第22讲 为什么要证明（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年北师大版八年级数学上册

简一数理 初中专题讲义 第22讲 为什么要证明 （新教材北师大版） 知识点一、核心主题 2 知识点二、三种靠不住的判断方式 2 知识点三、证明的含义 2 知识点四、两个重要概念 2 知识点五、证明的作用 2 知识点六、易错点 3 知识点七、数学思想 3 【题型1 观察与实验】 3 【题型2 归纳与类比】 4 【题型3 猜想与证明】 5 【题型4 举反例判断命题真假】 6 【题型5 代数规律猜想与验证】 7 【题型6 几何图形猜想与验证】 7 【题型7 简单演绎推理说理】 8 【探究式学习】 10 【课后检测】 13 【复盘笔记】 19 知识点一、核心主题 观察、实验、归纳得到的结论不一定正确，必须通过推理证明，才能确认结论是真命题。 知识点二、三种靠不住的判断方式 1. 观察（眼见不一定为实） 视觉会产生错觉，肉眼看到的现象未必真实。 例：看起来长短不一样的线段，实际长度相等。 2. 实验、测量 测量存在误差，工具、人为操作都会带来偏差，不能作为严格依据。 3.不完全归纳（只看部分例子就下结论） 由少数几个例子归纳出的猜想，只要找到一个反例，猜想就不成立。 反例：符合命题条件，但不符合命题结论的例子。举反例可以直接证明一个命题是假命题。 知识点三、证明的含义 证明：从已知的真命题出发，依据公理、定义、定理，一步步逻辑推理，证实结论正确。 经过证明为真的命题叫做定理。 知识点四、两个重要概念 1. 命题：判断一件事情的句子，由条件和结论两部分组成，可写成“如果……，那么……”。 · 真命题：条件成立，结论一定成立（需要证明） · 假命题：条件成立，结论不一定成立（举反例即可推翻） 2. 反例：判断假命题最简单的办法，不需要证明，举出1个反例就足够。 知识点五、证明的作用 1. 排除错觉、误差、个别特例带来的错误猜想； 2. 保证结论普遍成立，对所有满足条件的对象都适用； 3. 建立严谨的逻辑，是几何推理的基础。 知识点六、易错点 1. 再多例子，也不能代替证明； 2. 举反例只能证明命题是假命题，不能证明命题为真； 3. 观察、实验可以用来猜想结论，但不能用来证实结论。 知识点七、数学思想 推理意识（逻辑推理）：区分合情推理（观察、实验、归纳，用来猜想）与演绎推理（证明，用来确认正确） · 合情推理：发现猜想； · 演绎推理：严格证明。 【题型1 观察与实验】 【例1】睡鼠是冬眠时间最长的动物，一般每年有个月的时间处于冬眠状态．2024年，动物学家跟踪研究的一只睡鼠从去年10月21日开始冬眠，直到今年4月3日才出冬眠，这只睡鼠冬眠了（    ）天． A．163 B．164 C．165 D．166 【变式1-1】用试验寻找规律时，下列说法中，正确的是（    ） A．试验次数多与试验次数少所得的规律相同 B．试验次数越多，所得数据越接近真实值 C．试验次数越少，所得数据越接近真实值 D．抛掷硬币与抛掷纽扣出现正面的机会相同 【变式1-2】某娱乐设施每次能够容纳4人一组进场游玩，甲、乙、丙、丁排队等候，甲前面有若干人，乙排在甲后面，中间隔着2人，丙排在乙后面，中间隔着1人，丁排在丙后面，中间隔着1人，丁后面也有若干人．下列说法：①如果甲和乙同一组，那么丙和丁也同一组；②如果甲和乙不同一组，那么丙和丁也不同一组；③如果丙和丁同一组，那么甲和乙也同一组；④如果丙和丁不同一组，那么甲和乙也不同一组．正确的个数为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】如图，一扎面值100元的人民币，其总厚度接近1cm，则这扎人民币大约有（　　） A．1000元 B．10000元 C．10万元 D．50万元 【题型2 归纳与类比】 【例2】图是著名的“杨辉三角”，它给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，图列举了的展开式规律．由此的展开式中项的系数是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】在探究圆周角的度数与它所对弧上圆心角的度数之间的数量关系时，我们分类讨论了如图所示的三种情况，经画图操作并添加辅助线将图2、图3转化为图1，从而证明了，其中体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．转化思想 C．公理化思想 D．类比思想 【变式2-2】我们这样来探究二次根式的结果，当时，如，则，此时的结果是a本身；当时， ．此时的结果是零；当时，如，则，此时的结果是a的相反数．这种分析问题的方法所体现的数学思想是（　　） A．分类讨论 B．数形结合 C．公理化 D．转化 【变式2-3】“转化”是一种重要的数学思想方法．下列选项中用到转化思想的是（    ） ① ② ③ ④把一张纸的平均分成3份，每份是这张纸的几分之几？ A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【题型3 猜想与证明】 【例3】《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学经典著作，里面曾记载形如，方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取．则该方程的一个正根为的长，这种解法体现的数学思想是（   ） A．转化思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．函数思想 【变式3-1】下列关于证明“一个数加上一个负数比原来的数小”的过程说法正确的是（   ）． A．先设一个数为3，5，7，……，另一个数为，，， B．先设一个数为a，另一个数为 C．证明对无穷多个数该结论都成立即可 D．先设一个数为，另一个数为 【变式3-2】下面关于“证明”的说法正确的是（　　） A．“证明”是一种命题 B．“证明”是一种定理 C．“证明”是一种推理过程 D．“证明”就是举例说明 【变式3-3】定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 已知：如图，是的外角． 求证：． 下列说法正确的是（    ） A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 B．证法1用严谨的推理证明了该定理 C．证法2用特殊到一般法证明了该定理 D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理 【题型4 举反例判断命题真假】 【例4】对于命题“若，则．”下面四组关于a、b的值中，能说明这个命题是假命题的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-1】下列能说明命题“若，则”是假命题的一组反例是（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-2】下列说法错误的是（   ） A．命题不一定是定理，但定理一定是命题 B．定理不可能是假命题 C．真命题是定理 D．“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”是基本事实 【变式4-3】已知命题“若，则．”下列三位同学的判断中正确的有（    ） 甲同学：“该命题是真命题．” 乙同学：“该命题的结论是．” 丙同学：“若在该命题的题设中添加，都大于零，则该命题成为真命题．” A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【题型5 代数规律猜想与验证】 【例5】已知一列数：，，，，，，，…将这列数排成下列形式： 第1行： 第2行：， 第3行：，， 第4行：，，， 第5行：，，，， 按照上述规律排下去，那么第100行从左边数第4个数是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】观察下列算式：，，，，，，根据规律，的末位数字是（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知正数、满足，当取值为1、2、3……时，对应得到、、……．如时，则（     ） A．2026 B． C． D． 【变式5-3】如图是一个运算程序示意图，若第一次输入的值为，则第2026次输出的结果是（     ） A． B． C． D． 【题型6 几何图形猜想与验证】 【例6】亮亮准备了一些边长3厘米的正方形纸片，按如图所示的方式摆放，每个重叠部分都是边长1厘米的小正方形，像这样不断摆下去．当亮亮用了20张纸片时，摆成图形的面积是（     ）平方厘米． A．161 B．164 C．154 D．184 【变式6-1】观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第2026个图案中的“”的个数是（     ） A．6074 B．6073 C．6079 D．6076 【变式6-2】下列图形都是用同样大小的★按一定规律组成的，其中第①个图形中共有5个★，第②个图形中共有11个★，第③个图形中共有19个★，……，则第⑳个图形中★的个数为（     ） A．341 B．379 C．419 D．461 【变式6-3】如图，将第1个图中的正方形剪开得到第2个图，第2个图中共有4个正方形；将第2个图中一个正方形剪开得到第3个图，第3个图中共有7个正方形；将第3个图中一个正方形剪开得到第4个图，第4个图中共有10个正方形……如此下去，则第2024个图中共有正方形的个数为（     ） A．6070 B．6072 C．6069 D．6068 【题型7 简单演绎推理说理】 【例7】请将下面的演绎推理过程补充完整： 已知：如图，，，， 试说明：． 解：，（已知）， ， ∴ ，（ ）． 又（已知）， ∴ ，（ ）． ∴ （平行于同一条直线的两直线平行）． （ ）． 【变式7-1】甲、乙、丙、丁四个同学在玩推理游戏，要找出谁在数学测评中获奖．甲说：“是乙获奖．”乙说：“是丙获奖．”丙说：“乙说的不是实话．”丁说：“反正我没有获奖．”如果这四个同学中只有一个人说了实话，请问是谁获奖（      ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式7-2】在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，王玲同学通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线，在这个过程中她可能用到的推理依据组合是（    ） ①平角的定义； ②垂线段最短； ③角平分线的定义； ④同旁内角互补，两直线平行； ⑤两直线平行，内错角相等． A．②④ B．③⑤ C．①②⑤ D．①③④ 【变式7-3】下列说法正确的个数有（    ） ①同位角相等；②两个无理数的和还是无理数；③一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做定理；④在同一平面内的三条直线a、b、c，如果，那么；⑤P是直线l外一点，A，B，C分别是l上的三点，已知，点P到l的距离一定是1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【探究式学习】 1．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程叫做裂项． 【类比探究】（1）猜想并写出： ① ； ② ． 【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算：． 2．某数学活动小组用圆形卡片摆图形来探究规律，图1中有1个圆，图2中有4个圆，图3中有11个圆，图4中有22个圆，那么图n（n为正整数）中有多少个圆呢？三位小组成员分别进行了如下探究． 航航同学先把圆的个数填入下表，并对这一列数字的变化进行探究： 序号 图1 图2 图3 图4 图5 … 图n 个数 1 4 11 22 a … b 变化 1 … … 航航同学又对这个数字变化进一步分析： ； ； ； ； ； … ∴图n为 ． 悦悦同学是从图形上进行找规律的，她将圆心按一定规律连接起来，如图： 她发现图1中有1个圆，图2中有个圆，图3中有个圆，图4中有个圆，……于是她得到图n中有c个圆，化简后，与航航的结果一样． 涛涛同学的方法与悦悦类似，但是他提出一个问题：是否存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383？ (1)请你补充航航和悦悦的探究，即______，______，______； (2)请你解决涛涛同学提出的问题． 3．观察下列等式，探究其中的规律并解答问题： (1)第个等式中，____________； (2)写出第个等式：______________； (3)写出第个等式：_______________（其中为正整数） 4．现定义一种“*”运算，观察下列算式，完成以下探究． ； ； ； ； ； ； ； … (1)计算：_________，_________； (2)类比有理数运算法则，从符号和绝对值两方面，归纳“*”运算的运算法则：两数进行“*”运算时，_________（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行“*”运算，或任何数和0进行“*”运算，等于_________； (3)我们知道加法有交换律和结合律，交换律在有理数的“*”运算中显然适用，那么结合律呢？请你通过以下两个算式进行验证并写出结论（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）． ①；②． 【课后检测】 1．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）：                                                                      ……                       …… 请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（    ） A． B． C． D． 2．下列结论正确的是（   ） A．任何数都不等于它的相反数 B．若有理数a，b互为相反数，那么 C．若有理数a，b互为相反数，则它们一定异号 D．符号相反的数互为相反数 3．数形结合是一种广泛适用的解决问题的策略，学习过程中，下面用到数形结合的方法的是（   ） A．①②③④ B．②③④ C．③④ 4．下列命题中，真命题是（　　） A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B．正六边形的每一个外角都是 C．矩形的对角线互相垂直 D．内错角相等 5．下列命题的逆命题是真命题的个数为（   ） ①互补的两个角是邻补角；②对角线互相平分的四边形是矩形；③两条不相交的直线平行；④线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． A．1 B．2 C．3 D．4 6．下列命题中，真命题是（   ） A．平分弦的直径垂直该弦 B．四条边相等且对角线相等的四边形是正方形 C．三角形外角和为 D．两点之间直线最短 7．下列命题正确的是（   ） A．已知：线段，则a，b，c，d是比例线段 B．关于x的方程是一元二次方程 C．角都对应相等的两个多边形是相似多边形，边都对应成比例的多边形也是相似多边形 D．已知点是函数图象上的两点，则 8．下列四个命题中，假命题是（   ） A．顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形 B．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 C．对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 9．下列命题中的真命题是（   ） A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．点到直线的距离是点到直线的垂线段 C．正多边形的中心角等于其每一个内角 D．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得的四边形为菱形 10．已知整式，其中均为正整数，若，以下三个说法中正确的有（    ） ①当，时，满足条件的整式共有4个； ②当时，满足条件的整式共有6个； ③所有满足条件的共有21个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 11．下列命题：相等的角都是对顶角；不小于直角的角是锐角；若，则或；若，则．其中属于真命题的是______． 12．判定命题“如果，那么”是假命题，只需要举一个反例，这个反例可以是________． 13．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第6个图形中共有__________个○． 14．南山中学高一年级举办数学竞赛，A、B、C、D、E五位同学得了前五名，发奖前，老师让他们猜一猜各人的名次排列情况． A说：B第三名，C第五名； B说：E第四名，D第五名； C说：A第一名，E第四名； D说：C第一名，B第二名； E说：A第三名，D第四名． 老师说：每个名次都有人猜对，试判断获得第一至第五名的依次为__________． 15．请用“归纳”策略解答问题： 如图，将一根绳子折成4段，然后按图中所示方式剪开．剪1刀，绳子变为5段；剪2刀，绳子变为9段；……依此规律剪10刀，绳子变为________段． 16．已知命题①：一个锐角和一个钝角一定互为补角．命题②：两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (1)请将上述两个命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)判断这两个命题是真命题还是假命题．若是假命题，请举一个反例． 17．在整数除法体系中，一个正整数除以3的余数规律蕴含着深刻的数学逻辑． 若我们把一个正整数a除以3所得的余数记作“a模3”，例如：记作“12模”；记作“16模”；记作“11模”． (1)直接写出结果：36模 ；360模 ． (2)①命题：如果a模，其中a为正整数，那么模．这个命题是真命题，证明过程如下： 证明：若a模，其中a为正整数，则a能被3整除，可以设； 则； 所以能被3整除， 即模． ②命题：如果a模，其中a为正整数，那么模．是否正确？若正确，请证明，若不正确，举例说明； (3)证明：如果a模，b模，其中a、b为正整数，那么模． 18．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；…． …． (1)请写出第5个等式：____________； (2)写出第n个等式：____________；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)根据你发现的规律计算：． 19．阅读材料，回答下列问题（规定且）： 材料一：乘方：求个相同因数（）乘积的运算，叫作乘方，记作：，其中，为底数，为指数，结果为幂．如：．设，，有如下性质： （1）； （2）； 材料二：开方：如果一个数的次方等于（即：），称为的次方根．记作： ，为被开方数，为根指数．如： 材料三：对数：如果，那么被称为以为底的对数，记作，其中为对数的底数，为真数．如：，则．设，，则，，，有如下性质及推导过程： （1）； （2）； （1）推导过程： ； 规律总结：乘方、开方、对数之间的关系：． (1)根据以上材料规律：已知；则______；______ (2)类比材料三的推导过程，求证：； (3)根据阅读材料计算：． 20．指出题中的假命题，并举反例说明． (1)已知点P到，两点的距离，之和等于线段的长，则点P在线段上． (2)已知点P到，两点的距离，之和大于线段的长，则点P在直线上． (3)当时，有． (4)当时，有． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 40 页 第 1 页 共 40 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 第22讲 为什么要证明 （新教材北师大版） 知识点一、核心主题 2 知识点二、三种靠不住的判断方式 2 知识点三、证明的含义 2 知识点四、两个重要概念 2 知识点五、证明的作用 2 知识点六、易错点 2 知识点七、数学思想 3 【题型1 观察与实验】 3 【题型2 归纳与类比】 5 【题型3 猜想与证明】 7 【题型4 举反例判断命题真假】 9 【题型5 代数规律猜想与验证】 11 【题型6 几何图形猜想与验证】 14 【题型7 简单演绎推理说理】 16 【探究式学习】 20 【课后检测】 25 【复盘笔记】 40 知识点一、核心主题 观察、实验、归纳得到的结论不一定正确，必须通过推理证明，才能确认结论是真命题。 知识点二、三种靠不住的判断方式 1. 观察（眼见不一定为实） 视觉会产生错觉，肉眼看到的现象未必真实。 例：看起来长短不一样的线段，实际长度相等。 2. 实验、测量 测量存在误差，工具、人为操作都会带来偏差，不能作为严格依据。 3.不完全归纳（只看部分例子就下结论） 由少数几个例子归纳出的猜想，只要找到一个反例，猜想就不成立。 反例：符合命题条件，但不符合命题结论的例子。举反例可以直接证明一个命题是假命题。 知识点三、证明的含义 证明：从已知的真命题出发，依据公理、定义、定理，一步步逻辑推理，证实结论正确。 经过证明为真的命题叫做定理。 知识点四、两个重要概念 1. 命题：判断一件事情的句子，由条件和结论两部分组成，可写成“如果……，那么……”。 · 真命题：条件成立，结论一定成立（需要证明） · 假命题：条件成立，结论不一定成立（举反例即可推翻） 2. 反例：判断假命题最简单的办法，不需要证明，举出1个反例就足够。 知识点五、证明的作用 1. 排除错觉、误差、个别特例带来的错误猜想； 2. 保证结论普遍成立，对所有满足条件的对象都适用； 3. 建立严谨的逻辑，是几何推理的基础。 知识点六、易错点 1. 再多例子，也不能代替证明； 2. 举反例只能证明命题是假命题，不能证明命题为真； 3. 观察、实验可以用来猜想结论，但不能用来证实结论。 知识点七、数学思想 推理意识（逻辑推理）：区分合情推理（观察、实验、归纳，用来猜想）与演绎推理（证明，用来确认正确） · 合情推理：发现猜想； · 演绎推理：严格证明。 【题型1 观察与实验】 【例1】睡鼠是冬眠时间最长的动物，一般每年有个月的时间处于冬眠状态．2024年，动物学家跟踪研究的一只睡鼠从去年10月21日开始冬眠，直到今年4月3日才出冬眠，这只睡鼠冬眠了（    ）天． A．163 B．164 C．165 D．166 【答案】C 【分析】本题考查日期的计算，解题的关键思路是分别计算出去年和今年睡鼠冬眠的天数，然后将二者相加，即可求解． 【详解】解：去年10月共有31天，睡鼠从10月21日开始冬眠， ∴10月冬眠的天数为（天）． 11月有30天，12月有31天， ∴去年冬眠的总天数为（天）． 今年1月有31天， ∵， ∴是闰年，闰年2月有29天， 3月有31天，4月睡鼠到3日才出冬眠， ∴4月冬眠了2天， 那么今年冬眠的总天数为（天）， 将去年和今年冬眠的天数相加，可得（天）． 答：这只睡鼠冬眠了165天． 故选：C． 【变式1-1】用试验寻找规律时，下列说法中，正确的是（    ） A．试验次数多与试验次数少所得的规律相同 B．试验次数越多，所得数据越接近真实值 C．试验次数越少，所得数据越接近真实值 D．抛掷硬币与抛掷纽扣出现正面的机会相同 【答案】B 【分析】本题主要考查了模拟实验，正确理解模拟实验的意义是解题关键．根据模拟实验的意义以及模拟实验的方法分别判断，即可解题． 【详解】解：A、试验次数多与试验次数少所得的规律不一定相同，故此选项错误； B、试验次数越多，所得数据越接近真实值，此选项正确； C、试验次数越少，所得数据不可能越接近真实值，故此选项错误； D、抛掷硬币与抛掷纽扣出现正面的机会不相同，故此选项错误； 故选：B． 【变式1-2】某娱乐设施每次能够容纳4人一组进场游玩，甲、乙、丙、丁排队等候，甲前面有若干人，乙排在甲后面，中间隔着2人，丙排在乙后面，中间隔着1人，丁排在丙后面，中间隔着1人，丁后面也有若干人．下列说法：①如果甲和乙同一组，那么丙和丁也同一组；②如果甲和乙不同一组，那么丙和丁也不同一组；③如果丙和丁同一组，那么甲和乙也同一组；④如果丙和丁不同一组，那么甲和乙也不同一组．正确的个数为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，列出这8个人的位置，然后根据题意逐项分析即可求解． 【详解】解：依题意，设中间隔着的人用代替，则排序为： 甲，，，乙，，丙，，丁 ①若分组为(甲，，，乙)，(，丙，，丁)，故①正确； ②若分组为……甲)，(，，乙，)，(丙，，丁，……，故②错误， ③由②可知③错误， ④依题意，分组为：甲，)， (，乙， ，丙)，(，丁，……， 或甲，，，(乙， ，丙， )，(丁，……， 故④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了推理，列举法求试验结果，根据题意举出反例或列举是解题的关键． 【变式1-3】如图，一扎面值100元的人民币，其总厚度接近1cm，则这扎人民币大约有（　　） A．1000元 B．10000元 C．10万元 D．50万元 【答案】B 【分析】直接利用一张100元人民币的厚度进而可求解． 【详解】解：∵1张面值100元的人民币的厚度约为0．01cm， ∴总厚度接近1cm，则这扎人民币大约有10000元． 故选：B． 【点睛】本题考查了数学常识，正确记忆一张100元人民币的厚度是解题的关键． 【题型2 归纳与类比】 【例2】图是著名的“杨辉三角”，它给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，图列举了的展开式规律．由此的展开式中项的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查杨辉三角的递推规律，能根据项的指数确定其位置是解题关键． 先确定对应杨辉三角第行，为从左向右第项，再根据递推规律，用第行第个数的系数与第个数的系数相加求出项的系数． 【详解】解：根据图可知，“杨辉三角”的规律为： 每行首尾都是，中间每个数等于它上方左右两个数的和， 第六行的数，从左到右的系数分别为： 根据图可知，第行第个数的系数为，第个数的系数为， 对应“杨辉三角”第行，展开式中对应第行的第项， 的系数等于第行第个数的系数与第个数的系数之和：． 故选：． 【变式2-1】在探究圆周角的度数与它所对弧上圆心角的度数之间的数量关系时，我们分类讨论了如图所示的三种情况，经画图操作并添加辅助线将图2、图3转化为图1，从而证明了，其中体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．转化思想 C．公理化思想 D．类比思想 【答案】B 【分析】本题考查对数学思想的理解，理解转化思想是将一般情况转化为特殊情况成为解题的关键． 根据转换思想的含义进行判断即可． 【详解】解：由画图操作并添加辅助线将图2、图3转化为图1，可知体现了转化的思想． 故选：B． 【变式2-2】我们这样来探究二次根式的结果，当时，如，则，此时的结果是a本身；当时， ．此时的结果是零；当时，如，则，此时的结果是a的相反数．这种分析问题的方法所体现的数学思想是（　　） A．分类讨论 B．数形结合 C．公理化 D．转化 【答案】A 【分析】此题考查数学解题思想，根据题意分三种情况解答，即根据分类讨论思想解决问题． 【详解】解：根据题意可知，探究过程是分三种情况讨论的，因此可知体现了数学思想是：分类讨论． 故选A． 【变式2-3】“转化”是一种重要的数学思想方法．下列选项中用到转化思想的是（    ） ① ② ③ ④把一张纸的平均分成3份，每份是这张纸的几分之几？ A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了转化思想， 求圆的面积转化为求长方形的面积，将小数乘法转化为求整数乘法，求平行四边形的面积转化为求长方形的面积，将除法计算转化为乘法运算，再判断即可． 【详解】解：①将圆分成若干份拼成长方形，可知求圆的面积转化为求长方形的面积； ②将小数乘法转化为求整数乘法； ③将阴影部分平移到右侧拼成长方形，求平行四边形的面积转化为求长方形的面积； ④将除法运算转化为乘法运算， 所以选项中用到了转化思想的是①②③④． 故选：D． 【题型3 猜想与证明】 【例3】《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学经典著作，里面曾记载形如，方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取．则该方程的一个正根为的长，这种解法体现的数学思想是（   ） A．转化思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．函数思想 【答案】C 【详解】解：通过画直角三角形借助于勾股定理求得一元二次方程的根，所以这种解法体现的数学思想是数形结合思想． 故选：C． 【变式3-1】下列关于证明“一个数加上一个负数比原来的数小”的过程说法正确的是（   ）． A．先设一个数为3，5，7，……，另一个数为，，， B．先设一个数为a，另一个数为 C．证明对无穷多个数该结论都成立即可 D．先设一个数为，另一个数为 【答案】D 【分析】本题主要考查了证明，解题的关键是注意一般性，根据证明的要求进行选择即可． 【详解】解：A．设一个数为3，5，7，……，另一个数为，，，是特殊值，不能代表所有的数，故A错误； B．先设一个数为a，另一个数为，a可以是正数也可以是负数，而可以是正数，也可以是负数，不明确，故B错误； C．应该证明对所有数该结论都成立，故C错误； D．先设一个数为，另一个数为，符合要求，故D正确． 故选：D． 【变式3-2】下面关于“证明”的说法正确的是（　　） A．“证明”是一种命题 B．“证明”是一种定理 C．“证明”是一种推理过程 D．“证明”就是举例说明 【答案】C 【分析】公认的真命题称为公理，除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实， 这种推理的过程称为证明． 本题考查了证明的概念，根据证明的概念求解即可． 【详解】“证明”是一种推理过程． 故选：C． 【变式3-3】定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 已知：如图，是的外角． 求证：． 下列说法正确的是（    ） A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 B．证法1用严谨的推理证明了该定理 C．证法2用特殊到一般法证明了该定理 D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理 【答案】B 【分析】根据三角形的内角和定理与平角的定义可判断A与B，利用理论与实践相结合可判断C与D． 【详解】解：A. 证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故A不符合题意； B. 证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故选项B符合题意； C. 证法2用量角器度量两个内角和外角，只能验证该定理的正确性，用特殊到一般法证明了该定理缺少理论证明过程，故选项C不符合题意； D. 证法2只要测量够一百个三角形进行验证，验证的正确性更高，就能证明该定理还需用理论证明，故选项D不符合题意． 故选择： 【点睛】本题考查三角形外角的证明问题，命题的正确性需要严密推理证明，三角形外角分三种情形，锐角、直角、和钝角，证明中应分类才严谨． 【题型4 举反例判断命题真假】 【例4】对于命题“若，则．”下面四组关于a、b的值中，能说明这个命题是假命题的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】要说明命题“若，则”是假命题，只需找到满足条件，但不满足结论的的值即可． 【详解】解：选项A：∵，， ∴，，可得，满足命题条件，又，不满足命题结论， ∴可以说明该命题是假命题； 选项B：，，满足，也满足，不能说明命题是假命题； 选项C：，，满足，也满足，不能说明命题是假命题； 选项D：，，，不满足命题条件，不能说明命题是假命题． 【变式4-1】下列能说明命题“若，则”是假命题的一组反例是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】要说明命题“若，则”是假命题，只需找到满足条件，但不满足结论的反例，据此对各选项判断即可． 【详解】解：∵反例需要满足原命题条件，不满足原命题结论， 对各选项逐一判断： 选项A，，满足，且，满足结论，不能作为反例． 选项B，，，不满足条件，不能作为反例， 选项C，，满足即，计算得，，可得，不满足原命题结论，可作为反例， 选项D，，，不满足条件，不能作为反例． 【变式4-2】下列说法错误的是（   ） A．命题不一定是定理，但定理一定是命题 B．定理不可能是假命题 C．真命题是定理 D．“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”是基本事实 【答案】C 【分析】根据命题、定理的定义、基本事实的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．命题包含真命题和假命题，因此命题不一定是定理，定理是经过证明的真命题，因此定理一定是命题，故A选项说法正确； B．定理是被证明为正确的命题，即定理不可能是假命题，故B选项说法正确； C．只有经过推理证明、可作为推理依据的真命题才是定理，并不是所有真命题都是定理，故C选项说法错误； D．“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”是初中几何公认的基本事实，故D选项说法正确． 【变式4-3】已知命题“若，则．”下列三位同学的判断中正确的有（    ） 甲同学：“该命题是真命题．” 乙同学：“该命题的结论是．” 丙同学：“若在该命题的题设中添加，都大于零，则该命题成为真命题．” A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据命题的结构和真假命题的定义，依次判断三位同学的说法，统计正确个数即可得到答案． 【详解】解：∵当，时，满足，但， ∴原命题是假命题，甲同学判断错误． “若题设，则结论”是命题的标准形式，该命题的结论为， ∴乙同学判断正确． 添加条件都大于零后，命题变为“若且，则”， ∵两个正数的平方相等，正数本身必然相等， ∴该命题是真命题，丙同学判断正确． 综上，正确的判断共有个． 【题型5 代数规律猜想与验证】 【例5】已知一列数：，，，，，，，…将这列数排成下列形式： 第1行： 第2行：， 第3行：，， 第4行：，，， 第5行：，，，， 按照上述规律排下去，那么第100行从左边数第4个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过前三行的数找到规律，然后求解即可． 【详解】解：第1行有1个数，最后一个数的绝对值是； 第2行有2个数，最后一个数的绝对值是； 第3行有3个数，最后一个数的绝对值是； 以此类推，第行有个数，前行数字的总个数为，即第行最后一个数的绝对值为． ∵前99行的数字总个数为． ∴第100行从左边数第4个数的绝对值为． ∵数列中奇数为正，偶数为负． ∴该数为． 【变式5-1】观察下列算式：，，，，，，根据规律，的末位数字是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算可知这一列数的个位数字是、、、循环出现的，再根据规律找到的末位数字． 【详解】解：的末位数字是， 的末位数字是， 的末位数字是， 的末位数字是， 的末位数字是， 的末位数字是， 的末位数字是， 的末位数字是， 这一列数字的末位数字是、、、循环出现的， ， 的末位数字是． 【变式5-2】已知正数、满足，当取值为1、2、3……时，对应得到、、……．如时，则（     ） A．2026 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出当，，当，……；当，，则，然后再根据，代入前后相消求解即可． 【详解】解：正整数、满足， 则， 当，，当，……；当，， 【变式5-3】如图是一个运算程序示意图，若第一次输入的值为，则第2026次输出的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过前几次的计算结果发现输出的数值呈现的规律，进而利用规律确定第2026次输出的结果． 【详解】解：第一次输入，则输出 第二次输入，则输出， 第三次输入，则输出， 第四次输入，则输出， 第五次输入，则输出， 第六次输入，则输出， 在接下来的输入中，奇数次输出的结果为，偶数次的输出结果为， 为偶数， 输出的结果为． 【题型6 几何图形猜想与验证】 【例6】亮亮准备了一些边长3厘米的正方形纸片，按如图所示的方式摆放，每个重叠部分都是边长1厘米的小正方形，像这样不断摆下去．当亮亮用了20张纸片时，摆成图形的面积是（     ）平方厘米． A．161 B．164 C．154 D．184 【答案】A 【分析】首先求出纸片数为1、2、3、4时的面积，找出规律并进一步求解即可． 【详解】解：根据题意，每张纸片的面积为平方厘米，重叠部分的面积为平方厘米， 用了1张纸片时，摆成图形的面积是平方厘米， 用了2张纸片时，摆成图形的面积是平方厘米， 用了3张纸片时，摆成图形的面积是平方厘米， 用了4张纸片时，摆成图形的面积是平方厘米， …… ∴当用了张纸片时，摆成图形的面积是平方厘米， ∴当亮亮用了20张纸片时，摆成图形的面积是平方厘米． 【变式6-1】观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第2026个图案中的“”的个数是（     ） A．6074 B．6073 C．6079 D．6076 【答案】C 【分析】 观察可知，序号每增加1，“”的个数就增加3，据此规律求解即可． 【详解】 解：第1个图案中的“”的个数是， 第2个图案中的“”的个数是， 第3个图案中的“”的个数是， 第4个图案中的“”的个数是， ……， 以此类推，可知第n（n为正整数）个图案中的“”的个数是， 当时，． 【变式6-2】下列图形都是用同样大小的★按一定规律组成的，其中第①个图形中共有5个★，第②个图形中共有11个★，第③个图形中共有19个★，……，则第⑳个图形中★的个数为（     ） A．341 B．379 C．419 D．461 【答案】D 【分析】观察图形，分别数出前四个图形中★的个数，归纳出第个图形中★的个数为，将代入计算即可． 【详解】解：第①个图形中★的个数为； 第②个图形中★的个数为； 第③个图形中★的个数为； 第④个图形中★的个数为； …… 观察发现，第个图形中★的个数为， 则第⑳个图形中★的个数为． 【变式6-3】如图，将第1个图中的正方形剪开得到第2个图，第2个图中共有4个正方形；将第2个图中一个正方形剪开得到第3个图，第3个图中共有7个正方形；将第3个图中一个正方形剪开得到第4个图，第4个图中共有10个正方形……如此下去，则第2024个图中共有正方形的个数为（     ） A．6070 B．6072 C．6069 D．6068 【答案】A 【分析】根据图形的变化，后一个图形的正方形的个数都比前一个图形的正方形的个数多3个，第n个图形的正方形的个数为即可求解． 【详解】解：观察图形可知：第1个图中有1个正方形，即； 第2个图中有4个正方形，即； 第3个图中有7个正方形，即； 第4个图中有10个正方形，即； …… ∴第n个图中正方形的个数为； 当时， ， ∴第2024个图中共有正方形的个数为6070． 【题型7 简单演绎推理说理】 【例7】请将下面的演绎推理过程补充完整： 已知：如图，，，， 试说明：． 解：，（已知）， ， ∴ ，（ ）． 又（已知）， ∴ ，（ ）． ∴ （平行于同一条直线的两直线平行）． （ ）． 【答案】；；同旁内角互补，两直线平行；；；内错角相等，两直线平行；；；两直线平行，同位角相等． 【分析】本题考查平行线的判定与性质，平行公理的推论，掌握知识点是解题的关键． 根据平行线的判定与性质，平行公理的推论，进行证明即可． 【详解】解：，（已知）， ， ∴，（同旁内角互补，两直线平行）． 又（已知）， ∴，（内错角相等，两直线平行）． ∴（平行于同一条直线的两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）． 故答案为：；；同旁内角互补，两直线平行；；；内错角相等，两直线平行；；；两直线平行，同位角相等． 【变式7-1】甲、乙、丙、丁四个同学在玩推理游戏，要找出谁在数学测评中获奖．甲说：“是乙获奖．”乙说：“是丙获奖．”丙说：“乙说的不是实话．”丁说：“反正我没有获奖．”如果这四个同学中只有一个人说了实话，请问是谁获奖（      ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】若甲说的是真话，则乙是假话，丙说的是真话，和已知不符合．故甲说的是假话，不是乙获奖；若乙说的是真话，则丁说的也是真话，和已知不符合．故乙说的是假话，不是丙获奖．显然丙说的是真话，丁说的是假话，则是丁获奖． 【详解】解：本题可分三种情况： ①如果甲是真命题，则乙是假命题，丙是真命题，丁是真命题；显然与已知不符； ②如果甲是假命题，乙是真命题，则丙是假命题，丁是真命题；显然与已知不符； ③如果甲是假命题，乙是假命题，则丙是真命题，丁是假命题；在这种情况下，只有丙说了实话，而其他人都说了假话，因此这种情况符合题意． 在③的条件下，丁说了假话，因此丁才是真正获奖的人． 故选D． 【点睛】此题主要考查命题的真假推理，解题的关键是用假设的方法，进行分析排除． 【变式7-2】在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，王玲同学通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线，在这个过程中她可能用到的推理依据组合是（    ） ①平角的定义； ②垂线段最短； ③角平分线的定义； ④同旁内角互补，两直线平行； ⑤两直线平行，内错角相等． A．②④ B．③⑤ C．①②⑤ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查翻折变换的性质，关键在于通过相关的性质推出，，确定和为平角．平行线的判定定理；设直线与纸片的边相交于点、点，直线与纸片的边交于点，根据翻折变换的性质推出，，然后根据平角，即可推出，，即得平行于． 【详解】解：如图，设直线与纸片的边相交于点，直线与纸片的边交于点， 如题图，对折后，射线与射线重合而产生折线， （角平分线的定义）， 如题图，对折后，射线和射线重合而产生折线， （角平分线的定义）， 点、、在同一条直线上，点、、在同一条直线上， （平角的定义）， ，． ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 故选：D． 【变式7-3】下列说法正确的个数有（    ） ①同位角相等；②两个无理数的和还是无理数；③一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做定理；④在同一平面内的三条直线a、b、c，如果，那么；⑤P是直线l外一点，A，B，C分别是l上的三点，已知，点P到l的距离一定是1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】由平行线的性质、无理数的定义、定理的概念、平行线公理、点到直线的距离定义，分别对每个选项进行判断，即可得到答案． 【详解】解：两直线平行，同位角相等；故①说法错误； 互为相反数的两个无理数的和是有理数；故②说法错误； 一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明；故③说法错误； 在同一平面内的三条直线a、b、c，如果，那么；故④说法正确； P是直线l外一点，A，B，C分别是l上的三点，已知，点P到l的距离不一定是1．故⑤说法错误； ∴正确的说法只有1个； 故选：A 【点睛】本题考查了平行线的性质、无理数的定义、定理的概念、平行线公理、点到直线的距离定义，解题的关键是熟记所学的定义进行判断． 【探究式学习】 1．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程叫做裂项． 【类比探究】（1）猜想并写出： ① ； ② ． 【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算：． 【答案】 （1）① ，② ，（2） 【分析】（）根据题中材料即可求解； （）根据（）中的裂项方法，把每一个分数进行裂项，由有理数的加减法则即可完成计算． 本题考查了有理数的四则混合运算，掌握裂项法是解题的关键． 【详解】解：（） ， 故答案为：，； （） ． 2．某数学活动小组用圆形卡片摆图形来探究规律，图1中有1个圆，图2中有4个圆，图3中有11个圆，图4中有22个圆，那么图n（n为正整数）中有多少个圆呢？三位小组成员分别进行了如下探究． 航航同学先把圆的个数填入下表，并对这一列数字的变化进行探究： 序号 图1 图2 图3 图4 图5 … 图n 个数 1 4 11 22 a … b 变化 1 … … 航航同学又对这个数字变化进一步分析： ； ； ； ； ； … ∴图n为 ． 悦悦同学是从图形上进行找规律的，她将圆心按一定规律连接起来，如图： 她发现图1中有1个圆，图2中有个圆，图3中有个圆，图4中有个圆，……于是她得到图n中有c个圆，化简后，与航航的结果一样． 涛涛同学的方法与悦悦类似，但是他提出一个问题：是否存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383？ (1)请你补充航航和悦悦的探究，即______，______，______； (2)请你解决涛涛同学提出的问题． 【答案】(1)；； (2)存在连续两个图形，即图10和图11，它们圆的个数之和为383 【分析】本题考查了图形的变化类问题．解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律． 仔细观察图形发现：每一个图形的中心有一个圆，周围是图形序数减1的差乘图形序数2倍减1的差．利用这一规律解题即可． 【详解】（1）解：补充航航同学的分析： ， ． 补充悦悦同学的分析： 图n中有个圆， ∴． 故答案为：37；；． （2）解：存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383， 由题意得， 解得，（舍去）， 存在连续两个图形，即图10和图11，它们圆的个数之和为383. 3．观察下列等式，探究其中的规律并解答问题： (1)第个等式中，____________； (2)写出第个等式：______________； (3)写出第个等式：_______________（其中为正整数） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查数字规律的探究，涉及对等式中数字特征（如首项、项数、等式右边底数等）的观察、分析与归纳能力，以及用代数式准确表达规律的能力．解题关键在于仔细观察等式两边数字的特征和变化规律，特别是等式左边数字的起始位置、个数以及与等式右边底数的内在联系． （1）观察数字规律，即可得出； （2）根据总结出的规律，即可列出第5个等式； （3）根据总结出的规律，即可列出第n个等式． 【详解】（1）（1）观察前面的等式：   ，等式左边个数，起始数字是，等式右边底数是．   ，等式左边个数，起始数字是，等式右边底数是． ，等式左边个数，起始数字是，等式右边底数是． 可以发现规律：等式左边数字的个数是从开始的连续奇数，第个等式左边数字个数为；等式右边的底数是从开始的连续奇数，第个等式右边底数为，且等式左边起始数字为． 对于第个等式，等式左边数字个数为个，起始数字是，等式右边底数应该是，即． （2）根据上述规律，第个等式左边起始数字是，数字个数为个． 等式左边为，等式右边底数为， 所以第个等式为． （3）根据上述规律，等式左边起始数字为，数字个数为个，依次为，，，．．．．等式右边底数为， 所以第个等式为． 故答案依次为：（1）；（2）；（3）． 4．现定义一种“*”运算，观察下列算式，完成以下探究． ； ； ； ； ； ； ； … (1)计算：_________，_________； (2)类比有理数运算法则，从符号和绝对值两方面，归纳“*”运算的运算法则：两数进行“*”运算时，_________（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行“*”运算，或任何数和0进行“*”运算，等于_________； (3)我们知道加法有交换律和结合律，交换律在有理数的“*”运算中显然适用，那么结合律呢？请你通过以下两个算式进行验证并写出结论（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）． ①；②． 【答案】(1)； (2)同号得正，异号得负，并把它们的平方相加；这个数的平方 (3)①；②，结合律在有理数的“*”运算中不适用 【分析】本题考查了含有乘方运算的有理数混合运算，解题关键是掌握含有乘方运算的有理数混合运算． （1）根据新定义计算； （2）根据新定义，从中找出规律，再总结成文字； （3）①根据新定义，化为一般算式计算； ②根据新定义，化为一般算式计算． 【详解】（1）解： ； ； （2）类比有理数运算法则，从符号和绝对值两方面，归纳“*”运算的运算法则：两数进行“*”运算时，同号得正，异号得负，并把它们的平方相加，特别地，0和任何数进行“*”运算，或任何数和0进行“*”运算，等于这个数的平方， 故答案为：同号得正，异号得负，并把它们的平方相加；这个数的平方； （3）① ； ② ， ， 结合律在有理数的“*”运算中不适用． 【课后检测】 1．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）：                                                                      ……                       …… 请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查整式的规律探索，解题的关键是根据已知式子找出规律．首先确定前几个展开式中第二项的系数，总结出规律，再根据规律即可解决问题．根据杨辉三角的规律，展开式的第二项系数为，因此展开式中含的项是第二项，系数为． 【详解】解：∵由杨辉三角规律可得展开式的第二项系数为， ∴展开式中含的项是第二项，系数为， 故答案为：B． 2．下列结论正确的是（   ） A．任何数都不等于它的相反数 B．若有理数a，b互为相反数，那么 C．若有理数a，b互为相反数，则它们一定异号 D．符号相反的数互为相反数 【答案】B 【分析】本题考查的是相反数的含义，根据相反数的定义，逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：∵ 0的相反数为0，即等于它的相反数． ∴ 选项A错误． ∵a与b互为相反数， ∴． ∴ 选项B正确． ∵ 当时，0与0互为相反数，但0非正非负，不异号． ∴ 选项C错误． ∵ 符号相反的数不一定互为相反数，如2与符号相反，但2的相反数为，． ∴ 选项D错误． 故选：B 3．数形结合是一种广泛适用的解决问题的策略，学习过程中，下面用到数形结合的方法的是（   ） A．①②③④ B．②③④ C．③④ 【答案】C 【分析】根据数形结合思想的意义解答即可． 本题考查了数形结合思想，熟练掌握思想的实质是解题的关键． 【详解】解：①只有数，没有形，不符合题意；②只有形，没有数，不符合题意；③④都体现了数形结合思想， 故选：C． 4．下列命题中，真命题是（　　） A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B．正六边形的每一个外角都是 C．矩形的对角线互相垂直 D．内错角相等 【答案】B 【分析】此题考查了命题的真假，平行四边形的判定方法、正六边形的性质、矩形的性质及平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 利用平行四边形的判定方法、正六边形的性质、矩形的性质及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、正六边形的每个外角都是，正确，是真命题，符合题意； C、矩形的对角线相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D、两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意， 故选：B． 5．下列命题的逆命题是真命题的个数为（   ） ①互补的两个角是邻补角；②对角线互相平分的四边形是矩形；③两条不相交的直线平行；④线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查逆命题的真假判断，涉及几何基本概念和定理的应用，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题． 写出原命题的逆命题后判断正误即可． 【详解】解：“互补的两个角是邻补角”逆命题是“若两个角是邻补角，则它们互补”，正确，故逆命题是真命题； “对角线互相平分的四边形是矩形” 逆命题是“若四边形是矩形，则它的对角线互相平分．” 正确，故逆命题是真命题； “两条不相交的直线平行” 逆命题是“若两条直线平行，则它们不相交．” 正确，故逆命题是真命题； “线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”逆命题是“到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上”，正确，故逆命题是真命题； 故选：D． 6．下列命题中，真命题是（   ） A．平分弦的直径垂直该弦 B．四条边相等且对角线相等的四边形是正方形 C．三角形外角和为 D．两点之间直线最短 【答案】B 【分析】本题考查了真假命题的判断，分别分析各题设是否能推出结论，即可得出答案，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：、平分弦的直径（不是直径）垂直该弦，原选项错误，不符合题意； 、四条边相等且对角线相等的四边形是正方形，原选项正确，符合题意； 、三角形外角和为，原选项错误，不符合题意； 、两点之间线段最短，原选项错误，不符合题意； 故选：． 7．下列命题正确的是（   ） A．已知：线段，则a，b，c，d是比例线段 B．关于x的方程是一元二次方程 C．角都对应相等的两个多边形是相似多边形，边都对应成比例的多边形也是相似多边形 D．已知点是函数图象上的两点，则 【答案】B 【分析】本题考查判断命题的真假，根据比例线段的定义，一元二次方程的定义，相似多边形的定义以及反比例函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、已知：线段，则：，故a，b，c，d不是比例线段，原命题为假命题，不符合题意； B、∵，∴关于x的方程是一元二次方程，原命题为真命题，符合题意； C、角都对应相等，且边都对应成比例的多边形是相似多边形，原命题为假命题，不符合题意； D、∵， ∴双曲线过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， ∵点是函数图象上的两点，且， ∴，原命题为假命题，不符合题意； 故选B． 8．下列四个命题中，假命题是（   ） A．顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形 B．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 C．对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 【答案】C 【分析】此题考查了中点四边形、特殊四边形的判定等知识．根据相关知识进行逐项判断即可． 【详解】解：A. 顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意； B. 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，是真命题，不符合题意； C. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，选项是假命题，符合题意； D. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意； 故选：C 9．下列命题中的真命题是（   ） A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．点到直线的距离是点到直线的垂线段 C．正多边形的中心角等于其每一个内角 D．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得的四边形为菱形 【答案】D 【分析】本题考查了判断真假命题，垂线的性质，点到直线的距离，正多边形的中心角，以及中点四边形，根据以上知识逐项分析判断，即可 【详解】解：A. 同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故该选项是假命题，不符合题意； B. 点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，故该选项是假命题，不符合题意； C. 正多边形的中心角是正多边形的每一个中心对称角，而其每一个内角是由多边形内部相邻两边之间的夹角，故中心角与内角并不相等，故该选项是假命题，不符合题意； D. 顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得的四边形为菱形，故该选项是真命题，符合题意； 故选：D． 10．已知整式，其中均为正整数，若，以下三个说法中正确的有（    ） ①当，时，满足条件的整式共有4个； ②当时，满足条件的整式共有6个； ③所有满足条件的共有21个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据系数和约束及次高次项系数关系，分类讨论不同次数n和最高次项系数m的可能情况，并计算对应整式数量． 本题主要考查整式的规律类探索，理解题意后准确找出变化规律，并运用分类讨论的思想是解题的关键． 【详解】解：∵整式M的形式为，其中均为正整数，且满足和 所以 所以 所以 ∵ 当时， , 计算各对应的整式数量： （一）时，，每个对应1个， ,,, ，，，共3个； （二）当时，， 时， ， ， ，，，有4个， 时， ， ，，有2个， 共6个； （三）当时，， 时， ， ， ，，，，，， ，，，，， 有6个， 时 ， ， ， 有1个，共7个； （四）当时，， ， ， ，，，， ，， ， 有4个， （五）当时，， ， ， ， ， 有1个； 总数量为. 验证说法： ①当，时，，，有4个，正确 ②当时，有7个，但说法声称6个，错误 ③所有满足条件的共21个，正确 ∴正确说法有2个． 故选：C． 11．下列命题：相等的角都是对顶角；不小于直角的角是锐角；若，则或；若，则．其中属于真命题的是______． 【答案】③④ 【详解】解：相等的角都是对顶角，错误，是假命题； 不小于直角的角是锐角，错误，是假命题； 若，则或，正确，是真命题； 若，则正确，是真命题． 12．判定命题“如果，那么”是假命题，只需要举一个反例，这个反例可以是________． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】题中条件为，结论为，则只需找出满足且的一组即可． 【详解】解：当，时，，， 满足，但，不满足， ∴，可作为该命题的反例． 13．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第6个图形中共有__________个○． 【答案】37 【分析】本题考查了图形规律探索，根据图形找到规律即可求得结果． 【详解】解：每个图形是“十字形”结构，包含部分：上方固定个○；左右两边：第个图中，每边有个○，两边共个；下方：第个图中有个○， 因此，第个图形的○总数为：， 当时，总数为：． 故答案为：． 14．南山中学高一年级举办数学竞赛，A、B、C、D、E五位同学得了前五名，发奖前，老师让他们猜一猜各人的名次排列情况． A说：B第三名，C第五名； B说：E第四名，D第五名； C说：A第一名，E第四名； D说：C第一名，B第二名； E说：A第三名，D第四名． 老师说：每个名次都有人猜对，试判断获得第一至第五名的依次为__________． 【答案】C、B、A、E、D 【分析】此题考查了逻辑推理， 根据老师的话“每个名次都有人猜对”，分析各人的猜测，由于第二名只有D猜测“B第二名”，因此B必须是第二名；进而第三名必须被猜对，只有E猜测“A第三名”可能正确，因此A是第三名；第一名由D猜测“C第一名”正确，故C是第一名；第四名和第五名需被猜对，第五名只能是D（因为C已是第一名），故D是第五名；第四名只能是E，被B或C猜对． 【详解】∵每个名次都有人猜对，第二名只有D猜测“B第二名” ∴B是第二名； ∴此时A的“B第三名”错误，E的“A第三名”必须正确以确保第三名被猜对， ∴A是第三名； ∴C的“A第一名”错误， ∴D的“C第一名”正确， ∴C是第一名； ∴A的“C第五名”错误， ∴B的“D第五名”正确， ∴D是第五名； ∴ B的“E第四名”正确， ∴E是第四名． 故答案为：C、B、A、E、D． 15．请用“归纳”策略解答问题： 如图，将一根绳子折成4段，然后按图中所示方式剪开．剪1刀，绳子变为5段；剪2刀，绳子变为9段；……依此规律剪10刀，绳子变为________段． 【答案】 【分析】本题考查了根据图形的变化规律列代数式的相关知识，根据图形的变化找出其规律是解本题的关键，根据图形，找出规律，每剪1次，绳子数量增加4段，依此规律，将代入其中求值即可． 【详解】解：因为剪开次数（刀）为1，则绳子数量（段）为5， 剪开次数（刀）为2，则绳子数量（段）为9， 所以每剪1次，绳子数量增加4段， 所以剪开次数（刀）为3，则绳子数量（段）为， 剪开次数（刀）为4，则绳子数量（段）为， ， 所以剪开次数（刀）为，则绳子数量（段）为， 当时，， 故答案为：． 16．已知命题①：一个锐角和一个钝角一定互为补角．命题②：两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (1)请将上述两个命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)判断这两个命题是真命题还是假命题．若是假命题，请举一个反例． 【答案】(1)命题①改写为：如果两个角一个是锐角，一个是钝角，那么这两个角互为补角； 命题②改写为：如果两个三角形有两条边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等. (2)命题①是假命题，反例：锐角为，钝角为，则，即它们不互为补角； 命题②是真命题. 【详解】（1）略 （2）略 17．在整数除法体系中，一个正整数除以3的余数规律蕴含着深刻的数学逻辑． 若我们把一个正整数a除以3所得的余数记作“a模3”，例如：记作“12模”；记作“16模”；记作“11模”． (1)直接写出结果：36模 ；360模 ． (2)①命题：如果a模，其中a为正整数，那么模．这个命题是真命题，证明过程如下： 证明：若a模，其中a为正整数，则a能被3整除，可以设； 则； 所以能被3整除， 即模． ②命题：如果a模，其中a为正整数，那么模．是否正确？若正确，请证明，若不正确，举例说明； (3)证明：如果a模，b模，其中a、b为正整数，那么模． 【答案】(1)0；0 (2)②正确，证明见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据新定义解答即可求解； （2）根据命题①的证明方法解答，即可求解； （3）根据题意设，可得，即可解答． 【详解】（1）解：， ∴36模；360模； （2）解：②正确， 证明：若a模，其中a为正整数，则a除以3余1，可以设， 则， 因为能被3整除，10除以3余1， 所以模， 即模； （3）证明：因为a模，b模， 所以设， ， 所以模， 所以能被整除， 所以模． 18．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；…． …． (1)请写出第5个等式：____________； (2)写出第n个等式：____________；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)根据你发现的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）观察可知，两个连续的正整数 ， 的倒数的相反数加上 的倒数，等于 的倒数的相反数乘以 的倒数，据此求解即可； （2）根据（1）所求可得答案； （3）根据（2）的规律把原式变形为 ，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：， ……， 以此类推，可知，第个等式为 ， 第5个等式为 ； （2）由（1）可得第个等式为 ； （3）原式． ． 19．阅读材料，回答下列问题（规定且）： 材料一：乘方：求个相同因数（）乘积的运算，叫作乘方，记作：，其中，为底数，为指数，结果为幂．如：．设，，有如下性质： （1）； （2）； 材料二：开方：如果一个数的次方等于（即：），称为的次方根．记作： ，为被开方数，为根指数．如： 材料三：对数：如果，那么被称为以为底的对数，记作，其中为对数的底数，为真数．如：，则．设，，则，，，有如下性质及推导过程： （1）； （2）； （1）推导过程： ； 规律总结：乘方、开方、对数之间的关系：． (1)根据以上材料规律：已知；则______；______ (2)类比材料三的推导过程，求证：； (3)根据阅读材料计算：． 【答案】(1)， (2) 证明：令，， 则，，， ∴． (3) 【分析】本题考查了新定义的知识解题，理解新定义，找到指数和对数的关系是求解本题的关键． （1）根据材料二，材料三中的计算公式，类比得出结果； （2）类比材料二，将、代入，通过同底数幂的乘法，结合得出，又由，即可证明； （3）利用材料三的性质进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，得， ∴，得， ∵，得， ∴，得， 故答案为：；． （2）略 （3）解：根据材料三的性质， 得， ∵， ∴． 20．指出题中的假命题，并举反例说明． (1)已知点P到，两点的距离，之和等于线段的长，则点P在线段上． (2)已知点P到，两点的距离，之和大于线段的长，则点P在直线上． (3)当时，有． (4)当时，有． 【答案】(1)该命题为真命题． (2)该命题为假命题， 反例：如图所示，，之和大于线段的长，点在直线外．    (3)该命题为真命题． (4)该命题为假命题， 反例：当时，． 【分析】本题主要考查命题和反例的定义： （1）真命题； （2）假命题，当点，，为三角形的三个顶点时，可作为反例； （3）真命题； （4）假命题，当时，可作为反例． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 40 页 第 1 页 共 40 页 学科网（北京）股份有限公司 $