函数的奇偶性常考题型归纳讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

奇偶性 一、函数的奇偶性 1、定义 设函数f(x)的定义域为I.如果HxEI,都有-xEI,且f(-x)=f(x),那么f(x)叫做 偶函数： 如果Hx∈I,都有一xEI,且f(-x)=-f(x),那么f(x)叫做奇函数 函数是奇函数或偶函数时，就说它具有奇偶性 2、定义域关于原点对称是奇偶性的前提 定义里那句-x∈I不是附带的说明，它是定义本身的组成部分.因为要算f(-x),就要求 一x也落在定义域内：只要定义域中存在一个x使得一x不在其中，f(-x)就无从计算，函数 也就不可能具有奇偶性.所以定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件：定义域不对 称，直接判定为非奇非偶函数，不必再去算f(一x) 例如f(x)=x2的定义域取R时是偶函数，把定义域改为[-1,2]后就不再具有奇偶性 奇偶性是函数在整个定义域上的整体性质，不是个别点或个别区间上的性质，因此判断 奇偶性的第一步永远是先明确定义域， 3、等价形态 把定义中的等式移项，就得到两个常用的等价写法：f为偶函数等价于f(-x)一f(x)= 0:f为奇函数等价于f(-x)+f(x)=0,也常写成f(x)=-f(-x) 4、图象特征 偶函数的图象关于y轴成轴对称图形，奇函数的图象关于原点成中心对称图形；反过来 也成立一图象关于y轴对称的函数是偶函数，图象关于原点成中心对称图形的函数是奇函 数 偶函数：图象关于y轴对称 奇函数：图象关于原点对称 图1偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点成中心对称 正因为图象具有这种对称性，已知一个函数是奇函数或偶函数时，只需研究它在半个定 义域（如[0，+∞)上的图象与性质，另一半可由对称性直接还原， 5、奇函数的补充结论 若奇函数f(x)的定义域中含0，则必有f(0)=0. 这条结论的适用条件是定义域中包含0；它给出的是必要条件，反过来由f(0)=0推不 出f为奇函数 6、既奇又偶的函数 若f(-x)=f(x)与f(-x)=-f(x)同时成立，则f既是奇函数又是偶函数.此时对任意 xEI都有f(x)=-f(x),故f(x)=0:即既奇又偶的函数只有f(x)=0(xED)这一族， 其中D是关于原点对称的非空数集， 7、拆成奇函数与偶函数之和 定义域关于原点对称的函数fx)一定可以写成f(x)=田f-)+四+r),其中前一 2 2 项是奇函数，后一项是偶函数 验证：记p()=)f),则p(-x)=f-f四=-p(x),故p为奇函数：记q(o= 因+边，则q(-)=f四=q(),故q为偶函数；而p()十q()=f),分解式成 立 二、判断函数奇偶性的方法 1、定义法判断步骤固定为三步： (1)求函数的定义域I,检查它是否关于原点对称；不对称则到此结束，函数非奇非偶 (2)在定义域关于原点对称的前提下计算f(-x)若解析式比较繁杂，可以先在不改变 定义域的条件下化简f(x),再代入-x (3)比较f(-x)与f(x):满足f(-x)=f(x)的是偶函数，满足f(-x)=-f(x)的是 奇函数：两个等式都不满足的是非奇非偶函数：两个等式都满足的是既奇又偶函数（此时 f(x)≡0) 2、图象法 看函数图象的对称性：图象关于y轴对称的是偶函数，图象关于原点成中心对称图形的 是奇函数：这两种对称都不具备的函数为非奇非偶函数， 3、性质法设f(x)、g(x)的定义域分别为D、D2,在它们的公共定义域上有下列结 论： f(x) 偶 偶 奇 奇 g(x) 偶 奇 偶 奇 f(x)+g(x) 偶 非奇非偶 非奇非偶 奇 f(x)-g(x) 偶 非奇非偶 非奇非偶 奇 f(x)g(x) 偶 奇 奇 偶 f(x) 偶 奇 奇 偶 g(x) f(g(x)) 偶 偶 偶 奇 表中f(x)+g(x)、f(x)-g(x)一奇一偶的情形，只要f(x)±g(x)不恒为零，它既不是 奇函数也不是偶函数！ 复合函数的规律可以概括为一句话：内层g(x)为偶函数时，复合函数f(g(x)一定为偶 函数；内层g(x)为奇函数时，复合函数的奇偶性与外层f(x)一致， 三、奇偶性与单调性、最值的关系 1、单调性 若f(x)为奇函数，则f在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性： 若f(x)为偶函数，则f在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性 2、偶函数与x的等价形态 设偶函数f(x)在[0，+o)上单调，则： (1)f(x1)=f(x2)等价于lx1l=x2: (2)若f在[0，+o)上单调递增，则f(x1)>f(x2)等价于x1l>x2: (3)若f在[0，+∞)上单调递减，则f(x1)>f(x2)等价于Ix1<x2 3、奇函数的最值互为相反数 设f(x)是定义在[-a,a]上的奇函数，若f在[-a,a]上的最大值为M、最小值为m, 则M+m=0. 4、奇函数平移后的最值若f(x)=c+g(x),其中c为常数、g(x)为奇函数，且f在 定义域上有最大值M、最小值m,则M+m=2c. 3 题型一函数奇偶性的判断与辨析 1、f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是() A.f(-x)+f(x)=0 B.f(-x)-f(x)=-2f(x) c.四=-1 D.f(-x)·f(x)≤0 f(x)-x 2、设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是 （) A.f(x)g(x)是偶函数 B.If(x)lg(x)是奇函数 C.f(x)Ig(x)川是奇函数 D.If(x)g(x)川是奇函数 3、已知函数f(x)=1-x2,g(x)=-是，则下列说法正确的是() A.y=f(g(x)为奇函数 B.y=f(x)g(x)为奇函数 C.y=f(g(x)在(-oo,0)上单调递减 D.y=f(x)g(x)在(0，+o)上单调递增 题型二函数图象的识别 方法：由解析式选图象（或反之）先判奇偶性定对称，排除一半选项：再取特殊点或看 x→+∞的符号与趋势排除其余依据是奇（偶）函数的图象关于原点(y轴)对称， 1、函数f()=-的图象大致是() 2、我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好， 隔离分家万事休，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的 解析式来琢磨函数的图象特征，如函数f()=的图象大致形状是（） 3、函数f)=+1-1的部分图象大致为() x2+1 题型三由奇偶性求函数值 方法：己知一侧区间的解析式求对称区间上的函数值，先把自变量化到已知区间，再用 f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)换算：依据是奇偶性对定义域内任意x成立 1、若f)是奇函数，且当x>0时，fx)=+是，则f(-1)=() A.6 B.4 C.-6 D.-4 2、函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=Vx-a,若f(-4)=3,则a= 5 3、已知f(x+1)-1是定义在R的奇函数，当x>1时，f(x)=x2,则f(-2)=() A.-25 B.-16 C.-14 D.16 题型四由奇偶性求解析式 方法：已知x>0的解析式求x<0的解析式，设x<0则-x>0代入，再由f(-x)= -f(x)或f(-x)=f(x)解出f(x):依据是奇偶性定义， 易错：漏掉定义域含0的奇函数有f(0)=0,或分段区间的端点归属写重 1、已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，若当x>0时，f(x)=x2+2x,则 f(x)= 2、已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x(1-x),则f(x)在R上的解析式 是() A.f(x)=x(1-x) B.f(x)=-x(1-x1) C.f(x)=x(lx|-1) D.f(x)=-x(1+lx) 3、若函数f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=x3-x2+1,则当x>0时，f(x)=() A.-x3+x2-1 B.x3+x2-1 C.x3-x2+1 D.-x3-x2+1 4、已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2+3x-1,求f(x)的解析式， 6 题型五由奇偶性求参数 方法：定义域形如[a一3,2a]的闭区间上一函数为奇（偶)函数时，由定义域必关于原 点对称得两端点之和为零：依据是奇偶函数的定义域关于原点对称 易错：只列端点之和为零，忘记要求左端点小于右端点，产生增根 例.已知函数f(x)=ax2+(b-2)x+3是定义在[a-3,2a]上的偶函数，求a、b的值 及f(x)的解析式. 解：偶函数的定义域必须关于原点对称，所以(a-3)+2a=0,解得a=1,此时定义 域为[-2,2]，左端点-2小于右端点2，符合要求.由f(x)为偶函数得f(-x)=f(x)对任意 x∈[-2,2]成立，即x2-(b-2)x+3=x2+(b-2)x+3,即2(b-2)x=0对任意xE [-2,2]恒成立，由多项式恒等知b-2=0,得b=2.所以a=1,b=2,f(x)=x2+3.检 验：定义域[-2,2]关于原点对称，且f(-x)=(-x)2+3=x2+3=f(x),确为偶函数， 1、已知f(x)=ax2+(b+3)x+3,x∈[a2-2,a]是偶函数，则a+b=() A.-1 B.-2 C.-5 D.-2或-5 2、若商数e-{2+8为商面数州a1b 3、已知f(x)=ax2+bx+2是定义在[a-1,a]上的偶函数，则a+b=() A.月 B.月 c.-月 D.-3 4、记f(x)=x2+(a2+b2-1)x+2ab.若函数y=f(x)是偶函数，则该函数图象与y轴交点 的纵坐标的取值范围为 7 题型六奇偶性与单调性解不等式 方法：形如f()+f()>0的不等式，先用奇偶性把两项并成同一个f,再由已知区间 的单调性去f解不等式组；依据是单调性保证f(u)<f()与u<v等价. 易错：去f后漏掉自变量仍须在定义域内，积式还要分两组同号讨论 例.已知f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数，且f(x)在(-2,2)上单调递增.解不等式 f(x)+f(x-1)<0. 解：由f(x)为奇函数得f(x-1)=-f(1-x),于是原不等式化为f(x)<f(1-x).由 f)在(-2,2)上单调递增，得x<1-x,解得x< 又两个自变量都须落在定义域内，即-2<x<2且-2<x-1<2,解得-1<x< 2,与x<取交集得-1<x<所以原不等式的解集为(-1，) 1、若偶函数f(x)在区间(-o,0]上单调递减且f(3)=0,则不等式(x-1)f(x)>0的解集 （) A.(-3,1)U(3,+o) B.(-∞，1)U(1,+∞) C.(-0,3)U(3,+∞) D.(-o,-1)U(3,+∞) 2、已知f(x+1)是定义在R上的奇函数，且f(x)在R上单调递增，则不等式(4-x2)f(x)< 0的解集为() A.(-1,2) B.(-1,0)U(1,2) C.(-00,1)U(2,+o) D.(-2,1)U(2,+∞) 3、已知f(x)为定义在(-4,4)上的奇函数，若f(x)在[0,4)上单调递减，则满足不等式 f(a+1)+f(1-a2)>0的实数a的取值范围是() A.(-V5,+∞) B.(-5,2) C.(-5,-1)U(2,5) D.(-∞，-1)U(2,+∞) 8 4、已知定义在R上的偶函数f(x),若对于任意不等实数x,x2e[0,+∞)都满足f)-f> 3x1-X2 0,则不等式f(2x)>f(x-2)的解集为() A.(-0∞，-2) B.(-2,+o) c.（-2) D.(-0∞，-2)U (f+∞) 5、已知函数f(x)是定义在[1-2a,a]上的函数，且满足f(-x)=f(x),Hx1,x2E[0,a],当 x1+x2时，(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,则不等式f(2x-1)≤f(3x)的解集为() A.(-0∞，-1] B.1, c.[o, D.o 题型七奇偶性与单调性比大小 方法：比较f(-α)与f(b)时，先用奇偶性把自变量归到同一单调区间，再由该区间上 的单调性比大小：依据是f(-a)=f(a)(偶)或f(-a)=-f(a)(奇). 1、已知函数f(x+1)是定义在R上的偶函数，且f(x)在区间[1，+oo)上单调递增，则f(-1), f(1),f(2)的大小关系是() A.f(-1)<f(1)<f(2) B.f(1)<f(2)<f(-1) C.f(1)<f(-1)<f(2) D.f(2)<f(1)<f(-1) 2、设f(x)是定义域为R的偶函数，且在区间(-∞，0)上单调递增，则() A.f(2025)>f(10)>f(-11) B.f(10)<f(-11)<f(2025) C.f(10)>f(-11)>f(2025) D.f(-11)>f(10)>f(2025) 9 3、已知定义在R上的偶函数f(x)在区间[0，+∞)上是增函数，则f(-2),f(1),f(-3)从小到大的 关系是 题型八构造奇函数求值 方法：解析式含常数项（如+α、一2）而其余为奇函数时，拆成常数+奇函数g(x),由 M+m=2×常数求值；依据是奇函数在对称区间上最值互为相反数 易错：拆出的奇函数定义域必须关于原点对称，否则最值之和不为零 方法：题目给出「f(x)+某式为奇（偶）函数」两条条件时，各用定义写出含f(x) f(-x)的恒等式，联立消去f(-x)解出f(x):依据是两式对定义域内任意x都成立 易错：把f(-x)当成已知量保留，未真正消元，导致求不出解析式， 例1.已知函数f)=-+2+a的最大值为M、最小值为m,若M十m=10, x2+2 求a的值. 解：把分了中的2+2单独拆出，得f)=证+a=1+a+设 x2+2 9)=,其定义域为R,对任意x有g-）-5-g(.放g的为奇函数 x2+2 设g(x)的最大值为G、最小值为G',由奇函数在关于原点对称的区间上最值互为相反 数得G+G'=0.于是M=1+a+G,m=1+a+G',两式相加得M+m=2(1+a= 10,解得a=4. 1、己知函数f(x)= (x-1)2-Vx x2+1 +a的最大值为M,最小值为m,若M+m=8,则a=() A.6 B.5 C.4 D.3 2、已知函数f(x)的定义域为R,f(x)+x2为奇函数，f(x)+x为偶函数，则 f(1)= 10 3、已知f()=ax+:-2,则f(2027)+f(-2027) 4、(多选)已知f(x)为奇函数，函数g()=f(x)-1+1.若f(1)=4,g(-2)=3则 () A.g(-1)=-2 B.f(-2)=2 C.f(2)=1 D.g(2)=3 题型九奇偶性的综合应用 1、已知函数f)-是定义在(-2,2)上的奇函数，耳f(山)=专 (1)求f(x)的解析式： (2)用定义判断f(x)在区间(-2,2)上的单调性 11 2、已知f(x)-是定义在b-1,a上的奇函数. (1)求a,b的值及f(x)的解析式： (2)判断f(x)在定义域上的单调性，并证明； (3)解不等式：f(x+)+f(-x)<0. -x2+2x,x>0 3、已知f(x) 0,x=0是奇函数. x2+mx,x<0 (1)求实数m的值： (2)作y=f(x)的图象： (3)若函数f(x)在区间[-1，a-2]上单调递增，求a的取值范围. 12 课后作业 1、已知f(x)是定义在[m-9,2m+3]上的奇函数，且当x≤0时，f(x)=x2-x,则 f(m)的值为() A.-2 B.-6 C.2 D.6 2、已知f)=【g0,”x<0 x2,6x,x之0是奇函数，则f(x)的单调递增区间为（） A.[-3,0],[3,+∞) B.[-6,-3],[6,+∞) C.(-o,-3],[3,+∞) D.(-∞，-6]，[6，+∞) 3、已知奇函数f(x)是定义在R上的单调函数.若正实数a,b满足f(2a)+f(b-1)=0,则 +的最小值是（) A.8 B.4+2V2 C.4 D.2V2 4、已知f(x)是定义域为R的奇函数，且单调递减，则不等式f(2m+1)+f(1-m)>0的解 集为() A.(-00,-2) B.(-2,+o) C.(-0,0) D.(0,+o) 5、已知定义在[1-m,2m-3]上的偶函数f(x),且当x∈[0,2m-3]时，f(x)单调递增，则 关于x的不等式f(2x-1)>f(x+3-2m)的解集是() A.(0,1) B.(] c.(o, D.(（G2 6、函数f()=x2-的图象大致为（) 0下寸 歌： A. Q 7、(多选)对于定义在R上的函数f(x),下列说法正确的是() A.若f(-2)≠f(2),则函数f(x)不是偶函数 B.若f(-2)=f(2),则函数f(x)不是奇函数 C.若f(2)>f(1),则函数f(x)是增函数 D.若f(2)>f(1),则函数f(x)不是减函数 8、设函数f(x)的定义域为R,g(x)=(x-1)f(x),h(x)=f(x)-x,若g(x)为奇函数，h(x) 为偶函数，则f(x)= 14 奇偶性 一、函数的奇偶性 1、定义　 设函数 的定义域为 .如果 ，都有 ，且，那么 叫做偶函数； 如果 ，都有 ，且，那么 叫做奇函数. 函数是奇函数或偶函数时，就说它具有奇偶性. 2、定义域关于原点对称是奇偶性的前提　 定义里那句不是附带的说明，它是定义本身的组成部分.因为要算 ，就要求 也落在定义域内；只要定义域中存在一个 使得 不在其中， 就无从计算，函数也就不可能具有奇偶性.所以定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件：定义域不对称，直接判定为非奇非偶函数，不必再去算 . 例如 的定义域取 时是偶函数，把定义域改为 后就不再具有奇偶性. 奇偶性是函数在整个定义域上的整体性质，不是个别点或个别区间上的性质，因此判断奇偶性的第一步永远是先明确定义域. 3、等价形态　 把定义中的等式移项，就得到两个常用的等价写法： 为偶函数等价于 ； 为奇函数等价于 ，也常写成 . 4、图象特征　 偶函数的图象关于 轴成轴对称图形，奇函数的图象关于原点成中心对称图形；反过来也成立——图象关于 轴对称的函数是偶函数，图象关于原点成中心对称图形的函数是奇函数. 图 1　偶函数的图象关于 轴对称，奇函数的图象关于原点成中心对称 正因为图象具有这种对称性，已知一个函数是奇函数或偶函数时，只需研究它在半个定义域（如 ）上的图象与性质，另一半可由对称性直接还原. 5、奇函数的补充结论　 若奇函数 的定义域中含 ，则必有 这条结论的适用条件是定义域中包含 ；它给出的是必要条件，反过来由 推不出 为奇函数. 6、既奇又偶的函数　 若 与 同时成立，则 既是奇函数又是偶函数.此时对任意 都有 ，故 ；即既奇又偶的函数只有 （）这一族，其中 是关于原点对称的非空数集. 7、拆成奇函数与偶函数之和　 定义域关于原点对称的函数 一定可以写成其中前一项是奇函数，后一项是偶函数. 验证：记 ，则 ，故 为奇函数；记 ，则 ，故 为偶函数；而 ，分解式成立. 二、判断函数奇偶性的方法 1、定义法　判断步骤固定为三步： （1）求函数的定义域 ，检查它是否关于原点对称；不对称则到此结束，函数非奇非偶. （2）在定义域关于原点对称的前提下计算 .若解析式比较繁杂，可以先在不改变定义域的条件下化简 ，再代入 . （3）比较 与 ：满足 的是偶函数，满足 的是奇函数；两个等式都不满足的是非奇非偶函数；两个等式都满足的是既奇又偶函数（此时 ）. 2、图象法　 看函数图象的对称性：图象关于 轴对称的是偶函数，图象关于原点成中心对称图形的是奇函数；这两种对称都不具备的函数为非奇非偶函数. 3、性质法　设 、 的定义域分别为 、，在它们的公共定义域上有下列结论： 偶 偶 奇 奇 偶 奇 偶 奇 偶 非奇非偶 非奇非偶 奇 偶 非奇非偶 非奇非偶 奇 偶 奇 奇 偶 偶 奇 奇 偶 偶 偶 偶 奇 表中 、 一奇一偶的情形，只要 不恒为零，它既不是奇函数也不是偶函数. 复合函数的规律可以概括为一句话：内层 为偶函数时，复合函数 一定为偶函数；内层 为奇函数时，复合函数的奇偶性与外层 一致. 三、奇偶性与单调性、最值的关系 1、单调性　 若 为奇函数，则 在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性； 若 为偶函数，则 在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性. 2、偶函数与 的等价形态　 设偶函数 在 上单调，则： （1） 等价于 ； （2）若 在 上单调递增，则 等价于 ； （3）若 在 上单调递减，则 等价于 . 3、奇函数的最值互为相反数　 设 是定义在 上的奇函数，若 在 上的最大值为 、最小值为 ，则 4、奇函数平移后的最值　若 ，其中 为常数、 为奇函数，且 在定义域上有最大值 、最小值 ，则 题型一　函数奇偶性的判断与辨析 1. 是定义在上的奇函数，下列结论中，不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由是定义在上的奇函数，得，. 对于A，成立，故A正确； 对于B，成立，故B正确； 对于C，令，则，不成立，故C不正确； 对于D，， 由，所以成立，故D正确. 1. 设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】C 【详解】易知选项ABCD中的函数定义域即为； 因为是奇函数，是偶函数，所以， 对于A，因为，故是奇函数，即A错误； 对于B，因为，故是偶函数，即B错误； 对于C，，故是奇函数，即C正确； 对于D，，故是偶函数，即D错误. 1. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】BCD 【详解】由题可知，的定义域为R，的定义域为， 对于AC选项，，函数的定义域为， 因为，函数为偶函数， 函数在上单调递减，在上单调递增，故A错误，C正确； 对于BD选项，；定义域为， ， 函数为奇函数， 因为函数、在上也为增函数， 所以函数在上也为增函数，故B正确，D正确. 题型二　函数图象的识别 方法：由解析式选图象（或反之）先判奇偶性定对称，排除一半选项；再取特殊点或看 的符号与趋势排除其余.依据是奇（偶）函数的图象关于原点（ 轴）对称. 1. 函数的图象大致是（       ） A．B．C．D． 【答案】B 【详解】∵函数，∴定义域， ∴， ∴是奇函数，图像关于原点对称，排除D； 当，，图象在轴上方，排除C； 当时，，故排除 A. 1. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致形状是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【详解】由于的定义域为，且， 故为奇函数，图象关于原点对称，此时可排除， 且当，，此时可排除B, 故选：A 1. 函数的部分图象大致为（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为，， 因此是上的偶函数，其图象关于轴对称，选项C，D不满足； 又，所以选项B不满足，A符合题意. 故选：A 题型三　由奇偶性求函数值 方法：已知一侧区间的解析式求对称区间上的函数值，先把自变量化到已知区间，再用 或 换算；依据是奇偶性对定义域内任意 成立. 1. 若是奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知是奇函数，且当时，， 则. 1. 函数是奇函数，当时，，若，则________． 【答案】 【详解】由题意得，即， 进而，解得. 1. 已知是定义在的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D．16 【答案】C 【详解】由是奇函数，则， 所以， 所以的图象关于对称，则， . 题型四　由奇偶性求解析式 方法：已知 的解析式求 的解析式，设 则 代入，再由 或 解出 ；依据是奇偶性定义. 易错：漏掉定义域含 的奇函数有 ，或分段区间的端点归属写重. 1. 已知是定义在上的奇函数，若当时，，则________． 【答案】 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以； 当时，，所以， 则； 由可得； 所以. 1. 已知是定义在R上的奇函数，当时，，则在R上的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，， 当时，，则， 是定义在上的奇函数， ， ，即， 当时，，则， 当时，，则， 综上，在上的解析式是． 1. 若函数是奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是奇函数，所以， 当时，，所以， 所以． 1. 已知是定义在上的奇函数，当时，，求的解析式． 【答案】 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以． 因为当时，， 所以． 又因为奇函数在原点有意义，所以． 故． 题型五　由奇偶性求参数 方法：定义域形如 的闭区间上一函数为奇（偶）函数时，由定义域必关于原点对称得两端点之和为零；依据是奇偶函数的定义域关于原点对称. 易错：只列端点之和为零，忘记要求左端点小于右端点，产生增根. 例1．已知函数 是定义在 上的偶函数，求 、 的值及 的解析式． 解：偶函数的定义域必须关于原点对称，所以 ，解得 ，此时定义域为 ，左端点 小于右端点 ，符合要求.由 为偶函数得 对任意 成立，即 ，即 对任意 恒成立，由多项式恒等知 ，得 .所以 ，，.检验：定义域 关于原点对称，且 ，确为偶函数. 1. 已知，是偶函数，则（ ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以 ，且 ，解得； 由为偶函数，得，即， 即，因不恒为0，故，则． 1. 若函数为奇函数，则___________. 【答案】 【详解】解法1：当时，， 所以， 又为奇函数，所以，所以， 即当时，，所以，所以． 解法2：由题意得，即，所以． 1. 已知是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，得， 并且，即，故， 因此. 1. 记.若函数是偶函数，则该函数图象与轴交点的纵坐标的取值范围为__________. 【答案】 【详解】由是二次函数，对称轴为， 再由偶函数的性质可得，， 而该函数图象与轴交点的纵坐标为， 根据，因此，即， 取等号条件分别为或， 所以该函数图象与轴交点的纵坐标的取值范围为. 故答案为： 题型六　奇偶性与单调性解不等式 方法：形如 的不等式，先用奇偶性把两项并成同一个 ，再由已知区间的单调性去 解不等式组；依据是单调性保证 与 等价. 易错：去 后漏掉自变量仍须在定义域内，积式还要分两组同号讨论. 例1．已知 是定义在 上的奇函数，且 在 上单调递增．解不等式 ． 解：由 为奇函数得 ，于是原不等式化为 .由 在 上单调递增，得 ，解得 .又两个自变量都须落在定义域内，即 且 ，解得 ，与 取交集得 .所以原不等式的解集为 . 1. 若偶函数在区间上单调递减且，则不等式的解集（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数为偶函数，在区间上单调递减且， 函数在区间上单调递增，. 当时，；当或时，. ，或，解得或. 不等式的解集为. 1. 已知是定义在R上的奇函数，且在R上单调递增，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数是定义在R上的奇函数，则， 令，得，所以， 又在R上单调递增， 所以当时，；当时，； 等价于 或 ， 由可得，由可得， 所以或， 则不等式的解集为. 1. 已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由为奇函数且在上单调递减知在上单调递减， 则化为， 由单调性得，即，解得或； 由定义域得且， 即且，故； 1. 已知定义在上的偶函数，若对于任意不等实数都满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为对于任意不等实数都满足， 即当时，；时， 故在区间上单调递增． 因为是定义在上的偶函数，则， 所以不等式， 又，由在区间上单调递增， 则，即，解得或， 所以不等式的解集为. 1. 已知函数是定义在上的函数，且满足，，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，函数是定义在上的偶函数， 则，解得， 因为，当时，有, 所以函数在区间上单调递减，则由，得, 解得，即，所以不等式的解集是 题型七　奇偶性与单调性比大小 方法：比较 与 时，先用奇偶性把自变量归到同一单调区间，再由该区间上的单调性比大小；依据是 （偶）或 （奇）. 1. 已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，所以对，， 关于直线对称，则， 又因为在上单调递增，所以. 1. 设是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增， 则该函数在上单调递减，所以， 1. 已知定义在上的偶函数在区间上是增函数，则从小到大的关系是　________　. 【答案】 【详解】因为 是偶函数，所以 ，． 又因为 ，函数 在上为增函数，所以 ． ． 题型八　构造奇函数求值 方法：解析式含常数项（如 、）而其余为奇函数时，拆成「常数 奇函数 」，由 常数求值；依据是奇函数在对称区间上最值互为相反数. 易错：拆出的奇函数定义域必须关于原点对称，否则最值之和不为零. 方法：题目给出「某式为奇（偶）函数」两条条件时，各用定义写出含 、 的恒等式，联立消去 解出 ；依据是两式对定义域内任意 都成立. 易错：把 当成已知量保留，未真正消元，导致求不出解析式. 例1．已知函数 的最大值为 、最小值为 ，若 ，求 的值． 解：把分子中的 单独拆出，得 .设 ，其定义域为 ，对任意 有 ，故 为奇函数.设 的最大值为 、最小值为 ，由奇函数在关于原点对称的区间上最值互为相反数得 .于是 ，，两式相加得 ，解得 . 1. 已知函数的最大值为，最小值为，若，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【详解】 ， 设，则，的定义域为， 对任意， ，故是奇函数， 设的最大值为，最小值为，由奇函数性质得， 则的最大值，最小值， 因此 ， 由题设，得，解得. 1. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则__________． 【答案】 【详解】设 ，. 因为 为奇函数，所以对任意 ，有 ， 即 ；① 因为 为偶函数，所以对任意 ，有 ， 即 ，整理得 .② 由①得 .③ 由②③联立，得 ， 即 ， 故 . 所以 . 1. 已知，则________. 【答案】 【详解】设， 则为奇函数， 则， 所以. 所以， 所以. 1. （多选）已知 为奇函数，函数 .若 ，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为 为奇函数，，所以 .令 ，有 ，故 A 正确.令 ，有 ，即 ，解得 ，故 B 错误.，故 C 正确.令 ，有 ，故 D 错误.故选 AC. 题型九　奇偶性的综合应用 1. 已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)用定义判断在区间上的单调性. 【答案】(1)(2)单调递增. 取任意，且， 则. 因为，所以. 因为，所以，即. 所以. 所以函数在区间上单调递增. 【详解】（1）由题意可知，所以， 又因为，所以，则. 则. 又，为奇函数，满足题意. 所以. （2）略 1. 已知是定义在上的奇函数． (1)求，的值及的解析式； (2)判断在定义域上的单调性，并证明； (3)解不等式：． 【答案】(1)(2) 在定义域上单调递增，证明如下： 设 ，易知 ，，，. 则 则 ，所以 在 上单调递增. (3) 【详解】（1）由已知 是定义在 上的奇函数，可得 . 又 ，所以 ，，.经检验，满足条件. （2）略 （3）因为 是定义在 上的奇函数，且 在 上单调递增， 由 可得 所以解得 ，故原不等式的解集为 . 1. 已知是奇函数． (1)求实数的值； (2)作的图象； (3)若函数在区间上单调递增，求的取值范围． 【答案】(1)(2) 函数的图象见【详解】(3) 【详解】（1）设，则，所以， 因为是奇函数，所以， 所以； （2）由（1）得， 函数的图象如下， （3）由图知，函数的单调递增区间为， 所以根据函数在区间上单调递增， 可知需满足，解得， 故所求实数的取值范围为． 课后作业 1. 已知 是定义在 上的奇函数，且当 时，，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为 是定义在 上的奇函数，所以该定义域关于原点对称，即 ，解得 .又当 时 ，所以 .故选 B. 1. 已知是奇函数，则的单调递增区间为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】当时，，则， 又∵是奇函数，∴，即， 即， 当时，二次函数，开口向上，对称轴为， 故单调递增区间为， 当时，二次函数，开口向下，对称轴为， 故单调递增区间为， 综上所述，的单调递增区间为. 1. 已知奇函数是定义在R上的单调函数.若正实数a，b满足，则的最小值是 （    ） A．8 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】∵是定义在R上的奇函数， ∴， 又是定义在R上的单调函数，故，即． 又均为正数，所以， 当且仅当，即时等号成立，取的最小值是 8. 1. 已知是定义域为的奇函数，且单调递减，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】是定义域为的奇函数，，且由题可知在上单调递减， 对原不等式变形：等价于， 根据奇函数性质可得，因此不等式化为， 在上单调递减， ，移项解得，即不等式解集为 1. 已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，函数是定义在上的偶函数， 所以，解得，即函数的定义域为， 当时，单调递增，所以当时，单调递减， 关于的不等式，即， 所以，解得， 所以原不等式解集为. 故选：B 1. 函数的图象大致为（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【详解】的定义域为，又， 所以函数为偶函数，故A、B错误； 当时，，故C错误，D正确. 故选：D. 1. （多选）对于定义在上的函数，下列说法正确的是（ ） A．若，则函数不是偶函数 B．若，则函数不是奇函数 C．若，则函数是增函数 D．若，则函数不是减函数 【答案】AD 【详解】定义在上的函数，若，则不恒成立， 则不是偶函数，故A正确， 取，此时， 函数的定义域为，且， 故函数是奇函数，故B错误， 若，则，，故， 但函数在上为减函数，在上为增函数，故C错误， 定义在上的函数，若， 则对任意时，不恒成立， 则函数在R上不是减函数，故D正确. 1. 设函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数，则____________. 【答案】 【详解】因为为奇函数，所以， 即. 又为偶函数，所以， 即 ，得 . 将 代入， 得：， 即， 化简得. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 奇偶性 一、函数的奇偶性 1、定义　 设函数 的定义域为 .如果 ，都有 ，且，那么 叫做偶函数； 如果 ，都有 ，且，那么 叫做奇函数. 函数是奇函数或偶函数时，就说它具有奇偶性. 2、定义域关于原点对称是奇偶性的前提　 定义里那句不是附带的说明，它是定义本身的组成部分.因为要算 ，就要求 也落在定义域内；只要定义域中存在一个 使得 不在其中， 就无从计算，函数也就不可能具有奇偶性.所以定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件：定义域不对称，直接判定为非奇非偶函数，不必再去算 . 例如 的定义域取 时是偶函数，把定义域改为 后就不再具有奇偶性. 奇偶性是函数在整个定义域上的整体性质，不是个别点或个别区间上的性质，因此判断奇偶性的第一步永远是先明确定义域. 3、等价形态　 把定义中的等式移项，就得到两个常用的等价写法： 为偶函数等价于 ； 为奇函数等价于 ，也常写成 . 4、图象特征　 偶函数的图象关于 轴成轴对称图形，奇函数的图象关于原点成中心对称图形；反过来也成立——图象关于 轴对称的函数是偶函数，图象关于原点成中心对称图形的函数是奇函数. 图 1　偶函数的图象关于 轴对称，奇函数的图象关于原点成中心对称 正因为图象具有这种对称性，已知一个函数是奇函数或偶函数时，只需研究它在半个定义域（如 ）上的图象与性质，另一半可由对称性直接还原. 5、奇函数的补充结论　 若奇函数 的定义域中含 ，则必有 这条结论的适用条件是定义域中包含 ；它给出的是必要条件，反过来由 推不出 为奇函数. 6、既奇又偶的函数　 若 与 同时成立，则 既是奇函数又是偶函数.此时对任意 都有 ，故 ；即既奇又偶的函数只有 （）这一族，其中 是关于原点对称的非空数集. 7、拆成奇函数与偶函数之和　 定义域关于原点对称的函数 一定可以写成其中前一项是奇函数，后一项是偶函数. 验证：记 ，则 ，故 为奇函数；记 ，则 ，故 为偶函数；而 ，分解式成立. 二、判断函数奇偶性的方法 1、定义法　判断步骤固定为三步： （1）求函数的定义域 ，检查它是否关于原点对称；不对称则到此结束，函数非奇非偶. （2）在定义域关于原点对称的前提下计算 .若解析式比较繁杂，可以先在不改变定义域的条件下化简 ，再代入 . （3）比较 与 ：满足 的是偶函数，满足 的是奇函数；两个等式都不满足的是非奇非偶函数；两个等式都满足的是既奇又偶函数（此时 ）. 2、图象法　 看函数图象的对称性：图象关于 轴对称的是偶函数，图象关于原点成中心对称图形的是奇函数；这两种对称都不具备的函数为非奇非偶函数. 3、性质法　设 、 的定义域分别为 、，在它们的公共定义域上有下列结论： 偶 偶 奇 奇 偶 奇 偶 奇 偶 非奇非偶 非奇非偶 奇 偶 非奇非偶 非奇非偶 奇 偶 奇 奇 偶 偶 奇 奇 偶 偶 偶 偶 奇 表中 、 一奇一偶的情形，只要 不恒为零，它既不是奇函数也不是偶函数. 复合函数的规律可以概括为一句话：内层 为偶函数时，复合函数 一定为偶函数；内层 为奇函数时，复合函数的奇偶性与外层 一致. 三、奇偶性与单调性、最值的关系 1、单调性　 若 为奇函数，则 在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性； 若 为偶函数，则 在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性. 2、偶函数与 的等价形态　 设偶函数 在 上单调，则： （1） 等价于 ； （2）若 在 上单调递增，则 等价于 ； （3）若 在 上单调递减，则 等价于 . 3、奇函数的最值互为相反数　 设 是定义在 上的奇函数，若 在 上的最大值为 、最小值为 ，则 4、奇函数平移后的最值　若 ，其中 为常数、 为奇函数，且 在定义域上有最大值 、最小值 ，则 题型一　函数奇偶性的判断与辨析 1. 是定义在上的奇函数，下列结论中，不正确的是（ ） A． B． C． D． 1. 设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 1. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．在上单调递减 D．在上单调递增 题型二　函数图象的识别 方法：由解析式选图象（或反之）先判奇偶性定对称，排除一半选项；再取特殊点或看 的符号与趋势排除其余.依据是奇（偶）函数的图象关于原点（ 轴）对称. 1. 函数的图象大致是（       ） A．B．C．D． 1. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致形状是（    ） A．B．C．D． 1. 函数的部分图象大致为（    ） A．B．C．D． 题型三　由奇偶性求函数值 方法：已知一侧区间的解析式求对称区间上的函数值，先把自变量化到已知区间，再用 或 换算；依据是奇偶性对定义域内任意 成立. 1. 若是奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 1. 函数是奇函数，当时，，若，则________． 1. 已知是定义在的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D．16 题型四　由奇偶性求解析式 方法：已知 的解析式求 的解析式，设 则 代入，再由 或 解出 ；依据是奇偶性定义. 易错：漏掉定义域含 的奇函数有 ，或分段区间的端点归属写重. 1. 已知是定义在上的奇函数，若当时，，则________． 1. 已知是定义在R上的奇函数，当时，，则在R上的解析式是（    ） A． B． C． D． 1. 若函数是奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 1. 已知是定义在上的奇函数，当时，，求的解析式． 题型五　由奇偶性求参数 方法：定义域形如 的闭区间上一函数为奇（偶）函数时，由定义域必关于原点对称得两端点之和为零；依据是奇偶函数的定义域关于原点对称. 易错：只列端点之和为零，忘记要求左端点小于右端点，产生增根. 例．已知函数 是定义在 上的偶函数，求 、 的值及 的解析式． 解：偶函数的定义域必须关于原点对称，所以 ，解得 ，此时定义域为 ，左端点 小于右端点 ，符合要求.由 为偶函数得 对任意 成立，即 ，即 对任意 恒成立，由多项式恒等知 ，得 .所以 ，，.检验：定义域 关于原点对称，且 ，确为偶函数. 1. 已知，是偶函数，则（ ） A． B． C． D．或 1. 若函数为奇函数，则___________. 1. 已知是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 1. 记.若函数是偶函数，则该函数图象与轴交点的纵坐标的取值范围为__________. 题型六　奇偶性与单调性解不等式 方法：形如 的不等式，先用奇偶性把两项并成同一个 ，再由已知区间的单调性去 解不等式组；依据是单调性保证 与 等价. 易错：去 后漏掉自变量仍须在定义域内，积式还要分两组同号讨论. 例．已知 是定义在 上的奇函数，且 在 上单调递增．解不等式 ． 解：由 为奇函数得 ，于是原不等式化为 .由 在 上单调递增，得 ，解得 . 又两个自变量都须落在定义域内，即 且 ，解得 ，与 取交集得 ，所以原不等式的解集为 . 1. 若偶函数在区间上单调递减且，则不等式的解集（ ） A． B． C． D． 1. 已知是定义在R上的奇函数，且在R上单调递增，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 1. 已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（） A． B． C． D． 1. 已知定义在上的偶函数，若对于任意不等实数都满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 1. 已知函数是定义在上的函数，且满足，，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型七　奇偶性与单调性比大小 方法：比较 与 时，先用奇偶性把自变量归到同一单调区间，再由该区间上的单调性比大小；依据是 （偶）或 （奇）. 1. 已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 1. 设是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 1. 已知定义在上的偶函数在区间上是增函数，则从小到大的关系是　________　. 题型八　构造奇函数求值 方法：解析式含常数项（如 、）而其余为奇函数时，拆成常数 奇函数 ，由 常数求值；依据是奇函数在对称区间上最值互为相反数. 易错：拆出的奇函数定义域必须关于原点对称，否则最值之和不为零. 方法：题目给出「某式为奇（偶）函数」两条条件时，各用定义写出含 、 的恒等式，联立消去 解出 ；依据是两式对定义域内任意 都成立. 易错：把 当成已知量保留，未真正消元，导致求不出解析式. 例1．已知函数 的最大值为 、最小值为 ，若 ，求 的值． 解：把分子中的 单独拆出，得 .设 ，其定义域为 ，对任意 有 ，故 为奇函数. 设 的最大值为 、最小值为 ，由奇函数在关于原点对称的区间上最值互为相反数得 .于是 ，，两式相加得 ，解得 . 1. 已知函数的最大值为，最小值为，若，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 1. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则__________． 1. 已知，则________. 1. （多选）已知 为奇函数，函数 .若 ，，则（ ） A． B． C． D． 题型九　奇偶性的综合应用 1. 已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)用定义判断在区间上的单调性. 1. 已知是定义在上的奇函数． (1)求，的值及的解析式； (2)判断在定义域上的单调性，并证明； (3)解不等式：． 1. 已知是奇函数． (1)求实数的值； (2)作的图象； (3)若函数在区间上单调递增，求的取值范围． 课后作业 1. 已知 是定义在 上的奇函数，且当 时，，则 的值为（ ） A． B． C． D． 1. 已知是奇函数，则的单调递增区间为（     ） A．， B．， C．， D．， 1. 已知奇函数是定义在R上的单调函数.若正实数a，b满足，则的最小值是 （    ） A．8 B． C．4 D． 1. 已知是定义域为的奇函数，且单调递减，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 1. 已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 1. 函数的图象大致为（    ） A．B．C．D． 1. （多选）对于定义在上的函数，下列说法正确的是（ ） A．若，则函数不是偶函数 B．若，则函数不是奇函数 C．若，则函数是增函数 D．若，则函数不是减函数 1. 设函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数，则____________. 1 学科网（北京）股份有限公司 $