第20讲 中位数与箱线图（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年北师大版八年级数学上册

简一数理 初中专题讲义 第20讲 中位数与箱线图 （新教材北师大版） 知识点一、中位数 2 知识点二、四分位数（箱线图基础） 2 知识点三、箱线图（箱形图） 3 知识点四、易错点 4 知识点五、数学思想 4 【题型1 求中位数】 4 【题型2 利用中位数求未知数据的值】 5 【题型3 运用中位数做决策】 7 【题型4 求四分位数】 9 【题型5 画箱线图】 12 【题型6 识别箱线图信息】 14 【题型7 中位数与箱线图综合题】 17 【探究式学习】 22 【课后检测】 26 【复盘笔记】 37 知识点一、中位数 1. 定义 将一组数据按从小到大（或从大到小）顺序排列： · 数据个数为奇数：处在中间位置的数就是中位数； · 数据个数为偶数：中间两个数据的平均数是中位数。 中位数只有一个。 2. 特点 1. 中位数只和数据位置有关，不受极端大、极端小值影响； 2. 中位数代表一组数据的中等水平； 3. 中位数不一定是这组数据里原有的数（偶数个时）。 3. 求中位数步骤 ① 排序（必须排序，易错点）； ② 数总个数； ③ 判断奇偶： · n奇数：中位数为第 个数据； · n偶数：中位数为第 、第 两个数的平均数。 知识点二、四分位数（箱线图基础） 把排好序的数据分成四等份，三个分割点：下四分位数Q1、中位数Q2、上四分位数Q3 · Q2：就是中位数； · Q1：下半组数据的中位数； · Q3：上半组数据的中位数； · 极差 = 最大值 − 最小值 · 四分位距（IQR）：IQR=Q3-Q1 四分位距反映中间50%数据的离散程度，不受极端值影响。 知识点三、箱线图（箱形图） 1. 五个关键数值（五数概括） 最小值、下四分位数Q1、中位数Q2、上四分位数Q3、最大值 箱线图由一条数轴绘制： · 矩形箱子：左端点Q1，右端点Q3；箱子内部竖线：中位数Q2 · 须：箱子向左延伸到最小值，向右延伸到最大值 图 示 2. 箱线图信息解读 1. 箱子宽窄：代表中间50%数据的分散程度，箱子越宽，四分位距越大； 2. 中位数线在箱子内位置： 2. 居中：中间数据分布均匀； 2. 偏左：数据右偏（偏大数据多）； 2. 偏右：数据左偏（偏小数据多）； 3. 两根“须”长度：看两端数据分布； 4. 可直观比较多组数据：集中趋势、波动大小。 3. 箱线图作用 · 直观展示五数； · 识别数据偏态； · 多组数据对比； · 判断异常值（拓展：小于Q1-1.5IQR或大于Q3+1.5IQR，视为异常值）。 知识点四、易错点 1. 求中位数、四分位数一定要先排序，不排序直接取中间数是常见错误； 2. 中位数是一个数，不是位置； 3. 箱线图只能看到五数，看不到每个原始数据，无法求平均数、众数； 4. 四分位距只描述中间一半数据波动，不等同于极差。 知识点五、数学思想 统计思想：用特征量（中位数、四分位数）概括整体数据分布，数形结合（箱线图可视化数据）。 【题型1 求中位数】 【例1】嘉嘉根据一组数据画出如图所示的箱线图，则下列说法不正确的是（     ） A．最小值为47 B．中位数为73 C．平均数无法确定 D．第一四分位数为83 【答案】D 【分析】根据箱线图的相关知识点逐项分析即可得出结果，同时箱线图无法直接反映数据的平均数． 【详解】解：由箱线图可得，最小值为47，中位数为73，第三四分位数为83，故AB正确，D错误； 平均数是所有数据的总和除以数据的个数，箱线图仅能反映数据的位置特征和离散程度，无法提供所有数据的具体数值，因此无法计算出数据的总和，也就无法确定平均数，故C正确． 【变式1-1】某科技论坛对、豆包、腾讯元宝、夸克四款助手中某一项功能的月度用户评分进行了统计，数据如下表所示（单位：分），评分的众数和中位数分别是（     ） 助手 评分（满分100） 88 豆包 84 腾讯元宝 84 夸克 86 A．84，86 B．84，88 C．88，85 D．84，85 【答案】D 【分析】根据众数和中位数的定义求解即可． 【详解】解：评分数据为，按从小到大排序为， ∵出现次，出现次数最多， ∴众数为， ∵数据个数为，是偶数， ∴中位数为第个和第个数据的平均数，即． 【变式1-2】广州国际龙舟邀请赛是一项历史悠久且深受广大市民喜爱的传统赛事．某龙舟代表队在“人龙舟米直道竞速”项目的六次训练成绩（单位：秒）分别是：，，，，，．这组数据的中位数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将数据从小到大排列为，，，，，， ∵共有个数据，且为偶数个， ∴ 中位数是第个和第个数据的平均数， 即 ． 【变式1-3】将某组数据绘制成箱线图如图所示，则下列说法错误的是（     ） A．最大值是180，最小值是120 B．中位数是150 C．第一四分位数是140 D．四分位距是60 【答案】D 【分析】定位箱线图各统计量的位置，读取最大值、最小值、中位数及四分位数． 【详解】解：由箱线图可知，最大值为180，最小值为120，中位数为150 ，第一四分位数为140 ，第三四分位数为163， ∴四分位距为． 【题型2 利用中位数求未知数据的值】 【例2】数据、、、、、的中位数是，那么这组数据的众数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中位数的定义求出的值，再根据众数的定义求解． 【详解】解：数据、、、、、的中位数是， ， 这组数据中出现次数最多， 众数为． 【变式2-1】一组数据从小到大排列：，，，，，，中位数为，则这组数据的方差为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据中位数的定义求出未知数据，再计算平均数，最后根据方差公式计算方差即可得到结果． 【详解】解：∵这组数据共个，偶数个数据的中位数是排序后中间两个数的平均数，将数据从小到大排列后，第个数是，第个数是， ∵中位数为， ∴， 解得， 平均数：， 根据方差公式计算：， ， ， ． 【变式2-2】一组数据： 1，3，5，7，9，添加一个数后，中位数变为5.5，则添加的数是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】添加数据后数据个数变为偶数，偶数个数据的中位数是排序后中间两个数的平均数，利用该性质计算即可． 【详解】解：∵ 原数据从小到大排列为 ，共个数据，添加 个数后总共有个数据， ∴ 新数据的中位数为排序后第个和第个数据的平均数， 由中位数为 可得 ，即 第3个数据第4个数据， ∵ 结合原数据排序可知，若中位数为，则第个数据为， ∴ 第个数据为 ，因此添加的数是． 【变式2-3】有一组从小到大排列的数据：，下列结论中，正确的是（     ） A．这组数据的平均数比中位数大 B．这组数据的中位数不能确定 C．这组数据的众数是 D．这组数据的平均数可能是 【答案】A 【分析】根据数据从小到大排列确定的取值范围，再结合中位数、众数、平均数的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵这组数据从小到大排列为，，，， ∴，这组数据共个数，中位数是排序后第个数， ∴中位数为 A、这组数据的平均数为，，，即平均数一定比中位数大，故此选项正确； B、中位数可以确定为，故此选项错误 ； C、当时，这组数据为，众数为和，故此选项错误 ； D、若平均数为，则数据总和为，计算得，与矛盾，因此平均数不可能是，故此选项错误． 【题型3 运用中位数做决策】 【例3】某学校组织才艺表演比赛，前名获奖．有位同学参加比赛且他们所得的分数互不相同．某同学要判断自己能否获奖，不仅要知道自己的比赛成绩，还要知道这名同学比赛成绩的（     ） A．众数 B．方差 C．中位数 D．平均数 【答案】C 【分析】本题考查不同统计量的实际意义，根据获奖人数和总人数，利用中位数的位置特征即可判断需要的统计量． 【详解】解：∵13位同学所得分数互不相同，前6名获奖，将13个分数按从小到大排序后，中位数是排序后的第7个分数， ∴中位数及中位数之后共有7个分数，包含全部6个获奖分数， 该同学将自己的成绩与中位数比较，若成绩大于中位数，则一定获奖，否则不能获奖． 因此只需知道这13名同学成绩的中位数即可判断能否获奖． 【变式3-1】我校为了解八年级学生的体能状况，对甲、乙两个班级学生的一分钟跳绳成绩进行了测试．测试结束后，体育老师绘制了两个班级成绩的箱线图（如图）．根据箱线图提供的信息，关于甲、乙两班学生一分钟跳绳成绩的统计量，下列说法正确的是（     ） A．可以准确得出两个班的平均数，且甲班平均数高于乙班 B．可以准确得出两个班的中位数，且甲班中位数高于乙班 C．可以准确得出两个班的方差，且甲班方差小于乙班 D．若每个班有38名学生，则甲班第10名跳绳次数小于乙班第10名跳绳次数 【答案】B 【分析】箱线图能直接显示一组数据的最大值、最小值、中位数及上下四分位数，但无法直接显示平均数、方差及具体某个排名的数值． 【详解】解：．箱线图无法直接计算出准确的平均数，只能大致估计，所以“可以准确得出两个班的平均数”这一说法错误，故该选项不符合题意； ．甲班的中位数是165，乙班的中位数是160，甲班中位数高于乙班，该说法正确 ，故该选项符合题意； ．箱线图无法直接计算出准确的方差，只能通过数据的分布范围估计离散程度无法得到确定的方差值，所以该说法错误，故该选项不符合题意； ．若每个班有38名学生，甲班的，说明有 (即)的学生成绩，即第10名的成绩在145以上；乙班的，说明有 (即)的学生成绩，即第10名的成绩在140以上．但无法直接判定甲班第10名成绩一定小于乙班第10名成绩，该说法错误，故该选项不符合题意． 【变式3-2】某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图判断下列说法正确的是（     ） A．三个班级中，甲班分数的方差最大 B．三个班级中，乙班学生得分两极分化最不明显 C．丙班学生得分的中位数低于甲班学生得分的中位数 D．若每班有42个学生，则三个班级中每班第11名的成绩相比较，丙班分数最高 【答案】D 【分析】通过箱线图中数据的分布情况，对各选项逐一进行分析判断即可解答． 【详解】解：A、箱线图中，数据的离散程度可通过箱线图的宽度来判断，宽度越窄，数据越集中，方差越小．甲班箱线图的宽度相对较窄，说明甲班分数更集中，所以甲班分数的方差最小，故本选项错误，不符合题意； B、由箱线图可知，乙班中最大值较另两个班更大，最小值较另两个班更小，故乙班分数的波动最大，故本选项错误，不符合题意； C、由箱线图可知，丙班的中位数大于80，故丙班得分高于80分的学生人数多于得分低于80分的学生人数，丙班学生得分的中位数高于甲班学生得分的中位数，故本选项错误； D、每班有42个学生，第11名的分数是按从高到低排序后的第11个数据，从箱线图看，丙班的分数最高，故本选项正确． 【变式3-3】某书店拟推出由7本短篇绘本组成的亲子阅读套装产品．现有10本候选绘本，其页数数据如图所示．已知序号为1到5号的绘本已确定入选，且这5本绘本页数的中位数为40页．6号绘本从甲、乙、丙中挑选，7号绘本从丁、戊中挑选，使最终选定的7本绘本页数的中位数仍为40页，可以选择（     ） A．甲、丁 B．乙、戊 C．丙、丁 D．丙、戊 【答案】C 【分析】本题主要考查了用中位数做决策，要使选定7本绘本的页数的中位数仍为40， 则需要从甲、乙、丙和丁、戊里选择40页以上的一本绘本和40页以下的一本绘本，根据选项即可得出正确的答案． 【详解】解：由图像可知，要使选定7本绘本的页数的中位数仍为40， 则需要从甲、乙、丙和丁、戊里选择40页以上的一本绘本和40页以下的一本绘本， 因此可排除甲、丁，乙、戊，丙、戊，只能选择丙、丁． 【题型4 求四分位数】 【例4】已知样本数据10，11，9，13，10，9，12，12，则这组样本数据的第75百分位数是（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】先将数据从小到大排列，再分别用取中位数法和百分比法求第75百分位数． 【详解】解：将数据从小到大排列为9，9，10，10，11，12，12，13，共个数据． 解法一：中位数， 上半部分数据为11，12，12，13， ． 解法二：，位置为整数， ． 两种方法结果一致，第75百分位数为12． 【变式4-1】2026年河北省第十七届运动会吉祥物为凤娃和凰宝（如图），某商店连续八天销售这款吉祥物的数量（单位：套）分别为33，44，40，34，46，48，44，53，这组数据的第一四分位数为（     ） A．42 B．37 C．40 D．47 【答案】B 【详解】解：将原数据从小到大排序得，33，34，40，44，44，46，48，53， 方法一：数据总个数为8， 第一四分位数为前半部分的数的中位数， 这组数据的第一四分位数是； 方法二：数据总个数为8， ∴， 这组数据的第一四分位数是． 【变式4-2】遵义市某区教育局为了解甲、乙两所初中学校八年级学生的体育模拟测试成绩（满分分），分别从两校各随机抽取了相同人数的学生，绘制了成绩的箱线图如图所示．则下列说法错误的是（     ） A．这次考试中两校均没有满分的 B．甲校成绩的上四分位数大于乙校成绩的下四分位数 C．甲校的成绩比乙校的成绩波动更大 D．甲校成绩的下四分位数与乙校成绩的中位数相同 【答案】D 【分析】根据箱线图的特征，读取最大值、四分位数、中位数及数据分布范围进行判断． 【详解】解：∵两校箱线图的上须顶端均在分刻度线下方， ∴这次考试中两校均没有满分，选项A说法正确，不符合题意； ∵甲校成绩的上四分位数对应分，乙校成绩的下四分位数低于分， ∴甲校成绩的上四分位数大于乙校成绩的下四分位数，选项B说法正确，不符合题意； ∵甲校成绩的极差和四分位距均大于乙校， ∴甲校的成绩比乙校的成绩波动更大，选项C说法正确，不符合题意； ∵甲校成绩的下四分位数对应分，乙校成绩的中位数对应分， ∴甲校成绩的下四分位数与乙校成绩的中位数不相同，选项D说法错误，符合题意． 【变式4-3】某中学数学教师共有20人，他们的年龄分布如表所示，下列说法正确的是（     ） 年龄（岁） 62 50 43 32 30 28 25 人数（人） 2 3 3 5 2 4 1 A．这20人年龄的下四分位数是29岁 B．这20人年龄的上四分位数是29岁 C．这20人年龄的中位数是31岁 D．这20人年龄的众数是5人 【答案】A 【分析】将年龄从小到大排列，确定各位置对应的年龄后，结合各统计量的定义计算判断． 【详解】解：将年龄从小到大排列如下： 年龄（岁） 25 28 30 32 43 50 62 人数（人） 1 4 2 5 3 3 2 A、解法一：下四分位数即分位数，， 为第5个和第6个数据的平均数， 即，故A正确； 解法二：共有20个数据，中位数为， 下四分位数为前半部分的中位数， 即，故A正确； B、解法一：上四分位数即分位数，， 为第15个和第16个数据的平均数， 即，故B错误； 解法二：共有20个数据，中位数为， 上四分位数为后半部分的中位数， 即，故B错误； C、， 中位数为第10个和第11个数据的平均数，， 即中位数为32，故C错误； D、众数是出现次数最多的年龄，为32岁，故D错误． 【题型5 画箱线图】 【例5】已知（1）班和（2）班人数相等，在一次考试中两班成绩中位数相同，两班成绩的箱线图如下，下列判断正确的是（     ） A．（1）班成绩比（2）班成绩集中 B．（1）班成绩的上四分位数是80分 C．（1）班有同学的成绩超过140分 D．（1）班的最低分低于（2）班的最低分 【答案】D 【分析】根据箱线图的特征，分别观察数据的集中程度、四分位数、最大值及最小值进行判断即可． 【详解】解：A、观察箱线图知：（1）班成绩的箱线图的长度较长，数据分布较分散，则（2）班成绩比（1）班成绩集中，故该选项A错误； B、观察箱线图知：（1）班成绩的下四分位数是80分，上四分位数约为110分，故该选项B错误； C、观察箱线图知：（1）班成绩的最大值约为135分，低于140分，没有同学的成绩超过140分，故该选项C错误； D、观察箱线图知：（1）班成绩的最低分约为50分，（2）班成绩的最低分约为70分，，即（1）班的最低分低于（2）班的最低分，故该选项D正确． 【变式5-1】小申将某书店5月份每天的书籍销量绘制成如图所示的箱线图，下列说法中不正确的是（     ） A．这组数据的第一四分位数是150 B．该书店5月份销量最少的一天销售了50本书 C．这组数据的最大值是400 D．该书店有15天每天的销量在250本以上 【答案】D 【分析】根据每天的书籍销量绘制成如图所示的箱线图进行判断即可． 【详解】解：这组数据的第一四分位数是，选项A正确，不符合题意； 该书店5月份销量最少的一天销售了50本书，选项B正确，不符合题意； 这组数据的最大值是400，选项C正确，不符合题意； 该书店中位数为本，故该书店不可能有15天每天的销量在250本以上，故选项D错误，符合题意． 【变式5-2】已知，两个班的人数相同，在一次测试中两个班成绩的箱线图如图所示（满分分），则下列说法错误的是（     ） A．班成绩的中位数比班成绩的下四分位数低 B．班的最低分比班的最低分低 C．班成绩的上四分位数与班成绩的中位数相同 D．班的成绩比班的成绩更集中 【答案】D 【分析】根据箱线图所展示出的数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值，对选项描述逐一进行判断即可． 【详解】解：根据箱线图的上四分位数为箱子上边界对应的值，下四分位数为箱子下边界对应的值，中位数为箱子内部的横线对应的值，最大值、最小值为上下侧虚线的端点对应的值，分析各选项． 选项，根据箱线图，班成绩的中位数比班成绩的下四分位数低，说法正确，不符合题意； 选项，根据箱线图，班的最低分比班的最低分低，说法正确，不符合题意； 选项，根据箱线图，班成绩的上四分位数与班成绩的中位数相同，说法正确，不符合题意； 选项，班的成绩比班的成绩更集中，说法错误，根据箱线图，应是班的成绩比班的成绩更集中，故符合题意． 【变式5-3】某同学将英语演讲比赛中每位选手最终得分绘制成如图所示的统计图，根据图中数据可以得到（     ） ①这次比赛的所有选手得分中，最高分为98分； ②所有选手得分的平均分为85分； ③最高分与最低分相差6分； ④所有选手得分的上四分位数为88分． A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①④ 【答案】D 【详解】解：由箱线图可知， 这次比赛的所有选手得分中，最高分为98分； 所有选手得分的中位数为85分，平均数无法确定； 最高分与最低分相差分； 所有选手得分的上四分位数为88分， 结论①、④正确，②、③错误． 【题型6 识别箱线图信息】 【例6】八年级某班组织了一场一分钟跳绳比赛，参赛学生被分成了甲、乙两组，如图是甲、乙两组学生一分钟跳绳次数的箱线图，下列说法错误的是（     ） A．甲组跳绳次数的波动比乙组大 B．甲组跳绳次数的下四分位数小于 C．乙组跳绳次数的中位数比甲组小 D．乙组跳绳次数的最大值小于 【答案】D 【分析】根据箱线图的特征逐一判断即可． 【详解】解：选项：甲组的极差比乙组大，且甲组箱体长度大于乙组，故甲组跳绳次数的波动比乙组大，正确； 选项：甲组跳绳次数的下四分位数约，小于，正确； 选项：甲组跳绳次数的中位数约，乙组跳绳次数的中位数约，乙组跳绳次数的中位数比甲组小，正确； 选项：乙组跳绳次数的最大值约，大于，错误． 【变式6-1】甲、乙两地5月每天最低气温的箱线图如下图所示，下列说法不正确的是（     ） A．甲地每天最低气温的最小值低于乙地每天最低气温的最小值 B．甲地每天最低气温的中位数低于乙地每天最低气温的中位数 C．甲地每天最低气温的第一四分位数比乙地每天最低气温的第一四分位数大 D．甲地每天最低气温的波动比乙地每天最低气温的波动大 【答案】C 【详解】解：A、由图可得，甲地的下限低于乙地，即甲地每天最低气温的最小值低于乙地每天最低气温的最小值，故A不符合题意； B、由图可得，甲地的中位数为，低于乙地的中位数，故B不符合题意； C、由图可得，甲地的第一四分位数小于，而乙地的第一四分位数大于，故C符合题意； D、由图可得，甲地的箱体比乙地长，须线也长于乙地，因此甲地比乙地的波动大，故D不符合题意． 【变式6-2】如图为某地区2026年2月和3月的空气质量指数箱线图．值越小，空气质量越好；值在之间，说明重度污染．则下列说法错误的是（    ） A．该地区3月有重度污染天气 B．该地区3月的值比2月集中 C．该地区3月的值中位数大于2月值的中位数 D．整体看，该地区2月的空气质量好于3月 【答案】B 【分析】通过观察箱线图的特征，结合的定义，对每个选项逐一分析判断． 【详解】解：选项，从箱线图中可见月有值在之间， ∵值在之间说明重度污染， ∴该地区年月有重度污染天气，故选项说法正确． 选项，观察箱线图，月的箱形更窄，数据更集中，月的箱形更宽，数据更分散， ∴该地区年月的值不如月集中，故选项说法错误． 选项，从箱线图中可看出月值的中位数对应的位置高于月， ∴该地区年月的值中位数大于月值的中位数，故C选项说法正确． 选项，∵值越小，空气质量越好，月的值整体小于月， ∴整体看，该地区月的空气质量好于月，故选项说法正确． 【变式6-3】小明统计了西安和济南近两年7～8月每天的最高温度，将统计结果绘制成箱线图如图所示，则关于此时段内两地的最高温度情况，下列说法正确的是（    ） A．济南每天的最高温度的下四分位数为 B．济南每天的最高温度的中位数小于西安每天的最高温度的中位数 C．西安每天的最高温度都高于济南每天的最高温度 D．西安有超过一半的天数最高温度不低于 【答案】B 【分析】根据箱线图的特征，分别读取西安和济南的最高温度的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值，结合统计量的意义逐一判断选项即可． 【详解】解：由箱线图可知，济南箱体的左边缘对应数值为，即下四分位数为，故A错误； 由箱线图可知，济南箱体内的竖线对应数值为，即中位数为；西安箱体内的竖线对应数值为，即中位数为； ， 济南每天的最高温度的中位数小于西安每天的最高温度的中位数，故B正确； 由箱线图可知，西安的最低温约为，济南的最高温为， 存在济南气温高于西安气温的情况，故C错误； 由箱线图可知，西安的中位数为，上四分位数为， 西安约有的天数最高温度不低于，未超过一半，故D错误． 【题型7 中位数与箱线图综合题】 【例7】在壮美广西·健康南宁综合与实践活动中，需要了解南宁市某中学学生每周参加体育锻炼的时间（单位：）．某位同学随机调查了该校50名学生，得到一组数据，并将这些数据绘制成如下的统计图．请根据相关信息，回答下列问 (1)在箱线图中， ， ；在扇形统计图中，的值是 ． (2)根据样本数据，若该校共有学生1500人，估计该校每周参加体育锻炼的时间至少为的学生约有多少人？ 【答案】(1)，； (2)人 【分析】（1）先根据扇形统计图算出各组百分比，求出对应的百分比；将50个数据从小到大排序，利用各组人数确定下四分位数、中位数． （2）先算出样本中锻炼时间至少的百分比，再用总人数乘以该百分比进行总体估计． 【详解】（1）解：方法一：， ∴， 各组人数： ：， ：， ：， ：， ：， ：， 一共50个数据， 第，取第13个数据，； 第，取第25，个数据，． 方法二：， ∴， 各组人数： ：， ：， ：， ：， ：， ：， ∴50名学生的锻炼的时间从小到大排列为： 5，5，5，5，5，5，6，6，6，6，6，6，6，6，7，7，7，7，7，7，7，7，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，9，10，10，10，10 处于最中间的两个数据为第25，26个，分别为7，7，故中位数， 前25个数据的中位数为6，故下四分位数； （2）解：至少的百分比， （人）， 答：该校每周参加体育锻炼的时间至少为的学生约有人． 【变式7-1】某中学进行知识竞赛．从七、八年级各随机抽取了12名学生的竞赛成绩进行整理（满分10分，得分均为整数），所抽取的七、八年级学生成绩如下： 七年级：3，4，6，6，6，6，7，9，9，9，9，10 八年级：5，5，5，6，7，7，7，7，8，9，9，9 小嘉分析数据后列出统计表并画出箱线图． 年级 平均数 中位数 众数 七年级 7 6和9 八年级 7 7 (1)填空：__________，__________； (2)八年级成绩箱线图的下四分位数是__________； (3)该校八年级共240人参加知识竞赛，估计八年级参加竞赛成绩优秀（）的学生人数为多少人？ 【答案】(1)6.5，7 (2)5.5 (3)估计八年级参加竞赛成绩优秀的学生人数为80人 【分析】（1）根据中位数、众数的定义求解即可； （2）根据下四分位数的定义求解即可； （3）八年级参加竞赛成绩的人数是人，求出所占百分比，即可求解． 【详解】（1）解：， 八年级7出现次数最多，； （2）解：方法一：八年级成绩箱线图的下四分位数是前半部分数据的中位数，即7，7，8，9，9，9的中位数，； 方法二：∵， ∴八年级成绩箱线图的下四分位数是从小到大排列后的第3和第4个数的平均数，即；； （3）解：（人）， 估计八年级参加竞赛成绩优秀的学生人数为80人． 【变式7-2】某校开展航天知识竞赛，记分员分别记录了甲，乙两组同学的得分情况（单位：分）．相关信息如下： 甲组：． 乙组：． 甲、乙两组竞赛成绩的箱线图如图． (1)求乙组的四分位数； (2)根据四分位数可绘制如图的箱线图，观察图中甲组的箱线图，绘制乙组的箱线图． 【答案】(1)乙组的上四分位数90，乙组的下四分位数78 (2) 【分析】（1）根据四分位数的求法作答即可； （2）根据（1）中数据绘制箱线图即可． 【详解】（1）解：乙组的上四分位数：方法一、乙组的中位数是， ∴乙组的上四分位数是中位数右侧四个数的中位数，即， 乙组的下四分位数是中位数左侧四个数的中位数，即， 方法二、∵，， ∴上四分位数是第、个数据的平均数，即， 下四分位数是第2、3个数据的平均数，即； （2）略 【变式7-3】某校为促进学生养成健康生活习惯，组织该校、两个校区的全体学生开展了青少年健康知识测试，为了解八年级学生对健康知识的掌握情况，从，两个校区的八年级学生中各随机抽取了20名学生的成绩（百分制且为整数），并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．从校区抽取的学生成绩如表1所示： 表1 分组 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 第七组 成绩/分 人数 1 3 2 4 4 2 b．从校区抽取的学生成绩按由小到大顺序排列如下： 70  74  77  77  78  79  79  81  82  85  85  85  85  87  88  88  91  96  96  97 c．从校区抽取的学生成绩的箱线图如图： d．从两个校区抽取的学生成绩的平均数、中位数、众数如表所示： 表2 校区 平均数 中位数 众数 校区 84 82 校区 84 85 根据以上信息，回答下列问题： (1)表1中_____，表2中_____，_____； (2)已知校区八年级有480名学生，估计校区八年级学生中成绩高于90分的学生有多少人； (3)若从校区抽取的第六组中某位学生的成绩是90分，求其余3名学生成绩中的最小值． 【答案】(1)；； (2)估计高于90分的学生有96人； (3)93． 【分析】（1）根据表格、箱线图以及中位数和众数的定义求解即可； （2）利用样本估计总体求解即可； （3）结合箱线图求解即可． 【详解】（1）解：由表格知， 解得； 由箱线图可知，校区中位数； B校区成绩里出现次最多，众数； （2）解：B校区样本人中高于90分的有：91，96，96，97，共4人 ∴， 答：估计高于90分的学生有96人； （3）解：A校区箱线图：最小值66，下四分位数76.5，中位数85，上四分位数91.5，最大值99． 一共20个数据，上四分位数是第15、16号两个数据的平均数，等于91.5． 也就是：第16号数据，第17号是第六组的第一个数据． 第六组：，本组一共4个学生，其中1人成绩是90分． 所有成绩从小到大排，第15、16、17、18号属于第六组，第19、20号属于第七组． 已知第六组最低分第15号成绩为90，结合第15、16号平均数为91.5， 计算可得第16号成绩为93，其余3名学生成绩最小值为93． 所以除去90分之外，剩下3名同学成绩的最小值是93． 【探究式学习】 1．为了解学生的体育锻炼情况，慧谷学校九年级以“活力校园—初中生运动时长探究”为主题开展调查研究，该年级随机抽取了A、B两个班，通过问卷收集了A、B两个班学生的平均每周锻炼时长数据，现从这两个班级分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行整理、描述和分析，下面给出部分信息． 【数据收集】 A班：8，7，12，8，7，5，6，8，6，13； B班学生平均每周锻炼时长数据的条形统计图如下： 【数据整理、分析】 班级 平均数 中位数 众数 方差 A班 8 a 8 6 B班 b 8.5 9 1.8 根据以上信息，回答下列问题： (1)①填空： _________； _________； ②小红对小丽说：“虽然平均每周锻炼时长我俩都是8小时，但我在我们班中的排名比你在你们班的排名靠前．”（锻炼时间越长，排名越靠前）根据以上信息可知小红是_________班的学生．（填“A”或“B”） (2)从B班中再随机抽取一名学生，若该生平均每周锻炼时长为8小时，将这个数据加入到原数据中，得到一组新数据．下列指标中，与原数据相比，新数据中发生变化的是_________．（填序号） ①平均数    ②中位数    ③众数 (3)若九年级有800名学生，请你结合A、B两班调查数据，估计九年级学生中平均每周锻炼时长不低于8小时的学生人数． 【答案】(1)①7.5；8；②A (2)② (3)人 【分析】（1）①根据中位数和平均数的定义进行计算即可；②比较两个班级的中位数与8小时的大小关系，结合中位数的定义进行判断即可； （2）把原数据和新数据列出来，再按照平均数、中位数和众数的定义求解即可； （3）用样本估计总体的方法求解． 【详解】（1）解：①将A班的数据从小到大重新排列得：， ， ，，，，，，，， 其中第5个数为，第6个数为， ∴A班的中位数为，即， B班的平均数； ②：由①可知，A班的中位数为，B班的中位数为 ， ∵， ∴锻炼时长8小时，在A班可以排进前 ，而在B班只能排在后 ，即锻炼时长8小时在A班的排名比在B班靠前， ∴小红是A班的学生； （2）解：B班原数据为：6，6，7，7，8，9，9，9，9，10， 新数据为：6，6，7，7，8，8，9，9，9，9，10 新平均数为，而原平均数为8，故平均数不变； 新中位数为第6个数据为8，而原中位数为，故中位数发生变化； 原众数为9，新众数为9，故众数不变； （3）解：（人） 答：九年级学生中平均每周锻炼时长不低于8小时的学生人数为人． 2．每年月日为国际圆周率日（节），为感受数学文化魅力，激发学生数学探究兴趣，年我校于当日举办“玩转圆周率” 主题知识问答活动．为了解活动成效，从七、八年级参与活动学生的问答成绩（单位：分）中，各随机抽取名学生的成绩进行统计整理，下面给出了部分信息： 七年级：，，，，，，，，，，，； 八年级：，，，，，，，，，，，． a．抽取的七、八年级学生成绩（单位：分）不完整的统计表如下： 年级 平均数 众数 方差 最小值 四分位数 最大值 七年级 ② ③ 八年级 ① b．抽取的七、八年级学生成绩绘制成的不完整箱线图如下：    根据以上信息，回答下列问题： (1)统计表中，①处应填_____，②处应填_____； (2)请补全箱线图； (3)请你从两个不同的角度对两个年级的成绩进行评价． 【答案】(1)①；② (2)如图所示： (3)① 平均数角度：八年级平均成绩分，高于七年级的分，整体成绩更好； ② 稳定性角度：八年级成绩的方差更小，分数分布更集中，成绩更稳定； ③ 高分段角度：七年级最高分为分，高于八年级的分，七年级高分段学生表现更突出. 【分析】（1）根据平均数和众数的计算方法求解即可； （2）先求出七年级成绩的中位数，根据表中数据补全箱线图即可； （3）分别从平均数、方差及高分段角度分别分析即可． 【详解】（1）解：八年级个数据的平均数为， ∴①处应填， ∵七年级学生成绩中，出现次，出现次数最多， ∴七年级学生成绩的众数是， ∴②处应填． （2）解：七年级的（中位数）是第和第个数据的平均数，即， ∴如图即为所求． （3）解：略 【课后检测】 1．在某场浙的比赛中，县大队5名场上队员的身高（单位：cm）分别是：178，179，180，185，185．现用一名身高的队员替换场上一名身高的队员，与换人前相比，下列有关场上队员身高的说法正确的是（     ） A．中位数不变，众数改变 B．中位数改变，众数不变 C．中位数不变，众数不变 D．中位数改变，众数改变 【答案】A 【详解】解：∵ 换人前场上队员身高数据从小到大排列为，，，，， ∴ 中位数为，众数为， ∵ 用名身高的队员换下名身高的队员后，新的身高数据从小到大排列为，，，，， ∴ 中位数为，众数为， ∴ 中位数不变，众数改变． 2．在一次体育活动中，北附学校九年级某班同学跳绳次数的箱线图如图所示，则这组数据的第一四分位数是（     ） A．163 B．150 C．151.5 D．140 【答案】D 【分析】箱线图是一种通过五个关键统计量（最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值）和异常值标识来展示数据分布的统计图表，据此求解即可． 【详解】解：由箱线图可得，这组数据的第一四分位数是140． 3．已知一组数据：1，2，9，5，3．该组数据的中位数是（     ） A．9 B．5 C．3 D．2 【答案】C 【详解】解：将数据从小到大排列为1，2，3，5，9， 数据共个，中位数为第个数据，即． 4．在一次数学测试中，小明成绩120分，超过班级半数同学的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（     ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 【答案】A 【分析】如果一组数据有奇数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的数是这组数据的中位数；如果一组数据有偶数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的两个数的平均数是这组数据的中位数．根据中位数的意义求解可得． 【详解】解：班级数学成绩排列后，最中间一个分数或最中间两个分数的平均数是这组成绩的中位数， 半数同学的成绩位于中位数或中位数以下， 故小明成绩超过班级半数同学的成绩所用的统计量是中位数． 5．如图为某地区5月和6月的空气质量指数（）箱线图．值越小，空气质量越好，则（     ） A．该地区5月的上四分位数高于6月的上四分位数 B．该地区5月的最大值高于6月的最大值 C．该地区5月变化比6月变化小 D．该地区6月的空气质量好于5月 【答案】C 【分析】读取箱线图中的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数及最大值，对比两个月的相关数据进行判断． 【详解】解：A、5月上四分位数小于6月上四分位数，故A错误； B、5月最大值小于6月最大值，故B错误； C、5月极差为，6月极差为， 且5月四分位距小于6月四分位距， ∴说明5月变化比6月小，故C正确； D、∵值越小空气质量越好，5月的中位数与6月相同，但5月的上四分位数及最大值均小于6月， ∴5月空气质量整体好于6月，故D错误． 6．某比赛中记分员根据七位评委所打的分数对平均数、中位数、众数、方差做了统计，如果去掉一个最高分和一个最低分，则这些统计量一定不发生变化的是（     ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【分析】根据中位数的定义：将一组数据按大小顺序排列，位于中间位置或中间两数的平均数，由此可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数． 【详解】解：因为去掉一个最高分和一个最低分不会影响一组数据位于中间位置或中间两数的平均数，所以对中位数没有影响，即中位数一定不发生变化． 7．如图是某班40名同学的视力情况统计表，其中有部分数据被墨迹遮挡，下列统计量中，仍能根据目前已知的数据分析确定的有（     ） 视力 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 人数 9 15 2 A．中位数，上四分位数 B．中位数，下四分位数 C．众数，上四分位数 D．众数，下四分位数 【答案】C 【分析】先计算被遮挡的视力4.8和4.9的总人数，因为总人数为40，减去已知的视力4.7、5.0、5.1的人数，即可得到二者人数之和．分析中位数：40个数据的中位数是第20和第21个数据的平均数，先累计已知的前序人数，判断第20、21个数据所在的视力分组是否受遮挡数据影响．分析众数：比较各视力已知的人数，结合遮挡的总人数，判断出现次数最多的视力值是否唯一确定．分析上下四分位数：40个数据的下四分位数是第10个数据，上四分位数是第30个数据，分别累计前序人数，判断这两个位置的数据所在分组是否受遮挡数据影响． 【详解】解：根据表格数据，可得视力为4.8和4.9的总人数为：（人）， 视力为5.0所占人数最多为15，即众数为5.0， 中位数是第20和第21个数据的平均数，累计已知的前序人数，第20、21个数据所在的视力分组受遮挡数据影响． 上四分位数为． 上四分位数是排序后第75%位置的数值，对应第30位和第31位数据的平均值． 第24~38位均为视力5.0， ∴第30、31位的数值一定是5.0， 上四分位数为5.0． 下四分位数是第10个数据，累计前序人数，这个位置的数据所在分组受遮挡数据影响． ∴仍能根据目前已知的数据分析确定的有众数和上四分位数． 8．汕头市某区教育局为了解甲、乙两所初中学校八年级学生的体育模拟测试成绩（满分120分），分别从两校各随机抽取了相同人数的学生，绘制了成绩的箱线图如图所示．则下列说法错误的是（     ） A．这次考试中两校均没有满分的 B．甲校成绩的上四分位数大于乙校成绩的下四分位数 C．甲校的成绩比乙校的成绩波动更大 D．甲校成绩的下四分位数与乙校成绩的中位数相同 【答案】D 【分析】根据箱线图的相关概念，对每一个所涉及到的统计量进行分析判断即可． 【详解】解：A、两校最高分均未达120分，故无满分，正确； B、甲校上四分位数约为90，乙校下四分位数约为80，，正确； C、甲校成绩范围更大，波动更明显，正确； D、箱线图显示甲校下四分位数约为60，乙校中位数约为90，甲校下四分位数与乙校中位数不同，故选项D错误． 9．一家汽车零售店的10名销售人员9月份销售的汽车数量（单位：辆）如下：2，3，6，8，9，10，10，12，12，14，则汽车销售数量的四分位数是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】先将销售数据从小到大排序，再分别计算三个四分位数的位置，结合位置确定对应数值． 【详解】解：将销售数量从小到大排序得：，，，，，，，，，． ∵数据共10个，为偶数个，为排序后的第5个数据和第6个数据的平均数， ∴； ∴为排序后的第3个数据，即 ∴为排序后的第8个数据，即 故答案为：A． 10．某组名同学的裸眼视力分别为：，，，，，．新学期这组加入了一名裸眼视力为的同学，新同学加入后的个数据与之前的个数据相比，集中趋势相同的是（     ） A．只有平均数 B．只有中位数 C．只有众数 D．中位数和众数 【答案】D 【分析】分别求出加入新数据前后的平均数、中位数和众数，进行比较即可得出答案． 【详解】解：将原6个数据从小到大排序：，，，，，， 原平均数为， 原中位数为， 原众数为； 加入视力为的同学后，共7个数据，从小到大排序：，，，，，，， 新平均数为，与原平均数不同， 新中位数为第4个数，与原中位数相同， 新众数为，与原众数相同， 综上，集中趋势相同的是中位数和众数． 11．某校航模兴趣小组共有位同学，他们的年龄分布如表： 年龄/岁 人数 5 由于表格污损，和岁人数不清，则关于年龄的统计量：平均数、中位数、方差、众数其中可以确定的统计量是______． 【答案】中位数，众数 【分析】一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，若数据的个数是奇数，则中间位置的数就是这组数据的中位数；若数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；而一组数据中出现次数最多的那个数就是众数． 【详解】解：一共有人，中位数是从小到大排列后处在第、位两个数的平均数，而岁的有人，岁的有人，因此从小到大排列后，处在第、位两个数都是岁，因此中位数是岁，不受岁，岁人数的影响；因为岁有人，而岁的有人，岁、岁共有人，因此众数是岁；因此可以确定的统计量是中位数、众数． 12．有个正整数，它们的平均数是，中位数是，唯一的众数是，则这个数中最大的数的最大值为________． 【答案】 【分析】设个正整数为、、、、（且、、、、为整数），根据它们唯一的众数是可确定、，根据它们的中位数是可确定、，再根据它们的平均数是可确定，即可得出答案． 【详解】解：设个正整数为、、、、（且、、、、为整数）， ∵它们唯一的众数是， ∴， ∵它们的中位数是， ∴， ∵唯一的众数是，且已出现次， ∴不能等于（否则也出现了次，这样众数不唯一）， 要使取最大值，则应取最小值，即， 又∵它们的平均数是， ∴， 解得：， ∴这个正整数为、、、、， ∴这个数中最大的为． 13．在某项以至为评价等级的调查问卷中，收集到的个得分数据分别为：，，，，，，，，，，其下四分位数和上四分位数之和是_______________． 【答案】 【分析】先将数据从小到大排序，再根据四分位数计算规则得到下四分位数和上四分位数，计算两者的和即可． 【详解】解：将给定数据从小到大排序，得到：，，，，，，，，，， 方法一： 下四分位数位置，位置不是整数，向上取整得第个数据， 下四分位数为， 上四分位数位置，位置不是整数，向上取整得第个数据， 上四分位数为， 两者之和为； 方法二：下四分位数为，，，，的中位数， 上四分位数为，，，，的中位数， 两者之和为． 14．某学校八年级一班和二班各有名男生，他们身高（单位：）的箱线图如图所示，则一班男生身高的第一四分位数________二班男生身高的第一四分位数（填“”“”或“”）；________班（填“一”或“二”）男生的身高相对比较集中． 【答案】 二 【分析】根据箱线图的特征，箱体下边缘对应的数值即为第一四分位数；数据的集中程度可通过极差或四分位距（箱体长度）来判断，范围越小数据越集中． 【详解】解：由箱线图可知，一班男生身高的第一四分位数为，二班男生身高的第一四分位数为， ， 一班男生身高的第一四分位数二班男生身高的第一四分位数； 观察图形可知，二班男生身高的极差（最大值减最小值）和四分位距（第三四分位数减第一四分位数）均小于一班， 二班男生的身高相对比较集中． 15．七名学生投篮球，每人投了10个球后，统计他们每人投中球的个数，得到七个数据，并对数据进行整理和分析，得出如下信息： 最小值 中位数 众数 平均数 2 6 7 m 其中小陈同学投中了4个，下列判断：①可能有学生投中了9个；②投中6个的学生只有1人；③这七个数据之和不可能为42；④m的值可能为5．所有正确推断的序号是________． 【答案】 ①③④ 【分析】将七个数据从小到大排列，根据中位数、众数的定义确定数据的基本规律，再逐个举例验证每个结论即可. 【详解】解：设七个数据从小到大排列为 ， ∵中位数为6，数据个数为奇数， ∴ ， ∵众数为7， ∴7的出现次数最多，且7只能出现在中，最多出现3次；已知最小值为2，且存在数据4，每人最多投中10个. ① 举例：数据为，满足所有条件，因此可能有学生投中9个，①正确. ② 举例：数据为，满足所有条件，此时投中6个的学生有2人，因此②错误. ③ 假设七个数据之和为42，分情况讨论：若7出现3次，可得，即； ∵，且数据含2和4，因此最大为，不可能；若7出现2次，要保证7是唯一众数，其他数据出现次数不能超过1次；最大和为，不符合题意；因此七个数据之和不可能为42，③正确. ④ 举例：数据为，总和为，平均数，满足所有条件，因此的值可能为5，④正确. 综上，正确推断的序号是①③④. 16．求下列这组数据的分位数和分位数． 15    18    22    22    25    26    29    31    32    33    35    36    38    42    43 【答案】 分位数为，分位数为 【分析】先计算百分位数对应的位置，根据是否为整数确定百分位数的值． 【详解】解 将数据从小到大排列得：，，，，，，，，，，，，，，，数据总个数 计算分位数的位置 ， 不是整数，向上取整得，因此分位数为排列后的第个数据，即 计算分位数的位置 ， 是整数，因此分位数为第个数据和第个数据的平均值， ∴ ，即分位数为． 17．某校九年级8名学生完成一项科技小制作所需时间（单位：）如下： 75    70    90    70    70    58    80    55 求这组数据的平均数、中位数和众数． 【答案】这组数据的平均数为，中位数为，众数为 【分析】根据平均数，中位数，众数的定义解答即可． 【详解】解：根据题意，得； 数据从小到大排序为： 中位数是第4个，第5个数据的平均数， 故中位数为：； 数据70出现的次数最多， 故数据的众数为：． 18．在一次男子马拉松长跑比赛中，随机抽取12名选手所用的时间（单位：）如下： 136  140  129  180  124  154  146  145  158  175  165  148 (1)这组样本数据的中位数是多少？ (2)一名选手所用的时间是，推测他的成绩是否超过这次比赛中一半以上选手的成绩？ 【答案】(1) (2) 能推测他的成绩超过这次比赛中一半以上选手的成绩 【分析】（1）对样本数据排序后，结合偶数个数据的中位数定义计算； （2）用样本中位数估计总体中等水平，比较选手用时与中位数的大小判断． 【详解】（1）解：将12个数据从小到大排列为： ∵数据个数为12，是偶数 ∴中位数为第6个和第7个数据的平均数，即． （2）解：因为将12名选手的用时从小到大排列，得样本数据的中位数为， 用样本估计总体，可知这次比赛中约有一半选手的用时少于， 由于，该选手用时小于中位数，因此他的成绩超过一半以上选手的成绩． 19．【数据收集】 某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图1，将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 (1)小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，可以看出，环，_________环，可以看出_________（填A或B）的平均成绩略高；通过计算方差，，_________，可以看出，_________（填A或B）的射击水平发挥更稳定； 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 ① ② 10 B 8 8 9 ③ 10 (2)小颖利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．①处应填_________环，②处应填_________环，③处应填_________环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手A射击成绩的中位数_________选手B射击成绩的中位数（填>，<或=），且选手A的射击成绩明显比选手B的射击成绩波动大． 【作出决策】 (3)请你根据八轮射击成绩，从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 【答案】(1)9；B；0.75；B； (2)7.5；9；10；； (3)选择B选手参加青少年射击比赛，理由如下： 因为A，B两名选手的中位数相等，但B选手的方差更小，则成绩更加稳定，且平均数更高，能力更强．（言之有理即可）． 【分析】（1）由折线图读出A，B两名选手八轮的成绩，分别计算平均数与方差； （2）由折线图读出A，B两名选手八轮的成绩，再分别求得下四分位数、中位数与上四分数； （3）综合平均数、方差与中位数作出决策并说明理由． 【详解】（1）解：由图1得，A的成绩为，，，，，，，，的成绩为，，，，，，，， ∴（环）， （环）， ∴的平均成绩略高； ， ∴的方差为，的成绩更稳定． （2）解：把的成绩从小到大排列为：，，，，，，，， ∴中位数为（环）， 下四分位数为（环） 把的成绩从小到大排列为：，，，，，，，， ∴中位数为（环）， 上四分位数为（环）， ∴①处应填环，②处应填环，③处应填环； ∵A，B两名选手成绩的中位数相等， ∴基于四分位数或箱线图，可以判断A，B的中位数相等． （3）略 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 37 页 第 1 页 共 37 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 第20讲 中位数与箱线图 （新教材北师大版） 知识点一、中位数 2 知识点二、四分位数（箱线图基础） 2 知识点三、箱线图（箱形图） 3 知识点四、易错点 4 知识点五、数学思想 4 【题型1 求中位数】 4 【题型2 利用中位数求未知数据的值】 5 【题型3 运用中位数做决策】 5 【题型4 求四分位数】 6 【题型5 画箱线图】 7 【题型6 识别箱线图信息】 8 【题型7 中位数与箱线图综合题】 10 【探究式学习】 13 【课后检测】 15 【复盘笔记】 20 知识点一、中位数 1. 定义 将一组数据按从小到大（或从大到小）顺序排列： · 数据个数为奇数：处在中间位置的数就是中位数； · 数据个数为偶数：中间两个数据的平均数是中位数。 中位数只有一个。 2. 特点 1. 中位数只和数据位置有关，不受极端大、极端小值影响； 2. 中位数代表一组数据的中等水平； 3. 中位数不一定是这组数据里原有的数（偶数个时）。 3. 求中位数步骤 ① 排序（必须排序，易错点）； ② 数总个数； ③ 判断奇偶： · n奇数：中位数为第 个数据； · n偶数：中位数为第 、第 两个数的平均数。 知识点二、四分位数（箱线图基础） 把排好序的数据分成四等份，三个分割点：下四分位数Q1、中位数Q2、上四分位数Q3 · Q2：就是中位数； · Q1：下半组数据的中位数； · Q3：上半组数据的中位数； · 极差 = 最大值 − 最小值 · 四分位距（IQR）：IQR=Q3-Q1 四分位距反映中间50%数据的离散程度，不受极端值影响。 知识点三、箱线图（箱形图） 1. 五个关键数值（五数概括） 最小值、下四分位数Q1、中位数Q2、上四分位数Q3、最大值 箱线图由一条数轴绘制： · 矩形箱子：左端点Q1，右端点Q3；箱子内部竖线：中位数Q2 · 须：箱子向左延伸到最小值，向右延伸到最大值 图 示 2. 箱线图信息解读 1. 箱子宽窄：代表中间50%数据的分散程度，箱子越宽，四分位距越大； 2. 中位数线在箱子内位置： 2. 居中：中间数据分布均匀； 2. 偏左：数据右偏（偏大数据多）； 2. 偏右：数据左偏（偏小数据多）； 3. 两根“须”长度：看两端数据分布； 4. 可直观比较多组数据：集中趋势、波动大小。 3. 箱线图作用 · 直观展示五数； · 识别数据偏态； · 多组数据对比； · 判断异常值（拓展：小于Q1-1.5IQR或大于Q3+1.5IQR，视为异常值）。 知识点四、易错点 1. 求中位数、四分位数一定要先排序，不排序直接取中间数是常见错误； 2. 中位数是一个数，不是位置； 3. 箱线图只能看到五数，看不到每个原始数据，无法求平均数、众数； 4. 四分位距只描述中间一半数据波动，不等同于极差。 知识点五、数学思想 统计思想：用特征量（中位数、四分位数）概括整体数据分布，数形结合（箱线图可视化数据）。 【题型1 求中位数】 【例1】嘉嘉根据一组数据画出如图所示的箱线图，则下列说法不正确的是（     ） A．最小值为47 B．中位数为73 C．平均数无法确定 D．第一四分位数为83 【变式1-1】某科技论坛对、豆包、腾讯元宝、夸克四款助手中某一项功能的月度用户评分进行了统计，数据如下表所示（单位：分），评分的众数和中位数分别是（     ） 助手 评分（满分100） 88 豆包 84 腾讯元宝 84 夸克 86 A．84，86 B．84，88 C．88，85 D．84，85 【变式1-2】广州国际龙舟邀请赛是一项历史悠久且深受广大市民喜爱的传统赛事．某龙舟代表队在“人龙舟米直道竞速”项目的六次训练成绩（单位：秒）分别是：，，，，，．这组数据的中位数是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】将某组数据绘制成箱线图如图所示，则下列说法错误的是（     ） A．最大值是180，最小值是120 B．中位数是150 C．第一四分位数是140 D．四分位距是60 【题型2 利用中位数求未知数据的值】 【例2】数据、、、、、的中位数是，那么这组数据的众数是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】一组数据从小到大排列：，，，，，，中位数为，则这组数据的方差为（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】一组数据： 1，3，5，7，9，添加一个数后，中位数变为5.5，则添加的数是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2-3】有一组从小到大排列的数据：，下列结论中，正确的是（     ） A．这组数据的平均数比中位数大 B．这组数据的中位数不能确定 C．这组数据的众数是 D．这组数据的平均数可能是 【题型3 运用中位数做决策】 【例3】某学校组织才艺表演比赛，前名获奖．有位同学参加比赛且他们所得的分数互不相同．某同学要判断自己能否获奖，不仅要知道自己的比赛成绩，还要知道这名同学比赛成绩的（     ） A．众数 B．方差 C．中位数 D．平均数 【变式3-1】我校为了解八年级学生的体能状况，对甲、乙两个班级学生的一分钟跳绳成绩进行了测试．测试结束后，体育老师绘制了两个班级成绩的箱线图（如图）．根据箱线图提供的信息，关于甲、乙两班学生一分钟跳绳成绩的统计量，下列说法正确的是（     ） A．可以准确得出两个班的平均数，且甲班平均数高于乙班 B．可以准确得出两个班的中位数，且甲班中位数高于乙班 C．可以准确得出两个班的方差，且甲班方差小于乙班 D．若每个班有38名学生，则甲班第10名跳绳次数小于乙班第10名跳绳次数 【变式3-2】某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图判断下列说法正确的是（     ） A．三个班级中，甲班分数的方差最大 B．三个班级中，乙班学生得分两极分化最不明显 C．丙班学生得分的中位数低于甲班学生得分的中位数 D．若每班有42个学生，则三个班级中每班第11名的成绩相比较，丙班分数最高 【变式3-3】某书店拟推出由7本短篇绘本组成的亲子阅读套装产品．现有10本候选绘本，其页数数据如图所示．已知序号为1到5号的绘本已确定入选，且这5本绘本页数的中位数为40页．6号绘本从甲、乙、丙中挑选，7号绘本从丁、戊中挑选，使最终选定的7本绘本页数的中位数仍为40页，可以选择（     ） A．甲、丁 B．乙、戊 C．丙、丁 D．丙、戊 【题型4 求四分位数】 【例4】已知样本数据10，11，9，13，10，9，12，12，则这组样本数据的第75百分位数是（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式4-1】2026年河北省第十七届运动会吉祥物为凤娃和凰宝（如图），某商店连续八天销售这款吉祥物的数量（单位：套）分别为33，44，40，34，46，48，44，53，这组数据的第一四分位数为（     ） A．42 B．37 C．40 D．47 【变式4-2】遵义市某区教育局为了解甲、乙两所初中学校八年级学生的体育模拟测试成绩（满分分），分别从两校各随机抽取了相同人数的学生，绘制了成绩的箱线图如图所示．则下列说法错误的是（     ） A．这次考试中两校均没有满分的 B．甲校成绩的上四分位数大于乙校成绩的下四分位数 C．甲校的成绩比乙校的成绩波动更大 D．甲校成绩的下四分位数与乙校成绩的中位数相同 【变式4-3】某中学数学教师共有20人，他们的年龄分布如表所示，下列说法正确的是（     ） 年龄（岁） 62 50 43 32 30 28 25 人数（人） 2 3 3 5 2 4 1 A．这20人年龄的下四分位数是29岁 B．这20人年龄的上四分位数是29岁 C．这20人年龄的中位数是31岁 D．这20人年龄的众数是5人 【题型5 画箱线图】 【例5】已知（1）班和（2）班人数相等，在一次考试中两班成绩中位数相同，两班成绩的箱线图如下，下列判断正确的是（     ） A．（1）班成绩比（2）班成绩集中 B．（1）班成绩的上四分位数是80分 C．（1）班有同学的成绩超过140分 D．（1）班的最低分低于（2）班的最低分 【变式5-1】小申将某书店5月份每天的书籍销量绘制成如图所示的箱线图，下列说法中不正确的是（     ） A．这组数据的第一四分位数是150 B．该书店5月份销量最少的一天销售了50本书 C．这组数据的最大值是400 D．该书店有15天每天的销量在250本以上 【变式5-2】已知，两个班的人数相同，在一次测试中两个班成绩的箱线图如图所示（满分分），则下列说法错误的是（     ） A．班成绩的中位数比班成绩的下四分位数低 B．班的最低分比班的最低分低 C．班成绩的上四分位数与班成绩的中位数相同 D．班的成绩比班的成绩更集中 【变式5-3】某同学将英语演讲比赛中每位选手最终得分绘制成如图所示的统计图，根据图中数据可以得到（     ） ①这次比赛的所有选手得分中，最高分为98分； ②所有选手得分的平均分为85分； ③最高分与最低分相差6分； ④所有选手得分的上四分位数为88分． A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①④ 【题型6 识别箱线图信息】 【例6】八年级某班组织了一场一分钟跳绳比赛，参赛学生被分成了甲、乙两组，如图是甲、乙两组学生一分钟跳绳次数的箱线图，下列说法错误的是（     ） A．甲组跳绳次数的波动比乙组大 B．甲组跳绳次数的下四分位数小于 C．乙组跳绳次数的中位数比甲组小 D．乙组跳绳次数的最大值小于 【变式6-1】甲、乙两地5月每天最低气温的箱线图如下图所示，下列说法不正确的是（     ） A．甲地每天最低气温的最小值低于乙地每天最低气温的最小值 B．甲地每天最低气温的中位数低于乙地每天最低气温的中位数 C．甲地每天最低气温的第一四分位数比乙地每天最低气温的第一四分位数大 D．甲地每天最低气温的波动比乙地每天最低气温的波动大 【变式6-2】如图为某地区2026年2月和3月的空气质量指数箱线图．值越小，空气质量越好；值在之间，说明重度污染．则下列说法错误的是（    ） A．该地区3月有重度污染天气 B．该地区3月的值比2月集中 C．该地区3月的值中位数大于2月值的中位数 D．整体看，该地区2月的空气质量好于3月 【变式6-3】小明统计了西安和济南近两年7～8月每天的最高温度，将统计结果绘制成箱线图如图所示，则关于此时段内两地的最高温度情况，下列说法正确的是（    ） A．济南每天的最高温度的下四分位数为 B．济南每天的最高温度的中位数小于西安每天的最高温度的中位数 C．西安每天的最高温度都高于济南每天的最高温度 D．西安有超过一半的天数最高温度不低于 【题型7 中位数与箱线图综合题】 【例7】在壮美广西·健康南宁综合与实践活动中，需要了解南宁市某中学学生每周参加体育锻炼的时间（单位：）．某位同学随机调查了该校50名学生，得到一组数据，并将这些数据绘制成如下的统计图．请根据相关信息，回答下列问 (1)在箱线图中， ， ；在扇形统计图中，的值是 ． (2)根据样本数据，若该校共有学生1500人，估计该校每周参加体育锻炼的时间至少为的学生约有多少人？ 【变式7-1】某中学进行知识竞赛．从七、八年级各随机抽取了12名学生的竞赛成绩进行整理（满分10分，得分均为整数），所抽取的七、八年级学生成绩如下： 七年级：3，4，6，6，6，6，7，9，9，9，9，10 八年级：5，5，5，6，7，7，7，7，8，9，9，9 小嘉分析数据后列出统计表并画出箱线图． 年级 平均数 中位数 众数 七年级 7 6和9 八年级 7 7 (1)填空：__________，__________； (2)八年级成绩箱线图的下四分位数是__________； (3)该校八年级共240人参加知识竞赛，估计八年级参加竞赛成绩优秀（）的学生人数为多少人？ 【变式7-2】某校开展航天知识竞赛，记分员分别记录了甲，乙两组同学的得分情况（单位：分）．相关信息如下： 甲组：． 乙组：． 甲、乙两组竞赛成绩的箱线图如图． (1)求乙组的四分位数； (2)根据四分位数可绘制如图的箱线图，观察图中甲组的箱线图，绘制乙组的箱线图． 【变式7-3】某校为促进学生养成健康生活习惯，组织该校、两个校区的全体学生开展了青少年健康知识测试，为了解八年级学生对健康知识的掌握情况，从，两个校区的八年级学生中各随机抽取了20名学生的成绩（百分制且为整数），并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．从校区抽取的学生成绩如表1所示： 表1 分组 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 第七组 成绩/分 人数 1 3 2 4 4 2 b．从校区抽取的学生成绩按由小到大顺序排列如下： 70  74  77  77  78  79  79  81  82  85  85  85  85  87  88  88  91  96  96  97 c．从校区抽取的学生成绩的箱线图如图： d．从两个校区抽取的学生成绩的平均数、中位数、众数如表所示： 表2 校区 平均数 中位数 众数 校区 84 82 校区 84 85 根据以上信息，回答下列问题： (1)表1中_____，表2中_____，_____； (2)已知校区八年级有480名学生，估计校区八年级学生中成绩高于90分的学生有多少人； (3)若从校区抽取的第六组中某位学生的成绩是90分，求其余3名学生成绩中的最小值． 【探究式学习】 1．为了解学生的体育锻炼情况，慧谷学校九年级以“活力校园—初中生运动时长探究”为主题开展调查研究，该年级随机抽取了A、B两个班，通过问卷收集了A、B两个班学生的平均每周锻炼时长数据，现从这两个班级分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行整理、描述和分析，下面给出部分信息． 【数据收集】 A班：8，7，12，8，7，5，6，8，6，13； B班学生平均每周锻炼时长数据的条形统计图如下： 【数据整理、分析】 班级 平均数 中位数 众数 方差 A班 8 a 8 6 B班 b 8.5 9 1.8 根据以上信息，回答下列问题： (1)①填空： _________； _________； ②小红对小丽说：“虽然平均每周锻炼时长我俩都是8小时，但我在我们班中的排名比你在你们班的排名靠前．”（锻炼时间越长，排名越靠前）根据以上信息可知小红是_________班的学生．（填“A”或“B”） (2)从B班中再随机抽取一名学生，若该生平均每周锻炼时长为8小时，将这个数据加入到原数据中，得到一组新数据．下列指标中，与原数据相比，新数据中发生变化的是_________．（填序号） ①平均数    ②中位数    ③众数 (3)若九年级有800名学生，请你结合A、B两班调查数据，估计九年级学生中平均每周锻炼时长不低于8小时的学生人数． 2．每年月日为国际圆周率日（节），为感受数学文化魅力，激发学生数学探究兴趣，年我校于当日举办“玩转圆周率” 主题知识问答活动．为了解活动成效，从七、八年级参与活动学生的问答成绩（单位：分）中，各随机抽取名学生的成绩进行统计整理，下面给出了部分信息： 七年级：，，，，，，，，，，，； 八年级：，，，，，，，，，，，． a．抽取的七、八年级学生成绩（单位：分）不完整的统计表如下： 年级 平均数 众数 方差 最小值 四分位数 最大值 七年级 ② ③ 八年级 ① b．抽取的七、八年级学生成绩绘制成的不完整箱线图如下：    根据以上信息，回答下列问题： (1)统计表中，①处应填_____，②处应填_____； (2)请补全箱线图； (3)请你从两个不同的角度对两个年级的成绩进行评价． 【课后检测】 1．在某场浙的比赛中，县大队5名场上队员的身高（单位：cm）分别是：178，179，180，185，185．现用一名身高的队员替换场上一名身高的队员，与换人前相比，下列有关场上队员身高的说法正确的是（     ） A．中位数不变，众数改变 B．中位数改变，众数不变 C．中位数不变，众数不变 D．中位数改变，众数改变 2．在一次体育活动中，北附学校九年级某班同学跳绳次数的箱线图如图所示，则这组数据的第一四分位数是（     ） A．163 B．150 C．151.5 D．140 3．已知一组数据：1，2，9，5，3．该组数据的中位数是（     ） A．9 B．5 C．3 D．2 4．在一次数学测试中，小明成绩120分，超过班级半数同学的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（     ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 5．如图为某地区5月和6月的空气质量指数（）箱线图．值越小，空气质量越好，则（     ） A．该地区5月的上四分位数高于6月的上四分位数 B．该地区5月的最大值高于6月的最大值 C．该地区5月变化比6月变化小 D．该地区6月的空气质量好于5月 6．某比赛中记分员根据七位评委所打的分数对平均数、中位数、众数、方差做了统计，如果去掉一个最高分和一个最低分，则这些统计量一定不发生变化的是（     ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 7．如图是某班40名同学的视力情况统计表，其中有部分数据被墨迹遮挡，下列统计量中，仍能根据目前已知的数据分析确定的有（     ） 视力 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 人数 9 15 2 A．中位数，上四分位数 B．中位数，下四分位数 C．众数，上四分位数 D．众数，下四分位数 8．汕头市某区教育局为了解甲、乙两所初中学校八年级学生的体育模拟测试成绩（满分120分），分别从两校各随机抽取了相同人数的学生，绘制了成绩的箱线图如图所示．则下列说法错误的是（     ） A．这次考试中两校均没有满分的 B．甲校成绩的上四分位数大于乙校成绩的下四分位数 C．甲校的成绩比乙校的成绩波动更大 D．甲校成绩的下四分位数与乙校成绩的中位数相同 9．一家汽车零售店的10名销售人员9月份销售的汽车数量（单位：辆）如下：2，3，6，8，9，10，10，12，12，14，则汽车销售数量的四分位数是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．某组名同学的裸眼视力分别为：，，，，，．新学期这组加入了一名裸眼视力为的同学，新同学加入后的个数据与之前的个数据相比，集中趋势相同的是（     ） A．只有平均数 B．只有中位数 C．只有众数 D．中位数和众数 11．某校航模兴趣小组共有位同学，他们的年龄分布如表： 年龄/岁 人数 5 由于表格污损，和岁人数不清，则关于年龄的统计量：平均数、中位数、方差、众数其中可以确定的统计量是______． 12．有个正整数，它们的平均数是，中位数是，唯一的众数是，则这个数中最大的数的最大值为________． 13．在某项以至为评价等级的调查问卷中，收集到的个得分数据分别为：，，，，，，，，，，其下四分位数和上四分位数之和是_______________． 14．某学校八年级一班和二班各有名男生，他们身高（单位：）的箱线图如图所示，则一班男生身高的第一四分位数________二班男生身高的第一四分位数（填“”“”或“”）；________班（填“一”或“二”）男生的身高相对比较集中． 15．七名学生投篮球，每人投了10个球后，统计他们每人投中球的个数，得到七个数据，并对数据进行整理和分析，得出如下信息： 最小值 中位数 众数 平均数 2 6 7 m 其中小陈同学投中了4个，下列判断：①可能有学生投中了9个；②投中6个的学生只有1人；③这七个数据之和不可能为42；④m的值可能为5．所有正确推断的序号是________． 16．求下列这组数据的分位数和分位数． 15    18    22    22    25    26    29    31    32    33    35    36    38    42    43 17．某校九年级8名学生完成一项科技小制作所需时间（单位：）如下： 75    70    90    70    70    58    80    55 求这组数据的平均数、中位数和众数． 18．在一次男子马拉松长跑比赛中，随机抽取12名选手所用的时间（单位：）如下： 136  140  129  180  124  154  146  145  158  175  165  148 (1)这组样本数据的中位数是多少？ (2)一名选手所用的时间是，推测他的成绩是否超过这次比赛中一半以上选手的成绩？ 19．【数据收集】 某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图1，将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 (1)小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，可以看出，环，_________环，可以看出_________（填A或B）的平均成绩略高；通过计算方差，，_________，可以看出，_________（填A或B）的射击水平发挥更稳定； 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 ① ② 10 B 8 8 9 ③ 10 (2)小颖利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．①处应填_________环，②处应填_________环，③处应填_________环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手A射击成绩的中位数_________选手B射击成绩的中位数（填>，<或=），且选手A的射击成绩明显比选手B的射击成绩波动大． 【作出决策】 (3)请你根据八轮射击成绩，从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 37 页 第 1 页 共 37 页 学科网（北京）股份有限公司 $