为常数，且）的图象经过点，且与轴的交点坐标为， ∴，解得：， ∴函数解析式为：， ∵， ∴， 即，则一次函数图象不经过第一象限，故D选项正确； ∵ ∴该一次函数的图象不可能是由函数的图象平移得到，故A选项错误； 如图所示，设点分别为一次函数与轴的交点， ∵一次函数（为常数，且）的图象经过点，且与轴的交点坐标为， ∴该一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积大于，故B错误 ∵ ∴该一次函数的图象与轴交于负半轴，故C选项错误 故选：D． 【题型2 两直线的交点与二元一次方程组的解】 【例2】一次函数与（，是常数且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数图象与系数的关系，由其中一条直线的图象确定、的符号，再判断另一条直线的图象位置，验证符号是否自洽，即可得到正确结果． 【详解】解：、如图所示： 假设①的表达式为，则，， ， 对于一次函数，图象下降，且与轴负半轴相交，图②能表示一次函数图象，该选项符合题意； 、如图所示： 假设①的表达式为，则，， ， 对于一次函数，图象上升，且与轴负半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； 、如图所示： 假设①的表达式为，则，， ， 对于一次函数，图象与轴负半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； 、如图所示： 假设①的表达式为，则，， ， 对于一次函数，图象与轴正半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； 故选：． 【变式2-1】若一次函数（、为常数，且）与一次函数的图象交点的横坐标为2，则关于、的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：当时，， ∵一次函数（、为常数，且）与一次函数的图象交点的横坐标为2， ∴一次函数（、为常数，且）与一次函数的图象交点坐标为， ∴关于、的方程组的解是． 【变式2-2】如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线与相交于点求得，即可得到关于的方程的解． 【详解】解：∵直线与相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴关于的方程的解是． 【变式2-3】如图，一次函数的图象经过点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点，则下列结论中：①；②方程的解为；③点的坐标为；④当时，．正确的是（     ） A．①③④ B．②③④ C．①④ D．①② 【答案】C 【分析】由一次函数和正比例函数的图象经过的象限判断出的符号，即可判断①；由两函数图象的交点坐标可判断②和④；利用待定系数法求出一次函数的解析式，进而求出点坐标，即可判断③，综上即可求解． 【详解】解：①由一次函数的图象经过一、二、四象限， ∴， ∵正比例函数的图象经过一、三象限， ∴， ∴，故①正确； ②∵一次函数的图象与正比例函数的图象交于点， ∴方程的解为，故②错误； ③把和代入， 得， 解得， ∴一次函数， 令，则， 解得， ∴点的坐标为，故③错误； ④由函数图象可知，当时，正比例函数的图象位于一次函数的图象上方， ∴当时，，故④正确； 综上，正确的结论是①④． 【题型3 图像法解二元一次方程组】 【例3】小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数的图像，如图所示，通过观察此图像，下列说法错误的是（    ） A．点在的图象上 B．若，则 C．最多有三个实数根 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的图象与性质，依据题意，根据函数的图象逐个分析判断可以得解．解题时要熟练掌握并能通过图象分析是关键． 【详解】解：由题意，对于A，当时，， ∴点在的图象上，故A正确，不合题意； 对于B，结合图象可得 若，则， ∴B错误，符合题意； 对于C，∵函数与直线的交点如图所示， ∴函数与直线的交点最多3个． ∴方程最多有三个实数根，故C正确，不符合题意； 对于D，结合图象可得，当时，随的增大而减小， ∴D正确，不合题意． 故选：B． 【变式3-1】对于每个，函数是、这两个函数中的最小值，则函数的最大值是(    ) A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】根据图像可知，这个最大值在两函数的交点处取得． 【详解】解：分别画出函数、的图像如下：    则函数y的图像如图中粗线所示， 由图可知，交点处取得y的最大值， 联立方程组得：， 解得：， ∴当时，函数有最大值． 【点睛】本题考查一次函数的图像与性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【变式3-2】若直线和相交于点，则方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得直线和直线关于原点对称的直线，由题意得出点P的对应点，根据方程组的解和直线交点的关系即可求得． 【详解】解：直线和关于原点对称的直线为y=mx+3和， ∵直线和相交于点P（2，3）， ∴直线y=mx+3和y=2xn相交于点（2，3）， ∴方程组的解为； 故选：D． 【点睛】本题考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，题目比较典型，求得直线关于原点的对称直线是解题的关键． 【变式3-3】用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图易知两条直线分别经过（1，1）、（0，-1）两点和（0，2）、（1，1）两点，设出两个函数的解析式，然后利用待定系数法求出解析式，再根据所求的解析式写出对应的二元一次方程，然后组成方程组便可解答此题. 【详解】由图知，设经过（1，1）、（0，-1）的直线解析式为y=ax+b（a≠0）. 将（1，1）、（0，-1）两点坐标代入解析式中，解得 故过（1，1）、（0，-1）的直线解析式y=2x-1，对应的二元一次方程为2x-y-1=0. 设经过（0，2）、（1，1）的直线解析式为y=kx+h（k≠0）. 将（0，2）、（1，1）两点代入解析式中，解得 故过（0，2）、（1，1）的直线解析式为y=-x+2，对应的二元一次方程为x+y-2=0. 因此两个函数所对应的二元一次方程组是 故选D 【点睛】此题考查一次函数与二元一次方程（组），解题关键在于要写出两个函数所对应的二元一次方程组，需先求出两个函数的解析式. 【题型4 求直线围成的图形面积】 【例4】如图，直线与轴交于点，与轴交于点．有下列说法：①A点坐标为；②B点坐标为；③线段；④原点到直线的距离是；⑤在轴上存在一点，使得的面积为5，则点的坐标为或．其中正确的个数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】求点A坐标：因为x轴上点的纵坐标为0，所以将代入直线方程，解出x即可得到A点坐标； 求点B坐标：因为y轴上点的横坐标为0，所以将代入直线方程，解出y即可得到B点坐标； 计算线段长度：因为A、B是直角三角形的两个顶点，为直角，所以用勾股定理计算； 求原点到直线的距离：可以用等面积法，即的面积等于，也等于原点到的距离，列等式求解； 求满足条件的P点坐标：因为P在x轴上，所以的高为B点纵坐标的绝对值，底为的长度，根据三角形面积公式列方程，解出的长度，再结合A点坐标得到P的坐标，注意P可在A点左侧或右侧． 【详解】①：A是直线与x轴交点， 令，代入， 得， 解得， 因此，故①正确； ②：B是直线与y轴交点， 令，代入， 解得， 因此，故②正确； ③：在中，由勾股定理： ，③正确； ④：设原点到的距离为，利用面积相等： ， 代入得， 解得，故④正确； ⑤：设，则， ，代入 得， 解得，即或， ∴或，故⑤正确． 【变式4-1】在平面直角坐标系中，直线（、为常数，且）经过和两点，将直线向下平移个单位长度得到直线，则下列关于直线的说法，错误的是（     ） A．直线不经过坐标原点 B．的值随的增大而增大 C．与坐标轴围成的三角形面积为 D．当时， 【答案】D 【分析】先求出直线的解析式，再根据平移规律得到的解析式，逐一判断选项即可得到错误说法． 【详解】解：∵直线经过和， ∴代入坐标得， 解得， ∴的解析式为， 将向下平移个单位长度，得的解析式为． A选项：把代入，得，∴不经过坐标原点，A说法正确； B选项：∵对于，其一次项系数，∴的值随的增大而增大，B说法正确； C选项：令，得，解得，即与轴交点为；令，得，即与轴交点为，∴与坐标轴围成的三角形面积为，C说法正确； D选项：令，得，解得，即只有当时才有，∴D说法错误； 【变式4-2】如图，已知直线：与直线：交于点，交轴于点，交轴于点，将线段沿方向平移，当与重合时，线段扫过的面积为（     ） A．24 B．12 C．6 D．3 【答案】B 【分析】先分别求出点和点的坐标，得到的长度，根据题意线段扫过的图形是平行四边形，利用平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】已知直线为，且交轴于点， 令，解得，所以点的坐标为， 已知直线为，且交轴于点， 令，解得，所以点的坐标为， 所以． 联立直线和直线的方程组。 ， 由，得，解得， 将代入中，可得， ∴交点的坐标为， 将线段沿方向平移，当与重合时，点动到点处，如图所示： ∵线段在轴上，且平移方向为， ∴线段扫过的图形是平行四边形， ∵点的坐标为，所以点到轴的距离为， ∴线段扫过的面积为． 【变式4-3】已知直线与x轴交于点A，与直线交于点B．则的面积为（     ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题先根据x轴上点的坐标特征求出点A的坐标，再联立两条直线的解析式求出交点B的坐标，最后利用三角形面积公式计算的面积. 【详解】解：∵ ∴当时，，解得， ∴，即， 联立，解得， ∴交点的坐标为， ∵为坐标原点，在x轴上， ∴. 【题型5 一次函数与方程组的解的情况（平行 / 重合 / 相交）】 【例5】直线与直线的图象如图所示，则方程组的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先把代入求出，即可得出两条直线的交点坐标为，从而得出方程组的解． 【详解】解：把代入得：， ∴两条直线的交点坐标为， ∴方程组的解为． 【变式5-1】我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．若函数和函数的图象如图所示，则关于，的二元一次方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数和函数的图象相交于点，根据交点的意义，得到方程组的解． 【详解】解：∵函数和函数的图象相交于点， ∴方程组的解为． 【变式5-2】若关于的方程组无解，则下列结论正确的是（） A．直线与直线的交点在第一象限 B．直线与直线的交点为 C．直线不经过第一象限 D．直线交轴于负半轴 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图像与二元一次方程组的解之间的联系，得到两直线平行是解题的关键． 根据方程组无解得出两直线平行，求出k的值，再逐一分析选项判断正误． 【详解】解：∵关于的方程组无解， ∴直线与直线平行， 即，解得， 两直线平行，无交点，故A、B错误； 将代入，得， ∵斜率，截距， ∴直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故C正确； 将代入，得，当时，， 即直线交y轴于正半轴，故D错误． 故选：C． 【变式5-3】已知关于、的二元一次方程组无解，则一次函数的图象经过的象限是（   ） A．一、二、四 B．二、三、四 C．一、三、四 D．一、二、三 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）的关系，一次函数的性质，根据方程组无解可知两条直线无交点，即两直线平行，从而列方程求得k的值，然后再根据一次函数图象性质作出判断． 【详解】解：∵关于、的二元一次方程组无解， ∴直线与直线无交点，即两直线平行， ∴， 解得：， 当时，一次函数， 其函数图象经过第一、二、四象限， 故选：A． 【题型6 利用一次函数图像解不等式】 【例6】已知一次函数（，k、b是常数）的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 0 1 2 … y … 8 6 4 2 0 … 则下列结论正确的是（   ） A．y的值随x值的增大而增大 B．图像不经过第一象限 C．当时， D．不等式的解集是 【答案】D 【分析】本题主要考查运用待定系数法示一次函数解析式，一次函数的图象与性质，先求出一次函数的解析式，再根据函数的图象与性质求解即可． 【详解】解：把，代入得，， 解得，， 所以，一次函数解析式为， ∵ ∴y的值随x值的增大而减小，故选项A不正确； ∵， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选项B不正确； 由表格中数据可知，当时，，故选项C不正确； 不等式的解集是，故选项D正确， 故选：D． 【变式6-1】一次函数y＝ax+b与y＝mx+n的图象在同一平面直角坐标系中的位置如图所示，一位同学根据图象写出以下信息：①ab＜mn；②不等式mx+n≥ax+b的解集是x≤1；③方程组的解是．其中信息正确的有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】根据两直线经过的象限判断系数的符号即可判断①；直线y＝ax+b在y＝mx+n下方的部分对应的x的取值范围就是不等式mx+n≥ax+b的解集，由此判断②；直线y＝ax+b在y＝mx+n的交点坐标就是方程组的解，由此判断③． 【详解】解：如图，∵直线y＝ax+b经过一、二、三象限， ∴a＞0，b＞0， ∴ab＞0 ∵直线y＝mx+n经过一、二、四象限， ∴m＜0，n＞0， ∴mn＜0， ∴ab＞mn，故①错误； ∵当x≤1时，直线y＝ax+b在y＝mx+n下方， ∴不等式mx+n≥ax+b的解集是x≤1，故②正确； ∵直线y＝ax+b与y＝mx+n的交点坐标为（1，3）， ∴方程组的解是，故③正确． 故选：B． 【点睛】考核知识点：一次函数．理解一次函数的性质，特别是一次函数与方程组的关系是解题关键． 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交点为，与y轴交点为B，且与正比例函数的图象交于点． (1)求m的值及一次函数的表达式． (2)观察函数图象，直接写出关于x的不等式的解集． (3)直接写出的面积． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】（1）首先利用待定系数法把代入正比例函数中，计算出m的值，进而得到C点坐标，再利用待定系数法把A、C两点坐标代入一次函数中，计算出k、b的值，进而得到一次函数解析式． （2）根据图象解答即可； （3）先求出B点坐标，再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图象上， ，即点C坐标为， 一次函数经过、点， ， 解得：， 一次函数的表达式为； （2）由图象可得不等式的解为：； （3）一次函数与y轴交于B， ， 点C坐标为， ． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式等知识，根据待定系数法把A、C两点坐标代入一次函数中，计算出k、b的值是解题关键． 【变式6-3】如图，函数和的图象相交于点，可知关于x的不等式的解集为，那么关于x、y的二元一次方程组的解为______． 【答案】 【分析】先根据函数图象找出两函数图像的交点坐标，再得出方程组的解即可． 【详解】解：二元一次方程组，可化为 根据图象可知：函数和的图象的交点的坐标是， 所以关于，的方程组的解为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，能根据图像得出交点坐标是解此题的关键． 【题型7 动点背景下一次函数与方程组综合】 【例7】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)在图中作出关于轴的对称图形，并写出点关于轴的对称点的坐标：___________； (2)点为轴上一动点，且使得周长最小，写出点的坐标，及计算最小周长； (3)点在轴上，若，请写出点的坐标． 【答案】(1) (2)，最小周长为 (3)点F的坐标为或 【分析】（1）作出点A、B、C三个顶点的对称点、、，然后顺次连接，最后根据平面直角坐标系写出点C关于y轴的对称点的坐标即可； （2）连接，先求出的解析式，从而求出点P的坐标，最后利用两点之间距离公式求得的长，再加上的长即可求得的最小周长； （3）设，由，，，得，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点C作关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则点P即为所求， ∵点C关于y轴的对称点， ∴， ∴， ∴当A、P、在同一条直线上时，最小， ∴此时最小， ∴此时的周长最小， 设直线为：， 将，代入得 ，解得：， ∴直线为：， 当时，， ∴， ∴． （3）解：设， ，，， ∴， ∴， ∴点F的坐标为或． 【变式7-1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段的中点． (1)求直线的函数解析式； (2)若点C是射线上的动点，且，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由分别令和求出、坐标，再由为中点得坐标，用待定系数法求直线解析式． （2）由题意，求出，，设点的横坐标为，用表示的面积，求即可． 【详解】（1）解：令，，解得， ， 令，， ， 为线段的中点， ， 设直线的解析式为， 将、代入得： ， 解得， 直线的函数解析式为． （2）解：，，，， ， ， ， 点、均在轴上，， 设点的横坐标为， ， ，解得， 点在射线上，射线从出发经过向第二象限延伸， ， 当时，代入得， ， 当时，代入得， ， 点的坐标为或． 【变式7-2】在平面直角坐标系中，直线：经过点，． (1)求直线的函数解析式； (2)点坐标为，过点的线段，垂足为点，求的面积； （提示：若直线：与直线：互相垂直，则） (3)点为轴上一动点，是否存在以、、为顶点的等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线解析式为 (2) (3)存在．符合条件的点M坐标是，，， 【分析】（1）利用待定系数法求直线解析式即可． （2）利用待定系数法求出线段的解析式，联立直线和线段的解析式求出点P的坐标，再根据三角形面积公式求解即可． （3）根据等腰三角形的定义分三种情况求解即可． 【详解】（1）解：把，代入中， 则， 解得， 故直线解析式为． （2）解：由（1）知直线解析式为，， 根据提示可知：线段的， 设线段的解析式为：， 把点坐标为代入中， 则， 解得：， 故线段的解析式为：， 联立直线和线段的解析式：， 解得：， ∴， ∴． （3）解：设点M的坐标为， ∵，， ∴， 当时，， 解得：或， 此时：或； 当时，，即， 解得：或， 当时，与点C重合，舍去 此时：； 当时，，即， 解得， 此时； 故存在，综上符合条件的点M坐标是，，，． 【变式7-3】如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．点为的中点，点在线段上，且，点为线段上一动点，连接，，． (1)求直线的表达式； (2)若的面积为20，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出、坐标，用待定系数法求一次函数解析式； （2）设动点在上，设，，列方程求解，再写出坐标． 【详解】（1）解：令，得， 令，，，得， 又为中点，， 则，故； 又， 设,， , , ，故， 设直线解析式为， 将，代入得： ， 解得， 直线表达式：． （2）解：，，设， ， 代入坐标： ， 由题： ， ， 此时， 得． 【探究式学习】 1.【问题背景】 由于新能源汽车依靠电能驱动，可减少二氧化碳等有害气体排放，达到节能环保的目的，从而成为现代家庭的优先选择． 【实验操作】 为了解汽车电池充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组开展综合与实践活动，记录如下． 任务一：采集数据 探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量与行驶里程（千米）的关系（不考虑其它因素情况下），数据记录如下表： 汽车行驶过程 已行驶里程（千米） … … 显示电量（） … … 任务二：建立模型    根据表中的数值描点，通过描点，连线，分析数据和图象，确定是的一次函数． 根据以上信息，回答下列问题： (1)求出与之间的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)求出的值； 【解决问题】 (3)某电动汽车在显示电量为的状态下出发，电动汽车行驶千米后，仪表盘显示是否有电，电量为多少？ 【答案】(1) (2)40 (3)仪表盘显示有电，电量为 【分析】（1）利用待定系数法求表达式即可． （2）由（1）可知表达式，代入数据即可求出值． （3）利用一次函数表达式求解即可． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为， 将，代入解析式，得           解得 ∴一次函数解析式为． （2）解：由（1）知一次函数表达式， 当时，代入， 解得． （3）解：当显示电量为％的状态时，令，代入解析式得 ， 电动汽车行驶千米后，可得电动车共行驶（千米），          ∴令并代入解析式，得解得， 答：仪表盘显示有电，电量为． 2．学习一次函数时，我们从“数”和“形”两个方面研究一次函数的性质．请运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． 【初步感知】： （1）列表： 0 1 2 3 1 3 （2）描点： （3）连线 【问题解决】 (1)表格中的值为______，的值为______； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象． 【探究性质】 (3)观察函数的图象，判断下面关于该函数图象性质的命题： ①该函数图象是轴对称图形； ②当时，的值随值的增大而减小； ③当时，该函数存在最小值，最小值为； ④当时，． ⑤若，两点都在该函数图象上，且，则． 其中正确的是_______________．（请填写正确命题的序号） (4)在同一坐标系中画出一次函数的图象，并根据图象直接写出方程组的解为__________________________． 【答案】(1)， (2)画出函数图象如下： (3)①③⑤ (4)， 【分析】（1）分别将和代入求解即可； （2）利用描点法作图即可； （3）根据画出的函数图象分析即可； （4）方程组的解就是两个函数图象的交点坐标，求出交点坐标即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 故； 把代入， 得， 故； （2）解：（1）列表： 0 1 2 3 1 3 （2）描点（3）连线，略 （3）解：①该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线，描述正确； ②当时，的值随值的增大而增大，原描述错误； ③当时，该函数存在最小值，最小值为，描述正确； ④当时，则， ∴， 解得：或．原描述错误； ⑤若，两点都在该函数图象上，且， ∴， ∴．原描述正确； 综上：正确的是①③⑤. （4）解：列表如下： 描点画图如下： 根据图象直接写出方程组的解为，. 【课后检测】 1．将一次函数的图象向下平移3个单位长度后，得到的新图象的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由“上加下减”的原则即可求解． 【详解】解：∵将一次函数的图象向下平移3个单位长度， ∴新图象的函数关系式为． 2．已知直线和交于点，则关于，的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将直线解析式变形为对应二元一次方程，两条直线交点坐标就是对应方程组的解，直接写出答案． 【详解】解：变形得，变形得， 方程组的解就是直线与交点的坐标． 直线和交于点， ∴关于，的方程组的解是． 3．直线沿轴向下平移2个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将直线沿轴向下平移2个单位长度，得，即． 4．在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于的方程组的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线交点坐标与对应二元一次方程组解的关系求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵直线与相交于点， ∴该方程组的解为． 5．如图，直线与的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵直线与的图象交于点， ∴关于x，y的二元一次方程组的解是． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，若是折线上的点，则满足条件的点P有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】分当点P在段上时和当点P在段上时（先求出的解析式），进行讨论求解即可． 【详解】解：当点P在段上时，由图可得，段在x轴上， ∴点满足， ∴点P的横坐标为， ，符合段的横坐标范围， 该点存在； 当点P在段上时，设线段的解析式为， 将、代入， 得， 解得， ∴线段的解析式为，其中横坐标范围， 将代入解析式得， 解得， ∴点P的横坐标为， ，符合段的横坐标范围， 该点存在， 综上所述，满足条件的点P共有2个． 7．已知、两地相距，上午时，亮亮从地步行到地，时芳芳从地出发骑自行车到地，亮亮和芳芳两人离地的距离与亮亮所用时间之间的函数关系如图所示，芳芳到达地时间为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知：亮亮距离A地的距离随着时间的增大而增大，芳芳至由于没出发，故，后芳芳往A地走，故S随着时间的增大而减小．然后根据条件分别求出亮亮与芳芳S与t的函数关系式，再将代入芳芳S与t的函数关系式中求解即可． 【详解】解：由题意可知： 设亮亮S与t的函数关系式为：， 把代入，即，解得： ， ∴亮亮S与t的函数关系式， 当时，，解得：， 设芳芳S与t的函数关系式为：， 把和代入， ，解得：， ∴， 令代入，即，解得：， ∴芳芳到达A地的时间是． 8．人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为，小数和小文行走的路程分别为与之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（     ）    A．小数比小文先出发15秒 B．小文提速后的速度为 C． D．从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距 【答案】D 【分析】从函数图像获取信息．根据图象信息求出运动速度进而判断选项A，B，C；分别求得各段的函数解析式，结合函数图象即可判断D选项． 【详解】解：A、结合图象可知，小数比小文早出发秒，故选项A正确，不符合题意； B、∵当时，，当时，， ∴小文提速前的速度是， ∵小文出发一段时间后速度提高为原来的2倍， ∴小文提速后速度为，故选项B正确，不符合题意； C、∵小文提速后行走所用时间为， ∴， ∴， ∴小数的速度为， ∴，故选项C正确，不符合题意； D、设段对应的函数表达式为， 将点代入，得，解得， ∴， ①当时，小数和小文之间的距离最大值为； ②当时，设， 将、代入，得，解得， ∴， ∴小数和小文之间的距离为， 当时，取最大值，最大值为； ③设段对应的函数表达式为， 将、代入，得，解得， ∴， 故当时， 小数和小文相遇前的距离为， 当时，取最大值，最大值为； 小数和小文相遇后的距离为， 当时，取最大值，最大值为； ④当时，小数和小文之间距离最大值为． 综上所述，从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距，故选项D错误，符合题意． 9．如图，在平面直角坐标系中，，过点的直线交线段于点，交轴于点，若，则点的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用待定系数法求出直线的解析式，设，直线的解析式为，可得，求出，然后根据求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为，把代入，得 ， 解得， ∴， 设，直线的解析式为， ， 解得， ∴， 当时， ， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 10．一次函数与（，是常数且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数图象与系数的关系，由其中一条直线的图象确定、的符号，再判断另一条直线的图象位置，验证符号是否自洽，即可得到正确结果． 【详解】解：、如图所示： 假设①的表达式为，则，， ， 对于一次函数，图象下降，且与轴负半轴相交，图②能表示一次函数图象，该选项符合题意； 、如图所示： 假设①的表达式为，则，， ， 对于一次函数，图象上升，且与轴负半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； 、如图所示： 假设①的表达式为，则，， ， 对于一次函数，图象与轴负半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； 、如图所示： 假设①的表达式为，则，， ， 对于一次函数，图象与轴正半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； 故选：． 11．定义：在函数中，我们把关于的一次函数与称为一组“交叉相反函数”，例如函数与是一组“交叉相反函数”，请完成下列问题： （1）一次函数的“交叉相反函数”的图象在轴上的截距为___________． （2）若一次函数的“交叉相反函数”的图象与轴交于点，与轴交于点，且三角形的面积为8，则的值为___________． 【答案】 3 8 【分析】（1）先根据“交叉相反函数”的定义写出一次函数的“交叉相反函数”的解析式，再令，求出对应的y值即可； （2）先求出的“交叉相反函数”，再求出，的长度，利用三角形面积公式列出等式，即可求解． 【详解】解：（1）根据“交叉相反函数”的定义， 可知一次函数的“交叉相反函数”是， 当时，， ∴一次函数在y轴上的截距为3； （2）根据“交叉相反函数”的定义， 可知一次函数的“交叉相反函数”为， 当时，， ∴点B坐标为， ∵， ∴， 当时，， ∴点A坐标为， ∴， ∵三角形的面积为8， ∴， 解得：，（舍去）， ∴k的值为8． 12．如图，一次函数的图象与轴交于点，点是线段上一点．过点作轴的垂线，直线与一次函数的图象交于点，与正比例函数的图象交于点．当点与点关于轴对称时，_____． 【答案】 【分析】设的长度为参数，因为点B在y轴上，所以点B纵坐标为，直线是平行于轴的直线，解析式为．联立和，可求出点的横坐标；联立和，可求出点的横坐标．因为关于轴对称的两点横坐标互为相反数，纵坐标相等，所以可列出关于的方程，求解方程得到的长度． 【详解】解：设， ∵直线垂直于轴，点在轴上， ∴直线上所有点的纵坐标都等于． 把代入一次函数， 得， 解得， ∴． 把代入正比例函数， 得， 解得， ∴． ∵两点关于轴对称时，纵坐标相等，横坐标互为相反数， ∴ 即， 解得， ∴． 13．在长方形中，，点从点出发，沿边向点以的速度运动（点不与点重合）；点是边上任意一点．设点的运动时间为，三角形的面积为，则关于的函数表达式为：_________． 【答案】 【分析】由题意得，，则，再由三角形面积公式即可建立关系式． 【详解】解：由题意得，，则， ∵四边形是长方形， ， ∴之间的距离相等，都等于， ． 14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与x轴相交于点B，与y轴交于点D，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1． (1)求k，b的值； (2)M为直线上一点，过点M作y轴的平行线，交于点N，当时，求M点的坐标． 【答案】(1)的值是，的值是4 (2)点坐标为或 【分析】（1）由直线过点，且点的横坐标为1，可求得点的坐标，由直线经过、两点，用待定系数法即可求得，的值； （2）由直线的解析式可求得点的坐标，从而得的长，设点的横坐标为，则可表示点、的坐标，从而表示，由列方程即可求得的值，则可得点的坐标． 【详解】（1）解：正比例函数的图象过点C，点C的横坐标为1，代入得， ∴， ∵一次函数的图象经过点，， ∴， 解得， 的值是，的值是4； （2）解：由（1）知，直线的解析式为， 点坐标为， ． 设点的横坐标为，则，， ， ， 解得：或， 即点坐标为或． 15．如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． (1)求A，B两点的坐标； (2)过B点作直线与x轴相交于点P，且使，求的面积． (3)在（2）的条件下，求直线的解析式． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）分别令，，计算即可求解； （2）根据“”求出，从而求出点，计算即可； （3）根据点的坐标分类讨论，利用待定系数法即可求解. 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，，解得， ， 则，； （2）解：， ， ， ， 或， 当时，，； 当时，，； 的面积为或； （3）解：设直线的解析式为， 当过点，时， ，解得， ； 当过点，时， ，解得， ； 综上所述，直线的解析式为或． 16．如图，直线与轴，轴分别交于点，，过点的直线交轴于点，交直线于第二象限的点，且三角形与三角形的面积相等． (1)求直线的函数解析式； (2)若点在直线上，过点作轴的垂线交轴于点、交直线于点，且，求点的坐标； (3)将直线沿轴向下平移个单位长度（），平移后的直线交轴于点．若三角形的面积为，则_________（直接写出答案）． 【答案】(1)； (2)； (3)或 【分析】（1）根据三角形与三角形的面积相等，求出，利用待定系数法求出直线的函数解析式． （2）设点，根据垂直于轴，且，直接计算即可． （3）直线沿轴向下平移个单位长度，得到直线，求出坐标，再根据三角形的面积为，直接计算即可． 【详解】（1）解：∵直线， ∴令，则，解得， 令，则， ∴，， ∴，， ∴三角形的面积， ∵三角形与三角形的面积相等， 设点的横坐标为， ∴，即，解得， 当时，， ∴， ∵， 设直线的解析式为， 将点代入，得，解得， ∴直线的函数解析式为． （2）解：∵点在直线上， ∴设点， ∵垂直于轴交轴于点、交直线于点，且， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∵点在直线上， ∴， 解得，此时， ∴． （3）解：或 直线沿轴向下平移个单位长度，得到直线； 当时，， ∴， ∵三角形的面积为， ∴， 解得或． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 51 页 第 1 页 共 51 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 第17讲 二元一次方程与一次函数 （新教材北师大版） 知识点一、核心关系 2 知识点二、三种位置关系（必考） 2 知识点三、用图像法解二元一次方程组（步骤） 3 知识点四、利用二元一次方程组求一次函数解析式 3 知识点五、易错点 3 知识点六、数学思想 3 【题型1 求一次函数解析式】 3 【题型2 两直线的交点与二元一次方程组的解】 4 【题型3 图像法解二元一次方程组】 5 【题型4 求直线围成的图形面积】 6 【题型5 一次函数与方程组的解的情况（平行 / 重合 / 相交）】 7 【题型6 利用一次函数图像解不等式】 8 【题型7 动点背景下一次函数与方程组综合】 10 【探究式学习】 12 【课后检测】 15 【复盘笔记】 20 知识点一、核心关系 1. 二元一次方程与一次函数的转化 二元一次方程 ax+by=c(b≠0)，可以变形为一次函数：。 · 以二元一次方程的每一组解 (x,y)为坐标的点，都在对应的一次函数图像（直线）上； · 一次函数直线上每一个点的坐标 (x,y)，都满足对应的二元一次方程。 一句话：方程的解 ↔ 直线上点的坐标。 2. 二元一次方程组与两条直线 方程组 的解 (x,y)，就是两条直线 ， 的交点坐标。 知识点二、三种位置关系（必考） 设方程组，对应两条直线 1. ：两直线相交，有唯一交点，方程组有唯一一组解 2. ：两直线平行无交点，方程组无解 3. ：两直线重合，方程组有无数组解 记忆：比值不等相交；比值相等常数不等平行；全都相等重合。 知识点三、用图像法解二元一次方程组（步骤） 1. 把两个二元一次方程都化成一次函数 y=kx+b形式； 2. 在同一平面直角坐标系画出两条直线； 3. 读出两条直线交点的横(k、b)纵坐标； 4. 写出方程组的解。 ⚠️ 图像法缺点：画图读数会有误差，适合粗略求解，精确计算还是用代入/加减消元法。 知识点四、利用二元一次方程组求一次函数解析式 已知一次函数图像上两个点 ，，设解析式 y=kx+b，把两点代入，得到关于 k,b 的二元一次方程组，解出 k、b，即可写出函数表达式。（待定系数法） 知识点五、易错点 1. 二元一次方程变形为一次函数时，移项注意符号； 2. 判断平行/重合，要化成标准比例，不能只看k； 3. 方程组的解是一组x、y，交点坐标是 (x,y)，书写格式不要混淆； 4. 只有b≠0时，二元一次方程才能表示一条一次函数直线。 知识点六、数学思想 数形结合思想：把代数方程（数）和函数图像（形）互相转化。 【题型1 求一次函数解析式】 【例1】定义：对于给定的一次函数（、为常数，且，把形如的函数称为一次函数的“相依函数”，已知一次函数，若点在这个一次函数的“相依函数”图象上，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】已知一次函数的图象与直线平行，且过点，那么此一次函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】小华用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系内作出了两个一次函数的图象，，如图所示，则小华解的这个方程组是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知一次函数（为常数，且）的图象经过点，且与轴的交点坐标为，则下列关于该一次函数的说法，正确的是（    ） A．该一次函数的图象可能是由函数的图象平移得到 B．该一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积可能为2 C．该一次函数的图象与轴交于正半轴 D．该一次函数的图象不经过第一象限 【题型2 两直线的交点与二元一次方程组的解】 【例2】一次函数与（，是常数且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】若一次函数（、为常数，且）与一次函数的图象交点的横坐标为2，则关于、的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，一次函数的图象经过点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点，则下列结论中：①；②方程的解为；③点的坐标为；④当时，．正确的是（     ） A．①③④ B．②③④ C．①④ D．①② 【题型3 图像法解二元一次方程组】 【例3】小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数的图像，如图所示，通过观察此图像，下列说法错误的是（    ） A．点在的图象上 B．若，则 C．最多有三个实数根 D．当时，y随x的增大而减小 【变式3-1】对于每个，函数是、这两个函数中的最小值，则函数的最大值是(    ) A．6 B．8 C．10 D．12 【变式3-2】若直线和相交于点，则方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（    ）． A． B． C． D． 【题型4 求直线围成的图形面积】 【例4】如图，直线与轴交于点，与轴交于点．有下列说法：①A点坐标为；②B点坐标为；③线段；④原点到直线的距离是；⑤在轴上存在一点，使得的面积为5，则点的坐标为或．其中正确的个数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式4-1】在平面直角坐标系中，直线（、为常数，且）经过和两点，将直线向下平移个单位长度得到直线，则下列关于直线的说法，错误的是（     ） A．直线不经过坐标原点 B．的值随的增大而增大 C．与坐标轴围成的三角形面积为 D．当时， 【变式4-2】如图，已知直线：与直线：交于点，交轴于点，交轴于点，将线段沿方向平移，当与重合时，线段扫过的面积为（     ） A．24 B．12 C．6 D．3 【变式4-3】已知直线与x轴交于点A，与直线交于点B．则的面积为（     ） A．2 B．3 C．4 D．8 【题型5 一次函数与方程组的解的情况（平行 / 重合 / 相交）】 【例5】直线与直线的图象如图所示，则方程组的解为（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．若函数和函数的图象如图所示，则关于，的二元一次方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】若关于的方程组无解，则下列结论正确的是（） A．直线与直线的交点在第一象限 B．直线与直线的交点为 C．直线不经过第一象限 D．直线交轴于负半轴 【变式5-3】已知关于、的二元一次方程组无解，则一次函数的图象经过的象限是（   ） A．一、二、四 B．二、三、四 C．一、三、四 D．一、二、三 【题型6 利用一次函数图像解不等式】 【例6】已知一次函数（，k、b是常数）的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 0 1 2 … y … 8 6 4 2 0 … 则下列结论正确的是（   ） A．y的值随x值的增大而增大 B．图像不经过第一象限 C．当时， D．不等式的解集是 【变式6-1】一次函数y＝ax+b与y＝mx+n的图象在同一平面直角坐标系中的位置如图所示，一位同学根据图象写出以下信息：①ab＜mn；②不等式mx+n≥ax+b的解集是x≤1；③方程组的解是．其中信息正确的有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交点为，与y轴交点为B，且与正比例函数的图象交于点． (1)求m的值及一次函数的表达式． (2)观察函数图象，直接写出关于x的不等式的解集． (3)直接写出的面积． 【变式6-3】如图，函数和的图象相交于点，可知关于x的不等式的解集为，那么关于x、y的二元一次方程组的解为______． 【题型7 动点背景下一次函数与方程组综合】 【例7】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)在图中作出关于轴的对称图形，并写出点关于轴的对称点的坐标：___________； (2)点为轴上一动点，且使得周长最小，写出点的坐标，及计算最小周长； (3)点在轴上，若，请写出点的坐标． 【变式7-1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段的中点． (1)求直线的函数解析式； (2)若点C是射线上的动点，且，求点C的坐标． 【变式7-2】在平面直角坐标系中，直线：经过点，． (1)求直线的函数解析式； (2)点坐标为，过点的线段，垂足为点，求的面积； （提示：若直线：与直线：互相垂直，则） (3)点为轴上一动点，是否存在以、、为顶点的等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式7-3】如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．点为的中点，点在线段上，且，点为线段上一动点，连接，，． (1)求直线的表达式； (2)若的面积为20，求点的坐标． 【探究式学习】 1.【问题背景】 由于新能源汽车依靠电能驱动，可减少二氧化碳等有害气体排放，达到节能环保的目的，从而成为现代家庭的优先选择． 【实验操作】 为了解汽车电池充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组开展综合与实践活动，记录如下． 任务一：采集数据 探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量与行驶里程（千米）的关系（不考虑其它因素情况下），数据记录如下表： 汽车行驶过程 已行驶里程（千米） … … 显示电量（） … … 任务二：建立模型    根据表中的数值描点，通过描点，连线，分析数据和图象，确定是的一次函数． 根据以上信息，回答下列问题： (1)求出与之间的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)求出的值； 【解决问题】 (3)某电动汽车在显示电量为的状态下出发，电动汽车行驶千米后，仪表盘显示是否有电，电量为多少？ 2．学习一次函数时，我们从“数”和“形”两个方面研究一次函数的性质．请运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． 【初步感知】： （1）列表： 0 1 2 3 1 3 （2）描点： （3）连线 【问题解决】 (1)表格中的值为______，的值为______； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象． 【探究性质】 (3)观察函数的图象，判断下面关于该函数图象性质的命题： ①该函数图象是轴对称图形； ②当时，的值随值的增大而减小； ③当时，该函数存在最小值，最小值为； ④当时，． ⑤若，两点都在该函数图象上，且，则． 其中正确的是_______________．（请填写正确命题的序号） (4)在同一坐标系中画出一次函数的图象，并根据图象直接写出方程组的解为__________________________． 【课后检测】 1．将一次函数的图象向下平移3个单位长度后，得到的新图象的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 2．已知直线和交于点，则关于，的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 3．直线沿轴向下平移2个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 4．在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于的方程组的解为（     ） A． B． C． D． 5．如图，直线与的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，若是折线上的点，则满足条件的点P有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．已知、两地相距，上午时，亮亮从地步行到地，时芳芳从地出发骑自行车到地，亮亮和芳芳两人离地的距离与亮亮所用时间之间的函数关系如图所示，芳芳到达地时间为（     ） A． B． C． D． 8．人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为，小数和小文行走的路程分别为与之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（     ）    A．小数比小文先出发15秒 B．小文提速后的速度为 C． D．从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距 9．如图，在平面直角坐标系中，，过点的直线交线段于点，交轴于点，若，则点的坐标为（） A． B． C． D． 10．一次函数与（，是常数且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 11．定义：在函数中，我们把关于的一次函数与称为一组“交叉相反函数”，例如函数与是一组“交叉相反函数”，请完成下列问题： （1）一次函数的“交叉相反函数”的图象在轴上的截距为___________． （2）若一次函数的“交叉相反函数”的图象与轴交于点，与轴交于点，且三角形的面积为8，则的值为___________． 12．如图，一次函数的图象与轴交于点，点是线段上一点．过点作轴的垂线，直线与一次函数的图象交于点，与正比例函数的图象交于点．当点与点关于轴对称时，_____． 13．在长方形中，，点从点出发，沿边向点以的速度运动（点不与点重合）；点是边上任意一点．设点的运动时间为，三角形的面积为，则关于的函数表达式为：_________． 14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与x轴相交于点B，与y轴交于点D，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1． (1)求k，b的值； (2)M为直线上一点，过点M作y轴的平行线，交于点N，当时，求M点的坐标． 15．如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． (1)求A，B两点的坐标； (2)过B点作直线与x轴相交于点P，且使，求的面积． (3)在（2）的条件下，求直线的解析式． 16．如图，直线与轴，轴分别交于点，，过点的直线交轴于点，交直线于第二象限的点，且三角形与三角形的面积相等． (1)求直线的函数解析式； (2)若点在直线上，过点作轴的垂线交轴于点、交直线于点，且，求点的坐标； (3)将直线沿轴向下平移个单位长度（），平移后的直线交轴于点．若三角形的面积为，则_________（直接写出答案）． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 51 页 第 1 页 共 51 页 学科网（北京）股份有限公司 $