精品解析：江苏苏州市常熟实验中学2026-2027学年度第一学期第7周八年级数学大单元统一作业

2026-2027学年度第一学期第7周初二数学大单元统一作业 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各图中，正确画出的边边上的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据高的定义，过三角形一个顶点向对边作垂线，垂线段即为三角形的高． 【详解】解：根据题意，是符合题意的． 2. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的概念：因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，进行判断即可． 【详解】解：A、等式右边为和的形式，不属于因式分解； B、变形是从整式的积得到多项式，属于整式乘法，不属于因式分解； C、，符合因式分解的定义； D、等式右边为和的形式，不属于因式分解． 3. 如图所示的是一块三角形草坪 ，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（ ） A. 三条中线的交点处 B. 三条角平分线的交点处 C. 三条高所在直线的交点处 D. 三边的垂直平分线的交点处 【答案】B 【解析】 【详解】解：由角平分线上的点到角两边距离相等，可知凉亭应该在三角形三个内角的角平分线上，因为三角形三条角平分线交于一点，故此点即为凉亭的位置． 4. 如图，在中，是边上的中线，是边上的高．若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵是边上的高，， ∴， ∴． 5. 如图，是的角平分线，，垂足为E，，则的面积为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，过D点作于H，如图，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形的面积公式计算． 【详解】解：过D点作于H，如图， ∵是的角平分线，，， ∴， ∴． 故答案为：10． 6. 如图，在中，，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线，交于点F，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，等腰三角形、直角三角形的性质，掌握等腰三角形、直角三角形的性质以及尺规作图的原理是正确解答的前提． 由尺规作图可得，再根据等腰三角形、直角三角形的性质进行计算即可． 【详解】解：由作图可得，于， ， ， 又，， ， ， 故选：C． 7. 在中，，，在直线 或直线上取一点 P，使得是等腰三角形，则符合条件的点 P有（ ） A. 4个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 【答案】B 【解析】 【分析】分三种情况讨论，结合点P在直线或直线上的位置进行判断即可． 【详解】解：如图， 所以，符合是等腰三角形的点的个数有6个． 8. 如图，在中，，，D为的中点，P为上一点，E为延长线上一点，且．有下列结论：①；②；③为等边三角形；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，由等腰三角形的性质即可判断①；根据D为中点，得到垂直平分，即可得到，结合，即可得到，从而得到，，即可判断②，结合内外角关系即可判断③，作P关于的对称点，证明即可判断④． 【详解】解：∵，， ∴，故①正确； 连接，延长交于， ∵D为中点，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，故②正确， 由②得，， ∵， ∴为等边三角形，故③正确， 作P关于的对称点，连接，如图所示 ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵P关于的对称点是， ∴，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故选：D． 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9. 若等腰三角形的顶角为，则其底角的度数为______． 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，根据等腰三角形两底角相等且三角形内角和为180度进行求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角为， ∴它的底角度数为， 故答案为：． 10. 三角形的三边分别为，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，已知三角形的两边长，求第三边的取值范围，利用“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”即可求解． 【详解】解：∵，，是三角形的三边长， ∴， ∴. 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再利用平方差公式即可因式分解． 【详解】解： ． 12. 如图,中,，点E为的中点，点D在上，且、相交于点F，若，则等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，解题的关键是熟练运用“直角三角形斜边中点到三顶点距离相等”得出等腰三角形，再结合等腰三角形底角相等和三角形外角等于不相邻两内角和推导角度． 由且E为中点，得，故；由得，再利用三角形外角性质得，，计算得角度． 【详解】解：由条件可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，，的平分线上有一点P，，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】过点P作于点F，根据角平分线的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点P作于点F， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 14. 如图，在中，，，，将沿折叠，使得点 B恰好落在边上的点E处，折痕为，若点F为上一动点，则的周长最小值为____________ 【答案】8 【解析】 【分析】根据折叠的性质可知，垂直平分，进而得到，，将的周长转化为，利用两点之间线段最短可知，当B、F、C三点共线时周长最小，进而求解 ． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ，， 垂直平分， ， ， ， 的周长为， 当点B、F、C在同一条直线上时，的值最小，最小值为 ， ， 的周长最小值为． 15. 在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分，而诸如“”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，把这些值从小到大排列得到，于是就可以把“”作为一个六位数的密码，对于多项式，取，时，请你写出用上述方法产生的密码__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法进行因式分解．熟练掌握综合提公因式和公式法进行因式分解是解题的关键． 由题意知，，然后代值求解并作答即可． 【详解】解：， 当，时，，，， ∴密码为， 故答案为：． 16. 如图，，点M在边上，，， 点P是边上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P 恰好有三个，则x的取值范围是_________________ 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形的定义，结合图形找出临界位置进行求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：，， ， 当时，如图， ∴点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有一个； 当时，如图， ∴点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有两个； 当时，如图， ∴点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个； 当时，如图， ∴点P，M，N构成等腰三角形的点P只有一个； 当时，如图， ∴点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有四个． 综上所述，点P，M，N构成等腰三角形的点P 恰好有三个时，． 三、解答题（共10小题，共82分） 17. 因式分解： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 【小问4详解】 解： 18. 如图，∠1＝∠2，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在边AC上，AE与BD相交于点O，求证：． 【答案】 证明： ， ， ， 在与中， ． 【解析】 【分析】由∠1＝∠2可得∠AEC＝∠BED，进而由“”即可证得． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． 19. 如图，点B、C、E、F共线，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先证明，得到，即可得出结论，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】略 20. 如图，在四边形中， ，，分别为边 ，的中点，连接，求证：． 【答案】证明：如下图所示，连接、， ，点是的中点， ， ，点是的中点， ， ， 点是的中点， ． 【解析】 【分析】连接、根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证，根据等腰三角形的三线合一定理可证结论成立． 【详解】略 21. 如图，锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． （1）求证为等腰三角形； （2）若，G为中点，求的长． 【答案】（1） 证明：∵于点D， ∴和都是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键． （1）利用等角的余角相等和对顶角相等可得，继而证明为等腰三角形即可； （2）作，垂足为点H，证明，结合等腰三角形三线合一的性质可得，继而得到长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，作，垂足为点H， ∵G为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 22. “数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合”是解决数学问题的重要思想方法．在探究因式分解时，我们可以从“数”与“形”两个角度深入理解因式分解，请阅读下面材料完成相应问题．从“数”的角度：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． 分组分解法：例如： ． 拆项法：例如： ． （1）利用分组分解法，因式分解； （2）利用拆项法，因式分解 ； 从“形”的角度：我们借助图形的直观，通过不同的方法计算同一个图形的面积可以得到因式分解的恒等式． （3）根据图1，多项式 可以因式分解为 ； （4）根据图2，若 ，求的值． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用分组分解法把分成两组，分别提公因式分解因式； （2）把中凑出一个完全平方式，再分组分解因式； （3）根据长方形的面积可得，再进行因式分解； （4）根据正方形的面积可得，把整体代入即可求出的值． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：由图可知长方形的宽为，长为， 长方形的面积为， 多项式分解因式为； 【小问4详解】 解：由图可知正方形的边长为， 正方形的面积为，  ， ， 或， 图形的边长不能为负数， 舍去负值， ． 23. 如图，已知在中，，点D在上，且，点P 在边上，以每秒2个单位长度的速度由点B向点C运动，点Q在边上，以每秒a 个单位长度的速度由点C向点A运动．是否存在某一时刻，使与全等，若存在，求出a的值和相应的时刻；若不存在，请说明理由． 【答案】，或， 【解析】 【分析】本题考查的是几何动点运动问题、全等三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 根据题意求出，，分情况根据全等三角形的对应边相等列式计算即可； 【详解】解：∵在中，，， ∴，， 设运动时间为t， 则， 当时，， ∴， ∴，． 当时，， ∴， ∴，． 综上，当，或，时，与全等． 24. 如图，在中，点是垂直平分线上一点，过点作，交的延长线于点，于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：点在的垂直平分线上， ． ，， ． 在和中， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）由垂直平分线的性质得到，结合，利用证得，从而得到； （2）先利用证明，得到，设，则，，，利用建立方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接． 在和中， ， ， ． 设，则． 已知，， ， ， 由（1）得， ， 解得． 的长为． 25. 数学活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中，，．将从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到（点D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为，设线段与相交于点M，线段分别交于点O，N． 特例分析：（1）如图2，当旋转到时，旋转角________；线段与的数量关系是________． 探究规律：（2）如图3，在绕点A逆时针旋转过程中，线段与线段的数量关系是否仍然成立，请说明理由． 拓展延伸：（3）请写出当是等腰三角形时旋转角的度数，简要说明理由． 【答案】（1），； （2）解：成立，理由如下： ∵， ∴， 由旋转可得：，，， ∴，， ∴， ∴． （3）的度数为或， 理由：如图1，当时，， ∵，， ∴， ∴． 如图2，当时， ∵， ∴， ∴； 如图3，当时，， ∴，此时AD和AC重合，这种情形不存在． 综上所述，的度数为或． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质以及旋转的性质，解决问题的关键是画出图形，正确分类． （1）根据三角形的内角和定理可求出，由等腰三角形的性质可得，由旋转可得：，，，推出，，证明，根据全等三角形的性质即可判断线段与线段的数量关系； （2）证明，即可得到结论； （3）分三种情况，分别画出图形进行解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，即旋转角， ，， ， 由旋转可得：，，， ，， ， ， 故答案为：，； （2）略 （3）略 26. 如图1，等边三角形的边长为18，点M是边上一动点，由点A向点C方向运动（点M不与点A，C重合），点N是延长线上一点，由点B向延长线方向运动（点N不与点B重合），点M与点N同时以相同的速度出发，连接交于点D． （1）当时，______； （2）求证：在运动过程中，点D是线段的中点； （3）如图2，过点M作于点E，在运动过程中线段的长度是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由； （4）如图3，将线段绕点M顺时针旋转得线段，连接，当取最小值时，则为______． 【答案】（1）6 （2）证明：过点作，交于点 ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴ 在和中， ∴， ∴ 即在运动过程中，点是线段的中点； （3）线段的长为定值， （4） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，旋转的性质，垂线段最短，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）设，则，先根据等边三角形的性质和可得，再根据直角三角形的性质求解即可； （2）如图（见解析），过点作，交于点，先根据平行线的性质得出，再根据等边三角形的判定与性质得出，从而可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证； （3）先根据题（2）可知，再根据线段的和差、即可得出答案． （4）由旋转的性质得，，进而可证明，得到，当时，的值最小，此时的值最小，利用勾股定理解答即可求解． 【小问1详解】 解：设，则 ∵是等边三角形 ∴ ∵， ∴ 则在中， 即 解得 故答案为：6； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：线段的长为定值．求解过程如下： 由（2）知，是等边三角形 ∵ ∴ 由（2）的结论可知： ∴ 又∵ ∴ 故线段的长为定值9． 【小问4详解】 解：∵将线段绕点顺时针旋转 得线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 当时，的值最小，此时的值最小， ∵， ∴， ， ， ，则， ， 故答案为：9． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期第7周初二数学大单元统一作业 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各图中，正确画出的边边上的高的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的是一块三角形草坪 ，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（ ） A. 三条中线的交点处 B. 三条角平分线的交点处 C. 三条高所在直线的交点处 D. 三边的垂直平分线的交点处 4. 如图，在中，是边上的中线，是边上的高．若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 如图，是的角平分线，，垂足为E，，则的面积为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 6. 如图，在中，，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线，交于点F，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，，在直线 或直线上取一点 P，使得是等腰三角形，则符合条件的点 P有（ ） A. 4个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 8. 如图，在中，，，D为的中点，P为上一点，E为延长线上一点，且．有下列结论：①；②；③为等边三角形；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9. 若等腰三角形的顶角为，则其底角的度数为______． 10. 三角形的三边分别为，则的取值范围是________． 11. 因式分解：________． 12. 如图,中,，点E为的中点，点D在上，且、相交于点F，若，则等于__________． 13. 如图，，的平分线上有一点P，，则____________． 14. 如图，在中，，，，将沿折叠，使得点 B恰好落在边上的点E处，折痕为，若点F为上一动点，则的周长最小值为____________ 15. 在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分，而诸如“”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，把这些值从小到大排列得到，于是就可以把“”作为一个六位数的密码，对于多项式，取，时，请你写出用上述方法产生的密码__________． 16. 如图，，点M在边上，，， 点P是边上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P 恰好有三个，则x的取值范围是_________________ 三、解答题（共10小题，共82分） 17. 因式分解： （1） （2） （3） （4） 18. 如图，∠1＝∠2，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在边AC上，AE与BD相交于点O，求证：． 19. 如图，点B、C、E、F共线，，．求证：． 20. 如图，在四边形中， ，，分别为边 ，的中点，连接，求证：． 21. 如图，锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． （1）求证为等腰三角形； （2）若，G为中点，求的长． 22. “数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合”是解决数学问题的重要思想方法．在探究因式分解时，我们可以从“数”与“形”两个角度深入理解因式分解，请阅读下面材料完成相应问题．从“数”的角度：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． 分组分解法：例如： ． 拆项法：例如： ． （1）利用分组分解法，因式分解； （2）利用拆项法，因式分解 ； 从“形”的角度：我们借助图形的直观，通过不同的方法计算同一个图形的面积可以得到因式分解的恒等式． （3）根据图1，多项式 可以因式分解为 ； （4）根据图2，若 ，求的值． 23. 如图，已知在中，，点D在上，且，点P 在边上，以每秒2个单位长度的速度由点B向点C运动，点Q在边上，以每秒a 个单位长度的速度由点C向点A运动．是否存在某一时刻，使与全等，若存在，求出a的值和相应的时刻；若不存在，请说明理由． 24. 如图，在中，点是垂直平分线上一点，过点作，交的延长线于点，于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 数学活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中，，．将从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到（点D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为，设线段与相交于点M，线段分别交于点O，N． 特例分析：（1）如图2，当旋转到时，旋转角________；线段与的数量关系是________． 探究规律：（2）如图3，在绕点A逆时针旋转过程中，线段与线段的数量关系是否仍然成立，请说明理由． 拓展延伸：（3）请写出当是等腰三角形时旋转角的度数，简要说明理由． 26. 如图1，等边三角形的边长为18，点M是边上一动点，由点A向点C方向运动（点M不与点A，C重合），点N是延长线上一点，由点B向延长线方向运动（点N不与点B重合），点M与点N同时以相同的速度出发，连接交于点D． （1）当时，______； （2）求证：在运动过程中，点D是线段的中点； （3）如图2，过点M作于点E，在运动过程中线段的长度是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由； （4）如图3，将线段绕点M顺时针旋转得线段，连接，当取最小值时，则为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $