精品解析：山东济宁市第十五中学2025-2026学年七年级上学期数学学科尖创新模选拔试卷

初二年级数学学科拔尖创新摸底选拔赛试卷 一．选择题（共8小题，每题4分，共计32分） 1. 交通安全不仅是对自己生命的尊重，也是对他人的尊重，每一个交通参与者的行为都会影响到其他人的安全，下列交通标志中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一个三角形的两边长分别为4厘米和7厘米，则此三角形的第三边的长可能是（ ） A. B. C. D. 3. 已知中，，则为（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定 4. 如图，为的平分线，添下列条件后，不能证明的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，边上的高为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，按如下步骤作图： ①分别以，为圆心，大于为半径画弧，分别交于点，； ②作直线，与边交于点； ③连接．，，则的周长是（ ） A. 10 B. 12 C. 13 D. 14 7. 王强同学用块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点在上，点和分别与木墙的顶端重合，那么两堵木墙之间的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，点是外一点，垂直平分于，交于点，垂直平分于，交于点，连接、．则以下各说法：①；②；③；④点到点和点的距离相等．其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（共4小题，每题4分，共计16分） 9. 如图所示，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的依据是_____． 10. 如图，在中，是边上的中线，是的边上的中线，若的面积是，则的面积是_________． 11. 在数学综合与实践课中，王老师带领同学们进行折纸活动．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠，若，则________度． 12. 如图，在中，，，点为的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若能够在某一时刻使与全等，则点的运动速度为______________． 三．解答题（共9小题，共计52分，解答题需写出规范步骤） 13. 已知：如图，，．求证：． 14. 如图，中，D为边上的一点，，以线段为边作，使得，． （1）求证： （2）若，直接写出的度数． 15. 茗阳阁位于河南省信阳市浉河区茶韵路一号，建成于2007年4月29日，是信阳新建的城市文化与形象的代表建筑之一、设两点分别为茗阳阁底座的两端（其中两点均在地面上）．因为两点间的实际距离无法直接测量，某学习小组分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点作，在点处用测角仪确定，射线交直线于点，最后测量的长即可得线段的长． （1）为说明甲方案的合理性，需要说明，则这两个三角形全等的依据是________． A． B． C． D． （2）请用所学知识说明乙方案的合理性； 16. 如图，在中，于点，平分交于点． （1）若，求的度数； （2）若是的中线，，，的周长比周长小，求的长． 17. 问题发现： 两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来， 则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形， 如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连结，． （1）求证：；（请在下面的证明过程中填写上理由或数学式） 证明： 在和中 ① ②（__________） ③（______________） （2）类比探究：如图2，和都是等腰三角形，即，， 且，，，在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二年级数学学科拔尖创新摸底选拔赛试卷 一．选择题（共8小题，每题4分，共计32分） 1. 交通安全不仅是对自己生命的尊重，也是对他人的尊重，每一个交通参与者的行为都会影响到其他人的安全，下列交通标志中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，轴对称图形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键．根据中心对称图形与轴对称图形的概念：“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫作轴对称图形．”进行判断即可． 【详解】A．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 一个三角形的两边长分别为4厘米和7厘米，则此三角形的第三边的长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两边长度确定第三边的取值范围，再对照选项筛选． 【详解】解：三角形两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 两边之差，两边之和，因此第三边长度大于且小于，选项中只有符合条件． 3. 已知中，，则为（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据三个内角的比例，利用三角形内角和定理求出最大内角的度数，即可判断三角形的类型． 【详解】解：∵， ∴中最大角为， ∵三角形内角和为， ∴ ， ∵最大角， ∴三个内角均为锐角， ∴是锐角三角形． 4. 如图，为的平分线，添下列条件后，不能证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了对全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定方法只有共5种，主要培养学生的辨析能力．根据“”对A进行判断；根据“”对B进行判断；根据“”对C进行判断； D选项符合，不能证明． 【详解】解：由，利用可证明，所以A选项不符合题意； 由，利用可证明，所以B选项不符合题意； 由，利用可证明，所以C选项不符合题意； 由，符合，不能证明，所以D选项符合题意． 故选D． 5. 如图，在中，边上的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的高；因此此题可根据“过三角形的一个顶点作该顶点所对边的垂线段即为三角形的高”进行求解即可． 【详解】解：在中，边上的高为； 故选：B． 6. 如图，在中，按如下步骤作图： ①分别以，为圆心，大于为半径画弧，分别交于点，； ②作直线，与边交于点； ③连接．，，则的周长是（ ） A. 10 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知垂直平分，依据“垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”得，再由即可求解． 【详解】解：由作图可知，垂直平分， ， ，， ． 7. 王强同学用块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点在上，点和分别与木墙的顶端重合，那么两堵木墙之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，灵活运用“一线三直角”模型构造全等三角形是解题的关键．根据题意可知，，，可通过证明，进而利用全等三角形的对应边相等，求出两堵木墙之间的距离的长度． 【详解】解：由题意得，， ， ， ， 在和中， ， ，， ， 那么两堵木墙之间的距离为． 故选：． 8. 如图，在中，，，点是外一点，垂直平分于，交于点，垂直平分于，交于点，连接、．则以下各说法：①；②；③；④点到点和点的距离相等．其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，三角形（四边形）内角和定理，等腰三角形的判定和性质等知识，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 根据四边形的内角和定理可判定结论①；根据垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质可判定结论②；根据可判定结论③；如图所示，连接，根据垂直平分线的性质可判定结论④，由此即可求解． 【详解】解：在四边形中， ∵垂直平分于，垂直平分于， ∴，且， ∴， 故结论①正确； ∵在中，， ∴， ∵垂直平分于，垂直平分于， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故结论②正确； 在中，，， ∴不是等腰三角形，即， ∴， ∴与的大小关系无法确定， ∴的大小关系也无法确定， 故结论③无法判定； 如图所示，连接， ∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴， 故结论④正确； 综上所述，正确的有①②④，共个， 故选：． 二．填空题（共4小题，每题4分，共计16分） 9. 如图所示，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的依据是_____． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形的性质，关键是弄清人字梯与拉杆构成三角形；根据构成的图形是三角形即可解答. 【详解】解：由于人字梯与拉杆构成三角形，这样可以使梯子稳固， 所以，依据是三角形具有稳定性； 故答案为：三角形具有稳定性 ． 10. 如图，在中，是边上的中线，是的边上的中线，若的面积是，则的面积是_________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查三角形的中线，根据三角形的中线平分三角形的面积进行求解即可． 【详解】解：∵在中，是边上的中线， ∴， 同理：， ∴， ∵的面积是， ∴； 故答案为：12． 11. 在数学综合与实践课中，王老师带领同学们进行折纸活动．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠，若，则________度． 【答案】 100 【解析】 【分析】平行线的性质，求出的度数，折叠得到，进行求解即可. 【详解】解：∵长方形的对边平行， ∴， ∵折叠， ∴， ∴. 12. 如图，在中，，，点为的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若能够在某一时刻使与全等，则点的运动速度为______________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况，进行讨论求解即可. 【详解】解：∵，，点为的中点， ∴，， 设后，与全等，分两种情况： ①当时，则， ∵点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动， ∴的运动速度相等， ∴点的速度为； ②当时，则，， ∴， ∴点的运动速度为； 综上：点的运动速度为或. 三．解答题（共9小题，共计52分，解答题需写出规范步骤） 13. 已知：如图，，．求证：． 【答案】证明：在和中 【解析】 【详解】略 14. 如图，中，D为边上的一点，，以线段为边作，使得，． （1）求证： （2）若，直接写出的度数． 【答案】（1） 证明：， ， 即， 在和中， ，，， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，证明线段相等，通常转化证明三角形全等是解决本题的关键． （1）先由角的和差性质证得，再根据定理证明，最后根据全等三角形的性质得出． （2）根据等腰三角形求出，再根据全等三角形得到即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ． 15. 茗阳阁位于河南省信阳市浉河区茶韵路一号，建成于2007年4月29日，是信阳新建的城市文化与形象的代表建筑之一、设两点分别为茗阳阁底座的两端（其中两点均在地面上）．因为两点间的实际距离无法直接测量，某学习小组分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点作，在点处用测角仪确定，射线交直线于点，最后测量的长即可得线段的长． （1）为说明甲方案的合理性，需要说明，则这两个三角形全等的依据是________． A． B． C． D． （2）请用所学知识说明乙方案的合理性； 【答案】（1）B （2） 证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用．熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键． （1）甲方案作出的是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量的，结合全等三角形的判定方法可得答案； （2）乙方案作出的是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的； 【小问1详解】 解：甲方案： 在与中， ， ∴， ∴， 故选：B 【小问2详解】 略 16. 如图，在中，于点，平分交于点． （1）若，求的度数； （2）若是的中线，，，的周长比周长小，求的长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线、高，熟记三角形的角平分线、中线、高的定义是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，进而求出； （2）根据三角形的中线的性质得到，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【小问1详解】 解：， ， ， ，， ， 平分， ， ； 【小问2详解】 解：是的中线， ， ， ， 的周长比周长小， ， ， ， ． 17. 问题发现： 两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来， 则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形， 如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连结，． （1）求证：；（请在下面的证明过程中填写上理由或数学式） 证明： 在和中 ① ②（__________） ③（______________） （2）类比探究：如图2，和都是等腰三角形，即，， 且，，，在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由． 【答案】（1），，全等三角形的对应边相等 （2）与的数量关系，位置关系是， 理由如下：， ， 即， 在和中， ， ，， 是等腰三角形，， ． ∴， ， . 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定方法和性质，进行作答即可； （2）证明，即可得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $