精品解析：贵州黔西市世杰中学2026－2027学年八年级上学期数学第一次阶段学情自测（北师大版）

练习（一） 八年级数学（北师大） 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．本卷为数学试卷，全卷共4页，三大题，25小题，满分150分，答题时间120分钟，考试形式为闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试卷上答题视为无效． 3．不能使用科学计算器． 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分． 1. 用符号表示“4的平方根是”，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方根，主要考查学生的理解能力和计算能力．根据的平方根是求出即可． 【详解】解：4的平方根是，用数学式子表示为：， 故选：D． 2. 下列四组数据中，是勾股数的是（ ） A. 5，12，13 B. 0.3，0.4，0.5 C. 5，6，7 D. 1，， 【答案】A 【解析】 【分析】勾股数需满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：对于选项A，5，12，13都是正整数，且，∴是勾股数； 对于选项B，0.3，0.4，0.5都不是正整数，∴不是勾股数； 对于选项C，，，，∴不是勾股数； 对于选项D，，不是正整数，∴不是勾股数． 3. 在《九章算术》一书中，对开方开不尽的数起了一个名字，叫做“面”．这是中国传统数学对无理数的最早记载．下面符合“面”的描述的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，“面”是开方开不尽的数，只需计算各选项的算术平方根，判断是否能开得尽方即可得到答案． 【详解】解：，能开得尽方，A不符合题意； ，能开得尽方，B不符合题意； 10不是完全平方数，开方开不尽，符合“面”的定义， C符合题意； ，能开得尽方，D不符合题意． 4. 如图，阴影部分是一个长方形，则长方形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 先根据勾股定理求出长方形的长，再根据面积公式计算即可 【详解】解：长方形的长为， 长方形的面积是 故选：B 5. 在中，所对的边分别为a、b、c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，逐一判断每个选项，即可得到不能判定为直角三角形的选项． 【详解】解：A、∵， ∴ 是直角三角形，本选项不符合题意； B、∵，设，，， ∵，， ∴， 是直角三角形，本选项不符合题意； C、∵，，， ∴， ∴是直角三角形，本选项不符合题意； D、∵，三角形内角和为， ∴最大角， ∴ 不是直角三角形，本选项符合题意． 6. 如图作图所示，点A所表示的数为x，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，掌握实数与数轴的关系是解题的关键． 根据实数与数轴的关系进行逐项排除即可． 【详解】解：由数轴可知，， 故选：C． 7. 如图，在ABC中，∠B= 90°，AB=2，BC=4，四边形ADEC是正方形，则正方形ADEC的面积是（ ） A. 8 B. 16 C. 20 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出正方形的边长，再由正方形面积公式求出面积即可． 【详解】解：∵∠B= 90°，AB=2，BC=4， ∴ ∴正方形ADEC面积为20． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理，解题关键是由勾股定理求出正方形的边长． 8. 若a满足，则a的值为（ ） A. 1 B. 0 C. 0或1 D. 0或1或 【答案】C 【解析】 【分析】只有0和1的算术平方根与立方根相等． 【详解】∵， 两边同时平方，得， 两边同时立方，得， 整理得，， 解得，，， ∴a的值为0或1． 故选：C． 【点睛】本题考查了立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．也考查了算术平方根． 9. 如图，一棵垂直于地面的树在离地面处断裂，树的顶部落在离底部的地面上，则这棵树折断前的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】垂直于地面的树断裂后与地面形成一个直角三角形，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图， ，，， ∴， ， ∴这棵树折断前的高度为． 10. 如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，数学家邹元治利用该图验证了勾股定理．则其验证思路可用等式表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据大正方形的面积4个全等直角三角形的总面积小正方形面积，列式解答即可； 【详解】解：图中大正方形的边长为直角三角形两条直角边的和，因此大正方形的面积可表示为， 以斜边为边的小正方形面积是， 4个全等直角三角形的总面积为， ∴， 展开化简后可得， 其余选项：A是错误的边长关系； B是勾股定理的最终结论，不是该图的验证过程等式； C是另一种勾股定理验证图的面积等式，和本题图形不符； D符合题意． 11. 若，为实数，且，则的值是（ ） A. B. 1 C. D. 2025 【答案】B 【解析】 【分析】利用绝对值与算术平方根的非负性求，的值，代入计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴． 12. 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是8，高是15，上底面中心有个小圆孔，则一根长20的直吸管露在罐外部分的长度的范围是（罐壁厚度和圆孔大小忽略）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】当直吸管的一端在圆柱形饮料罐的下底面圆心时，直吸管露在罐外部分的长度最大，当直吸管的一端在圆柱形饮料罐的下底面边缘时，直吸管露在罐外部分的长度最小，结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：当直吸管的一端在圆柱形饮料罐的下底面圆心时，直吸管露在罐外部分的长度最大，为， 如图，当直吸管的一端在圆柱形饮料罐的下底面边缘时，直吸管露在罐外部分的长度最小， ， 由勾股定理可得， ∴直吸管露在罐外部分的长度最小为， ∴直吸管露在罐外部分的长度的范围是． 二、填空题：每小题4分，共16分． 13. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求一个数的绝对值，熟记绝对值定义是解决问题的关键． 根据绝对值的定义，负数的绝对值是它的相反数即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 如图，在水平地面上，有一棵高的大树和一棵高的小树，两树之间的水平距离是．若一只小鸟从小树的顶端飞到大树的顶端，则小鸟至少飞行________m． 【答案】13 【解析】 【分析】根据题意，画出示意图，其中表示大树，表示小树，过点作，垂足为，如图所示，则，求出的长，由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示：表示大树，表示小树，过点作，垂足为， 则， ， ， 在中，， 由勾股定理得， 则小鸟至少飞行了． 15. 在中，a，b，c分别是，，的对边，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用平方差公式化简已知等式，再根据勾股定理的逆定理判断的形状，即可得到的度数． 【详解】解：对已知等式利用平方差公式展开得：， 移项得：， 根据勾股定理的逆定理可知，是直角三角形，为斜边，是所对的角， 因此． 16. 若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“完美实数”．若是“完美实数”，则________；若与都是“完美实数”，则的平方根为_______． 【答案】 ①. 或 ②. 0或 【解析】 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，立方根的计算，掌握其计算方法是关键． 根据算术平方根，立方根的计算方法求解即可． 【详解】解：一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“完美实数”， ∵的算术平方根是，的立方根是， ∴这个实数可以是， ∴当时，， 当时，， ∴或； 若与都是“完美实数”， ∴或或或， 解得，或或或， ∴对应的或或或， ∴对应的平方根为或或或， 综上所述，的平方根为或； 故答案为：①或；② 或． 三、解答题：本大题共9小题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 求下列各式中的值． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）移项，系数化成1，再根据平方根定义求出即可； （2）根据立方根定义求出即可； （3）由绝对值的性质即可解答． 【小问1详解】 解：移项，合并同类项得， 两边都除以4，得， 根据平方根的定义，得， 即； 【小问2详解】 解：由立方根的定义，得， 即， 解得． 【小问3详解】 解：由互为相反数的绝对值相等，得或． 解得，． 18. 以下是小明同学做含有二次根式的式子的运算过程： 解：原式………① ………② ……………………③ （1）上面的运算过程中第___________步开始出现了错误． （2）请你写出完整的解答过程． 【答案】（1）① （2） 原式 ． 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，实数的混合运算，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）根据算术平方根，立方根，绝对值，实数的运算逐步判断； （2）根据算术平方根，立方根，绝对值，实数的运算计算即可． 【小问1详解】 解：，第①步开始出现了错误． 故答案为：①． 【小问2详解】 略 19. 如图，每个小正方形的边长都为1． （1）填空：________，________，________； （2）是直角吗？请说明理由． 【答案】（1），，， （2）， 理由：∵，，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，熟记定理的含义是解本题的关键； （1）直接利用勾股定理计算即可； （2）利用勾股定理的逆定理证明即可． 【小问1详解】 解：∵每个小正方形的边长为1， ∴，，； 【小问2详解】 略 20. 已知的算术平方根是3，的立方根是，求： （1），的值； （2）的平方根． 【答案】（1）， （2）平方根为 【解析】 【分析】本题考查平方根、算术平方根、立方根的知识． （1）由于的算术平方根是3，则；的立方根是，则，求出m、n的值即可； （2）根据（1）中、的值，代入求值，然后求平方根即可． 【小问1详解】 解：的算术平方根是3， ， 解得：； ∵的立方根是， ∴， 解得：， ，； 【小问2详解】 解：由（1），， ∴， ∴的平方根是． 21. 如图为某工厂批量生产的一零件的简化结构示意图，在三角形零件的内部，边上的垂直平分线与分别交于点D、E，根据安全标准该零件需满足，现已知． （1）该零件是否符合安全标准，请说明理由； （2）若测量出，，请求的长度． 【答案】（1） 解：如图，连接BE， ∵边上的垂直平分线为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且即； ∴该零件符合安全标准． （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，注意方程思想的运用． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理即可求解； （2）设，则，在中，根据列出方程计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴的长为． 22. 经实验，一个物体从高处自由下落时，下落距离（米）和下落时间（秒）可以用公式来估计． （1）一个物体从米高的塔顶自由下落，落到地面需要几秒？ （2）一个物体从高空某处落到地面用了2秒，问物体下落前离地面高多少米？ 【答案】（1）5秒 （2）米 【解析】 【分析】本题考查有关二次根式运算的运用： （1）将代入求解即可得到答案； （2）将代入求解即可得到答案； 【小问1详解】 解：当米时， 答：落到地面需要5秒； 【小问2详解】 解：当秒时， 解得：， 答：物体下落前离开地面米． 23. 已知：整式，，，整式． （1）当时，写出整式的值______（用科学记数法表示结果）； （2）求整式； （3）嘉淇发现：当取正整数时，整式、、满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 嘉淇的发现正确，理由如下： ， ， 当取正整数时，整式、、满足一组勾股数． 【解析】 【分析】根据题意可得，，把代入计算应用科学记数法表示方法进行计算即可得出答案； 把，，代入中，可得，应用完全平方公式及因式分解的方法进行计算即可得出答案； 先计算，计算可得，应用勾股定理的逆定理即可得出答案． 【小问1详解】 解：， 当时， 原式 ； 故答案为：； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了勾股定理及逆定理，科学记数法，熟练掌握勾股定理及逆定理，科学记数法的计算方法进行求解是解决本题的关键． 24. 图1是著名的赵爽弦图，图中大正方形的面积有两种求法：一种是；另一种是四个直角三角形与中间小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得勾股定理．这种用两种求法来表示同一个量，从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． （1）如图2，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，连接其中三个不同小正方形的各一个顶点，可得到． ①的长为_______． ②请利用“双求法”，求边上的高． （2）如图3，在中，，，，求边上的高． 【答案】（1）①5；② （2）12 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，网格中求三角形面积，熟知勾股定理是解题的关键． （1）①直接利用勾股定理求解即可；②根据等面积法求解即可； （2）设，则，利用勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：①由题意得，； ②，， ， 解得， 边上的高的长为． 【小问2详解】 解：设，则． 在中，由勾股定理得； 在中，由勾股定理得， ， 解得， ． 25. 综合与探究——代数推理 定义：对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方根都是整数，那么称原来这三个数为“漂亮数”，这些算术平方根中，最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”． 例如：对于1，4，9这三个数，，这些算术平方根都是整数，因此，1，4，9这三个数称为“漂亮数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． 问题解决： （1）请你通过计算判断4，16，25这三个数是不是“漂亮数”． （2）请你写出两组“漂亮数”．（不与前面出现过的“漂亮数”相同） （3）已知正整数9，25，m是“漂亮数”，且，若“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的3倍，求m的值． 【答案】（1）4，16，25这三个数是“漂亮数” （2）1，9，16；4，25，64（答案不唯一） （3）81 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义和算术平方根，解题关键是理解已知条件中的定义． （1）根据已知条件中的定义，先求出任意两个数乘积的算术平方根，然后判断即可； （2）根据已知条件中的定义，先求出任意两个数乘积的算术平方根，然后进行解答即可； （3）分别根据已知条件中的定义和最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，列出关于m的方程，求出m即可． 【小问1详解】 解：，，， ，20，10都是整数， ，16，25是“漂亮数”； 【小问2详解】 1，9，16这三个数称为“漂亮数”； 4，25，64这三个数称为“漂亮数”，理由如下： ，，， 1，9，16这三个数称为“漂亮数”； ，，， 4，25，64这三个数称为“漂亮数”； 【小问3详解】 ∵正整数， ∴。 三个算术平方根为、、。 ∵，， ∴“最小算术平方根”为15，“最大算术平方根”为。” ， ． 解得． 的值为81． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 练习（一） 八年级数学（北师大） 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．本卷为数学试卷，全卷共4页，三大题，25小题，满分150分，答题时间120分钟，考试形式为闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试卷上答题视为无效． 3．不能使用科学计算器． 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分． 1. 用符号表示“4的平方根是”，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四组数据中，是勾股数的是（ ） A. 5，12，13 B. 0.3，0.4，0.5 C. 5，6，7 D. 1，， 3. 在《九章算术》一书中，对开方开不尽的数起了一个名字，叫做“面”．这是中国传统数学对无理数的最早记载．下面符合“面”的描述的数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，阴影部分是一个长方形，则长方形的面积是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，所对的边分别为a、b、c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图作图所示，点A所表示的数为x，则（ ） A. 1 B. C. D. 7. 如图，在ABC中，∠B= 90°，AB=2，BC=4，四边形ADEC是正方形，则正方形ADEC的面积是（ ） A. 8 B. 16 C. 20 D. 25 8. 若a满足，则a的值为（ ） A. 1 B. 0 C. 0或1 D. 0或1或 9. 如图，一棵垂直于地面的树在离地面处断裂，树的顶部落在离底部的地面上，则这棵树折断前的高度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，数学家邹元治利用该图验证了勾股定理．则其验证思路可用等式表示为（ ） A. B. C. D. 11. 若，为实数，且，则的值是（ ） A. B. 1 C. D. 2025 12. 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是8，高是15，上底面中心有个小圆孔，则一根长20的直吸管露在罐外部分的长度的范围是（罐壁厚度和圆孔大小忽略）（ ） A. B. C. D. 二、填空题：每小题4分，共16分． 13. 计算：_____． 14. 如图，在水平地面上，有一棵高的大树和一棵高的小树，两树之间的水平距离是．若一只小鸟从小树的顶端飞到大树的顶端，则小鸟至少飞行________m． 15. 在中，a，b，c分别是，，的对边，若，则______． 16. 若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“完美实数”．若是“完美实数”，则________；若与都是“完美实数”，则的平方根为_______． 三、解答题：本大题共9小题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 求下列各式中的值． （1）； （2）； （3）． 18. 以下是小明同学做含有二次根式的式子的运算过程： 解：原式………① ………② ……………………③ （1）上面的运算过程中第___________步开始出现了错误． （2）请你写出完整的解答过程． 19. 如图，每个小正方形的边长都为1． （1）填空：________，________，________； （2）是直角吗？请说明理由． 20. 已知的算术平方根是3，的立方根是，求： （1），的值； （2）的平方根． 21. 如图为某工厂批量生产的一零件的简化结构示意图，在三角形零件的内部，边上的垂直平分线与分别交于点D、E，根据安全标准该零件需满足，现已知． （1）该零件是否符合安全标准，请说明理由； （2）若测量出，，请求的长度． 22. 经实验，一个物体从高处自由下落时，下落距离（米）和下落时间（秒）可以用公式来估计． （1）一个物体从米高的塔顶自由下落，落到地面需要几秒？ （2）一个物体从高空某处落到地面用了2秒，问物体下落前离地面高多少米？ 23. 已知：整式，，，整式． （1）当时，写出整式的值______（用科学记数法表示结果）； （2）求整式； （3）嘉淇发现：当取正整数时，整式、、满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由． 24. 图1是著名的赵爽弦图，图中大正方形的面积有两种求法：一种是；另一种是四个直角三角形与中间小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得勾股定理．这种用两种求法来表示同一个量，从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． （1）如图2，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，连接其中三个不同小正方形的各一个顶点，可得到． ①的长为_______． ②请利用“双求法”，求边上的高． （2）如图3，在中，，，，求边上的高． 25. 综合与探究——代数推理 定义：对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方根都是整数，那么称原来这三个数为“漂亮数”，这些算术平方根中，最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”． 例如：对于1，4，9这三个数，，这些算术平方根都是整数，因此，1，4，9这三个数称为“漂亮数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． 问题解决： （1）请你通过计算判断4，16，25这三个数是不是“漂亮数”． （2）请你写出两组“漂亮数”．（不与前面出现过的“漂亮数”相同） （3）已知正整数9，25，m是“漂亮数”，且，若“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的3倍，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $