精品解析：江苏苏州市立达中学校2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题

2026～2027学年度第一学期初二数学 本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成，共27题，满分100分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的知识，理解因式分解的定义是解题关键．把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫作分解因式．根据因式分解的定义，先确定等式左边是整式和差形式，再确定右边是整式的乘积形式，最后观察两边是否相等，即可获得答案． 【详解】解：A. 不能进行因式分解，故变形错误，不符合题意， B. ，不是因式分解，不符合题意； C. ，不是因式分解，不符合题意； D. ，是因式分解，符合题意． 故选：D． 2. 等腰三角形的一个角为，则其底角的度数为( )． A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意，根据等腰三角形、三角形内角和的性质计算，即可得到答案． 【详解】当角为等腰三角形顶角时，其底角的度数为； 当角为等腰三角形底角时，其底角的度数为； 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形、三角形内角和的性质；解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，从而完成求解． 3. 下列各式不能用平方差公式法分解因式的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方差公式法进行分解因式，即可判断． 【详解】A．，符合平方差公式法，故此选项不符合题意； B．，符合平方差公式法，故此选项不符合题意； C．，符合平方差公式法，故此选项不符合题意； D．不是平方的差，不能因式分解，不符合平方差公式法，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查公式法因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 4. 下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（ ） A. ，， B. C. ， D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定．由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案． 【详解】解：A、∵，，， ∴， ∴是等腰三角形；故选项A不符合题意； B、∵ ∴， ∴不是等腰三角形，故选项B符合题意； C、∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故选项C不符合题意； D、∵， ∵， ∴， ∴是等腰三角形，故选项D不符合题意． 故选：B． 5. 如图，在中，垂直平分．若，，则的长是（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】该题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， 故选：A． 6. 如图所示，已知，等边的顶点B在直线n上，，则∠2的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平行线的性质得出，，再根据等边三角形的性质和∠1的度数求出∠2的度数即可． 【详解】过点C作 ∵， ∴ ∵ ∴ ∵是等边三角形 ∴ ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和平行线的性质，掌握等边三角形的性质和平行线的性质是解题的关键． 7. 如图是一个平分角的仪器，其中，．将点A放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，就是这个角的平分线．此仪器的原理是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握其性质是解题的关键．根据“”判定即可得出答案． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， 即是的平分线． 故选：A． 8. 如图，在四边形中，是它的对角线，，若平分，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是关键．过点作，垂足分别为，证明，即可得到答案． 【详解】解：过点作，垂足分别为， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B 9. 因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么因式分解的正确结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，需从错误结果中提取正确参数是解题的关键．甲看错了，但正确；乙看错了，但正确，从甲的分解结果求出的值，从乙的分解结果求出的值，得到正确多项式后再因式分解即可． 【详解】解：甲看错了的值，分解的结果是， 正确，， 乙看错了的值，分解的结果是， 正确，， 正确多项式为， 因式分解得． 故选：A． 10. 如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，在中，当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长． 【详解】解：过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，如图所示： 在中，， ∴， ∵ ＝， ∴当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长， 此时，， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为12， 故选：D． 【点睛】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 将整式分解因式，则提取的公因式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据确定公因式的方法即可解答． 【详解】解：整式的公因式为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了因式分解——提公因式法，确定公因式的一般步骤为：（1）如果多项式的第一项系数是负数时，应把公因式的符号“”提取；（2）取多项式各项系数的最大公约数为公因数的系数；（3）把多项式各项都含有的相同字母（或因式）的最低次幂的积作为公因式的因式． 12. _______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式对进行计算即可得答案． 【详解】解：． 13. 等腰三角形的两边长分别为和，这个等腰三角形的周长为___________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形存在问题，正确分类计算是解题的关键．根据等腰三角形的定义，三角形存在性解答即可． 【详解】解：∵等腰三角形的两边长分别为和， ∴等腰三角形的三边长为3，3，6或6，6，3， 当三边为3，3，6时，，三角形不存在； 当三边为6，6，3时，，三角形存在， 故周长为：； 故答案为：15． 14. 已知，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】将提公因式变形后得，再把，代入计算即可得答案． 【详解】解： ， 当，时，原式. 15. 如图，在等边中，F是的中点，于E，如果的边长是8，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质及，可推出，得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴． 16. 已知△ABC三边a、b、c满足（a﹣b）2+|b﹣c|=0，则△ABC的形状是_______． 【答案】等边三角形 【解析】 【详解】试题解析：由题意可知：a-b=0，b-c=0， ∴a=b=c， ∴△ABC的形状是等边三角形 【点睛】本题考查了非负数的性质，等边三角形的判断．关键是利用非负数的性质解题．属于基础题型． 17. 如图，在中，，E在上，，D在上，且，若，，则的长为_________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，含有的直角三角形的性质，熟练掌握含有的直角三角形的性质是解题的关键．在线段上截取，使，先证得，即可得出，进而得到，再根据含有的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：在线段上截取，使， 在和中， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， 故答案为：1． 18. 中，，过其中一个顶点的直线可以把这个三角形分成另外两个等腰三角形，则_______． 【答案】或或或 【解析】 【分析】根据直线过顶角顶点和过底角顶点分两类讨论，结合等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和为，列方程求解所有可能值． 【详解】解：， 设，，可得，分情况讨论如下： 情况一：直线过顶点，分为两个等腰三角形， 子情况：如图，，为直线与的交点， ， ， ， ， ， 联立，解得，即； 子情况：如图，，，为直线与的交点， ， ， ， ， ， ， 联立，解得，，即； 情况二：直线过底角顶点，过结果相同，分为两个等腰三角形，为直线与的交点， 子情况：如图，，， ， ， ， ， ， ， ，解得：，即； 子情况：如图，，， ， ， ， ， ， ， ， ，解得，即； 综上，的所有可能值为，，，． 三、解答题（本大题共9小题，共64分．请解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 将下列各式分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据提公因式法分解因式即可； （2）根据平方差公式分解因式即可； （3）先根据提公因式法分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （4）先利用完全平方公式分解因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 20. 如图，已知，P为边上一点，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在边上求作一点Q，点Q到、的距离相等； （2）在边上求作一点E．使． 【答案】（1）如图，点即为所求， （2）如图，点即为所求， 【解析】 【分析】（1）作的角平分线交于点，由角平分线的性质定理可得点Q到、的距离相等； （2）连接，作线段的垂直平分线交于点，连接，由线段垂直平分线的性质可得，故． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 21. 发现两个相邻奇数中，较大奇数与较小奇数的平方差一定是的倍数． 验证计算的值，并求这个值是的几倍． 探究设“发现”中较小的奇数为请论证“发现”中的结论正确． 【答案】 故的值是的倍． 探究设“发现”中较小的奇数为则最大的数为为正整数． 且为正整数， ∴“发现”中的结论正确． 【解析】 【分析】求出即可得出结果． 设“发现”中较小的奇数为则最大的数为为正整数，由平方差公式得出即可得出． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用以及平方差公式，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 22. 如图，在等边中，点D，E分别在边上，且． （1）求证： （2）若相交于点O，求的度数． 【答案】（1） 证明：为等边三角形， ， 在和中 ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角性质定理，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）利用等边三角形的性质证明，利用全等三角形的性质即可得出结论； （2）利用全等三角形的性质得出，然后利用三角形的外角性质定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴， ． 23. 如图，将一张大长方形纸板按图所示裁剪成9块，其中有2块是边长为a的大正方形，5块长为a，宽为b的相同的小长方形 （1）观察图形，可以根据图形的面积因式分解： ； （2）若，，求图中空白部分的面积． 【答案】（1） （2）20 【解析】 【分析】（1）2块边长为a的大正方形的面积加上2块边长为b的小正方形的面积加上5块长为a，宽为b的相同的小长方形的面积等于长为，宽为的大长方形的面积； （2）由，，可得的值，空白部分的面积即5块长为a，宽为b的相同的小长方形的面积． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴空白部分的面积为． 24. 如图，在中，于E，于F，点M为边的中点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵于F，于，M为的中点， ∴，， ∴； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理． （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，则； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，则，，再根据三角形的内角和定理求出，然后利用平角等于列式计算得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵于F，于，M为的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴． 25. 如图，在中，D为的中点，交的平分线于E，于F，交延长线于G． （1）求证：． （2）猜想，与之间的关系，并证明． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵，D为中点， ∴， ∵，，且平分， ∴，， 在和中， ， ∴. （2） ， 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，直角三角形全等的证明，全等三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，证明即可； （2）证明，则，继而证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 阅读材料：若，求、的值． ， ， ， ，． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知一个三角形的三边长分别为、、，且、、都是正整数，并满足：，则______． （2）已知、、是的三边长，且满足，试判断的形状． （3）试探究关于、的代数式是否有最小值，若存在，求出最小值及此时、的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）4；（2）为等边三角形；（3）最小值为25，此时，． 【解析】 【分析】（1）根据题干中叙述的方法，对等式拆分整理后，利用完全平方公式变形后根据非负数的性质即可得出a和b的值，再结合三角形三边关系即可得出c的值； （2）根据题干中叙述的方法，对等式拆分整理后，利用完全平方公式变形后根据非负数的性质即可得出a、b、c的值，由此可判断三角形的形状； （3）根据题干中叙述的方法，对代数式拆分后，利用完全平方公式变形，根据平方的非负性即可得出代数式的最小值和此时的x和y的值． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∵三角形的三边长分别为、、，且、、都是正整数， ∴，，符合条件的c的值为4 故答案为：4； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，为等边三角形； （3） = =， ∵，， ∴当，，代数式有最小值为25， 此时，． 【点睛】本题考查完全平方公式的应用．解题的关键是明确题目中的材料，可以将问题中方程转化为材料中的形式． 27. 在中，，，为的中线，点E是射线上一动点，连接，作，射线与射线交于点F． （1）如图1，当点E与点D重合时，求证：； （2）如图2，当点E在线段上，且与点A，D不重合时， ①依题意，补全图形； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． （3）当点E在线段的延长线上，且时，直接写出用等式表示的线段之间的数量关系． 【答案】 （1）证明：∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴,， ∵为的中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴； （2）如图： ，证明： 如图2，在线段上取点G，使， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等腰三角形，为的中线， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （3）当时，,当时， 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得，，从而可得在中，，进而即可求解； （2）画出图形，在线段AB上取点G，使，再证明，进而即可得到结论； （3）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，证明或，进而即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）当时，如图3所示： 与（2）同理：在线段上取点H，使， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等腰三角形，为的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图4所示：当重合时， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴当时， 在线段的延长线上取点N，使， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵ ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及等边三角形的判定与性质，根据题意做出辅助线找全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年度第一学期初二数学 本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成，共27题，满分100分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 等腰三角形的一个角为，则其底角的度数为( )． A. B. C. 或 D. 或 3. 下列各式不能用平方差公式法分解因式的是( ) A. B. C. D. 4. 下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（ ） A. ，， B. C. ， D. 5. 如图，在中，垂直平分．若，，则的长是（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 6. 如图所示，已知，等边的顶点B在直线n上，，则∠2的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是一个平分角的仪器，其中，．将点A放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，就是这个角的平分线．此仪器的原理是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，是它的对角线，，若平分，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么因式分解的正确结果为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 将整式分解因式，则提取的公因式为______． 12. _______． 13. 等腰三角形的两边长分别为和，这个等腰三角形的周长为___________． 14. 已知，，则_______． 15. 如图，在等边中，F是的中点，于E，如果的边长是8，则_______． 16. 已知△ABC三边a、b、c满足（a﹣b）2+|b﹣c|=0，则△ABC的形状是_______． 17. 如图，在中，，E在上，，D在上，且，若，，则的长为_________． 18. 中，，过其中一个顶点的直线可以把这个三角形分成另外两个等腰三角形，则_______． 三、解答题（本大题共9小题，共64分．请解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 将下列各式分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 如图，已知，P为边上一点，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在边上求作一点Q，点Q到、的距离相等； （2）在边上求作一点E．使． 21. 发现两个相邻奇数中，较大奇数与较小奇数的平方差一定是的倍数． 验证计算的值，并求这个值是的几倍． 探究设“发现”中较小的奇数为请论证“发现”中的结论正确． 22. 如图，在等边中，点D，E分别在边上，且． （1）求证： （2）若相交于点O，求的度数． 23. 如图，将一张大长方形纸板按图所示裁剪成9块，其中有2块是边长为a的大正方形，5块长为a，宽为b的相同的小长方形 （1）观察图形，可以根据图形的面积因式分解： ； （2）若，，求图中空白部分的面积． 24. 如图，在中，于E，于F，点M为边的中点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 25. 如图，在中，D为的中点，交的平分线于E，于F，交延长线于G． （1）求证：． （2）猜想，与之间的关系，并证明． 26. 阅读材料：若，求、的值． ， ， ， ，． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知一个三角形的三边长分别为、、，且、、都是正整数，并满足：，则______． （2）已知、、是的三边长，且满足，试判断的形状． （3）试探究关于、的代数式是否有最小值，若存在，求出最小值及此时、的值；若不存在，说明理由． 27. 在中，，，为的中线，点E是射线上一动点，连接，作，射线与射线交于点F． （1）如图1，当点E与点D重合时，求证：； （2）如图2，当点E在线段上，且与点A，D不重合时， ①依题意，补全图形； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． （3）当点E在线段的延长线上，且时，直接写出用等式表示的线段之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $