第一章有理数绝对值零点分段讨论法培优专项提高AB卷【A夯实基础+B培优提升】2026-2027学年七年级数学上册人教版

【绝对值零点分段讨论法】题集 · A卷（基础夯实）（教师版） 难度说明：★基础　★★提升　　建议用时：45 分钟 方法导航：零点分段讨论法（四步法） 1. 找零点：令每个绝对值符号内的式子等于 ，求出字母的值，这些值叫做该式的零点； 1. 分区间： 个零点把全体有理数分成 段，分段要「不重不漏」； 1. 先讨论：在每一段内判断各绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号并化简； 1. 再综合：把各段结果用大括号（分段）形式统一写出。 小贴士：分界点归属哪一段不影响最终结果；化简含多个绝对值的式子时，务必先定零点、再分段，切忌凭感觉去绝对值。数轴上 表示点 到点 的距离，这一几何意义常用于解释最值。 一、基础巩固（★） 1. 若 ，则 ______。 　　【知识点】已知范围化简绝对值　【难度】★ 　　【答案】 　　【解析】 因为 ，所以 ，原式 。 2. 若 ，则 ______。 　　【知识点】绝对值的代数意义　【难度】★ 　　【答案】 或 　　【解析】 去绝对值得 或 ，解得 或 。 3. 已知 ，化简 。 　　【知识点】已知范围化简绝对值　【难度】★ 　　【答案】 　　【解析】 因为 ，所以 ，，原式 。 4. 写出下列各式的零点： （1） 的零点是 ______； （2） 的零点是 ______、______。 　　【知识点】零点分段法　【难度】★ 　　【答案】 （1）；（2）、 　　【解析】 令绝对值符号内的式子等于 ：；，。 5. 当 时，化简 。 　　【知识点】已知范围化简绝对值　【难度】★ 　　【答案】 　　【解析】 因为 ，所以 ，，原式 。 6. 若 ，化简 。 　　【知识点】已知范围化简绝对值　【难度】★ 　　【答案】 　　【解析】 因为 ，所以 ，，原式 。 7. 若 ，则 ______。 　　【知识点】绝对值的代数意义　【难度】★ 　　【答案】 或 　　【解析】 两个绝对值相等，则内部相等或互为相反数：① ；② 。经检验两解均成立。 8. 若 ，则 ______。 　　【知识点】绝对值的非负性　【难度】★ 　　【答案】 　　【解析】 由绝对值的非负性知 ，，其和为 当且仅当 且 ，即 ，。故 。 二、能力提升（★★） 9. 化简 。 　　【知识点】零点分段法　【难度】★★ 　　【答案】 原式 。 　　【解析】 零点为 。① 当 时，原式 ；② 当 时，原式 ；③ 当 时，原式 。 10. 化简 。 　　【知识点】零点分段法　【难度】★★ 　　【答案】 原式 。 　　【解析】 零点为 。① 当 时，原式 ；② 当 时，原式 ；③ 当 时，原式 。 11. 化简 。 　　【知识点】零点分段法　【难度】★★ 　　【答案】 原式 。 　　【解析】 零点为 。① 当 时，原式 ；② 当 时，原式 ；③ 当 时，原式 。 12. 化简 ，并求它的最小值。 　　【知识点】零点分段法 · 利用绝对值求最值　【难度】★★ 　　【答案】 原式 ；最小值为 。 　　【解析】 零点为 。① 当 时，原式 ；② 当 时，原式 ；③ 当 时，原式 。三段比较，当 时取最小值 。 13. 的值不可能是（　　） A. 　B. 　C. 　D. 　　【知识点】零点分段法 · 取值范围　【难度】★★ 　　【答案】 D 　　【解析】 零点为 。① 当 时，原式 ；② 当 时，原式 ，其值在 与 之间；③ 当 时，原式 。故原式的取值范围是 ，不可能取到 ，选 D。 14. 求 的最小值，并指出此时 的值。 　　【知识点】利用绝对值求最值　【难度】★★ 　　【答案】 最小值为 ，此时 。 　　【解析】 三个零点为 ，取中间零点 时和最小：。（数轴意义：到 三点的距离之和，落在中间点时最小。） 15. 若 的最小值记为 ， 的最大值记为 ，求 的值。 　　【知识点】绝对值最值 · 数轴意义　【难度】★★ 　　【答案】 　　【解析】 表示点 到 与到 的距离之和，最小值为 两点间的距离 ，即 ； 表示到 与到 的距离之差，当 5时取最大值 ，即 。故 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 【绝对值零点分段讨论法】题集 · A卷（基础夯实） （学生版） 班级：____________　姓名：____________　日期：____________ 难度说明：★基础　★★提升　　建议用时：45 分钟 方法导航：零点分段讨论法（四步法） 1. 找零点：令每个绝对值符号内的式子等于 ，求出字母的值，这些值叫做该式的零点； 1. 分区间： 个零点把全体有理数分成 段，分段要「不重不漏」； 1. 先讨论：在每一段内判断各绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号并化简； 1. 再综合：把各段结果用大括号（分段）形式统一写出。 小贴士：分界点归属哪一段不影响最终结果；化简含多个绝对值的式子时，务必先定零点、再分段，切忌凭感觉去绝对值。数轴上 表示点 到点 的距离，这一几何意义常用于解释最值。 一、基础巩固（★） 1. 若 ，则 ______。 　　【知识点】已知范围化简绝对值　【难度】★ 　　  　　  　　  　　  　　  2. 若 ，则 ______。 　　【知识点】绝对值的代数意义　【难度】★ 　　  　　  　　  　　  　　  3. 已知 ，化简 。 　　【知识点】已知范围化简绝对值　【难度】★ 　　  　　  　　  　　  　　  4. 写出下列各式的零点： （1） 的零点是 ______； （2） 的零点是 ______、______。 　　【知识点】零点分段法　【难度】★ 　　  　　  　　  　　  　　  5. 当 时，化简 。 　　【知识点】已知范围化简绝对值　【难度】★ 　　  　　  　　  　　  　　  6. 若 ，化简 。 　　【知识点】已知范围化简绝对值　【难度】★ 　　  　　  　　  　　  　　  7. 若 ，则 ______。 　　【知识点】绝对值的代数意义　【难度】★ 　　  　　  　　  　　  　　  8. 若 ，则 ______。 　　【知识点】绝对值的非负性　【难度】★ 　　  　　  　　  　　  　　  二、能力提升（★★） 9. 化简 。 　　【知识点】零点分段法　【难度】★★ 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  10. 化简 。 　　【知识点】零点分段法　【难度】★★ 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  11. 化简 。 　　【知识点】零点分段法　【难度】★★ 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  12. 化简 ，并求它的最小值。 　　【知识点】零点分段法 · 利用绝对值求最值　【难度】★★ 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  13. 的值不可能是（　　） A. 　B. 　C. 　D. 　　【知识点】零点分段法 · 取值范围　【难度】★★ 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  14. 求 的最小值，并指出此时 的值。 　　【知识点】利用绝对值求最值　【难度】★★ 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  15. 若 的最小值记为 ， 的最大值记为 ，求 的值。 　　【知识点】绝对值最值 · 数轴意义　【难度】★★ 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  学科网（北京）股份有限公司 $ 【绝对值零点分段讨论法】题集 · B卷（拔高挑战）（教师版） 难度说明：★★★拔高　★★★★挑战　　建议用时：60 分钟 方法导航：零点分段讨论法（四步法） 1. 找零点：令每个绝对值符号内的式子等于 ，求出字母的值，这些值叫做该式的零点； 1. 分区间： 个零点把全体有理数分成 段，分段要「不重不漏」； 1. 先讨论：在每一段内判断各绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号并化简； 1. 再综合：把各段结果用大括号（分段）形式统一写出。 小贴士：分界点归属哪一段不影响最终结果；化简含多个绝对值的式子时，务必先定零点、再分段，切忌凭感觉去绝对值。数轴上 表示点 到点 的距离，这一几何意义常用于解释最值。 一、拓展拔高（★★★） 1. 化简 。 　　【知识点】嵌套绝对值 · 零点分段法　【难度】★★★ 　　【答案】 原式 。 　　【解析】 令 得 ；令 得 或 。零点为 。① 当 时，，原式 ；② 当 时，，原式 ；③ 当 时，，原式 ；④ 当 时，原式 。 2. 解方程 。 　　【知识点】含绝对值的一元一次方程　【难度】★★★ 　　【答案】 或 。 　　【解析】 两个绝对值相等，则绝对值内部相等或互为相反数：① ；② 。经检验两解均满足原方程。 3. 解方程 。 　　【知识点】含绝对值的一元一次方程　【难度】★★★ 　　【答案】 。 　　【解析】 由右边 知 ，分两种情形：① 当 时，，与 矛盾，舍去；② 当 时，。经检验 满足原方程，故原方程的解为 。 4. 已知 ，求 的最大值与最小值。 　　【知识点】绝对值综合 · 求最值　【难度】★★★ 　　【答案】 最大值为 ，最小值为 。 　　【解析】 零点为 。① 当 时，；② 当 时，，其值由 递减到 ；③ 当 时，。故 的最大值为 （当 时取得），最小值为 （当 时取得）。 5. 化简 ，并求它的最小值。 　　【知识点】零点分段法 · 利用绝对值求最值　【难度】★★★ 　　【答案】 原式 ；最小值为 。 　　【解析】 零点为 。① 当 时，原式 ；② 当 时，原式 ；③ 当 时，原式 。三段比较，当 时取最小值 。 6. 求 的最小值，并指出此时 的值。 　　【知识点】利用绝对值求最值　【难度】★★★ 　　【答案】 最小值为 ，此时 。 　　【解析】 三个零点为 ，取中间零点 时和最小：。（数轴意义：到 三点的距离之和，当点落在中间点时最小。） 7. 化简 。 　　【知识点】三个绝对值 · 零点分段法　【难度】★★★ 　　【答案】 原式 。 　　【解析】 零点为 。① 当 时，原式 ；② 当 时，原式 ；③ 当 时，原式 ；④ 当 时，原式 。 8. 用零点分段法化简代数式 时，需要把数轴分成几段？各段的分界点（零点）是什么？ 　　【知识点】零点分段法 · 分段个数　【难度】★★★ 　　【答案】 零点为 、、，共分成 段。 　　【解析】 分别令各式为 ：；；。三个零点 将数轴分成 段：、、、。 二、挑战冲刺（★★★★） 9. 求 的最小值，并指出此时 的取值范围。 　　【知识点】加权绝对值 · 求最值　【难度】★★★★ 　　【答案】 最小值为 ，此时 。 　　【解析】 原式可看作带「权」的距离之和（系数 为权）。零点为 ，总权为 ，按加权中位数知最优点落在 处：。进一步分段可验证：当 时原式的斜率为 ，即在该区间上恒等于 。故最小值为 ，此时 。 10. 求 的最小值，并指出此时 的值。 　　【知识点】加权绝对值 · 求最值　【难度】★★★★ 　　【答案】 最小值为 ，此时 。 　　【解析】 零点为 ，对应权为 ，总权为 。按加权中位数：从左累加权数，到 处累计权为 ，故最优点在 。代入得 。再从斜率看： 段斜率为 ， 段斜率为 ，故 为最小值点。 11. 的最小值是 ______。 　　【知识点】绝对值最值 · 等差数列求和　【难度】★★★★ 　　【答案】 　　【解析】 从 到 共 个数，最中间的零点为 。当 时和最小，最小值为 。 12. 若关于 的方程 有解，求 的取值范围。 　　【知识点】绝对值与参数 · 有解问题　【难度】★★★★ 　　【答案】 。 　　【解析】 表示数轴上点 到 与到 的距离之和。当点 落在 与 之间时取得最小值 （即 两点间的距离），当 远离该区间时和可无限增大。故原式的取值范围是 ，方程有解当且仅当 。 13. 若 的最小值为 ，求 的值。 　　【知识点】绝对值与参数 · 最值反求　【难度】★★★★ 　　【答案】 或 。 　　【解析】 三个零点为 ，三个绝对值之和的最小值等于最左零点与最右零点之间的距离。① 当 时，最左为 、最右为 ，最小值 ；② 当 时，最小值 ，不合；③ 当 时，最左为 、最右为 ，最小值 。故 或 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 【绝对值零点分段讨论法】题集 · B卷（拔高挑战）（学生版） 班级：____________　姓名：____________　日期：____________ 难度说明：★★★拔高　★★★★挑战　　建议用时：60 分钟 方法导航：零点分段讨论法（四步法） 1. 找零点：令每个绝对值符号内的式子等于 ，求出字母的值，这些值叫做该式的零点； 1. 分区间： 个零点把全体有理数分成 段，分段要「不重不漏」； 1. 先讨论：在每一段内判断各绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号并化简； 1. 再综合：把各段结果用大括号（分段）形式统一写出。 小贴士：分界点归属哪一段不影响最终结果；化简含多个绝对值的式子时，务必先定零点、再分段，切忌凭感觉去绝对值。数轴上 表示点 到点 的距离，这一几何意义常用于解释最值。 一、拓展拔高（★★★） 1. 化简 。 　　【知识点】嵌套绝对值 · 零点分段法　【难度】★★★ 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  2. 解方程 。 　　【知识点】含绝对值的一元一次方程　【难度】★★★ 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  3. 解方程 。 　　【知识点】含绝对值的一元一次方程　【难度】★★★ 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  4. 已知 ，求 的最大值与最小值。 　　【知识点】绝对值综合 · 求最值　【难度】★★★ 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  5. 化简 ，并求它的最小值。 　　【知识点】零点分段法 · 利用绝对值求最值　【难度】★★★ 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  6. 求 的最小值，并指出此时 的值。 　　【知识点】利用绝对值求最值　【难度】★★★ 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  7. 化简 。 　　【知识点】三个绝对值 · 零点分段法　【难度】★★★ 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  8. 用零点分段法化简代数式 时，需要把数轴分成几段？各段的分界点（零点）是什么？ 　　【知识点】零点分段法 · 分段个数　【难度】★★★ 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  二、挑战冲刺（★★★★） 9. 求 的最小值，并指出此时 的取值范围。 　　【知识点】加权绝对值 · 求最值　【难度】★★★★ 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  10. 求 的最小值，并指出此时 的值。 　　【知识点】加权绝对值 · 求最值　【难度】★★★★ 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  11. 的最小值是 ______。 　　【知识点】绝对值最值 · 等差数列求和　【难度】★★★★ 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  12. 若关于 的方程 有解，求 的取值范围。 　　【知识点】绝对值与参数 · 有解问题　【难度】★★★★ 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  13. 若 的最小值为 ，求 的值。 　　【知识点】绝对值与参数 · 最值反求　【难度】★★★★ 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  学科网（北京）股份有限公司 $